4. FUNGSI DUA atau TIGA PEUBAH - FUNGSI DUA atau TIGA PEUBAH_1.pdf

4. FUNGSI DUA atau TIGA PEUBAH
Fungsi Dua atau Tiga Peubah
Limit dan kekontinuan
Derivatif Parsial
Nilai Ekstrem
Integral Lipat

4.1. Fungsi Dua atau Tiga Peubah
Definisi
Suatu fungsi dua peubah f, adalah suatu aturan yang
mengawankan setiap pasangan terurut bilangan real (x,y) ke
tepat satu bilangan real z, ditulis z=f(x,y).

Koleksi pasangan terurut (x,y) disebut Domain fungsi f, sedangkan
koleksi bilangan real z yang dikawankan dengan anggota Domain
disebut Range f.
Grafik z=f(x,y) adalah suatu luasan (surface).

Contoh :
1.

z=f(x,y)=5−x+3y

(gambar 1)

2.

z=y2−x2

(gambar 2)

3.

z = xye −( x

2

+ y 2 )/ 2

X

(gambar 3)

y

gambar 1

Fungsi Dua atau Tiga Peubah

gambar 2

1

Gambar 3

catatan : serupa dengan fungsi dua peubah, fungsi tiga peubah
ditulis w=f(x,y,z), hanya saja tidak ada grafiknya.

4.2. Limit dan kekontinuan
Bilangan real c disebut limit fungsi f(x,y) untuk (x,y) menuju
(x0,y0), ditulis

lim

( x ,y )→( x 0 ,y 0 )

f (x , y ) = c

jika dan hanya jika :
(∀ε > 0)(∃δ > 0), 0 <

lim

( x ,y )→( x 0 ,y 0 )

(x − x 0 )2 + (y − y 0 )2

< δ ⇒ f (x, y ) − c < ε .

f (x, y ) ada jika hanya jika nilai limit tersebut sama untuk

(x,y) menuju (x0,y0) melalui sebarang kurva mulus di dalam domain f.

Pernyataan ini serupa dengan limit kiri dan limit kanan pada
pembicaraan fungsi satu peubah.

xy
tidak ada, sebab :
( x ,y )→(0,0 ) x + y 2
lim

Contoh :

2

xy
= 0 untuk (x,y)→(0,0) melalui kurva x=0, tetapi
( x ,y )→(0,0 ) x + y 2
xy
lim
= 1 2 untuk (x,y)→(0,0) melalui kurva y=x.
2
( x ,y )→(0,0 ) x + y 2

lim

2

Fungsi Dua atau Tiga Peubah

2

Kekontinuan

Fungsi f dikatakan kontinu di titik (x0,y0), jika hanya jika
lim

( x , y )→( x 0 ,y 0 )

f (x, y ) = f (x 0 , y 0 )

Seperti fungsi satu peubah, pada prinsipnya dapat dinyatakan :
•

komposisi fungsi-fungsi kontinu menghasilkan fungsi kontinu

•

jumlahan, pengurangan atau perkalian fungsi-fungsi kontinu
menghasilkan fungsi kontinu

•

pembagian fungsi-fungsi kontinu juga menghasilkan fungsi
kontinu, kecuali di tempat fungsi penyebut bernilai nol.

Contoh : f (x, y ) =

x3y2
kontinu untuk setiap (x,y) kecuali pada
1 − xy

hiperbola xy=1.

4.3. Derivatif Parsial

Jika lim
h →0

f (x + h, y ) − f (x, y )
ada, maka nilai limit tersebut
h

dinamakan Derivatif Parsial fungsi f terhadap x, disimbolkan
∂f (x, y )
atau fx(x,y). Jadi,
∂x
f x (x, y ) := lim

f (x + h, y ) − f (x, y )
.
h

f y (x, y ) := lim

f (x, y + h) − f (x, y )
h

h→0

Sedangkan
h→0

Aturan menentukan derivatif parsial suatu fungsi terhadap suatu
peubah, serupa dengan aturan derivatif fungsi satu peubah dengan
menganggap peubah lainnya sebagai konstan.

Fungsi Dua atau Tiga Peubah

3

Contoh : f(x,y)=x4sin(xy3)

fx(x,y)=4x3sin(xy3)+x4y3cos(xy3)

fy(x,y)=3x5y2cos(xy3)

Interpretasi Geometri

z

bidang y=b
kurva z=f(x,b)

Luasan z=f(x,y)

P
y

Q(a,b,0)
x
Tangen Garis, gradien=fx(a,b)

Tangen Bidang
(Plane tangent)

z=f(x,y)

P

Tangen Bidang terhadap luasan z=f(x,y) di titik P(a,b,f(a,b))
memenuhi persamaan :
z−f(a,b)=fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b).

Fungsi Dua atau Tiga Peubah

4

Derivatif Parsial Tingkat Tinggi
Tingkat 2

∂ ∂f
∂ 2f
≡
≡ f xx

2
∂x ∂x
∂x

∂ ∂f
∂ 2f
≡
≡ f yy
2
∂y ∂y
∂y

∂ ∂f
∂ ∂f
∂ 2f
∂ 2f
≡ f yx
≡ f xy
≡
≡
∂x∂y ∂x ∂y
∂y∂x ∂y ∂x

Tingkat 3

∂ ∂ 2f
∂ 3f
≡ f xxx
≡
∂x 3 ∂x ∂x 2

∂ ∂ 2f
∂ 3f
≡ f yyx
≡
∂x∂y 2 ∂x ∂y 2

∂ 3f
∂ ∂ 2f
≡
≡ f xyy
∂y 2 ∂x ∂y ∂y∂x

∂ ∂ 2f
∂ 3f
≡ f zyx
≡
∂x∂y∂z ∂x ∂y∂z

dan seterusnya.

Sifat
a. Diketahui f suatu fungsi dua peubah, yaitu f(x,y). Jika semua
derivatif parsial tingkat-1 dan 2 kontinu pada suatu
himpunan terbuka D, maka
fxy(x,y)= fyx(x,y) , ∀(x,y)∈D
b. Diketahui f suatu fungsi tiga peubah, yaitu f(x,y,z). Jika
semua derivatif parsial tingkat-1 dan 2 fungsi f kontinu pada
suatu himpunan terbuka D, maka
fxy=fyx, fxz=fzx dan fyz=fzy , ∀(x,y,z)∈D

Derivatif Parsial Fungsi Bersusun
Diketahui z=f(u,v) dengan u=u(x,y) dan v=v(x,y). Jika f terdiferensial
terhadap u dan v, u dan v masing-masing terdiferensial terhadap x
dan y, maka
∂z
∂z
ada ,
dan
∂x
∂y
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v
dan
dengan
=
+
.
=
+
∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
∂x ∂u ∂x ∂v ∂x

Fungsi Dua atau Tiga Peubah

5

contoh
Diketahui z=euv, dengan u=2x+y dan v=x/y tentukan

∂z
∂z
dan
∂x
∂y

Derivatif Parsial Fungsi Implisit

Diketahui z peubah takbebas, sedangkan x dan y masingmasing peubah bebas. x, y dan z dihubungkan oleh suatu fungsi
F dengan rumus F(x,y,z)=c, c konstan. Jika Fx,Fy dan Fz ada,
dengan Fz ≠ 0 serta F terdeferensial pada daerah D, maka
∂z
∂F / ∂x
∂z
∂F / ∂y
=−
=−
dan
∂F / ∂z
∂F / ∂z
∂x
∂y
contoh
Jika z=f(x,y) dan 2xyz + ( x + y )e 2z − x − y = 0 ,tentukan
3

∂z
∂z
dan
∂x
∂y

4.4. Nilai Ekstrem

Diketahui f : D → R, D⊆R2 , dan (x0,y0)∈D
1. Fungsi f dikatakan mencapai nilai maksimum relatif di (x0,y0)

{

}

jika ∃δ > 0, ∀(x, y ) ∈ D ∩ (x, y ) 0 < (x − x 0 )2 + ( y − y 0 )2 < δ

berlaku f (x, y ) ≤ f (x 0 , y 0 ) . Jika ∀(x, y ) ∈ D ⇒ f (x, y ) ≤ f (x 0 , y 0 )
maka dikatakan f mencapai nilai maksimum mutlak.
2. Fungsi f dikatakan mencapai nilai minimum relatif di (x0,y0)

{

}

jika ∃δ > 0, ∀(x, y ) ∈ D ∩ (x, y ) 0 < (x − x 0 )2 + ( y − y 0 )2 < δ

berlaku f (x, y ) ≥ f (x 0 , y 0 ) . Jika ∀(x, y ) ∈ D ⇒ f (x, y ) ≥ f (x 0 , y 0 )
maka dikatakan f mencapai nilai minimum mutlak.
3. Jika f mencapai maksimum relatif atau minimum relatif di
(x0,y0), maka f dikatakan mempunyai nilai ekstrem relatif.

Fungsi Dua atau Tiga Peubah

6

Maksimum mutlak
Maksimum relatif

z=f(x,y)

Minimum Mutlak
Minimum relatif

(x0,y0) disebut titik kritis fungsi f jika :
1. fx(x0,y0)=0 dan fy(x0,y0)=0, atau
2. fx(x0,y0) atau fy(x0,y0) tidak ada

Teorema

Diketahui f mempunyai derivatif parsial tingkat 2 kontinu, (x0,y0)
titik kritis fungsi f dan
2
(x 0 , y 0 ) − f xx (x 0 , y 0 )f yy (x 0 , y 0 )
∆ = f xy

a. Jika ∆