NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

  >> DEFINISI NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Jika disebut vektor adalah sebuah matriks × , maka sebuah vektor taknol pada ℝ

  (vektor karakteristik) dari

  eigen

  jika adalah sebuah kelipatan skalar dari ; jelasnya: = untuk skalar sebarang

  . Skalar ini disebut nilai eigen (nilai karakteristik) dari , dan disebut sebagai vektor eigen (vektor karakteristik) dari yang terkait dengan .

  Contoh:

  3

  1 Diberikan vektor dan matriks . = =

  8

  2 −1

  3

  3

  1

  1 = = 3 = 3

  =

  8

  6

  2

  2 −1 ∙

  1

  3 Maka, vektor disebut vektor eigen dari matriks yang terkait dengan = =

  2

  8 −1 nilai eigen

  = 3. Untuk memperoleh nilai eigen dari sebuah matriks berukuran × , persamaan

  = dapat dituliskan kembali menjadi =

  − = − =

  Agar dapat menjadi nilai eigen, harus terdapat satu solusi taknol dari persamaan ini. Persamaan ini memiliki solusi taknol jika dan hanya jika det

  − = 0 Persamaan di atas disebut sebagai persamaan karakteristik dari matriks

  ; skalar-skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai-nilai eigen dari matriks . Persamaan det karakteristik di atas juga bisa dituliskan:

  − = 0 det( Apabila diperluas lagi,

  − ) atau det( − ) adalah sebuah polinomial dalam variabel yang disebut sebagai polinomial karakteristik dari matriks .

  Contoh: Tentukan nilai-nilai eigen dari

  1

  1 =

  4 −17 8

  Pertama, cari dahulu matriks − .

  1

  1

  1 0 0

  1

  1

  1 − = − = −

  4

  1

  4 −17 8 −17 8

  1 −

  =

  1

  − −

  4 −17 8 −

  A

  I Selanjutnya, cari det(   ) .

  d ( et A 

  I )   

  8   1 1 4  0 0  17   4   1  17  1 0 (8  )                               _{2 3}

   (8    ) 4 0 0 17       _{2 3} 8 4 17        _{3 2}

      8  

  1 7  

  4 Dengan menggunakan persamaan karakteristik, diperoleh

  

A  

I  ₃ det( ) ₂

       

₃

  8 ₂

  17

  4    

  

  8  ₂ 17 

  4 (  4)(  4   1)

     ₂ Dengan menggunakan rumus kuadratik, maka solusi untuk ( 

  4   1) adalah 2 

  3   dan 2 

  3 , sehingga didapatlah nilai-nilai eigen dari matriks , yaitu:

  = 4, = 2 + 3, = 2 − 3

  TEOREMA 1

  Jika adalah sebuah matriks segitiga (atas/bawah) atau matriks diagonal, maka nilai-nilai eigen dari adalah entri-entri yang terletak pada diagonal utama matriks .

  Contoh: Tentukan nilai-nilai eigen dari matriks _{3 7}

  2

  10     _{4 8}

   ^{2 } ₃

  29

  2  

  B 

    

  1

  3  

  

  6  

  Berdasarkan Teorema 1, maka nilai-nilai eigen dari matriks B adalah

  3

  2 , . = = = −1, = −6

  4

  3 TEOREMA 2 Jika adalah suatu matriks × dan adalah suatu bilangan riil, maka pernyataan- pernyataan berikut ini adalah ekuivalen. (1) adalah suatu nilai eigen dari . (2)

  Sistem persamaan − = memiliki solusi nontrivial. (3) sedemikian rupa sehingga Terdapat suatu vektor taknol pada ℝ = . (4) adalah suatu solusi dari persamaan karakteristik det( − ) = 0.

  >> MENENTUKAN BASIS UNTUK RUANG EIGEN Setelah mengetahui bagaimana cara mencari nilai eigen, selanjutnya adalah mempelajari bagaimana cara mencari vektor eigen. Vektor-vektor eigen matriks yang terkait dengan suatu nilai eigen adalah vektor-vektor taknol yang memenuhi persamaan

  = . Dengan kata lain, vektor-vektor eigen yang terkait dengan adalah vektor-vektor di dalam ruang solusi matriks yang terkati dengan . Contoh: Tentukanlah basis-basis untuk ruang eigen dari matriks

  −2

  1

  2

  1 =

  1

  3 Persamaan karakteristik dari matriks adalah:

  3

  2

• 5 − − 8 + 4 = 0

  Atau

  3

  2

• 8 − 5 − 4 = 0

  Dengan menggunakan pemfaktoran, didapatlah:

  2

  = 0 − 1 − 2 sehingga, nilai-nilai eigen dari adalah:

  = 1 & = 2 Berdasarkan definisi,

  

1

  

2

  =

  

3

  adalah suatu vektor eigen dari matriks yang terkait dengan jika dan hanya jika = . Hal ini berarti bahwa dikatakan sebagai suatu vektor eigen dari matriks jika dan hanya jika merupakan suatu solusi nontrivial dari persamaan − = , yaitu:

  1

  −2

  2

  = −1 − 2 −1

  3

  −1 − 3 Jika

  = 2, maka diperoleh

  1

  2

  2

  2

  = −1 0 −1

  3

  −1 0 −1 Dengan menggunakan operasi baris elementer, didapatlah

• = 0 =

  1

  3

  1

  3

  → − Karena dari hasil yang didapat, tidak terdapat keterangan mengenai , maka dapat

  2

  2

  dianggap sebagai suatu parameter; misalkan = =

  2 . Dan, misalkan pula 3 , maka:

  = = =

  1 − , 2 ,

  3

  sehingga, vektor eigen dari yang terkait dengan = 2 adalah vektor-vektor taknol yang berbentuk

  1

  − − −1

  2

  1 = = = = + +

  3

  1 Karena −1

  1 &

  1 bebas linier (mengapa?), vektor-vektor ini membentuk suatu basis untuk ruang eigen yang terkait dengan Jika

  = 1, maka diperoleh

  1

  1

  2

  2

  = −1 −1 −1

  3

  −1 −2 Dengan menggunakan operasi baris elementer, didapatlah

• 2 = 0 =

  1 3 → 1 −2

  3

  = 0 =

  2 − 3 →

  2

  3 Misalkan = 3 , maka

  = = =

  1 −2 , 2 ,

  3

  sehingga, vektor eigen dari yang terkait dengan = 1 adalah vektor-vektor taknol yang berbentuk

  1

  −2 −2

  2

  1 = = =

  3

  1 Karena −2

  1

  1 bebas linier (mengapa?), vektor di atas membentuk suatu basis yang terkait dengan = 1.

  Untuk menentukan vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen ( ), harus ditentukan terlebih dahulu basis-basis untuk ruang eigennya.

  Perhatikan kembali contoh di atas. Untuk vektor eigen dari yang terkait dengan = 2 adalah vektor-vektor taknol yang berbentuk

  −1

  =

• 1

  1 Misalkan = 1 dan = 1, maka didapatlah vektor eigen yang terkait dengan = 2 adalah:

  −1 −1 −1

  1

  1 = 1 ∙ + 1 ∙ = =

• 1

  1

  1

  1 Sementara, untuk vektor eigen dari yang terkait dengan = 1 adalah vektor-vektor taknol yang berbentuk

  −2

  1 =

  1 Misalkan = −2, maka didapatlah vektor eigen yang terkait dengan = 1 adalah:

  4 −2

  1 = −2 ∙ = −2

  1 −2

  TEOREMA 3

  Jika adalah bilangan bulat positif, adalah nilai eigen dari suatu matriks , dan adalah vektor eigen yang terkait dengan adalah nilai eigen dari dan

  , maka adalah vektor eigen yang terkait dengannya. Contoh: Pada contoh sebelumnya telah ditunjukkan bahwa nilai-nilai eigen dari matriks

  −2

  1

  2

  1 =

  1

  3

  7

  adalah = 2 dan = 1, sehingga berdasarkan Teorema 3, nilai-nilai eigen dari matriks adalah:

  7

  7

  = 128 & = 1 = 2 = 1

  Selain itu, telah ditunjukkan juga bahwa vektor eigen dari yang terkait dengan = 2 adalah vektor-vektor taknol yang berbentuk

  −1

  =

• 1

  1 Maka, berdasarkan Teorema 3, vektor-vektor eigen dari matriks yang terkait dengan = 2

  7

  7 akan sama dengan vektor-vektor eigen dari matriks yang terkait dengan = 128.

  = 2

7 Begitu pula untuk = 1. Telah ditunjukkan bahwa vektor eigen dari

  = 1 yang terkait dengan

  = 1 adalah vektor-vektor taknol yang berbentuk −2

  1 =

  1 Maka, berdasarkan Teorema 3, vektor-vektor eigen dari matriks yang terkait dengan = 1

  7

  7 akan sama dengan vektor-vektor eigen dari matriks yang terkait dengan = 1.

  = 1

  Soal A: ₉

  1. jika diketahui

  S

  Tentukan nilai-nilai eigen dari

  1 3 

  3    ^{1 } ₂

  7

  2  

  S

    

  1 3    ₂

   ₃   ₅₀ 2.

  T jika diketahui

  Tentukan nilai eigen dan basis untuk ruang eigen  1  2 

  2    

  T

  1

  2

  1   

    1  1   

  >> DIAGONALISASI Sebuah matriks persegi dikatakan dapat didiagonalisasi jika terdapat suatu matriks yang

  −1

  dapat dibalik sedemikian rupa sehingga adalah suatu matriks diagonal. Matriks dikatakan mendiagonalisasi matriks .

  Berikut ini adalah prosedur untuk mendiagonalisasi suatu matriks. 1) , , .

  Tentukan vektor eigen dari yang bebas linier; misalkan

  1 2 … , 2) , , sebagai vektor-vektor kolomnya.

  Bentuklah suatu matriks dengan

  1 2 … , −1

  , , 3) sebagai entri-entri

  1

  2 Matriks kemudian akan menjadi diagonal dengan … ,

  diagonalnya secara berurutan, dengan adalah nilai-nilai eigen yang terkait dengan untuk = 1,2, … , .

  Contoh: Tentukan suatu matriks yang mendiagonalisasi matriks

  −2

  1

  2

  1 =

  1

  3 Dari contoh sebelumnya, telah didapat nilai-nilai eigen dari adalah = 2 dan = 1, serta basis-basis berikut untuk ruang eigen

  −1 = =

  1 = 2 →

  1 &

  2

  1 −2

  =

  1 = 1 →

  3

  1 Terdapat tiga vektor basis secara keseluruhan sehingga matriks dapat didiagonalisasi dan −1 0 −2

  1

  1 =

  1

  1

  −1

  Mendiagonalisasi . Untuk memastikan kebenarannya, carilah .

  1

  2

  2 −2 −1 0 −2

  −1

  1

  1

  1

  1

  2

  1

  1

  1

  2 = ∙ ∙ =

  1

  3

  1

  1

  1 −1 0 −1

  Tidak terdapat urutan yang khusus untuk kolom-kolom matriks . Karena entri ke-i

  −1

  matriks adalah suatu nilai eigen untuk vektor kolom ke-i matriks , maka jika urutan dari kolom-kolom matriks diubah, hal ini hanya akan mengubah urutan dari nilai-nilai

  −1

  eigen pada diagonal matriks . Jadi, sebagai contoh, dengan menuliskan matriks untuk contoh yang di atas

  −1 −2 0

  1

  1 =

  1

  1 maka,

  2

  −1

  1 = .

  2

  TEOREMA 4

  ×

  Jika suatu matriks memiliki nilai eigen yang berbeda, maka dapat didiagonalisasi.

  >> MENGHITUNG PANGKAT SUATU MATRIKS Jika diketahui matriks persegi dapat didiagonalisasi oleh matriks sedemikian rupa

  −1

  sehingga = , maka:

  −1

  = Contoh:

13 Tentukan jika

  −2

  1

  2

  1 =

  1

  3 Pada contoh sebelumnya, matriks di atas dapat didiagonalisasi oleh −1 0 −2

  1

  1 =

  1

  1 dan

  2

  −1

  2 = =

  1 Maka,

  13

  2

  1

  2 −1 0 −2

  13

  13 −1

  = =

  1

  1

  2

  1

  1

  1 ∙ ∙

  1

  1

  1 −1 0 −1

  13

  1

  2

  2 −1 0 −2

  13

  13

  13 −1

  = =

  1

  1

  1

  1

  1

  2 ∙ ∙

  13

  1

  1

  1 −1 0 −1

  −8190 −16382 = 8191 8192 8191

  8191 16383

  Soal B: Diberikan matriks A sebagai berikut.

  1 

  2

  8    

  A  

  1     1  ₁₀₀₀   Tentukan matriks A .