Deret dan Transformasi dan Fourier
Deret dan Transformasi Fourier
Risanuri Hidayat,
Jurusan Teknik Elektro dan Teknologi Informasi, FT UGM,
Negeri Ngayogyakarta Hadiningrat 55281, INDONESIA
risanuri@te.ugm.ac.id (risanuri@gmail.com)
Dalam tulisan ini akan dijelaskan domain frekuensi untuk isyarat periodis dan nonperiodis yang mempunyai penyelesaian secara analitik, khususnya Transformasi Fourier.
1.1
Deret Fourier
1.1.1 Deret Fourier untuk isyarat Periodis kontinyu
Sebuahisyaratperiodispastiakanmempunyaipersamaan,
.............................................. (1)
Untuksemua t (waktu).T adalahperiodewaktuketikafungsimulaiterulang.
Setiapfungsi yang periodis ternyata dapat dinyatakan dengan superposisi fungsi sinus dan
kosinus. Telah diketahui bahwa sin ωt fungsi trigonometri dan co sωt yang periodic
dengan periode T = 1 / f = 2π / ω, dengan f adalah frekuensi dalam siklus per detik (Hz)
dan ω adalah frekuensi sudut dalam radian / det. Gambar 1 menunjukkan fungsi periodis,
dengan T0 = 2Π/ ω0 : periode fundamental. ω0 = frekuensi fundamental
Gambar 1.Contoh isyarat periodis
Suatu isyarat periodis dengan periode T0 dapat dinyatakan sebagai jumlahan isyaratisyarat cosines dan/atau sinus dengan periode-periode kelipatan dari T0
+∞
x (t ) =
∑a e
jkω0t
k
............................................................................................... (2)
k = −∞
Dengan ak adalah koefisien atau komponen ke-k, dan k= 0,±1,±2, ... . Untuk k=0 maka
akdisebut komponen dc. Untukk=±1maka ak disebut komponen fundamental. Dan untuk
k=±2, ±3,..maka ak disebut komponen harmonik ke –k.
Ketika k=0 dikeluarkan dari sigma, dan k hanya dituliskan dari +1Æ∞, maka persamaan
menjadi
+∞
x ( t ) = a0 +
∑a e
jkω 0 t
k
+ a − k e − jkω0 t
k = +1
.............................................................. (3)
Jika a* adalah conjugate kompleks dari a, kemudian ganti k dengan –k, maka dari
persamaan di atas akan didapatkan bahwa a*-k=ak atau a*k=a-k. Sehingga persamaan
menjadi
+∞
x (t ) = a0 + ∑ ak e jkω0t + ak*e − jkω0t
k =1
................................................................... (4)
Penjumlahan konjugate kompleks dari persamaan di atas menghasilkan
+∞
x (t ) = a0 + 2∑ Re ak e jkω0t
{
k =1
}
.............................................................................. (5)
Jika ak = Ak e jθk
+∞
x(t ) = a0 + 2∑ Re Ak e j ( kω0 t +θ k
{
k =1
}
.................................................................... (6)
Diketahui bahwa jika ada bilangan kompleks z=x+iy, maka Re{z} adalah bagian real dari
z, yaitu x. Persamaan menjadi
+∞
x (t ) = a0 + 2 ∑ Ak Cos ( kω0 t + θ k )
k =1
......................................................................(7)
Dan jikaakdinyatakandenganak= Bk + j Ck,makadapatdibuktikanbahwa
+∞
x (t ) = a0 + 2∑ [Bk Cos(kω0t ) − Ck Sin( kω0t )]
k =1
....................................................(8)
1.1.2 Koefisien Fourier ak
Anggap bahwa sinyal periodis yang diberikan dapat diwakili dengan persamaan (2),
maka akan dijelaskan bagaimana menentukan koefisien ak. Kalikan kedua sisi (2) dengan
e − jnω0t , akan diperoleh
+∞
x (t ).e − jnω 0 t =
∑a e
jkω 0 t
k
.e − jnω 0 t
k = −∞
..............................................................(9)
Integralkan kedua sisi dari 0 ke T0 = 2π/ω0 , sehingga
T0
∫ x(t ).e
T0 + ∞
− jnω 0 t
0
dt =
∫ ∑a e
k
0 k = −∞
jkω 0 t
.e − jnω0 t dt
...............................................(10)
T0 adalah periode fundamentaldari fungsi x(t)), dan integral kemudian dihitung selama
satu periode ini. Integrasi dan penjumlahan dari persamaan di atas menghasilkan,
T0
∫ x(t ).e
0
⎡T0 j ( k − n )ω t ⎤
0
dt = ∑ ak ⎢ ∫ e
dt ⎥
k = −∞
⎢⎣ 0
⎥⎦ ...............................................(11)
+∞
− jnω 0 t
Lihat integral di dalam kurung []. Untuk k≠n, kedua integral di sisikananadalah nol.
Untuk k= n, nilai e0 di sisikirisamadengan l, sehingganilai integralnya adalah T0.
Secararingkaskemudiankitamendapatibahwa
⎡T0 , k = n
j ( k − n )ω0t
=
e
dt
⎢ 0, k ≠ n
∫0
⎣
.......................................................................(12)
T0
Persamaan di atas hanya akan mempunyai nilai ketika k=n. Integralsepanjang interval T0
menghasilkan ekspresi
T0
∫ x(t ).e
⎡T0 j ( k − n )ω t ⎤
0
dt = ∑ ak ⎢ ∫ e
dt ⎥
k = −∞
⎥⎦
⎢⎣ 0
+∞
− jnω 0 t
0
T0
∫ x(t ).e
− jnω 0 t
dt = an .T0
......................................................(13)
0
Koefisien Fourier ak dapat dengan mudah didefinisikan sebagai berikut,
an =
1
T0
T0
∫ x(t ).e
− jnω0t
dt
....................................................................................(14)
0
Ringkasnya, jika x (t) adalah sebuah fungsi dengan serangkaian representasi Fourier,
[yaitudapatdinyatakansebagaikombinasi linear darieksponensialkompleksharmonic],
maka koefisien diberikan oleh persamaan di atas ini. Pasangan persamaan dapat ditulis
ulang di bawah ini,
+∞
x (t ) =
∑ a .e
jkω0t
k
k = −∞
T
1 0
ak = ∫ x (t ).e − jkω0t dt
T0 0
...............................................................................(15)
Koefisien ak disebut koefisien deret Fourier atau koefisien spektral
Komponen dc = a0terjadi ketika k = 0:
a0 =
1
x (t )dt
T0 T∫0
.......................................................................................(16)
Contoh 1:
Isyarat kotak yang periodis terlihat seperti pada Gambar 2 berikut. Tentukan koefisien
Fourier-nya.
Gambar 2.
Isyarat iniperiodisdenganperiode fundamental T0, sehingga frekuensidasarnya adalah ω0
= 2πf0 dan f0 = 1/T0. Persamaan (1) dipakai untukmenghitungkoefisienderet Fourier dari
fungsi x (t). Interval yang dipakai adalah (- T0/ 2< t N1. Gambar 9(a) adalah sebuah ilustrasi isyarat
ini. Dari isyarat aperiodis ini dapat direkayasa sebuah runtun periodis yang
diperhitungkan untuk hanya periode pertama, sebagaimana digambarkan pada Gambar
9(b). Ketika periode N membesar, maka x[n] menjadi mendekati tak periodis. Ketika
NÆ∞, maka x[n] menjadi tak periodis.
Persamaan dalam bentuk Deret Fourier untuk isyarat periodis, Gambar 9(b), diketahui
dari persamaan (23) sebagai berikut,
x[n ] =
∑ a .e
jkn ( 2π / N )
k
k= N
ak =
1
N
∑ x[n].e
n= N
− jkn ( 2π / N )
............................................................................(33)
Gambar 9. Fungsi Aperiodis dan Fungsi Periodis.
(a) fungsi aperiodis,
(b) fungsi periodis dengan periode T0
Untuk NÆ∞, maka
ak =
+∞
1
N
∑ x[n].e
− jkn ( 2π / N )
N = −∞
+∞
ak N =
∑ x[n].e
− jkn ( 2π / N )
N = −∞
Jika envelope didefinisikan X(ω)=akN, maka persamaan menjadi,
+∞
X (ω ) =
∑ x[n ].e
− jkn ( 2π / N )
N = −∞
........................................................................(34)
Terlihat pada Gambar 9, fungsi aperiodis diskret dapat dilihat sebagai fungsi periodis
dengan N Æ∞. Diketahui bahwa
N = 2π / ω0 , dan ω = kω0
ak =
1
1
X ( kω0 ) = X (ω )
N
N
Maka persamaan (33) dan (34) menjadi,
x[n ] =
1
N
∑ X (kω ).e
jkω0 n
0
k= N
+∞
X (ω ) =
∑ x[n].e
.........................................................................(35)
− jknω0
N = −∞
Diketahui bahwa ω0 =2π/N, sehingga 1/N=ω0/2π, persamaan (35) dapat dituliskan
kembali menjadi,
x[n ] =
1
2π
∑ X (kω ).e
jkω0 n
0
.ω0
k= N
+∞
X (ω ) =
∑ x[n].e
........................................................................(36)
− jknω0
N = −∞
Ketika N Æ∞, maka ω0 Æ dω, dan ω = kω0 . Persamaan (36) membentuk persamaan
pasangan Transformasi Fourier sebagai berikut,
x[ n ] =
1
2π
∫π X (ω ).e
dω
2
+∞
X (ω ) =
jωn
∑ x[n ].e
................................................................................(37)
− jnω
N = −∞
Di sini tampak bahwa X(ω)ej ωn adalah periodis dengan periode 2π.
Contoh 5:
Sebuah isyarat diskret kotak mempunyai persamaan sebagai berikut,
Dengan N1 = 2. Tentukan Transformasi Fourier isyarat tersebut.
Jawab:
Dengan N1 = 2, X (ω ) dapat dicari yaitu,
+2
X (ω ) =
∑e
N = −2
− jnω
=e
j 2ω
+e
jω
+e
− jω
+e
− j 2ω
1.3
Transformasi Fourier Diskret (DFT)
Analisis Fourier merupakan metode yang sangat efisien untuk untuk analisis dan sintesis
sinyal. metode ini sangat erat cocok untuk digunakan pada komputer digital atau untuk
implementasi di hardware digital. Transformasi Fourier Diskret (DFT, Discrete Fourier
Transform) digunakan untuk sinyal durasi berhingga.
Misal x[n] adalah sebuah sinyal dengan durasi terbatas; dan integer N sehingga
x[n] = 0 untuk x[n] diluar interval 0 ≤ n ≤ N ................................................(38)
Asumsikan bahwa x[n] periodis dengan periode N, dari (23) koefisien Fourier diperoleh
dengan
ak =
1
N
∑ x[n ].e
− jkn ( 2π / N )
n= N
Menjadi
ak =
1
N
N −1
∑ x[n ].e
− jkn ( 2π / N )
..........................................................................(39)
n =0
Koefisien-koefisien dari persamaan di atas adalah DFT dari x[n]. Dengan demikian,
isyarat diskret x[n] tak periodis dengan panjang N dapat diasumsikan sebagai isyarat
periodis dengan periode N. Dari (39) Transformasi Fourier Diskret adalah,
1
N
X (k ) =
N −1
∑ x[n ].e
− jkn ( 2π / N )
..........................................................................(39)
n =0
Persamaan (39) disebut dengan Transformasi Fourier Diskret (DFT, Discrete Fourier
Transform). Ketika x[n] dianggap periodis dengan periode N, dari (23) isyarat tersebut
dibentuk dari koefisien-koefisien Fourier sebagai berikut,
∑ a .e
x[n ] =
jkn ( 2π / N )
k
k= N
.............................................................................(40)
N −1
x[n ] = ∑ X ( k ).e
jkn ( 2π / N )
n =0
Persamaan (40) disebut dengan Transformasi Fourier Diskret Balik (IDFT, Inverse
Discrete Fourier Transform).
Persamaan (39) dan (40) membentuk pasangan Transformasi Fourier Diskret (DFT),
yaitu,
X (k ) =
1
N
N −1
∑ x[n].e
− jkn ( 2π / N )
n =0
.......................................................................(41)
N −1
x[n ] = ∑ X ( k ).e
n =0
jkn ( 2π / N )
Risanuri Hidayat,
Jurusan Teknik Elektro dan Teknologi Informasi, FT UGM,
Negeri Ngayogyakarta Hadiningrat 55281, INDONESIA
risanuri@te.ugm.ac.id (risanuri@gmail.com)
Dalam tulisan ini akan dijelaskan domain frekuensi untuk isyarat periodis dan nonperiodis yang mempunyai penyelesaian secara analitik, khususnya Transformasi Fourier.
1.1
Deret Fourier
1.1.1 Deret Fourier untuk isyarat Periodis kontinyu
Sebuahisyaratperiodispastiakanmempunyaipersamaan,
.............................................. (1)
Untuksemua t (waktu).T adalahperiodewaktuketikafungsimulaiterulang.
Setiapfungsi yang periodis ternyata dapat dinyatakan dengan superposisi fungsi sinus dan
kosinus. Telah diketahui bahwa sin ωt fungsi trigonometri dan co sωt yang periodic
dengan periode T = 1 / f = 2π / ω, dengan f adalah frekuensi dalam siklus per detik (Hz)
dan ω adalah frekuensi sudut dalam radian / det. Gambar 1 menunjukkan fungsi periodis,
dengan T0 = 2Π/ ω0 : periode fundamental. ω0 = frekuensi fundamental
Gambar 1.Contoh isyarat periodis
Suatu isyarat periodis dengan periode T0 dapat dinyatakan sebagai jumlahan isyaratisyarat cosines dan/atau sinus dengan periode-periode kelipatan dari T0
+∞
x (t ) =
∑a e
jkω0t
k
............................................................................................... (2)
k = −∞
Dengan ak adalah koefisien atau komponen ke-k, dan k= 0,±1,±2, ... . Untuk k=0 maka
akdisebut komponen dc. Untukk=±1maka ak disebut komponen fundamental. Dan untuk
k=±2, ±3,..maka ak disebut komponen harmonik ke –k.
Ketika k=0 dikeluarkan dari sigma, dan k hanya dituliskan dari +1Æ∞, maka persamaan
menjadi
+∞
x ( t ) = a0 +
∑a e
jkω 0 t
k
+ a − k e − jkω0 t
k = +1
.............................................................. (3)
Jika a* adalah conjugate kompleks dari a, kemudian ganti k dengan –k, maka dari
persamaan di atas akan didapatkan bahwa a*-k=ak atau a*k=a-k. Sehingga persamaan
menjadi
+∞
x (t ) = a0 + ∑ ak e jkω0t + ak*e − jkω0t
k =1
................................................................... (4)
Penjumlahan konjugate kompleks dari persamaan di atas menghasilkan
+∞
x (t ) = a0 + 2∑ Re ak e jkω0t
{
k =1
}
.............................................................................. (5)
Jika ak = Ak e jθk
+∞
x(t ) = a0 + 2∑ Re Ak e j ( kω0 t +θ k
{
k =1
}
.................................................................... (6)
Diketahui bahwa jika ada bilangan kompleks z=x+iy, maka Re{z} adalah bagian real dari
z, yaitu x. Persamaan menjadi
+∞
x (t ) = a0 + 2 ∑ Ak Cos ( kω0 t + θ k )
k =1
......................................................................(7)
Dan jikaakdinyatakandenganak= Bk + j Ck,makadapatdibuktikanbahwa
+∞
x (t ) = a0 + 2∑ [Bk Cos(kω0t ) − Ck Sin( kω0t )]
k =1
....................................................(8)
1.1.2 Koefisien Fourier ak
Anggap bahwa sinyal periodis yang diberikan dapat diwakili dengan persamaan (2),
maka akan dijelaskan bagaimana menentukan koefisien ak. Kalikan kedua sisi (2) dengan
e − jnω0t , akan diperoleh
+∞
x (t ).e − jnω 0 t =
∑a e
jkω 0 t
k
.e − jnω 0 t
k = −∞
..............................................................(9)
Integralkan kedua sisi dari 0 ke T0 = 2π/ω0 , sehingga
T0
∫ x(t ).e
T0 + ∞
− jnω 0 t
0
dt =
∫ ∑a e
k
0 k = −∞
jkω 0 t
.e − jnω0 t dt
...............................................(10)
T0 adalah periode fundamentaldari fungsi x(t)), dan integral kemudian dihitung selama
satu periode ini. Integrasi dan penjumlahan dari persamaan di atas menghasilkan,
T0
∫ x(t ).e
0
⎡T0 j ( k − n )ω t ⎤
0
dt = ∑ ak ⎢ ∫ e
dt ⎥
k = −∞
⎢⎣ 0
⎥⎦ ...............................................(11)
+∞
− jnω 0 t
Lihat integral di dalam kurung []. Untuk k≠n, kedua integral di sisikananadalah nol.
Untuk k= n, nilai e0 di sisikirisamadengan l, sehingganilai integralnya adalah T0.
Secararingkaskemudiankitamendapatibahwa
⎡T0 , k = n
j ( k − n )ω0t
=
e
dt
⎢ 0, k ≠ n
∫0
⎣
.......................................................................(12)
T0
Persamaan di atas hanya akan mempunyai nilai ketika k=n. Integralsepanjang interval T0
menghasilkan ekspresi
T0
∫ x(t ).e
⎡T0 j ( k − n )ω t ⎤
0
dt = ∑ ak ⎢ ∫ e
dt ⎥
k = −∞
⎥⎦
⎢⎣ 0
+∞
− jnω 0 t
0
T0
∫ x(t ).e
− jnω 0 t
dt = an .T0
......................................................(13)
0
Koefisien Fourier ak dapat dengan mudah didefinisikan sebagai berikut,
an =
1
T0
T0
∫ x(t ).e
− jnω0t
dt
....................................................................................(14)
0
Ringkasnya, jika x (t) adalah sebuah fungsi dengan serangkaian representasi Fourier,
[yaitudapatdinyatakansebagaikombinasi linear darieksponensialkompleksharmonic],
maka koefisien diberikan oleh persamaan di atas ini. Pasangan persamaan dapat ditulis
ulang di bawah ini,
+∞
x (t ) =
∑ a .e
jkω0t
k
k = −∞
T
1 0
ak = ∫ x (t ).e − jkω0t dt
T0 0
...............................................................................(15)
Koefisien ak disebut koefisien deret Fourier atau koefisien spektral
Komponen dc = a0terjadi ketika k = 0:
a0 =
1
x (t )dt
T0 T∫0
.......................................................................................(16)
Contoh 1:
Isyarat kotak yang periodis terlihat seperti pada Gambar 2 berikut. Tentukan koefisien
Fourier-nya.
Gambar 2.
Isyarat iniperiodisdenganperiode fundamental T0, sehingga frekuensidasarnya adalah ω0
= 2πf0 dan f0 = 1/T0. Persamaan (1) dipakai untukmenghitungkoefisienderet Fourier dari
fungsi x (t). Interval yang dipakai adalah (- T0/ 2< t N1. Gambar 9(a) adalah sebuah ilustrasi isyarat
ini. Dari isyarat aperiodis ini dapat direkayasa sebuah runtun periodis yang
diperhitungkan untuk hanya periode pertama, sebagaimana digambarkan pada Gambar
9(b). Ketika periode N membesar, maka x[n] menjadi mendekati tak periodis. Ketika
NÆ∞, maka x[n] menjadi tak periodis.
Persamaan dalam bentuk Deret Fourier untuk isyarat periodis, Gambar 9(b), diketahui
dari persamaan (23) sebagai berikut,
x[n ] =
∑ a .e
jkn ( 2π / N )
k
k= N
ak =
1
N
∑ x[n].e
n= N
− jkn ( 2π / N )
............................................................................(33)
Gambar 9. Fungsi Aperiodis dan Fungsi Periodis.
(a) fungsi aperiodis,
(b) fungsi periodis dengan periode T0
Untuk NÆ∞, maka
ak =
+∞
1
N
∑ x[n].e
− jkn ( 2π / N )
N = −∞
+∞
ak N =
∑ x[n].e
− jkn ( 2π / N )
N = −∞
Jika envelope didefinisikan X(ω)=akN, maka persamaan menjadi,
+∞
X (ω ) =
∑ x[n ].e
− jkn ( 2π / N )
N = −∞
........................................................................(34)
Terlihat pada Gambar 9, fungsi aperiodis diskret dapat dilihat sebagai fungsi periodis
dengan N Æ∞. Diketahui bahwa
N = 2π / ω0 , dan ω = kω0
ak =
1
1
X ( kω0 ) = X (ω )
N
N
Maka persamaan (33) dan (34) menjadi,
x[n ] =
1
N
∑ X (kω ).e
jkω0 n
0
k= N
+∞
X (ω ) =
∑ x[n].e
.........................................................................(35)
− jknω0
N = −∞
Diketahui bahwa ω0 =2π/N, sehingga 1/N=ω0/2π, persamaan (35) dapat dituliskan
kembali menjadi,
x[n ] =
1
2π
∑ X (kω ).e
jkω0 n
0
.ω0
k= N
+∞
X (ω ) =
∑ x[n].e
........................................................................(36)
− jknω0
N = −∞
Ketika N Æ∞, maka ω0 Æ dω, dan ω = kω0 . Persamaan (36) membentuk persamaan
pasangan Transformasi Fourier sebagai berikut,
x[ n ] =
1
2π
∫π X (ω ).e
dω
2
+∞
X (ω ) =
jωn
∑ x[n ].e
................................................................................(37)
− jnω
N = −∞
Di sini tampak bahwa X(ω)ej ωn adalah periodis dengan periode 2π.
Contoh 5:
Sebuah isyarat diskret kotak mempunyai persamaan sebagai berikut,
Dengan N1 = 2. Tentukan Transformasi Fourier isyarat tersebut.
Jawab:
Dengan N1 = 2, X (ω ) dapat dicari yaitu,
+2
X (ω ) =
∑e
N = −2
− jnω
=e
j 2ω
+e
jω
+e
− jω
+e
− j 2ω
1.3
Transformasi Fourier Diskret (DFT)
Analisis Fourier merupakan metode yang sangat efisien untuk untuk analisis dan sintesis
sinyal. metode ini sangat erat cocok untuk digunakan pada komputer digital atau untuk
implementasi di hardware digital. Transformasi Fourier Diskret (DFT, Discrete Fourier
Transform) digunakan untuk sinyal durasi berhingga.
Misal x[n] adalah sebuah sinyal dengan durasi terbatas; dan integer N sehingga
x[n] = 0 untuk x[n] diluar interval 0 ≤ n ≤ N ................................................(38)
Asumsikan bahwa x[n] periodis dengan periode N, dari (23) koefisien Fourier diperoleh
dengan
ak =
1
N
∑ x[n ].e
− jkn ( 2π / N )
n= N
Menjadi
ak =
1
N
N −1
∑ x[n ].e
− jkn ( 2π / N )
..........................................................................(39)
n =0
Koefisien-koefisien dari persamaan di atas adalah DFT dari x[n]. Dengan demikian,
isyarat diskret x[n] tak periodis dengan panjang N dapat diasumsikan sebagai isyarat
periodis dengan periode N. Dari (39) Transformasi Fourier Diskret adalah,
1
N
X (k ) =
N −1
∑ x[n ].e
− jkn ( 2π / N )
..........................................................................(39)
n =0
Persamaan (39) disebut dengan Transformasi Fourier Diskret (DFT, Discrete Fourier
Transform). Ketika x[n] dianggap periodis dengan periode N, dari (23) isyarat tersebut
dibentuk dari koefisien-koefisien Fourier sebagai berikut,
∑ a .e
x[n ] =
jkn ( 2π / N )
k
k= N
.............................................................................(40)
N −1
x[n ] = ∑ X ( k ).e
jkn ( 2π / N )
n =0
Persamaan (40) disebut dengan Transformasi Fourier Diskret Balik (IDFT, Inverse
Discrete Fourier Transform).
Persamaan (39) dan (40) membentuk pasangan Transformasi Fourier Diskret (DFT),
yaitu,
X (k ) =
1
N
N −1
∑ x[n].e
− jkn ( 2π / N )
n =0
.......................................................................(41)
N −1
x[n ] = ∑ X ( k ).e
n =0
jkn ( 2π / N )