Konstruksi Fungsi Lyapunov Untuk Menentukan Kestabilan Pada Sistem Lorenz - ITS Repository

  TUGAS AKHIR - SM0141501

  KONSTRUKSI FUNGSI LYAPUNOV UNTUK

MENENTUKAN KESTABILAN SISTEM LORENZ

  RENI SUNDARI NRP 1213 100 098 Dosen Pembimbing: Prof.Dr.Erna Apriliani,M.Si JURUSAN MATEMATIKA Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember

  Halaman ini sengaja dikosongkan. FINAL PROJECT - SM141501

  

A CONSTRUCTION OF LYAPUNOV FUNCTION

FOR DETERMINING STABILITY LORENZ SYSTEM

  RENI SUNDARI NRP 1213 100 098 Supervisors: Prof.Dr.Erna Apriliani,M.Si DEPARTMENT OF MATHEMATICS Faculty of Mathematics and Natural Sciences Sepuluh Nopember Institute of Technology

  Halaman ini sengaja dikosongkan.

  

LEMBAR PENGESAHAN

KONSTRUKSI FUNGSI LYAPUNOV UNTUK

MENENTUKAN KESTABILAN SISTEM

LORENZ

A CONSTRUCTION OF LYAPUNOV

FUNCTION FOR DETERMINING

STABILITY LORENZ SYSTEM

  Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada

  Bidang Studi Matematika Terapan Program Studi S-1 Jurusan Matematika

  Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya

  Oleh: RENI SUNDARI NRP. 1213 100 098

  Menyetujui, Dosen Pembimbing II, Dosen Pembimbing I,

  Prof.Dr.Erna Apriliani,M.Si NIP. NIP. 19660414 199102 2 001

  Mengetahui, Ketua Jurusan Matematika

  FMIPA ITS Prof. Dr. Erna Apriliani, M.Si

  NIP. 19660414 199102 2 001 Halaman ini sengaja dikosongkan.

  

KONSTRUKSI FUNGSI LYAPUNOV UNTUK

MENENTUKAN KESTABILAN SISTEM

LORENZ

  Nama Mahasiswa : RENI SUNDARI NRP : 1213 100 098 Jurusan : Matematika FMIPA-ITS Pembimbing : Prof.Dr.Erna Apriliani,M.Si

  Abstrak Fungsi Lyapunov adalah salah satu fungsi yang dikonstruksi untuk memeriksa kestabilan global dari suatu sistem non linier. Pada penelitian ini digunakan metode Variabel Gradien, Kravoskii dan Energi Casimir dalam mengkonstruksi fungsi Lyapunov. Berdasarkan hasil perhitungan dn simulasi yang dilakukan menggunakan metode variabel gradien dan metode Energi Casimir diperoleh fungsi Lyapunov untuk sistem Lorenz pada semua titik kesetimbangan.Sedangkan metode Kravoskii belum menghasilkan fungsi Lyapuno untuk sistem Lorenz pada semua titik kesetimbangan.

  Fungsi Lyapunov,Metode Variabel

  Kata-kunci:

  Gradien,Metode Krasovkii, Metode Energi- Casimir, Sistem Lorenz . Halaman ini sengaja dikosongkan.

  

A CONSTRUCTION OF LYAPUNOV

FUNCTION FOR DETERMINING STABILITY

LORENZ SYSTEM

  Name : RENI SUNDARI NRP : 1213 100 098 Department : Mathematics FMIPA-ITS Supervisor : Prof.Dr.Erna Apriliani,M.Si

  Abstract Lyapunov function is a function that is constructed to examine the global stability of a system of non linear. Research on Variable Gradient method is used, Kravoskii and energy Casimir in constructing Lyapunov function. Based on the results of the calculations are performed using simulated dn method of variable gradient method and Casimir Energy retrieved Lyapunov function for a system of Lorenz on all point of equilibrium. While the Kravoskii method is not yet generating function Lyapunov for all points on the Lorenz system equilibrium.

  Lyapunov Function,Variabel Gradien

  Keywords:

  method,Krasovkii Method, Energy-Casimir Method, Lorenz System Halaman ini sengaja dikosongkan.

  

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Wr. Wb.

  Alhamdulillaahirobbil’aalamiin, segala puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT yang telah memberikan limpahan rahmat, taufik serta hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir yang berjudul

  ”KONSTRUKSI FUNGSI LYAPUNOV UNTUK MENENTUKAN KESTABILAN PADA SISTEM

  LORENZ” sebagai salah satu syarat kelulusan Program Sarjana Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Surabaya.

  Tugas Akhir ini dapat terselesaikan dengan baik berkat bantuan dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaan kepada:

  1. Bapak Dr. Imam Mukhlash, S.Si, MT selaku Ketua Jurusan Matematika ITS yang telah memberikan dukungan dan motivasi selama perkuliahan hingga terselesaikannya Tugas Akhir ini.

  2. Ibu Prof.Erna Apriliani,M.Si selaku dosen pembimbing atas segala bimbingan dan motivasinya kepada penulis sehingga dapat terselesaikan dengan baik.

  3. Bapak dan Ibu dosen penguji atas semua saran dan masukan yang telah diberikan.

  4. Bapak Drs. Iis Herisman, M.Si selaku koordinator Tugas Akhir.

  5. Ibu Dian Winda selaku dosen wali yang telah memberikan arahan akademik selama penulis menempuh pendidikan di Jurusan Matematika FMIPA ITS.

  6. Bapak dan Ibu dosen serta para staf Jurusan Matematika ITS yang tidak dapat penulis sebutkan satu-persatu.

  Penulis juga menyadari bahwa dalam pengerjaan ini masih terdapat kekurangan. Oleh sebab itu, kritik dan saran yang bersifat membangun sangat penulis harapkan demi kesempurnaan Tugas Akhir ini. Akhirnya, penulis berharap semoga penulisan ini dapat bermanfaat bagi banyak pihak.

  Surabaya, 05 Januari 2017 Penulis

DAFTAR ISI

  Halaman ini sengaja dikosongkan.

  DAFTAR GAMBAR Halaman ini sengaja dikosongkan.

  DAFTAR TABEL Halaman ini sengaja dikosongkan.

  DAFTAR LAMPIRAN LAMPIRAN A Listing Program ...........................

  41 LAMPIRAN B Biodata Penulis ...........................

  41

  Halaman ini sengaja dikosongkan.

BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini diuraikan tentang latar belakang yang

  mendasari penulisan tugas akhir. Di dalamnya mencakup identifikasi permasalahan, beberapa informasi tentang penelitian terdahulu yang berhubungan dengan topik tugas akhir. Uraian ini bersifat umum yang menjelaskan secara ringkas hal-hal yang akan dilakukan pada penyelesaian tugas akhir. Dari informasi tersebut kemudian dirumuskan permasalahan yang akan dibahas, tujuan, batasan masalah, manfaat, dan kontribusi penelitian dari tugas akhir ini.

  1.1 Latar Belakang Matematika merupakan disiplin ilmu yang dapat diterapkan dalam berbagai ilmu pengetahuan dan dapat memberikan interpretasi solusi analitis yang lebih rinci. Permasalahan-permasalahan nyata dapat diselesaikan dengan metode teoritis dan matematis setelah melalui tahap-tahap pemodelan matematika. Suatu model matematika dikatakan baik apabila mampu memberikan gambaran objeknya dengan cukup jelas atau secara luas mampu menggambarkan keadaan yang sesungguhnya, sehingga tujuan dari penyusunan model tercapai.

  Permasalahan yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari kebanyakan merupakan sistem dinamik. Sistem dinamik yaitu suatu sistem persamaan yang dipengaruhi oleh perubahan gerak dan waktu. Salah satu kajian penting dalam permasalahan sistem dinamik yakni bagaimana keadaan sistem, apakah sistem tersebut merupakan sistem yang stabil atau tak stabil.

  Aleksander Mikhailovich Lyapunov dalam tesisnya yang berjudul A general task about the stability of motion mengembangkan dua metode untuk menganalisis kestabilan dari suatu kesetimbangan, yang dikenal dengan metode Lyapunov langsung (The Second Method of Lyapunov ) dan metode Lyapunov tak langsung (First Method ). Hal yang unik dari metode Lyapunov langsung bahwa untuk menyelesaikan permasalahan kestabilan sistem, yang perlu diketahui adalah bentuk persamaan diferensial sistemnya atau bentuk fisisnya bukan solusinya [1].

  Metode Lyapunov pertama hanya digunakan mendapatkan kestabilan lokal (hanya disekitar titik yang diselidiki) tidak mendapatkan kestabilan global dari sistem dinamik nonlinier. Sedangkan untuk mendapatkan kestabilan global digunakan metode Lyapunov langsung. Penyelesian kestabilan sistem dinamik dengan metode Lyapunov langsung mensyaratkan suatu fungsi, yang disebut sebagai fungsi Lyapunov. Yaitu fungsi skalar yang memenuhi beberapa syarat diantaranya jika ada sebuah fungsi definit positif sedemikian sehingga turunan dari yaitu semidefinit negatif [1]. Metode Lyapunov langsung banyak diterapkan untuk menganalisis kestabilan baik sistem linier maupun sistem nonlinier, sistem time-invariant dan juga sistem time- varrying

  . Pada penelitian untuk tugas akhir ini dibahas mengenai mengkonstruksi fungsi Lyapunov untuk menganalisis kestabilan pada sistem nonlinier dengan menggunakan metode variabel gradien, metode Krasovkii, dan metode Energi-Casimir dan hasil konstruksi fungsi Lyapunov akan diterapkan pada contoh-contoh sistem dinamik nonlinier yaitu sistem Lorenz.

  1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan uraian di atas, permasalahan yang diselesaikan dalam Tugas Akhir ini adalah: a. Bagaimana pembentukan fungsi Lyapunov dengan menggunakan metode variabel gradien, metode

  Krasovskii dan metode Energi-Casimir pada sistem Lorenz?

  b. Bagaimana analisa kestabilan dari masing-masing fungsi Lyapunov yang dihasilkan dari metode variabel gradien, metode Krasovskii dan metode Energi-Casimir pada sistem Lorenz?

  1.3 Batasan Masalah Penelitian ini menjelaskan tentang penentuan kestabilan dari sistem Lorenz menggunakan metode variabel gradien, metode Krasovskii dan metode Energi-Casimir yang merupakan pengembangan dari analisis kestabilan dengan menggunakan fungsi Lyapunov pada sistem persamaan diferensial tak linier. Selanjutnya dilakukan simulasi dengan Matlab 2010. Berdasarkan rumusan masalah di atas, batasan masalah dari Tugas Akhir ini adalah: sigma (rasio viskositas terhadap konduktivitas termal) sama dengan 10, beta

  8 (perbandingan luas dan ketebalan lapisan) sama dengan .

  3

  1.4 Tujuan Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan dari penelitian yang diusulkan ini adalah a. Mendapatkan fungsi Lyapunov dengan menggunakan metode variabel gradien, metode Krasovskii dan metode

  Energi-Casimir pada sistem Lorenz.

  b. Menguraikan hasil analisa kestabilan dari masing- masing fungsi Lyapunov yang dihasilkan dari metode variabel gradien, metode Krasovskii dan metode Energi- Casimir pada sistem Lorenz.

  1.5 Manfaat Adapun manfaat Tugas Akhir ini adalah sebagai berikut :

  a. Sebagai salah satu referensi bagi peneliti selanjutnya yang berkaitan dengan analisis kestabilan sistem Lorenz.

  b. Memberikan gambaran tahap pengkonstruksi fungsi Lyapunov pada sistem nonlinier sebagai contoh sistem Lorenz.

  c. Sebagai salah satu kontribusi untuk pengembangan ilmu pengetahuan pada Matematika Terapan di bidang sistem dinamik.

  1.6 Sistematika Penulisan Penulisan disusun dalam lima bab, yaitu:

  1. BAB I PENDAHULUAN

  Bab ini berisi tentang gambaran umum dari penulisan yang meliputi latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan, manfaat, dan sistematika penulisan.

  2. BAB II TINJAUAN PUSTAKA

  Bab ini membahas landasan teori yang mendasari penulisan Tugas Akhir. Didalamnya mencakup penelitian terdahulu, sistem Lorenz, metode Variabel Gradien, metode Kravoskii, dan metode Energi Casimir.

  3. BAB III METODE PENELITIAN

  Bab ini menjelaskan langkah-langkah yang digunakan dalam penyelesaian masalah pada Tugas Akhir. Disamping itu, dijelaskan pula prosedur dan proses pelaksanaan tiap-tiap langkah yang dilakukan dalam menyelesaikan Tugas Akhir.

  4. BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN Pada bab ini akan dijelaskan secara detail mengenai pembentukan fungsi Lyapunov dengan menggunakan tiga metode yaitu metode Variabel gradien, metode Kravoskii, dan metode Energi Casimir beserta analisis kestabilan dari masing-masing metode.

  5. BAB V PENUTUP

  Bab ini berisi kesimpulan akhir yang diperoleh dari analisis dan pembahasan pada bab sebelumnya serta saran untuk pengembangan penelitian selanjutnya.

  Halaman ini sengaja dikosongkan.

BAB II TINJAUAN PUSTAKA Bab ini membahas landasan teori yang mendasari

  penulisan Tugas Akhir. Didalamnya mencakup penelitian terdahulu, pembentukan fungsi Lyapunov menggunakan metode Variabel gradien, metode Krasovkii, dan metode Energi Casimir beserta analisis kestabilan pada masing- masing metode.

  2.1 Penelitian Terdahulu Penelitian yang berkaitan dengan fungsi Lyapunov dan sistem Lorenz banyak dilakukan oleh peneliti. Pada tahun

  2012, Aldila Sakinah Putri melakukan penelitian yang berjudul Metode Lyapunov untuk menentukan kestabilan system persamaan Lorenz. Dalam penelitiannya untuk menentukan kestabilan digunakan dua macam metode Lyapunov yaitu metode Lyapunov pertama dan metode Lyapunov kedua. Hasil dari penelitian tersebut yaitu dengan menggunakan metode Lyapunov pertama didapatkan tiga titik kesetimbangan. Dan analisa kestabilan pada titik kesetimbangan, untuk 0 < r < 1 merupakan stabil asimtotik dengan titik kesetimbangan yang berbentuk node. Untuk r = 1 merupakan stabil dengan titik kesetimbangan yang berbentuk spiral node. Untuk r > 470/19 merupakan tidak stabil dengan titik kesetimbangan yang berbentuk spiral saddle point dengan index 2 sedangkan untuk r = 470/19 belum dapat ditentukan kestabilannya. Sedangkan metode Lyapunov kedua dihasilkan turunan parsial fungsi Lyapunov yang bernilai definit negatif[2].

  Sedangkan penelitian tentang menentukan fungsi Lyapunov dengan menggunakan metode yang berbeda dengan metode yang digunakan oleh Aldila Sakinah. Dalam Tesis yang berjudul Konstruksi Fungsi Lyapunov pada Model Epidemi SIRS oleh Bulqis Nebulla (2016) menghasilkan bahwa metode variabel gradien dan metode Energi-Casimir dapat digunakan untuk mengkonstruksi fungsi Lyapunov pada titik kesetimbangan bebas dan kesetimbangan endemi dan system yang dihasilkan stabil sedangkan metode Krasovskii belum dapat dikonstruksi fungsi Lyapunov[3].

  Pada Tugas Akhir ini akan dibahas tentang konstruksi fungsi Lyapunov untuk menentukan kestabilan sistem Lorenz.

  2.2 Sistem Lorenz Sistem Lorenz dikembangkan pada tahun 1963 oleh

  Edward Lorenz sebagai model matematika sederhana untuk konveksi atmosfer, persamaan Lorenz merupakan persamaan nonlinier tiga dimensi yang terdiri dari sistem deterministik. Pada awalnya sebagai pendekatan persamaan tertentu yang mencirikan aliran subjek cair dangkal untuk pendinginan dan pemanasan secara universal dari atas dan bawah.Model ini kemudian membentuk system persamaan differensial biasa sesuai dinamika fluida: sebagai berikut:[4] _{  } dx _{   dt} = σ(y − x) dy

  (2.1) = rx − y − xz _{  } dt _{ } dz = xy − βz dt

  Keadaan atmosfer dalam model ini dapat digambarkan secara utuh dengan tiga buah variabel bergantung waktu yaitu: laju konveksi x, distribusi temperature horizontal y, dan distribusi temperature vertikal z, dengan tiga parameter yang menjelaskan karakter dari model tersebut yaitu: σ

  (rasio viskositas tehadap konduktivitas termal), r (perbedaan temperature antara bagian atas dan bagian bawah lapisan), dan β (perbandingan luas dan ketebalan lapisan).

  Mengingat nilai parameter tertentu, persamaan Lorenz juga dikenal menghasilkan solusi kacau. Kekacauan digunakan untuk mendefinisikan suatu sistem dimana perubahan parameter kecil pada kondisi awal menghasilkan pengaruh besar dalam hasil, atau dikenal sebagai efek kupu-kupu. Solusi kacau membentuk strange attractor (penarik Lorenz). Sebuah partikel dengan kondisi awal dalam penarik tersebut bergerak di dalamnya. Namun gerakan yang sebenarnya dari partikel tampaknya acak. Oleh karena itu, sistem Lorenz adalah sistem deterministik tetapi tidak dapat diprediksi. Sebenarnya sistem yang dimodelkan oleh persamaan Lorenz dapat juga menghasilkan solusi yang tidak kacau. Dengan memberikan kombinasi parameter yang tepat, sejumlah orbit stabil menuju titik tetap tertentu, berhingga maupun tak hingga.

  2.3 Kestabilan dan Titik Kesetimbangan Setiap sistem memiliki keadaan setimbang yang berbeda- beda. Keadaan setimbang suatu sistem dapat terjadi pada suatu titik yang disebut titik kesetimbangan. Titik kesetimbangan adalah suatu titik saat sistem tidak mengalami

  n

  perubahan sepanjang waktu. Sebuah titik x e adalah ∈ R sebuah titik kesetimbangan dari sistem persamaan diferensial

  ˙x = f (x) jika memenuhi f (x e ) = 0 .[5] Kestabilan disekitar titik setimbang x e dapat ditentukan dengan memperhatikan nilai-nilai eigen yang diperoleh persamaan karakteristik. Secara umum, kestabilan titik kesetimbangan mempunyai sifat sebagai berikut:

• Stabil, jika semua nilai-nilai eigen yang didapatkan
• Tidak stabil, jika paling sedikit terdapat satu nilai eigen yang didapatkan berupa bagian realnya positif.

• 1. Fungsi V kontinu dan mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu pada D.
• 2. Fungsi V (x)>0 untuk x ∈ D dengan x 6= x

  

e

  1

  > 0 sedemikan sehingga jika kx(0)k < δ

  1

  b. Solusi nol x(t) ≡ 0 pada sistem nonlinear yang bergantung pada waktu adalah stabil asymptotis lokal jika solusi nol stabil Lyapunov dan terdapat δ

  a. Solusi nol x(t) ≡ 0 pada sistem nonlinear yang bergantung pada waktu adalah stabil Lyapunov jika sebarang ε > 0, terdapat δ = δ ε > 0 sedemikian sehingga jikakx(0)k = δ, maka kx(t)k < ε, t ≥ 0.

  Definisi 2.2[6]

  V (x) ≤ 0 untuk setiap x ∈ D Terdapat beberapa tipe kestabilan yang sesuai dengan solusi nol x(t) ≡ 0 dari sistem nonlinear yang bergantung pada waktu.

  (dengan titik kesetimbangan x e merupakan titik minimum global).

  ) = 0 dengan x = x

  e

  V (x

  e dan

  .Fungsi V disebut fungsi Lyapunov jika memenuhi pernyataan berikut:

  → R dan x e ∈ D,titik kesetimbangan sistem persamaan diferensial nonlinier

  Definisi 2.1[6] Diberikan fungsi V : D

  Fungsi Lyapunov Fungsi Lyapunov adalah suatu fungsi yang memenuhi tiga pernyataan berikut ini.

  adalah bagian realnya negatif.

• 3. Fungsi ˙

  , maka lim t→∞ x(t) = 0. c. Solusi nol x(t) ≡ 0 pada sistem nonlinear yang bergantung pada waktu adalah stabil asymptotis global jika solusi nol stabil Lyapunov dan untuk semua x(0) ∈

  n maka lim t→∞ x(t) = 0.

  R

  d. Solusi nol x(t) ≡ 0 pada sistem nonlinear yang bergantung pada waktu adalah tidak stabil jika solusi nol bukan stabil Lyapunov.

  Teorema 2.1 [6]

  Diberikan sistem adalah titik kesetimbangan ˙x = f (x) dan x e dari sistem tersebut yang memenuhi f (x e ) = 0. Jika terdapat

  n

  fungsi kontinu dimana fungsi V : R → R sedemikian sehingga

  a. V (x e ) = 0

  e

b. V (x) > 0 untuk semua x 6= x

  c. ˙ e V (x) < 0 untuk semua x 6= x

  d. jika kxk → ∞ maka V (x) → ∞ Maka x e adalah stabil asymptotis global.

  2.3.1 Konstruksi Fungsi Lyapunov Konstruksi fungsi Lyapunov dapat dilakukan dengan secara langsung yaitu dengan menggunakan beberapa metode. Berikut metode-metode untuk mengkonstruksi fungsi Lyapunov, yaitu [6]:

  2.3.2 Metode Variabel Gradien Diberikan V : D → R adalah fungsi diferensial kontinu

  T ∂V

  dan g(x) = . Derivatif dari V (x) sepanjang trayektori

  ∂x diberikan oleh _X n ∂V

  ˙ V (x) = x ˙ i

  ∂x i

  i =1 _X n

  ∂V = f (x)

  i

  ∂x i

  i =1 _{ }

  f (x)

_{h i}

_{ }

  1

  f (x)

  2 (2.2)

∂V ∂V ∂V

_{ } = ...

  ∂x ^{1 ∂x 2 ∂x  } _{n  } ..

  . f (x)

  n _Z n

1 X

  ∂g i = (γx)x j γdγ

  ∂x

  j =1

  = g i (x)

  ∂V T

  Yang mengimplikasikan bahwa g (x) = .

  ∂x

  Kemudian, mengkonstruksi g(x) sedemikian sehingga g(x) ˙ adalah gradien dari fungsi definit positif dan V (x) =

  T

  g (x)f (x) < 0, x ∈ D, x 6= 0. Fungsi V (x) bisa dihitung dengan integral _Z n

1 Z

  1 _X T

  V (x) = g (γx)xdγ = g j (γx)x j dγ (2.3)

  j =1 Proposisi 2.1 n n

  adalah vektor gradien nilai skalar fungsi Fungsi g : R

  → R

  n n

  jika hanya jika V : R

  → R ∂g i ∂g j

  = , i, j = 1, ..., n (2.4) ∂x j ∂x i

  2.3.3 Metode Krasovkii Pertama-pertama harus memenuhi sebagai berikut:

  n n

  adalah fungsi

  Proposisi 2.1 Fungsi f, g : R

  → R differensial sedemikian sehinggaf (0) = 0. Maka untuk

  n

  setiap x ∈ R terdapat α ∈ [0, 1] sedemikian sehingga

  ∂f T T

  g (x)f (x) = g (x) (αx)x

  ∂x

Teorema 2.2 Teorema Krasovkii Diberikan x(t) = 0

  adalah titik kesetimbangan untuk sistem dinamika non linier ˙x(t) = f (x(t)), x(0) = x (2.5)

  , t ≥ 0

  n

  Dimana f : D → R adalah diferensial kontinu dan D adalah himpunan buka dengan 0 ∈ D. Diasumsikan terdapat matrik

  nxn nxn

  sedemikian sehingga definit positif P ∈ R dan R ∈ R ∂f ∂f

  T

  [ (x)] P + P [ (2.6) (x)] ≥ −R, x ∈ D, x 6= 0

  ∂x ∂x Maka solusi nol x(t) = 0 pada persamaan adalah kesetimbangan tunggal stabil asymptotis dengan fungsi

  T n

  lyapunov V (x) = f , maka solusi nol (x)P f (x). Jika D ≡ R x(t) = 0 pada persamaan adalah ketimbangan tunggal stabil asymptotis global.

  2.3.4 Metode Energi-Casimir Pada metode ini memanfaatkan keberadaan invarian dinamika atau pergerakan integral yang disebut fungsi

  Casimir dari sistem dinamika nonlinier. Diberikan fungsi C : D → R dan didefinisikan

_X

r

  E(x) µ i i (x) (2.7) ,

  C

  

i =1

  untuk µ i ∈ r, i = 1, ..., r.

  

Teorema 2.3 (Teorema Energi-Casimir) dengan menganggap

n

  adalah lipschitz sistem dinamika nonlinier dimana f : D → R

  e

  kontinu pada D. Diberikan x ∈ D adalah titik kesetimbangan

  i

  dari suatu sistem dan diberikan C : D → R, i = 1, , r menjadi

  ′

  (x e ), i = 2, , r

  i

  fungsi Casimir. Diasumsikan bahwa vektor C

  T r

  adalah bebas linier dan andaikan terdapat µ = [µ , , µ r ]

  1 _′ ∈ R T ”

  sedemikan sehingga µ (x e ) = 0 dan x E (x e )x >

  1

  6= 0, E _′ (x e )x = 0, i = 2, , r. Maka

  0, x ∈ M, dimana M , x ∈ D : C i terdapat α ≥ 0 sedemikian sehingga _{′′ X} r i i

  T

  ∂C ∂C E (x e ) + α ( (x e )) ( (x e )) > 0 (2.8)

  ∂x ∂x

  i =2 e dari sistem

  Kemudian, solusi kesetimbangan x(t) ≡ x dinamika nonlinier adalah stabil lyapunov dengan fungsi lyapunov _X r

  α

  2

  ) + (x )] (2.9)

  e i i e

  V (x) = E(x) − E(x [C (x) − C

  2

  i =2

  Khususnya andaikan dapat dikonstruksi suatu fungsi H : H(x) = 0 sepanjang lintasan

  D → R sedemikian sehingga ˙ adalah fungi

  1 r

  dari sistem dinamika nonlinier. Jika C , . . . , C Casimir maka

  ∂

  r )]x(t) = 0 (2.10)

  1

  [H + E(C , . . . , C ∂t

  r

  Untuk setiap fungsi E : R → R . Oleh karena itu, walaupun jika H tidak definit positif saat titik kesetimbangan x e

  ∈ D

  1 r (x)) dapat dibuat definit

  fungsi V (x) = H(x) + E(C (x), .., C positif pada saat x e ∈ D dengan memiliki E sehingga V (x) adalah fungsi lyapunov.

  2.3.5 Bebas Linier Jika S = v , v , . . . , v r adalah suatu himpunan vektor-

  1

  2

  vektor tak kosong, maka persamaan vektor k v + k v + . . . +

  1

  1

  2

  2

  k r v r = 0 mempunyai paling tidak satu penyelesaian, yaitu k

  1 = 0, k 2 = 0, . . . , k r = 0. Jika ini adalah satu-satunya

  penyelesaian, maka S disebut suatu himpunan yang bebas secara linear. Jika ada penyelesaian-penyelesaian lainnya, maka S disebut himpunan yang tak bebas secara linear. [7]

  2.3.6 Definit Positif dan Negatif Sifat definit positif dan negatif sebuah fungsi maupun matriks sangatlah penting saat mengkonstruksi fungsi

  Lyapunov. Sebuah fungsi V : D → R dan x ∈ D dikatakan [8]:

  1. Positif jika V (x) > 0 untuk semua x 6= 0 dan V (0) = 0

  2. Semi positif jika V (x) ≥ 0 untuk semua x

  3. Negatif jika V (x) < 0 untuk semua x0 dan V (x) = 0

  4. Semidefinit negatif jika V (x) ≥ 0 untuk semua x

  

nxn

  dikatakan: Dan sebuah matrik P ∈ R _′

  1. Definit positif (P > 0) jika x P x > 0 untuk semua x 6= 0 _′

  2. Semidefinit positif (P ≥ 0) jika x P x ≥ 0 untuk semua x _′

  3. Definit negatif (P < 0) jika x P x < 0 untuk semua x 6= 0 _′

  4. Semidefinit negatif jika (P 6= 0) jika x P x ≥ 0 untuk semua x

  Halaman ini sengaja dikosongkan.

BAB III METODE PENELITIAN Bab ini menjelaskan langkah-langkah yang digunakan

  dalam penyelesaian masalah pada Tugas Akhir. Disamping itu, dijelaskan pula prosedur dan proses pelaksanaan tiap-tiap langkah yang dilakukan dalam menyelesaikan Tugas Akhir.

  3.1 Tahapan Penelitian

  a. Studi Literatur Tahap ini dikaji teori-teori yang berkaitan dengan penelitian tentang mengkonstruksi fungsi Lyapunov pada sistem nonlinier dengan menggunakan beberapa metode. Diantaranya metode variabel gradien, metode Krasovskii, dan Energi-Casimir.

  b. Mencari kestabilan lokal Pada tahap ini dianalisis kestabilan lokal dengan pelinieran dan analisis kestabilan berdasarkan nilai- nilai eigen. Metode yang digunakan untuk mengubah system nonlinier ke sistem linier adalah metode Jacobian dan dihasilkan matrik Jacobi. Selanjutnya titik kesetimbangan yang telah didapatkan dimasukkan kedalam matrik Jacobi dan dihasilkan nilai eigen-nilai eigen yang selanjutnya dianalisis kestabilannya.

  c. Mengkonstruksi fungsi Lyapunov Tahap ini dilakukan konstruksi fungsi Lyapunov dengan beberapa metode. Metode yang digunakan sebagai berikut:

1. Metode variabel gradien Pada tahap ini yang

  dilakukan adalah membangun gradien fungsi Lyapunov yang ingin dicari. Selanjutnya dicari nilai a ij yang memenuhi proposisi 2.1. kemudian dimasukkan nilai a ij yang diperoleh kedalam gradient fungsi Lyapunov tadi. Kemudian mencari fungsi Lyapunov dan diuji kevalidan fungsi Lyapunov.

  2. Metode Krasovkii Pada tahap ini yang dilakukan

  adalah mencari matriks Jacobi system. Kemudian memasukkan nilai titik kesetimbangan dan parameter. Lalu mencari nilai dari matrik P dan matrik R harus definit negatif. Kemudian menghitung fungsi Lyapunov. Setelah didapatkanfungsi Lyapunov, kemudian diuji kevalidan fungsi Lyapunov.

  3. Metode Energi-Casimir Pada tahap ini yang

  dilakukan adalah memisalkan fungsi energi casimir yang memenuhi asumsi, kemudian mencari nilai matrik E. Kemudian menghitung fungsi Lyapunov dan diuji kevalidan fungsi Lyapunov.

  d. Menganalisis kestabilan global Setelah didapatkan fungsi Lyapunov dari masing- masing metode selanjutnya hasilnya diuji kestabilan dengan dilihat kedefinitan dan turunannya dilihat kedefinitannya.

  e. Membuat simulasi Fungsi Lyapunov yang telah didapatkan selanjutnya dilakukan simulasi dengan menggunakan Matlab.

  f. Analisis Hasil dan Kesimpulan Pada tahap ini, berdasarkan hasil yang didapatkan pada tahap sebelumnya, akan ditarik kesimpulan.

BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN Pada bab ini dijelaskan tentang titik kesetimbangan,

  analisis kestabilan sistem, menganalisis kestabilan menggunakan metode dan membandingkan fungsi Lyapunov menggunakan metode variabel gradien, metode Kravoskii dan metode Energi-Casimir.

  4.1 Sistem Non Linier Sistem non linier yang digunakan pada pembahasan ini adalah sistem Lorenz. Pada sistem Lorenz seperti pada

  Persamaan (2.1) akan dilakukan konstruksi fungsi Lyapunov dengan menggunakan metode Variabel Gradien, metode Krasovkii, dan metode Energi-Casimir.

  4.2 Titik Kesetimbangan Untuk mendapatkan titik kesetimbangan dari sistem

  dy dx

  (2.1)yaitu f (x, y, z) = , f (x, y, z) = , dan f (x, y, z) =

  1

  2

  3 dt dt dz

  3

  merupakan titik kesetimbangan dari

  dt dengan (x, y, z) ∈ R

  sistem (2.1), dapat diperoleh jika

  dx dy dz

  = 0, = 0, = 0

  dt dt dt

  sehingga sistem persamaan (2.1) menjadi (4.1)

  σ(y − x) = 0 (4.2) x(r − z) − y) = 0 (4.3) xy − βz = 0

  Dari persamaan (4.1) didapatkan y = x, dengan σ adalah konstanta. Jika y = x = 0, maka didapatkan z = 0 , dengan mengsubstitusikannya pada persamaan (4.3), dengan

  β adalah konstanta. Jika y = x 6= 0, maka persamaan (4.2) diperoleh (4.4) x = x(r − z)

  Jika x 6= 0, maka pandang persamaan (4.4) dibagikan x sehingga diperoleh 1 = 1(r − z) z = r − 1 Substitusikan z = r − 1 pada persamaan

  2

  (4.3), diperoleh x = bz = b(r − 1) Sehingga diperoleh p(b(r − 1)) . Jika b diambil bilangan positif, maka x = ± diperoleh r − 1 > 0 atau r > 1.Jika r > 1 maka terdapat dua titik kesetimbangan yaitu ( p(b(r − 1)), p(b(r − 1)), r − 1) p(b(r − 1)), − p(b(r − 1)), r − 1), sedangkan r < 1 dan (− terdapat satu titik kesetimbangan yaitu pada titik (0, 0, 0).

  4.3 Kestabilan Lokal Sistem persamaan (2.1) merupakan sistem nonlinier. Kestabilan dari sistem persaman nonlinier sulit dianalisis, sehingga untuk memudahkan menganalisis, sistem tersebut diubah menjadi sistem linier. Metode yang digunakan untuk mengubah sistem nonlinier menjadi sistem linier adalah metode matrik Jacobi. Diketahui bahwa f

  1

  (x, y, z) = σ(y − x) f

  2

  (x, y, z) = x(r − z) − y f

  3

  (x, y, z) = xy − βz Matrik Jacobi yang dibentuk dari sistem diatas adalah _{ }

  f ^{1 f 1 f 1} _{ }

x y z σ σ

_{ } f ^{2 f 2 f 2} _{ }

  = (4.5) J =  x y z  r − z −1 −x

  f ^{3 f 3 f 3}

  y x −β

  x y z

  Titik kesetimbangan nol T = (X , Y , Z ) = (0, 0, 0)

  

1

  disubstitusikan ke dalam persamaaan (4.5), diperoleh matriks

    σ _{ } −σ

  ) = r

1 J (T −1

  −β Nilai eigen matriks diperoleh dari det(λI − J ) = 0, maka _{   } λ+σ −σ0 det λ+1

  −r | = 0 λ+β

  (λ+σ)(λ+1)(λ+β) + σ(λ+b)(−r) = 0 (λ+b)((λ+σ)(λ+1) − σr) = 0

  2

  (λ+β)(λ

• (σ+1)λ + σ(1 − r)) = 0 Karena β, σ dan r adalah konstanta positif, maka akar-akar persamaan karakteristik yang diperoleh adalah

  1

  1

  2

  λ p(σ

  2

  1 2,3 = −β,λ = − (σ+1) ± − (2 + 4r)σ+1).

2 Untuk r < 1, kondisi didalam akar kuadrat kurang dari

  2

  , menjadikan λ &lt; 0 sehingga nilai eigen bernilai (σ − 1) negatif dan riil. Oleh karena itu, titik kesetimbangan pada titik (0, 0, 0) bersifat stabil. _{∗ ∗ ∗}

  Kemudian titik kesetimbangan T

  2 = (X , Y , Z ) =

  ( pβ(r − 1),pβ(r − 1), r − 1) disubstitusikan ke dalam persamaan (4.3.1), sehingga diperoleh matriks _{ }

  σ −σ

  ) =  1 

2 J (T −1 − pβ(r − 1)

  pβ(r − 1) pβ(r − 1) Tabel 4.1: Tabel Routh-Hurwitz

  3

  λ a a

  

1

  3

  2

  λ a a

  

2

  4

  λ a

  

5

  λ a

6 Nilai eigen matriks diperoleh dari det(λI − J ) = 0, maka

  _{ } λ+σ

  −σ0 det  λ+1  = 0 −1 pβ(r − 1)

  λ+β pβ(r − 1) − pβ(r − 1) −

  (λ+σ)((λ+1)(λ+β) + β(r − 1)) + σ(λ(β(r − 1)) − (λ + β) = 0

  3

  2

  (λ ) + (β + σ + 1)λ

• (σβ + βr)λ + 2βσ(r − 1) = 0 Selanjutnya, analisis kestabilan pada persamaan diatas dapat diperoleh dengan menggunakan tabel 4.1 Routh-

  3

2 Hurwitz. Misalkan a λ + a λ + a λ + a = 0 maka

  1

  2

  3

  4

  a

  1 = 1; a 2 = (β + σ + 1); a 3 = (σβ + βr); a

  4

  = 2βσ(r − 1); Agar sistem stabil, maka semua suku kolom pertama pada tabel haruslah bertanda sama maka a , a , a haruslah

  2

  5

  6

  bernilai positif. Selanjutnya dihitung nilai a dengan rumus ₋

  5 a ^{2 a 3 a 1 a 4}

  a = , a = a

  5

  6

  4 a ²

  (β + σ + 1)(σβ + βr) − 2βσ(r − 1) a =

  5

  (β + σ + 1)

  2

  2

  β (σ + r) + βσ

• βr + βσ(3 − r) =

  (β + σ + 1)

  σ (σ+β+3)

  Nilai a bernilai positif jika r &lt; dengan r bernilai

  5 σ−β−

  1

  positif ketika σ &gt; β + 1. Selanjutnya dicari nilai a

  6 , yaitu

  a = a

  6

  4

  = 2βσ(r − 1) Untuk a akan bernilai positif jika r &gt; 1. Sehingga

  6

  untuk mendapatkan semua nilai bernilai positif jika 1 &lt;

  σ (σ+bβ+3)

  r &lt; , maka dua titik kesetimbangan T =

  2,3 σ−β− _{∗ ∗ ∗}

  1

  (X , Y , Z ) = (± p(β(r − 1)), ±p(β(r − 1)), r − 1) bersifat stabil.

  4.4 Konstruksi Fungsi Lyapunov Selanjutnya akan dicari kestabilan global titik setimbang dari sistem Lorenz. Metode yang digunakan untuk menganalisis kestabilan global yaitu metode Lyapunov. Metode ini mengsyaratkan untuk mengkonstruksi sebuah fungsi yang dapat menganalisis sifat sistem, yang disebut fungsi Lyapunov.

  4.4.1 Metode Variabel Gradien Metode variabel gradien adalah salah satu metode yang digunakan untuk membentuk fungsi Lyapunov.Metode ini membantu pengkonstruksian fungsi Lyapunov secara sistematis dan terstruktur tetapi terdapat kesulitan dalam mengevaluasi fungsi Lyapunov. Langkah-langkah untuk mendapatkan fungsi fungsi Lyapunov dari sistem sebagai berikut:

  1. Asumsi suatu gradien dari fungsi Lyapunov V (x) sebagai parameter. _{h i T}

  T dV dV

  . . .

  

1 n =

  ∇V ¹ ∇V (x) = . . . ∇V dx dx n

  (4.6)

  σxy + h

  21

  z − h

  2

  x

  21

  − h

  2

  rx

  21

  σxz

  13

  σyz − h

  13

  12

  22

  − h

  

2

  σy

  12

  2

  σx

  11

  σxy − h

  11

  z)(xy − βz) = h

  33

  y + h

  

32

  xy + h

  rxy − h

  31

  y − h

  2

  βz

  33

  xyz − h

  33

  βyz + h

  32

  − h

  2

  xy

  32

  βxz + h

  31

  2

  22

  x

  31

  yz + h

  23

  − h

  2

  xz

  23

  rxz − h

  23

  2

  y

  22

  xyz − h

  x + h

  z) (x(r − z) − y) + (h

  Dengan ∇V

  x + h

  ˙ V = ∇V

  z ^{ } Selanjutnya mencari nilai h ij yang memenuhi kondisi curl dan turunan dari fungsi Lyapunov bernilai negatif. Maka turunan dari fungsi Lyapunov adalah

  33

  y + h

  32

  x + h

  31

  h

  

21 x + h

22 y + h 23 z

  z h

  13

  y + h

  12

  11

  f = ^{ } h

  ∇V (x) = ^{ } h

  ∇V (x)dx Dengan menggunakan metode variabel gradien. Diberikan sistem persamaan (2.1) sehingga dimisalkan

  3. Fungsi Lyapunov dapat dihitung dengan integral V (x) = ^{Z x}

  ˙ X.

  T

  2. Variabel gradien fungsi Lyapunov ∇V digunakan untuk mencari ˙ V , dimana ˙ V = (∇V )

  V _j ∂x _i

  = ^∇

  V _i ∂x _j

  = ^∇

  ∂ ² V ∂x _i ∂x _j

  h ij x j , i = 1, . . . , n, h ij adalah sebuah konstanta dan x j dalah variabel suatu sistem, yang memenuhi kondisi curl yaitu

  i = ^{P n} j =1

  T

  11

  23

  z ^{ }

  y + h

  22

  x + h

  21

  z)(σ(y − x)) + (h

  13

  y + h

  12

  x + h

  11

  = (h

  σ(y − x) x(r − z) − y xy − βz ^{ }

  T _{ }

  33

  x + h

  y + h

  32

  x + h

  31

  z h

  23

  y + h

  22

  x + h

  21

  z h

  13

  y + h

  12

• h
• h
• h

  2 _{∇ ∇}

  V ∂

  V V j _i

  Agar memenuhi kondisi curl yaitu = = , untuk

  ∂x ∂x ∂x ∂x _{i j j i} i, j = 1, 2, 3 dengan i 6= j.

  ∂

  2

  ∂∇V = (h x + h y + h z) = h

  21

  22

  23

  21

  ∂x ∂x

  1

  ∂

  1

  ∂∇V = (h x + h y + h z) = h

  11

  12

  13

  12

  ∂x ∂y

  2

  ∂

  3

  ∂∇V = (h x + h y + h z) = h

  31

  32

  33

  31

  ∂x ∂x

  1

  ∂

  1

  ∂∇V = (h x + h y + h z) = h

  3

  11

  12

  13

  1

  ∂x ∂y

  3 3 ∂

  ∂∇V = (h x + h y + h z) = h

  2

  31

  32

  33

  3

  ∂x ∂y

  2

  ∂

  2

  ∂∇V = (h

  21 x + h 22 y + h 23 z) = h

  2

  3 ∂x ∂z

3 Berdasarkan hasil diatas, maka pemilihan h ij yang memenuhi

  kondisi curl yaitu h ij = h ji . Sehingga persamaan menjadi

  2

  

2

  ˙ V = h σx + h σy σxy + h σxz

  11

  11

  12

  12

  13

  13

  σxy − h − h σyz − h

  2

  2

  2

• h rx x xy + h y

  12

  12

  12

  22

  22

  22

  − h z − h rxy − h xyz − h

  2

  2

  2

• h

  23 23 xz

23 yz + h

13 x 13 βxz + h 23 xy

  rxz − h − h y − h

  2

  βyz + h βz

  23

  33

  33

  − h xyz − h

  2

  2

  (h σ + h x)

  11

  12

  13

  12

  22

  23

  = −x σ − h (r − z) − h y) − y (−h − h

  2

  (h x + h σ + h

  23

  33

  11

  12

  22

  − z β) − xy(−h (σ + 1) − h (r − z) σ + h y)

  13

  23

  13

  23

  33

  − yz(−h (1 + β) − xz(h (σ + β) − h r − h (4.7)

  Agar ˙ V adalah fungsi negatif, maka dipilih semua didalam kurung pada persamaan (4.7) adalah positif, adalah r + h y &gt; 0

  11

  12

  12

  13

• h σ − h z − h

  σ + h x &gt; 0

  12

  22

  23

• −h − h

  23 x + h 33 β &gt; 0

• h

  σ + h σ + h r + h z &gt; 0

  11