MODEL EPIDEMI STOKASTIK SUSCEPTIBLE INFECTED SUSCEPTIBLE (SIS).
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
MODEL EPIDEMI STOKASTIK
SUSCEPTIBLE INFECTED SUSCEPTIBLE (SIS )
oleh
SILVIA KRISTANTI
M0109060
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2013
commit to user
i
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
commit to user
ii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ABSTRAK
Silvia Kristanti, 2013. MODEL EPIDEMI STOKASTIK SUSCEPTIBLE
INFECTED SUSCEPTIBLE (SIS). Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.
Model epidemi susceptible infected susceptible (SIS ) merupakan model yang
menggambarkan penyebaran penyakit dengan karakteristik setiap individu sembuh dapat terinfeksi kembali karena tidak memiliki sistem kekebalan tubuh permanen. Penyebaran penyakit dapat dipandang sebagai kejadian random yang
bergantung pada variabel waktu sehingga disebut proses stokastik. Perubahan
banyaknya individu terinfeksi dipandang sebagai proses stokastik dalam selang
waktu kontinu sehingga dapat digambarkan dengan model stokastik SIS.
Tujuan penulisan ini adalah menurunkan model stokastik SIS. Penyelesaian
model stokastik SIS diperoleh dengan menggunakan formula Ito dan fungsi probabilitas variabel random dari banyaknya individu terinfeksi memenuhi persamaan
diferensial Kolmogorov maju. Selanjutnya, model stokastik SIS diterapkan untuk penyebaran penyakit pertussis. Model disimulasikan dengan mengambil laju
kontak β yang berbeda. Berdasarkan hasil simulasi diperoleh jika nilai parameter β > γ, maka semakin cepat peningkatan penyebaran penyakit dan semakin
banyak juga individu yang terinfeksi. Tetapi jika nilai parameter β < γ, maka
semakin cepat penurunan penyebaran penyakit dan individu yang terinfeksi mencapai nol artinya tidak terjadi penularan penyakit lagi.
Kata kunci: formula Ito, model stokastik SIS, persamaan diferensial Kolmogorov maju.
commit to user
iii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ABSTRACT
Silvia Kristanti, 2013. SUSCEPTIBLE INFECTED SUSCEPTIBLE (SIS)
STOCHASTIC EPIDEMIC MODEL. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.
The susceptible infected susceptible SIS epidemic model is a model that
explained the spread of disease which characteristics of each individual can be
reinfected because it has no permanent immune system. The spread of disease
are considered as a random events which depend on the time variable so it is
called stochastic processes. The changes of the number of infected individuals
are a stochastic process in continuous time interval that can be explained by SIS
stochastic model.
The purpose of this research is to construct the SIS stochastic model. The
solution of the SIS stochastic model is obtained by Ito’s formula and probability
function of random variables from the number of infected individuals satisfy forward Kolmogorov differential equations. The SIS stochastic model is applied to
the spread of pertussis disease. Model is simulated by taking a different values
of the contacts rate β. The results of simulation show that the if value of β is
greater than γ, then the more rapid increase in the spread of disease and the
more number of infected individuals. But if the value of β is smaller than γ, then
the more rapid decrease in the spread of disease and the infected individuals is
zero means no disease transmission occurs again.
Keywords : Forward Kolmogorov differential equations, Ito’s formula, SIS stochastic model.
commit to user
iv
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan untuk
Bapak, Ibu, dan Mbak Dina
atas segala doa dan semangat yang telah diberikan
commit to user
v
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.
Penyusunan skripsi ini tidak lepas dari bantuan beberapa pihak, oleh karena itu
penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini, khususnya kepada
1. Sri Kuntari, S.Si., M.Si. Pembimbing I yang telah memberikan bimbingan
dan saran baik dalam hal penulisan maupun materi dalam hal penyelesaian
model epidemi stokastik SIS dan simulasi,
2. Dra. Respatiwulan, M.Si. Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan dan saran baik dalam hal penulisan maupun materi dalam hal penurunan
dan penyelesaian model epidemi stokastik SIS,
3. Dra. Purnami Widyaningsih, M.App.Sc. yang telah memberikan saran
dalam hal simulasi numerik, dan
4. semua pihak yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini.
Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca.
Surakarta, Juli 2013
Penulis
commit to user
vi
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Daftar Isi
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
ABSTRACT
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
I
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
PENDAHULUAN
1
1.1
Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Perumusan Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4
Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
II LANDASAN TEORI
4
2.1
Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Teori Penunjang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2.1
Model SIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.2
Proses Stokastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2.3
Proses Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2.4
Model Stokastik SIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2.5
Persamaan Diferensial Kolmogorov Maju . . . . . . . . . .
8
Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.3
commit to user
III METODE PENELITIAN
10
vii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
IV PEMBAHASAN
11
4.1
Model Stokastik SIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
4.2
Penyelesaian Model Stokastik SIS . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
4.3
Penerapan dan Simulasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
V PENUTUP
20
5.1
Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
5.2
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
DAFTAR PUSTAKA
22
commit to user
viii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Daftar Gambar
2.1
Skema Model SIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
4.1
Banyaknya individu terinfeksi pada selang waktu 0 ≤ t ≤ 70 . . .
17
4.2
Banyaknya individu terinfeksi dengan β = 0.25, 0.3, 0.4, 0.55 dan
γ = 0.04 pada selang waktu 0 ≤ t ≤ 100 . . . . . . . . . . . . . .
4.3
18
Banyaknya individu terinfeksi dengan β = 0.025, 0.01, 0.0075, 0.005
dan γ = 0.04 pada selang waktu 0 ≤ t ≤ 30 . . . . . . . . . . . . .
commit to user
ix
19
digilib.uns.ac.id
MODEL EPIDEMI STOKASTIK
SUSCEPTIBLE INFECTED SUSCEPTIBLE (SIS )
oleh
SILVIA KRISTANTI
M0109060
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2013
commit to user
i
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
commit to user
ii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ABSTRAK
Silvia Kristanti, 2013. MODEL EPIDEMI STOKASTIK SUSCEPTIBLE
INFECTED SUSCEPTIBLE (SIS). Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.
Model epidemi susceptible infected susceptible (SIS ) merupakan model yang
menggambarkan penyebaran penyakit dengan karakteristik setiap individu sembuh dapat terinfeksi kembali karena tidak memiliki sistem kekebalan tubuh permanen. Penyebaran penyakit dapat dipandang sebagai kejadian random yang
bergantung pada variabel waktu sehingga disebut proses stokastik. Perubahan
banyaknya individu terinfeksi dipandang sebagai proses stokastik dalam selang
waktu kontinu sehingga dapat digambarkan dengan model stokastik SIS.
Tujuan penulisan ini adalah menurunkan model stokastik SIS. Penyelesaian
model stokastik SIS diperoleh dengan menggunakan formula Ito dan fungsi probabilitas variabel random dari banyaknya individu terinfeksi memenuhi persamaan
diferensial Kolmogorov maju. Selanjutnya, model stokastik SIS diterapkan untuk penyebaran penyakit pertussis. Model disimulasikan dengan mengambil laju
kontak β yang berbeda. Berdasarkan hasil simulasi diperoleh jika nilai parameter β > γ, maka semakin cepat peningkatan penyebaran penyakit dan semakin
banyak juga individu yang terinfeksi. Tetapi jika nilai parameter β < γ, maka
semakin cepat penurunan penyebaran penyakit dan individu yang terinfeksi mencapai nol artinya tidak terjadi penularan penyakit lagi.
Kata kunci: formula Ito, model stokastik SIS, persamaan diferensial Kolmogorov maju.
commit to user
iii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ABSTRACT
Silvia Kristanti, 2013. SUSCEPTIBLE INFECTED SUSCEPTIBLE (SIS)
STOCHASTIC EPIDEMIC MODEL. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.
The susceptible infected susceptible SIS epidemic model is a model that
explained the spread of disease which characteristics of each individual can be
reinfected because it has no permanent immune system. The spread of disease
are considered as a random events which depend on the time variable so it is
called stochastic processes. The changes of the number of infected individuals
are a stochastic process in continuous time interval that can be explained by SIS
stochastic model.
The purpose of this research is to construct the SIS stochastic model. The
solution of the SIS stochastic model is obtained by Ito’s formula and probability
function of random variables from the number of infected individuals satisfy forward Kolmogorov differential equations. The SIS stochastic model is applied to
the spread of pertussis disease. Model is simulated by taking a different values
of the contacts rate β. The results of simulation show that the if value of β is
greater than γ, then the more rapid increase in the spread of disease and the
more number of infected individuals. But if the value of β is smaller than γ, then
the more rapid decrease in the spread of disease and the infected individuals is
zero means no disease transmission occurs again.
Keywords : Forward Kolmogorov differential equations, Ito’s formula, SIS stochastic model.
commit to user
iv
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan untuk
Bapak, Ibu, dan Mbak Dina
atas segala doa dan semangat yang telah diberikan
commit to user
v
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.
Penyusunan skripsi ini tidak lepas dari bantuan beberapa pihak, oleh karena itu
penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini, khususnya kepada
1. Sri Kuntari, S.Si., M.Si. Pembimbing I yang telah memberikan bimbingan
dan saran baik dalam hal penulisan maupun materi dalam hal penyelesaian
model epidemi stokastik SIS dan simulasi,
2. Dra. Respatiwulan, M.Si. Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan dan saran baik dalam hal penulisan maupun materi dalam hal penurunan
dan penyelesaian model epidemi stokastik SIS,
3. Dra. Purnami Widyaningsih, M.App.Sc. yang telah memberikan saran
dalam hal simulasi numerik, dan
4. semua pihak yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini.
Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca.
Surakarta, Juli 2013
Penulis
commit to user
vi
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Daftar Isi
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
ABSTRACT
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
I
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
PENDAHULUAN
1
1.1
Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Perumusan Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4
Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
II LANDASAN TEORI
4
2.1
Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Teori Penunjang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2.1
Model SIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.2
Proses Stokastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2.3
Proses Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2.4
Model Stokastik SIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2.5
Persamaan Diferensial Kolmogorov Maju . . . . . . . . . .
8
Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.3
commit to user
III METODE PENELITIAN
10
vii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
IV PEMBAHASAN
11
4.1
Model Stokastik SIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
4.2
Penyelesaian Model Stokastik SIS . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
4.3
Penerapan dan Simulasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
V PENUTUP
20
5.1
Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
5.2
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
DAFTAR PUSTAKA
22
commit to user
viii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Daftar Gambar
2.1
Skema Model SIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
4.1
Banyaknya individu terinfeksi pada selang waktu 0 ≤ t ≤ 70 . . .
17
4.2
Banyaknya individu terinfeksi dengan β = 0.25, 0.3, 0.4, 0.55 dan
γ = 0.04 pada selang waktu 0 ≤ t ≤ 100 . . . . . . . . . . . . . .
4.3
18
Banyaknya individu terinfeksi dengan β = 0.025, 0.01, 0.0075, 0.005
dan γ = 0.04 pada selang waktu 0 ≤ t ≤ 30 . . . . . . . . . . . . .
commit to user
ix
19