laporan praktikum kimia id. pdf

PENERAPAN MATRIKS DALAM SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Pada bab sebelumnya telah dibahas tentang penyelesaian system persamaan linear dengan
menggunakan metode grafik, metode eliminasi, dan metode substitusi. Pada bab ini, kita
akan menyelesaikan system persamaan linear tersebut dengan menggunakan matriks.
Misalkan, sistem persamaan linear berikut.

ax + by = e
cx + dy = f
Sistem persamaan linear tersebut dapat kita tuliskan dalam persamaan

matriks berikut.

a

c

b  x 

e
    

d  y   f 

Persamaan matriks ini dapat kita selesaikan dengan menggunakan sifat berikut :
1. Jika XA=B, maka X=A-1B, dengan |A| ≠ 0
2. Jika XA=B, maka X=BA-1, dengan |A| ≠ 0
Contoh:

Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut!

3x - 4y = 5
5x + 6y = 1
Penyelesaian:

Terlebih dahulu, ubah sistem persamaan linear tersebut menjadi persamaan matriks berikut.

 3  4  x   5 
    

 5 6  y   1 
A

X

B

Kemudian, tentukan determinan matriks A, yaitu :

3  4
  18   20  38
6 

A  
5

Penyelesaian sistem persamaan linear tersebut dapat kita tentukan dengan cara berikut.

A1 

1  6 4



38   5 3 

 17 
 x  1  6 4  5   19 

   
   
11
y

5
3
1
38

 

    
 19 

A

A1

jadi , x 

17
19

B
dan

y

11
19

Selain dengan cara di atas, sistem persamaan linear dapat juga diselesaikan dengan
menggunakan aturan Cramer berikut.
Jika AX=B maka x1 

A1
A

, x2 

A2
A

, , x j 

Aj
A

Aj adalah matriks yang didapat dengan mengganti elemen-elemen pada kolom-j dari matriks
A dengan elemen-elemen matriks B.
Contoh:
1. Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear berikut!
3x - 4y = 5
5x + 6y = 1

Penyelesaian:
Terlebih dahulu tentukan │A│,│A1│, dan │A2│

3  4
  38
6 

A  
5

5  4
  34
6 

A1  
1

 3 5

  22
A2  
5 1

jadi x 

Dengan

A1
A



34 17

38 19

demikian,

x

17
19

dan

dan y 

penyelesaian

y

A2
A



 22
11


38
19

sistem

persamaan

linear

tersebut

11
19

2. Diketahui system Persamaan Liniear
a 11 x1+ a 12 x2 + a 13 x3 = b1
a 21 x1+ a 22 x2 + a 23 x3 = b2
a 31 x1+ a 32 x2 + a 33 x3 = b3

dalam bentuk matriks

a11 a12
a
 21 a22
a31 a32

a13 
a23 
a33 

 x1   b1 
 x   b 
 2  2
 x 3  b 3 

Penyelesaian Dengan Aturan Cramer adalah sbb:

a 11
D  a 21

a 12

a 22

a 13
b1
a 23 Dx 1  b 2

a 12
a 22

a 13
a 11
a 23 Dx 2  a 21

b1
b2

a 13
a 11
a 23 Dx 3  a 21

a 12
a 22

b1
b3

a 31

a 32

a 33

a 32

a 33

b3

a 33

a 32

b3

Maka

x1 =

Dx 1
D

b3

x2 =

Dx 2
D

x3 =

a 31
Dx 3
D

a 31

adalah

Contoh soal Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dengan Aturan Cramer
1. Dari sistem persamaan liniear (SPL) :
x1 + x2 + 2x3 = 6
2x1 + x2 - x3 = 3
-x1 +2x2 + 2x3 = -1,
Selesaikan dengan Aturan Cramer
Jawab :

1 1 2
D=

1 1

2 1 1 2 1

1 2 2 1 2

= [1.1.2 + 1(-1)(-1) + 2.2.2.] - [ 2.(1)(-1) + 1(-1)(2)+ 1.2.2 ]
= (2+1+8) - (-2-2+4) = 11 – 0 = 11

6 1 2

D x1 =

D x2=

6 1

3 1  1 3 1 = (12+1+12)-(-12+6-2)=25-(-8)=25+8=33
1 2 2 1 2

1
2

6 2 1 6
3 1 2 3

1 1 2 1 1

= (6+6-4)-(1+24-6)=8-19=-11

1 1 6 1 1
D x3=

2 1 3 2 1 = (-1-3+24)-(6-2-6)=20+2=22
1 2 1 1 2

x1 = Dx1 / D = 33/11 = 3
x2 = D x2/ D = -11/11 = -1

x3 = D x3/ D = 22/11 = 2

2. Tentukan Selesaikan Aturan Metode Cramer
x - 2y + z = 3
2x - 3y + 4z = 13
-3x + 5y + 2z = 5

1 2 1
2  3 4 = (-6+24+10) - (20-8+9) = 28-21 = 7
D=
3 5 2
Jawab :

3 2 1

Dx =

13  3 4 =(-18-40+65) – (60-52-15) = 7- (-7) = 14
5 5 2
1

Dy =

3 1

2 13 4 =(26-36+10) – (20+12-39) = (0)- (-7) = 0+7=7
3 5 2

1 2 3
2  3 13 =(-15+78+30) – (65-20+27) = 93 – (72) = 21
Dz =
3 5 5
x = Dx/D = 14/7= 2
y = Dy/D = 7/7 = 1
z = Dz/D = 21/7 = 3

3.

Dari sistem persamaan liniear (SPL)
x1 + 2x2 - x3 = 4
-2x1 + 3x2 +2x3 = -1
x1 -2x2 + 2x3 = 6,
Selesaikan dengan Aturan Cramer

1 2 1
 2 3 2 = (6+4-4)-(-4-8-3)=6-(-15)=6+15=21
D=
1 2 2
Jawab :

4

D x1=

1 3

1

2 = (24+24-2 )-(-16-4-18 )=46-(-38)=46+38=84
6 2 2
1

D x2=

2

4 1

 2  1 2 = (-2+8+12)-(12-16+1)=18-(-3) =18+3=21
1 6 2

1 2 4
 2 3  1 = ( 18-2+16)-(2-24+12)=32-(-10)=32+10=42
D x3=
1 2 6

x1 = D x1 /D = 84/21=4
x2 = D x2 /D = 21/21=1
x3 = D x3 /D = 42/21=2

4. Dari sistem persamaan liniear (SPL) :
x1 + x2 + 2x3 = 6
2x1 + x2 - x3 = 3
-x1 + 2x2 + 2x3 = -1,

Selesaikan dengan metode Crammer
Jawab :

1 1 2

D=

2 1  1 = (2+1+8)-(-2+4-2)=11-0=11
1 2 2
6 1 2

Dx1 =

3 1  1 = (12+1+12)-(-12+6-2)=25-(-8)=25+8=33
1 2 2

1

6

2

3  1 = (6+6-4)-(1+24-6)=8-19=-11
1 1 2
2

D x2=

1 1 6
2 1 3

1 2 1

D x3=

= (-1-3+24)-(6-2-6)=20+2=22

x1 = Dx1 / D = 33/11 = 3
x2 = D x2/ D = -11/11 = -1

x3 = D x3/ D = 22/11 = 2

5. Tentukan Selesaikan dengan Metode Cramer
x - 2y + z = 3
2x - 3y + 4z = 13
-3x + 5y + 2z = 5
Jawab :

D=

1
2

3

2 1
3 4
5

= (-6+24+10) - (20-8+9) = 28-21 = 7

2

3 2 1

Dx =

13  3 4 =(-18-40+65) – (60-52-15) = 7- (-7) = 14
5 5 2
1

Dy =

3 1

2 13 4 =(26-36+10) – (20+12-39) = (0)- (-7) = 0+7=7
3 5 2

1 2 3
2  3 13 =(-15+78+30) – (65-20+27) = 93 – (72) = 21
Dz =
3 5 5
x = Dx/D = 14/7= 2
y = Dy/D = 7/7 = 1
z = Dz/D = 21/7 = 3

6.

Diketahui matriks sebagai berikut :
2 4 3
A  1  1 5


2 0 1

Tentukan Minor, kofaktor , adjoint , determinan dan invers matriks A
jawab:
a) Minor
M11 =

M21 =

M31 =

3 5
0 1
2 3
0 1
2 3
3 5

 3-0 =3

M12 =

 2-0 =2

M22 =

 10-9 =1

M32 =

2 5
4 1
1 3
4 1
1 3
2 5

 2-20 =-18

M13 =

 1-12 =-11

M23 =

 5-6 =-1

4 0
1 2
4 0

M33 =

a) Kofaktor
C11= M11 =3

C 12= -M12 =18

C 13= M13 =-12

C 21= -M21 =-2

C 22= M22 =-11

C 23= - M13 =8

C31= M31 =1

C 32= -M32 =1

Matriks Kofaktor:

2 3

C 33= M33 =-1

1 2
2 3

 0-12 =-12
 0-8 =-8
 3-4=-1

18  12
3

Cij   2  11 8 


 1
1
 1 

c. Adjoint A = [ Cij]T
2 1 
 3

Adj ( A)  18  11 1 


 12 8  1
d) Determinan A = |A| = a11 M11 - a12 M12 + a13 M13 =1(3) – 2(-18) + 3 (-12) = 3+36-36=3
e) Invers matriks A =