Konsep dan Limit Fungsi kontinu

MODUL PERKULIAHAN

Matematika
1

(Limit dan kontinuitas Fungsi)
1.
Konsep limit fungsi di satu
titik
2.
Rumus-rumus limit fungsi
3.
Pendahuluan konsep
kekontinuan fungsi

Fakultas

Program Studi

Fakultas
Teknik

Teknik Sipil

TatapMuka

Kode MK

DisusunOleh

02

MK90016

Reza Ferial Ashadi, ST, MT

Abstract

Kompetensi

Cobalah kamu mengambil kembang gula-kembang gula

dalam sebuah tempat dengan genggaman sebanyak lima
kali. Setelah dihitung, pengambilan pertama terdapat 5
bungkus, pengambilan ke dua 6 bungkus, pengambilan ke
tiga 5 bungkus, pengambilan ke empat 7 bungkus, dan
pengambilan kelima 6 bungkus. Jika dirata-rata pada
pengambilan pertama, ke dua, sampai ke lima adalah

Diharapkan setelah membaca modul ini Mahasiswa
mampu:
1. Memahami tentang konsep limit fungsi di satu
titik
2. Memahami penggunaan rumus-rumus limit
fungsi
3. Memahami konsep kekontinuan fungsi

29
5

= 5,8 dan dikatakan hampir mendekati 6. Dalam

contoh sehari-hari, banyak sekali kamu temukan katakata
hampir,
mendekati,
harga
batas,
dan
sebagainya.Pengertian tersebut sering dianalogikan dengan

pengertian limit. Limit merupakan konsep dasar atau
pengantar dari deferensial dan integral pada kalkulus. Untuk
lebih jelasnya, dalam bab ini anda akan mempelajari
tentang konsep limit fungsi di satu titik, rumus-rumus limit
fungsi dan pendahuluan konsep kekontinuan fungsi.

Pembahasan
1. KONSEP LIMIT
Pengertian tentang limit merupakan gagasan yang sagat penting dalam Kalkulus. Kita
bahkan dapat mendefinisikan Kalkulus sebagai pengkajian tentang limit. Dalam kehidupan
sehari-hari, perkataan limit juga dipergunakan, seperti misalnya seseorang berkata, “Saya
mendekati batas kesabaran saya”. Pemakaian yang demikian mempunyai hubungan

dengan Kalkulus, tetapi tidak banyak.
PEMAHAMAN SECARA INTUISI
Pandanglah sebuah fungsi sebagai berikut :

f ( x )=

x 2+ x−6
x−2

Perhatikan bahwa fungsi tersebut tidak terdefinisikan pada x = 2 karena di titik ini f(x)

0
0

berbentuk

, yang tanpa arti. Tetapi kita masih dapat menanyakan apa yang terjadi

pada f(x) bilamana x mendekati 2. Secara lebih tepat, apakah f(x) mendekati beberapa
bilangan tertentu bilamana x mendekati 2? Untuk menjawab pertanyaan ini kita dapat

menggunakan sebuah tabel, seperti dibawah ini.
x
f(x)

1,75
3,75

1,85
4,85

1,95
4,95

1,97
4,97

1,99
4,99

1,999

4,999

…
…

2

…

2,001

2,01

2,1

2,2

2,9

3,1

0
…
0

5,001

5,01

5,1

5,2

5,9

6,1

Dari tabel di atas sepertinya kita bisa mengambil suatu kesimpulan yang sama, bahwa : f(x)
mendekati 5 bilamana x mendekati 2. Dalam lambang matematis, kita bisa tuliskan :
2

lim

x→ 2

x + x −6
=5
x−2

Ini dibaca “limit dari

201
6

2

x 2 + x−6
x−2

untuk x mendekati 2 adalah 5”.

Matematika I
Reza Ferial Ashadi, ST, MT

PusatBahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id

Dengan menjadi seorang ahli aljabar yang baik, kita dapat menguraikan
fungsi di atas, menjadi
lim

x→ 2

x 2+ x −6 ( x+3 ) (x−2) (
=
= x +3 ) =( 2+ 3 )=5 ,
x−2
( x−2)

( x−2)

=1 ,
( x−2)

perhatikan bahwa

selama x ≠ 2.
Dari semua uraian di atas kita dapat memberikan definisi tentang limit.
Definisi
(Pengertian limit secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa

lim f ( x ) =L berarti
x→ c

bahwa bilamana x dekat tetapi berlainan dari c, maka f(x) dekat ke L.

Perhatikan bahwa kita tidak mensyaratkan sesuatu agar tepat benar di c. Fungsi f bahkan
tidak

perlu

f ( x )=

terdefinisi

di

c,

juga

tidak

dalam

contoh

seperti

x 2+ x−6
, yang baru saja kita tinjau. Pemikiran tentang limit dihubungkan
x−2

dengan perilaku suatu fungsi dekat c, bukannya di c.
LIMIT-LIMIT SEPIHAK
Bilamana suatu fungsi mempunyai nilai yang berbeda bila didekati dari kiri dan
didekati dari kanan, maka penggunaan limit-limit sepihak diperlukan dalam hal ini.
Andaikan lambang x → c+ berarti bahwa x mendekati c dari kanan, dan andaikan
lambang x → c- berarti bahwa x mendekati c dari kiri, maka
Definisi
(Limit-kiri dan Limit-kanan). Untuk mengatakan bahwa

x → c +¿ f ( x )=L
lim ¿

berarti

¿

bahwa bilamana x dekat tetapi pada sebelah kanan c, maka f(x) adalah dekat ke L.
Serupa, untuk mengatakan

x → c−¿ f ( x )=L
lim ¿

berarti bahwa bilamana x dekat tetapi

¿

Teorema
−¿

lim f ( x ) =L
x→ c

201
6

3

jika dan hanya jika

x → c f ( x )=L
lim ¿
¿

Matematika I
Reza Ferial Ashadi, ST, MT

PusatBahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id

+¿

dan

x → c f ( x )=L
lim ¿
¿

2. RUMUS-RUMUS LIMIT FUNGSI

Contoh :
Carilah
lim 2 x 4
x→ 3

Penyelesaian

201
6

4

Matematika I
Reza Ferial Ashadi, ST, MT

PusatBahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id

4

lim 2 x 4=2 lim x 4=2 lim x =2[3] 4=162
x→ 3

[

x →3

x→3

]

3

7

2

(Teorema Penggantian).
Jika f suatu fungsi polinom atau fungsi rasional, maka :
lim f ( x ) =f ( c)
x→ c

asalkan dalam kasus fungsi rasional nilai penyebutnya tidak nol di c.
CONTOH :
5

Cari lim

x →2

4

7 x −10 x −13 x +6
2
3 x −6 x−8

Penyelesaian
5

lim
x→ 2

¿−

4

7 x 5−10 x 4−13 x +6 7(2) −10(2) −13(2)+ 6
=
3 x 2−6 x−8
3 (2)2−6(2)−8
11
2

Teorema Apit
Andaikan f, g, h adalah fungsi-fungsi yang memenuhi f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)
untuk semua x dekat c, kecuali mungkin di c.
f ( x ) =lim h ( x )=L , maka lim g ( x ) =L
Jika lim
x→ c
x→ c
x →c

Y
h
201
6

5

Matematika I
Reza Ferial Ashadi, ST, MT

PusatBahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id

g

L

f

0

X

c

CONTOH :
Telah diketahui bahwa

1−x 2
6

≤

sin x
x

≤ 1 untuk semua x yang mendekati tetapi tidak

0. Apa yang dapat kita simpulkan dari hal ini?
Penyelesaian :
Andaikan

f ( x )=

1−x 2
6

,

g (x )=

sin x
x

, dan h(x) = 1, maka

lim f ( x ) =1 , sehingga
x→ 0

menurut teorema apit.

lim

x→ 0

sin x
=1
x

3. PENDAHULUAN KONSEP KEKONTINUAN FUNGSI
Y

f

c
Gambar diatas menunjukkan

X

lim f ( x ) tidak ada
x→ c

Y
f

201
6

6

Matematika I
PusatBahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id

Reza Ferial Ashadi, ST, MT

c

X

Gambar di atas menunjukkan

lim f ( x ) ada, tapi lim f ( x ) ≠ f(c)
x→ c
x→ c

Y
f

c

Gambar di atas menunjukkan bahwa

X

lim f ( x ) = f(c)
x→ c

Definisi
(Kekontinuan di satu titik). Kita katakan bahwa f kontinu di c jika beberapa selang
terbuka di sekitar c terkandung dalam daerah asal f dan

lim f ( x ) =f ( c)
x→ c

Dengan definisi ini kita bermaksud mensyaratkan tiga hal :
1.

lim f ( x ) ada

2.

f ( c ) ada ( yakni ,c berada dalam daera h asal f )
lim f ( x ) =f ( c)

x→ c

3.

201
6

x→ c

7

Matematika I
Reza Ferial Ashadi, ST, MT

PusatBahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id

Jika salah satu dari ketiga fungsi ini tak terpenuhi, maka f tak-kontinu (diskontinu) di c.
Jadi, fungsi yang di wakili oleh grafik yang pertama dan kedua di atas tak-kontinu di c. Tetapi
kontinu di titik-titik lain dari daerah asalnya.

CONTOH:

f ( x )=

1
diskontinu pada x=2, karena
x−2

1. f(2) tak terdefinisikan
2.

lim f (x )

3.

lim f (x ) ≠ f(2)
x→ 2

x→ 2

tidak ada

y
f(x)

2

201
6

8

Matematika I
Reza Ferial Ashadi, ST, MT

PusatBahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id

x

CONTOH :
Tunjukkan bahwa fungsi f(x) = 2x + 1 kontinu di x = 1
Penyelesaian :
1. f(1) = 2(1)+1 = 3 → f(1) terdefinisi
2.

lim f ( x ) =lim ( 2 x+ 1 )=2 (1 )+1=3 → lim f ( x ) terdefinisi
x→ 1
x→ 1
x→ 1

3.

lim f (x ) = f(1)
x→ 1

Ke tiga syarat fungsi disebut kontinu terpenuhi, maka fungsi f(x) = 2x + 1 kontinu di x = 1

y

f(x) = 2x + 1

3

1

-1/2

201
6

9

1

x

Matematika I
Reza Ferial Ashadi, ST, MT

PusatBahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id

CONTOH :
Andaikan

f ( x )=

x 2−4
x−2

, x ≠ 2. Bagaimana seharusnya f didefinisikan di x = 2 agar

kontinu di titik itu?
Penyelesaian

lim

x→ 2

2
( x−2 ) (x +2)
x −4
=lim
=lim ( x +2 )=4
x−2 x →2 ( x−2)
x→ 2

Karena itu, kita definisikan f(2) = 4. Grafik dari fungsi yang dihasilkan diperlihatkan pada
gambar di bawah ini.

4
3
2

1

1

2

3

x 2−4
,x ≠2
x−2
f ( x )=
4 , x=2

201
6

10

Matematika I
Reza Ferial Ashadi, ST, MT

PusatBahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id

CONTOH SOAL

201
6

1.

lim

2.

lim

3.

lim

4.

lim

5.

lim

11

x→ 3

t→4

x→ 3

x→ 1

x→ 2

x 2+3 x−18
2
x −3 x
√ t−2
t −4
9−x2
4− √ x 2+ 7
x 2+ 4 x−5
x−1
2
4−x
2
3− √ x +5

Matematika I
Reza Ferial Ashadi, ST, MT

PusatBahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id

DaftarPustaka
1.

_______. e-paper. ishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/.../Kontinuitas+Fungsi.pdf

2.

_______. e-paper. http://matematikablogscience.blogspot.co.id/2012/03/limit-fungsi.html

3.

_______.

e-paper.

https://eldamathict.files.wordpress.com/2012/03/limit-fungsi-dan-

turunan_kelas-xi_sma-ipa_matematika_nugroho-soedyarto.pdf
4.

Kasmina, Drs, M.Sc, et.al. 2008. MATEMATIKA. Program Keahlian Teknologi,
Kesehatan, dan Pertanian untuk SMK dan MAK Kelas XII. Jakarta. Penerbit Erlangga.

5.

Purcell, Edwin J dan Varberg, Dale. 1990. KALKULUS dan Geometri Analitis. Jilid 1.
Jakarta. Penerbit Erlangga.

201
6

12

Matematika I
Reza Ferial Ashadi, ST, MT

PusatBahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id