a) Kalimat Tertutup - Logika, Himpunan, dan Fungsi
Logika, Himpunan, dan Fungsi
A. Logika Matematika
Definisi
Logika matematika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar dengan menggunakan bahasa serta simbol-simbol matematika dengan benar.
1) Kalimat Matematika
Definisi
Kalimat matematika adalah kumpulan kata yang mengungkapkan suatu konsep pikiran dan perkataan.
a) Kalimat Tertutup Definisi
Kalimat tertutup adalah suatu kalimat yang dapat dinyatakan nilai kebenarannya, bernilai benar atau salah, dan tidak keduanya. Contoh: Tomy : Siapakah presiden pertama Republik Indonesia? Rizky : Presiden pertama Republik Indonesia adalah Ir. Soekarno. Tomy : Berapakah dua ditambah lima? Rizky : Dua ditambah lima sama dengan tujuh. Tomy : Berapakah enam dikurang satu? Rizky : Enam dikurang satu adalah sepuluh.
b) Kalimat Terbuka Definisi
Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya, bernilai benar saja atau salah saja. Variabel atau peubah adalah simbol yang ditulis dengan huruf kecil. Contoh: Negara Republik Indonesia ibukotanya . Provinsi terletak di Sulawesi. Dua ditambah sama dengan delapan. + 28 = 40 + 4 = 10
c) Kalimat Berkuantor Definisi Kalimat berkuantor adalah kalimat terbuka dalam pembicaraan.
(1) Kuantor Semua Definisi
Kuantor semua adalah kalimat terbuka yang menggambarkan seluruh objek, dinotsikan “ ∀ “. Contoh: Semua kelipatan 2 adalah bilangan genap.
∀ kelipatan 2 = bilangan genap.
(2) Kuantor Beberapa Definisi
Kuantor beberapa adalah kalimat terbuka yang menggambarkan beberapa objek, dinotsikan “ ∃ “. Contoh: Beberapa siswa tidak masuk sekolah karena sakit. ∃ siswa tidak masuk sekolah karena sakit.
2) Kata Penghubung Definisi
Kata penghubung adalah kata-kata yang digunakan untuk menghubungkan kalimat dengan kalimat.
a) Dan Definisi
Kata penghubung dan adalah kata yang digunakan untuk menghubungkan kalimat dengan kalimat serta berlaku untuk semuanya. Dinotasikan ' ∧'. Contoh: Saya sekolah di SMP Negeri 2 Pare dan saya tinggal di kecamatan Pare.
13 adalah bilangan ganjil dan bilangan prima.
b) Atau Definisi
Kata penghubung atau adalah kata yang digunakan untuk menghubungkan kalimat dengan kalimat serta berlaku untuk salah satu. Dinotasikan ' ∨'. Contoh: Setelah lulus SD, saya akan sekolah di SMP atau MTs.
Saya berangkat sekolah lewat jalan ke arah utara atau ke arah selatan.
c) Jika ..., maka ...
Definisi
Kata penghubung Jika ..., maka ... adalah kata yang digunakan untuk menghubungkan dan mengandaikan suatu keinginan yang belum terpenuhi, tetapi bermaksud untuk melakukan hal tersebut. Dinotasikan '
⇒'. Contoh: Jika saya berangkat sekolah lewat jalan ke arah utara, maka akan terlambat masuk sekolah.
d) ... jika dan hanya jika ...
Definisi
Kata penghubung ... jika dan hanya jika ... adalah kata yang digunakan untuk menghubungkan dan mengandaikan keinginan yang harus dipenuhi. Dinotasikan '
⇔'. Contoh: = 3, jika dan hanya jika 4 = 12. = 3 ⇔ 4 = 12.
B. Himpunan 1) Pengertian Himpunan Definisi Himpunan adalah sekumpulan objek yang dapat dinyatanan dengan jelas.
Himpunan dinotasikan dalam huruf Kapital, misalnya: , , , dll. Contoh: Tentukan, apakah pernyataan berikut merupakan himpunan atau bukan himpunan.
Kumpulan binatang berkaki empat! Jawab: Kumpulan binatang berkaki empat merupakan himpunan karena kita dapat mendefinisikan dengan jelas binatang yang berkaki empat dan binatang yang tidak berkaki empat. Tentukan, apakah pernyataan berikut merupakan himpunan atau bukan himpunan.
Kumpulan makanan enak! Jawab: Kumpulan makanan enak bukan merupakan himpunan karena kita tidak dapat mendefinisikan dengan jelas makanan yang enak dan yang tidak enak.
Makanan yang enak sangat bergantung pada orang yang merasakannya dan tidak sama menurut setiap orang.
2) Elemen atau Anggota Definisi
Elemen atau anggota adalah setiap objek yang termasuk dalam sebuah himpunan. Elemen dinotasikan dalam huruf Kecil, misalnya: , , , dll. Contoh:
= {1,2,3} = 3, ∈ = 4, ∉ Jika termasuk dalam anggota himpunan , maka ditulis ∈ (dibaca merupakan anggota dari himpunan ) Jika tidak termasuk dalam anggota himpunan , maka ditulis ∉ (dibaca bukan anggota dari himpunan )
3) Diagram Venn Definisi Diagram venn merupakan suatu cara untuk menyajikan suatu himpunan.
Contoh : = {−2, −1,0,1,2, }
4) Himpunan Bagian Definisi
Himpunan dikatakan himpunan bagian dari , jika dan hanya jika setiap anggota juga anggota pada . Dinotasikan ⊂ .
Contoh : = {1,3,5,7} = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} Jawab:
5) Himpunan Kuasa Definisi
Himpunan Kuasa dari himpunan adalah semua himpunan bagian dari A, dilambangkan dengan
( ). Banyaknya anggota himpunan kuasa dari himpunan dinotasikan dengan ( ( )) = 2 .
Contoh: Diberikan himpunan = {1,3,5}, carilah himpunan kuasa yang merupakan himpunan bagian dari
. Jawab: Himpunan-himpunan yang merupakan himpunan bagian dari adalah:
Himpunan yang banyak anggotanya 0 adalah 1, yaitu: ∅. Himpunan yang banyak anggotanya 1 adalah 3, yaitu {1}, {3}, {5} Himpunan yang banyak anggotanya 2 adalah 3, yaitu {1,3}, {1,5}, {3,5} Himpunan yang banyak anggotanya 3 adalah 1, yaitu {1,3,5} ( ) = {∅, {1}, {3}, {5}, {1,3}, {1,5}, {3,5}, {1,3,5}}. ( ( )) = 2
3 = 8.
6) Operasi Himpunan
a) Irisan Definisi
Irisan dari himpunan dan adalah himpunan yang terdiri dari himpunan
dan himpunan , dinotasikan dengan ∩ = { | ∈ dan ∈ }.
Contoh: Diberikan himpunan = {1, 2} dan = {2, 3, 4, 5}, carilah ∩ !
Jawab: Jadi, ∩ = {2}.
b) Gabungan Definisi
Gabungan dari himpunan dan adalah himpunan yang terdiri dari himpunan atau himpunan atau semuanya, dinotasikan dengan ∪ = { | ∈ atau ∈ }.
Contoh: Diberikan himpunan = {1, 2} dan = {2, 3, 4, 5}, carilah ∪ !
Jawab: Jadi,
∪ = {1, 2, 3, 4, 5}
c) Komplemen
Definisi
Komplemen dari adalah himpunan yang tediri atas semua anggota
′
tetapi bukan anggota , dinotasikan atau = { | ∈ ∉ }.
Contoh: Diberikan himpunan !
= {1, 2, 3, 4, 5} dan = {1, 2, 3}, carilah Jawab: Jadi, = {4, 5}.
C. Relasi Definisi
Misalkan dan dua buah himpunan. Relasi pasangan berurutan dari ke adalah suatu aturan yang memasangkan semua anggota himpunan ke semua anggota himpunan
. Dapat ditulis × = {( , )|∀( ∈ dan ∈ ), , ∈ ℝ}
D. Sifat-sifat Relasi 1) Relasi Reflektif Definisi (Pengertian)
Misalkan sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan . Relasi dikatakan bersifat reflektif jika semua ∈ , maka berlaku ( , ) ∈ .
Contoh: Diberikan himpunan = {1,2,3}. Didefinisikan relasi pada himpunan dengan hasil relasi adalah himpunan = × = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)} .
Apakah relasi tersebut bersifat reflektif? Diketahui:
= {1,2,3}, dan = × = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)}
(
(
5,5
)} (5,5) ∈ {(
2,2
)
,
(
4,2
)
,
(
4,4
)
,
5,5
)
)}
Jadi, relasi tersebut tidak bersifat simetris karena (4,2) ∈ tetapi (2,4) ∉ .
3) Relasi Transitif Definisi (Pengertian)
Misalkan sebuah relasi pada sebuah himpunan . Relasi bersifat transitif, jika semua ( , ) ∈ dan ( , ) ∈ maka berlaku ( , ) ∈ .
Contoh: Diberikan himpunan
= {1,2,3}
. Didefinisikan relasi B dengan = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}.
Apakah relasi bersifat transitif?
Diketahui:
= {1,2,3}, dan = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}
Jawab: Jika semua ( , ) ∈ dan ( , ) ∈ maka berlaku ( , ) ∈
Jika (2,1) ∈ {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)} dan (1,3) ∈ {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}, maka
(2,3) ∈ {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}
Jadi, relasi bersifat transitif.
4) Relasi Ekuivalensi Definisi (Pengertian)
,
4,4
Jawab: Jika semua ∈ maka berlaku ( , ) ∈
,
(1,2) ∈ {1,2,3} (1,3) ∈ {1,2,3} (2,3) ∈ {1,2,3}
Jadi, Relasi tersebut bersifat reflektif karena semua anggota himpunan berpasangan atau berelasi dengan dirinya sendiri.
2) Relasi Simetris Definisi (Pengertian)
Misalkan sebuah relasi pada sebuah himpunan . Relasi dikatakan bersifat simetris, jika semua ( , ) ∈ , maka berlaku ( , ) ∈ .
Contoh: Diberikan himpunan = {2,4,5}. Didefinisikan relasi pada himpunan dengan
= {( , )| kelipatan , dan , ∈ }, maka diperoleh = {(2,2), (4,2), (4,4), (5,5)}.
Diketahui:
= { 2,4,5 }, dan = {(
2,2
)
,
(
4,2
)
(
(
2,2
,
)
4,2
(
,
)
(2,2) ∈ {( 2,2 ) , ( 4,2 ) , ( 4,4 ) , ( 5,5 )} (2,4) ∉ {( 2,2 ) , ( 4,2 ) , ( 4,4 ) , ( 5,5 )} (4,2) ∈ {( 2,2 ) , ( 4,2 ) , ( 4,4 ) , ( 5,5 )} (4,4) ∈ {(
4,4
Jawab: jika semua ( , ) ∈ , maka berlaku ( , ) ∈
)}
5,5
(
,
)
Misalkan sebuah relasi pada sebuah himpunan . Relasi disebut relasi ekivalensi jika dan hanya jika relasi memenuhi sifat reflektif, simetris, dan transitif.
E. Fungsi (Pemetaan) Definisi (Pengertian)
1
3) Bijektif (Satu-satu dan Pada) Definisi (Pengertian)
. ∃ ∈ ∀ ∈ → ( ) =
Fungsi : → disebut fungsi surjektif apabila setiap anggota mempunyai pasangan saja pada anggota
Definisi (Pengertian)
2 2) Surjektif (Pada)
=
) →
Fungsi adalah suatu relasi khusus yang menghubungkan setiap anggota himpunan ke himpunan dengan ketentuan setiap anggota himpunan hanya dipasangkan tepat dengan satu anggota himpunan dan semua anggota di harus memiliki pasangan di .
2
) = (
1
. (
Fungsi : → disebut fungsi injektif apabila setiap anggota mempunyai tepat satu pasangan saja pada anggota
F. Sifat-sifat Fungsi 1) Injektif (Satu-satu) Definisi (Pengertian)
Fungsi : → disebut fungsi bijektif apabila fungsi tersebut merupakan fungsi injektif dan fungsi surjektif.
G. Daerah Fungsi 1) Domain (Daerah Asal)
= {1,2,3}
2) Kodomain (Daerah Kawan)
= { , , , }
3) Domain (Daerah Asal)
= { , , }
H. Bentuk Fungsi
Definisi
Bentuk fungsi dapat dinyatakan dengan persamaan ( ) = . dimana merupakan domain dari fungsi dan disebut variabel bebas karena nilainya dapat diganti dengan berbagai bilangan dan disebut variabel terikat (tak bebas) karena nilainya ditentukan oleh .
I. Nilai Fungsi
Contoh: Jika ( ) = − 9, maka tentukan nilai untuk = 2 dan = −9. Jawab:
( ) = − 9 (2) = 2 − 9
= −7 (−9) = −9 − 9
= −18 Jadi,
(2) = −7 dan (−9) = −18
J. Grafik Fungsi
Contoh: Jika ( ) = − 1, maka gambarlah grafiknya untuk 0 ≤ ≤ 2!
Jawab: Untuk = 0, maka (0) = 0 − 1 = −1 Untuk = 1, maka (1) = 1 − 1 = 0 Untuk = 2, maka (2) = 2 − 1 = 1