Staff Site Universitas Negeri Yogyakarta aljabar boole ppt 5
ALJABAR BOOLE
Aljabar boole diperkenalkan ( pada abad 19 oleh George Boole) sebagai suatu sistem untuk
menganalisis secara matematis mengenai logika. Aljabar boole didasarkan pada pernyataan logika bernilai benar atau salah. Aljabar boole ini menjadi alat yang sangat ampuh untuk merancang maupun menganalisis rangkaian digital.
(2)
Dalam aljabar boole, baik konstanta maupun nilai suatu variabel hanya diijinkan memiliki dua
kemungkinan harga (biner) yaitu 0 atau 1.
Variabel aljabar boole sering digunakan untuk
menyajikan suatu tingkat tegangan pada terminal suatu rangkaian.
Aljabar boole lebih cocok digunakan untuk
rangkaian digital dibandingkan dengan aljabar yang lain.
(3)
Dalam aljabar boole tidak ada pecahan, desimal, bilangan negatif, akar kwadrat, akar pangkat tiga, logaritma, bilangan imajiner, dan sebagainya.
Postulat (operasi dasar) dalam aljabar boole :
1. Penjumlahan logika atau OR dengan simbol operasi ‘+’ (tanda plus).
2. Perkalian logika atau AND dengan simbol operasi ‘.’ (tanda titik) atau tanpa tanda sama sekali.
3. Komplementasi atau NOT (atau inversi) dengan
(4)
Aturan operasi OR, AND dan NOT pada dua tingkat logika 0 dan 1 dapat dirangkum sebagai berikut :
OR AND NOT 0 + 0 = 0 0 . 0 = 0 0 = 1 0 + 1 = 1 0 . 1 = 0 1 = 0 1 + 0 = 1 1 . 0 = 0
1 + 1 = 1 1 . 1 = 1
Aljabar boole dapat digunakan sebagai salah satu cara untuk menganalisis rangkaian logika dan
menyatakan operasinya secara matematik, terutama untuk mendapatkan konfigurasi rangkaian yang
(5)
1. A . 0 = 0 2. A . 1 = A 3. A . A = A 4. A . A = 0 5. A + 0 = A 6. A + 1 = 1 7. A + A = A 8. A + A = 1.
Teorema dalam Aljabar Boole
Teorema 1) hingga 8) , variabel A sebenarnya dapat menyajikan suatu pernyataan yang
(6)
9. A + B = B + A (komutatif OR)
10. A . B = B . A (komutatif AND)
11. A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C (asosiatif OR)
12. A(BC) = (AB)C = ABC (asosiatif AND)
13. A(B + C) = AB + AC (distributif OR)
14. (A + B)(C + D) = AC + BC + AD + BD (distributif AND)
15. A + AB = A (absorbtif)
16. A + AB = A + B (absorbtif)
Teorema De Morgan :
17. (A + B)` = A . B 18. (A . B) = A + B
(7)
Minimalisasi Rangkaian Logika
Realisasi rangkaian logika dengan fungsi tertentu dari suatu pernyataan logika pada umumnya tidak unik, artinya ada bermacam-macam konfigurasi rangkaian dengan fungsi yang sama.
Tentu saja dipilih cara ataupun konfigurasi yang
paling sederhana. Salah satu cara penyederhanaan rangkaian logika tersebut adalah Metode analitis
(8)
Apakah fungsi rangkaian berikut sama ? Analisislah ! Rangkaian mana yang lebih sederhana ?
A
B C
Y
A B
(9)
Contoh
Buktikanlah bahwa (A + B)(A + C) = A + BC !
Penyelesaian :
(A + B)(A + C) = AA + AC + AB + BC = A + AC + AB + BC = A + AB + AC + BC = A (1 + B) + C (A + B) = A + C (A + B)
= A + AC + BC = A (1 + C) + BC = A + BC.
(10)
Soal-soal
1. Tuliskanlah persamaan boolean (persamaan logika) pada rangkaian digital berikut, dan kemudian rancanglah rangkaian yang lebih sederhana (jika mungkin) dengan fungsi yang sama !
A B
(11)
2. Teorema Boolean apa (dapat lebih dari satu teorema) yang digunakan untuk mengubah identitas pada persamaan logika berikut :
ABC + BC + A = BC + A
3. Ubahlah rangkaian pada gambar berikut menjadi rangkaian lain yang setara (fungsinya sama) tetapi hanya menggunakan gerbang NAND :
B C
Y A
(12)
4. Tentukan persamaan yang sederhana dan gambarkan rangkaian logiknya untuk
menghasilkan keluaran Y dari masukan A, B, dan C jika diagram pewaktu untuk setiap saluran tersebut tampak pada gambar nerikut :
B A
C
(13)
5. Selidiki apakah kedua rangkaian berikut ekivalen, baik menggunakan teorema aljabar boole ataupun dengan tabel kebenaran !
B
Y1 A
B
Y2 A
(1)
Apakah fungsi rangkaian berikut sama ? Analisislah ! Rangkaian mana yang lebih sederhana ?
A
B C
Y
A B
(2)
Contoh
Buktikanlah bahwa (A + B)(A + C) = A + BC !
Penyelesaian :
(A + B)(A + C) = AA + AC + AB + BC
= A + AC + AB + BC
= A + AB + AC + BC
= A (1 + B) + C (A + B)
= A + C (A + B)
= A + AC + BC
= A (1 + C) + BC
(3)
Soal-soal
1. Tuliskanlah persamaan boolean (persamaan logika) pada rangkaian digital berikut, dan kemudian rancanglah rangkaian yang lebih sederhana (jika mungkin) dengan fungsi yang sama !
A B
(4)
2. Teorema Boolean apa (dapat lebih dari satu teorema) yang digunakan untuk mengubah identitas pada persamaan logika berikut : ABC + BC + A = BC + A
3. Ubahlah rangkaian pada gambar berikut menjadi rangkaian lain yang setara (fungsinya sama) tetapi hanya menggunakan gerbang NAND :
B C
Y A
(5)
4. Tentukan persamaan yang sederhana dan gambarkan rangkaian logiknya untuk
menghasilkan keluaran Y dari masukan A, B, dan C jika diagram pewaktu untuk setiap saluran tersebut tampak pada gambar nerikut :
B A
C
(6)
5. Selidiki apakah kedua rangkaian berikut ekivalen, baik menggunakan teorema aljabar boole ataupun dengan tabel kebenaran !
B
Y1 A
B
Y2 A