162 yoyok adisetio laksono
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
Equation Chapter 1 Section 1Analisa Perbandingan Seismogram
Hasil Analitis dan Komputasi Menggunakan Misfit Waktu-Frekuensi
YOYOK ADISETIO LAKSONO1), KIRBANI SRI BROTOPUSPITO2,*), WIWIT SURYANTO2), WIDODO3)
1) Jurusan Fisika Universitas Negeri Malang. Jl. Semarang 5 Malang
E-mail: yoyok.adisetio.fmipa@um.ac.id
2)Jurusan Fisika Universitas Gadjah Mada Yogyakarta.
3)Jurusan Matematika Universitas Gadjah Mada Yogyakarta.
ABSTRAK: Seismogram adalah jenis data serial yang nilainya gayut waktu. Akibat
kompleksitasnya maka untuk menganalisa seismogram tidak cukup hanya menghitung besar
misfit kumulatif, baik misfit absolut atau misfit akar rerata kuadrat. Analisa dengan
menghitung misfit kumulatif tidak mampu mengenali penyebab dan lokasi terjadinya kesalahan.
Agar bisa mengenali penyebab dan lokasi kesalahan maka cara terbaik adalah menghitung
misfit berbasis waktu-frekuensi. Dalam makalah ini dibahas analisa perbandingan data
seismogram misfit kumulatif dengan misfit waktu-frekuensi dengan berbagai skenario data.
Skenario yang diujicoba adalah (1) kedua data hampir sama persis, dan (2) salah satu data
memiliki beda fase dengan amplitudo yang sama. Semua skenario dihitung menggunakan
metode misfit kumulatif dan misfit waktu-frekuensi. Hasil skenario pertama menunjukkan
bahwa kedua metode misfit mampu membedakan dengan baik. Sementara pada skenario kedua
misfit kumulatif nilainya ambigu, sementara misfit waktu-frekuensi mampu menunjukkan
dengan tegas letak kesalahan dan penyebab kesalahannya. Dari hasil tersebut maka misfit
waktu-frekeuensi adalah cara terbaik dan lengkap dalam menentukan analisa perbandingan
seismogram.
Kata Kunci: perbandingan, seismogram, misfit waktu-frekuensi, misfit kumulatif.
PENDAHULUAN
Seismogram merupakan rekaman peristiwa kegempaan yang mencatat
perpindahan permukaan tanah akibat adanya gelombang seismik. Catatannya berupa
urut waktu (time serial) yang menggambarkan sejarah perpindahan permukaan tanah
gayut waktu dimana seismograf berada. Seismogram yang dicatat jika dianalisa dengan
tepat akan mampu menunjukkan struktur bawah permukaan. Salah satu cara analisa
struktur bawah permukaan tanah adalah pemodelan ke depan (forward modelling).
Pemodelan ke depan merupakan proses meniru peristiwa fisika dimulai dari waktu
awal peristiwa. Hasil pemodelan ke depan untuk gelombang seismik berupa
seismogram sintetik yang nantinya dibandingkan dengan seismogram hasil pencatatan
seismograf. Umumnya pembandingan dua seismogram disebut misfit yang mencari
besar perbedaan. Semakin kecil nilai misfit maka kedua data semakin cocok.
Metode misfit pada prinsipnya adalah menghitung perbedaan antara suatu data
dengan data referensi. (Aoi and Fujiwara, 1999) mendefinisikan misfit dengan
persamaan beda sebagai berikut.
D(t ) s (t ) sREF (t ),
(1)
dimana s(t) adalah sinyal dari seismogram yang akan dicari misfitnya, sREF(t) adalah
sinyal referensi, dan t adalah waktu. Persamaan ini hasilnya berupa urut waktu yang
menggambarkan terjadinya perbedaan antara dua sinyal. Agar bisa memberi
kesimpulan dengan baik maka analisa harus dilakukan dengan menggrafikkan
persamaan (1) bersama dengan grafik kedua data. Kelemahan cara ini adalah tidak
diketahuinya nilai kuantitatif kesalahan untuk menentukan tingkat misfit.
Metode lain sebagai perbaikan terhadap persamaan (1) adalah dengan
mengintegralkan semua penghitungan sehingga diperoleh nilai tunggal dengan
persamaan sebagai berikut.
ISBN 978-602-71279-1-9
FG-135
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
s(t ) s (t )
D
s (t )
REF
(2)
t
REF
t
Rumusan misfit yang lain adalah menggunakan misfit RMS (Geller and Takeuchi,
1995) dengan persamaan sebagai berikut.
s(t ) s (t )
s (t )
RMS
2
REF
t
2
(3)
,
REF
t
Kelemahan dari misfit D dan RMS adalah tidak mampu menunjukkan penyebab
dan lokasi kesalahan. Sebagai contoh jika ada dua sinyal dengan banyak pulsa
berurutan dan jika salah satu sinyal tersebut memiliki fase sedemikian sehingga
puncak pulsa berimpit dengan pulsa lain (beda fase 360 derajad) di tempat yang salah
maka nilai RMS akan kecil yang berarti kedua sinyal dianggap sama. Untuk mampu
mengetahui penyebab dan lokasi kesalahan maka penggunaannya harus digabung
dengan serial waktu beda seperti di persamaan (1).
Untuk itu Kristeková et al., (2006, 2009) mengajukan sebuah metode penghitungan
bernama misfit waktu-frekuensi yang berguna untuk menghasilkan spektrum
karakteristik kesalahan sehingga bisa digunakan untuk membantu mencari penyebab
dan lokasi kesalahan. Cara kerjanya adalah dengan menggambarkan secara cek silang
(cross check) antara parameter waktu dan frekuensi dengan karakteristik gelombang
berupa amplitudo dan fase. Spektrum tersebut juga bisa digunakan untuk memperoleh
nilai kecocokan (goodness-of-fit).
Didalam makalah ini akan dibahas ujicoba misfit waktu-frekuensi dengan
menggunakan gelombang seismik hasil penghitungan analitis dan penghitungan
pemodelan ke depan (forward modelling) dengan metode elemen spektral.
PERSAMAAN PEMBANGUN
Untuk membandingkan besaran kuantitativ berdasar kepada wakilan frekuensiwaktu (the time frequency representation=TFR) digunakan transformasi dengan wavelet
malar Morlet. Dengan menggunakan TFR maka isi spektrum dari evolusi waktu dapat
diambil. Dari definisi beda envelope frekuensi-waktu lokal sebagai berikut
(4)
E (t , f ) W (t , f ) Wref (t , f )
dan beda fase frekuensi-waktu lokal didefinisikan sebagai berikut
P(t , f ) Wref (t , f )
arg[W (t , f )] arg[Wref (t , f )]
π
(5)
dimana W (t , f ) dan Wref (t , f ) masing-masing adalah fungsi kompleks transform
wavelet malar numerik dan referensi yang memiliki bentuk sebagai berikut.
W (t , f )
1
ω0 2π f
t t
0 2π f
s(t )ψ ω
dt
Dimana ψ adalah wavelet Morlet yang memiliki bentuk sebagai berikut.
ψ (t ) π 1/ 4 exp(iω0t ) exp( t 2 / 2)
Wref (t , f ) disebut juga sebagai TFR (transform frequency reference).
(6)
(7)
Untuk menghitung misfit envelope global dan fase global digunakan persamaan
sebagai berikut.
ISBN 978-602-71279-1-9
FG-136
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
E (t , f )
EM
W
f
t
ref
(t , f )
P(t , f )
f
PM
2
2
(8)
t
W
f
t
ref
f
2
(t , f )
2
t
dimana EM dan PM masing-masing adalah misfit envelope dan fase.
Berdasar hasil beda envelope dan fase maka bisa diperoleh misfit envelope waktufrekuensi TFEM (time frequency envelope misfit)
TFEM (t , f )
E (t , f )
,
max t , f ( WREF (t , f ) )
(9)
P(t , f )
.
max t , f ( WREF (t , f ) )
(10)
dan misfit fase waktu-frekuensi TFPM (time frequency phase misfit)
TFPM (t , f )
TFEM dan TFPM dinormalisai terhadap nilai tertinggi dari nilai absolute TFR.
Pada beberapa kasus, diinginkan agar perbedaan dilihat hanya berdasar fungsi
waktu. Untuk itu didefinisikan TEM (time-dependent envelope misfit) dan TPM (timedependent phase misfit) dengan persamaan sebagai berikut.
TEM (t )
TPM (t )
dimana
E (t , f )
max t
max t
(t , f )
f
f
WREF (t , f )
P (t , f )
W
REF
1
Nf
f
f
(t , f )
(t , f )
f
.
(11)
(12)
f
dengan Θ menggambarkan ΔE, ΔP, dan WREF.
Dengan cara yang sama, kadang diinginkan untuk melihat misfit berdasar
ketergantungan frekuensi saja. Untuk itu didefinisikan FEM (frequency envelope misfit)
dan FPM (frequency phase misfit) dengan persamaan sebagai berikut.
FEM ( f )
FPM ( f )
E (t , f )
max f
max f
WREF (t , f )
P(t , f )
t
t
t
WREF (t , f )
t
.
(13)
Sebagai tambahan kadang diperlukan juga nilai misfit yang tak gayut terhadap
waktu dan frekuensi yang didefinisikan sebagai EM (envelope misfit) dan PM (phase
misfit) dengan persamaan sebagai berikut
ISBN 978-602-71279-1-9
FG-137
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
EM
E (t , f )
W
f
t
REF
PM
(t , f )
P(t , f )
f
2
(14)
t
W
f
2
t
REF
f
2
(t , f )
2
t
EM dalam kasus ini nilainya sama dengan (3). EM dan PM dipakai sebagai penentuan
kualitas misfit.
Sebagai kebalikan dari misfit yang mencari besar selisih dua sinyal maka kadang
diperlukan analisa tingkat kecocokan GOF (goodness-of-fit). Untuk GOF envelope
memiliki persamaan sebagai berikut.
,
TEG (t ) A exp TEM (t ) ,
FEG (t ) A exp FEM ( f ) ,
EG A exp EM (t , f ) ,
TFEG (t , f ) A exp TFEM (t , f )
k
k
k
(15)
k
A 0, k 0
A menentukan nilai maksimum dari ranking kecocokan, jika A = 10 maka kecocokan
sempurna adalah 10. Sedangkan k menentukan sensitifitas dari nilai GOF. Nilai k
secara normal adalah 1. Untuk GOF fase memiliki persamaan sebagai berikut.
,
TPG (t ) A exp TPM (t ) ,
FPG (t ) A exp FPM ( f ) ,
PG A exp PM (t , f ) ,
TFPG (t , f ) A exp TFPM (t , f )
k
k
k
(16)
k
A 0, k 0
Anderson, (2004) telah membuat sebuah daftar verbal untuk menentukan kualitas
perbandingan dua sinyal secara kualitatif dengan membuat daftar misfit dan GOF.
Daftar tersebut dapat dilihat di Tabel 1.
METODE PENELITIAN
Untuk menguji coba maka dipilih permasalahan Lamb dalam 2 dimensi (Lamb,
1904) sebagai dasar pembangkitan seismogram. Untuk menghasilkan data hasil
penghitungan analitis digunakan kode EX2DDR dari (Berg et al., 1994), sedang untuk
metode elemen spektral menggunakan kode SPECFEM2D (Ampuero, 2016). Adapun
untuk menganalisa misfit waktu-frekuensi menggunakan modul ObsPy (Beyreuther et
al., 2010; Krischer et al., 2015; Megies et al., 2011).
Domain yang dikomputasikan berupa medium kotak homogen isotropik dengan Vp
= 3200 m/s, Vs = 1847,5 m/s, dan
= 2000 kg/m3. Sumber gempa diletakkan di
kedalaman 50 m. Adapun seismograf yang akan merekam seismogram ada delapan
buah, dimana seismograf pertama berada pada jarak 700 m. Jarak antar seismograf
berikutnya adalah 250 m. Simulasi dilakukan selama 1,5 s dengan resolusi 0,005 s.
ISBN 978-602-71279-1-9
FG-138
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
Sumber gelombang adalah sebuah gaya tegak lurus (ke arah aksis Z) yang besarnya
satu satuan menggunakan fungsi Ricker. Gambar 1 menunjukkan struktur domain
komputasi untuk problem Lamb 2 dimensi.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Hasil analitis dan komputasi untuk semua skenario digrafikkan dalam satu
kerangka untuk mengetahui kecocokannya. Hasil analitis dan komputasi digrafikkan
masing-masing untuk komponen x dan z. Selanjutnya data diolah untuk memperoleh
spektrum waktu-frekuensi. Data yang diolah untuk memperoleh nilai misfit diambil
untuk komponen x saja sebagai wakil. Untuk menentukan tingkat kecocokan
digunakan daftar verbal dari (Anderson, 2004) seperti ditunjukkan di Tabel 1.
Skenario 1
Hasil skenario 1 ditunjukkan di Gambar 2. Untuk komponen x di gambar 2.(a) dan
komponen z di gambar 2.(b). Hasil analitis diwakili oleh grafik padat, sedang untuk
hasil komputasi menggunakan garis putus. Dari Gambar 2 menunjukkan bahwa hasil
komputasi sangat sesuai dengan hasil analitis.
Adapun hasil dari spektrum waktu-frekuensi dapat dilihat di Gambar 3 dimana
nilai EM = 0,02 dan PM = 0,04. Sedang nilai kecocokannya EG = 9,77 dan PG = 9,60.
Hasil simulasi komputasi memiliki misfit kecil dan kecocokannya adalah ekselen.
Skenario 2
Hasil skenario 2 ditunjukkan di Gambar 4. Untuk komponen x di gambar 4.(a) dan
komponen z di gambar 4.(b). Hasil analitis diwakili oleh grafik padat, sedang untuk
hasil komputasi menggunakan garis putus. Dari Gambar 4 menunjukkan bahwa hasil
komputasi tidak sama dengan hasil analitis.
Tabel 1. Hubungan verbal antara misfit dan GOF. (Anderson, 2004)
Goodness of Fit
Numeric value
Verbal value
Misfit
Envelope
Misfit
Phase
± 0,11
± 0,1
9
± 0,22
± 0,2
8
± 0,36
± 0,3
7
± 0,51
± 0,4
6
± 0,69
± 0,5
5
± 0,92
± 0,6
4
± 0,00
± 1,20
± 1,61
± 2,30
±
± 0,0
10
± 0,7
± 0,8
± 0,9
excellent
good
fair
3
2
1
± 1,0
poor
0
(2200, 0)
(1500, 50)
Vp = 3200 m/s
Vs = 1847,5 m/s
= 2000 kg/m3
Gambar 1. Domain komputasi. Gambar bintang adalah sumber gempa.
Gambar berlian adalah seismograf.
ISBN 978-602-71279-1-9
FG-139
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
Adapun hasil dari spektrum waktu-frekuensi dapat dilihat di Gambar 5 dimana
nilai EM = 0,45 dan PM = 0,64. Sedang nilai kecocokannya EG = 6,36 dan PG = 3,59.
Kesalahan terletak di waktu antara 0,5 sampai 1 s dengan kesalahan terbesar di waktu
sekitar 0,6 s. Hal ini wajar karena puncak gelombang terbesar ada di lokasi itu. Selain
itu nilai fase kedua sinyal juga berbeda. Hasil simulasi komputasi memiliki misfit yang
besar dan kecocokannya adalah sangat jelek.
(a)
(b)
Gambar 2. Seismogram skenario 1. (a) Seismogram untuk komponen x. (b) Seismogram
untuk komponen z.
ISBN 978-602-71279-1-9
FG-140
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
(a)
(b)
Gambar 3. (a) Spektrum misfit waktu-frekuensi skenario 1. (b) Spektrum kecocokan
skenario 1.
ISBN 978-602-71279-1-9
FG-141
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
(a)
(b)
Seismogram skenario 2. (a) Seismogram untuk komponen x. (b) Seismogram untuk
komponen z.
ISBN 978-602-71279-1-9
FG-142
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
(a)
(b)
Gambar 5. Spektrum misfit waktu-frekuensi skenario 2. (b) Spektrum kecocokan
skenario 2.
KESIMPULAN
Dari hasil pembahasan maka misfit waktu-frekuensi mampu menunjukkan lokasi
kesalahan dan penyebab kesalahan dari dua buah sinyal seismogram hasil analitis dan
hasil komputasi dengan metode elemen spektral.
ISBN 978-602-71279-1-9
FG-143
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
DAFTAR RUJUKAN
Ampuero, J.P., 2016. Jean Paul Ampuero Downloads [WWW Document]. URL
http://web.gps.caltech.edu/~ampuero/software.html (accessed 7.8.16).
Anderson, J.G., 2004. Quantitative measure of the goodness-of-fit of synthetic
seismograms. 13th World Conf. Earthq. Eng. Conf. Proc. Vancouver, Canada, Paper
243, on CD ROM.
Aoi, S., Fujiwara, H., 1999. 3D finite-difference method using discontinuous grids. Bull
Seism Soc Am 89, 918 930.
Berg, P., If, F., Nielsen, P., Skovgaard, O., 1994. Analytical reference solutions. Model.
Earth Oil Explor. 421 427.
Beyreuther, M., Barsch, R., Krischer, L., Megies, T., Behr, Y., Wassermann, J., 2010.
ObsPy: A Python Toolbox for Seismology. Seismol. Res. Lett. 81, 530 533.
doi:10.1785/gssrl.81.3.530
Geller, R.J., Takeuchi, N., 1995. A new method for computing highly accurate DSM
synthetic seismograms. Geophys. J. Int. 123, 449 470. doi:10.1111/j.1365246X.1995.tb06865.x
Krischer, L., Megies, T., Barsch, R., Beyreuther, M., Lecocq, T., Caudron, C., Joachim
Wassermann, 2015. ObsPy: a bridge for seismology into the scientific Python
ecosystem. Comput. Sci. Discov. 8, 14003. doi:10.1088/1749-4699/8/1/014003
Kristeková, M., Kristek, J., Moczo, P., 2009. Time-frequency misfit and goodness-of-fit
criteria for quantitative comparison of time signals. Geophys. J. Int. 178, 813 825.
doi:10.1111/j.1365-246X.2009.04177.x
Kristeková, M., Kristek, J., Moczo, P., Day, S.M., 2006. Misfit Criteria for Quantitative
Comparison of Seismograms. Bull. Seismol. Soc. Am. 96, 1836 1850.
doi:10.1785/0120060012
Lamb, H., 1904. On the Propagation of Tremors over the Surface of an Elastic Solid.
Philos. Trans. R. Soc. Lond. Math. Phys. Eng. Sci. 203, 1 42.
doi:10.1098/rsta.1904.0013
Megies, T., Beyreuther, M., Barsch, R., Krischer, L., Wassermann, J., 2011. ObsPy
What can it do for data centers and observatories? Ann. Geophys. 54, 47 58.
doi:10.4401/ag-4838
ISBN 978-602-71279-1-9
FG-144
Equation Chapter 1 Section 1Analisa Perbandingan Seismogram
Hasil Analitis dan Komputasi Menggunakan Misfit Waktu-Frekuensi
YOYOK ADISETIO LAKSONO1), KIRBANI SRI BROTOPUSPITO2,*), WIWIT SURYANTO2), WIDODO3)
1) Jurusan Fisika Universitas Negeri Malang. Jl. Semarang 5 Malang
E-mail: yoyok.adisetio.fmipa@um.ac.id
2)Jurusan Fisika Universitas Gadjah Mada Yogyakarta.
3)Jurusan Matematika Universitas Gadjah Mada Yogyakarta.
ABSTRAK: Seismogram adalah jenis data serial yang nilainya gayut waktu. Akibat
kompleksitasnya maka untuk menganalisa seismogram tidak cukup hanya menghitung besar
misfit kumulatif, baik misfit absolut atau misfit akar rerata kuadrat. Analisa dengan
menghitung misfit kumulatif tidak mampu mengenali penyebab dan lokasi terjadinya kesalahan.
Agar bisa mengenali penyebab dan lokasi kesalahan maka cara terbaik adalah menghitung
misfit berbasis waktu-frekuensi. Dalam makalah ini dibahas analisa perbandingan data
seismogram misfit kumulatif dengan misfit waktu-frekuensi dengan berbagai skenario data.
Skenario yang diujicoba adalah (1) kedua data hampir sama persis, dan (2) salah satu data
memiliki beda fase dengan amplitudo yang sama. Semua skenario dihitung menggunakan
metode misfit kumulatif dan misfit waktu-frekuensi. Hasil skenario pertama menunjukkan
bahwa kedua metode misfit mampu membedakan dengan baik. Sementara pada skenario kedua
misfit kumulatif nilainya ambigu, sementara misfit waktu-frekuensi mampu menunjukkan
dengan tegas letak kesalahan dan penyebab kesalahannya. Dari hasil tersebut maka misfit
waktu-frekeuensi adalah cara terbaik dan lengkap dalam menentukan analisa perbandingan
seismogram.
Kata Kunci: perbandingan, seismogram, misfit waktu-frekuensi, misfit kumulatif.
PENDAHULUAN
Seismogram merupakan rekaman peristiwa kegempaan yang mencatat
perpindahan permukaan tanah akibat adanya gelombang seismik. Catatannya berupa
urut waktu (time serial) yang menggambarkan sejarah perpindahan permukaan tanah
gayut waktu dimana seismograf berada. Seismogram yang dicatat jika dianalisa dengan
tepat akan mampu menunjukkan struktur bawah permukaan. Salah satu cara analisa
struktur bawah permukaan tanah adalah pemodelan ke depan (forward modelling).
Pemodelan ke depan merupakan proses meniru peristiwa fisika dimulai dari waktu
awal peristiwa. Hasil pemodelan ke depan untuk gelombang seismik berupa
seismogram sintetik yang nantinya dibandingkan dengan seismogram hasil pencatatan
seismograf. Umumnya pembandingan dua seismogram disebut misfit yang mencari
besar perbedaan. Semakin kecil nilai misfit maka kedua data semakin cocok.
Metode misfit pada prinsipnya adalah menghitung perbedaan antara suatu data
dengan data referensi. (Aoi and Fujiwara, 1999) mendefinisikan misfit dengan
persamaan beda sebagai berikut.
D(t ) s (t ) sREF (t ),
(1)
dimana s(t) adalah sinyal dari seismogram yang akan dicari misfitnya, sREF(t) adalah
sinyal referensi, dan t adalah waktu. Persamaan ini hasilnya berupa urut waktu yang
menggambarkan terjadinya perbedaan antara dua sinyal. Agar bisa memberi
kesimpulan dengan baik maka analisa harus dilakukan dengan menggrafikkan
persamaan (1) bersama dengan grafik kedua data. Kelemahan cara ini adalah tidak
diketahuinya nilai kuantitatif kesalahan untuk menentukan tingkat misfit.
Metode lain sebagai perbaikan terhadap persamaan (1) adalah dengan
mengintegralkan semua penghitungan sehingga diperoleh nilai tunggal dengan
persamaan sebagai berikut.
ISBN 978-602-71279-1-9
FG-135
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
s(t ) s (t )
D
s (t )
REF
(2)
t
REF
t
Rumusan misfit yang lain adalah menggunakan misfit RMS (Geller and Takeuchi,
1995) dengan persamaan sebagai berikut.
s(t ) s (t )
s (t )
RMS
2
REF
t
2
(3)
,
REF
t
Kelemahan dari misfit D dan RMS adalah tidak mampu menunjukkan penyebab
dan lokasi kesalahan. Sebagai contoh jika ada dua sinyal dengan banyak pulsa
berurutan dan jika salah satu sinyal tersebut memiliki fase sedemikian sehingga
puncak pulsa berimpit dengan pulsa lain (beda fase 360 derajad) di tempat yang salah
maka nilai RMS akan kecil yang berarti kedua sinyal dianggap sama. Untuk mampu
mengetahui penyebab dan lokasi kesalahan maka penggunaannya harus digabung
dengan serial waktu beda seperti di persamaan (1).
Untuk itu Kristeková et al., (2006, 2009) mengajukan sebuah metode penghitungan
bernama misfit waktu-frekuensi yang berguna untuk menghasilkan spektrum
karakteristik kesalahan sehingga bisa digunakan untuk membantu mencari penyebab
dan lokasi kesalahan. Cara kerjanya adalah dengan menggambarkan secara cek silang
(cross check) antara parameter waktu dan frekuensi dengan karakteristik gelombang
berupa amplitudo dan fase. Spektrum tersebut juga bisa digunakan untuk memperoleh
nilai kecocokan (goodness-of-fit).
Didalam makalah ini akan dibahas ujicoba misfit waktu-frekuensi dengan
menggunakan gelombang seismik hasil penghitungan analitis dan penghitungan
pemodelan ke depan (forward modelling) dengan metode elemen spektral.
PERSAMAAN PEMBANGUN
Untuk membandingkan besaran kuantitativ berdasar kepada wakilan frekuensiwaktu (the time frequency representation=TFR) digunakan transformasi dengan wavelet
malar Morlet. Dengan menggunakan TFR maka isi spektrum dari evolusi waktu dapat
diambil. Dari definisi beda envelope frekuensi-waktu lokal sebagai berikut
(4)
E (t , f ) W (t , f ) Wref (t , f )
dan beda fase frekuensi-waktu lokal didefinisikan sebagai berikut
P(t , f ) Wref (t , f )
arg[W (t , f )] arg[Wref (t , f )]
π
(5)
dimana W (t , f ) dan Wref (t , f ) masing-masing adalah fungsi kompleks transform
wavelet malar numerik dan referensi yang memiliki bentuk sebagai berikut.
W (t , f )
1
ω0 2π f
t t
0 2π f
s(t )ψ ω
dt
Dimana ψ adalah wavelet Morlet yang memiliki bentuk sebagai berikut.
ψ (t ) π 1/ 4 exp(iω0t ) exp( t 2 / 2)
Wref (t , f ) disebut juga sebagai TFR (transform frequency reference).
(6)
(7)
Untuk menghitung misfit envelope global dan fase global digunakan persamaan
sebagai berikut.
ISBN 978-602-71279-1-9
FG-136
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
E (t , f )
EM
W
f
t
ref
(t , f )
P(t , f )
f
PM
2
2
(8)
t
W
f
t
ref
f
2
(t , f )
2
t
dimana EM dan PM masing-masing adalah misfit envelope dan fase.
Berdasar hasil beda envelope dan fase maka bisa diperoleh misfit envelope waktufrekuensi TFEM (time frequency envelope misfit)
TFEM (t , f )
E (t , f )
,
max t , f ( WREF (t , f ) )
(9)
P(t , f )
.
max t , f ( WREF (t , f ) )
(10)
dan misfit fase waktu-frekuensi TFPM (time frequency phase misfit)
TFPM (t , f )
TFEM dan TFPM dinormalisai terhadap nilai tertinggi dari nilai absolute TFR.
Pada beberapa kasus, diinginkan agar perbedaan dilihat hanya berdasar fungsi
waktu. Untuk itu didefinisikan TEM (time-dependent envelope misfit) dan TPM (timedependent phase misfit) dengan persamaan sebagai berikut.
TEM (t )
TPM (t )
dimana
E (t , f )
max t
max t
(t , f )
f
f
WREF (t , f )
P (t , f )
W
REF
1
Nf
f
f
(t , f )
(t , f )
f
.
(11)
(12)
f
dengan Θ menggambarkan ΔE, ΔP, dan WREF.
Dengan cara yang sama, kadang diinginkan untuk melihat misfit berdasar
ketergantungan frekuensi saja. Untuk itu didefinisikan FEM (frequency envelope misfit)
dan FPM (frequency phase misfit) dengan persamaan sebagai berikut.
FEM ( f )
FPM ( f )
E (t , f )
max f
max f
WREF (t , f )
P(t , f )
t
t
t
WREF (t , f )
t
.
(13)
Sebagai tambahan kadang diperlukan juga nilai misfit yang tak gayut terhadap
waktu dan frekuensi yang didefinisikan sebagai EM (envelope misfit) dan PM (phase
misfit) dengan persamaan sebagai berikut
ISBN 978-602-71279-1-9
FG-137
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
EM
E (t , f )
W
f
t
REF
PM
(t , f )
P(t , f )
f
2
(14)
t
W
f
2
t
REF
f
2
(t , f )
2
t
EM dalam kasus ini nilainya sama dengan (3). EM dan PM dipakai sebagai penentuan
kualitas misfit.
Sebagai kebalikan dari misfit yang mencari besar selisih dua sinyal maka kadang
diperlukan analisa tingkat kecocokan GOF (goodness-of-fit). Untuk GOF envelope
memiliki persamaan sebagai berikut.
,
TEG (t ) A exp TEM (t ) ,
FEG (t ) A exp FEM ( f ) ,
EG A exp EM (t , f ) ,
TFEG (t , f ) A exp TFEM (t , f )
k
k
k
(15)
k
A 0, k 0
A menentukan nilai maksimum dari ranking kecocokan, jika A = 10 maka kecocokan
sempurna adalah 10. Sedangkan k menentukan sensitifitas dari nilai GOF. Nilai k
secara normal adalah 1. Untuk GOF fase memiliki persamaan sebagai berikut.
,
TPG (t ) A exp TPM (t ) ,
FPG (t ) A exp FPM ( f ) ,
PG A exp PM (t , f ) ,
TFPG (t , f ) A exp TFPM (t , f )
k
k
k
(16)
k
A 0, k 0
Anderson, (2004) telah membuat sebuah daftar verbal untuk menentukan kualitas
perbandingan dua sinyal secara kualitatif dengan membuat daftar misfit dan GOF.
Daftar tersebut dapat dilihat di Tabel 1.
METODE PENELITIAN
Untuk menguji coba maka dipilih permasalahan Lamb dalam 2 dimensi (Lamb,
1904) sebagai dasar pembangkitan seismogram. Untuk menghasilkan data hasil
penghitungan analitis digunakan kode EX2DDR dari (Berg et al., 1994), sedang untuk
metode elemen spektral menggunakan kode SPECFEM2D (Ampuero, 2016). Adapun
untuk menganalisa misfit waktu-frekuensi menggunakan modul ObsPy (Beyreuther et
al., 2010; Krischer et al., 2015; Megies et al., 2011).
Domain yang dikomputasikan berupa medium kotak homogen isotropik dengan Vp
= 3200 m/s, Vs = 1847,5 m/s, dan
= 2000 kg/m3. Sumber gempa diletakkan di
kedalaman 50 m. Adapun seismograf yang akan merekam seismogram ada delapan
buah, dimana seismograf pertama berada pada jarak 700 m. Jarak antar seismograf
berikutnya adalah 250 m. Simulasi dilakukan selama 1,5 s dengan resolusi 0,005 s.
ISBN 978-602-71279-1-9
FG-138
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
Sumber gelombang adalah sebuah gaya tegak lurus (ke arah aksis Z) yang besarnya
satu satuan menggunakan fungsi Ricker. Gambar 1 menunjukkan struktur domain
komputasi untuk problem Lamb 2 dimensi.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Hasil analitis dan komputasi untuk semua skenario digrafikkan dalam satu
kerangka untuk mengetahui kecocokannya. Hasil analitis dan komputasi digrafikkan
masing-masing untuk komponen x dan z. Selanjutnya data diolah untuk memperoleh
spektrum waktu-frekuensi. Data yang diolah untuk memperoleh nilai misfit diambil
untuk komponen x saja sebagai wakil. Untuk menentukan tingkat kecocokan
digunakan daftar verbal dari (Anderson, 2004) seperti ditunjukkan di Tabel 1.
Skenario 1
Hasil skenario 1 ditunjukkan di Gambar 2. Untuk komponen x di gambar 2.(a) dan
komponen z di gambar 2.(b). Hasil analitis diwakili oleh grafik padat, sedang untuk
hasil komputasi menggunakan garis putus. Dari Gambar 2 menunjukkan bahwa hasil
komputasi sangat sesuai dengan hasil analitis.
Adapun hasil dari spektrum waktu-frekuensi dapat dilihat di Gambar 3 dimana
nilai EM = 0,02 dan PM = 0,04. Sedang nilai kecocokannya EG = 9,77 dan PG = 9,60.
Hasil simulasi komputasi memiliki misfit kecil dan kecocokannya adalah ekselen.
Skenario 2
Hasil skenario 2 ditunjukkan di Gambar 4. Untuk komponen x di gambar 4.(a) dan
komponen z di gambar 4.(b). Hasil analitis diwakili oleh grafik padat, sedang untuk
hasil komputasi menggunakan garis putus. Dari Gambar 4 menunjukkan bahwa hasil
komputasi tidak sama dengan hasil analitis.
Tabel 1. Hubungan verbal antara misfit dan GOF. (Anderson, 2004)
Goodness of Fit
Numeric value
Verbal value
Misfit
Envelope
Misfit
Phase
± 0,11
± 0,1
9
± 0,22
± 0,2
8
± 0,36
± 0,3
7
± 0,51
± 0,4
6
± 0,69
± 0,5
5
± 0,92
± 0,6
4
± 0,00
± 1,20
± 1,61
± 2,30
±
± 0,0
10
± 0,7
± 0,8
± 0,9
excellent
good
fair
3
2
1
± 1,0
poor
0
(2200, 0)
(1500, 50)
Vp = 3200 m/s
Vs = 1847,5 m/s
= 2000 kg/m3
Gambar 1. Domain komputasi. Gambar bintang adalah sumber gempa.
Gambar berlian adalah seismograf.
ISBN 978-602-71279-1-9
FG-139
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
Adapun hasil dari spektrum waktu-frekuensi dapat dilihat di Gambar 5 dimana
nilai EM = 0,45 dan PM = 0,64. Sedang nilai kecocokannya EG = 6,36 dan PG = 3,59.
Kesalahan terletak di waktu antara 0,5 sampai 1 s dengan kesalahan terbesar di waktu
sekitar 0,6 s. Hal ini wajar karena puncak gelombang terbesar ada di lokasi itu. Selain
itu nilai fase kedua sinyal juga berbeda. Hasil simulasi komputasi memiliki misfit yang
besar dan kecocokannya adalah sangat jelek.
(a)
(b)
Gambar 2. Seismogram skenario 1. (a) Seismogram untuk komponen x. (b) Seismogram
untuk komponen z.
ISBN 978-602-71279-1-9
FG-140
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
(a)
(b)
Gambar 3. (a) Spektrum misfit waktu-frekuensi skenario 1. (b) Spektrum kecocokan
skenario 1.
ISBN 978-602-71279-1-9
FG-141
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
(a)
(b)
Seismogram skenario 2. (a) Seismogram untuk komponen x. (b) Seismogram untuk
komponen z.
ISBN 978-602-71279-1-9
FG-142
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
(a)
(b)
Gambar 5. Spektrum misfit waktu-frekuensi skenario 2. (b) Spektrum kecocokan
skenario 2.
KESIMPULAN
Dari hasil pembahasan maka misfit waktu-frekuensi mampu menunjukkan lokasi
kesalahan dan penyebab kesalahan dari dua buah sinyal seismogram hasil analitis dan
hasil komputasi dengan metode elemen spektral.
ISBN 978-602-71279-1-9
FG-143
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
DAFTAR RUJUKAN
Ampuero, J.P., 2016. Jean Paul Ampuero Downloads [WWW Document]. URL
http://web.gps.caltech.edu/~ampuero/software.html (accessed 7.8.16).
Anderson, J.G., 2004. Quantitative measure of the goodness-of-fit of synthetic
seismograms. 13th World Conf. Earthq. Eng. Conf. Proc. Vancouver, Canada, Paper
243, on CD ROM.
Aoi, S., Fujiwara, H., 1999. 3D finite-difference method using discontinuous grids. Bull
Seism Soc Am 89, 918 930.
Berg, P., If, F., Nielsen, P., Skovgaard, O., 1994. Analytical reference solutions. Model.
Earth Oil Explor. 421 427.
Beyreuther, M., Barsch, R., Krischer, L., Megies, T., Behr, Y., Wassermann, J., 2010.
ObsPy: A Python Toolbox for Seismology. Seismol. Res. Lett. 81, 530 533.
doi:10.1785/gssrl.81.3.530
Geller, R.J., Takeuchi, N., 1995. A new method for computing highly accurate DSM
synthetic seismograms. Geophys. J. Int. 123, 449 470. doi:10.1111/j.1365246X.1995.tb06865.x
Krischer, L., Megies, T., Barsch, R., Beyreuther, M., Lecocq, T., Caudron, C., Joachim
Wassermann, 2015. ObsPy: a bridge for seismology into the scientific Python
ecosystem. Comput. Sci. Discov. 8, 14003. doi:10.1088/1749-4699/8/1/014003
Kristeková, M., Kristek, J., Moczo, P., 2009. Time-frequency misfit and goodness-of-fit
criteria for quantitative comparison of time signals. Geophys. J. Int. 178, 813 825.
doi:10.1111/j.1365-246X.2009.04177.x
Kristeková, M., Kristek, J., Moczo, P., Day, S.M., 2006. Misfit Criteria for Quantitative
Comparison of Seismograms. Bull. Seismol. Soc. Am. 96, 1836 1850.
doi:10.1785/0120060012
Lamb, H., 1904. On the Propagation of Tremors over the Surface of an Elastic Solid.
Philos. Trans. R. Soc. Lond. Math. Phys. Eng. Sci. 203, 1 42.
doi:10.1098/rsta.1904.0013
Megies, T., Beyreuther, M., Barsch, R., Krischer, L., Wassermann, J., 2011. ObsPy
What can it do for data centers and observatories? Ann. Geophys. 54, 47 58.
doi:10.4401/ag-4838
ISBN 978-602-71279-1-9
FG-144