Analisis Fungsi Gelombang dan Spektrum Energi Potensial Rosen Morse Menggunakan Metode Hipergeometri.
Jurnal Matematika & Sains, Agustus 2012, Vol. 17 Nomor 2
Analisis Fungsi Gelombang dan Spektrum Energi Potensial
Rosen Morse Menggunakan Metode Hipergeometri
1)
Suparmi1), Nurhayati1,2), Viska Inda Variani1), dan Cari1)
Program Studi Ilmu Fisika, Program Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta
2)
Program Studi Pendidikan Fisika STKIP PGRI Pontianak
e-mail: delinurhayati@yahoo.com
Diterima 2 Maret 2012 disetujui untuk dipublikasikan 29 Mei 2012
Abstrak
Perilaku partikel atomik dapat dipahami dengan jelas bila energi dan fungi gelombang dari partikel tersebut
diketahui. Spektrum energi dan fungsi gelombang untuk partikel yang dipengaruhi oleh potensial Rosen Morse
dianalisis menggunakan metode hipergeometri. Persamaan Schrödinger untuk potensial Rosen Morse diubah
menjadi persamaan diferensial orde dua fungsi hipergeometri dengan substitusi variabel dan parameter secara
tepat. Spektrum energi diperoleh secara eksak dan fungsi gelombang dinyatakan dalam bentuk polinomial
hipergeometri. Grafik potensial efektif dengan spektrum energi, fungsi gelombang tingkat dasar, tingkat pertama
dan kedua serta rapat probabilitasnya divisualisasikan dengan menggunakan bahasa pemograman Delphi 7.0.
Kata kunci: Hipergeometri, Potensial Rosen Morse, Spektrum energi, Fungsi gelombang.
Abstract
Behavior of atomic particles can be clearly understood if the energy and wave functions of the particle are known.
Energy spectrum and wave functions for particles governed by the Rosen Morse potential are analyzed using
hypergeometric method. Schrödinger equation of Rosen Morse potential is reduced into a second order differential
equation of hypergeometric function by appropriate variable and parameters substitution. Energy spectrum is
exactly obtained in the closed form and the wave functions are expressed in the form of hypergeometric polynomials
/series. The graphs of the effective potential with the energy levels, groundstate, first and second excited wave
functions and its density probabilities are visualized using Delphi 7.0.
Keywords: Hypergeometry, Rosen Morse potential, Energy spectrum, Wave function.
metode faktorisasi (Amani dkk., 2011), persamaan
diferensial tipe hipergeometri (Greiner, 1989; Taskin
dan Kocak, 2010), metode NU (Nikiforov dan
Uvarov, 1988; Ikot dan Akpabio, 2010). Persamaan
Schrödinger untuk potensial tertentu yang dapat
diselesaikan secara eksak mempunyai peran yang
sangat penting dalam mekanika kuantum karena
spektrum energi dan fungsi gelombang yang
diperolehnya memberikan informasi yang akurat
tentang perilaku dari partikel.
Penyelesaian persamaan Schrödinger untuk
osilator harmonik satu dimensi (OH 1D) dan untuk
atom H juga dapat dilakukan dengan menggunakan
persamaan diferensial orde dua fungsi hipergeometri
dan hipergeometri confluent (Greiner, 1989). Metode
penyelesaian persamaan Schrödinger yang banyak
digunakan dalam dasa warsa terakhir adalah metode
NU dan SUSY Mekanika Kuantum plus ide shape
invariance. Metode NU, dikembangkan oleh A. F.
Nikiforov dan V. B. Uvarov (Nikiforov dan Uvarov,
1988), adalah salah satu cara untuk menyelesaikan
persamaan Schrödinger dengan potensial tertentu
melalui substitusi variabel dan parameter sehingga
persamaan Schrödinger tereduksi menjadi persamaan
diferensial orde dua fungsi hipergeometri (persamaan
tipe hipergeometri) dan dalam makalah ini disebut
sebagai metode hipergeometri. Karena persamaan
1. Pendahuluan
Mekanika kuantum adalah suatu teori untuk
mendeskripsikan perilaku partikel-partikel kecil
seperti elektron, proton, neutron, inti atom, atom, dan
molekul (Fitts, 2002). Sejak abad kedua puluh, para
ilmuwan fisika telah mengembangkan teori kuantum.
Sejak itu, muncul ilmu fisika kuantum yang
dipelopori oleh Bohr, Heisenberg, Schrödinger dan
teori relativitas yang diungkapkan Einstein. Pada
tahun 1926, Edwin Schrödinger menyatakan bahwa
perilaku elektron, termasuk tingkat-tingkat energi
elektron yang diskrit dalam atom mengikuti suatu
persamaan diferensial untuk gelombang (Flugge,
1977). Persamaan diferensial tersebut kemudian
dikenal dengan persamaan Schrödinger. Persamaan
Schrödinger sekarang menjadi tulang punggung
dalam memahami fenomena kuantum secara
konsepsional dan matematika.
Dalam dua puluh tahun terakhir, para ilmuwan
dalam bidang mekanika kuantum membahas tentang
penyelesaian persamaan Schrödinger untuk sistem
partikel yang dipengaruhi oleh potensial “shape
invariant”. Potensial-potensial ini dapat diselesaikan
secara eksak dengan SUSY Mekanika Kuantum plus
ide shape invariance (Cooper, Khaer, dan Sukhatme,
1994; Goudarzi dan Vahidi, 2011; Sheng dkk., 2001)
71
72
Suparmi dkk, Analisis Fungsi Gelombang dan Spektrum Energi Potensial Rosen Morse Menggunakan ...........
tipe
hipergeometri
mendasari
penyelesaian
persamaan Schrödinger untuk beberapa cara yang
lain dan juga sudah diaplikasikan pada dua potensial
yang sangat familiar dalam kuantum, OH 1D dan
atom H, dalam buku-buku kuantum untuk mahasiswa
tingkat sarjana jurusan fisika, maka perlu dikaji
aplikasinya untuk potensial shape invariance dan
non-shape invariance.
Potensial-potensial shape invariance tersebut
diantaranya potensial Kratzer (Sadeghi dan
Pourhassan, 2008), potensial Eckart (Goudarzi dan
Vahidi, 2011) potensial Poschl Teller (Flugge, 1977;
Inomata dan Kayed, 1985), potensial Poschl-Teller
termodifikasi (Flugge, 1977), potensial Hulthen,
(Ikhdair, 2012) potensial Manning Rosen (Meyur dan
Dednath, 2009), potensial Rosen Morse (Ikot dan
Akpabio, 2010; Amani dkk., 2011).
Pada makalah ini disajikan penyelesaian
persamaan Schrödinger untuk sistem partikel yang
dipengaruhi oleh potensial Rosen Morse hiperbolik
(RMH). Spektrum energi dan fungsi gelombang dari
potensial RMH dianalisis menggunakan persamaan
diferensial fungsi hipergeometri. Potensial RMH ini
mempunyai peranan yang penting dalam pemodelan
gaya-gaya antar atom atau molekul (Ikot dan
Akpabio, 2010) dan juga sebagai kandidat yang akan
digunakan untuk mendiskripsikan quark dalam
quantum
chromo-dynamics
(Castillo,
2009)
disamping potensial Rosen Morse trigonometrik.
Dengan
diketahuinya
variabel
yang
disubstitusikan pada persamaan Schrödinger untuk
potensial RMH sehingga berubah menjadi persamaan
tipe hipergeometri, maka diharapkan dapat memberi
inspirasi untuk substitusi variabel pada sistem
potensial yang lain sehingga ditemukan spektrum
energi dan fungsi gelombangnya.
Penyelesaian persamaan Schrödinger untuk
potensial tertentu dapat ditemukan dengan cara
mengubahnya menjadi persamaan diferensial tipe
hipergeometri dengan melalui substitusi variabel,
parameter dan fungsi gelombang yang langkahlangkahnya mirip dengan langkah-langkah pada
penyelesaian persamaan Schrödinger bagian radial
untuk atom H yang pemecahannya menggunakan
penyelesaian pendekatan di sekitar titik-titik
istemewa, yang mencakup titik-titik ordinary atau
regular singular, dengan menggunakan persamaan
diferensial Frobenius (Arfken, 2005). Persamaan
diferensial hipergeometri yang diusulkan oleh Gaub
(Greiner, 1989) dinyatakan sebagai
z (1 - z )
d 2f
dz 2
+ (c - (a + b + 1)z )
df
- abf = 0
dz
(1)
Persamaan (1) mempunyai dua buah titik
reguler singular yaitu di titik z = 0 dan z = 1.
Persamaan (1) dapat diselesaikan dengan bentuk
deret di sekitar titik z = 0 yaitu,
F = zs
å an z n
(2)
Penyelesaian umum bentuk persamaan
diferensial orde dua fungsi hipergeometri (Greiner,
1989) (PDO-H) pada persamaan (1) yang diperoleh
dengan cara memasukkan persamaan (2) ke dalam
persamaan (1) adalah
2 F1
(a, b; c; z ) = F(z ) = å k = 0
= 1+
(a )k (b)k
k !(c )k
zk
abz a(a + 1)b(b + 1)z 2
+
c 1!
c(c + 1)2!
a(a + 1)(a + 2)b(b + 1)(b + 2)z 3
+
+ ...
c(c + 1)(c + 2)3!
(3)
di mana
(a )k = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)...(a + k - 1)
(a )0 = 1
(4.a)
(4.b)
dengan harga s yang di pilih sama dengan nol, s = 0.
Persamaan (3) mempunyai harga bila semua
penyebut dari deret tersebut tidak nol, maka c ≠ -n, di
mana n = 0, 1, 2,...... Jika a = -n atau b = -n, maka
penyelesaian yang berupa deret pada persamaan(3)
menjadi terputus sehingga diperoleh penyelesaian
bentuk deret yang berhingga yaitu polynomial
pangkat n dan diperoleh tingkat energi ke n.
Karena dari persamaan (1) dapat diperoleh
fungsi gelombang dan spektrum energi suatu sistem
yang dipengaruhi oleh potensial tertentu, maka
persamaan Schrödinger untuk potensial tertentu harus
diubah menjadi persamaan (1) dengan melalui
substitusi variabel dan/atau parameter. Dalam
makalah ini energi potensial sistem merupakan fungsi
hiperbolik yang merupakan fungsi posisi sudut
dengan satuan radian yang diperoleh dari fungsi
eksponensial sederhana yaitu tanh x =
cosh x =
e x - e- x
e x + e- x
dan
e x + e- x
x merupakan variabel posisi sudut
2
dengan satuan radian dengan rentang -¥ < x < ¥ .
Dalam makalah ini hanya dibahas potensial
Rosen Morse hiperbolik (RMH) bentuk khusus
(sederhana) di mana harga q sama dengan satu. Bila q
¹ 1 maka fungsi sinhq x merupakan fungsi sinh x
yang umum atau juga disebut fungsi sinh x yang
terdeformasi.
Fungsi gelombang dan spektrum energi yang
akan dianalisis dengan menggunakan metode
Hipergeometri adalah potensial RMH dengan energi
potensial dinyatakan sebagai
Veff = -
h 2 æ v(v + 1)
ö
- 2q tanh x ÷
ç
2m è cosh 2 x
ø
(5)
Persamaan Schrödinger untuk potensial RMH
dinyatakan sebagai
-
h 2 d 2 Y h 2 æ v (v + 1)
ö
- 2q tanh x ÷Y = EY (6)
ç
2m dx 2 2m è cosh 2 x
ø
dengan 0 £ q < v (v + 1) .
Jurnal Matematika & Sains, Agustus 2012, Vol. 17 Nomor 2
Persamaan (6) akan dianalisis dengan metode
Hipergeometri maka persamaan (6) harus diubah
menjadi persamaan yang bentuknya sama dengan
persamaan (1) dengan cara mensubstitusikan variabel
yang sesuai. Substitusi varabel ini terinspirasi dari
pengubahan variabel pada formula SUSY WKB
(Inomata dkk., 1991) dan pengubahan persamaan
Schrödinger untuk potensial Poschl-Teller I yang
diselesaikan
dengan
persamaan
diferensial
hipergeometri
(Flugge,
1977).
Dengan
mensubstitusikan variabel
tanh x = 1 – 2z
(7)
di mana untuk x = -¥ , z = 1 dan x = ¥, z = 1 ke
dalam persamaan (6) maka diperoleh
z (1 - z )
d 2Y
dz 2
+ (1 - 2 z )
dY
dz
dengan k 2 =
2m
2
c¢ = 2a + 1
dan penyelesaian persamaan (11) adalah
f1 ( z ) = 2 F1 (a¢, b¢; c¢; z ) =
2
a 2 (1 - z )
z a (1 - z )b {
h
Persamaan
(8)
merupakan
persamaan
diferensial orde dua yang mempunyai dua buah titik
regular singular di titik z = 0 dan z = 1. Seperti pada
penyelesaian persamaan diferensial bagian radial
atom hidrogen (Greiner, 1998), maka penyelesaian
pendekatan persamaan (8) di sekitar titik z = 0 adalah
(9b)
Dari kedua penyelesaian pendekatan diperoleh
penyelesaian umum yang merupakan hasil kali antara
penyelesaian pendekatan dengan suatu fungsi yang
dituliskan sebagai
Y = z (1 - z ) f ( z )
(9)
Dengan memasukkan persamaan (9) ke dalam
persamaan (8) dan dengan melakukan substitusi
parameter yang juga terinspirasi oleh substitusi
parameter pada potensial Poschl-Teller (Flugge,
1977)
2q - k = 4a
2
2
(10a)
- 2q - k 2 = 4 b 2
(10b)
maka persamaan (8) berubah menjadi
z (1 - z ) f ¢¢( z ) + {(2a + 1) - (2a + 2b + 2 )z} f ' ( z ) +
{v(v + 1) - (a + b )(a + b + 1)} f
=0
(11)
Bentuk persamaan (11) sama dengan bentuk
persamaan (1) maka persamaan (11) mempunyai
penyelesaian yang sama bentuknya dengan
persamaan (3). Dengan membandingkan persamaan
(11) dengan persamaan (1) diperoleh
a ¢ = a + b - v, b ¢ = a + b + v + 1
(12a)
dan
b 2z
1- z
f+
(15)
Setelah disederhanakan persamaan (15) menjadi
z(1 - z ) f ¢¢ + [(2a + 1) - (2a + 2b + 2)z ] f ¢ +
{
a2
z
-a2 - b 2 +
b2
1- z
+ v(v + 1) -
2q - k 2
4z
2
- 2q - k
- (2ab + a + b )} f = 0
4(1 - z )
(9a)
b
z
f - (2ab + a + b ) f +
ìï
4a 2
4 b 2 üï a
b
ív(v + 1) ý z (1 - z ) f = 0
4 z 4(1 - z ) ïþ
ïî
dan di sekitar titik z = 1 adalah
a
(13)
[(2a + 1) - (2a + 2b + 2)z] f ¢ + z(1 - z ) f ¢¢} +
E
Y ~ (1 - z )b
(a¢) n (b¢)n z n
(c¢) n
n!
Cara lain untuk mengubah persamaan
Schrödinger menjadi persamaan tipe hipergeometri.
Persamaan (9) dimasukkan ke persamaan (8)
diperoleh
üï
ýY = 0
ïþ
Y ~ za
¥
ån =0
(12b)
Fungsi gelombang pada persamaan (13) ada
hanya bila c¢ = 2a + 1 ¹ 0 dan spektrum energi untuk
potensial RMH diperoleh dari kondisi bahwa harga,
a ¢ = - n sehingga dari persamaan (12a) diperoleh
(14)
a + b - v = -n
(8)
ìï
2q - k
- 2q - k
+ ív(v + 1) 4z
4(1 - z )
ïî
2
73
(16)
Dengan menolkan pembilang pada suku yang
berpenyebut z dan (1-z) pada grup suku terakhir
persamaan (16) diperoleh
2q - k 2 = 4a 2
(17a)
- 2q - k 2 = 4 b 2
(17b)
dan
persamaan (16) menjadi
z (1 - z ) f ¢¢ + [(2a + 1) - (2a + 2b + 2)z ] f ¢ +
{v(v + 1) - (a + b )(a + b + 1)} f
=0
(18)
yang merupakan persamaan diferensial fungsi
hipergeometri. Penyelesaian dengan cara ini
mengarahkan kita bahwa persamaan Schrödinger
untuk sembarang potensial yang shape invariance
dan non-shape invariance selalu dapat diubah
menjadi persamaan tipe hipergeometri selama fungsi
gelombangnya dimisalkan seperti pada persamaan
(8).
2. Metode
Penjabaran fungsi gelombang dan spektrum
energi untuk potensial RMH menggunakan metode
hipergeometri dilakukan dengan beberapa langkah.
Langkah pertama yaitu menentukan persamaan
Schrödinger untuk potensial Rosen Morse yang
dinyatakan pada persamaan (6). Selanjutnya mencari
substitusi variabel yang sesuai yaitu yang dinyatakan
Suparmi dkk, Analisis Fungsi Gelombang dan Spektrum Energi Potensial Rosen Morse Menggunakan ...........
74
pada persamaan (7) agar persamaan Schrödinger
berubah menjadi persamaan diferensial orde dua
perantara pada persamaan (8). Langkah ketiga
melakukan substitusi parameter yang dinyatakan
pada persamaan (10a) dan (10b) dan fungsi
gelombang yang diperoleh dari penyelesaian
pendekatan di sekitar titik regular singular z = 0,
persamaan (9a) dan z = 1, persamaan (9b) pada
persamaan (8) sehingga berubah menjadi persamaan
diferensial orde dua fungsi hipergeometri persamaan
(11). Dengan membandingkan persamaan (11) dan
(1) dan menggunakan persamaan (14) diperoleh
fungsi gelombang seperti pada persamaan (13)
sebagai
(a¢, b¢; c¢, z )
= 2 F1 (- n, (n + 2a + 2b + 1);2a + 1, z )
2 F1
(- n )k (n + 2a + 2b + 1)k z k
(2a + 1)n
k!
(- n )(n + 2a + 2 b + 1) z k
= [1 +
= åk =0
n
+
k!
2a + 1
(- n )(- n + 1)(n + 2a + 2b + 1)(n + 2a + 2 b + 2) z 2 + ...]
(2a + 1)(2a + 2)
2!
(19)
Persamaan gelombang secara lengkap
diperoleh dengan memasukkan persamaan (10a),
(10b), (14) dan (19) ke dalam persamaan (9).
Fungsi gelombang dasar diperoleh dari
kondisi bahwa n = 0, sedangkan fungsi gelombang
tereksitasi tingkat pertama, kedua, ketiga,…
diperoleh dari kondisi n = 1, 2, 3, … pada persamaan
(9) dan (19).
Dengan menggunakan persamaan (8a), (10a),
(10b) dan (14) diperoleh spektrum energi potensial
RMH.
Dengan menentukan nilai-nilai dari variabel q
dan v maka spektrum energi dari potensial Rosen
Morse dapat dihitung secara analitik. Fungsi
gelombang tingkat dasar, tingkat tereksitasi dan rapat
probabilitasnya divisualisasikan dengan excel atau
pemrograman Delphi 7.0.
3. Hasil dan Pembahasan
Dengan menggunakan persamaan (10a), (10b)
dan (14) diperoleh
k2 = -
q2
2
- (v - n)
(v - n )2
(20)
h 2 ì q2
2ü
+ (l ¢ - n ) ý
í
2
2m î (v - n )
þ
1æ
2è
q ö
÷
v-nø
(22a)
1æ
2è
q ö
÷
v-nø
(22b)
a = çv - n +
b = çv - n -
Deret hipergeometri diperoleh dengan
menggunakan persamaan (19), (22a), dan (22b) yaitu
2 F1
(- n, (n + 2a + 2b + 1);2a + 1, z )
(22c)
Persamaan fungsi gelombang untuk sistem
partikel yang dipengaruhi oleh potensial RMH
diperoleh dari persamaan (9), (19) dan (22) sebagai
Y ( x) = Y ( z ) = Cn ( z )a (1 - z )b x
2 F1
(- n, (n + 2a + 2b + 1);2a + 1, z )
(23)
Fungsi gelombang tingkat dasar diperoleh dari
persamaan (23) untuk n = 0, sedangkan fungsi
gelombang tereksitasi tingkat pertama, kedua,…
diperoleh dari persamaan (23) dengan n = 1, n = 2,… .
Dari persamaan (7) dan (23) diperoleh fungsi
gelombang tingkat dasar sebagai
v
æ sec hx ö æ cosh x + sinh x ö
Y0 ( x) = ç
÷
÷ ç
2
ø
è 2 ø è
-
q
v
(24)
untuk n = 1
Bila persamaan (20) dimasukkan ke dalam
persamaan (8a) maka diperoleh spektrum energi
sistem yaitu
En = -
h2
= 1 dan harga n
2m
yang bervariasi. Bila harga q = v = 10, maka menurut
persamaan (21) harga tingkat energi untuk n = 0 sama
dengan untuk n = 9 yaitu E = (102 – 12) satuan,
(Tabel 1). Demikian juga untuk v = 8, q = 10,
menurut persamaan (21) harga tingkat energi untuk n
= 1 sama dengan untuk n = 6 yaitu E = -29,00 satuan.
Pada Tabel 1 dapat dilihat bahwa ada beberapa harga
tingkat energi yang sama untuk harga n yang
berbeda, maka sistem kuantum dari potensial RMH
dalam keadaan terdegenerasi. Dari persamaan (21)
dapat ditunjukkan bahwa rentang energi untuk harga
v + 1 < n £ 2v sama dengan rentang energi untuk
0 < n £ v - 1 untuk harga q yang sama, tetapi harga
tingkat energi akan semakin negatif untuk n > 2v .
Bila sistem potensial ini diaplikasikan untuk
mendiskripsikan gaya antar molekul maka semakin
negatif energi semakin kuat ikatannya.
Dengan menggunakan persamaan (10a), (10b)
dan (16) diperoleh
untuk v = 8 dan v = 10 dengan
æ
2 F1 ç - 1, (2v ); v - 1 +
è
2vz
q
ö
+ 1, z ÷ = 1 q
v -1
ø
v+
v -1
(25)
dan untuk n = 2
(21)
Dengan memvariasi harga q, v dan n pada
persamaan (21) dan dengan kondisi v ¹ n diperoleh
tingkat-tingkat energi dari partikel. Pada Tabel 1
disajikan tingkat-tingkat energi untuk q = 10 dan
æ
è
2 F1 ç - 2,
= 1-
(2v - 1); v - 1 +
q
ö
, z÷
l-2 ø
2v(2v - 1)z 2
2(2v - 1)z
+
q
q ö
q öæ
æ
v -1 +
çv -1 +
֍ v +
÷
v -2 è
v-2ø
v - 2 øè
(26)
Jurnal Matematika & Sains, Agustus 2012, Vol. 17 Nomor 2
Fungsi gelombang tereksitasi tingkat pertama
(n=1) dan tingkat ke dua (n=2) untuk v=10, q=10
yang diperoleh dari persamaan (23), (24) dan (25)
adalah
9
æ sec hx ö æ cosh x + sinh x ö
Y1 ( x) = ç
÷
÷ ç
2
ø
è 2 ø è
-1,1
æ 10(1 - tanh x ) ö
÷
ç1 11,1
ø
è
(27)
8
æ sec hx ö æ cosh x + sinh x ö
Y2 ( x) = ç
÷ ç
÷
2
è 2 ø è
ø
-1, 25
75
Gambar 1 menunjukkan grafik fungsi
gelombang tingkat dasar tak ternormalisasi sebagai
fungsi sudut ( dalam radian) untuk v = 10, q = 10 dan
(b) v = 8, q = 10 yang divisualisasikan dengan excel.
Gambar tersebut juga dapat direproduksi dengan
pemrograman Delphi 7.0 dari persamaan (24). Fungsi
gelombang tingkat dasar diperoleh untuk n = 0
seperti ditunjukkan pada persamaan (24).
(a)
æ 19(1 - tanh x ) 95(1 - tanh x )2 ö
ç1 ÷
+
ç
(10,25)(11,25) ÷ø
10,25
è
(28)
Tabel 1. Tingkat energi potensial Rosen Morse
N
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
v = 10, q = 10
En
-101,00
-82,23
-65,56
-51,04
-38,78
-29,00
-22,25
-20,11
-29,00
-101,00
v = 8, q=10
En
-65,56
-51,04
-38,78
-29,00
-22,25
-20,11
-29,00
-101,00
Pada Tabel 1 dapat dilihat bahwa harga energi
terbesar untuk q yang sama dan v yang berbeda
adalah sama besar yaitu -20,11 tetapi pada tingkat
energi (n) yang berbeda.
(a)
(b)
Gambar 2. Grafik probabilitas Rosen Morse dengan
v = 10, q = 10, n = 1 (a) dan v = 8, q = 14, n = 1 (b).
Gambar
2
menunjukkan
visualisasi
rapat
kebolehjadian untuk keadaan tingkat dasar dengan
(a) v = 10, q = 10 dan (b) v = 8, q = 10. Puncak grafik
menunjukkan peluang terbesar untuk ditemukan
partikel dalam kondisi keadaan dasar. Rapat
probabilitas partikel dalam keadaan tingkat dasar
yang diperoleh dari persamaan (20) adalah
(v )
Y0
(b)
2
-
q
(v )
2
(25)
Grafik dari deret hipergeometri untuk n = 1
dan n = 2 untuk v = q = 10 yang dinyatakan pada
persamaan (21) dan (22) ditunjukkan pada Gambar
3(a) dan Gambar 3(b), sedangkan grafik fungsi
gelombang tereksitasi pertama dan kedua serta rapat
probabilitasnya untuk v = q = 10 dicantumkan pada
Gambar 5 dan Gambar 6.
Pada fungsi gelombang yang orthogonal
berlaku
¥
Gambar 1. Grafik fungsi gelombang tingkat dasar
Rosen Morse dengan v = 10, q = 10, n = 0 (a) dan v =
8, q = 10, n = 0 (b).
æ sec hx ö æ cosh x + sinh x ö
=ç
÷ ç
÷
2
è 2 ø è
ø
ò- ¥ Ym ( x)Yn ( x)dx
=
*
1 1 *
dz
Ym ( z )Yn ( z )
= d mn
2 0
z (1 - z )
ò
(26)
Suparmi dkk, Analisis Fungsi Gelombang dan Spektrum Energi Potensial Rosen Morse Menggunakan ...........
76
di mana dx = - 2dz .
z (1 - z )
(a)
Persamaan (19) dapat dituliskan sebagai
Y( z ) = C n ( z )a (1 - z )b
åk =0
n
(- n)k (n + 2a + 2b + 1)k
(2a + 1)n
zk
k!
(27)
Dari persamaan (26) dan (27) diperoleh
kondisi normalisasi fungsi gelombang sebagai
¥
ò-¥ Yn ( x)Yn ( x)dx = 1
*
(Cn )2 ånj=0 ånk=0 (- n)k (n + 2a + 2b + 1)k
(2a + 1)k
(- n) j (n + 2a + 2b + 1) j
(2a + 1) j
(b)
1 1 2a -1+ k + j
´
( z)
(1 - z )2 b -1 dz = 1
2 0
ò
(Cn )2 å å (- n )k (n + 2a + 2b + 1)k
2(2a + 1)k
j=0 k =0
m
n
B(2a + k + j ,2b ) = 1
di mana
dengan
(- n ) j (n + 2a + 2 b + 1)
(2a + 1) j
(28)
B(2a + k + j,2 b ) = 1 adalah fungsi Beta
B(2a + k + j , 2 b ) =
G(2a + k + j )G(2b )
G(2a + k + j + 2 b )
(29)
Dari persamaan (28) dan (29) dapat diperoleh faktor
normalisasi Cn.
Pada Gambar 3 ditunjukkan grafik deret
hipergeometri untuk n=1 dan n=2 yang merupakan
grafik dari persamaan (22c)
(a)
Gambar 4. Grafik fungsi gelombang Rosen Morse
dengan v = 8 dan q = 10, n = 1 (a) (persamaan 27)
dan n = 2 (b) (persamaan 28).
Pada Gambar 5 ditunjukkan grafik rapat
probabilitas untuk potensial Rosen Morse dengan v =
8, q = 10 (a) n = 1 dan (b) n = 2.
(a)
(b)
(b)
(b)
Gambar 3. Grafik deret hipergeometri untuk v = 10,
q = 10, n = 1 (a) dan n = 2 (b).
Pada Gambar 4 ditunjukkan grafik fungsi
gelombang tereksitasi kesatu dan kedua untuk v = 8
dan q = 10 dan rapat probabilitasnya ditunjukkan
pada Gambar 5.
Gambar 5. Grafik rapat probabilitas untuk potensial
Rosen Morse dengan v = 10, q = 10, n = 1 (a) dan
n = 2 (b).
4. Kesimpulan
Fungsi gelombang dan spektrum energi untuk
sistem yang dipengaruhi oleh potensial Rosen Morse
hiperbolik dapat dianalisis dengan menyelesaikan
Jurnal Matematika & Sains, Agustus 2012, Vol. 17 Nomor 2
persamaan Schrödinger menggunakan metode
hipergeometri. Potensial efektif RMH beserta
spektrum energinya, fungsi gelombang tingkat dasar,
tereksitasi pertama dan kedua dan rapat
probabilitasnya untuk sistem yang dipengaruhi oleh
potensial Rosen Morse divisualisasikan dengan tepat
dan mudah menggunakan excel atau program Delphi
7.0.
Ucapan Terima Kasih
Makalah ini dibiayai oleh Hibah Pasca Sarjana
2012 dengan nomor kontrak 2345/UN27.16/
PN/2012.
Daftar Pustaka
Amani,
A. R., M. A. Moghrimoazzen, H.
Ghorbanpour, and S. Barzegaran, 2011, The
Ladder Operator of Rosen Morse Potential
with Centrifugal Term by Factorization
Method, Afri. J. Math. Phys., 10, 31-37.
Arfken, G. B., 2005, Mathematical Methods For
Physics, 6th, Elsevier Academic Press, USA.
Castillo, D. E. A., 2009, Exactly Solvable Potentials
and Romanovski Polynomials in Quantum
Mechanics, arXiv: 0808.164802v2 (mathph).
Cooper, F., A. Khare, and U. Sukhatme, 1994,
Supersymmetry and Quantum Mechanics,
arXiv. hep-th/9405029v2, 1-154.
Fitts, D. D., 2002, Principles of Quantum Mechanics,
Cambridge University Press, ISBN: 0-51100763-9 Virtual.
Flugge, S., 1977, Practical Quantum Mechanics I,
Spinger-Verlaag, New York.
Goudarzi, H. and V. Vahidi, 2011, Supersymmetric
Approach for Eckart Potential Using the NU
Method, Adv. Studies Theor. Phys., 5, 10,
469-476.
Greiner, 1989, Quantum Mechanics, An Introduction,
Physics Departement, Frankfurt University.
77
Ikhdair, S. M., 2012, Quantization Rule Solution to
the Hulthen Potential in Arbitrary
Dimension by a New Approximate Scheme
for the Centrifugal Term, arXiv. 1104.030v2
[quant-ph], 1-15.
Ikot, A. N. and L. E. Akpabio, 2010, Approximate
Solution of the Schrödinger Equation with
Rosen Morse Potential Including the
Centrifugal Term, Appl. Phys. Res., 2:2,
202-208.
Inomata, A., and M. A. Kayed, 1985, Path-Integral
Quantization of The Symmetric PoschlTeller Potential, Phys. Lett., 108A, 1, 9-13.
Inomata A., A. Suparmi, and S. Kurth, 1991,
Proceeding of 18th International Colloqium
on Group Theoretical Methods in Physics,
eds. V. V. Dodonov and V. I. Man’ko,
(Springer, Berlin), 399.
Meyur, S. and D. Dednath, 2009, Solution of
Schrödinger equation with Hulthen plus
Manning Rosen potential, Lat. Am. J. Phys.
Educ., 3, 2, 300-306.
Meyur, S. and D. Dednath, 2010, Eigen Spectra for
Woods Saxon plus Rosen Morse, Lat. Am. J.
Phys. Educ., 4, 3, 587-597.
Nikiforov, A. F. and U. B. Uvarov, 1988, Special
Function
in
Mathematical
Physics,
Birkhausa, Basel.
Sadeghi, J. and B. Pourhassan, 2008, Exact Solution
of The Non-Central Potential Modified
Kratzer Potential, EJTP 5, 17, 197-206 .
Sheng, J. C., Z. Ying, Z. X. Lin, and S. L. Tian,
2001, Identity for the Exponential-Type
Molecule Potentials and the Supersymmetry
Shape
Invariance,
Comm.
Theor.
Phys.(China), 36, 641-646.
Taskin, F. and G. Kocak, 2010, Approximate
Solution of Schrödinger Equation for Eckart
potential with Centrifugal Term, Chin. Phys.
B, 19:9, 1-6.
Analisis Fungsi Gelombang dan Spektrum Energi Potensial
Rosen Morse Menggunakan Metode Hipergeometri
1)
Suparmi1), Nurhayati1,2), Viska Inda Variani1), dan Cari1)
Program Studi Ilmu Fisika, Program Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta
2)
Program Studi Pendidikan Fisika STKIP PGRI Pontianak
e-mail: delinurhayati@yahoo.com
Diterima 2 Maret 2012 disetujui untuk dipublikasikan 29 Mei 2012
Abstrak
Perilaku partikel atomik dapat dipahami dengan jelas bila energi dan fungi gelombang dari partikel tersebut
diketahui. Spektrum energi dan fungsi gelombang untuk partikel yang dipengaruhi oleh potensial Rosen Morse
dianalisis menggunakan metode hipergeometri. Persamaan Schrödinger untuk potensial Rosen Morse diubah
menjadi persamaan diferensial orde dua fungsi hipergeometri dengan substitusi variabel dan parameter secara
tepat. Spektrum energi diperoleh secara eksak dan fungsi gelombang dinyatakan dalam bentuk polinomial
hipergeometri. Grafik potensial efektif dengan spektrum energi, fungsi gelombang tingkat dasar, tingkat pertama
dan kedua serta rapat probabilitasnya divisualisasikan dengan menggunakan bahasa pemograman Delphi 7.0.
Kata kunci: Hipergeometri, Potensial Rosen Morse, Spektrum energi, Fungsi gelombang.
Abstract
Behavior of atomic particles can be clearly understood if the energy and wave functions of the particle are known.
Energy spectrum and wave functions for particles governed by the Rosen Morse potential are analyzed using
hypergeometric method. Schrödinger equation of Rosen Morse potential is reduced into a second order differential
equation of hypergeometric function by appropriate variable and parameters substitution. Energy spectrum is
exactly obtained in the closed form and the wave functions are expressed in the form of hypergeometric polynomials
/series. The graphs of the effective potential with the energy levels, groundstate, first and second excited wave
functions and its density probabilities are visualized using Delphi 7.0.
Keywords: Hypergeometry, Rosen Morse potential, Energy spectrum, Wave function.
metode faktorisasi (Amani dkk., 2011), persamaan
diferensial tipe hipergeometri (Greiner, 1989; Taskin
dan Kocak, 2010), metode NU (Nikiforov dan
Uvarov, 1988; Ikot dan Akpabio, 2010). Persamaan
Schrödinger untuk potensial tertentu yang dapat
diselesaikan secara eksak mempunyai peran yang
sangat penting dalam mekanika kuantum karena
spektrum energi dan fungsi gelombang yang
diperolehnya memberikan informasi yang akurat
tentang perilaku dari partikel.
Penyelesaian persamaan Schrödinger untuk
osilator harmonik satu dimensi (OH 1D) dan untuk
atom H juga dapat dilakukan dengan menggunakan
persamaan diferensial orde dua fungsi hipergeometri
dan hipergeometri confluent (Greiner, 1989). Metode
penyelesaian persamaan Schrödinger yang banyak
digunakan dalam dasa warsa terakhir adalah metode
NU dan SUSY Mekanika Kuantum plus ide shape
invariance. Metode NU, dikembangkan oleh A. F.
Nikiforov dan V. B. Uvarov (Nikiforov dan Uvarov,
1988), adalah salah satu cara untuk menyelesaikan
persamaan Schrödinger dengan potensial tertentu
melalui substitusi variabel dan parameter sehingga
persamaan Schrödinger tereduksi menjadi persamaan
diferensial orde dua fungsi hipergeometri (persamaan
tipe hipergeometri) dan dalam makalah ini disebut
sebagai metode hipergeometri. Karena persamaan
1. Pendahuluan
Mekanika kuantum adalah suatu teori untuk
mendeskripsikan perilaku partikel-partikel kecil
seperti elektron, proton, neutron, inti atom, atom, dan
molekul (Fitts, 2002). Sejak abad kedua puluh, para
ilmuwan fisika telah mengembangkan teori kuantum.
Sejak itu, muncul ilmu fisika kuantum yang
dipelopori oleh Bohr, Heisenberg, Schrödinger dan
teori relativitas yang diungkapkan Einstein. Pada
tahun 1926, Edwin Schrödinger menyatakan bahwa
perilaku elektron, termasuk tingkat-tingkat energi
elektron yang diskrit dalam atom mengikuti suatu
persamaan diferensial untuk gelombang (Flugge,
1977). Persamaan diferensial tersebut kemudian
dikenal dengan persamaan Schrödinger. Persamaan
Schrödinger sekarang menjadi tulang punggung
dalam memahami fenomena kuantum secara
konsepsional dan matematika.
Dalam dua puluh tahun terakhir, para ilmuwan
dalam bidang mekanika kuantum membahas tentang
penyelesaian persamaan Schrödinger untuk sistem
partikel yang dipengaruhi oleh potensial “shape
invariant”. Potensial-potensial ini dapat diselesaikan
secara eksak dengan SUSY Mekanika Kuantum plus
ide shape invariance (Cooper, Khaer, dan Sukhatme,
1994; Goudarzi dan Vahidi, 2011; Sheng dkk., 2001)
71
72
Suparmi dkk, Analisis Fungsi Gelombang dan Spektrum Energi Potensial Rosen Morse Menggunakan ...........
tipe
hipergeometri
mendasari
penyelesaian
persamaan Schrödinger untuk beberapa cara yang
lain dan juga sudah diaplikasikan pada dua potensial
yang sangat familiar dalam kuantum, OH 1D dan
atom H, dalam buku-buku kuantum untuk mahasiswa
tingkat sarjana jurusan fisika, maka perlu dikaji
aplikasinya untuk potensial shape invariance dan
non-shape invariance.
Potensial-potensial shape invariance tersebut
diantaranya potensial Kratzer (Sadeghi dan
Pourhassan, 2008), potensial Eckart (Goudarzi dan
Vahidi, 2011) potensial Poschl Teller (Flugge, 1977;
Inomata dan Kayed, 1985), potensial Poschl-Teller
termodifikasi (Flugge, 1977), potensial Hulthen,
(Ikhdair, 2012) potensial Manning Rosen (Meyur dan
Dednath, 2009), potensial Rosen Morse (Ikot dan
Akpabio, 2010; Amani dkk., 2011).
Pada makalah ini disajikan penyelesaian
persamaan Schrödinger untuk sistem partikel yang
dipengaruhi oleh potensial Rosen Morse hiperbolik
(RMH). Spektrum energi dan fungsi gelombang dari
potensial RMH dianalisis menggunakan persamaan
diferensial fungsi hipergeometri. Potensial RMH ini
mempunyai peranan yang penting dalam pemodelan
gaya-gaya antar atom atau molekul (Ikot dan
Akpabio, 2010) dan juga sebagai kandidat yang akan
digunakan untuk mendiskripsikan quark dalam
quantum
chromo-dynamics
(Castillo,
2009)
disamping potensial Rosen Morse trigonometrik.
Dengan
diketahuinya
variabel
yang
disubstitusikan pada persamaan Schrödinger untuk
potensial RMH sehingga berubah menjadi persamaan
tipe hipergeometri, maka diharapkan dapat memberi
inspirasi untuk substitusi variabel pada sistem
potensial yang lain sehingga ditemukan spektrum
energi dan fungsi gelombangnya.
Penyelesaian persamaan Schrödinger untuk
potensial tertentu dapat ditemukan dengan cara
mengubahnya menjadi persamaan diferensial tipe
hipergeometri dengan melalui substitusi variabel,
parameter dan fungsi gelombang yang langkahlangkahnya mirip dengan langkah-langkah pada
penyelesaian persamaan Schrödinger bagian radial
untuk atom H yang pemecahannya menggunakan
penyelesaian pendekatan di sekitar titik-titik
istemewa, yang mencakup titik-titik ordinary atau
regular singular, dengan menggunakan persamaan
diferensial Frobenius (Arfken, 2005). Persamaan
diferensial hipergeometri yang diusulkan oleh Gaub
(Greiner, 1989) dinyatakan sebagai
z (1 - z )
d 2f
dz 2
+ (c - (a + b + 1)z )
df
- abf = 0
dz
(1)
Persamaan (1) mempunyai dua buah titik
reguler singular yaitu di titik z = 0 dan z = 1.
Persamaan (1) dapat diselesaikan dengan bentuk
deret di sekitar titik z = 0 yaitu,
F = zs
å an z n
(2)
Penyelesaian umum bentuk persamaan
diferensial orde dua fungsi hipergeometri (Greiner,
1989) (PDO-H) pada persamaan (1) yang diperoleh
dengan cara memasukkan persamaan (2) ke dalam
persamaan (1) adalah
2 F1
(a, b; c; z ) = F(z ) = å k = 0
= 1+
(a )k (b)k
k !(c )k
zk
abz a(a + 1)b(b + 1)z 2
+
c 1!
c(c + 1)2!
a(a + 1)(a + 2)b(b + 1)(b + 2)z 3
+
+ ...
c(c + 1)(c + 2)3!
(3)
di mana
(a )k = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)...(a + k - 1)
(a )0 = 1
(4.a)
(4.b)
dengan harga s yang di pilih sama dengan nol, s = 0.
Persamaan (3) mempunyai harga bila semua
penyebut dari deret tersebut tidak nol, maka c ≠ -n, di
mana n = 0, 1, 2,...... Jika a = -n atau b = -n, maka
penyelesaian yang berupa deret pada persamaan(3)
menjadi terputus sehingga diperoleh penyelesaian
bentuk deret yang berhingga yaitu polynomial
pangkat n dan diperoleh tingkat energi ke n.
Karena dari persamaan (1) dapat diperoleh
fungsi gelombang dan spektrum energi suatu sistem
yang dipengaruhi oleh potensial tertentu, maka
persamaan Schrödinger untuk potensial tertentu harus
diubah menjadi persamaan (1) dengan melalui
substitusi variabel dan/atau parameter. Dalam
makalah ini energi potensial sistem merupakan fungsi
hiperbolik yang merupakan fungsi posisi sudut
dengan satuan radian yang diperoleh dari fungsi
eksponensial sederhana yaitu tanh x =
cosh x =
e x - e- x
e x + e- x
dan
e x + e- x
x merupakan variabel posisi sudut
2
dengan satuan radian dengan rentang -¥ < x < ¥ .
Dalam makalah ini hanya dibahas potensial
Rosen Morse hiperbolik (RMH) bentuk khusus
(sederhana) di mana harga q sama dengan satu. Bila q
¹ 1 maka fungsi sinhq x merupakan fungsi sinh x
yang umum atau juga disebut fungsi sinh x yang
terdeformasi.
Fungsi gelombang dan spektrum energi yang
akan dianalisis dengan menggunakan metode
Hipergeometri adalah potensial RMH dengan energi
potensial dinyatakan sebagai
Veff = -
h 2 æ v(v + 1)
ö
- 2q tanh x ÷
ç
2m è cosh 2 x
ø
(5)
Persamaan Schrödinger untuk potensial RMH
dinyatakan sebagai
-
h 2 d 2 Y h 2 æ v (v + 1)
ö
- 2q tanh x ÷Y = EY (6)
ç
2m dx 2 2m è cosh 2 x
ø
dengan 0 £ q < v (v + 1) .
Jurnal Matematika & Sains, Agustus 2012, Vol. 17 Nomor 2
Persamaan (6) akan dianalisis dengan metode
Hipergeometri maka persamaan (6) harus diubah
menjadi persamaan yang bentuknya sama dengan
persamaan (1) dengan cara mensubstitusikan variabel
yang sesuai. Substitusi varabel ini terinspirasi dari
pengubahan variabel pada formula SUSY WKB
(Inomata dkk., 1991) dan pengubahan persamaan
Schrödinger untuk potensial Poschl-Teller I yang
diselesaikan
dengan
persamaan
diferensial
hipergeometri
(Flugge,
1977).
Dengan
mensubstitusikan variabel
tanh x = 1 – 2z
(7)
di mana untuk x = -¥ , z = 1 dan x = ¥, z = 1 ke
dalam persamaan (6) maka diperoleh
z (1 - z )
d 2Y
dz 2
+ (1 - 2 z )
dY
dz
dengan k 2 =
2m
2
c¢ = 2a + 1
dan penyelesaian persamaan (11) adalah
f1 ( z ) = 2 F1 (a¢, b¢; c¢; z ) =
2
a 2 (1 - z )
z a (1 - z )b {
h
Persamaan
(8)
merupakan
persamaan
diferensial orde dua yang mempunyai dua buah titik
regular singular di titik z = 0 dan z = 1. Seperti pada
penyelesaian persamaan diferensial bagian radial
atom hidrogen (Greiner, 1998), maka penyelesaian
pendekatan persamaan (8) di sekitar titik z = 0 adalah
(9b)
Dari kedua penyelesaian pendekatan diperoleh
penyelesaian umum yang merupakan hasil kali antara
penyelesaian pendekatan dengan suatu fungsi yang
dituliskan sebagai
Y = z (1 - z ) f ( z )
(9)
Dengan memasukkan persamaan (9) ke dalam
persamaan (8) dan dengan melakukan substitusi
parameter yang juga terinspirasi oleh substitusi
parameter pada potensial Poschl-Teller (Flugge,
1977)
2q - k = 4a
2
2
(10a)
- 2q - k 2 = 4 b 2
(10b)
maka persamaan (8) berubah menjadi
z (1 - z ) f ¢¢( z ) + {(2a + 1) - (2a + 2b + 2 )z} f ' ( z ) +
{v(v + 1) - (a + b )(a + b + 1)} f
=0
(11)
Bentuk persamaan (11) sama dengan bentuk
persamaan (1) maka persamaan (11) mempunyai
penyelesaian yang sama bentuknya dengan
persamaan (3). Dengan membandingkan persamaan
(11) dengan persamaan (1) diperoleh
a ¢ = a + b - v, b ¢ = a + b + v + 1
(12a)
dan
b 2z
1- z
f+
(15)
Setelah disederhanakan persamaan (15) menjadi
z(1 - z ) f ¢¢ + [(2a + 1) - (2a + 2b + 2)z ] f ¢ +
{
a2
z
-a2 - b 2 +
b2
1- z
+ v(v + 1) -
2q - k 2
4z
2
- 2q - k
- (2ab + a + b )} f = 0
4(1 - z )
(9a)
b
z
f - (2ab + a + b ) f +
ìï
4a 2
4 b 2 üï a
b
ív(v + 1) ý z (1 - z ) f = 0
4 z 4(1 - z ) ïþ
ïî
dan di sekitar titik z = 1 adalah
a
(13)
[(2a + 1) - (2a + 2b + 2)z] f ¢ + z(1 - z ) f ¢¢} +
E
Y ~ (1 - z )b
(a¢) n (b¢)n z n
(c¢) n
n!
Cara lain untuk mengubah persamaan
Schrödinger menjadi persamaan tipe hipergeometri.
Persamaan (9) dimasukkan ke persamaan (8)
diperoleh
üï
ýY = 0
ïþ
Y ~ za
¥
ån =0
(12b)
Fungsi gelombang pada persamaan (13) ada
hanya bila c¢ = 2a + 1 ¹ 0 dan spektrum energi untuk
potensial RMH diperoleh dari kondisi bahwa harga,
a ¢ = - n sehingga dari persamaan (12a) diperoleh
(14)
a + b - v = -n
(8)
ìï
2q - k
- 2q - k
+ ív(v + 1) 4z
4(1 - z )
ïî
2
73
(16)
Dengan menolkan pembilang pada suku yang
berpenyebut z dan (1-z) pada grup suku terakhir
persamaan (16) diperoleh
2q - k 2 = 4a 2
(17a)
- 2q - k 2 = 4 b 2
(17b)
dan
persamaan (16) menjadi
z (1 - z ) f ¢¢ + [(2a + 1) - (2a + 2b + 2)z ] f ¢ +
{v(v + 1) - (a + b )(a + b + 1)} f
=0
(18)
yang merupakan persamaan diferensial fungsi
hipergeometri. Penyelesaian dengan cara ini
mengarahkan kita bahwa persamaan Schrödinger
untuk sembarang potensial yang shape invariance
dan non-shape invariance selalu dapat diubah
menjadi persamaan tipe hipergeometri selama fungsi
gelombangnya dimisalkan seperti pada persamaan
(8).
2. Metode
Penjabaran fungsi gelombang dan spektrum
energi untuk potensial RMH menggunakan metode
hipergeometri dilakukan dengan beberapa langkah.
Langkah pertama yaitu menentukan persamaan
Schrödinger untuk potensial Rosen Morse yang
dinyatakan pada persamaan (6). Selanjutnya mencari
substitusi variabel yang sesuai yaitu yang dinyatakan
Suparmi dkk, Analisis Fungsi Gelombang dan Spektrum Energi Potensial Rosen Morse Menggunakan ...........
74
pada persamaan (7) agar persamaan Schrödinger
berubah menjadi persamaan diferensial orde dua
perantara pada persamaan (8). Langkah ketiga
melakukan substitusi parameter yang dinyatakan
pada persamaan (10a) dan (10b) dan fungsi
gelombang yang diperoleh dari penyelesaian
pendekatan di sekitar titik regular singular z = 0,
persamaan (9a) dan z = 1, persamaan (9b) pada
persamaan (8) sehingga berubah menjadi persamaan
diferensial orde dua fungsi hipergeometri persamaan
(11). Dengan membandingkan persamaan (11) dan
(1) dan menggunakan persamaan (14) diperoleh
fungsi gelombang seperti pada persamaan (13)
sebagai
(a¢, b¢; c¢, z )
= 2 F1 (- n, (n + 2a + 2b + 1);2a + 1, z )
2 F1
(- n )k (n + 2a + 2b + 1)k z k
(2a + 1)n
k!
(- n )(n + 2a + 2 b + 1) z k
= [1 +
= åk =0
n
+
k!
2a + 1
(- n )(- n + 1)(n + 2a + 2b + 1)(n + 2a + 2 b + 2) z 2 + ...]
(2a + 1)(2a + 2)
2!
(19)
Persamaan gelombang secara lengkap
diperoleh dengan memasukkan persamaan (10a),
(10b), (14) dan (19) ke dalam persamaan (9).
Fungsi gelombang dasar diperoleh dari
kondisi bahwa n = 0, sedangkan fungsi gelombang
tereksitasi tingkat pertama, kedua, ketiga,…
diperoleh dari kondisi n = 1, 2, 3, … pada persamaan
(9) dan (19).
Dengan menggunakan persamaan (8a), (10a),
(10b) dan (14) diperoleh spektrum energi potensial
RMH.
Dengan menentukan nilai-nilai dari variabel q
dan v maka spektrum energi dari potensial Rosen
Morse dapat dihitung secara analitik. Fungsi
gelombang tingkat dasar, tingkat tereksitasi dan rapat
probabilitasnya divisualisasikan dengan excel atau
pemrograman Delphi 7.0.
3. Hasil dan Pembahasan
Dengan menggunakan persamaan (10a), (10b)
dan (14) diperoleh
k2 = -
q2
2
- (v - n)
(v - n )2
(20)
h 2 ì q2
2ü
+ (l ¢ - n ) ý
í
2
2m î (v - n )
þ
1æ
2è
q ö
÷
v-nø
(22a)
1æ
2è
q ö
÷
v-nø
(22b)
a = çv - n +
b = çv - n -
Deret hipergeometri diperoleh dengan
menggunakan persamaan (19), (22a), dan (22b) yaitu
2 F1
(- n, (n + 2a + 2b + 1);2a + 1, z )
(22c)
Persamaan fungsi gelombang untuk sistem
partikel yang dipengaruhi oleh potensial RMH
diperoleh dari persamaan (9), (19) dan (22) sebagai
Y ( x) = Y ( z ) = Cn ( z )a (1 - z )b x
2 F1
(- n, (n + 2a + 2b + 1);2a + 1, z )
(23)
Fungsi gelombang tingkat dasar diperoleh dari
persamaan (23) untuk n = 0, sedangkan fungsi
gelombang tereksitasi tingkat pertama, kedua,…
diperoleh dari persamaan (23) dengan n = 1, n = 2,… .
Dari persamaan (7) dan (23) diperoleh fungsi
gelombang tingkat dasar sebagai
v
æ sec hx ö æ cosh x + sinh x ö
Y0 ( x) = ç
÷
÷ ç
2
ø
è 2 ø è
-
q
v
(24)
untuk n = 1
Bila persamaan (20) dimasukkan ke dalam
persamaan (8a) maka diperoleh spektrum energi
sistem yaitu
En = -
h2
= 1 dan harga n
2m
yang bervariasi. Bila harga q = v = 10, maka menurut
persamaan (21) harga tingkat energi untuk n = 0 sama
dengan untuk n = 9 yaitu E = (102 – 12) satuan,
(Tabel 1). Demikian juga untuk v = 8, q = 10,
menurut persamaan (21) harga tingkat energi untuk n
= 1 sama dengan untuk n = 6 yaitu E = -29,00 satuan.
Pada Tabel 1 dapat dilihat bahwa ada beberapa harga
tingkat energi yang sama untuk harga n yang
berbeda, maka sistem kuantum dari potensial RMH
dalam keadaan terdegenerasi. Dari persamaan (21)
dapat ditunjukkan bahwa rentang energi untuk harga
v + 1 < n £ 2v sama dengan rentang energi untuk
0 < n £ v - 1 untuk harga q yang sama, tetapi harga
tingkat energi akan semakin negatif untuk n > 2v .
Bila sistem potensial ini diaplikasikan untuk
mendiskripsikan gaya antar molekul maka semakin
negatif energi semakin kuat ikatannya.
Dengan menggunakan persamaan (10a), (10b)
dan (16) diperoleh
untuk v = 8 dan v = 10 dengan
æ
2 F1 ç - 1, (2v ); v - 1 +
è
2vz
q
ö
+ 1, z ÷ = 1 q
v -1
ø
v+
v -1
(25)
dan untuk n = 2
(21)
Dengan memvariasi harga q, v dan n pada
persamaan (21) dan dengan kondisi v ¹ n diperoleh
tingkat-tingkat energi dari partikel. Pada Tabel 1
disajikan tingkat-tingkat energi untuk q = 10 dan
æ
è
2 F1 ç - 2,
= 1-
(2v - 1); v - 1 +
q
ö
, z÷
l-2 ø
2v(2v - 1)z 2
2(2v - 1)z
+
q
q ö
q öæ
æ
v -1 +
çv -1 +
֍ v +
÷
v -2 è
v-2ø
v - 2 øè
(26)
Jurnal Matematika & Sains, Agustus 2012, Vol. 17 Nomor 2
Fungsi gelombang tereksitasi tingkat pertama
(n=1) dan tingkat ke dua (n=2) untuk v=10, q=10
yang diperoleh dari persamaan (23), (24) dan (25)
adalah
9
æ sec hx ö æ cosh x + sinh x ö
Y1 ( x) = ç
÷
÷ ç
2
ø
è 2 ø è
-1,1
æ 10(1 - tanh x ) ö
÷
ç1 11,1
ø
è
(27)
8
æ sec hx ö æ cosh x + sinh x ö
Y2 ( x) = ç
÷ ç
÷
2
è 2 ø è
ø
-1, 25
75
Gambar 1 menunjukkan grafik fungsi
gelombang tingkat dasar tak ternormalisasi sebagai
fungsi sudut ( dalam radian) untuk v = 10, q = 10 dan
(b) v = 8, q = 10 yang divisualisasikan dengan excel.
Gambar tersebut juga dapat direproduksi dengan
pemrograman Delphi 7.0 dari persamaan (24). Fungsi
gelombang tingkat dasar diperoleh untuk n = 0
seperti ditunjukkan pada persamaan (24).
(a)
æ 19(1 - tanh x ) 95(1 - tanh x )2 ö
ç1 ÷
+
ç
(10,25)(11,25) ÷ø
10,25
è
(28)
Tabel 1. Tingkat energi potensial Rosen Morse
N
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
v = 10, q = 10
En
-101,00
-82,23
-65,56
-51,04
-38,78
-29,00
-22,25
-20,11
-29,00
-101,00
v = 8, q=10
En
-65,56
-51,04
-38,78
-29,00
-22,25
-20,11
-29,00
-101,00
Pada Tabel 1 dapat dilihat bahwa harga energi
terbesar untuk q yang sama dan v yang berbeda
adalah sama besar yaitu -20,11 tetapi pada tingkat
energi (n) yang berbeda.
(a)
(b)
Gambar 2. Grafik probabilitas Rosen Morse dengan
v = 10, q = 10, n = 1 (a) dan v = 8, q = 14, n = 1 (b).
Gambar
2
menunjukkan
visualisasi
rapat
kebolehjadian untuk keadaan tingkat dasar dengan
(a) v = 10, q = 10 dan (b) v = 8, q = 10. Puncak grafik
menunjukkan peluang terbesar untuk ditemukan
partikel dalam kondisi keadaan dasar. Rapat
probabilitas partikel dalam keadaan tingkat dasar
yang diperoleh dari persamaan (20) adalah
(v )
Y0
(b)
2
-
q
(v )
2
(25)
Grafik dari deret hipergeometri untuk n = 1
dan n = 2 untuk v = q = 10 yang dinyatakan pada
persamaan (21) dan (22) ditunjukkan pada Gambar
3(a) dan Gambar 3(b), sedangkan grafik fungsi
gelombang tereksitasi pertama dan kedua serta rapat
probabilitasnya untuk v = q = 10 dicantumkan pada
Gambar 5 dan Gambar 6.
Pada fungsi gelombang yang orthogonal
berlaku
¥
Gambar 1. Grafik fungsi gelombang tingkat dasar
Rosen Morse dengan v = 10, q = 10, n = 0 (a) dan v =
8, q = 10, n = 0 (b).
æ sec hx ö æ cosh x + sinh x ö
=ç
÷ ç
÷
2
è 2 ø è
ø
ò- ¥ Ym ( x)Yn ( x)dx
=
*
1 1 *
dz
Ym ( z )Yn ( z )
= d mn
2 0
z (1 - z )
ò
(26)
Suparmi dkk, Analisis Fungsi Gelombang dan Spektrum Energi Potensial Rosen Morse Menggunakan ...........
76
di mana dx = - 2dz .
z (1 - z )
(a)
Persamaan (19) dapat dituliskan sebagai
Y( z ) = C n ( z )a (1 - z )b
åk =0
n
(- n)k (n + 2a + 2b + 1)k
(2a + 1)n
zk
k!
(27)
Dari persamaan (26) dan (27) diperoleh
kondisi normalisasi fungsi gelombang sebagai
¥
ò-¥ Yn ( x)Yn ( x)dx = 1
*
(Cn )2 ånj=0 ånk=0 (- n)k (n + 2a + 2b + 1)k
(2a + 1)k
(- n) j (n + 2a + 2b + 1) j
(2a + 1) j
(b)
1 1 2a -1+ k + j
´
( z)
(1 - z )2 b -1 dz = 1
2 0
ò
(Cn )2 å å (- n )k (n + 2a + 2b + 1)k
2(2a + 1)k
j=0 k =0
m
n
B(2a + k + j ,2b ) = 1
di mana
dengan
(- n ) j (n + 2a + 2 b + 1)
(2a + 1) j
(28)
B(2a + k + j,2 b ) = 1 adalah fungsi Beta
B(2a + k + j , 2 b ) =
G(2a + k + j )G(2b )
G(2a + k + j + 2 b )
(29)
Dari persamaan (28) dan (29) dapat diperoleh faktor
normalisasi Cn.
Pada Gambar 3 ditunjukkan grafik deret
hipergeometri untuk n=1 dan n=2 yang merupakan
grafik dari persamaan (22c)
(a)
Gambar 4. Grafik fungsi gelombang Rosen Morse
dengan v = 8 dan q = 10, n = 1 (a) (persamaan 27)
dan n = 2 (b) (persamaan 28).
Pada Gambar 5 ditunjukkan grafik rapat
probabilitas untuk potensial Rosen Morse dengan v =
8, q = 10 (a) n = 1 dan (b) n = 2.
(a)
(b)
(b)
(b)
Gambar 3. Grafik deret hipergeometri untuk v = 10,
q = 10, n = 1 (a) dan n = 2 (b).
Pada Gambar 4 ditunjukkan grafik fungsi
gelombang tereksitasi kesatu dan kedua untuk v = 8
dan q = 10 dan rapat probabilitasnya ditunjukkan
pada Gambar 5.
Gambar 5. Grafik rapat probabilitas untuk potensial
Rosen Morse dengan v = 10, q = 10, n = 1 (a) dan
n = 2 (b).
4. Kesimpulan
Fungsi gelombang dan spektrum energi untuk
sistem yang dipengaruhi oleh potensial Rosen Morse
hiperbolik dapat dianalisis dengan menyelesaikan
Jurnal Matematika & Sains, Agustus 2012, Vol. 17 Nomor 2
persamaan Schrödinger menggunakan metode
hipergeometri. Potensial efektif RMH beserta
spektrum energinya, fungsi gelombang tingkat dasar,
tereksitasi pertama dan kedua dan rapat
probabilitasnya untuk sistem yang dipengaruhi oleh
potensial Rosen Morse divisualisasikan dengan tepat
dan mudah menggunakan excel atau program Delphi
7.0.
Ucapan Terima Kasih
Makalah ini dibiayai oleh Hibah Pasca Sarjana
2012 dengan nomor kontrak 2345/UN27.16/
PN/2012.
Daftar Pustaka
Amani,
A. R., M. A. Moghrimoazzen, H.
Ghorbanpour, and S. Barzegaran, 2011, The
Ladder Operator of Rosen Morse Potential
with Centrifugal Term by Factorization
Method, Afri. J. Math. Phys., 10, 31-37.
Arfken, G. B., 2005, Mathematical Methods For
Physics, 6th, Elsevier Academic Press, USA.
Castillo, D. E. A., 2009, Exactly Solvable Potentials
and Romanovski Polynomials in Quantum
Mechanics, arXiv: 0808.164802v2 (mathph).
Cooper, F., A. Khare, and U. Sukhatme, 1994,
Supersymmetry and Quantum Mechanics,
arXiv. hep-th/9405029v2, 1-154.
Fitts, D. D., 2002, Principles of Quantum Mechanics,
Cambridge University Press, ISBN: 0-51100763-9 Virtual.
Flugge, S., 1977, Practical Quantum Mechanics I,
Spinger-Verlaag, New York.
Goudarzi, H. and V. Vahidi, 2011, Supersymmetric
Approach for Eckart Potential Using the NU
Method, Adv. Studies Theor. Phys., 5, 10,
469-476.
Greiner, 1989, Quantum Mechanics, An Introduction,
Physics Departement, Frankfurt University.
77
Ikhdair, S. M., 2012, Quantization Rule Solution to
the Hulthen Potential in Arbitrary
Dimension by a New Approximate Scheme
for the Centrifugal Term, arXiv. 1104.030v2
[quant-ph], 1-15.
Ikot, A. N. and L. E. Akpabio, 2010, Approximate
Solution of the Schrödinger Equation with
Rosen Morse Potential Including the
Centrifugal Term, Appl. Phys. Res., 2:2,
202-208.
Inomata, A., and M. A. Kayed, 1985, Path-Integral
Quantization of The Symmetric PoschlTeller Potential, Phys. Lett., 108A, 1, 9-13.
Inomata A., A. Suparmi, and S. Kurth, 1991,
Proceeding of 18th International Colloqium
on Group Theoretical Methods in Physics,
eds. V. V. Dodonov and V. I. Man’ko,
(Springer, Berlin), 399.
Meyur, S. and D. Dednath, 2009, Solution of
Schrödinger equation with Hulthen plus
Manning Rosen potential, Lat. Am. J. Phys.
Educ., 3, 2, 300-306.
Meyur, S. and D. Dednath, 2010, Eigen Spectra for
Woods Saxon plus Rosen Morse, Lat. Am. J.
Phys. Educ., 4, 3, 587-597.
Nikiforov, A. F. and U. B. Uvarov, 1988, Special
Function
in
Mathematical
Physics,
Birkhausa, Basel.
Sadeghi, J. and B. Pourhassan, 2008, Exact Solution
of The Non-Central Potential Modified
Kratzer Potential, EJTP 5, 17, 197-206 .
Sheng, J. C., Z. Ying, Z. X. Lin, and S. L. Tian,
2001, Identity for the Exponential-Type
Molecule Potentials and the Supersymmetry
Shape
Invariance,
Comm.
Theor.
Phys.(China), 36, 641-646.
Taskin, F. and G. Kocak, 2010, Approximate
Solution of Schrödinger Equation for Eckart
potential with Centrifugal Term, Chin. Phys.
B, 19:9, 1-6.