PERPANGKATAN SUKU BANYAK semester 1 IAIN (1)
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Seringkali kita dihadapkan pada hal-hal yang berhubungan dengan
urutan, susunan, dan yang sejenisnya. Seperti penyusunan tempat duduk
berdasarkan jabatan, pasangan pakaian yang akan dipakai, ataupun urutan
nomor untuk plat kendaraan. Jika ditelaah lebih dalam, sebenarnya hal-hal
yang amat dekat dengan kita ini bisa dicari problem solving-nya secara
matematis. Maka muncullah teori peluang, di antaranya mengenai
permutasi dan kombinasi untuk memudahkan kita jika sewaktu-waktu
dihadapkan dengan permasalahan peluang di dalam keseharian kita.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka rumusan masalah yang
diangkat pada pembuatan makalah ini adalah sebagai berikut:
1. Apa yang dimaksud dengan permutasi dan bagaimana cara
menghitung nilai-nilai permutasi suatu peristiwa?
2. Apa yang dimaksud dengan variasi dan bagaimana cara
menghitung nilai-nilai variasi suatu peristiwa?
3. Apa yang dimaksud dengan kombinasi dan bagaimana cara
menghitung nilai-nilai kombinasi suatu peristiwa?
4. Apa yang dimaksud dengan Perpangkatan Suku Banyak dan
bagaimana cara mengitung nilai-nilai perpangkatan suku
banyak suatu peristiwa?
1
C. Tujuan
Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan dari pembuatan
makalah ini adalah sebagai berikut:
1. Mengetahui pengertian permutasi dan cara menghitung nilainilai permutasi suatu peristiwa.
2. Mengetahui pengertian variasi dan cara menghitung nilainilai variasi suatu peristiwa.
3. Mengetahui pengertian kombinasi dan cara menghitung nilainilai kombinasi suatu peristiwa.
4. Mengetahui pengertian perpangkatan suku banyak dan cara
menghitung nilai-nilai perpangakatan suku banyak suatu
peristiwa.
2
BAB II
PEMBAHASAN
A. Permutasi
Permutasi adalah himpunana dari n buah unsur yang tiap kelompok
terdiri dari n buah unsur pula dimana dalam tiap kelompok tersebut tidak
boleh ada unsur yang sama. Dengan kata lain, permutasi adalah susunan
unsur-unsur dengan memperhatikan urutan tertentu. Misalnya susunan AB
≠ BA. Permutasi terdiri atas:
a. Notasi faktorial
Faktorial adalah hasil kali bilangan asli berurutan dari 1
sampai dengan n.
Faktorial dari bilangan asli n adalah hasil perkalian antara
bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan n.
Faktorial ditulis sebagai n! dan disebut n faktorial, tanda (!)
disebut dengan notasi faktorial.
Sehingga kita dapat menarik kesimpulan bahwa:
Jika n bilangan asli maka n faktorial (n!) didefinisikan
dengan n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x .... x 3 x 2 x 1
Dari definisi itu, maka kita juga memeroleh:
n! = n(n-1)!
Nilai dari 1! = 1. Oleh karena itu, untuk n = 1, diperoleh:
1! = 1(1-1)!
1! = 1
Jadi, untuk 0! bernilai 1. 0! = 1
Sebagai contoh, 7! bernilai 7×6×5×4×3×2×1 = 5040. [1]
Berikut ini adalah daftar sejumlah faktorial:
0! = 1
1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
1[] Alimuddin. 2013. Kuasai Dasar-dasar Matematika SMA/MA.Jakarta:PT. Gramedia
Widiasarana Indonesia. Hal 171.
3
5! = 120
6! = 720
7! = 5040
8! = 40320
9! = 362880
10! = 3628800
11! = 39916800
12! = 479001600 [1]
b. Permutasi r unsur berbeda dari n unsur (permutasi dengan
unsur berbeda)
Permutasi r unsur dari n unsur r ≤n , adalah
semua urutan yang berbeda yang mungkin dari r unsur yang
diambil dari n unsur yang berbeda. Banyak permutasi r
unsur dari n unsur ditulis nPr,
Nilai dari
Pnr =
Pnr , P(n,r).
n!
( n−r ) !
, P = permutasi.[2]
Contoh :
Terdapat 6 Mahasiswa yang memenuhi syarat dan
bersedia menjadi pengurus Himpunan Mahasiswa Jurusan
(HMJ). Jika pengurus HMJ itu terdiri dari ketua, wakil
ketua, sekretaris, dan bendahara. Ada berapa macam
susunan pengurus yang mungkin di bentuk?
Jawab :
Persoalan ini termasuk dalam persoalan mencari
banyak susunan terdiri dari 4 benda yang diambil dari 6
benda. Jadi kita hendak mencari
6
P4 .
6
P4 = 6.5.4.3 =
360.
Berikut ini adalah penjelasannya. Ada 6 mahasiswa
yang bisa dipilih menjadi ketua. Seandainya ketua telah
dipilah, maka 5 pilihan untuk wakil ketua. Jika ketua dan
1[] Hudoyo Herman. 1996/1997.Matematika. : Depdikbud
2[] Wirodikromo, S. 1996. Matematika. Jakarta: Erlangga. Hal. 253.
4
wakil ketua telah terpilih, maka ada 4 pilihan untuk
sekretaris. Jika ketua, wakil ketua, dan sekretaris telah
dipilih, maka tinggal 3 mahasiswa yang bisa dipilih untuk
bendahara. Jadi banyaknya susunan pengurus yang
mungkin 6.5.4.3 = 360 atau dapat diubah menjadi
bentuk faktorial sebagai berikut:
P64 =
6!
( 6 !−4 ! )
¿
6!
2!
¿
6 × 5× 4 ×3 ×2 !
2!
¿ 6 ×5 × 4 ×3
¿ 360
c. Permutasi dengan beberapa unsur sama
Dengan berapa cara kata yang terdiri dari huruf A,
B, dan A dapat disusun? Susunan kata itu adalah ABA,
AAB, dan BAA, yaitu ada 3 cara. Bila digunakan rumus
permutasi, akan diperoleh 3P3 = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 kata
yang dapat dibuat dari huruf A, B, dan A. Mengapa
demikian? Karena pada permutasi, dua huruf A tersebut
dibedakan. Sehingga diperoleh susunan-susunan kata
sebagai berikut: A1BA2, A2BA1, A1A2B, A2A1B, BA1A2, dan
BA2A1.[1]
Pada kenyataannya huruf A tidak dibedakan, berarti
ada dua susunan yang sama yaitu permutasi A1A2 yang
seharusnya dihitung satu kali. Sehingga untuk menghitung
banyaknya susunan yang dapat dibuat dari n objek dengan
beberapa objek yang sama adalah nPn dibagi dengan
faktorial dari jumlah objek-objek yang sama.
Lebih lanjut dapat simpulkan sebagai berikut:
1[] Wirodikromo, S. 1996. Matematika. Jakarta: Erlangga. Hal. 254.
5
1. Banyaknya permutasi dari n objek
dengan x objek sama (x ≤ n) adalah
2. Banyaknya permutasi yang terdiri
dari n objek yang dipilih dari n objek di
mana ada beberapa objek sama, misalnya
ada m1 objek yang sama, ada m2 objek yang
sama, serta m3 objek yang sama, dan
seterusnya adalah
Contoh soal:
Berapa banyak cara dapat dibentuk dari
huruf-huruf:
1. AKSARA
2. CACAH
Pembahasan contoh soal:
1. Perhatikan bahwa pada huruf-huruf
AKSARA terdiri dari 6 huruf dengan satu
jenis huruf yang sama, yaitu A, yang
berjumlah 3. Sehingga banyaknya permutasi
yang dapat disusun ada sebanyak 6!/3! = 120
cara.
2. Pada huruf-huruf CACAH terdiri dari 5
huruf dengan dua jenis huruf yang sama,
yaitu C dan A, yang masing-masing
berjumlah 2. Sehingga banyaknya permutasi
yang dapat disusun ada sebanyak 5!/(2! × 2!)
= 30 cara.
6
d. Permutasi dengan ulangan
Permutasi dengan ulangan adalah himpunan n buah
unsur yang setiap kelompok terdiri dari n unsur pula, serta
memperhatikan urutannya dan unsur-unsur dalam tiap
kelompok dapat berulang, yang diberi simbol dengan (Pn)
dibaca: “Permutasi dengan langan dari n unsur”.[1]
Contoh Soal:
Tentukan permutasi dengan ulangan dari
unsur abc.
Jawab:
{aaa, aab, aac, aba, abb, abc, aca, acb, acc,
baa, bab, bac, bba, bbb, bbc, bca, bcb, bcc, caa, cab,
cac, cba, cbb, cbc, cca, ccb, ccc}
atau
n
Pn=n
e. Permutasi siklis
Permutasi siklis adalah susunan yang berbentuk
lingkaran dari n unsur. Misalnya A, B, dan C disusun
melingkar.
Jika kita pandang urutan itu searah jarum jam maka
susunan ABC, CAB, dan BCA adalah sama. Sehingga
banyaknya permutasi siklis dari 3 objek adalah 3!/3 = (3 ×
2!)/3 = 2! = 2. Jadi, akan dihasilkan 2 susunan yang
berbeda secara siklis dari huruf-huruf A, B, dan C, yaitu
ABC dan ACB.
1[] Nasaruddin.2010.Aljabar Disertai Program Visual.Palopo: Lembaga Penerbitan STAIN (LPS).
Hal. 121.
7
Andaikan sekarang kita mempunyai 4 objek yang
akan disusun secara siklis.
Keempat gambar di atas menunjukkan permutasi
yang sama. Sehingga banyaknya permutasi siklis dari 4
objek adalah 4!/4 = (4 × 3!)/4 = 3! = 6. Jadi, akan
dihasilkan 6 susunan yang berbeda secara siklis dari hurufhuruf A, B, C, dan D.
Dari kedua contoh diatas dapat disimpulkan bahwa,
banyaknya permutasi siklis dari n objek dapat dinyatakan
dengan (n – 1)![1]
P=( n−1 ) !
Untuk lebih memahami mengenai permutasi siklis,
khususnya dalam pemecahan masalah, perhatikan contoh
soal berikut ini.
Contoh Soal:
Dalam sebuah keluarga yang terdiri dari seorang
ayah, seorang ibu, dan 3 orang anaknya makan bersama dan
mengelilingi sebuah meja makan. Berapa banyaknya cara
yang berlainan saat mereka dapat duduk, jika:
1. Mereka berpindah-pindah tempat.
2. Ayah dan Ibu selalu berdekatan.
Pembahasan Contoh Soal:
1. Banyaknya anggota keluarga adalah 5 orang
(seorang ayah, seorang ibu, dan 3 orang
anak). Sehingga, banyaknya cara yang
1[] Hudoyo Herman. 1996/1997.Matematika. : Depdikbud.
8
berlainan saat mereka duduk berpindahpindah tempat adalah (5 – 1)! = 4! = 24 cara.
2. Perhatikan gambar berikut.
Ayah dan ibu selalu berdampingan, sehingga
pasangan ini dapat kita anggap satu.
Sehingga terdapat 4 objek yang akan disusun
secara siklis. Akan tetapi pasangan ayah dan
ibu dapat disusun kembali menjadi 2P2 cara.
Sehingga banyaknya susunan agar ayah dan
ibu selalu berdekatan adalah (4 – 1)! × 2P2
= 3! × 2! = 12 cara.
B. Variasi
Variasi adalah himpunan n buah unsur yang tiap kelompok terdiri
dari r buah unsur dimana r < n dengan memperhatikan urutan dan unsur
dalam tiap kelompok tidak ada yang sama. Dan dilambangkan dengan :
r
V n dibaca “variasi r buah dari n unsur”.
r adalah banyaknya unsur dari tiap kelompok.
n adalah banyaknya unsur yang divariasikan. [1]
Contoh Soal 1:
Tentukan variasi 2/2 (dibaca dua dua) dari unsur a b c d
1[] Nasaruddin.2010.Aljabar Disertai Program Visual.Palopo: Lembaga Penerbitan STAIN (LPS).
Hal. 123-124.
9
Jawab:
Banyaknya variasi 2/2dari unsur abcd adalah {ab, ac, ad, ba,
bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc} atau di peroleh dengan cara:
Untuk r = 2 dan n = 4, diperoleh : V 24
= 4 (4-1) = 12
Contoh Soal 2:
Tentukan variasi 2/2 dari n unsur .
Jawab:
Misalkan unsur 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . . . . n maka didapatkan
sebagai berikut:
Sehingga banyaknya kelompok adalah : V 2n = n (n – 1)
Demikian pula untuk V 3n = n ( n -1) (n – 2)
4
V n = n (n – 1) (n – 2) (n – 3)
.
.
.
r
V n = n (n – 1) (n – 2) (n – 3) . . . ( n – r – 1), dan jika
n! = 1.2.3. . . . ( n – 1 ) n, maka
10
r
Vn =
V rn
n ( n−1 ) ( n−2 ) … ( n−r−1 )( n−r +1 ) … 3.2.1
( n−r )( n−r +1 ) … 3.2.1
n!
= ( n−r ) !
Rumus Variasi[1]
Contoh soal 1 di atas jika kita gunakan rumus variasi di peroleh :
4!
= 4 . 3 = 12
V 24 =
2!
Variasi Dengan Ulangan
Variasi dengan ulangan adalah himpunan yang diambil
dari n buah unsur yang tiap kelompok terdiri dari r buah unsur
dimana urutan di perhatikan serta unsur dari tiap-tiap anggotnya
dapat diulang; dengan simbol:
r
Vn
dibaca “ variasi dengan
ulangan r unsur yang diambil dari n buah unsur “.[2]
Contoh Soal 1:
Tentukan banyaknya variasi dengan ulangan dari
unsur-unsur abcd yang di pariasikan 2 unsur.
Jawab:
n = 4,
r=2
r
4
V n = V 2 = 52 = 25
Contoh Soal 2:
Tentukan banyaknya variasi dengan ulangan dari
unsur-unsur pqr yang divariaskan 2 unsur.
Jawab:
n=3,k=2
Dapat selesaikan dengan cara seperti berikut:
1[]Nasaruddin.2010.Aljabar Disertai Program Visual.Palopo: Lembaga Penerbitan STAIN (LPS).
Hal. 124-125.
2[]Nasaruddin.2010.Aljabar Disertai Program Visual.Palopo: Lembaga Penerbitan STAIN (LPS).
Hal. 125-126.
11
Jadi banyaknya susunan ada 9 pasang.
C. Kombinasi
Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak
memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu
himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan
untuk r ≤n . Setiap himpunan bagian dengan r unsur dari himpunan
dengan unsur n disebut kombinasi r unsur dari n yang dilambangkan
dengan, nCr, Cnr , atau C (n,r) dengan rumus:
Cnr =
n!
( n−r ) ! r !
, C = Kombinasi
Perbedaan antara permutasi dan kombinasi terletak pada masalah
“urutan atau kedudukan” penyusunan dari sekelompok objek. Dalam
permutasi masalah urutan atau kedudukan menjadi sangat penting,
sedangkan dalam kombinasi tidak mementingkan urutan atau kedudukan
dari sekelompok objek tersebut. Kombinasi adalah menggabungkan
beberapa objek dari suatu grup tanpa memperhatikan urutan. Di dalam
kombinasi, urutan tidak diperhatikan. {1,2,3} adalah sama dengan {2,3,1}
dan {3,1,2}.[1]
Contoh soal:
Berapa banyak cara sebuah panitia yang terdiri dari 4 orang
bisa dipilih dari 6 orang?
Jawab:
Karena panitia yang terdiri dari 4 orang merupakan susunan
yang tidak terurut, maka masalah ini merupakan kombinasi-4 dari 6
unsur yang tersedia, dimana n = 6 dan r = 4 diperoleh:
1[] Wirodikromo, S. 1996. Matematika. Jakarta: Erlangga. Hal. 260.
12
C64=
6!
6!
6.5
=
= =15
( 6−4 ) ! 4 ! 2 ! 4 ! 2
Jadi terdapat 15 cara untuk membentuk sebuah panitia yang
terdiri dari 4 orang bisa dipilih dari 6 orang.
a. Kombinasi pengulangan
Jika S adalah suatu himpunan yang memiliki 4 buah
anggota, maka kita dapat menghitung banyak semua himpunan
bagian yang beranggotakan 3 elemen dengan cara mendaftar semua
himpunan bagian tersebut atau dengan memakai kombinasi, C(4,
3). Karena C(4, 3) = 4, maka banyak semua anggota himpunan
bagian S yang
beranggotakan
3
elemen
ada
4
himpunan.
Misalkan S = (a, b, c, d), maka keempat himpunan bagian tersebut
adalah {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, dan {b, c, d}. Atau dengan kata
lain, kita memiliki 4 cara dalam memilih 3 dari 4 anggota
himpunan S tersebut tanpa memperhatikan urutan sedemikian
sehingga 3 anggota tersebut semuanya berbeda.
Akan tetapi, berapa cara yang dapat kita lakukan untuk
memilih
3
anggota
dari
himpunan
S
tersebut
tanpa
memperhitungkan urutan jika pengulangan diperbolehkan? Agar
mudah untuk membayangkannya, kita dapat menganggap anggotaanggota S tersebut sebagai kategori dari objek-objek yang akan kita
pilih. Misalkan, jika kategori-kategorinya dilabeli dengan a, b, c,
dan d dan tiga anggota dipilih, ada kemungkinan kita akan memilih
2 anggota dalam kategori a dan 1 anggota dari kategori d, atau tiga
anggota yang kita pilih semuanya masuk kategori b, atau tiga
anggota yang kita pilih masing-masing masuk dalam kategori a, c,
dan d. Secara berturut-turut kita dapat menotasikan pilihan-pilihan
tersebut sebagai [a, a, d], [b, b, b], dan [a, c, d]. Perhatikan bahwa,
karena urutan diabaikan maka [a, a, d] = [a, d, a] = [d, a, a]. [1]
Selanjutnya, perhatikan contoh berikut.
1[] Wirodikromo, S. 1996. Matematika. Jakarta: Erlangga. Hal. 261-263.
13
Contoh Soal:
Tulislah semua kombinasi-3 dari {a, b, c, d} sedemikian
sehingga pengulangan diperbolehkan.
Jawab:
Karena urutan dari anggota yang dipilih tidak
diperhatikan, maka sebaiknya kita menulis kombinasi-3 tersebut
dengan urutan menaik, untuk memastikan bahwa tidak adanya
kombinasi yang sama ditulis lebih dari satu kali.
[a, a, a], [a, a, b], [a, a, c], [a, a, d]
[a, b, b], [a, b, c], [a, b, d]
[a, c, c], [a, c, d], [a, d, d]
[b, b, b], [b, b, c], [b, b, d]
[b, c, c], [b, c, d], [b, d, d]
[c, c, c], [c, c, d], [c, d, d]
[d, d, d]
Jadi, terdapat 20 kombinasi-3 dari {a, b, c, d}
sedemikian sehingga pengulangan diperbolehkan.
Jadi, kombinasi dengan ulangan adalah himpunan
yang terdiri dari n buah unsur yang tiap anggotanya terdiri
dari r buah unsur dan unsur-unsur tersebut dapat pula
diulangi dengan tidak memperhatikan urutan. Dan diberi
simbol Crn .[1]
Contoh Soal:
Kombinasikan dengan ulangan unsur abcd
2/2
Jawab:
{aa, ab, ac, ad, bb, bc, bd, cc, cd, dd} atau
5!
=10
2! .3 !
Dengan demikian sama dengan kombinasi 5 unsur
C24=10=C24+2−1=C 25=
yang diambil 2/2. Dan pada umumnya berlaku bahwa:
(n+r −1)!
Crn =Crn +r−1=
r !( n+r−1−r )!
1[] Wirodikromo, S. 1996. Matematika. Jakarta: Erlangga. Hal. 263.
14
b. Kombinasi tanpa pengulangan
Ketika urutan tidak diperhatikan akan tetapi setiap objek
yang ada hanya bisa dipilih sekali maka jumlah kombinasi yang
ada adalah:
Dimana n adalah
jumlah
objek
yang
bisa
dipilih
dan r adalah jumlah yang harus dipilih.
Contoh:
Kamu mempunyai 5 pensil warna dengan warna
yang berbeda yaitu; merah, kuning, hijau, biru dan ungu.
Kamu ingin membawanya ke sekolah. Tapi kamu hanya
boleh membawa dua pensil warna. Ada berapa banyak cara
untuk mengkombinasikan pensil warna yang ada? Dengan
menggunakan rumus di atas maka diperoleh, = 10
kombinasi. Jadi,ada 10 kombinasi pensil yang dapat dibawa
ke sekolah.
c. Segitiga Pascal dan Binomium Newton
Jika kita ambil
(a + b)0 = 1
(a + b)1 = a + b
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b +3ab2 + b3
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
............ = ...............................................................
Dari perpangkatan tersebut diperoleh koefisiennya adalah:
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
......................................................................................................[1]
Selanjutnya barisan koefisien tersebut oleh Newton dianggap
sebagai barisan atau deret kombinasi yang beraturan, misalnya:
(a + b)2 = C02 a2b0 + C12 ab + C22 a0b2 = a2 + 2ab + b2
1[] Nasaruddin.2010.Aljabar Disertai Program Visual.Palopo: Lembaga Penerbitan STAIN (LPS).
Hal. 129.
15
(a + b)3 = C03 a3b0 + C13
a2b + C23
a2b2 + C33
a0b3 = a3 + 3a2b
+ 3ab2 + b3
n
∑ C rn
an-r br ; (Rumus Binomium Newton)
r =0
Contoh Soal:
Tentukan koefisien x9 dari perpangkatan (x2 + 3x)8
Jawab:
Suku umumnya dapat ditulis Cr8 (x2)8-r (3x)r
Dimana: 2(8-r)+r = 9, r = 7. Sehingga koefisiennya
adalah: C78
(x2) (3x)7 = 8.3x9 = 24x9.
D. Perpangakatan Suku Banyak
Bentuk
( a+b +c +d +… )n . Misalkan kita akan menghitung
banyaknya jenis dari perpangkatan
( a+b +c +d +e )n , maka untuk ini
harus hitung sebagai berikut :
Banyaknya jenis suku, ini adalah sebuah kombinasi dengan
ulangan yang terdiri dari 5 buah unsur yaitu a,b,c,d,e yang dikombinasikan
n/n dan boleh mengadakan ulangan dari unsur-unsur itu yang maksimun
banyaknya ulangan dari tiap-tiap unsur dalam sebuah kombinasi adalah n
buah, misalkan unsur a kita kombinasikan aaaa. . . .n buah menghasilkan
a
n
. Demikian pula unsur-unsur lainnya. Selanjutnya dapat pula
dikombinasikan n-1 buah unsur a dan misalnya sebuah unsur b yaitu
a
n−1
b, demikian seterusnya. Sehingga banyaknya macam unsur itu
adalah sebuah kombinasi dengan ulangan dari 5 unsur yang tiap-tiap
kombinasi terdiri dari n unsur dengan demikian didapat:
n
n
n
C
=C
+5-1 = C
+4
5
n
n
Sehingga jika pada perpangkatan ( a1 + a2 + a3 +. . . . . . .+
a
r
)n banyaknya jenis suku adalah:
n
n
C
=C
+r-1
r
n
Contoh Soal:
16
Tentukan
banyaknya
jenis
( a+b +c +d +e )17 adalah :
Jawab:
Banyaknya
jenis
suku
suku
dari
dari
( a+b +c +d +e )17 adalah :
17
17
17
C
= C
+5-1 = C
17
5
21
perpangkatan
perpangkatan
=
2!
17 ! 4 !
=
21.20 .19 .18
= 5985 buah jenis suku.
4.3.2
Untuk menghitung banyaknya faktor, maka ini adalah
sebuah variasi dengan ulangan atas n/n tiap variasi. Banyaknya
n
faktor dari perpangkatan : ( a1 + a2+ a3 +…+ ar ) adalah:
=
V
n
r
n
r .
Contoh Soal:
Tentukan
banyaknya
faktor
dari
perpangkat
( a+b +c +d )7 .
Jawab:
Banyaknya faktor dari perpangkat tersebut adalah
7
V
= 4 7 =16.384
4
Selanjutnya untuk menghitung koefisien dari a p b q ; ar bs c t d u
( a+b +c +d )n
dan seterusnya. Dari perpangkatan
maka kita peroleh
sebagai berikut, untuk ini adalah sebuah permutasi dari n buah unsur a ada
p buah unsur b ada q buah.
Dengan singkatan dapat ditulis:
a+b +c +d ¿n=∑ an + ∑
n! p q
n!
n!
a b +∑
ar bs c t + ∑
au bv c w d x
p!q !
r !s!t !
u! v!w ! x !
¿
Dimana p+q
= n;menghitung
r+s+t = n; u+v+w+x
n...+…+ … )n
Selanjutnya
untuk
( a+b +c=+d
a+b +c +d +…+ …+ ¿
¿
maka
; dimana p+q = n, r+s+t = n, dst.
¿
¿
17
Dengan singkatan dapat ditulis:
n
ar ¿ = ∑
n!
p1 p2 p3 p 4
pm
a 1 a 2 a3 a 4 … am
p 1 ! p2 ! … p m !
¿
Sedangakan
p1+banyak
p 2+ p3 +sukunya
p 4 +…+ adalah:
pm =n
Dimana
(m+
n−1)!
Cnm =C nm+n−1=
buah, dan banyaknya faktor adalah:
n !(m−1)!
V nm=mn buah.
Contoh:
Berapa banyak suku dan faktor dari perpangkatan
(a+b+c+d+e)5.
Jawab:
5! 4
5! 3 2
5!
a b+ ∑
a b +∑
a3 bc+ ∑
4!1!
3 ! 2!
3 ! 1! 1 !
2
( a+b +c +d +e )5=∑ a 5+ ∑
atau sebuah daftar sebagai berikut:
Banyaknya Suku
No
1
2
3
4
5
6
7
Banyaknya
Suku
a
5
Koefisien
1
5!
=5
a4b
4!
5!
=10
a3b2
3!2!
5!
=20
a3bc
3 ! 1 ! 1!
5!
=30
a2b2c
2 ! 2 ! 1!
5!
=60
a2bcd
2 ! 1 ! 1! 1 !
5!
=120
abcde
1 !1 ! 1!1 ! 1!
JUMLAH
(banyaknya
Banyaknya
bentuk dalam
Faktor
tanda Ʃ)
1
V 5=5
1 . 5 =5
2
5 . 20 =100
2
10 . 20 = 200
3
20 . 30 = 600
3
30 . 30 =900
4
60 . 20 = 1200
V 5=20
V 5=20
V 5=30
V 5=30
V 5 =20
5
V 5=1
5
C5 =126
120 . 1 =120
5
V 5=3125
18
Perpangkatan denga bentuk: (a + bx + cx2 + dx3 + ex4 + ...)n, untuk
menentukan banyak sukunya juga dipergunakan cara seperti di atas yaitu:
n!
a p b q c r d s et f u g v hw x q +2 r +3 s+ 4 t+ 5u +6 v+ 7 w
p!q!r ! s!t !u! v! w !
Dimana p+q+r+s+t+u+v+w = n, dan q+2r+3s+4t+5u+6v+7w = n
atau pada perpangkatan:
(a + ax + ax2 + ax3 + ... + anxn-1)n = (Ʃ ar xr-1)n
n!
a p a p a p … a p x p +2 p +3 p + 4 p +…+( r−1) p
p1 ! p2 ! p3 ! p4 ! … pn !
Dimana:
p1+ p 2+ p3 + …+ pr=n dan
p2+ 2 p3 +3 p4 + 4 p5 +…+ ( k−1 ) pk =r
(r adalah pangkat yang bersangkutan)[1]
=Ʃ
1
2
3
r
2
3
4
5
r
Contoh Soal:
Tentukan koefisien x6 dari perpangkatan: (1 + 3x + 5x2 +
7x3)5.
Jawab:
Suku umumnya adalah:
5!
1 p 3 q 5r 7 s X q +2 r+3 s
p!q!r ! s!
dimana: p+q+r+s = 5 dan q+2r+3s = 6.
Dengan satu daftar kita dapat harga-harga yang memenuhi
yaitu:
P
q
r
s
1
3
5
7
3
-
-
2
2
-
3
-
1
2
2
-
Koefisien
Pangkat
1[] Nasaruddin.2010.Aljabar Disertai Program Visual.Palopo: Lembaga Penerbitan STAIN (LPS).
Hal. 131-134.
19
0
4
1
-
Sehingga koefisien x6 adalah
5 ! 2 5! 3 5 ! 2 2 5! 4
7+
5+
3 5 + 3 5) x 6 = 1051 x6
= (
3!2!
2!3!
2 ! 2!
4!
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan di atas dapat disimpulkan bahwa:
1. Permutasi adalah himpunana dari n buah unsur yang tiap
kelompok terdiri dari n buah unsur pula dimana dalam tiap
kelompok tersebut tidak boleh ada unsur yang sama.
2. Permutasi terdiri atas:
a. Notasi Faktorial
n! = n(n-1)!
b. Permutasi dengan beberapa unsur berbeda
n
Pr =
n!
( n−r ) !
c. Permutasi dengan beberapa unsur yang sama
20
P=
n!
k ! l! … m!
d. Permutasi siklis
P=( n−1 ) !
3. Variasi adalah himpunan n buah unsur yang tiap
kelompok terdiri dari r buah unsur dimana r < n dengan
memperhatikan urutan dan unsur dalam tiap kelompok
tidak ada yang sama.
n!
r
Vn =
Rumus Variasi
( n−r ) !
4. Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak
memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari
suatu himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan
bagiannya dengan untuk r ≤n .
Cnr =
n!
( n−r ) ! r !
, C = Kombinasi
5. Kombinasi terdiri atas:
a. Kombinasi pengulangan
(n+r −1)!
r !( n+r−1−r )!
b. Kombinasi tanpa pengulangan
Crn =Crn +r−1=
Cnr =
n!
( n−r ) ! r !
c. Segitiga Pascal dan Binomium Newton
n
∑ C rn
an-r br ; (Rumus Binomium Newton)
r =0
6. Perpangkatan suku banyak adalah sebuah kombinasi
dengan ulangan yang terdiri dari 5 buah unsur yaitu
a,b,c,d,e yang dikombinasikan n/n dan boleh mengadakan
ulangan dari unsur-unsur itu yang maksimun banyaknya
ulangan dari tiap-tiap unsur dalam sebuah kombinasi adalah
21
n buah, misalkan unsur a kita kombinasikan aaaa. . . .n buah
menghasilkan an .
n
n
C
=C
+r-1 (banyaknya jenis suku)
r
n
Cnm =C nm+n−1=
(m+ n−1)!
n !(m−1)!
n
= rn
r
V nm=mn
V
(banyaknya faktor perpangkatan)
B. Saran
Penulis sarankan kepada pembaca agar mempelajari dan memahami
materi perpangkatan suku banyak yang disetai dengan pemecahan soalsoal yang berhubungan dengan materi perpangkatan suku banyak.
22
DAFTAR PUSTAKA
Wirodikromo, S. 1996. Matematika. Jakarta: Erlangga
Hudoyo Herman.1996/1997. Matematika:Depdikbud.
Alimuddin. 2013. Kuasai Dasar-dasar Matematika SMA/MA.Jakarta:PT
Gramedia Widiasarana Indonesia.
Nasaruddin.2010.Aljabar Disertai Program Visual.Palopo: Lembaga Penerbitan
STAIN (LPS).
23
LEMBAR PERTANYAAN
Kelompok 7:
Jelaskan kembali seluruh materi yang Anda paparkan secara
terperinci beserta pembuktian dan contohnya!
Jawaban:
(Materi telah dijelaskan secara terperinci yang dilengkapi dengan
pembuktian dan contoh)
Penjelasan tertulis sebagai berikut:
1. Untuk materi Notasi Faktorial dapat dilihat pengertian yang dilengkapi
dengan rumus dan contoh yang sangat jelas pada halaman 3-4.
2. Untuk materi Permutasi r unsur berbeda dari n unsur (permutasi dengan
unsur berbeda) dapat dilihat pengertian yang dilengkapi dengan rumus dan
contoh yang sangat jelas pada halaman 4-5.
3. Untuk materi Permutasi dengan beberapa unsur sama dapat dilihat
pengertian yang dilengkapi dengan rumus dan contoh yang sangat jelas
pada halaman 5-7.
4. Untuk materi Permutasi dengan ulangan dapat dilihat pengertian yang
dilengkapi dengan rumus dan contoh yang sangat jelas pada halaman 7.
24
5. Untuk materi Permutasi siklis dapat dilihat pengertian yang dilengkapi
dengan rumus dan contoh yang sangat jelas pada halaman 7-9.
6. Untuk materi Permutasi siklis dapat dilihat pengertian yang dilengkapi
dengan rumus dan contoh yang sangat jelas pada halaman 7-9.
7. Untuk materi Variasi dapat dilihat pengertian yang dilengkapi dengan
rumus dan contoh yang sangat jelas pada halaman 10-11.
8. Untuk materi Variasi dengan ulangan dapat dilihat pengertian yang
dilengkapi dengan rumus dan contoh yang sangat jelas pada halaman 1112.
9. Untuk materi Kombinasi dapat dilihat pengertian yang dilengkapi dengan
rumus dan contoh yang sangat jelas pada halaman 12-13.
10. Untuk materi Kombinasi pengulangan dapat dilihat pengertian yang
dilengkapi dengan rumus dan contoh yang sangat jelas pada halaman 1315.
11. Untuk materi Kombinasi tanpa pengulangan dapat dilihat pengertian yang
dilengkapi dengan rumus dan contoh yang sangat jelas pada halaman 1516.
12. Untuk materi Perpangkatan suku banyak dapat dilihat pengertian yang
dilengkapi dengan rumus dan contoh yang sangat jelas pada halaman 1718.
25
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Seringkali kita dihadapkan pada hal-hal yang berhubungan dengan
urutan, susunan, dan yang sejenisnya. Seperti penyusunan tempat duduk
berdasarkan jabatan, pasangan pakaian yang akan dipakai, ataupun urutan
nomor untuk plat kendaraan. Jika ditelaah lebih dalam, sebenarnya hal-hal
yang amat dekat dengan kita ini bisa dicari problem solving-nya secara
matematis. Maka muncullah teori peluang, di antaranya mengenai
permutasi dan kombinasi untuk memudahkan kita jika sewaktu-waktu
dihadapkan dengan permasalahan peluang di dalam keseharian kita.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka rumusan masalah yang
diangkat pada pembuatan makalah ini adalah sebagai berikut:
1. Apa yang dimaksud dengan permutasi dan bagaimana cara
menghitung nilai-nilai permutasi suatu peristiwa?
2. Apa yang dimaksud dengan variasi dan bagaimana cara
menghitung nilai-nilai variasi suatu peristiwa?
3. Apa yang dimaksud dengan kombinasi dan bagaimana cara
menghitung nilai-nilai kombinasi suatu peristiwa?
4. Apa yang dimaksud dengan Perpangkatan Suku Banyak dan
bagaimana cara mengitung nilai-nilai perpangkatan suku
banyak suatu peristiwa?
1
C. Tujuan
Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan dari pembuatan
makalah ini adalah sebagai berikut:
1. Mengetahui pengertian permutasi dan cara menghitung nilainilai permutasi suatu peristiwa.
2. Mengetahui pengertian variasi dan cara menghitung nilainilai variasi suatu peristiwa.
3. Mengetahui pengertian kombinasi dan cara menghitung nilainilai kombinasi suatu peristiwa.
4. Mengetahui pengertian perpangkatan suku banyak dan cara
menghitung nilai-nilai perpangakatan suku banyak suatu
peristiwa.
2
BAB II
PEMBAHASAN
A. Permutasi
Permutasi adalah himpunana dari n buah unsur yang tiap kelompok
terdiri dari n buah unsur pula dimana dalam tiap kelompok tersebut tidak
boleh ada unsur yang sama. Dengan kata lain, permutasi adalah susunan
unsur-unsur dengan memperhatikan urutan tertentu. Misalnya susunan AB
≠ BA. Permutasi terdiri atas:
a. Notasi faktorial
Faktorial adalah hasil kali bilangan asli berurutan dari 1
sampai dengan n.
Faktorial dari bilangan asli n adalah hasil perkalian antara
bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan n.
Faktorial ditulis sebagai n! dan disebut n faktorial, tanda (!)
disebut dengan notasi faktorial.
Sehingga kita dapat menarik kesimpulan bahwa:
Jika n bilangan asli maka n faktorial (n!) didefinisikan
dengan n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x .... x 3 x 2 x 1
Dari definisi itu, maka kita juga memeroleh:
n! = n(n-1)!
Nilai dari 1! = 1. Oleh karena itu, untuk n = 1, diperoleh:
1! = 1(1-1)!
1! = 1
Jadi, untuk 0! bernilai 1. 0! = 1
Sebagai contoh, 7! bernilai 7×6×5×4×3×2×1 = 5040. [1]
Berikut ini adalah daftar sejumlah faktorial:
0! = 1
1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
1[] Alimuddin. 2013. Kuasai Dasar-dasar Matematika SMA/MA.Jakarta:PT. Gramedia
Widiasarana Indonesia. Hal 171.
3
5! = 120
6! = 720
7! = 5040
8! = 40320
9! = 362880
10! = 3628800
11! = 39916800
12! = 479001600 [1]
b. Permutasi r unsur berbeda dari n unsur (permutasi dengan
unsur berbeda)
Permutasi r unsur dari n unsur r ≤n , adalah
semua urutan yang berbeda yang mungkin dari r unsur yang
diambil dari n unsur yang berbeda. Banyak permutasi r
unsur dari n unsur ditulis nPr,
Nilai dari
Pnr =
Pnr , P(n,r).
n!
( n−r ) !
, P = permutasi.[2]
Contoh :
Terdapat 6 Mahasiswa yang memenuhi syarat dan
bersedia menjadi pengurus Himpunan Mahasiswa Jurusan
(HMJ). Jika pengurus HMJ itu terdiri dari ketua, wakil
ketua, sekretaris, dan bendahara. Ada berapa macam
susunan pengurus yang mungkin di bentuk?
Jawab :
Persoalan ini termasuk dalam persoalan mencari
banyak susunan terdiri dari 4 benda yang diambil dari 6
benda. Jadi kita hendak mencari
6
P4 .
6
P4 = 6.5.4.3 =
360.
Berikut ini adalah penjelasannya. Ada 6 mahasiswa
yang bisa dipilih menjadi ketua. Seandainya ketua telah
dipilah, maka 5 pilihan untuk wakil ketua. Jika ketua dan
1[] Hudoyo Herman. 1996/1997.Matematika. : Depdikbud
2[] Wirodikromo, S. 1996. Matematika. Jakarta: Erlangga. Hal. 253.
4
wakil ketua telah terpilih, maka ada 4 pilihan untuk
sekretaris. Jika ketua, wakil ketua, dan sekretaris telah
dipilih, maka tinggal 3 mahasiswa yang bisa dipilih untuk
bendahara. Jadi banyaknya susunan pengurus yang
mungkin 6.5.4.3 = 360 atau dapat diubah menjadi
bentuk faktorial sebagai berikut:
P64 =
6!
( 6 !−4 ! )
¿
6!
2!
¿
6 × 5× 4 ×3 ×2 !
2!
¿ 6 ×5 × 4 ×3
¿ 360
c. Permutasi dengan beberapa unsur sama
Dengan berapa cara kata yang terdiri dari huruf A,
B, dan A dapat disusun? Susunan kata itu adalah ABA,
AAB, dan BAA, yaitu ada 3 cara. Bila digunakan rumus
permutasi, akan diperoleh 3P3 = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 kata
yang dapat dibuat dari huruf A, B, dan A. Mengapa
demikian? Karena pada permutasi, dua huruf A tersebut
dibedakan. Sehingga diperoleh susunan-susunan kata
sebagai berikut: A1BA2, A2BA1, A1A2B, A2A1B, BA1A2, dan
BA2A1.[1]
Pada kenyataannya huruf A tidak dibedakan, berarti
ada dua susunan yang sama yaitu permutasi A1A2 yang
seharusnya dihitung satu kali. Sehingga untuk menghitung
banyaknya susunan yang dapat dibuat dari n objek dengan
beberapa objek yang sama adalah nPn dibagi dengan
faktorial dari jumlah objek-objek yang sama.
Lebih lanjut dapat simpulkan sebagai berikut:
1[] Wirodikromo, S. 1996. Matematika. Jakarta: Erlangga. Hal. 254.
5
1. Banyaknya permutasi dari n objek
dengan x objek sama (x ≤ n) adalah
2. Banyaknya permutasi yang terdiri
dari n objek yang dipilih dari n objek di
mana ada beberapa objek sama, misalnya
ada m1 objek yang sama, ada m2 objek yang
sama, serta m3 objek yang sama, dan
seterusnya adalah
Contoh soal:
Berapa banyak cara dapat dibentuk dari
huruf-huruf:
1. AKSARA
2. CACAH
Pembahasan contoh soal:
1. Perhatikan bahwa pada huruf-huruf
AKSARA terdiri dari 6 huruf dengan satu
jenis huruf yang sama, yaitu A, yang
berjumlah 3. Sehingga banyaknya permutasi
yang dapat disusun ada sebanyak 6!/3! = 120
cara.
2. Pada huruf-huruf CACAH terdiri dari 5
huruf dengan dua jenis huruf yang sama,
yaitu C dan A, yang masing-masing
berjumlah 2. Sehingga banyaknya permutasi
yang dapat disusun ada sebanyak 5!/(2! × 2!)
= 30 cara.
6
d. Permutasi dengan ulangan
Permutasi dengan ulangan adalah himpunan n buah
unsur yang setiap kelompok terdiri dari n unsur pula, serta
memperhatikan urutannya dan unsur-unsur dalam tiap
kelompok dapat berulang, yang diberi simbol dengan (Pn)
dibaca: “Permutasi dengan langan dari n unsur”.[1]
Contoh Soal:
Tentukan permutasi dengan ulangan dari
unsur abc.
Jawab:
{aaa, aab, aac, aba, abb, abc, aca, acb, acc,
baa, bab, bac, bba, bbb, bbc, bca, bcb, bcc, caa, cab,
cac, cba, cbb, cbc, cca, ccb, ccc}
atau
n
Pn=n
e. Permutasi siklis
Permutasi siklis adalah susunan yang berbentuk
lingkaran dari n unsur. Misalnya A, B, dan C disusun
melingkar.
Jika kita pandang urutan itu searah jarum jam maka
susunan ABC, CAB, dan BCA adalah sama. Sehingga
banyaknya permutasi siklis dari 3 objek adalah 3!/3 = (3 ×
2!)/3 = 2! = 2. Jadi, akan dihasilkan 2 susunan yang
berbeda secara siklis dari huruf-huruf A, B, dan C, yaitu
ABC dan ACB.
1[] Nasaruddin.2010.Aljabar Disertai Program Visual.Palopo: Lembaga Penerbitan STAIN (LPS).
Hal. 121.
7
Andaikan sekarang kita mempunyai 4 objek yang
akan disusun secara siklis.
Keempat gambar di atas menunjukkan permutasi
yang sama. Sehingga banyaknya permutasi siklis dari 4
objek adalah 4!/4 = (4 × 3!)/4 = 3! = 6. Jadi, akan
dihasilkan 6 susunan yang berbeda secara siklis dari hurufhuruf A, B, C, dan D.
Dari kedua contoh diatas dapat disimpulkan bahwa,
banyaknya permutasi siklis dari n objek dapat dinyatakan
dengan (n – 1)![1]
P=( n−1 ) !
Untuk lebih memahami mengenai permutasi siklis,
khususnya dalam pemecahan masalah, perhatikan contoh
soal berikut ini.
Contoh Soal:
Dalam sebuah keluarga yang terdiri dari seorang
ayah, seorang ibu, dan 3 orang anaknya makan bersama dan
mengelilingi sebuah meja makan. Berapa banyaknya cara
yang berlainan saat mereka dapat duduk, jika:
1. Mereka berpindah-pindah tempat.
2. Ayah dan Ibu selalu berdekatan.
Pembahasan Contoh Soal:
1. Banyaknya anggota keluarga adalah 5 orang
(seorang ayah, seorang ibu, dan 3 orang
anak). Sehingga, banyaknya cara yang
1[] Hudoyo Herman. 1996/1997.Matematika. : Depdikbud.
8
berlainan saat mereka duduk berpindahpindah tempat adalah (5 – 1)! = 4! = 24 cara.
2. Perhatikan gambar berikut.
Ayah dan ibu selalu berdampingan, sehingga
pasangan ini dapat kita anggap satu.
Sehingga terdapat 4 objek yang akan disusun
secara siklis. Akan tetapi pasangan ayah dan
ibu dapat disusun kembali menjadi 2P2 cara.
Sehingga banyaknya susunan agar ayah dan
ibu selalu berdekatan adalah (4 – 1)! × 2P2
= 3! × 2! = 12 cara.
B. Variasi
Variasi adalah himpunan n buah unsur yang tiap kelompok terdiri
dari r buah unsur dimana r < n dengan memperhatikan urutan dan unsur
dalam tiap kelompok tidak ada yang sama. Dan dilambangkan dengan :
r
V n dibaca “variasi r buah dari n unsur”.
r adalah banyaknya unsur dari tiap kelompok.
n adalah banyaknya unsur yang divariasikan. [1]
Contoh Soal 1:
Tentukan variasi 2/2 (dibaca dua dua) dari unsur a b c d
1[] Nasaruddin.2010.Aljabar Disertai Program Visual.Palopo: Lembaga Penerbitan STAIN (LPS).
Hal. 123-124.
9
Jawab:
Banyaknya variasi 2/2dari unsur abcd adalah {ab, ac, ad, ba,
bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc} atau di peroleh dengan cara:
Untuk r = 2 dan n = 4, diperoleh : V 24
= 4 (4-1) = 12
Contoh Soal 2:
Tentukan variasi 2/2 dari n unsur .
Jawab:
Misalkan unsur 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . . . . n maka didapatkan
sebagai berikut:
Sehingga banyaknya kelompok adalah : V 2n = n (n – 1)
Demikian pula untuk V 3n = n ( n -1) (n – 2)
4
V n = n (n – 1) (n – 2) (n – 3)
.
.
.
r
V n = n (n – 1) (n – 2) (n – 3) . . . ( n – r – 1), dan jika
n! = 1.2.3. . . . ( n – 1 ) n, maka
10
r
Vn =
V rn
n ( n−1 ) ( n−2 ) … ( n−r−1 )( n−r +1 ) … 3.2.1
( n−r )( n−r +1 ) … 3.2.1
n!
= ( n−r ) !
Rumus Variasi[1]
Contoh soal 1 di atas jika kita gunakan rumus variasi di peroleh :
4!
= 4 . 3 = 12
V 24 =
2!
Variasi Dengan Ulangan
Variasi dengan ulangan adalah himpunan yang diambil
dari n buah unsur yang tiap kelompok terdiri dari r buah unsur
dimana urutan di perhatikan serta unsur dari tiap-tiap anggotnya
dapat diulang; dengan simbol:
r
Vn
dibaca “ variasi dengan
ulangan r unsur yang diambil dari n buah unsur “.[2]
Contoh Soal 1:
Tentukan banyaknya variasi dengan ulangan dari
unsur-unsur abcd yang di pariasikan 2 unsur.
Jawab:
n = 4,
r=2
r
4
V n = V 2 = 52 = 25
Contoh Soal 2:
Tentukan banyaknya variasi dengan ulangan dari
unsur-unsur pqr yang divariaskan 2 unsur.
Jawab:
n=3,k=2
Dapat selesaikan dengan cara seperti berikut:
1[]Nasaruddin.2010.Aljabar Disertai Program Visual.Palopo: Lembaga Penerbitan STAIN (LPS).
Hal. 124-125.
2[]Nasaruddin.2010.Aljabar Disertai Program Visual.Palopo: Lembaga Penerbitan STAIN (LPS).
Hal. 125-126.
11
Jadi banyaknya susunan ada 9 pasang.
C. Kombinasi
Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak
memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu
himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan
untuk r ≤n . Setiap himpunan bagian dengan r unsur dari himpunan
dengan unsur n disebut kombinasi r unsur dari n yang dilambangkan
dengan, nCr, Cnr , atau C (n,r) dengan rumus:
Cnr =
n!
( n−r ) ! r !
, C = Kombinasi
Perbedaan antara permutasi dan kombinasi terletak pada masalah
“urutan atau kedudukan” penyusunan dari sekelompok objek. Dalam
permutasi masalah urutan atau kedudukan menjadi sangat penting,
sedangkan dalam kombinasi tidak mementingkan urutan atau kedudukan
dari sekelompok objek tersebut. Kombinasi adalah menggabungkan
beberapa objek dari suatu grup tanpa memperhatikan urutan. Di dalam
kombinasi, urutan tidak diperhatikan. {1,2,3} adalah sama dengan {2,3,1}
dan {3,1,2}.[1]
Contoh soal:
Berapa banyak cara sebuah panitia yang terdiri dari 4 orang
bisa dipilih dari 6 orang?
Jawab:
Karena panitia yang terdiri dari 4 orang merupakan susunan
yang tidak terurut, maka masalah ini merupakan kombinasi-4 dari 6
unsur yang tersedia, dimana n = 6 dan r = 4 diperoleh:
1[] Wirodikromo, S. 1996. Matematika. Jakarta: Erlangga. Hal. 260.
12
C64=
6!
6!
6.5
=
= =15
( 6−4 ) ! 4 ! 2 ! 4 ! 2
Jadi terdapat 15 cara untuk membentuk sebuah panitia yang
terdiri dari 4 orang bisa dipilih dari 6 orang.
a. Kombinasi pengulangan
Jika S adalah suatu himpunan yang memiliki 4 buah
anggota, maka kita dapat menghitung banyak semua himpunan
bagian yang beranggotakan 3 elemen dengan cara mendaftar semua
himpunan bagian tersebut atau dengan memakai kombinasi, C(4,
3). Karena C(4, 3) = 4, maka banyak semua anggota himpunan
bagian S yang
beranggotakan
3
elemen
ada
4
himpunan.
Misalkan S = (a, b, c, d), maka keempat himpunan bagian tersebut
adalah {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, dan {b, c, d}. Atau dengan kata
lain, kita memiliki 4 cara dalam memilih 3 dari 4 anggota
himpunan S tersebut tanpa memperhatikan urutan sedemikian
sehingga 3 anggota tersebut semuanya berbeda.
Akan tetapi, berapa cara yang dapat kita lakukan untuk
memilih
3
anggota
dari
himpunan
S
tersebut
tanpa
memperhitungkan urutan jika pengulangan diperbolehkan? Agar
mudah untuk membayangkannya, kita dapat menganggap anggotaanggota S tersebut sebagai kategori dari objek-objek yang akan kita
pilih. Misalkan, jika kategori-kategorinya dilabeli dengan a, b, c,
dan d dan tiga anggota dipilih, ada kemungkinan kita akan memilih
2 anggota dalam kategori a dan 1 anggota dari kategori d, atau tiga
anggota yang kita pilih semuanya masuk kategori b, atau tiga
anggota yang kita pilih masing-masing masuk dalam kategori a, c,
dan d. Secara berturut-turut kita dapat menotasikan pilihan-pilihan
tersebut sebagai [a, a, d], [b, b, b], dan [a, c, d]. Perhatikan bahwa,
karena urutan diabaikan maka [a, a, d] = [a, d, a] = [d, a, a]. [1]
Selanjutnya, perhatikan contoh berikut.
1[] Wirodikromo, S. 1996. Matematika. Jakarta: Erlangga. Hal. 261-263.
13
Contoh Soal:
Tulislah semua kombinasi-3 dari {a, b, c, d} sedemikian
sehingga pengulangan diperbolehkan.
Jawab:
Karena urutan dari anggota yang dipilih tidak
diperhatikan, maka sebaiknya kita menulis kombinasi-3 tersebut
dengan urutan menaik, untuk memastikan bahwa tidak adanya
kombinasi yang sama ditulis lebih dari satu kali.
[a, a, a], [a, a, b], [a, a, c], [a, a, d]
[a, b, b], [a, b, c], [a, b, d]
[a, c, c], [a, c, d], [a, d, d]
[b, b, b], [b, b, c], [b, b, d]
[b, c, c], [b, c, d], [b, d, d]
[c, c, c], [c, c, d], [c, d, d]
[d, d, d]
Jadi, terdapat 20 kombinasi-3 dari {a, b, c, d}
sedemikian sehingga pengulangan diperbolehkan.
Jadi, kombinasi dengan ulangan adalah himpunan
yang terdiri dari n buah unsur yang tiap anggotanya terdiri
dari r buah unsur dan unsur-unsur tersebut dapat pula
diulangi dengan tidak memperhatikan urutan. Dan diberi
simbol Crn .[1]
Contoh Soal:
Kombinasikan dengan ulangan unsur abcd
2/2
Jawab:
{aa, ab, ac, ad, bb, bc, bd, cc, cd, dd} atau
5!
=10
2! .3 !
Dengan demikian sama dengan kombinasi 5 unsur
C24=10=C24+2−1=C 25=
yang diambil 2/2. Dan pada umumnya berlaku bahwa:
(n+r −1)!
Crn =Crn +r−1=
r !( n+r−1−r )!
1[] Wirodikromo, S. 1996. Matematika. Jakarta: Erlangga. Hal. 263.
14
b. Kombinasi tanpa pengulangan
Ketika urutan tidak diperhatikan akan tetapi setiap objek
yang ada hanya bisa dipilih sekali maka jumlah kombinasi yang
ada adalah:
Dimana n adalah
jumlah
objek
yang
bisa
dipilih
dan r adalah jumlah yang harus dipilih.
Contoh:
Kamu mempunyai 5 pensil warna dengan warna
yang berbeda yaitu; merah, kuning, hijau, biru dan ungu.
Kamu ingin membawanya ke sekolah. Tapi kamu hanya
boleh membawa dua pensil warna. Ada berapa banyak cara
untuk mengkombinasikan pensil warna yang ada? Dengan
menggunakan rumus di atas maka diperoleh, = 10
kombinasi. Jadi,ada 10 kombinasi pensil yang dapat dibawa
ke sekolah.
c. Segitiga Pascal dan Binomium Newton
Jika kita ambil
(a + b)0 = 1
(a + b)1 = a + b
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b +3ab2 + b3
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
............ = ...............................................................
Dari perpangkatan tersebut diperoleh koefisiennya adalah:
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
......................................................................................................[1]
Selanjutnya barisan koefisien tersebut oleh Newton dianggap
sebagai barisan atau deret kombinasi yang beraturan, misalnya:
(a + b)2 = C02 a2b0 + C12 ab + C22 a0b2 = a2 + 2ab + b2
1[] Nasaruddin.2010.Aljabar Disertai Program Visual.Palopo: Lembaga Penerbitan STAIN (LPS).
Hal. 129.
15
(a + b)3 = C03 a3b0 + C13
a2b + C23
a2b2 + C33
a0b3 = a3 + 3a2b
+ 3ab2 + b3
n
∑ C rn
an-r br ; (Rumus Binomium Newton)
r =0
Contoh Soal:
Tentukan koefisien x9 dari perpangkatan (x2 + 3x)8
Jawab:
Suku umumnya dapat ditulis Cr8 (x2)8-r (3x)r
Dimana: 2(8-r)+r = 9, r = 7. Sehingga koefisiennya
adalah: C78
(x2) (3x)7 = 8.3x9 = 24x9.
D. Perpangakatan Suku Banyak
Bentuk
( a+b +c +d +… )n . Misalkan kita akan menghitung
banyaknya jenis dari perpangkatan
( a+b +c +d +e )n , maka untuk ini
harus hitung sebagai berikut :
Banyaknya jenis suku, ini adalah sebuah kombinasi dengan
ulangan yang terdiri dari 5 buah unsur yaitu a,b,c,d,e yang dikombinasikan
n/n dan boleh mengadakan ulangan dari unsur-unsur itu yang maksimun
banyaknya ulangan dari tiap-tiap unsur dalam sebuah kombinasi adalah n
buah, misalkan unsur a kita kombinasikan aaaa. . . .n buah menghasilkan
a
n
. Demikian pula unsur-unsur lainnya. Selanjutnya dapat pula
dikombinasikan n-1 buah unsur a dan misalnya sebuah unsur b yaitu
a
n−1
b, demikian seterusnya. Sehingga banyaknya macam unsur itu
adalah sebuah kombinasi dengan ulangan dari 5 unsur yang tiap-tiap
kombinasi terdiri dari n unsur dengan demikian didapat:
n
n
n
C
=C
+5-1 = C
+4
5
n
n
Sehingga jika pada perpangkatan ( a1 + a2 + a3 +. . . . . . .+
a
r
)n banyaknya jenis suku adalah:
n
n
C
=C
+r-1
r
n
Contoh Soal:
16
Tentukan
banyaknya
jenis
( a+b +c +d +e )17 adalah :
Jawab:
Banyaknya
jenis
suku
suku
dari
dari
( a+b +c +d +e )17 adalah :
17
17
17
C
= C
+5-1 = C
17
5
21
perpangkatan
perpangkatan
=
2!
17 ! 4 !
=
21.20 .19 .18
= 5985 buah jenis suku.
4.3.2
Untuk menghitung banyaknya faktor, maka ini adalah
sebuah variasi dengan ulangan atas n/n tiap variasi. Banyaknya
n
faktor dari perpangkatan : ( a1 + a2+ a3 +…+ ar ) adalah:
=
V
n
r
n
r .
Contoh Soal:
Tentukan
banyaknya
faktor
dari
perpangkat
( a+b +c +d )7 .
Jawab:
Banyaknya faktor dari perpangkat tersebut adalah
7
V
= 4 7 =16.384
4
Selanjutnya untuk menghitung koefisien dari a p b q ; ar bs c t d u
( a+b +c +d )n
dan seterusnya. Dari perpangkatan
maka kita peroleh
sebagai berikut, untuk ini adalah sebuah permutasi dari n buah unsur a ada
p buah unsur b ada q buah.
Dengan singkatan dapat ditulis:
a+b +c +d ¿n=∑ an + ∑
n! p q
n!
n!
a b +∑
ar bs c t + ∑
au bv c w d x
p!q !
r !s!t !
u! v!w ! x !
¿
Dimana p+q
= n;menghitung
r+s+t = n; u+v+w+x
n...+…+ … )n
Selanjutnya
untuk
( a+b +c=+d
a+b +c +d +…+ …+ ¿
¿
maka
; dimana p+q = n, r+s+t = n, dst.
¿
¿
17
Dengan singkatan dapat ditulis:
n
ar ¿ = ∑
n!
p1 p2 p3 p 4
pm
a 1 a 2 a3 a 4 … am
p 1 ! p2 ! … p m !
¿
Sedangakan
p1+banyak
p 2+ p3 +sukunya
p 4 +…+ adalah:
pm =n
Dimana
(m+
n−1)!
Cnm =C nm+n−1=
buah, dan banyaknya faktor adalah:
n !(m−1)!
V nm=mn buah.
Contoh:
Berapa banyak suku dan faktor dari perpangkatan
(a+b+c+d+e)5.
Jawab:
5! 4
5! 3 2
5!
a b+ ∑
a b +∑
a3 bc+ ∑
4!1!
3 ! 2!
3 ! 1! 1 !
2
( a+b +c +d +e )5=∑ a 5+ ∑
atau sebuah daftar sebagai berikut:
Banyaknya Suku
No
1
2
3
4
5
6
7
Banyaknya
Suku
a
5
Koefisien
1
5!
=5
a4b
4!
5!
=10
a3b2
3!2!
5!
=20
a3bc
3 ! 1 ! 1!
5!
=30
a2b2c
2 ! 2 ! 1!
5!
=60
a2bcd
2 ! 1 ! 1! 1 !
5!
=120
abcde
1 !1 ! 1!1 ! 1!
JUMLAH
(banyaknya
Banyaknya
bentuk dalam
Faktor
tanda Ʃ)
1
V 5=5
1 . 5 =5
2
5 . 20 =100
2
10 . 20 = 200
3
20 . 30 = 600
3
30 . 30 =900
4
60 . 20 = 1200
V 5=20
V 5=20
V 5=30
V 5=30
V 5 =20
5
V 5=1
5
C5 =126
120 . 1 =120
5
V 5=3125
18
Perpangkatan denga bentuk: (a + bx + cx2 + dx3 + ex4 + ...)n, untuk
menentukan banyak sukunya juga dipergunakan cara seperti di atas yaitu:
n!
a p b q c r d s et f u g v hw x q +2 r +3 s+ 4 t+ 5u +6 v+ 7 w
p!q!r ! s!t !u! v! w !
Dimana p+q+r+s+t+u+v+w = n, dan q+2r+3s+4t+5u+6v+7w = n
atau pada perpangkatan:
(a + ax + ax2 + ax3 + ... + anxn-1)n = (Ʃ ar xr-1)n
n!
a p a p a p … a p x p +2 p +3 p + 4 p +…+( r−1) p
p1 ! p2 ! p3 ! p4 ! … pn !
Dimana:
p1+ p 2+ p3 + …+ pr=n dan
p2+ 2 p3 +3 p4 + 4 p5 +…+ ( k−1 ) pk =r
(r adalah pangkat yang bersangkutan)[1]
=Ʃ
1
2
3
r
2
3
4
5
r
Contoh Soal:
Tentukan koefisien x6 dari perpangkatan: (1 + 3x + 5x2 +
7x3)5.
Jawab:
Suku umumnya adalah:
5!
1 p 3 q 5r 7 s X q +2 r+3 s
p!q!r ! s!
dimana: p+q+r+s = 5 dan q+2r+3s = 6.
Dengan satu daftar kita dapat harga-harga yang memenuhi
yaitu:
P
q
r
s
1
3
5
7
3
-
-
2
2
-
3
-
1
2
2
-
Koefisien
Pangkat
1[] Nasaruddin.2010.Aljabar Disertai Program Visual.Palopo: Lembaga Penerbitan STAIN (LPS).
Hal. 131-134.
19
0
4
1
-
Sehingga koefisien x6 adalah
5 ! 2 5! 3 5 ! 2 2 5! 4
7+
5+
3 5 + 3 5) x 6 = 1051 x6
= (
3!2!
2!3!
2 ! 2!
4!
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan di atas dapat disimpulkan bahwa:
1. Permutasi adalah himpunana dari n buah unsur yang tiap
kelompok terdiri dari n buah unsur pula dimana dalam tiap
kelompok tersebut tidak boleh ada unsur yang sama.
2. Permutasi terdiri atas:
a. Notasi Faktorial
n! = n(n-1)!
b. Permutasi dengan beberapa unsur berbeda
n
Pr =
n!
( n−r ) !
c. Permutasi dengan beberapa unsur yang sama
20
P=
n!
k ! l! … m!
d. Permutasi siklis
P=( n−1 ) !
3. Variasi adalah himpunan n buah unsur yang tiap
kelompok terdiri dari r buah unsur dimana r < n dengan
memperhatikan urutan dan unsur dalam tiap kelompok
tidak ada yang sama.
n!
r
Vn =
Rumus Variasi
( n−r ) !
4. Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak
memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari
suatu himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan
bagiannya dengan untuk r ≤n .
Cnr =
n!
( n−r ) ! r !
, C = Kombinasi
5. Kombinasi terdiri atas:
a. Kombinasi pengulangan
(n+r −1)!
r !( n+r−1−r )!
b. Kombinasi tanpa pengulangan
Crn =Crn +r−1=
Cnr =
n!
( n−r ) ! r !
c. Segitiga Pascal dan Binomium Newton
n
∑ C rn
an-r br ; (Rumus Binomium Newton)
r =0
6. Perpangkatan suku banyak adalah sebuah kombinasi
dengan ulangan yang terdiri dari 5 buah unsur yaitu
a,b,c,d,e yang dikombinasikan n/n dan boleh mengadakan
ulangan dari unsur-unsur itu yang maksimun banyaknya
ulangan dari tiap-tiap unsur dalam sebuah kombinasi adalah
21
n buah, misalkan unsur a kita kombinasikan aaaa. . . .n buah
menghasilkan an .
n
n
C
=C
+r-1 (banyaknya jenis suku)
r
n
Cnm =C nm+n−1=
(m+ n−1)!
n !(m−1)!
n
= rn
r
V nm=mn
V
(banyaknya faktor perpangkatan)
B. Saran
Penulis sarankan kepada pembaca agar mempelajari dan memahami
materi perpangkatan suku banyak yang disetai dengan pemecahan soalsoal yang berhubungan dengan materi perpangkatan suku banyak.
22
DAFTAR PUSTAKA
Wirodikromo, S. 1996. Matematika. Jakarta: Erlangga
Hudoyo Herman.1996/1997. Matematika:Depdikbud.
Alimuddin. 2013. Kuasai Dasar-dasar Matematika SMA/MA.Jakarta:PT
Gramedia Widiasarana Indonesia.
Nasaruddin.2010.Aljabar Disertai Program Visual.Palopo: Lembaga Penerbitan
STAIN (LPS).
23
LEMBAR PERTANYAAN
Kelompok 7:
Jelaskan kembali seluruh materi yang Anda paparkan secara
terperinci beserta pembuktian dan contohnya!
Jawaban:
(Materi telah dijelaskan secara terperinci yang dilengkapi dengan
pembuktian dan contoh)
Penjelasan tertulis sebagai berikut:
1. Untuk materi Notasi Faktorial dapat dilihat pengertian yang dilengkapi
dengan rumus dan contoh yang sangat jelas pada halaman 3-4.
2. Untuk materi Permutasi r unsur berbeda dari n unsur (permutasi dengan
unsur berbeda) dapat dilihat pengertian yang dilengkapi dengan rumus dan
contoh yang sangat jelas pada halaman 4-5.
3. Untuk materi Permutasi dengan beberapa unsur sama dapat dilihat
pengertian yang dilengkapi dengan rumus dan contoh yang sangat jelas
pada halaman 5-7.
4. Untuk materi Permutasi dengan ulangan dapat dilihat pengertian yang
dilengkapi dengan rumus dan contoh yang sangat jelas pada halaman 7.
24
5. Untuk materi Permutasi siklis dapat dilihat pengertian yang dilengkapi
dengan rumus dan contoh yang sangat jelas pada halaman 7-9.
6. Untuk materi Permutasi siklis dapat dilihat pengertian yang dilengkapi
dengan rumus dan contoh yang sangat jelas pada halaman 7-9.
7. Untuk materi Variasi dapat dilihat pengertian yang dilengkapi dengan
rumus dan contoh yang sangat jelas pada halaman 10-11.
8. Untuk materi Variasi dengan ulangan dapat dilihat pengertian yang
dilengkapi dengan rumus dan contoh yang sangat jelas pada halaman 1112.
9. Untuk materi Kombinasi dapat dilihat pengertian yang dilengkapi dengan
rumus dan contoh yang sangat jelas pada halaman 12-13.
10. Untuk materi Kombinasi pengulangan dapat dilihat pengertian yang
dilengkapi dengan rumus dan contoh yang sangat jelas pada halaman 1315.
11. Untuk materi Kombinasi tanpa pengulangan dapat dilihat pengertian yang
dilengkapi dengan rumus dan contoh yang sangat jelas pada halaman 1516.
12. Untuk materi Perpangkatan suku banyak dapat dilihat pengertian yang
dilengkapi dengan rumus dan contoh yang sangat jelas pada halaman 1718.
25