Makalah Geometri Analit Bidang Konsep Ja
Makalah Geometri Analit Bidang
“ Konsep Jarak “
Dosen Pengampu : Nina Agustyanigrum S. Pd, M. Pd
Kelompok 1
Anggota :
1. Reny Rosida 14.05.0.047
2. Fathiya Eka Putri 14.05.0.0
3. Aprillia Anggraini 14.05.0.0
4. Rina Arini S 14.05.0.0
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
MATEMATIKA SEMESTER III UNIVERSITAS RIAU
KEPULAUAN TAHUN 2015/2016
KONSEP JARAK
A. Jarak Antara Dua Titik
Secara geometri, titik adalah unsur geometri yang paling sederhana. Titik adalah
sesuatu yang punya kedudukan, tetapi titik tidak punya ukuran. Titik biasanya
direpresentasikan dengan sebuah noktah “.”, dan diberi nama dengan menggunakan
huruf kapital seperti A, B, atau C, dan seterusnya.
Gambar memperlihatkan dua buah titik,
yaitu titik B dan titik Q.
Misalkan P1 dan P2 dua titik pada garis dan misalkan mempunyai koordinat x 1 dan
x2.
Dalam (a) berlaku :
P1 P2=OP 2−OP 1=x 2−x 1
Dalam (b) berlaku :
−x
(¿ ¿ 2)=x 2−x 1
P1 P2=P1 O−P2 O=−x 1−¿
Dalam (c) berlaku :
P1 P2=P1 O+OP 2=−x 1 + x 2=x 2−x 1
Jadi dapat dilihat bahwa
P1 P2=x 2−x 1
didalam semua kasus dalam hal
dimana P2 berada di kanan P1. Jika P2 berada dikiri P1 maka dengan cara yang sama
akan diperoleh
P1 P2=x 1−x 2
Jadi P1P2 dapat selalu dipresentasikan sebagai koordinat terbesar dikurangi
koordinat terkecil. Karena
x 2−x 1 dan
x 1−x 2 berbeda hanya salah satu dikurangi
lainnya dan karena jarak selalu tidak boleh negatif maka jarak antara P1 dan P2 dapat
dirumuskan sebagai :
x2 −x1
¿
¿
¿
P1 P2=| x2 −x1|=√ ¿
Bentuk ini adalah notasi jarak yang umum tanpa memandang posisi relatif P1
terhadap P2 diketahui ataupun tidak.
Jarak antara dua titik dibidang datar :
Garis vertikal yang melalui P1 dan garis horizontal yang melalui P2 berpotongan
pada titik Q(x1, y2). Berdasarkan gambar tersebut diperoleh bahwa :
QP 2=¿ x2 −x1 ∨¿
dan
P1 Q=¿ y 2− y 1∨¿
Dengan menggunakan teorema phytagoras diperoleh :
2
¿ y 2− y 1∨¿
¿ x 2−x 1∨¿2 +¿
2
´ 12+ QP
´ 22=¿
P1´P2 =QP
Karena |x2 – x1|2 = (x2 – x1)2 = (x1 – x2)2 maka nilai mutlak boleh dihilangkan dalam
langkah ini dan di peroleh
x 2−x 1
¿
¿
¿
P 1 P2= √ ¿
Contoh Soal :
1.
Tentukan jarak antara P1(1,4) dan P2(-3,2) !
P1 ( 1,4 ) x 1=1, y 1=4
P2 (−3,2 ) x 2=−3, y 2=2
x 2−x 1
¿
¿
¿ 2+( y 2 − y 1)2
¿
−3−1
¿
¿
¿ 2+(2−4)2
¿
−4
¿
¿
2
¿ 2+(−2)
¿
P 1 P 2= √ ¿
B. Rasio Pembagian Segmen Garis
Pada bagian ini akan dibicarakan koordinat sebuah titik yang membagi sebuah
segmen garis menjadi dua bagian dengan perbandingan tertentu. Misalkan diketahui
titik P membagi segmen garis AB sedemikian hingga terdapat perbandingan :
AP m
=
PB n
Rasio m : n disebut rasio pembagian. Titik P disebut titik pembagi. Dan P
dikatakan membagi segmen AB secara internal atau eksternal bergantung apakah P
terletak antara A dan B atau di luar segmen AB.
Jika P terletak
antara A dan B
maka rasio pembagian
adalah positif. Hal
ini dikarenakan AP dan PB mempunyai arah yang sama.
Jika P terletak diluar A dan B maka rasio pembagian adalah negatif. Hal ini
dikarenakan AP dan PB mempunyai arah yang berlawanan.
Perhatikan gambar berikut :
Jika koordinat titik A dan B diketahui, dan juga rasio pembagian diketahui maka
koordinat titik P dapat dicari. Pada gambar 1.12. misalkan diketahui titik A dengan
koordinat (x1, y1) dan titik B (x2, y2) dan titik P(xp, yp) membagi segmen garis AB
sedemikian hingga terdapat perbandingan AP : PB = m : n. Berdasarkan sifat
kesebangunan segitiga A’AB dengan P’AP maka diperoleh perbandingan :
AP P ' P
m
=
=
PB A ' B m+n
Sedangkan P’P = xP – x1 dan A’B = x2 – x1 sehingga perbandingan menjadi :
x p− x1
m
=
x 2−x 1 m+ n
mx p + nx p −mx1−nx1 =mx2−mx1
( m+ n ) x p =mx 2 +nx 1
x p=
mx2 +nx 1
m+n
Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa :
y p=
my 2+ny 1
m+n
Contoh Soal :
1.
Tentukan koordinat titik yang membagi segmen dari titik
(−6,2)
ke titik
(4,7) !
Dengan rasio 2:3
Dengan rasio −7 :2
Jawab :
x 1=−6, y 1=2
x 2=4, y 2=7
m=2
n=3
mx +nx 1 2 ( 4 ) +3(−6) 8−18 −10
x p= 2
=
=
=
=−2
m+n
2+3
5
5
my +ny 1 2 (7 ) +3(2) 14 +6 20
y p= 2
=
=
= =4
m+n
2+3
5
5
m = -7
n=2
mx +nx 1 −7 ( 4 ) +2(−6) −28−12 −40
x p= 2
=
=
=
=8
m+n
−7+2
−5
−5
my +ny 1 −7 (7 ) +2(2) −49+ 4 −45
y p= 2
=
=
=
=9
m+n
−7+2
−5
−5
Titik-titik yang berkaitan
dengan jawaban (a) dan (b)
adalah P dan P’ seperti pada
gambar :
C. Titik Tengah Segmen Garis
Rumus penting lain pada kasus
khusus
yang
banyak
digunakan
dalam koordinat Cartesius adalah mencari titik tengah suatu segmen garis, yang
dinyatakan dalam teorema berikut.
Teorema 1.2:
Jika P adalah titik tengah dari
AB
dengan koordinat A(x1, y1) dan B(x1, y1) maka
koordinat titik P diberikan oleh (x, y) dengan rumus :
x=
x1 + x2
y +y
, y= 1 2
2
2
Misalkan P adalah titik tengah dari
AB maka jelas bahwa m : n = 1 : 1, atau m
= n. Jadi untuk mendapatkan titik tengah dari segmen AB, kita hanya menghitung ratarata masing-masing koordinat x dan y dari titik yang diberikan. Dengan kejadian ini
akan beralasan jika menyimpulkan bahwa rata-rata dua temperatur yang berbeda
terletak di tengahnya, rata-rata dua ketinggian akan berada di tengah-tengah antaranya,
dan lain-lain.
Contoh Soal :
1. Tentukan titik tengah dari segmen AB jika koordinat masing-masing titik
diberikan oleh (1,5) dan (−3,−1) !
Jawab :
x1 = 1, y1 = 5
x2 = -3, y2 = -1
x=
x 1 + x 2 1−3 −2
=
= =−1
2
2
2
y=
y 1+ y 2 5+(−1) 4
=
= =2
2
2
2
Jadi titik tengah
P(−1,2)
D. Luas Segitiga dan Poligon Beraturan
Luas dari sebuah segitiga dapat dicari dengan menggunakan rumus :
t
1
L= x alas x tinggi
2
a
Teorema Heron :
Teorema ini biasa digunakan untuk mengetahui luas dari segetiga sembarang.
Misalkan sisi-sisi pada segitiga tersebut dilambangkan dengan huruf a, b, c, maka :
a
L=√ s (s−a)(s−b)(s−c )
b
Dimana
c
1
a+b+ c
s= keliling=
2
2
Sedangkan pada segitiga sama sisi dimana sisinya adalah a, maka luas segitiga adalah :
L=
a
2
√3
4
Untuk mencari luas bangun datar (poligon) beraturan, dapat dicari dengan
menghitung luas salah satu segitiga-segitiga kecil yang menyusunnya :
1
L ∆= x AO x BO x sin 30 °
2
Maka luas poligon digambar adalah :
L=6 x L ∆
Dapat disimpulkan, rumus menentukan luas segi n-beraturan, yaitu :
1
360 °
L=n x x AO x BO x sin (
)
2
n
Contoh Soal :
1.
Tentukan luas bidang datar dibawah ini !
Diketahui jarak AO =
BO = CO = DO = EO =
FO = GO = HO = 14
cm
Jawab : n =
8
360 °
n
(¿)
1
L=n x x AO x BO x sin ¿
2
360 °
8
(¿)
1
L=8 x x 14 cm x 14 cm x sin ¿
2
L=4 x 196 cm 2 x sin 45 °
1
L=784 cm2 x √ 2
2
2
L=392 √ 2 cm
E. Titik Berat dari Segitiga
Cara mencari titik berat dari segitiga :
1. Lukislah sembarang segitiga ABC
Misalkan segitiga ABC dengan titik A(-2,4), B(0,0), C(3,3)
2. Pada sisi AB, BC, AC tentukan titik tengah ketiga sisi tersebut sehingga terdapat
titik D, E, F
x + x −2+ 0
Titik tengah AB , x= a b =
=−1
2
2
y=
y a + y b 4+ 0
=
=2
2
2
x b + x c 0+3 3
1
=
= =1
2
2
2
2
y + y 0+3 3
1
y= b c =
= =1
2
2
2
2
Titik tengah BC , x=
Titik tengah
x a + x c −2+ 3 1
=
=
2
2
2
y a + y c 4+3 7
1
y=
=
= =3
2
2
2
2
AC , x=
3. Hubungkan titik D, E, F dengan titik sudut dihadapannya
4. Titik potong dari ketiga garis tersebut adalah titik berat segitiga
LATIHAN !
1. Tentukan jarak antara titik A (−2,3 ) dan titik B (2,1) !
2. Tentukan koordinat titik yang membagi segmen dari titik P (−1,−2 ) ke titik
R ( 3,2 ) dengan rasio 3 :1 !
3. Berapakah perbandingan rasio jika diketahui koordinat titik E (−1,−1 ) membagi
segmen dari titik D(−3,1) ke titik F( 2,−4 ) ?
4. Tentukan titik tengah dari segmen ST jika koordinat masing-masing titik diberikan
oleh (−3,1) dan ( 3,−1 ) !
5. Hitunglah luas bidang datar berikut jika diketahui jarak AM = 12 cm !
Daftar Pustaka
https://yos3prens.wordpress.com/2012/10/08/jarakantara-dua-titik-pada-bidang-koordinat/
https://www.geogebra.org/material/show/id/110635
http://mafia.mafiaol.com/2014/04/jarak-titik-ke-titik-garis-dan-bidang.html
https://duniamatematika15.wordpress.com/2013/12/06/segitiga/
http://id.wikihow.com/Mencari-Titik-Tengah-Ruas-Garis
https://yos3prens.wordpress.com/tag/rumus-titik-tengah/
http://rumus-matematika.com/rumus-mencari-luas-segitiga-lengkap/
http://id.wikihow.com/Menghitung-Luas-Poligon
https://yos3prens.wordpress.com/2012/11/22/melukis-garis-berat-segitiga-danmenentukan-panjangnya/
Rich, Barnett.2004.Geometri Schaum’s Easy Outline. Jakarta: Erlangga
“ Konsep Jarak “
Dosen Pengampu : Nina Agustyanigrum S. Pd, M. Pd
Kelompok 1
Anggota :
1. Reny Rosida 14.05.0.047
2. Fathiya Eka Putri 14.05.0.0
3. Aprillia Anggraini 14.05.0.0
4. Rina Arini S 14.05.0.0
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
MATEMATIKA SEMESTER III UNIVERSITAS RIAU
KEPULAUAN TAHUN 2015/2016
KONSEP JARAK
A. Jarak Antara Dua Titik
Secara geometri, titik adalah unsur geometri yang paling sederhana. Titik adalah
sesuatu yang punya kedudukan, tetapi titik tidak punya ukuran. Titik biasanya
direpresentasikan dengan sebuah noktah “.”, dan diberi nama dengan menggunakan
huruf kapital seperti A, B, atau C, dan seterusnya.
Gambar memperlihatkan dua buah titik,
yaitu titik B dan titik Q.
Misalkan P1 dan P2 dua titik pada garis dan misalkan mempunyai koordinat x 1 dan
x2.
Dalam (a) berlaku :
P1 P2=OP 2−OP 1=x 2−x 1
Dalam (b) berlaku :
−x
(¿ ¿ 2)=x 2−x 1
P1 P2=P1 O−P2 O=−x 1−¿
Dalam (c) berlaku :
P1 P2=P1 O+OP 2=−x 1 + x 2=x 2−x 1
Jadi dapat dilihat bahwa
P1 P2=x 2−x 1
didalam semua kasus dalam hal
dimana P2 berada di kanan P1. Jika P2 berada dikiri P1 maka dengan cara yang sama
akan diperoleh
P1 P2=x 1−x 2
Jadi P1P2 dapat selalu dipresentasikan sebagai koordinat terbesar dikurangi
koordinat terkecil. Karena
x 2−x 1 dan
x 1−x 2 berbeda hanya salah satu dikurangi
lainnya dan karena jarak selalu tidak boleh negatif maka jarak antara P1 dan P2 dapat
dirumuskan sebagai :
x2 −x1
¿
¿
¿
P1 P2=| x2 −x1|=√ ¿
Bentuk ini adalah notasi jarak yang umum tanpa memandang posisi relatif P1
terhadap P2 diketahui ataupun tidak.
Jarak antara dua titik dibidang datar :
Garis vertikal yang melalui P1 dan garis horizontal yang melalui P2 berpotongan
pada titik Q(x1, y2). Berdasarkan gambar tersebut diperoleh bahwa :
QP 2=¿ x2 −x1 ∨¿
dan
P1 Q=¿ y 2− y 1∨¿
Dengan menggunakan teorema phytagoras diperoleh :
2
¿ y 2− y 1∨¿
¿ x 2−x 1∨¿2 +¿
2
´ 12+ QP
´ 22=¿
P1´P2 =QP
Karena |x2 – x1|2 = (x2 – x1)2 = (x1 – x2)2 maka nilai mutlak boleh dihilangkan dalam
langkah ini dan di peroleh
x 2−x 1
¿
¿
¿
P 1 P2= √ ¿
Contoh Soal :
1.
Tentukan jarak antara P1(1,4) dan P2(-3,2) !
P1 ( 1,4 ) x 1=1, y 1=4
P2 (−3,2 ) x 2=−3, y 2=2
x 2−x 1
¿
¿
¿ 2+( y 2 − y 1)2
¿
−3−1
¿
¿
¿ 2+(2−4)2
¿
−4
¿
¿
2
¿ 2+(−2)
¿
P 1 P 2= √ ¿
B. Rasio Pembagian Segmen Garis
Pada bagian ini akan dibicarakan koordinat sebuah titik yang membagi sebuah
segmen garis menjadi dua bagian dengan perbandingan tertentu. Misalkan diketahui
titik P membagi segmen garis AB sedemikian hingga terdapat perbandingan :
AP m
=
PB n
Rasio m : n disebut rasio pembagian. Titik P disebut titik pembagi. Dan P
dikatakan membagi segmen AB secara internal atau eksternal bergantung apakah P
terletak antara A dan B atau di luar segmen AB.
Jika P terletak
antara A dan B
maka rasio pembagian
adalah positif. Hal
ini dikarenakan AP dan PB mempunyai arah yang sama.
Jika P terletak diluar A dan B maka rasio pembagian adalah negatif. Hal ini
dikarenakan AP dan PB mempunyai arah yang berlawanan.
Perhatikan gambar berikut :
Jika koordinat titik A dan B diketahui, dan juga rasio pembagian diketahui maka
koordinat titik P dapat dicari. Pada gambar 1.12. misalkan diketahui titik A dengan
koordinat (x1, y1) dan titik B (x2, y2) dan titik P(xp, yp) membagi segmen garis AB
sedemikian hingga terdapat perbandingan AP : PB = m : n. Berdasarkan sifat
kesebangunan segitiga A’AB dengan P’AP maka diperoleh perbandingan :
AP P ' P
m
=
=
PB A ' B m+n
Sedangkan P’P = xP – x1 dan A’B = x2 – x1 sehingga perbandingan menjadi :
x p− x1
m
=
x 2−x 1 m+ n
mx p + nx p −mx1−nx1 =mx2−mx1
( m+ n ) x p =mx 2 +nx 1
x p=
mx2 +nx 1
m+n
Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa :
y p=
my 2+ny 1
m+n
Contoh Soal :
1.
Tentukan koordinat titik yang membagi segmen dari titik
(−6,2)
ke titik
(4,7) !
Dengan rasio 2:3
Dengan rasio −7 :2
Jawab :
x 1=−6, y 1=2
x 2=4, y 2=7
m=2
n=3
mx +nx 1 2 ( 4 ) +3(−6) 8−18 −10
x p= 2
=
=
=
=−2
m+n
2+3
5
5
my +ny 1 2 (7 ) +3(2) 14 +6 20
y p= 2
=
=
= =4
m+n
2+3
5
5
m = -7
n=2
mx +nx 1 −7 ( 4 ) +2(−6) −28−12 −40
x p= 2
=
=
=
=8
m+n
−7+2
−5
−5
my +ny 1 −7 (7 ) +2(2) −49+ 4 −45
y p= 2
=
=
=
=9
m+n
−7+2
−5
−5
Titik-titik yang berkaitan
dengan jawaban (a) dan (b)
adalah P dan P’ seperti pada
gambar :
C. Titik Tengah Segmen Garis
Rumus penting lain pada kasus
khusus
yang
banyak
digunakan
dalam koordinat Cartesius adalah mencari titik tengah suatu segmen garis, yang
dinyatakan dalam teorema berikut.
Teorema 1.2:
Jika P adalah titik tengah dari
AB
dengan koordinat A(x1, y1) dan B(x1, y1) maka
koordinat titik P diberikan oleh (x, y) dengan rumus :
x=
x1 + x2
y +y
, y= 1 2
2
2
Misalkan P adalah titik tengah dari
AB maka jelas bahwa m : n = 1 : 1, atau m
= n. Jadi untuk mendapatkan titik tengah dari segmen AB, kita hanya menghitung ratarata masing-masing koordinat x dan y dari titik yang diberikan. Dengan kejadian ini
akan beralasan jika menyimpulkan bahwa rata-rata dua temperatur yang berbeda
terletak di tengahnya, rata-rata dua ketinggian akan berada di tengah-tengah antaranya,
dan lain-lain.
Contoh Soal :
1. Tentukan titik tengah dari segmen AB jika koordinat masing-masing titik
diberikan oleh (1,5) dan (−3,−1) !
Jawab :
x1 = 1, y1 = 5
x2 = -3, y2 = -1
x=
x 1 + x 2 1−3 −2
=
= =−1
2
2
2
y=
y 1+ y 2 5+(−1) 4
=
= =2
2
2
2
Jadi titik tengah
P(−1,2)
D. Luas Segitiga dan Poligon Beraturan
Luas dari sebuah segitiga dapat dicari dengan menggunakan rumus :
t
1
L= x alas x tinggi
2
a
Teorema Heron :
Teorema ini biasa digunakan untuk mengetahui luas dari segetiga sembarang.
Misalkan sisi-sisi pada segitiga tersebut dilambangkan dengan huruf a, b, c, maka :
a
L=√ s (s−a)(s−b)(s−c )
b
Dimana
c
1
a+b+ c
s= keliling=
2
2
Sedangkan pada segitiga sama sisi dimana sisinya adalah a, maka luas segitiga adalah :
L=
a
2
√3
4
Untuk mencari luas bangun datar (poligon) beraturan, dapat dicari dengan
menghitung luas salah satu segitiga-segitiga kecil yang menyusunnya :
1
L ∆= x AO x BO x sin 30 °
2
Maka luas poligon digambar adalah :
L=6 x L ∆
Dapat disimpulkan, rumus menentukan luas segi n-beraturan, yaitu :
1
360 °
L=n x x AO x BO x sin (
)
2
n
Contoh Soal :
1.
Tentukan luas bidang datar dibawah ini !
Diketahui jarak AO =
BO = CO = DO = EO =
FO = GO = HO = 14
cm
Jawab : n =
8
360 °
n
(¿)
1
L=n x x AO x BO x sin ¿
2
360 °
8
(¿)
1
L=8 x x 14 cm x 14 cm x sin ¿
2
L=4 x 196 cm 2 x sin 45 °
1
L=784 cm2 x √ 2
2
2
L=392 √ 2 cm
E. Titik Berat dari Segitiga
Cara mencari titik berat dari segitiga :
1. Lukislah sembarang segitiga ABC
Misalkan segitiga ABC dengan titik A(-2,4), B(0,0), C(3,3)
2. Pada sisi AB, BC, AC tentukan titik tengah ketiga sisi tersebut sehingga terdapat
titik D, E, F
x + x −2+ 0
Titik tengah AB , x= a b =
=−1
2
2
y=
y a + y b 4+ 0
=
=2
2
2
x b + x c 0+3 3
1
=
= =1
2
2
2
2
y + y 0+3 3
1
y= b c =
= =1
2
2
2
2
Titik tengah BC , x=
Titik tengah
x a + x c −2+ 3 1
=
=
2
2
2
y a + y c 4+3 7
1
y=
=
= =3
2
2
2
2
AC , x=
3. Hubungkan titik D, E, F dengan titik sudut dihadapannya
4. Titik potong dari ketiga garis tersebut adalah titik berat segitiga
LATIHAN !
1. Tentukan jarak antara titik A (−2,3 ) dan titik B (2,1) !
2. Tentukan koordinat titik yang membagi segmen dari titik P (−1,−2 ) ke titik
R ( 3,2 ) dengan rasio 3 :1 !
3. Berapakah perbandingan rasio jika diketahui koordinat titik E (−1,−1 ) membagi
segmen dari titik D(−3,1) ke titik F( 2,−4 ) ?
4. Tentukan titik tengah dari segmen ST jika koordinat masing-masing titik diberikan
oleh (−3,1) dan ( 3,−1 ) !
5. Hitunglah luas bidang datar berikut jika diketahui jarak AM = 12 cm !
Daftar Pustaka
https://yos3prens.wordpress.com/2012/10/08/jarakantara-dua-titik-pada-bidang-koordinat/
https://www.geogebra.org/material/show/id/110635
http://mafia.mafiaol.com/2014/04/jarak-titik-ke-titik-garis-dan-bidang.html
https://duniamatematika15.wordpress.com/2013/12/06/segitiga/
http://id.wikihow.com/Mencari-Titik-Tengah-Ruas-Garis
https://yos3prens.wordpress.com/tag/rumus-titik-tengah/
http://rumus-matematika.com/rumus-mencari-luas-segitiga-lengkap/
http://id.wikihow.com/Menghitung-Luas-Poligon
https://yos3prens.wordpress.com/2012/11/22/melukis-garis-berat-segitiga-danmenentukan-panjangnya/
Rich, Barnett.2004.Geometri Schaum’s Easy Outline. Jakarta: Erlangga