PENGGUNAAN METODE LYAPUNOV UNTUK MENGUJI KESTABILAN SISTEM LINIER.

PENGGUNAAN METODE LYAPUNOV
UNTUK MENGUJI KESTABILAN SISTEM
LINIER

SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA

OLEH :
OKTAVIA LOVE LINA
BP. 1010431015

JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS ANDALAS
PADANG

2014

ABSTRAK

Suatu titik x∗ dikatakan titik tetap dari sistem x˙ = Ax jika Ax∗ = 0. Jika
titik tetap dari sistem x˙ = Ax adalah stabil maka sistem x˙ = Ax dikatakan

stabil. Dalam skripsi ini dikaji tentang penggunaan metode Lyapunov dalam
menguji kestabilan sistem linier. Metode Lyapunov menggunakan suatu fungsi
diferensiabel dan kontinu V : Rn → R yang dapat dinyatakan sebagai fungsi
jarak diperumum dari titik tetap x∗ = 0. Sifat kestabilan disimpulkan dari sifat
V (x) dan turunan V (x) terhadap waktu.
Kata kunci : metode Lyapunov, kestabilan sistem, titik tetap.

ix

ABSTRACT

A point x∗ is called a fix point of x˙ = Ax if x∗ = 0. If the fix point of x˙ = Ax
is stable, then the system of x˙ = Ax is called stable. In this project will be studied the use of the Lyapunov’s method to test the stability of the linear systems.
Lyapunov”s method uses a continuous differentiable function V : Rn → R, that
may be viewed as generalized distance function from the fix point x∗ = 0. The
stability properties are then determined by V (x) and the time derrivative of V (x).
Keywords : Lyapunov’s method, the stability of system, fix point.

x


BAB I
PENDAHULUAN

1.1

Latar Belakang Masalah
Diberikan suatu sistem linier sebagai berikut :
˙
x(t)
= Ax(t),

x(0) = x0 ,

(1.1.1)

dimana x ∈ Rn menyatakan keadaan, t ∈ R+ menyatakan waktu dan A ∈ Rn×n .
Salah satu kajian utama dalam sistem linier adalah kajian tentang kestabilan dari titik tetap sistem tersebut. Suatu titik x∗ dikatakan titik tetap dari
sistem (1.1.1) jika Ax∗ = 0. Secara sederhana, titik tetap x∗ dari sistem (1.1.1)
dikatakan stabil jika kurva solusi (trayektori) yang berawal dari x0 yang pada
mulanya dekat dengan titik tetap tersebut, maka dengan berlalunya waktu kurva

solusi tersebut tetap dekat dengan titik tetap tersebut. Jika titik tetap dari sistem (1.1.1) adalah stabil maka sistem (1.1.1) dikatakan stabil. Ada berbagai tipe
kestabilan yang dikenal dalam sistem linier, misalnya kestabilan asimtotik, kestabilan eksponensial, dan lainnya. Dalam skripsi ini akan dikaji masalah kestabilan
dan kestabilan eksponensial sistem linier (1.1.1) dengan menggunakan metode
Lyapunov.

1.2

Perumusan Masalah
Dalam skripsi ini akan dikaji bagaimana menggunakan metode Lyapunov

dalam menentukan kestabilan dan kestabilan eksponensial dari sistem linier (1.1.1).

1.3

Pembatasan Masalah
Untuk memudahkan pembahasan, maka dalam skripsi ini permasalahan

dibatasi untuk matriks A yang non singular, yakni det(A) 6= 0.

1.4


Tujuan
Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui bagaimana metode Lyapunov

digunakan dalam menguji kestabilan sistem linier.

1.5

Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan pada skripsi ini terdiri atas empat bab. Bab I Pen-

dahuluan berisikan latar belakang, perumusan masalah, pembatasan masalah,
tujuan penulisan, dan sistematika penulisan. Bab II Landasan Teori membahas
teori matriks, norm suatu vektor, dan kestabilan sistem linier. Selanjutnya pada
Bab III Pembahasan dijelaskan tentang penggunaan metode Lyapunov untuk menguji kestabilan sistem linier. Terakhir pada Bab IV disajikan kesimpulan dan
saran.

2