Geometri Analitik Kalkulus dan Konsep Ko

1

BAB I
PENDAHULUAN

A. Latar Belakang
Menurut ahli sejarah, Heroditus (450 M) menyatakan bahwa geometri berasal dari
Mesir. Ilmu geometri lahir dari tradisi pengukuran tanah di tepi sungai Nil. Pengukuran tanah
senantiasa dilakukan sebagai akibat banjir yang sering terjadi. Sebuah manuskrip tua orang
Mesir bertajuk Papyrus Rhind yang ditulis oleh Ahmes 200 SM (saat ini disimpan di musium
London Inggris) menginformasikan tentang aturan-aturan dan rumus-rumus untuk mencari
luas ladang dan isi gudang gandum yang digunakan waktu itu. Orang mesir juga telah
mengetahui bahwa bentuk Al-jabar ax + b = 0 secara geometri dapat dinyatakan sebagai garis
lurus. Demikian pula dengan bentuk-bentuk pangkat dua, telah mampu mereka wujudkan
sebagai bentuk-bentuk seperti ellips, parabola, dan hiperbola.
Pada awal abad ke-17 terdapat dua perkembangan penting dalam geometri.
Perkembangan geometri yang pertama dan yang terpenting, adalah penciptaan geometri
analik, atau geometri dengan koordinat dan persamaan, oleh Rene Descartes (1596-1650) dan
Pierre de Fermat (1601-1665). Ini adalah awal yang di perlukan untuk perkembangan
kalkulus. Perkembangan geometrik kedua adalah penyelidikan sistematik dari geometri
projektif oleh Girard Desargues (1591–1661). Di akhir abad ke-17, Isaac Newton dan

Gottfried Wilhelm von Leibniz secara mandiri dan hampir bersamaan mengembangkan
kalkulus ke dalam apa yang sekarang disebut analisis. Hal ini tidak dianggap cabang dari
geometri tetapi berlaku di geometri.
B. Rumusan Masalah
1. Bagaimana sejarah perkembangan geometri analitik?
2. Bagaimana sejarah perkembangan kalkulus?
3. Bagaimana hubungan dengan konsep-konsep yang berkaitan?
C. Tujuan Penulisan
1. Untuk mengetahui sejarah perkembangan geometri analitik.
2. Untuk mengetahui sejarah perkembangan kalkulus.
3. Untuk hubungan dengan konsep-konsep yang berkaitan.
BAB II
PEMBAHASAN

A. Sejarah Perkembangan Geometri Analitik

2

Terdapat perbedaan pendapat tentang siapa yang menemukan geometri analitik. Tidak
diketahui dengan jelas siapa penemu geometri analitik. Kita tahu bahwa Yunani Kuno

menemukan berbagai hal tentang aljabar geometri, dan dikenal banyak orang tentang
koordinat yang digunakan di jaman kuno oleh orang Mesir dan Romawi dalam pembuatan
peta. Dan orang-orang Yunani mempunyai andil besar dalam geometri khususnya persamaan
geometri, persamaan kurva Cartesius, merupakan pendapat asli dari Menaechmus.
Pada abad 14 Nicole Oresme melahirkan dalil-dalil dengan cara pembuatan grafik
kurva variabel bebas (latitudo) yang berbeda dengan grafik kurva variabel tidak bebas
(longitudo). Semua ini masih jauh dari apa yang sebenarnya kita pikirkan tengan gemetri
analitik, dan mungkin memang benar bahwa kontribusi konstanta telah ditemukan Descartes
dan Fermat pada abad ke 17 sebagai suatu hal penting dalam geometri analitik.
Pada awal abad ke-17 terdapat dua perkembangan penting dalam geometri.
Perkembangan geometri yang pertama dan yang terpenting, adalah penciptaan geometri
analik, atau geometri dengan koordinat dan persamaan, oleh Rene Descartes (1596-1650) dan
Pierre de Fermat (1601-1665). Ini adalah awal yang di perlukan untuk perkembangan
kalkulus. Perkembangan geometrik kedua adalah penyelidikan sistematik dari geometri
projektif oleh Girard Desargues (1591–1661). Geometri projektif adalah penyelidikan
geometri tanpa ukuran, cuma dengan menyelidik bagaimana poin selari dengan satu sama
lain.
Para Penemu Geometri Analitik
1. Rene Descartes (1596-1650)
Matematikawan Rene Descartes, yang lahir di sebuah Desa La Haye Prancis 1596,

adalah orang yang memiliki ketertarikan pada bidang geometri analitik. Terobosan baru
pada penemuan karya matematika dalam bidang analitik geometri yang dipelopori oleh
Descartes. Pemikiran Descartes mengenai geometri analitik dituangkan dalam tulisanya
yang berjudul “La Géométrie”. Karyanya yaitu koordinat kartesius. Uraian geometri
pada bagian pertama dari karya ini diuraikan mengenai aljabar geometri sebagai
pengembangan dari aljabar geometri gerik purbakala. Saat Beliau mempelajari bentukbentuk dengan menggunakan sumbu-sumbu. Descartes menemukan hasil mengejutkan,
diketahui bahwa semua bentuk mempunyai kategori persamaan umum, seperti halnya
garis lurus. Menentukan suatu titik memenuhi relasi x dan y.
Pada suatu sumbu dilukiskan x, mengapit sudut tertentu dengan sumbu yang
dilukiskan y, maka terbentuk (x,y). Untuk menangani garis-garis dan bentuk-bentuk
ruang diperlukan sebuah grafik untuk menggambarkannya. Grafik dibuat dengan
menyilangkan garis horizontal - diberi nama sumbu x, dengan garis vertikal – diberi nama
sumbu y, dimana persilangan itu terjadi pada titik nol [0]. Pada sumbu x sisi kanan adalah

3

positif sedang sisi kiri negatif. Begitu pula, bagi sumbu y di sisi atas adalah positif dan
sedang di sisi bawah negatif. Bentuk-bentuk atau garis-garis dapat digambar pada grafik
sesuai dengan posisinya yang ditandai dengan angka-angka. Sebagai contoh, sebuah titik
dapat digambarkan oleh dua angka, satu menunjukkan jarak pada sumbu x dan lainnya

menunjukkan jarak pada sumbu y.
Misal: titik P dihadirkan dengan dua angka 3 dan 2 menunjuk 3 satuan ukuran pada
sumbu x dan 2 satuan ukuran pada sumbu y dan ditulis dengan notasi titik P (2,3). Notasi
positif karena berada di kuadran 1. Pada kuadran 2, maka titik pada sumbu x bertanda
negatif dan titik pada sumbu Y positif seperti pada contoh (-2,3). Pada kuadran 3, titiktitik pada sumbu X maupun sumbu Y, sama-sama negatif seperti contoh (-1,-2). Untuk
kuadran 4, titik pada sumbu X positif sedang titik pada sumbu Y bertanda negatif seperti
(2,-3). Untuk lebih jelasnya Anda bisa melihat gambar di bawah ini.
Gambar 1

Saat Beliau mempelajari bentuk-bentuk dengan menggunakan sumbu-sumbu,
Descartes menemukan hasil mengejutkan. Diketahui bahwa semua bentuk memunyai
kategori persamaan umum, seperti halnya garis lurus. Menggambar theorema Pythagoras,
pada sebuah lingkaran dengan pusat pada titik (0,0) dengan x dan y masing-masing
menunjuk jarak dari titik pusat dan r adalah jari-jari lingkaran, diperoleh x² + y² = r².
Rumus di atas merupakan fungsi lingkaran.
Gambar 2

4

Ide dasar sistem ini dikembangkan pada tahun 1637 dalam dua tulisan karya

Descartes.

Pada

bagian

kedua

dari

tulisannya

“Discourse

on

Method”,

ia

memperkenalkan ide baru untuk menggambarkan posisi titik atau obyek pada sebuah
permukaan, dengan menggunakan dua sumbu yang bertegak lurus antar satu dengan yang
lain. Dalam tulisannya, “La Géométrie”, ia memperdalam konsep-konsep yang telah
dikembangkannya.
2. Pierre de Fermat (1601-1665)
Fermat lahir di Toulouse, anak dari seorang saudagar kulit. Beliau memperoleh
pendidikan di bidang hukum, dan bekerja sebagai ahli hukum dengan penampilannya
yang sederhana. Beliau dipandang sebagai ahli yang amat teliti dalam tugasnya dan
bersikap rendah hati sebagai anggota dewan kota praja Toulouse pada usia 30 tahun.
Beliau memanfaatkan waktu luangnya belajar matematika. Bersamaan dengan saat
Descartes merumuskan dasar geometri analitik, Fermat juga mempelajari bahan pelajaran
itu. Maka Fermat dipandang sebagai jenius matematika Prancis abad-17.
Fermat menekuni “olah raga” paling menantang pada masa itu yakni memburu dan
melakukan restorasi barang-barang peninggalan kuno. Dengan dasar bahan-bahan yang
diperoleh, Fermat merekonstruksi Plane Loci dari Apollonius dan meng-update “Koleksi
Matematika” (Mathematical Collection) dari Pappus dari Alexandria.
Pada tahun 1629, Fermat memberikan salinan karya Apollonius yang selamat,
Plane Loci, kepada salah seorang matematikawan di sana. Tidak lama kemudian, Fermat
mencetuskan karya tentang maksimal, minimal dan tangen, di mana karya itu kemudian
diberikan kepada Etienne d’Espagnet yang memunyai minat sama terhadap matematika

guna dipelajari. Hasil sampingan dari upaya Fermat ini adalah suatu penemuan. Pada
tahun 1636, Fermat mencetuskan prinsip dasar analitik geometri:
Apabila diketahui persamaan dengan dua peubah (variabel) yang tidak diketahui
dan dapat dihitung, akan didapat locus, yang secara gamblang menunjukkan suatu
garis, lurus atau lengkung.
Pernyataan di atas, ditulis setahun sebelum Descartes menerbitkan Geometry,
tampaknya merupakan pengembangan dari aplikasi Fermat terhadap analisis Viete guna
mempelajari loci dari Apollonius.

5

Gambar 3
Gambar di atas tampak seperti bukit dan lembah. Yang membedakan hanyalah
gambar tersebut terletak dalam sistem kuadran dari Descartes. Perhatikan bahwa garis
lengkung itu memunyai maksimal (titik tertinggi) dan minimal (titik terendah). Disebut
tertinggi dan terendah karena dibandingkan dengan titik-titik yang terletak disebelahnya.
Sekarang, amatilah tangen masing-masing titik maksimal dan minimal yang terletak pada
sumbu t yang sejajar dengan sumbu x.
Arah tangen pada titik ekstrim (maksimal dan minimal) dari f(t) adalah titik nol.
Apabila kita mencari titik ekstrim dari fungsi, f(t), maka kita dapat menyelesaikan

problem arah (slope) untuk kurva y = f(t), dan tentukan bahwa arah untuk titik t, y sama
dengan 0, bila arah itu diekspresikan dengan notasi aljabar. Hal ini sangat penting guna
menemukan nilai t yang sesuai dengan titik ekstrim. Metode penemuan Fermat pada
tahun 1628 - 1629, tidak pernah dipublikasikan sampai sekitar satu dekade lamanya.
Penemuan ini baru diketahui karena karya tersebut dikirim ke Descartes lewat
perantaraan Mersenne.
B. Sejarah Perkembangan Kalkulus
Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman
kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern.
Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah
muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas
yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus
Moskwa Mesir (c. 1800 SM) di mana orang Mesir menghitung volume piramida terpancung.
Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang
menyerupai kalkulus integral.
Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep
kecil takterhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk
persamaan diferensial dasar. Persamaan ini kemudian mengantar Bhaskara II pada abad ke-12

6

untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil
takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari “Teorema Rolle“. Sekitar tahun 1000,
matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan
rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi
matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil
pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral. Pada abad ke12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil
yang penting dalam kalkulus diferensial. Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan
matematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus
khusus dari.. deret Taylor, yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.
Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang
oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John
Wallis danIsaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus. James Gregory membuktikan
sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668. Leibniz dan Newton
mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang
ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang
hampir

bersamaan.

Newton

mengaplikasikan

kalkulus

secara

umum

ke

bidang fisikasementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak
digunakan sekarang. Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk
pertama kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas
untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya
terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh
Leibniz mencuri pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering
dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari Royal Society. Pemeriksaan secara
terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai

dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan
penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang
memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton
menamakannya “The science of fluxions“. Sejak itu, banyak matematikawan yang
memberikan kontribusi terhadap pengembangan lebih lanjut dari kalkulus.
Kalkulus menjadi topik yang sangat umum di SMA dan universitas zaman modern.
Matematikawan seluruh dunia terus memberikan kontribusi terhadap perkembangan kalkulus.
Para Penemu Kalkulus
1. Archimedes (287-212 SM), merupakan seorang fisikawan sekaligus matematikawan dari
Syracuse, Yunani. Pada abad kedua sebelum masehi, Archimedes telah menemukan ide

7

penjumlahan untuk menentukan luas sebuah daerah tertutup dan volume dari benda putar.
Diantaranya adalah rumus lingkaran, luas segmen parabola, volume bola, volume kerucut,
serta volume benda putar yang lain. Ide penjumlahan ini merupakan salah satu konsep
dasar dari Kalkulus Integral.
2. Isaac Newton (1642-1727 M), merupakan seorang matematikawan sekaligus fisikawan
dari Inggris. Isaac Newton dan Gottfried wilhelm Leibniz dalam kurun waktu yang hampir
bersamaan, meskipun bekerja sendiri-sendiri, telah menemukan hubungan antara
Kalkulus Differansial dan Kalkulus Integral. Walaupun konsep luas daerah yang dibatasi
oleh kurva tertutup (integral tertentu) telah lebih dahulu diketahui, tetapi I Newton dan
Leibniz merupakan dua tokoh terkemuka dalam sejarah Kalkulus. Sebab, mereka mampu
mengungkapkan hubungan yang erat antara antiderivatif dengan intagral tertentu.
Hubungan ini dikenal dengan Teorema Dasar Kalkulus.
3. Gottfried wilhelm Leibniz (1646-1716 M), merupakan seorang ilmuwan jenius dari
Leipzig, Jerman. Leibniz seorang ilmuwan serba-bisa. Ia mendalami bidang hukum,
agama, filsafat, sejarah, politik, geologi, dan matematika. Selain Teorema Dasar Kalkulus
yang dikembangkan bersama Newton, Leibniz juga terkenal dengan pemakaian lambang
matematika. Lambang dx/dy bagi turunan dan lambang ∫ bagi integral merupakan
lambang-lambang yang diusulkan oleh Leibniz dalam Hitung Differensial dan Hitung
Integral.
4. George Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866 M), merupakan seorang matematikawan
dari Gottingen, Jerman. Meskipun Teorema Dasar Kalkulus telah dikemukakan oleh
Newton, namun Riemann memberi definisi mutakhir tentang integral tentu. Atas
sumbangannya inilah integral tentu sering disebut sebagai Integral Riemann.
C. Konsep-Konsep yang Berkaitan
Teorema dasar kalkulus menjelaskan relasi antara dua operasi pusat kalkulus, yaitu
pendiferensialan (differentiation) dan pengintegralan (integration).
Bagian pertama dari teorema ini, kadang disebut sebagai teorema dasar kalkulus
pertama, menunjukkan bahwa sebuah integral taktentu dapat dibalikkan menggunakan
pendiferensialan.
Bagian kedua, kadang-kadang disebut sebagai teorema dasar kalkulus kedua,
mengijinkan seseorang menghitung integral tertentu sebuah fungsi menggunakan salah satu
dari banyak antiturunan. Bagian teorema ini memiliki aplikasi yang sangat penting, karena ia
dengan signifikan mempermudah perhitungan integral tertentu.
Penyataan yang pertama kali dipublikasikan dan bukti matematika dari versi terbatas
teorema dasar ini diberikan oleh James Gregory (1638-1675). Isaac Barrow membuktikan
versi umum bagian pertama teorema ini, sedangkan anak didik Barrow, Isaac Newton (1643-

8

1727) menyelesaikan perkembangan dari teori matematika di sekitarnya. Gottfried Leibniz
(1646–1716) mensistematisasi ilmu ini menjadi kalkulus untuk kuantitas infinitesimal.
Teorema dasar kalkulus kadang-kadang juga disebut sebagai Teorema dasar kalkulus
Leibniz atau Teorema dasar kalkulus Torricelli-Barrow.
1. Turunan
Turunan dari suatu fungsi mewakili perubahan yang sangat kecil dari fungsi tersebut
terhadap variabelnya. Proses menemukan turunan dari suatu fungsi disebut sebagai
pendiferensialan ataupun diferensiasi.
Grafik fungsi turunan

Secara matematis, turunan fungsi ƒ(x) terhadap variabel x adalah ƒ′ yang nilainya
pada titik x adalah:

,
Dengan syarat limit tersebut berlaku. Jika ƒ′ berlaku pada titik x tertentu, kita katakan
bahwa ƒ terdiferensialkan (memiliki turunan) pada x, dan jika ƒ′ berlaku di setiap titik
pada domain ƒ, kita sebut ƒ terdiferensialkan.
Sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi

pada titik (3,9):

Ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari turunan atau kemiringan
dari sebuah grafik disebut kalkulus diferensial

9

Garis singgung sebagai limit dari garis sekan. Turunan dari kurva f(x) di suatu titik

adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut.
Kemiringan ini ditentukan dengan memakai nilai limit dari kemiringan garis sekan.
Notasi Pendiferensialan
Terdapat berbagai macam notasi matematika yang dapat digunakan untuk menyatakan
turunan, meliputi notasi Leibniz, notasi Lagrange, notasi Newton, dan notasi Euler.
1) Notasi Leibniz diperkenalkan oleh Gottfried Leibniz dan merupakan salah satu

notasi yang paling awal digunakan. Ia sering digunakan terutama ketika hubungan
antar y = ƒ(x) dipandang sebagai hubungan fungsional antara
variabel bebas dengan variabel terikat. Turunan dari fungsi
tersebut terhadap x ditulis sebagai:

ataupun
2) Notasi Lagrange diperkenalkan oleh Joseph Louis Lagrange dan merupakan

notasi yang paling sering digunakan. Dalam notasi ini, turunan fungsi ƒ(x) ditulis
sebagai ƒ′(x) ataupun hanya ƒ′.
3) Notasi Newton, juga disebut sebagai notasi titik, menempatkan titik di atas fungsi
untuk menandakan turunan. Apabila y = ƒ(t), maka mewakili turunan y terhadap
t. Notasi ini hampir secara eksklusif digunakan untuk melambangkan turunan
terhadap waktu. Notasi ini sering terlihat dalam bidang fisika dan bidang
matematika yang berhubungan dengan fisika.
4) Notasi Euler menggunakan operator diferensial D yang diterapkan pada fungsi ƒ
untuk memberikan turunan pertamanya Df. Apabila y = ƒ(x) adalah variabel
terikat, maka sering kali x dilekatkan pada D untuk mengklarifikasikan
keterbebasan variabel x. Notasi Euler kemudian ditulis sebagai:

10

atau

.
Notasi Euler ini sering digunakan dalam menyelesaikan

persamaan diferensial linear.

Turunan ƒ(x)
terhadap x

Notasi

Notasi

Notasi

Notasi

Leibniz

Lagrange

Newton

Euler

ƒ′(x)

dengan y =
ƒ(x)

2. Integral
Integral dapat dianggap sebagai perhitungan luas daerah di bawah kurva ƒ(x), antara
dua titik a dan b. Integral merupakan suatu objek matematika yang dapat
diinterpretasikan sebagai luas wilayah ataupun generalisasi suatu wilayah. Proses
menemukan integral suatu fungsi disebut sebagai pengintegralan ataupun integrasi.
Integral dibagi menjadi dua, yaitu: integral tertentu dan integral tak tentu. Notasi
matematika yang digunakan untuk menyatakan integral adalah

, seperti huruf S yang

memanjang (S singkatan dari "Sum" yang berarti penjumlahan).
a. Integral Tertentu
Diberikan suatu fungsi ƒ bervariabel real x dan interval antara [a, b] pada garis real,
integral tertentu:

11

Secara informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi
oleh kurva grafik ƒ, sumbu-x, dan garis vertikal x = a dan x = b.
Pada notasi integral di atas: a adalah batas bawah dan b adalah batas atas yang
menentukan domain pengintegralan, ƒ adalah integral yang akan dievaluasi terhadap
x pada interval [a,b], dan dx adalah variabel pengintegralan.
Prinsip-prinsip dan teknik integrasi dikembangkan terpisah oleh Isaac Newton
dan Gottfried Leibniz pada akhir abad ke-17. Melalui teorema fundamental kalkulus
yang mereka kembangkan masing-masing, integral terhubung dengan diferensial: jika
f adalah fungsi kontinu yang terdefinisi pada sebuah interval tertutup [a, b], maka, jika
antiturunan F dari f diketahui, maka integral tertentu dari f pada interval tersebut dapat
didefinisikan sebagai:

b. Integral Tak Tentu
Manakala integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan
mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval
tertutup yang norma partisinya mendekati nol, teorema dasar kalkulus (lihat bagian
bawah) menyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat dihitung
dengan mudah apabila kita dapat mencari antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut.
Apabila:

Keseluruhan himpunan antiturunan sebuah fungsi ƒ adalah integral tak tentu ataupun
primitif dari ƒ terhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai:

12

Ekspresi F(x) + C adalah anti turunan umum ƒ dan C adalah konstanta sembarang.
Misalkan terdapat sebuah fungsi

, maka integral tak tentu ataupun

antiturunan dari fungsi tersebut adalah:

Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu
dalam bentuk

adalah sebuah bilangan, manakala integral tak tentu :

adalah sebuah fungsi yang memiliki tambahan konstanta sembarang C.

BAB III
PENUTUP

A. Kesimpulan
Pada awal abad ke-17 terdapat dua perkembangan penting dalam geometri.
Perkembangan geometri yang pertama dan yang terpenting, adalah penciptaan geometri
analik, atau geometri dengan koordinat dan persamaan, oleh Rene Descartes (1596-1650)
dan Pierre de Fermat (1601-1665). Ini adalah awal yang di perlukan untuk perkembangan
kalkulus. Perkembangan geometrik kedua adalah penyelidikan sistematik dari geometri
projektif oleh Girard Desargues (1591–1661). Geometri projektif adalah penyelidikan
geometri tanpa ukuran, cuma dengan menyelidik bagaimana poin selari dengan satu sama
lain. Di akhir abad ke-17, Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm von Leibniz secara mandiri
dan hampir bersamaan mengembangkan kalkulus ke dalam apa yang sekarang disebut
analisis. Hal ini tidak dianggap cabang dari geometri tetapi berlaku di geometri.
B. Saran
Mengingat keterbatasan sumber literatur penulis, maka untuk keakuratan data
sejarah yang diperoleh, disarankan kepada pembaca juga memiliki sumber literatur lain
yang lebih valid, di luar sumber bacaan dari internet – yang belum dapat divalidasi
seluruhnya.