Deret dan Baris Aritmatika (2)
Sumber 1
Barisan aritmatika dan deret aritmatika sangat berhubungan, di mana jika sukusuku pada barisannya dijumlahkan, akan membentuk deret.
Ciri umum barisan aritmatika adalah selisih dari setiap suku dengan suku sebelumnya selalu
sama, yang biasa disebut dengan beda atau ‘b’.
Sebagai contoh, 3, 6, 9, 12, … , merupakan barisan aritmatika, karena selisih dari setiap suku
yang berurutan selalu sama, yaitu 6 – 3 = 9 – 6 = 12 – 9 = 3. 3 ini lah yang disebut dengan
selisih atau beda (b).
Untuk mencari suku ke-n dari barisan tersebut, dapat digunakan rumus:
= a + (n – 1)b, dengan a merupakan suku pertama atau suku awal, b merupakan beda atau
selisih setiap suku yang berurutan, sedangkan n merupakan nilai suku yang ke berapa yang
akan kita hitung.
Contoh Soal: Tentukan suku ke 11 dari barisan berikut: 11, 18, 25, 32, …
Jawaban:
Perhatikan bahwa 18 – 11 = 25 – 18 = 7, sehingga barisan tersebut merupakan barisan
aritmatika, sehingga:
= 11 + (15 – 1).7 = 11 + 98 = 109
Deret Aritmatika
Pada deret aritmatika, kita akan menghitung jumlah setiap suku pada barisan tersebut.
Sebagai contoh, 9 + 15 + 21 + 27 + … merupakan deret aritmatika, karena selisih dari setiap
suku yang berurutan selalu sama, yaitu 15 – 9 = 21 – 15 = 6, dan merupakan bentuk
penjumlahan.
Untuk mencari jumlah suku-sukunya hingga suku ke-n, dapat kita gunakan rumus:
Dengan
merupakan jumlah suku-suku hingga suku ke n,
merupakan suku dengan
urutan ke-n, a suku awal, dan b beda atau selisih barisan tersebut.
Contoh Soal: Tentukanlah jumlah dari 17 + 30 + 43 + … + 329.
Jawaban:
Karena selisih setiap suku yang berurutan sama, yaitu 13, dan berbentuk penjumlahan, maka
penjumlahan bilangan tersebut merupakan deret aritmatika, sehingga dapat kita gunakan
rumus
Akan tetapi, nilai n belum kita ketahui, sehingga harus kita hitung terlebih dahulu dengan
menggunakan
seperti pada barisan aritmatika.
Dengan demikian,
= 17 + (n – 1).13 = 329.
17 + 13n – 13 = 329
13n = 329 – 4 = 325
Maka
Selain barisan dan deret aritmatika di atas, ada juga barisan dan deret geometri
di mana rasio dari setiap suku-sukunya yang berurutan selalu sama.
Sumber2
A. BARISAN ARITMATIKA
U1, U2, U3, .......Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika
U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - Un-1 = konstanta
Selisih ini disebut juga beda (b) = b =Un - Un-1
Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b
U1, U2, U3 ............., Un
Rumus Suku ke-n :
Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) Fungsi linier dalam n
B. DERET ARITMATIKA
a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika.
a = suku awal
b = beda
n = banyak suku
Un = a + (n - 1) b adalah suku ke-n
Jumlah n suku
Sn = 1/2 n(a+Un)
= 1/2 n[2a+(n-1)b]
= 1/2bn² + (a - 1/2b)n Fungsi kuadrat (dalam n)
Keterangan:
1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = Sn")
2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
Barisan aritmatika akan turun jika b < 0
3. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 atau Un = Sn' - 1/2 Sn"
4. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
Ut = 1/2 (U1 + Un) = 1/2 (U2 + Un-1)
dst.
5. Sn = 1/2 n(a+ Un) = nUt Ut = Sn / n
6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk
memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a - b ,
a,a+b
Sumber 3
BARISAN ARITMATIKA
Pertama kita mulai dari barisan, barisan bilangan adalah urutan dari bilangan yang dibuat
berdasarkan aturan tertentu. Sedangkan untuk barisan aritmatika adalah sebuah barisan
bilangan dimana setiap pasangan suku-suku yang berurutan memiliki selisih yang sama.
contoh : 6,9,12,15,…
Selisih bilangan pada barisan aritmatika disebut beda yang biasa disimbolkan dengan huruf b,
untuk contoh diatas memiliki nilai beda 3. Dan bilangan yang menyusun suatu barisan
disebut suku, dimana suku ke n dari suatu barisan disimbolkan dengan Un sehingga untuk
suku ke 5 dari suatu barisan biasa disebut dengan U5. Khusus untuk suku pertama dari suatu
barisan biasa disimbolkan dengan huruf a.
Jadi bentuk umum untuk suatu barisan aritmatika yaitu U1,U2,U3, … ,Un-1 atau a, a+b,
a+2b, … , a+(n-1)b
Menentukan Rumus Suku ke-n suatu barisan
Pasangan suku-suku berurutan dari suatu barisan aritmatika mempunyai beda yang sama,
maka
U2
=
U3
=
U2
+
b
=
U4
=
U3
+
b
=
U5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b
(a
(a
a
+
+
+
b)
2b)
+
+
b
b
=
=
a
a
+
+
b
2b
3b
Berdasarkan pola tersebut, dapatkah sobat menentukan suku ke-7, suku ke-26 hingga suku
ke-90? Dengan menggunakan pola diatas kita dapat mengetahui dengan mudah suku-suku
tersebut.
U7
U26
U90 = a + 89b
=
=
a
a
+
+
6b
25b
Sehingga berdasarkan runtutan penjelasan diatas untuk suku ke-n dapat kita peroleh
menggunakan rumus :
Un = a + (n – 1)b, untuk n bilangan asli
DERET ARITMATIKA
Yang dimaksud dengan deret aritmatika adalah penjumlahan dari semua anggota barisan
aritmatika secara berurutan. Contoh dari deret aritmatika yaitu 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + …
Misalnya kita ambil n suku pertama, jika kita ingin menentukan hasil dari deret aritmatika
sebagai contoh untuk 5 suku pertama dari contoh deret diatas. Bagaimana caranya?
7 + 10 + 13 + 16 + 19 = 65
Nah untuk 5 suku pertama, masih mungkin kita menghitung manual seperti diatas.
Seandainya kita akan menentukan jumlah dari 100 suku pertama, apakah masih mungkin kita
menghitung manual seperti itu. Walaupun bisa tetapi pastinya akan memakan waktu yang
cukup lama. Nah kali ini akan kita tunjukkan cara menentukannya, sebagai contohnya untuk
mennetukan jumlah 5 suku pertama dari contoh diatas.
Misalkan S5=7 + 10 + 13 + 16 + 19, sehingga
Walaupun dengan cara yang berbeda tetapi menunjukkan hasil yang sama yaitu 65.
Perhatikan bahwa S5 tersebut dapat dicari dengan mengalikan hasil penjumlahan suku
pertama dan suku ke-5, dengan banyaknya suku pada barisan, kemudian dibagi dengan 2.
Analogi dengan hasil ini, jumlah n suku pertama dari suatu barisan dapat dicari dengan rumus
berikut:
Sn = (a + Un) × n : 2
Dikarenakan Un = a + (n – 1)b, sehingga rumus di atas menjadi
Sn = (2a + (n – 1)b) × n : 2
SISIPAN DAN DERET ARITMATIKA
Sisipan pada deret aritmatika yaitu menambahkan beberapa buah bilangan diantara dua suku
yang berurutan pada suatu deret aritmatika sehingga diperoleh deret aritmatika yang baru.
Sebagai contoh :
Deret mula-mula = 4 + 13 + 22 + 31 +……
Setelah disisipi = 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 + 31 +……
Untuk beda dari deret baru ini biasanya dinyatakan dengan b1, dapat ditentukan dengan
rumus berikut :
b1 = b/(k+1)
b1 = beda deret baru
b = beda deret mula-mula
k = banyak bilangan yang disisipkan
Sumber 4
BARISAN DAN DERET (ARITMATIKA dan GEOMETRI)
A. Barisan aritmatika
U1, U2, U3, .......Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika
U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - Un-1 = konstanta
Selisih ini disebut juga beda (b) = b =Un - Un-1
Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b
U1, U2, U3 ............., Un
Rumus Suku ke-n :
Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) ® Fungsi linier dalam n
B. Deret aritmatika
a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika.
a = suku awal
b = beda
n = banyak suku
Un = a + (n - 1) b adalah suku ke-n
Jumlah n suku
Sn = 1/2 n(a+Un)
= 1/2 n[2a+(n-1)b]
= 1/2bn² + (a - 1/2b)n ® Fungsi kuadrat (dalam n)
Keterangan:
1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = Sn")
2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
Barisan aritmatika akan turun jika b < 0
3. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 atau Un = Sn' - 1/2 Sn"
4. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
Ut = 1/2 (U1 + Un) = 1/2 (U2 + Un-1) dst.
5. Sn = 1/2 n(a+ Un) = nUt ® Ut = Sn / n
6. Jika 3 bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan
perhitungan, misal bilangan-bilangan itu adalah a - b , a , a + b
C. Barisan Geometri
U1, U2, U3, ......., Un-1, Un disebut barisan geometri, jika
U1/U2 = U3/U2 = .... = Un / Un-1 = konstanta
Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)
Rasio r = Un / Un-1
Suku ke-n barisan geometri
a, ar, ar² , .......arn-1
U1, U2, U3,......,Un
Suku ke n Un = arn-1 ® fungsi eksponen (dalam n)
D. Deret Geometri
a + ar² + ....... + arn-1 disebut deret geometri
a = suku awal
r = rasio
n = banyak suku
Jumlah n suku
Sn = a(rn-1)/r-1 , jika r>1
= a(1-rn)/1-r , jika r Un-1
c. Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
Un < Un-1
Bergantian naik turun, jika r < 0
d. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1
e. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
_______ __________
Ut = Ö U1xUn = Ö U2 X Un-1 dst.
f. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk
memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar
Sumber 5
BARISAN DAN DERET ARITMATIKA
Pengertian Barisan Bilangan dan Deret.
Barisan bilangan adalah himpunan bilangan yang diurutkan menurut suatu aturan/pola
tertentu yang dihubungkan dengan tanda “,”. Jika pada barisan tanda “,” diganti dengan tanda “+”,
maka disebut deret.. Masing-masing bilangan itu disebut suku-suku barisan, setiap suku
diberi nama sesuai dengan nomor urutnya.
Secara umum barisan bilangan dapat ditulis:
U1, U2, U3, ……………, Un. dengan Un sering disebut f(n) yang menyatakan suku ke-n,
.
Sedangkan untuk deret bilangan dapat di tulis :
U1 + U2 + U3 + ……+ Un.
A. BARISAN ARITMETIKA
Barisan Aritmetika yaitu barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan menambahkan suatu
bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut beda atau selisih dan
dilambangkan dengan b, sedangkan suku yang pertama (U1) dilambangkan dengan a.
Rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah Un = a + (n – 1)b, dengan b = Un – U
1
Contoh Soal :
Diketahui barisan aritmetika 3, 8, 13, …
a.
Tentukan suku ke-10 dan rumus suku ke-n barisan tersebut!
b.
Suku keberapakah yang nilainya 198 ?
Jawab :
a.
Dari barisan aritmetika 3, 8, 13, … diperoleh suku pertama a = 3 dan beda b = 8 – 3 = 5.
Un = a + (n – 1)b
U10 = 3 + (10 – 1)5
=3+9x5
= 3 + 45
= 48
Un = a + (n – 1)b
n
–
= 3 + (n – 1)5
= 3 + 5n – 5
= 5n – 2
b.
Misalkan Un = 198, maka berlaku :
Un = 198
5n – 2 = 198
5n = 200
n = 40
Jadi 198 adalah suku ke- 40
B.
DERET
ARITMETIKA
Deret
aritmetika
disebut
juga
deret
hitung.
Apabila suku-suku di dalam barisan aritmetika dijumlahkan, maka didapat deret
aritmetika. Jadi, bentuk baku deret aritmetika adalah a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + ... +
(a
+
(n
–
1)b).
Jika jumlah n suku deret aritmetika dinyatakan dengan Sn. Maka didapat rumus :
karena Un = a + (n – 1)b maka Sn didapat rumus Sn :
Contoh soal :
Hitunglah jumlah 20 suku pertama dari deret arimetika 3 + 5 + 7 + …..
Jawab :
A = 3, b = 5 – 3 = 2, dan n = 20, maka :
S = 10( 6 + 19.2)
20
= 10 ( 6 + 38)
= 10 ( 44 }
= 440
Contoh Soal dan Pembahasan
1. Diketahui barisan aritmetika 3, 8, 13, …
a. Tentukan suku ke-10 dan rumus suku ke-n barisan tersebut!
b. Suku keberapakah yang nilainya 198 ?
Jawab :
a. Dari barisan aritmetika 3, 8, 13, … diperoleh suku pertama a = 3 dan beda b =
8 – 3 = 5.
Un = a + (n – 1)b
U10 = 3 + (10 – 1)5
=3+9x5
= 3 + 45
= 48
Un = a + (n – 1)b
= 3 + (n – 1)5
= 3 + 5n – 5
= 5n – 2
b. Misalkan Un = 198, maka berlaku :
Un
= 198
5n – 2 = 198
5n
= 200
n
= 40
Jadi 198 adalah suku ke- 40
2. Diketahui U1 = a = 3 , U5 = 19 , Un = 31
a. Tentukan beda (b)
b. Tentukan n
c. Tentukan suku ke-20
d. Tentukan n jika Un = 51
Jawab :
a. Cari U5 terlebih dahulu, setelah itu cari b dengan rumus U5 yang telah didapat
:
Un = a + (n - 1)b
U5 = a + (5 - 1)b
= a + 4b
b = a + 4b = 19
3 + 4b = 19
4b = 19 - 3
b = 16/4
b=4
b. Gunakan rumus Un = a + (n - 1)b = 31 (diketahui Un = 31) :
Un = 31
a + (n - 1)b = 31
3 + (n - 1)4 = 31
3 + 4n - 4 = 31
4n - 1 = 31
4n = 31 + 1
n = 32/4
n =8
c. suku ke-20 , dik: a = 3 , b = 4 :
Un
U20
U20
U20
U20
=
=
=
=
=
a + (n - 1) b
3 + (20 - 1) 4
3 + 80 - 4
80 - 1
79
d. Jika Un = 51 :
Un = 51
a + (n - 1)b = 51
3 + (n - 1)4 = 51
3 + 4n - 4 = 51
4n - 1 = 51
4n = 51 + 1
n = 52/4
n = 13
Barisan aritmatika dan deret aritmatika sangat berhubungan, di mana jika sukusuku pada barisannya dijumlahkan, akan membentuk deret.
Ciri umum barisan aritmatika adalah selisih dari setiap suku dengan suku sebelumnya selalu
sama, yang biasa disebut dengan beda atau ‘b’.
Sebagai contoh, 3, 6, 9, 12, … , merupakan barisan aritmatika, karena selisih dari setiap suku
yang berurutan selalu sama, yaitu 6 – 3 = 9 – 6 = 12 – 9 = 3. 3 ini lah yang disebut dengan
selisih atau beda (b).
Untuk mencari suku ke-n dari barisan tersebut, dapat digunakan rumus:
= a + (n – 1)b, dengan a merupakan suku pertama atau suku awal, b merupakan beda atau
selisih setiap suku yang berurutan, sedangkan n merupakan nilai suku yang ke berapa yang
akan kita hitung.
Contoh Soal: Tentukan suku ke 11 dari barisan berikut: 11, 18, 25, 32, …
Jawaban:
Perhatikan bahwa 18 – 11 = 25 – 18 = 7, sehingga barisan tersebut merupakan barisan
aritmatika, sehingga:
= 11 + (15 – 1).7 = 11 + 98 = 109
Deret Aritmatika
Pada deret aritmatika, kita akan menghitung jumlah setiap suku pada barisan tersebut.
Sebagai contoh, 9 + 15 + 21 + 27 + … merupakan deret aritmatika, karena selisih dari setiap
suku yang berurutan selalu sama, yaitu 15 – 9 = 21 – 15 = 6, dan merupakan bentuk
penjumlahan.
Untuk mencari jumlah suku-sukunya hingga suku ke-n, dapat kita gunakan rumus:
Dengan
merupakan jumlah suku-suku hingga suku ke n,
merupakan suku dengan
urutan ke-n, a suku awal, dan b beda atau selisih barisan tersebut.
Contoh Soal: Tentukanlah jumlah dari 17 + 30 + 43 + … + 329.
Jawaban:
Karena selisih setiap suku yang berurutan sama, yaitu 13, dan berbentuk penjumlahan, maka
penjumlahan bilangan tersebut merupakan deret aritmatika, sehingga dapat kita gunakan
rumus
Akan tetapi, nilai n belum kita ketahui, sehingga harus kita hitung terlebih dahulu dengan
menggunakan
seperti pada barisan aritmatika.
Dengan demikian,
= 17 + (n – 1).13 = 329.
17 + 13n – 13 = 329
13n = 329 – 4 = 325
Maka
Selain barisan dan deret aritmatika di atas, ada juga barisan dan deret geometri
di mana rasio dari setiap suku-sukunya yang berurutan selalu sama.
Sumber2
A. BARISAN ARITMATIKA
U1, U2, U3, .......Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika
U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - Un-1 = konstanta
Selisih ini disebut juga beda (b) = b =Un - Un-1
Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b
U1, U2, U3 ............., Un
Rumus Suku ke-n :
Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) Fungsi linier dalam n
B. DERET ARITMATIKA
a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika.
a = suku awal
b = beda
n = banyak suku
Un = a + (n - 1) b adalah suku ke-n
Jumlah n suku
Sn = 1/2 n(a+Un)
= 1/2 n[2a+(n-1)b]
= 1/2bn² + (a - 1/2b)n Fungsi kuadrat (dalam n)
Keterangan:
1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = Sn")
2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
Barisan aritmatika akan turun jika b < 0
3. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 atau Un = Sn' - 1/2 Sn"
4. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
Ut = 1/2 (U1 + Un) = 1/2 (U2 + Un-1)
dst.
5. Sn = 1/2 n(a+ Un) = nUt Ut = Sn / n
6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk
memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a - b ,
a,a+b
Sumber 3
BARISAN ARITMATIKA
Pertama kita mulai dari barisan, barisan bilangan adalah urutan dari bilangan yang dibuat
berdasarkan aturan tertentu. Sedangkan untuk barisan aritmatika adalah sebuah barisan
bilangan dimana setiap pasangan suku-suku yang berurutan memiliki selisih yang sama.
contoh : 6,9,12,15,…
Selisih bilangan pada barisan aritmatika disebut beda yang biasa disimbolkan dengan huruf b,
untuk contoh diatas memiliki nilai beda 3. Dan bilangan yang menyusun suatu barisan
disebut suku, dimana suku ke n dari suatu barisan disimbolkan dengan Un sehingga untuk
suku ke 5 dari suatu barisan biasa disebut dengan U5. Khusus untuk suku pertama dari suatu
barisan biasa disimbolkan dengan huruf a.
Jadi bentuk umum untuk suatu barisan aritmatika yaitu U1,U2,U3, … ,Un-1 atau a, a+b,
a+2b, … , a+(n-1)b
Menentukan Rumus Suku ke-n suatu barisan
Pasangan suku-suku berurutan dari suatu barisan aritmatika mempunyai beda yang sama,
maka
U2
=
U3
=
U2
+
b
=
U4
=
U3
+
b
=
U5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b
(a
(a
a
+
+
+
b)
2b)
+
+
b
b
=
=
a
a
+
+
b
2b
3b
Berdasarkan pola tersebut, dapatkah sobat menentukan suku ke-7, suku ke-26 hingga suku
ke-90? Dengan menggunakan pola diatas kita dapat mengetahui dengan mudah suku-suku
tersebut.
U7
U26
U90 = a + 89b
=
=
a
a
+
+
6b
25b
Sehingga berdasarkan runtutan penjelasan diatas untuk suku ke-n dapat kita peroleh
menggunakan rumus :
Un = a + (n – 1)b, untuk n bilangan asli
DERET ARITMATIKA
Yang dimaksud dengan deret aritmatika adalah penjumlahan dari semua anggota barisan
aritmatika secara berurutan. Contoh dari deret aritmatika yaitu 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + …
Misalnya kita ambil n suku pertama, jika kita ingin menentukan hasil dari deret aritmatika
sebagai contoh untuk 5 suku pertama dari contoh deret diatas. Bagaimana caranya?
7 + 10 + 13 + 16 + 19 = 65
Nah untuk 5 suku pertama, masih mungkin kita menghitung manual seperti diatas.
Seandainya kita akan menentukan jumlah dari 100 suku pertama, apakah masih mungkin kita
menghitung manual seperti itu. Walaupun bisa tetapi pastinya akan memakan waktu yang
cukup lama. Nah kali ini akan kita tunjukkan cara menentukannya, sebagai contohnya untuk
mennetukan jumlah 5 suku pertama dari contoh diatas.
Misalkan S5=7 + 10 + 13 + 16 + 19, sehingga
Walaupun dengan cara yang berbeda tetapi menunjukkan hasil yang sama yaitu 65.
Perhatikan bahwa S5 tersebut dapat dicari dengan mengalikan hasil penjumlahan suku
pertama dan suku ke-5, dengan banyaknya suku pada barisan, kemudian dibagi dengan 2.
Analogi dengan hasil ini, jumlah n suku pertama dari suatu barisan dapat dicari dengan rumus
berikut:
Sn = (a + Un) × n : 2
Dikarenakan Un = a + (n – 1)b, sehingga rumus di atas menjadi
Sn = (2a + (n – 1)b) × n : 2
SISIPAN DAN DERET ARITMATIKA
Sisipan pada deret aritmatika yaitu menambahkan beberapa buah bilangan diantara dua suku
yang berurutan pada suatu deret aritmatika sehingga diperoleh deret aritmatika yang baru.
Sebagai contoh :
Deret mula-mula = 4 + 13 + 22 + 31 +……
Setelah disisipi = 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 + 31 +……
Untuk beda dari deret baru ini biasanya dinyatakan dengan b1, dapat ditentukan dengan
rumus berikut :
b1 = b/(k+1)
b1 = beda deret baru
b = beda deret mula-mula
k = banyak bilangan yang disisipkan
Sumber 4
BARISAN DAN DERET (ARITMATIKA dan GEOMETRI)
A. Barisan aritmatika
U1, U2, U3, .......Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika
U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - Un-1 = konstanta
Selisih ini disebut juga beda (b) = b =Un - Un-1
Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b
U1, U2, U3 ............., Un
Rumus Suku ke-n :
Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) ® Fungsi linier dalam n
B. Deret aritmatika
a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika.
a = suku awal
b = beda
n = banyak suku
Un = a + (n - 1) b adalah suku ke-n
Jumlah n suku
Sn = 1/2 n(a+Un)
= 1/2 n[2a+(n-1)b]
= 1/2bn² + (a - 1/2b)n ® Fungsi kuadrat (dalam n)
Keterangan:
1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = Sn")
2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
Barisan aritmatika akan turun jika b < 0
3. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 atau Un = Sn' - 1/2 Sn"
4. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
Ut = 1/2 (U1 + Un) = 1/2 (U2 + Un-1) dst.
5. Sn = 1/2 n(a+ Un) = nUt ® Ut = Sn / n
6. Jika 3 bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan
perhitungan, misal bilangan-bilangan itu adalah a - b , a , a + b
C. Barisan Geometri
U1, U2, U3, ......., Un-1, Un disebut barisan geometri, jika
U1/U2 = U3/U2 = .... = Un / Un-1 = konstanta
Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)
Rasio r = Un / Un-1
Suku ke-n barisan geometri
a, ar, ar² , .......arn-1
U1, U2, U3,......,Un
Suku ke n Un = arn-1 ® fungsi eksponen (dalam n)
D. Deret Geometri
a + ar² + ....... + arn-1 disebut deret geometri
a = suku awal
r = rasio
n = banyak suku
Jumlah n suku
Sn = a(rn-1)/r-1 , jika r>1
= a(1-rn)/1-r , jika r Un-1
c. Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
Un < Un-1
Bergantian naik turun, jika r < 0
d. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1
e. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
_______ __________
Ut = Ö U1xUn = Ö U2 X Un-1 dst.
f. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk
memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar
Sumber 5
BARISAN DAN DERET ARITMATIKA
Pengertian Barisan Bilangan dan Deret.
Barisan bilangan adalah himpunan bilangan yang diurutkan menurut suatu aturan/pola
tertentu yang dihubungkan dengan tanda “,”. Jika pada barisan tanda “,” diganti dengan tanda “+”,
maka disebut deret.. Masing-masing bilangan itu disebut suku-suku barisan, setiap suku
diberi nama sesuai dengan nomor urutnya.
Secara umum barisan bilangan dapat ditulis:
U1, U2, U3, ……………, Un. dengan Un sering disebut f(n) yang menyatakan suku ke-n,
.
Sedangkan untuk deret bilangan dapat di tulis :
U1 + U2 + U3 + ……+ Un.
A. BARISAN ARITMETIKA
Barisan Aritmetika yaitu barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan menambahkan suatu
bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut beda atau selisih dan
dilambangkan dengan b, sedangkan suku yang pertama (U1) dilambangkan dengan a.
Rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah Un = a + (n – 1)b, dengan b = Un – U
1
Contoh Soal :
Diketahui barisan aritmetika 3, 8, 13, …
a.
Tentukan suku ke-10 dan rumus suku ke-n barisan tersebut!
b.
Suku keberapakah yang nilainya 198 ?
Jawab :
a.
Dari barisan aritmetika 3, 8, 13, … diperoleh suku pertama a = 3 dan beda b = 8 – 3 = 5.
Un = a + (n – 1)b
U10 = 3 + (10 – 1)5
=3+9x5
= 3 + 45
= 48
Un = a + (n – 1)b
n
–
= 3 + (n – 1)5
= 3 + 5n – 5
= 5n – 2
b.
Misalkan Un = 198, maka berlaku :
Un = 198
5n – 2 = 198
5n = 200
n = 40
Jadi 198 adalah suku ke- 40
B.
DERET
ARITMETIKA
Deret
aritmetika
disebut
juga
deret
hitung.
Apabila suku-suku di dalam barisan aritmetika dijumlahkan, maka didapat deret
aritmetika. Jadi, bentuk baku deret aritmetika adalah a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + ... +
(a
+
(n
–
1)b).
Jika jumlah n suku deret aritmetika dinyatakan dengan Sn. Maka didapat rumus :
karena Un = a + (n – 1)b maka Sn didapat rumus Sn :
Contoh soal :
Hitunglah jumlah 20 suku pertama dari deret arimetika 3 + 5 + 7 + …..
Jawab :
A = 3, b = 5 – 3 = 2, dan n = 20, maka :
S = 10( 6 + 19.2)
20
= 10 ( 6 + 38)
= 10 ( 44 }
= 440
Contoh Soal dan Pembahasan
1. Diketahui barisan aritmetika 3, 8, 13, …
a. Tentukan suku ke-10 dan rumus suku ke-n barisan tersebut!
b. Suku keberapakah yang nilainya 198 ?
Jawab :
a. Dari barisan aritmetika 3, 8, 13, … diperoleh suku pertama a = 3 dan beda b =
8 – 3 = 5.
Un = a + (n – 1)b
U10 = 3 + (10 – 1)5
=3+9x5
= 3 + 45
= 48
Un = a + (n – 1)b
= 3 + (n – 1)5
= 3 + 5n – 5
= 5n – 2
b. Misalkan Un = 198, maka berlaku :
Un
= 198
5n – 2 = 198
5n
= 200
n
= 40
Jadi 198 adalah suku ke- 40
2. Diketahui U1 = a = 3 , U5 = 19 , Un = 31
a. Tentukan beda (b)
b. Tentukan n
c. Tentukan suku ke-20
d. Tentukan n jika Un = 51
Jawab :
a. Cari U5 terlebih dahulu, setelah itu cari b dengan rumus U5 yang telah didapat
:
Un = a + (n - 1)b
U5 = a + (5 - 1)b
= a + 4b
b = a + 4b = 19
3 + 4b = 19
4b = 19 - 3
b = 16/4
b=4
b. Gunakan rumus Un = a + (n - 1)b = 31 (diketahui Un = 31) :
Un = 31
a + (n - 1)b = 31
3 + (n - 1)4 = 31
3 + 4n - 4 = 31
4n - 1 = 31
4n = 31 + 1
n = 32/4
n =8
c. suku ke-20 , dik: a = 3 , b = 4 :
Un
U20
U20
U20
U20
=
=
=
=
=
a + (n - 1) b
3 + (20 - 1) 4
3 + 80 - 4
80 - 1
79
d. Jika Un = 51 :
Un = 51
a + (n - 1)b = 51
3 + (n - 1)4 = 51
3 + 4n - 4 = 51
4n - 1 = 51
4n = 51 + 1
n = 52/4
n = 13