WORO UTAMI PRASETIYONINGSIH BAB II
BAB II KAJIAN TEORI A. Sistem Bilangan Real Definisi II.A.1 Sistem bilangan real R merupakan suatu sistem aljabar yang terhadap
operasi penjumlahan dan operasi perkalian mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:
1. R merupakan grup komutatif terhadap operasi penjumlahan.
2. R -{0} merupakan grup komutatif terhadap operasi perkalian.
3. Untuk setiap x , y , z R berlaku x . ( y z ) x . y x . z .
(Darmawijaya, 2006:19)
Definisi II.A.2
Jika x suatu bilangan real, nilai mutlak (absolute value) x yang dituliskan dengan x didefinisikan sebagai berikut.
x untuk x x
x untuk x Sifat-sifat nilai mutlak pada R adalah:
x x
1. untuk setiap x R , jika dan hanya jika x = 0 2. x x untuk setiap x R
3. xy x y untuk setiap x , y R , dan
x
, 4. x y
y y
5. Untuk berlaku:
a
a. x a a x a
b. x a x a atau x a 2 2 2
x x
6. dan x x untuk setiap x R 2 2 7. x y x y 8. x y x y untuk setiap (Ketaksamaan Segitiga) x , y R .
Akibat dari sifat-sifat nilai mutlak di atas adalah:
x y x y x y untuk setiap x , y R
B. Himpunan Definisi II.B.1
Setiap benda disebut objek (object). Beberapa objek atau sekelompok objek, karena suatu sebab, membentuk suatu kesatuan yang biasa disebut himpunan (set). Objek-objek yang membentuk suatu himpunan disebut element atau anggota (member) himpunan tersebut.
(Darmawijaya, 2006:1)
Definisi II.B.2
Jika I suatu himpunan tertentu dan untuk setiap i
I terdapat
himpunan
X , maka keluarga (family) atau koleksi (collection) i
adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan himpunan dan ditulis singkat dengan
X atau X : i I .
i i
(Darmawijaya, 2006:6)
Definisi II.B.3
Jika A dan B masing-masing dua himpunan yang tak kosong
A dan B maka himpunan yang didefinisikan dengan :
A B x , y : x A & y B
disebut himpunan hasil kali kartesius (Cartesian product) himpunan A dengan B.
(Darmawijaya, 2006:6)
1. Himpunan Terbatas Definisi II.B.1.1
Jika pada suatu himpunan S telah didefinisikan suatu urutan, maka S dinamakan himpunan terurut.
Diberikan himpunan terurut S dan A . Himpunan A dikatakan S terbatas ke atas jika terdapat suatu p , sehingga untuk semua S
x A berlaku x . Jadi, p disebut batas atas himpunan A. p
Jika terdapat suatu q S dan untuk semua x A berlaku x q
, maka A dikatakan terbatas ke bawah. Jadi, q disebut batas bawah himpunan A.
(Soemantri, 2000:1.3)
Definisi II.B.1.2
Jika S suatu himpunan terurut, dan
A . Himpunan A terbatas S
ke atas dan terdapat p S yang memenuhi sifat-sifat berikut:
a. p merupakan batas atas A, dan
b. jika u < p maka u bukan batas atas A maka p disebut batas atas terkecil atau supremum himpunan A, dan diberikan notasi p sup A .
(Soemantri, 2000:1.4)
Definisi II.B.1.3
Batas bawah terbesar atau infimum dari suatu himpunan A yang terbatas ke bawah, didefinisikan sebagai q S dengan sifat bahwa q merupakan batas bawah A dan jika v > q maka v bukan batas bawah A. Untuk batas bawah terbesar himpunan A diberikan notasi q inf A .
(Soemantri, 2000:1.4)
2. Himpunan Bilangan Real Definisi II.B.2
Himpunan bilangan real (himpunan bagian di dalam R) yang penulisannya khusus antara lain adalah himpunan-himpunan sebagai berikut. Jika a , b R dan a b
, didefinisikan
a. a , b x R : a x b disebut selang tertutup (closed
interval )
b. a , b x R : a x b disebut selang terbuka (open
interval )
c. a , b x R : a x b disebut selang tertutup di kiri
atau selang terbuka di kanan
d. a , b x R : a x b disebut selang tertutup di kanan
atau selang terbuka di kiri (Darmawijaya, 2006:46-47)
C. Fungsi Definisi II.C
Diberikan A , B R , fungsi f : A B adalah suatu aturan yang mengaitkan setiap unsur x A dengan tepat satu unsur y . Unsur y yang B berkaitan dengan unsur x ini diberi lambang y = f(x) yang dinamakan aturan fungsi. Lambang y = f(x), x A menyatakan sebuah fungsi dengan aturan y =
f (x) yang terdefinisi pada himpuan A. Selanjutnya x dinamakan peubah bebas dan y peubah tak bebas yang nilainya bergantung dari x.
Apabila terdapat suatu fungsi y = f(x), maka daerah asal (domain) fungsi f adalah himpunan A, ditulis A D , dan daerah nilai fungsi f adalah f himpunan R f ( x ) : x A D . Unsur f ( x ) B dinamakan nilai fungsi f f di x. Jika yang diketahui hanya y = f(x), maka domain dan daerah nilai (range) fungsi f adalah D x R : f ( x ) R dan R f ( x ) R : x D . f f f
R R R R f R
D f f f D R f f x f (x) x f (x)
Gambar 1.1 Diagram Panah Fungsi f(x)(Martono, 1999:29)
1. Fungsi Komposisi Definisi II.C.1
Jika fungsi f dengan domain D di A dan range R di B dan f f jika fungsi g dengan domain D di B dan range R di C. g g
Komposisi g f (notasi komposisi) adalah fungsi dari A ke C diberikan oleh
g f a , c A C : b B dengan ( a , b ) f dan ( b , c ) g
B C A g f
D f D g R g R g f D R g f f
Gambar 1.2 Komposisi FungsiJika f dan g adalah suatu fungsi dan jika x D maka f (x) yang f dikenai fungsi g dengan f ( x ) D . Domain dari komposisi g
g f adalah himpunan D x D : f ( x ) D . Untuk g f f g
x D ( g f ) , nilai dari g f di x yang diberikan oleh
g f x g f x . Range dari g f ditunjukkan oleh himpunan R g f ( x ) : x D . g f g f
(Bartle dan Shelbert, 2000:13)
2. Fungsi Invers Definisi II.C.2.1
Jika fungsi f dengan domain D di A dan range R di B maka f f fungsi f dikatakan injektif (satu-satu) jika dan hanya jika a. f ( a ) f ( a ' ) maka a a '
b. a , a ' D dan a a ' maka f ( a ) f ( a ' ) f (Bartle dan Shelbert, 2000:15)
Definisi II.C.2.2
Jika fungsi f injektif dengan domain D di A dan range R di f f
B . Jika g b , a B A : a , b f maka g merupakan fungsi
injektif dengan D R di B dan dengan range R D di A. g f g f 1 Fungsi g dikatakan invers fungsi dari f dan dinotasikan f .
B A R f D f f b a
1f
Gambar 1.3 Invers Fungsi 1 Jika invers fungsi f merupakan suatu fungsi maka dikatakan 1 bahwa f adalah fungsi invers.
(Bartle dan Shelbert, 2000:15)
Definisi II.C.2.3
Fungsi : dikatakan fungsi bijektif (korespondensi 1–
f A B
1), jika untuk setiap y B terdapat tepat satu x A sehingga y f (x ) .
Definisi II.C.2.4
Jika fungsi f : A B merupakan fungsi bijektif maka kebalikan fungsi f : A B yaitu g : B A pasti merupakan fungsi invers dari f .
3. Jenis Fungsi
a. Fungsi Eksponen
Bentuk umum fungsi eksponen adalah sebagai berikut: x
f ( x ) a dengan a = bilangan pokok a dan a
1 dan
x R x = pangkat
.
(Varberg, dkk, 2010)
b. Fungsi Transenden
Fungsi transenden terdiri dari fungsi-fungsi sebagai berikut: 1) Fungsi logaritma didefinisikan sebagai berikut: fungsi a
f ( x ) log x , a , a
1 , dan x 2) Fungsi logaritma alami dapat dituliskan f ( x ) ln x , x 3) Invers dari ln disebut fungsi eksponen alami dan dinyatakan y exp ( e pangkat). Jadi, x exp y e ln x y , x
4) Fungsi invers trigonometri a)
2
) cos ( terbatas karena
) ( untuk f
D x .
(Martono, 1999:38)
Contoh:
a. Fungsi
x x f
) 1 cos (
Fungsi f dikatakan terbatas jika terdapat M > 0 sehingga
x x f untuk f D x
b. Fungsi ( 1 ) x
x f tidak terbatas pada interval
, karena tidak ada
M sehingga M x x f
( 1 )
M x f
(Varberg, dkk, 2010:357-359)
2 , sin sin 1
x x y y x
b)
2 , cos cos 1
x x y y x
x x x y y x
c)
2
2 , tan tan 1
x x y y x
d)
2 , dan sec sec 1
4. Fungsi Terbatas Definisi II.C.4
D. Limit
1. Limit Fungsi di R Definisi II.D.1.1
lim f ( x ) L berarti bahwa untuk setiap , terdapat
x c
yang berpadanan sedemikian rupa sehingga untuk x c berlaku f ( x ) ; yakni, x c f ( x ) L
L (Varberg, dkk, 2010:62)
Definisi II.D.1.2
Diberikan fungsi f yang terdefinisi pada interval (c,b). Limit kanan fungsi f di c adalah L (ditulis lim f ( x ) L atau x c
bila ) jika ,f ( x ) L x c c x f ( x ) L dan jika diberikan fungsi f yang
terdefinisi pada interval (a,c) dengan limit kiri fungsi f di c adalah
L (ditulis lim f ( x ) L atau f ( x ) L bila x c ) jika x c
( ) , x c f x L
(Martono, 1999:53)
Contoh: 2 x
9 , x
9
x
3 Diberikan fungsi f (x )
x
3 , x
9
2 Tentukan (jika ada): a. lim ( ) f x x 9 b. lim f ( x ) x 9
c. lim f ( x ) x 9 Penyelesaian:
x
3
a. lim f ( x ) lim x 9 x 9
6
2
x
9 x 3 x
3
b. lim f ( x ) lim lim lim x 3
6 x 9 x 9 x 9 x 9
x
3 x
3
c. Karena limit kanan sama dengan limit kiri maka nilai limitnya ada dan lim f ( x )
6 x 9 Sifat-Sifat Limit Fungsi: Jika n bilangan bulat positif, k konstanta, serta f dan g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit di c, dengan lim f ( x ) L dan x c lim g ( x ) M maka x c
a. lim k k x c
b. lim x c x c
c. Jika lim f ( x ) g ( x ) L M x c d. lim f ( x ) g ( x ) L M
x c lim ( ) . ( ) .
e. f x g x L M x c
f ( x ) L
f. lim , M x c
g ( x ) M
lim ( ) .
g. k f x k L x c
(Leithold, 1991:99)
Teorema II.D.1.3
Jika lim f ( x ) L , maka lim f ( x ) L x c x c (Martono, 1999:54)
Bukti: Jika lim ( ) , maka lim ( ) lim ( ) . x c x c x c f x L f x L f x
Diketahui lim f ( x ) L maka lim f ( x ) L . Teorema ini x c x c dibuktikan dengan menggunakan definisi limit dimana lim ( ) berarti bahwa untuk setiap , maka harus x c f x L dibuktikan terdapat sehingga
jika x c maka f ( x )
L
Diketahui bahwa lim f ( x ) L , maka dari definisi limit diperoleh x c bahwa untuk terdapat sehingga
1
jika x c maka f ( x ) L 1 Misalkan . Karena itu
adalah lebih kecil dari , maka
1 1jika x c maka f ( x ) L karena f ( x ) L f ( x ) L dan f ( x ) L maka sesuai dengan sifat ketaksamaan segitiga diperoleh . 2 f ( x ) L f ( x ) L
2. Limit Fungsi di R Definisi II.D.2
Fungsi f adalah fungsi dua variabel dengan domain D maka dapat dikatakan bahwa limit dari f ( x , y ) L dan ditulis lim f ( x , y ) L , jika untuk setiap terdapat
( x , y ) ( a , b )
sedemikian sehingga f ( x , y ) L bilamana ( x , y ) D dan ( x , y ) ( a , b ) dengan
2 2 ( x , y ) ( a , b ) x a y b .
n (Purcell dan Varberg, 1999:238)
3. Limit Fungsi di R Definisi II.D.3
Definisi yang telah diungkapkan untuk limit fungsi di R dan di 2 R tersebut sedemikian sehingga dapat diperluas untuk fungsi tiga peubah (atau lebih). Secara umum, jika z f ( x , x ,..., x ) 1 2 n adalah fungsi n-variabel dengan domain D maka dapat dikatakan
bahwa limit dari f ( x , x ,..., x ) L dan ditulis 1 2 n lim f ( x , x ,..., x ) L , jika untuk , ( x , x ,..., x ) ( x , x ,..., x ) 1 2 n 1 o 2 o no 1 2 n sedemikian sehingga f ( x , x ,..., x ) L bilamana 1 2 n ( x , x ,..., x ) D dan ( x , x ,..., x ) ( x , x ,..., x ) . 1 2 n 1 2 n 1 o 2 o no (Purcell dan Varberg, 1999:239)
E. Kekontinuan
1. Kekontinuan Fungsi di R Definisi II.E.1.1
Kekontinuan fungsi di satu titik dapat didefinisikan sebagai berikut dimisalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka yang mengandung c . Dikatakan bahwa f kontinu di c jika lim f ( x ) f ( c ) . Jadi, fungsi f dikatakan kontinu di titik c jika x c memenuhi syarat sebagai berikut :
a. f (c) ada;
b. ada; lim f ( x ) x c
c. lim f ( x ) f ( c ) x c Jika satu atau lebih dari ketiga syarat ini tidak dipenuhi di c, maka fungsi f dikatakan tidak kontinu di c.
(Varberg, dkk, 2010:83)
Definisi II.E.1.2
Fungsi f terdefinisi pada interval (a,c) maka fungsi f dikatakan kontinu kanan di c jika lim f ( x ) f ( c ) . x c Fungsi f terdefinisi pada interval (c,b) maka fungsi f dikatakan kontinu kiri di c jika lim f ( x ) f ( c ) . x c
(Martono, 1999:59)
Definisi II.E.1.3
Fungsi f dikatakan kontinu pada interval terbuka (a,b) jika f kontinu di setiap titik (a,b). Fungsi f kontinu pada interval tertutup [a,b] jika kontinu pada interval terbuka (a,b), kontinu kanan di a, dan kontinu kiri di b. 2 (Martono, 1999:61)
2. Kekontinuan Fungsi di R Definisi II.E.2.1 2 Fungsi f(x,y) dikatakan kontinu di titik ( a , b ) D , D R jika
. Fungsi f dikatakan kontinu pada ( x , y ) ( a , b ) lim f ( x , y ) f ( a , b ) domain D jika f kontinu di setiap titik (a,b) dalam D.
(Purcell dan Varberg, 1999:239)
Definisi II.E.2.2
Fungsi f (x,y) dikatakan kontinu pada suatu himpunan S, jika f (x,y) kontinu di setiap titik pada himpunan S.
S A
B
Gambar 1.4 Himpunan S n (Purcell dan Varberg, 1999:239)
3. Kekontinuan Fungsi di R Definisi II.E.3
Secara umum, jika fungsi z f ( x , x ,..., x ) dikatakan kontinu 1 2 n n di titik ( x , x ,..., x ) D , D R jika 1 o 2 o no ( x , x ,..., x ) ( x , x ,..., x ) 1 2 n lim f ( x , x ,..., x ) f ( x , x ,..., x ) . Fungsi f 1 o 2 o no 1 2 n 1 o 2 o no dikatakan kontinu pada domain D jika f kontinu di setiap titik
( x , x ,..., x ) dalam D. 1 o 2 o no
F. Turunan
1. Turunan Fungsi di R Definisi II.F.1.1
Jika f fungsi dari [a,b] ke R dan maka L disebut
c [ b a , ]
diferensial atau turunan f di c jika , sehingga untuk dengan x c berlaku x [ b a , ]
5
2
2 2 2 22
2 2 2 2 2 2 2 23 lim
2
2
7
2
3 lim
5
2
7
14
2
3 lim
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
12
x x x f x f f x x
3 2
5
2
2
2 ,
x ) (x f
3 x
1
2 ,
' 2 ( 2 2
) 2 ( ( ) lim
2 )
3 lim
1
3
1 2 .
2
12
2
dengan
) ( ) ( ) lim ( '
c x c f x f c f c x
) ( ) ( ) lim ( ' dan
c x c f x f c f c x
c f c f c f
Selidiki apakah terdiferensial di 2 x . Jika ya, tentukan ) ' 2 ( f !
dan ) ( ) ( ) ( ' ' '
) ( ' c f ada, jika ) ( ' ) ( ' c f c f
(Bartle and Sherbert, 2000:158) Fungsi f dikatakan mempunyai turunan (diferensiable) di c atau
) ( ) ( lim .
L c x c f x f c x
. Jadi, L merupakan turunan dari f di c jika
L c x ( c f x f ) ) (
Contoh:
Penyelesaian:
3 lim
4
4
2
3 lim
2 (
2 ) 2 )(
3 3 lim
x x x x x f x f f x x
2
' 2 ( 2 2 2
) 2 ( ( ) lim
2 )
3 lim
5
2
2
3
1 2 .
x x x x
3 3 lim
c x c x c f x f x f
) ( .
) ( ) ( ) ( c f c x
c x c f x f x f
Untuk c x maka
) ( ) ( ) ( ) ( c f c f x f x f Untuk c x c x maka diperoleh
) ( .
) ( ) ( ) lim ( lim c f c x
c x
c f x f
x f c x c x ) ( lim lim .) ( ) ( ) lim ( lim c f c x
c x
c f x f
x f c x c x c x c x
) ( ) ( lim . ) ( ' c f c f c f c x
Karena
) ( ) ( ) ( ) ( c f
) ( ) ( ) lim ( '
2 ) 2 (
3 lim
2
6
3 lim
2
7
1
3 lim 2 2 2 2
x x x x x x
x
x
x xJadi, f terdiferensial x = 2 dan 3 ) ' 2 (
f
Teorema II.F.1.2Jika fungsi f terdiferensial di c maka fungsi f kontinu di c (Varberg, dkk, 2010:102)
Bukti: f terdiferensial di c artinya ) ( ' c f ada c x c f x f c f c x
) ( ) ( lim c f c f c x f kontinu di c.
Akibatnya: Jika fungsi f tidak kontinu di c maka f tidak terdiferensial di c.
2
dx du du dy dx dy
) (x g u dan fungsi ) (x g kontinu pada domainnya, maka menurut definisi (aturan rantai) dapat dituliskan sebagi berikut:
Jika ) (u f y dengan
b. Turunan Fungsi Komposisi
(Leithold, 1991:199)
x v x v x u x v x u x f x v x u x f
) (
) ( ' ) ( ) (
) ( ) ( ' . ) ( ) ( . ) ( '
7)
a. Sifat–Sifat Turunan:
x v x u x v x u x f x v x u x f
) ( ' . ) ( ) ( . ) ( ' ) ( ' ) ( . ) ( ) (
) ( ' x v ada maka: 4) ) ( ' ) ( ' ) ( ' ) ( ) ( ) ( x v x u x f x v x u x f 5) ) ( ' . ) ( ' ) ( . ) ( x u c x f x u c x f , dengan c konstan 6)
Jika ) ( ' x u dan
x n x f x x f
n n
) ( ' ) (
2) ( 1 ) ' ) ( x f x x f 3) 1
x f k k x f
1) ) ( ' konstan , ) (
. Jika y f (u ) dengan u g (v ) dan v h (x ) maka:
dy dy du dv y ' . .
dx du dv dx
(Purcell dan Varberg, 1993:138-139)
c. Turunan Fungsi Trigonometri
1) f ( x ) sin x f ' ( x ) cos x 2)
f ( x ) cos x f ' ( x ) sin x 2
3) f ( x ) tan x f ' ( x ) sec x 2 4) f ( x ) cot x f ' ( x ) csc x 5)
f ( x ) sec x f ' ( x ) sec x . tan x
6) f ( x ) csc x f ' ( x ) csc x . cot x (Varberg,dkk, 2010:114-116)
d. Turunan Fungsi Invers Trigonometri
1 Jika x sin y maka y sin x1
1
( ) sin ' ( ) 1) f x x f x 2 1 x
1
1 2) f ( x ) cos x f ' ( x ) 2 1 x
3) 2 1
x x f
1) Turunan fungsi logaritma ini dapat dituliskan sebagai berikut:
x x f a
) log ( maka
a x x f
ln
1 .
1 ) ( '
2) Turunan fungsi logaritma alami dapat dituliskan sebagai berikut: x x f ln ) ( maka
1 ) ( '
3) Turunan fungsi eksponensial dapat dituliskan sebagai berikut: x
a x f
) ( maka a a x f x . ln ) ( '
4) Turunan fungsi eksponensial alami dapat dituliskan sebagai berikut: x
e x f
) ( maka x
e x f
) ( ' (Varberg,dkk, 2010)
x x x f x x f
1
1 ) ( ' tan ) (
x x f x x f
4) 2 1
1
1 ) ( ' cot ) (
x x f x x f
1 ) ( ' csc ) ( 2 1
5)
1
1 ) ( ' sec ) ( 2 1
x x x f x x f
6)
1
e. Turunan Fungsi Logaritma dan Eksponensial
f. Turunan Fungsi pada Suatu Interval Definisi II.F.1.f
Jika fungsi y f (x ) terdefinisi pada selang I. Turunan fungsi f pada selang I, ditulis adalah suatu fungsi
f ' x ( ),
yang aturannya di setiap x
I ditentukan oleh f ( x h ) f ( x ) f ' ( x ) lim , limit ini ada.
h
h Catatan:
1) Lambang lain untuk turunan adalah
dy dy d
' , , ( ), , ( ) . Lambang dikenal
y f x D y D f x x x dx dx dx
sebagai notasi Leibniz. 2) Jika I adalah selang tertutup [a,b], maka ' a ( ) berarti
f f ' a ( ) sedangkan f ' b ( ) berarti f ' b ( ) .
(Martono, 1999:89)
g. Turunan Tingkat Tinggi Definisi II.F.1.g
Pendiferensialan mengambil sebuah fungsi f dan menghasilkan sebuah fungsi baru f ' . Jika f ' dideferensialkan, masih menghasilkan fungsi lain, dinyatakan oleh fungsi f '' (dibaca “f double aksen”) dan disebut turunan kedua dari f. Dan jika f '' masih dapat diturunkan lagi maka yang demikian menghasilkan f ' '' , yang disebut turunan ketiga, dan seterusnya. n (Purcell dan Varberg, 1993:141)
2. Turunan Fungsi di R Definisi II.F.2.1
Fungsi f adalah suatu fungsi dua peubah x dan y. Jika y dianggap sebagai suatu konstanta, misalnya y y , maka f ( x , y ) menjadi fungsi satu peubah x. Turunan fungsi f di x x disebut turunan parsial f terhadap x di f ( x , y ) dan dinyatakan sebagai
f ( x , y ) . Jadi, x f ( x x , y ) f ( x , y ) f ( x , y ) lim x
x
x Demikian pula, turunan parsial f terhadap y di ( x , y ) dinyatakan oleh f ( x , y ) dan dituliskan sebagai y
f ( x , y y ) f ( x , y ) f ( x , y ) lim y y
y Rumus tersebut mencari f ( x , y ) dan f ( x , y ) dengan x y menggunakan aturan baku untuk turunan; kemudian mensubstitusikan x x dan y y
(Purcell dan Varberg, 1999:232)
Contoh:
x z y x f
) , ( ) , ( y x y
y z y x f
Definisi II.F.2.2
(Turunan Parsial Tingkat Tinggi) Secara umum, karena turunan parsial suatu fungsi x dan y adalah fungsi lain dari dua peubah yang sama, turunan tersebut dapat diturunkan secara parsial terhadap x atau y untuk memperoleh empat buah turunan parsial kedua fungsi f yaitu: a. 2 2
x
f
x f x f xx
) , (
, b. 2 2
y
f
y f y f yy
) , ( y x x
) , (
Carilah ) 2 , 1 ( x
9 1 ) 2 , 1 (
f dan )
2 , 1 ( y
f jika 3 2
, 3 ) ( y y x y x f
Penyelesaian:
4 2 . 1 . 2 ) 2 ,
1 ( , 2 ) ( x x
f xy y x f
37 2 .
, 9 ) ( 2 2 2 2 y y
) , (
f y x y x f Catatan:
Jika ) , ( y x f z , dapat dituliskan
x y x f x z y x f x
) , (
) , (
y y x f y z y x f y
, c.
x y f
x
f
y f f y x xyy x y x y x
y
x
y y x f xy 2 3 2y x y y x f xx
3
4 2 3
2 sin cos
2 ) , ( x
y x y x y x y x y x f yy
6 sin cos
6 sin
1 ) , (
y x y x y x
y
x
y y x f yx 2 3 26 sin cos
1 ) , (
Dari hasil tersebut,diperoleh bahwa ) , ( ) , ( y x f y x f yx xy
1 ) , ( xy
2
Carilah keempat turunan parsial dari 2 3 ) sin , ( y x
2 , dan d.
y x f
y
f
x f f x y yx
2 .
Contoh:
y x y x f
2
!
Penyelesaian: 2 2
3 cos
1 ) , ( y x
y x y y x f x
y x y x y x y x f y 3 2
) 2 cos , (
Definisi II.F.2.3
Untuk turunan parsial tingkat tiga dan lebih tinggi didefinisikan dengan cara yang sama dan ditulis dengan cara yang sama. Jadi, jika f suatu fungsi dua peubah x dan y, turunan-parsial ketiga f yang diperoleh dengan menurunkan f secara parsial, pertamakali terhadap x dan kemudian dua kali terhadap y, akan ditunjukkan oleh 2 3
f f
f
2 xyy
y y x y x
(Purcell dan Varberg, 1999:235)
Definisi II.F.2.4
Secara umum, jika f adalah suatu fungsi n peubah yaitu
x , x ,..., x . Jika x ,..., x dibuat konstan, misalnya