Geometri pada Bidang VEKTOR

G EOMETRI PADA B

  IDANG :

V EKTOR A. Kurva Bidang: Representasi Parametrik

  Suatu kurva bidang ditentukan oleh sepasang persamaan parametrik:

    x f t ( ) , y f t ( ) t dalam interval I dengan f dan g kontinu pada interval I.

  Secara umum, kurva dengan persamaan parametrik di atas mempunyai titik awal   . b

  ( ( ), ( )) f a g a dan titik akhir ( ( ), ( )) f b g b dengan a t

  Untuk mengenali suatu kurva jika diketahui persamaan parametriknya, hal yang dapat dilakukan adalah dengan mengeliminasi parameternya. Perhatikan contoh berikut.

  >> Contoh 1

  Kurva apakah yang dinyatakan oleh persamaan parametrik berikut ₂

        b x t 2 t , y t 3 a t

  Jawab:

  y   t  t   y ₂

  3 ₂

  3 _{2 2} x    t 2 t ( y  3)  2( y   3) y  8 y 

  15  

  Persamaan x  y 

  8 y  15 merupakan persamaan parabola dengan titik puncak ( 1, 4) dan terbuka ke kanan.

  >> Contoh 2

  Kurva apakah yang dinyatakan oleh persamaan parametrik berikut

  x  t y  t   t

  2  cos , sin Jawab: Perhatikan bahwa _{2 2 2 2}

  x  y  cos t  sin t  _{2 2}

  1 x y Jadi, titik ( , ) bergerak pada lingkaran satuan x  y  .

  1 Perhatikan pula bahwa parameter t dapat ditafsirkan sebagai sudut (dalam radian). Bila t

  x y  t t

  bergerak dari 0 ke 2 , titik ( , ) (cos ,sin ) bergerak sekali mengelilingi lingkaran dengan arah yang berlawanan arah jarum jam dan mulai dari titik (1, 0) .

  Teorema 1 f t 

  Misalkan f dan g adalah fungsi yang terdiferensialkan secara kontinu dengan '( ) pada

  a   . Maka, persamaan parametrik t b   x f t ( ) , y f t ( )

  dapat didefinisikan dengan y sebagai suatu fungsi yang terdiferensialkan terhadap x, dan

  dy dy dt /  dx dx dt /

  >> Contoh 3

  Tentukan turunan pertama dari fungsi yang memiliki persamaan parametrik:

  x  t y  t   t

  5cos , 4sin

  3 dan hitunglah nilainya saat t   / 6 . Jawab:

  dy dy dt / 4cos t

  4

    cot t

dx dx dt /  5sin t

  5 Saat t   / 6 , dy

  4 4 4 3   

    cot    3    

  dx

  5

  6

  5

  5  

  >> Contoh 4 _{3 2} y dx x   dan

  2 t 1 y t Hitunglah jika   2 .

   ₁ Jawab: x   , didapat

  2 t 1 dx  2 dt Dari .

  x  : x   t    t  t   t 

  Saat

  1

  2 1 1 2

  1

  2

  2

  1         

  Saat x  : ₃ 3 x ₂ 2 t 1 3 2 t ₂

  1 ₃ 2 t 4 t ₂

  2 _{2 2  }

 t 

8   1  

  13

  26 y dx  ( t   2) 2 dt   2 ( t  2) dt  2  2 t  2  4   2   2 

            

  3

  3

  3

  3

  3 _{1 1 1   1  }     B.

Vektor pada Bidang: Pendekatan Secara Geometri

  Vektor dapat dinyatakan secara geometri sebagai ruas garis terarah atau anak panah pada ruang berdimensi n. Arah anak panah menunjukkan arah vektor, sementara panjang anak panah menggambarkan besarannya. Ekor anak panah disebut titik awal, dan ujung anak panah disebut titik akhir. Secara simbolis, vektor dinyatakan dengan huruf kecil tebal (misalnya a, b, v, w) atau dengan huruf kecil yang disertai setengah anak anah pada bagian atasnya (misalnya

  , , , ). Jika titik awal suatu vektor a adalah P dan titik akhirnya adalah Q, maka vektor a dapat

   ditulis sebagai berikut: a = PQ .

  Vektor-vektor dengan ukuran dan arah yang sama disebut ekuivalen. Jika a dan b ekuivalen, maka dapat ditulis sebagai berikut: a = b .

  Penjumlahan vektor dengan hukum jajargenjang :

  Jika v dan w adalah vektor dimensi-dua sehingga posisi dari titik-titik awal mereka seletak, maka kedua vektor tersebut membentuk sisi yang berdekatan dari suatu jajargenjang, dan jumlah v + w adalah vektor yang diwakili oleh anak panah dari titik awal v dan w menuju titik yang ada di seberangnya.

  Penjumlahan vektor dengan hukum segitiga

  : Jika v dan w adalah vektor dimensi-dua sehingga titik awal w merupakan titik akhir v, maka jumlah v + w adalah vektor yang diwakili oleh anak panah dari titik awal v menuju titik akhir w.

  >> Contoh 5

  a) b) C.

Vektor pada Bidang: Pendekatan Secara Aljabar

  a a , Vektor dimensi-dua adalah pasangan terurut bilangan riil a = . _{1 2} Bilangan a dan a merupakan komponen-komponen dari a. _{1 2} C.1 

  Diberikan titik P  ( , ) x y dan Q  ( , x y ) vektor a dengan representasi PQ adalah: _{1 1 2 2}

  a = x  x y ,  y _{2 1 2 1} >> Contoh 6

   B  Carilah vektor yang dinyatakan oleh ruas garis lurus dengan titik awal A (2, 3) dan ( 2,1) .

  Jawab:

   a = AB =   2 2,1 ( 3)   =  4, 4

  C.2 Panjang Vektor

  a a ,

  Panjang vektor dimensi-dua a = adalah: _{1 2 2 2}

  

a a

  |a| =  _{1 2} C.3 Vektor nol (dalam hal ini vektor nol dimensi-dua 0 = 0, 0 ) merupakan satu-satunya vektor yang panjangnya nol. Selain itu, vektor ini juga merupakan satu-satunya vektor yang tidak memiliki arah yang tertentu.

  Jika a adalah vektor taknol sebarang, maka

• –a adalah bentuk negatif dari a yang didefinisikan sebagai vektor yang besarnya sama dengan a, tetapi memiliki arah yang berlawanan.

  C.4 Penjumlahan Vektor

  a a , b b ,

  Jika a = dan b = , maka: _{1 2 1 2}

  a a  b a  b

• b = ,
_{1 1 2 2} C.5 Perkalian Vektor dengan Skalar

  a a ,

  Jika c adalah skalar dan a = , maka: _{1 2}

  

ca ca c a = ,

_{1 2} C.6 Vektor Satuan Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1. Jika a adalah vektor dimensi-dua taknol sebarang dengan a = a a , , maka: _{1 2}

  = |

  | C.7 Vektor Basis Baku Vektor basis baku dimensi-dua adalah:

  i = 1, 0 dan j = 0,1 Vektor basis baku memiliki panjang sama dengan 1. a a ,

  Sebarang vektor a = dapat dinyatakan secara unik dalam bentuk i dan j, yaitu: _{1 2}

  a a a a  a

  = , = 1,0 0,1 = a i + a j _{1 2 1 2 1 2} Teorema 2 Sifat-Sifat Vektor

  V Jika a, b, dan c adalah vektor di , dan d serta e adalah skalar, maka: _n

  1) 5) d (a + b) = d a + d b a + b = b + a 2) 6) (d + e) a = d a + e a a + (b + c) = (a + b) + c 3) 7) (de) a = d (e a) a + 0 = a 4) 8) 1 a = a a + (–a) = 0

  >> Contoh 7

  Jika a = 2i – 3j dan b = i + 5j, carilah |a|, a – b, dan 3a + 4b. Jawab: _{2 2}

  |a| =     

  2 ( 3) 4 9

  13 a

• – b = (2 – 1) i + (–3 – 5) j = i + (–8) j = i – 8j 3a + 4b.= 3(2i
• – 3j) + 4(i + 5j) = (6i – 9j) + (4i + 20j) = (6 + 4) i + (–9 + 20) j = 10i + 11j C.8 Hasil Kali Titik (Dot Product) Jika a = a a , dan b = b b , , maka:
_{1 2 1 2}

  a a b  a b

   b = 1 1 2 2 Hasil dari hasil kali titik ini bukanlah vektor, melainkan berupa bilangan riil, yakni skalar. Oleh karena itu, hasil kali titik kadang-kadang disebut hasil kali skalar atau hasil kali dalam.

  Teorema 3 Sifat Hasil Kali Titik

  V Jika a, b, dan c adalah vektor di , dan d adalah skalar, maka: _n

  2

  1) 4) (c a) a  a = |a|  b = c (a  b) = a  (c b) 2) 5) 0 a  b = b  a  a = 0 3) a  (b + c) = a  b + a  c

  Teorema 4

  Jika adalah sudut antara vektor a dan b, maka:

  a

   b = |a| |b| cos Akibatnya,

   cos =

  | | dengan syarat a dan b bukanlah vektor nol.

  Teorema 5

  Misalkan a dan b adalah vektor-vektor taknol pada V . _n jika dan hanya jika a 0 < <  b > 0.

  2

  < < jika dan hanya jika a  b < 0.

  2

  jika dan hanya jika a =  b = 0. Dengan kata lain, a dan b ortogonal.

  2 >> Contoh 8

  Jika vektor a dan b mempunyai panjang 4 dan 6, serta sudut kedua vektor tersebut adalah  / 6 , carilah a  b.

  Jawab: 

  1 a

  4 6 cos   = 4 6   3 = 12 3

   b =

  6

  2 D.

Fungsi (Bernilai) Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva

  Fungsi (bernilai) vektor adalah fungsi yang daerah asalnya berupa himpunan bilangan riil dan daerah hasilnya berupa himpunan vektor.

  g t

  Jika f t ( ) dan ( ) adalah komponen dari fungsi vektor r (t) = f t g t ( ), ( ) , maka f t ( ) dan g t adalah fungsi bernilai riil yang disebut fungsi komponen dari r (t), dan dapat

  ( )

  dituliskan sebagai berikut:

  r (t) = f t g t ( ), ( ) = f t i + g t j ( ) ( )

  >> Contoh 9

   t ), t Jika r (t) = ln(3 , tentukanlah daerah asal dari r. Jawab: Fungsi komponennya adalah:

  f t   t  ( ) ln(3 ) , g t ( ) t Daerah asal dari r terdiri atas semua nilai t sedemikian rupa sehingga r (t) terdefinisi. f t   t   sedemikian sehingga didapat t t  .

  ( ) ln(3 ) terdefinisi saat

  3

  3 t  .

  g t ( )  t terdefinisi saat t    t    t 

  Jadi, daerah asalnya adalah: { 3} { 0} 3 [0,3)

      Dengan demikian, daerah asal dari r adalah:

  D  t | 0   t 3 ; t

  

Selanjutnya, akan dipelajari bentuk limit, turunan, dan integral dari suatu fungsi vektor.

  D.1 Limit Fungsi Vektor

  g t

  Jika r (t) = f t g t ( ), ( ) = f t ( ) i + ( ) j, maka:

  

r (t) = lim ( ), lim ( ) f t g t = f t i + g t j

lim lim ( ) lim ( ) _{t a   t a t a}  t a t a  

  >> Contoh 10

   t sin t te Carilah lim r (t) dengan r (t) = i + j. _{t } t

  Jawab: _{t sin t}

    

   

  

r (t) = lim te j = 0 i + 1 j = j

lim lim _{t  t  t }  

    i +

  t  

  Teorema 6

  Sifat Limit  , dan misalkan a

  Misalkan u dan v adalah fungsi vektor yang mempunyai limit pada saat t pula c adalah konstanta.

  1) lim [u (t) + v (t)] = lim u (t) + lim v (t) _{t  a t  a t  a} 2) lim c . u (t) = c . lim u (t) _{t  a t  a}

   u v

  3) lim [u (t) lim (t) . lim (t) _{t  a t  a t  a}  v (t)] = D.2 Turunan Fungsi Vektor Turunan r

  ′ dari fungsi vektor didefinisikan sebagai berikut:

• −

  ′

  = = lim

  →0

  D.3 Vektor Singgung Satuan

  ′

  =

  ′

  Teorema berikut memberikan sebuah metode yang tepat untuk menghitung turunan dari suatu fungsi vektor r ; diferensialkan saja masing-masing fungsi komponen dari r.

  Teorema 7

  Sifat Turunan

  f t g t ( ), ( ) g t

  Jika (t) = = f t ( ) i + ( ) j, dengan f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka:

  ′   f t g t  ( ), ( )  f t g t

  (t) = = ( ) i + ( ) j Teorema selanjutnya memperlihatkan bahwa rumus diferensiai untuk fungsi bernilai riil mempunyai rumus-rumus rekanannya untuk fungsi bernilai vektor.

  Teorema 8

  Aturan Diferensiasi Misalkan u dan v adalah fungsi vektor yang terdiferensialkan, c adalah suatu skalar, dan f adalah fungsi bernilai riil, maka:

  d ′ ′

  1) [u (t) + v (t)] = (t) + (t)

  dt d ′ dt d

  ′ 

  3) [f (t) . u (t)] = f t . (t)

  ( ) (t) + f (t) . dt d

  ′ ′

  4) [u (t) (t) (t)  v (t)] =  (t) +  (t)

  dt d ′

   f t f t

  5) [ u ( ) ] = f t ( ) . ( ) (aturan rantai)

      dt

  D.4 Integral Fungsi Vektor Jika r (t) = f t ( ) i + g t ( ) j, maka:

  = + + dengan merupakan konstanta pengintegralan vektor.

  Integral tentu dari suatu fungsi vektor kontinu (t) dapat didefinisikan dengan cara yang sama seperti untuk fungsi bernilai riil, kecuali bahwa integralnya berupa vektor. Integral dari r dapat dinyatakan dalam bentuk integral dari fungsi-fungsi komponennya.

  Teorema 9 Integral Tentu

  Jika f t i + g t j, maka:

  ( ) ( )

  (t) = =

• ( ) >> Contoh 11
_{2 t} 

₃

  i j

• Jika t e , tentukanlah: a. D t [ t .

  (t) = (t)] ₁ b.

  (t) dt

  

  Jawab: a.

Dengan menggunakan Teorema 8 nomor 3, maka didapat:

  3

  2

  2

  3

  4

  2

  3 − − −

  D .

  = 3 2 − = 5 + 3 − + + b. Dengan menggunakan Teorema 9, maka didapat:

  1

  1

  1

  1

  2 − −

• =

  = + 1 −

  3 Selanjutnya, akan diperkenalkan mengenai vektor posisi, vektor kecepatan, kelajuan, dan juga vektor percepatan. D.5 Gerak Sepanjang Kurva

  ′ ′ g t

  Diberikan f t ( ) i + ( ) j. Misalkan (t) ada dan kontinu serta (t) (t) =

  ≠ 0. Maka, vektor kecepatan, kelajuan, dan vektor kelajuan didefinisikan sebagai berikut:

  ′

  Kecepatan : (t) (t) =

  ds ′

  Kelajuan : = | (t) | = | (t) |

  dt ₂ d s d d

  ′

  Turunan kelajuan : = | (t) | = | ₂ (t) |

  dt dt dt ′ ′′

  Percepatan : (t) = (t) (t) =

  >> Contoh 12 _{3 2}

  t i t j

  Vektor posisi dari suatu benda yang bergerak pada bidang diberikan oleh , (t) =

• dengan t ≥ 0. Carilah kecepatan, kelajuan, dan percepatan ketika t = 1.

  Jawab: Kecepatan dan percepatan pada saat t adalah:

  2 ′

  = + 2 = 3

  ′′

  = = 6 + 2 dan, laju pada saat t adalah:

  2

  2

  2

  4

  2

  = = + 4

  9 ( ) = 3

  2

• Ketika t = 1, maka: 1 = 3 + 2 1 = 6 + 2

  (1) = 13 E.

Kelengkungan dan Percepatan

  Jika C adalah kurva mulus yang didefinisikan oleh fungsi vektor (t), maka turunannya

  ′

  tidak sama dengan vektor nol [ (t) ≠ 0]. Kelengkungan C pada suatu titik yang diberikan adalah ukuran seberapa cepat kurva berubah arah di titik tersebut. Secara khusus, didefinisikan kelengkungan sebagai besarnya laju perubahan vektor singgung satuan berdasarkan panjang busur.

  Kelengkungan sebuah kurva adalah: = dengan adalah vektor singgung satuan.

  Ingat kembali mengenai vektor singgung satuan pada D.3 dan kelajuan pada D.5, sehingga kelengkungan sebuah kurva dapat dituliskan sebagai berikut:

  

′ ′

  ( ( ) )

  = =

  ′

  ( )

  ( ) >> Contoh 13 Hitunglah kelengkungan sebuah lingkaran yang berjari-jari a. Jawab: Misalkan saja ada suatu lingkaran yang berpusat di titik asal (0,0) dan berjari-jari a. Maka, persamaan vektor posisinya dapat dituliskan sebagai berikut:

  = cos + sin Maka,

  = − sin + cos

  

2

  2

  = = − sin cos

• ′

  ( ) − sin + cos = = =

  = − sin + cos

  ′

  ( )

  ′

  = − cos − sin

  

2

  ( = 1 ) = − cos

  2 ′

• Dengan demikian,

  − sin

  ′

  (

  1 )

  = =

  ( ) Berdasarkan Contoh 13, oleh karena didapat adalah kebalikan dari jari-jari pada suatu lingkaran, semakin besar lingkarannya, maka semakin kecillah kelengkungan pada lingkaran tersebut.

  Berikut adalah teorema yang penting mengenai kelengkungan sebuah kurva.

  Teorema 10 Kelengkungan Kurva pada Bidang y g t

  1)

  x  f t dan  sedemikian ( ) ( )

  Misalkan diketahui kurva parametrik bidang

  f t g t ( ), ( )

  sehingga r (t) = , maka:

  ′ ′′

  − ′ ′′ =

  2 2 3/2 ′ ′

•  x f x , ( )

  2)

  y f x ( ) sehingga r (t) = , maka:

  Jika kurva bidangnya memiliki persamaan

  

′′

  ( )

  =

  2 3/2

′

  ( 1 + ) >> Contoh 14 Hitunglah kelengkungan pada elips

  x  3cos t y  t

  , 2sin pada titik = 0 dan = /2.

  Jawab: Cari terlebih dahulu turunan pertama dan kedua dari x dan juga y.

  y t x '   3sin t 

  ' 2cos x ''   3cos t   y '' 2sin t Selanjutnya, dengan menggunakan Teorema 10 nomor 1,

  2

  2 ′ ′′

  6 sin

  6 − ′ ′′ + 6 cos

  = = =

  2 2 3/2

  2 2 3/2

  2 2 3/2 ′ ′

• Dengan demikian,

  9 sin 9 sin

• 4 cos + 4 cos

  6

  3 = 0 =

  

3/2

  4

  4

  6

  2 =

  =

  

3/2

  2

  9

  9 Di suatu titik pada suatu kurva yang mulus r (t), terdapat banyak vektor yang ortogonal terhadap vektor singgung satuan T(t), salah satunya adalah vektor normal satuan.

  E.1 Vektor Normal Satuan

  

′

  =

  

′

  Ketika mempelajari gerak partikel, seringkali bermanfaat apabila percepatan diuraikan ke dalam dua komponen; satu dalam arah singgung (percepatan tangensial), dan yang lainnya dalam arah normal (percepatan normal). E.2 Vektor percepatan dapat diekspresikan dalam bentuk:

  = dengan adalah vektor singgung satuan dan adalah vektor normal satuan.

• . .

  Berdasarkan E.2, dapat dilihat bahwa vektor percepatan dapat diuraikan dalam komponen tangensial ( ) dan komponen normal ( ).

  Teorema 11 Percepatan Tangensial dan Percepatan Normal ₂ d s d d

  ′ a  = | (t) | = | v (t) | _{T 2} dt dt dt ₂ ds

   

  2

  2

′

a _{N |} = = (t) | = | v (t) |

    dt

   

  >> Contoh 15 ₂

  1 ₃ t i t j t  . Ekspresikan

  Suatu partikel bergerak dengan vektor posisi r (t) = , dengan +

  3

  vektor percepatannya dalam bentuk dan . Jawab:

  2

  = 2 +

  2

  2

  

2

  2

  4

  2

  = = = + + 4 4 + ( ) = 2

  2

  2

  4 + 2

  2

  2

  = = 4 + ( ) = =

  2

  4 +

  2

  2

  2

  2 ′ ′′

  2 − ′ ′′ − 2

  4

  2

  4

  

2

= = . = .
• 2

  4 + =

  4

  2 3/2

  2

  2 4 3/2 ′ ′

  4 4 + Karena telah diketahui dan , maka:

  =

• . .

  2

  4 + 2

  2

• =

  2

  2

  4 + 4 + Perlu diingat kembali bahwa vektor normal satuan merupakan vektor yang ortogonal dengan vektor singgung satuan, sehingga terbentuklah Teorema 12 berikut ini.

  Teorema 12

  Jika merupakan vektor percepatan, maka:

  2

  

2

  2

• = >> Contoh 16 Tanpa menghitung

  , ekspresikanlah vektor percepatan dari suatu partikel dalam bentuk dan jika vektor posisinya diberikan seperti pada Contoh 15. Jawab:

  2

  = 2 + = 2 + 2

  2

  2

  2

• 2

  = ( ) = 2 2 4 + 4

  2

  

2

  2

  4

  2

  = = = + + 4 4 + ( ) = 2

  2

  2

  4 + 2

  2

  2

  = = 4 + = ( ) =

  2

  4 + Dengan menggunakan Teorema 12, maka:

  2

  

2

  2

  = +

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  4 + 2

  2

  2

  2

  2

  2

  4 4 + 2

  = = = 4 + 4 = − 4 + 4 − −

  2

  2

  2

  4 + 4 + 4 +

  2

  4

  2 = =

  2

  2

  4 + 4 + Karena telah diketahui dan , maka:

  =

• . .

  2

  4 + 2

  2 = +

  2

  2

  4 + 4 +

  L A T I H A N

  1. Tentukan turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi yang memiliki persamaan parametrik: _{2 3}

  x  t _{1 2} 3 , y  2 t ; t  ₃ x   dan t

  1 y t

  2. Hitunglah ( x  4 ) y dx jika   4 .

  

   2, 5  ; b 1,1    6, 0 3. Misalkan: a ; c . Tentukan:

  a. 3a

• – 2b

  b. a  (b + c)

  c. |c| c  b

  4. Tentukan besar sudut  yang dibentuk oleh a dan b jika: a. a = 3i +2j ; b = – i + 4j

  b.  ; b  5,1 a 7,0

  5. Tentukanlah nilai x sehingga a  8, 6 dan b  3, x saling tegak lurus.

  ′ ′′ 6. Tentukan (t) dan (t) jika  t t .

  (t) sin , cos2

  7. Hitunglah:

  a.   t  t jika cos , sin

  /4 b.

  ( ) jika = cos 2 i + sin 2 j

  8. Suatu partikel bergerak memulai pergerakannya dari posisi awal r (0)  1, 0 dengan kecepatan awal v (0) = i (t) = 4t i + 6t j. Carilah kecepatan

• – j. Percepatannya adalah a dan posisi partikel tersebut pada saat t.

  9. Hitunglah kelengkungan ₂ dari titik P jika:

  a. y  x  x saat P (1,0) _{3 2}

  b. ( + t  t ) i ( t  t ) j saat P (2,2) r(t) = 10. a ) dan percepatan normal ( a ) dari suatu gerakan _{T N}

  Hitunglah percepatan tangensial ( benda dengan: ₂

  t i

  a. + t j saat t = 1 r(t) =

  a t a t

  b. saat t = r(t) = cos , sin

  6