SOLUSI DAWAI RELATIVISTIK BEROTASI PADA RUANG ADS5 ×
TUGAS AKHIR - SF141501 5 SOLUSI DAWAI RELATIVISTIK BEROTASI PADA RUANG ADS × 5 S M. AFIF ISMAIL NRP 1113100090 Dosen Pembimbing Agus Purwanto, D.Sc DEPARTEMEN FISIKA Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya, 2017 ii Halaman ini sengaja dikosongkan
TUGAS AKHIR - SF141501 5 SOLUSI DAWAI RELATIVISTIK BEROTASI PADA RUANG ADS × 5 S M. AFIF ISMAIL NRP 1113100090 Dosen Pembimbing Agus Purwanto, D.Sc
DEPARTEMEN FISIKA
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya, 2017 iv Halaman ini sengaja dikosongkan
UNDERGRADUATE THESIS - SF141501 5 5 ROTATING RELATIVISTIC STRING SOLUTIONS IN ADS × S M. AFIF ISMAIL NRP 1113100090 Supervisor Agus Purwanto, D.Sc Department of PHYSICS Faculty of Mathematics and Natural Science Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya, 2017 vi Halaman ini sengaja dikosongkan
viii Halaman ini sengaja dikosongkan ix
SOLUSI DAWAI RELATIVISTIK BEROTASI PADA RUANG
5 ADS 5 × S
Nama : M. AFIF ISMAIL NRP : 1113100090 Jurusan : Fisika FMIPA Pembimbing : Agus Purwanto, D.Sc
ABSTRAK
Dawai merupakan objek yang mempunyai dua parameter gerak yaitu waktu dan panjang dawai, yang merupakan generalisasi dari partikel yang mem- punyai satu parameter gerak berupa waktu. Pada penelitian ini, digu- nakan kondisi batas dawai berupa dawai tertutup. Dawai relativistik berg- erak pada ruang-waktu dengan lintasan berupa sebuah luasan yang diben- tuk oleh dua parameter, lintasan ini biasa disebut lembaran dunia (world-
sheet). Dawai relativistik ini juga mempunyai dua aksi yang disebut aksi
Nambu-Goto dan aksi Polyakov. Aksi Nambu-Goto dibangun dengan menggunakan (world-sheet). Sedangkan aksi Polyakov merupakan ben- tuk lain dari aksi Nambu-Goto dengan penambahan alat matematis berupa metrik (auxilliary field) yang dapat menyederhakan pengerjaan aksi. Pada penelitian ini digunakan aksi Polyakov dengan metrik (auxilliary field) berupa metrik minkowski. Dengan menggunakan aksi Polyakov, digu- nakan model dawai bergerak pada bidang datar dan ditentukan energi be- serta momentum sudut dari dawai. Selanjutnya, digunakan model dawai
5
bergerak pada ruang AdS
5 dan ditentukan energi serta momentum
× S sudut dari dawai. Dari perhitungan yang telah dilakukan, energi dawai
5
yang berputar pada AdS
5 mempunyai bentuk yang ekivalen dengan
× S energi dawai yang berputar pada bidang datar.
5 Kata-Kunci: Aksi Polyakov, Ruang AdS 5 × S , Dawai Relativistik x Halaman ini sengaja dikosongkan
xi5 ROTATING RELATIVISTIC STRING SOLUTIONS IN ADS 5 ×S
Name : M. AFIF ISMAIL NRP : 1113100090 Department : Physics Supervisor : Agus Purwanto, D.Sc
ABSTRACT
String is an object that possess two movement parameters, time and string length, generalization from particle that possess one movement pa- rameter that is time. In this thesis a restriction is used which is closed string. Relativistic string move in space-time with trajectory in form of area made of two parameters, this trajectory is called world-sheet. Rela- tivistic string have two action called Nambu-Goto and Polyakov. Nambu- Goto action built using world-sheet. While Polyakov is the other form of Nambu-Goto with addition of mathmetical tool that is auxilliary field ma- trix that can simplify execution of actions. In this thesis Polyakov action is used with minkowski matrix as the auxilliary field matrix. By using Polyakov action, moving string model is used on flat plane also the en- ergy and angular momentum of the string is determine. Next, moving string model is used on Ad5 x S5 also the energy and the angular momen- tum of the string is determine. From the calculation that had been made, energy of spinning string on Ad5 x S5 have a form equivalent with energy on spinning string on a flat plane.
5 5 space, Relativistic String Keywords: Polyakov Action, AdS × S xii Halaman ini sengaja dikosongkan
KATA PENGANTAR
Alhamdulillaahirabbil’alamiin
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat ALLAH SWT karena atas karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir dengan judul ”SO-
LUSI DAWAI RELATIVISTIK BEROTASI PADA RUANG AdS 5 ×
5 S
”. Tugas akhir ini diharapkan dapat membantu rekan-rekan mahasiswa
S1 yang ingin belajar lebih mendalam tentang Fisika terutama di sekitar topik Teori Dawai.
Terselesaikannya tugas akhir ini tidak luput dari bantuan berbagai pi- hak. Penulis mengucapkan terima kasih dengan setulus hati kepada:
1. Umi dan Ayah atas segala yang telah diberikan kepada penulis den- gan penuh kasih sayang. Penulis tidak akan mampu membalasnya.
2. Bapak Agus Purwanto D.Sc, atas segala bimbingan selama berada di ITS hingga penyelesaian tugas akhir. Penulis memohon maaf yang sebesar-besarnya atas segala kesalahan yang telah dilakukan.
3. Bapak Dr. Yono Hadi Pramono selaku Ketua Departemen Fisika FMIPA-ITS.
4. Dr. Sheng-Lan Ko atas segala bimbingan selama penulis mempela- jari teori dawai di Institute for Fundamental Study. dan Mas Chandra atas bantuannya selama penulis menyelesaikan Tugas Akhir di Thailand.
5. Bapak Dr. rer. nat Bintoro Anang Subagyo, Bapak I Nengah Artawan M.Si, Bapak Heru Sukamto M.Si, Bapak Lila Yuwana M.Si serta Bapak dan Ibu dosen yang telah mengajarkan ilmu kepada penulis.
6. Sahabat-sahabat di LaFTiFA, Dwi, Ira, Afidah, Anom, Adam, Bayu, Kasyfil, Nusur sebagai teman diskusi. Terutama Fasya yang telah banyak membantu penulis selama pengerjaan tugas akhir.
7. Arek-arek Kontrakan, Dwi, Fahru, Tito, Senpai, Taufik, Erik yang telah banyak membantu penulis selama di Kontrakan.
8. Teman-teman seperjuangan Fisika 2013 (Supernova) atas bantuan- nya selama di Jurusan Fisika.
9. Kakak-kakak angkatan dan Alumni di Jurusan Fisika
10. Adik Fisika 2014,2015,2016. Semoga tetap terjaga keharmonisan di Jurusan Fisika.
11. Serta semua pihak yang telah membantu dan tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. xiv Semoga Tugas Akhir ini dapat bermanfaat bagi pihak-pihak yang berke- pentingan serta dapat menjadi sumbangan bagi almamater tercinta dalam pengembangan sains kedepannya.
Surabaya, Juli 2017 Penulis
DAFTAR ISI
ix
xi
xiii
xv xix
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
. . . . . . . . . 10
. . 12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
. . . . . . . . . . . 17
. . . . 22
. . . . . . 24
27
. . . . . . . . . . . . . . 27
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
35
. . . . . . . . . . 35
xvi
5 S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
. . . . . . . . . 47
. . . . . . . 50
. . . . . . . 53
59
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
61
63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 . . . . . . . . . . . . . . 76
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
DAFTAR TABEL xviii Halaman ini sengaja dikosongkan
DAFTAR GAMBAR
. . . . . . . . . . . . . . . 4
6
. . . . . . . . . . . . 7
. . . . . . . . . . . . 32
. . . . . . . . . . . . 33 . . . . . . . 64 . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
. . . . . . . 68 xx Halaman ini sengaja dikosongkan
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Benda yang berada disekitar kita dibentuk oleh sekumpulan atom yang saling berikatan. Atom merupakan objek yang terdiri dari partikel elek- tron, proton dan neutron. Elektron termasuk kedalam partikel fundamen- tal, sedangkan proton dan neutron masih tersusun oleh partikel fundamen- tal yang disebut. Partikel fundamental diyakini merupakan objek dengan ukuran paling kecil, sehingga tidak dapat dibagi lagi. Partikel fundamen- tal ini terbagi menjadi dua, yaitu fermion dan boson. Fermion merupakan partikel yang dapat berinteraksi. Sedangkan boson merupakan partikel pembawa interaksi antara fermion.
Pada tahun 1970, Yoichiro Nambu, Holger Bech Nelson, dan Leonard Susskind berargumen bahwasannya terdapat kandidat objek dasar penyusun materi berupa dawai. Argumen ini muncul dari penelitian Gabriele Veneziano tentang interaksi kuat pada partikel hadron. Yoichiro Nambu dan Tet- suo Goto merumuskan dawai tersebut dalam kerangka relativistik dengan melakukan generalisasi dari konsep partikel titik yang mempunyai nol di- mensi menjadi dawai dengan dimensi satu. Pada tahun 1974, Alexander Markovich Polyakov menguantisasi dawai relativistik dengan menerap- kan relasi komutasi posisi momentum dari mekanika kuantum sehingga didapatkan dawai bosonic. Teori dawai bosonic hanya dapat mendiskrip- sikan partikel elementer dengan spin bulat(partikel bosonic). Sehingga dibutuhkan teori dawai baru untuk menyempurnakan teori dawai dalam mendenkripsikan partikel fundamental lain berupa fermion. Teori dawai tersebut dinamakan teori dawai super. Teori ini ditemukan dengan meng- gabungkan supersymmetry dengan dawai bosonic. Hal ini menyebabkan munculnya dawai fermion.
Sekitar dua puluh tahun yang lalu, fisikawan menemukan sifat baru dari teori dawai. Ketika teori dawai super diterapkan dalam ruang-waktu anti de Sitter, dawai tersebut dapat menjelaskan fenomena fisika yang serupa dengan teori medan kuantum. Teori ini dikemukakan oleh Malda- cena dengan nama korespondensi anti de Sitter/Conformal Field Theory (Ads/CFT). Maldacena berargumen bahwa dunia dengan dimensi (3+1) tanpa gravitasi dan ruang waktu anti de Sitter (4+1) saling berhubungan.
Pada tugas akhir ini, digunakan dawai relativistik untuk diterapkan
2 ke dalam ruang anti de sitter. Dengan menggunakan bentuk pergerakan dawai tertutup beroutar, dihitung energi dari dawai tersebut dan pengaruh dari penerapan dawai relativistik ke dalam ruang ruang-waktu anti de Sit- ter terhadap sifat fisis dari dawai tersebut. Pada perhitungan energi dawai, dilakukan pendekatan dawai berputar sangat cepat dan sangat lambat.
1.2 Perumusan Masalah
Rumusan masalah dari tugas akhir ini adalah bagaimana solusi dari dawai relativistik serta pengaruh dari penerapan dawai relativistik ke dalam ruang ruang-waktu anti de Sitter.
1.3 Tujuan
Tujuan yang ingin dicapai pada tugas akhir ini adalah menerapkan dawai Relativistik berputar menggunakan aksi Polyakov pada ruang AdS
5 ×
5 S
, serta mengetahui energi dari beberapa model dawai dan mengetahui
5 Energi dawai pada ruang AdS Dengan ruang datar 5 × S
1.4 Batasan Masalah
Pada tugas akhir ini permasalahan hanya dibatasi pada sampai pener-
5
apan aksi polyakov pada ruang AdS
5 × S
1.5 Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penyusunan Tugas Akhir ini adalah metode analitis dari studi literatur. Skema pengerjaan tugas akhir ini diberikan pada gambar (
1.6 Sistematika Penulisan
Dalam penulisan Tugas Akhir ini , terdiri dari 6 bab. Pada bab I diu- raikan mengenai motivasi sejarah singkat munculnya Teori Dawai. Pada bab II akan diuraikan aksi Nambu-Goto dan aksi Polyakov dari dawai rel- ativistik. Pada bab III akan diturunkan solusi dawai relativistik pada ruang
3 datar dengan menggunakan 3 model dawai. Pada bab IV akan diturunkan
5
solusi dawai relativistik pada ruang AdS dengan menggunakan
5 × S
4 model dawai. Bab V adalah kesimpulan dan saran. Lampiran berisi materi tambahan yang terkait dengan tugas akhir ini. Untuk menyeder- hanakan pengerjaan tugas akhir ini, digunakan c = 1. Digunakan notasi
µ µ µ µ
∂x x /∂τ = ˙x dan ∂x /∂σ = ´ .
4 Gambar 1.1: Skema pengerjaan tugas akhir
DAWAI RELATIVISTIK
Dawai merupakan objek yang mempunyai dua parameter gerak yaitu panjang dawai dan waktu, seperti halnya partikel yang hanya mempunyai satu parameter gerak berupa waktu. Dawai relativistik merupakan dawai yang bergerak dengan kecepatan yang mendekati kecepatan cahaya v ≈ c pada pusat massanya terhadap suatu kerangka acuan.
2.1 Aksi Nambu-Goto
Untuk mendeskripsikan suatu sistem yang bergerak, dapat digunakan persamaan gerak yang dibangun dari persamaan aksi dari sistem tersebut.
µ
Dawai mempunyai 2 parameter dalam pergerakannya di ruang-waktu x yaitu panjang dawai σ dan waktu pergerakan dawai τ. Aksi dapat diban- gun dari lintasan yang dilalui dawai pada ruang-waktu. Lintasan ini berupa area dua dimensi yang terdiri dari 2 parameter dawai seperti pada gambar Area ini disebut lembaran-dunia (world-sheet)
Di ambil bentuk umum dari lembaran-dunia berupa jajargenjang. Area dari permukaan pada jajargenjang kecil dibentuk oleh tangen vektor den-
1
1
gan garis σ dan σ seperti pada gambar (Dimana σ ≡ τ, σ ≡ σ
1
dσ dan dσ mempresentasikan perpindahan pada koordinat, bukan jarak sebenarnya. Metrik g ab pada permukaan world-sheet Σ, mempresen- tasikan bagaimana mengubah perpindahan pada koordinat menjadi jarak
2 yang sebenarnya ds . a b
2
(ds) = g ab dσ dσ (2.1) untuk a, b = 0, 1. Maka jarak sebenarnya dari perpindahan koordinat dσ ialah
√ g dσ (2.2) ||dσ || =
00
1
dan untuk σ √
1
1
g dσ (2.3)
||dσ || =
11 Area dari jajargenjang merupakan hasil cross product dari dσ dan
1
dσ , maka didapatkan area dari jajargenjang
6 Gambar 2.1: Gambaran dari world-sheet. Disebelah kiri berupa dawai terbuka, dan yang disebelah kanan berupa dawai tertutup Σ ||dσ × dσ
1
2
= √ g
00 (dσ )
2
g
11 (dσ1)
2
− (g
01 )
2
(dσ )
2
(dσ
)
1
2
= dσ dσ
1
√ g
00
g
11 − (g
01
)
2
(2.4) Tanda dibawah akar pada persamaan (bernilai negatif. Untuk mengetahuinya, dimisalkan menggunakan metrik Minkowski 2 dimensi g µν =
( −1 0
1 )
||
− ||dσ .dσ
1
2
|| = ||dσ || ||dσ
1
||sin(θ) =
||dσ || ||dσ
1
|| √ 1 − cos
2
θ =
√ ||dσ ||
2
||dσ
1
||
− ||dσ ||
2
2
||dσ
1
||
2
cos
2
θ =
√ ||dσ ||
2
||dσ
1
||
(2.5)
7 Gambar 2.2: Area dari permukaan jajargenjang Σ
2
00 11 − (g
01
g < maka didapatkan g ) . Agar dapat menghilangkan ni-
lai negatif. Maka suku pertama dan kedua didalam akar dibalik, sehingga tanda dibawah akar tidak bernilai negatif. Dengan melakukan hal ini, di- dapatkan bahwa
1
dA ( area Σ) = ||dσ × dσ ||
√
1
2
dσ dσ g = (g )
01 − g
00
11
√
1
= dσ dσ ab −det g
√
1
= dσ dσ (2.6) −g dengan penulisan det g ab dituliskan dalam bentuk g.
Metrik pada permukaan Σ dapat dipetakan ke dalam koordinat ruang- waktu. Dalam pemetaan permukaan Σ kedalam ruang-waktu, maka per- mukaan membutuhkan metrik yang disebut induced metric (metrik in- duksi). Untuk menentukan bentuk eksplisit dari induced metric didalam ruang-waktu. Dianggap jarak pada ruang-waktu diberikan dalam bentuk
µ ν
2
dx dx (ds) = G µν (2.7)
8 dimana G µν merupakan metrik ruang-waktu. Jika perpindahan tetap be- rada pada permukaan Σ, maka
µ µ
∂x ∂x
µ
1
dx dσ dσ
- = (2.8)
1
∂σ ∂σ
2 Dengan menggunakan persamaan (), di-
dapatkan
µ ν
2 G dx dx
(ds) = µν ( ) ( )
µ µ ν µ
∂x ∂x ∂x ∂x
1
1 G dσ dσ
dσ dσ = + + µν
1
1
∂σ ∂σ ∂σ ∂σ (
µ ν µ ν
∂x ∂x ∂x ∂x
1
= µν
- G dσ dσ dσ dσ
1
∂σ ∂σ ∂σ ∂σ )
µ ν µ ν
∂x ∂x ∂x ∂x
1
1
1
dσ dσ dσ dσ
1
1
1
∂σ ∂σ ∂σ ∂σ
µ ν
∂x ∂x
a b
G dσ dσ = µν (2.9)
a b
∂σ ∂σ dengan µ, ν = (0, 1, ....D) a, b = (0, 1) Jika perpindahan tetap berada pada permukaan Σ, maka persamaan
dapat ditulis dalam bentuk metrik induksi induced metric h ab sebagai berikut
a b
2
dσ dσ (ds) = h ab (2.10) dengan metrik induksinya diberikan dalam bentuk
µ ν
∂x ∂x h
ab = G µν (2.11) a b
∂σ ∂σ dengan mensubtitusi pers (dan mengembalikan notasi menjadi σ, τ. Dimana metrik world-sheet akan menjadi induced
metric karena area pada induced metric karena sama-sama memiliki ben-
tuk integral terhadap koordinat pada world-sheet. Maka didapatkan area
9 dari permukaan Σ ialah
1/2
dA ( area Σ) = dσdτ(−h) ( [ ]) 1/2
2
2
dσdτ = (h ) (h ) ) (h ))
−
00 11 − ((h
01
10
( [( )
2 ( )
2
∂x ∂x dσdτ =
− ∂τ ∂σ
(( ) ( ))]) 1/2
µ ν µ ν
∂x ∂x ∂x ∂x G G
µν µν
− ∂τ ∂σ ∂σ ∂τ
( [( )
2 ( )
2
∂x ∂x dσdτ =
− ∂τ ∂σ
( ) ( ))]) 1/2
µ µ
∂x ∂x µ ∂x ∂x µ −
∂τ ∂σ ∂σ ∂τ ( [ ]) 1/2
2
2
dσdτ x = ˙x ´
− − (( ˙x.´x) (´x. ˙x)) ( ) 1/2
2
2
2
dσdτ x x = ( ˙x.´ ) ´
− ˙x (2.13)
∂x ∂x
dengan mendefiniskan bahwa ≡ ˙x, ≡ ´x
∂τ ∂σ
Diperkenalkan aksi dawai relativistik. Aksi ini sebanding dengan area
world-sheet sebagai mana world-line pada partikel relativistik. Area ini
µmempunyai satuan panjang kuadrat. Jika dilihat dari pers x mem- punyai satuan panjang, dan setiap suku dibawah akar mempunyai empat x . Satuan dari τ dan σ hilang, karena setiap suku dibawah akar mempun- yai dua turunan τ dan dua turunan σ. Didefiniskan σ dan τ mempunyai satuan panjang dan waktu. Maka didapatkan satuan dari masing-masing besaran
µ
2
[τ ] = T, [σ] = L, [x ] = L, [A] = L (2.14)
2
dikarenakan aksi S harus mempunyai satuan ML /T dan A mempunyai
2
satuan L , maka dibutuhkan kuantitas dengan satuan M/T . Digunakan kuantitas tegangan tali yang dibagi dengan kecepatan cahaya. Sehingga
10 didapatkan kuantitas dengan satuan M/T . Selanjutnya, area pada pers dikalikan dengan T /c untuk mendapatkan kuantitas dengan satuan aksi. Maka didapatkan aksi dari dawai relativistik
∫ √ T
2
2
2 S dσdτ ( ˙x.´ x ) x ´ (2.15)
= − − ˙x c Aksi dari dawai relativistik sering disebut sebagai aksi Nambu-Goto. Diru- muskan oleh fisikawan jepang yang mendapatkan penghargaan nobel tahun 2008 Yoichiro Nambu dan Tetsuo Goto.
2.2 Persamaan Gerak dari Aksi Nambu-Goto
Untuk mendapatkan persamaan gerak dari dawai terhadap ruang-waktu
µ µ
x , dilakukan variasi dari aksi terhadap ruang-waktu x . Dimana aksi akan stasioner sehingga bernilai nol pada saat divariasikan. Dari per- samaan
∫ √
T
2
2
2 S = dσdτ ( ˙x.´ x ) x ´
− − ˙x c ∫
= dσdτ L (2.16) dengan L merupakan rapat Lagrangian dari sistem, yang diberikan dalam bentuk
√ T
2
2
2
x x ( ˙x.´ ) ´ (2.17)
L ( ˙x, ´x) = − − ˙x c Divariasikan S, dengan L merupakan fungsi dari ˙x dan ´x
[ ] ∫
∂ ∂ L µ L µ
δS dσdτ δ δ x = ˙x ´ (2.18) +
µ µ
∂ ∂ x ˙x ´ dengan menggunakan momentum konjugat, yang mempunyai bentuk
∂ ∂
τ L σ L
= = (2.19) P µ P µ
µ µ
∂ ∂ x ˙x ´
11 dan menggunakan
µ µ
∂x ∂ (δx )
µ
δ ˙x = δ = (2.20)
∂τ ∂τ maka didapatkan ∫
[ ]
τ µ σ µ
δS dσdτ δ δ x = ˙x ´
P µ + P µ [
∫ ∂ ( ) ∂
τ µ τ µ
dσdτ δx = ) δx
P µ − (P µ ∂τ ∂σ
] ∂ ( ) ∂
σ µ σ µ
δx
- ) δx
P − (P
µ µ
∂σ ∂σ ∫ ∫
∂ ( ) ∂ ( )
τ µ σ µ
= P µ P µ
- dσdτ δx dσdτ δx
∂τ ∂σ ( )
∫ ∂ ∂
τ µ σ µ
- dσdτ δx δx
− P µ P µ ∂σ ∂σ
∫ ∫ ( ) τ ( ) σ
τ µ f σ µ f
dσ
= P µ P µ
- δx dτ δx
τ σ i i
( ) ∫
∂ ∂
τ µ σ µ
dσdτ δx δx
- − P µ P µ
∂σ ∂σ (2.21) menggunakan syarat batas kondisi awal τ i dan kondisi akhir τ f pada suku pertama
µ µ
δx (τ i ) = δx (τ f ) = 0 (2.22) persamaan ini menggambarkan bahwa pada saat kondisi waktu awal dan
µ
kondisi waktu akhir, x berada pada posisi yang tetap. dan untuk suku kedua digunakan syarat batas Dirichlet atau Neumann atau dawai tertutup
µ µ
δx (σ i ) = δx (σ f ) = 0 (Dirichlet) (2.23) persamaan menggambarkan kondisi dawai yang kedua ujungnya terikat, sehingga variasi atau pergeseran pada kedua ujungnya bernilai nol.
σ σ
(σ i (σ f ) = 0 (Neumann) (2.24) P µ ) = P µ
12 persamaan menunjukan kondisi pada dawai dengan kedua ujung be- bas. Pada kondisi ini, tidak ada momentum yang dapat mengalir melebihi kedua ujung dawai. Hal ini mengindikasikan bahwa kedua ujung dawai dapat bergerak bebas pada ruang-waktu
µ µ
δx δx (σ i ) = (σ f )
σ σ
(σ i ) = (σ f ) (dawai tertutup) (2.25) P µ P µ persamaan () memberikan gambaran bahwa pada dawai tertutup, kon- disi pada ujung awal dan ujung akhir bernilai sama.
Dengan menggunakan persamaan ) pada suku kedua, maka didapatkan ∫ ( )
∂ ∂
µ τ σ
- δS = dσdτ δx − P µ P µ
∂σ ∂σ (2.26)
Menggunakan prinsip aksi, dimana variasi dari aksi bernilai nol ( )
∫ δS ∂ ∂
τ σ
= + dσdτ − P
µ P µ µ
δx ∂σ ∂σ ∂ ∂
τ σ
- 0 = P µ P µ
∂σ ∂σ (2.27)
Persamaan merupakan persamaan gerak dari dawai relativistik ter-
µ
hadap ruang-waktu x dari aksi Nambu-Goto. Untuk menentukan per-
τ σ
yang didapatkan dari lagrangian samaan gerak ini diperlukan P µ dan P µ sistem.
2.3 Invariansi Parameterisasi Ulang dari Aksi Nambu-Goto
Integral dari aksi pada lembaran dunia (world-sheet) diparamaterkan oleh τ dan σ. Lembaran dunia (world-sheet) hanya lintasan dawai melalui ruang-waktu sehingga tidak bergantung terhadap pemilihan parameter yang digunakan. Hal ini menyatakan bahwa aksi invariant terhadap parameter- isasi ulang.
Pada persamaan aksi digunakan parameter τ dan σ. Diperke-
13 nalkan parameter baru yang berhubungan dengan τ dan σ. Denga paramtere baru mempunyai bentuk eτ = eτ(τσ) dan eσ = eσ(σσ). Untuk mengetahui apakah aksi Nambu-Goto invarian terhadap parameterisasi, dilakukan pen- gubahan parameter τσ → eσeτ S
− (
∂ e x
ν
∂ e σ
G
µν
)
2
∂ e x
µ
µ
∂ e τ
∂ e x
ν
∂ e τ
G
µν
∂ e τ
∂ e x
k
∂ e x
∂ e x
ν
∂ e τ
G µν ) (
∂ e x
k
∂ e σ
l
∂σ ) [((
∂ e σ
G kl )] 1/2
= −
T c ∫ dτ dσ
( ∂ e
τ ∂τ
∂ e σ
) ( ∂ e x
∂ e σ
µ
) ( ∂ e x
µ
∂ e τ
∂ e x
ν
∂ e τ
G
µν
k
− (
∂ e σ
∂ e x
l
∂ e σ
G
kl
) (2.28)
∂ e x
2
∂ e x
T c ∫ d e τ d e
l
∂ e σ
G
kl
)]
1/2
= −
σ √(
)
∂ e x
µ
∂ e τ
∂ e x
ν
∂ e σ
G
µν
∂ e τ
∂ e x
N G =
∂ e τ
∂σ G
kl
) =
− T c
∫ dτ dσ [(
∂ e x
µ
∂ e τ
∂τ ∂x
∂τ ∂ e x
ν
∂ e σ
∂ e σ
∂σ G
µν
)
l
k
− (
µν
− T c
∫ dτ dσ √(
∂x
µ
∂τ ∂x
ν
∂σ G
)
) ( ∂x
2
− (
∂x
µ
∂τ ∂x
ν
∂σ G
µν
2
∂ e x
− (
µ
T c ∫ dτ dσ
[( ∂ e
τ ∂τ
∂ e σ
∂σ )
2 ((
∂ e x
∂ e τ
1/2
∂ e x
ν
∂ e σ
G
µν
)
2
= −
)]
µ
µν
∂ e τ
∂ e τ
∂τ ∂ e x
ν
∂ e τ
∂ e τ
∂τ G
) ( ∂ e x
kl
k
∂ e σ
∂ e σ
∂σ ∂ e x
l
∂ e σ
∂ e σ
∂σ G
Dari perhitungan diatas dapat dilihat bahwa hasil parameterisasi aksi Nambu-Goto mempunyai bentuk yang identik dengan aksi Nambu-Goto itu sendiri. Hal ini menunjukan bahwasannya aksi Nambu-Goto invarian terhadap parameterisasi ulang.
14
2.4 Aksi Polyakov
Terdapat permasalahan pada aksi Nambu-Goto dikarenakan ruang-waktu
µ
x berada didalam akar, yang menyebabkan persamaan ini sulit untuk diselesaikan. Jika dilihat pada persamaan gerak dari aksi Nambu-Goto, persamaan ini terlihat rumit dikarenakan P merupakan turunan dari la-
µ grangian yang mempunyai ruang-waktu x didalam akar.
Terdapat aksi lain yang lebih sederhana yang disebut aksi Polyakov.
µ
Aksi ini terlihat cukup sederhana karena ruang-waktu x tidak berada di- dalam akar. Pada aksi ini diperkenalkan parameter gerak baru yang dina- makan auxilliary field. Auxilliary field tidak memberikan sifat fisis baru dari dawai, karena auxilliary field hanya merupakan alat matematis agar mempermudah pengerjaan aksi Polyakov. Penambahan auxilliary field pada aksi menyebabkan aksi Polyakov mempunyai dua persamaan gerak. Aksi Polyakov dapat dibangun dari aksi Nambu-Goto
∫ T √
S N G = dσdτ − −h c
∫ T √
αβ
= dσdτ h αβ − −hh
2c ∫
T √
αβ µ
dσdτ ∂ x ∂ x = α β µ (2.29)
− −hh 2c
αβ αβ
dengan mengganti metrik induksi h menjadi metrik world-sheet g
µ
yang tidak terikat dengan x . Metrik world-sheet ini merupakan auxiliary
αβ
field. Karena, metrik g tidak memiliki variabel dinamik. Maka didap-
atkan aksi Polyakov sebagai berikut ∫
√
T αβ µ
S P dσdτ ∂ α x ∂ β x µ (2.30) = − −g g
2c Aksi Polyakov ini ekuivalen dengan aksi Nambu-Goto secara klasik.
Untuk membuktikan bahwasannya aksi Polyakov ekuivalen dengan aksi Nambu-Goto. Dimulai dengan menentukan persamaan gerak aksi Polyakov pada auxiliary field, dengan cara memvariasikan aksi terhadap auxiliary
field
- √
00
01
11 −g
( g
= −1 −g
−1 αβ
= g
αβ
) (2.32) dan invers dari g αβ g
11
δg
10
δg
01
δg
δg
10
) and δg µν = (
11
g
10
g
01
g
00
( g
αβ =
(2.31) Untuk memvariasikan g. Diambil g αβ berupa matrik 2 × 2 g
∂ β x µ )
µ
∂ α x
−g
g
−gδg
00
δg αβ (2.35)
αβ
) = (−g)g
αβ
δ (−g) = δ(−det g
) pada persamaan (dapat dituliskan dalam bentuk
αβ
jika dibandingkan persamaan (dengan komponen dari (−g)(g
11 (2.34)
g
00
− δg
11
δg
− g
00
10
g
01
10 + δg
δg
01
αβ ) = g
δ (−g) = δ(−det g
g
00
10 − g
g
01
) (2.33) dengan −g = g
αβ
∂ ρ x µ + √
15 δS
2c ∫ dσdτ
−gδg
α→γ,β→ρ
| {z }
µ
x
β
∂
µ
x
α
∂
αβ
√ −gg
δ
− T
∂
) =
µ
x
β
∂
µ
x
α
∂
αβ
(√ −gg
2c ∫ dσdτ δ
− T
p =
αβ
α
µ
−gδg
∂ γ x
γρ
−g δg g
1 √
2
1
−
∫ dσdτ (
T 2c
= −
∂ β x µ )
µ
∂ α x
αβ
∂ ρ x µ + √
x
µ
∂ γ x
γρ
−gg
δ √
∫ dσdτ (
T 2c
= −
µ
x
β
∂
µ
11 Variasi dari determinan g αβ dapat dituliskan dalam bentuk
16
αβ variasi δg αβ harus dituliskan dalam bentuk δg . αβ
g g αβ =
2
αβ αβ
g δg αβ + δg g αβ =
αβ αβ
g δg αβ = g αβ −δg
(2.36) maka, didapatkan
αβ
δg δg
αβ (2.37)
= −g g selanjutnya, subtitusi persamaan ( ∫ (
T
1
1
αβ γρ µ
δS p = dσdτ αβ δg g ∂ γ x ∂ ρ x µ − − √ (−g)g
2c
2 −g
√ )
αβ µ
∂ x ∂
- x
α β µ
−gδg ∫ (
T 1 √
αβ γρ µ
dσdτ δg g ∂ x ∂ x = αβ γ ρ µ
− − −gg 2c
2 )
√
αβ µ
- ∂ x ∂ x
α β µ
−gδg ( )
∫ δS P T
1 √ γρ µ µ dσdτ g g ∂ x ∂ x x ∂ x
= αβ γ ρ µ + ∂ α β µ − −g −
αβ
δg 2c
2 dengan menggunakan prinsip aksi,
1
γρ µ µ
g αβ (g ∂ γ x ∂ ρ x µ ) = ∂ α x ∂ β x µ
2
1
γρ
g αβ (g h γρ ) = h αβ
2 (2.38)
γρ
h faktor (g γρ ) tidak mempunyai indek bebas, persamaan ini memberikan metrik g αβ sebanding dengan metrik induksi h αβ . Selanjutnya, diambil bentuk determinan terhadap indek α dan β,
n
( )
1
γρ
g h det (h αβ ) = det (g αβ ) γρ
2
17 dengan n = 2 merupakan ukuran dari metrik.
( )
2
1
γρ
g h det (h αβ ) = det (g αβ ) γρ
2 √
( )
2
√
1
γρ
det (h αβ ) = det (g αβ ) g h γρ
2 ( )
√ √
1
γρ
det g h (h αβ ) = det (g αβ ) γρ
2 ( )
√
1 √ γρ h g g h
= γρ
2 (2.39) jika disubtitusi hasil dari persamaan kedalam aksi Polyakov
∫ T √
ab µ ν
S dσdτ ∂ x ∂ x G
P = a b µν
− −gg 2c
∫ √
T S T dσdτ
P =
− −h c S P = S N G
(2.40) Hasil ini menunjukan bahwa aksi Polyakov dan aksi Nambu-Goto ekuiv- alen.
Dapat dilakukan gauge fixing (menentukan parameter matematis dari medan) Auxilliary field pada aksi Polyakov kedalam bentuk paling seder- hana, dengan memberikan bentuk Auxilliary field berupa metrik Minkowski 2-dimensi
( )
αβ αβ
−1 0 g = µ = (2.41)
1
2.5 Persamaan Gerak dari Aksi Polyakov
Untuk menentukan persamaan gerak dari aksi Polyakov pada ruang-
µ µ
waktu x , dilakukan variasi aksi terhadap ruang-waktu x . Dari aksi