Lecture 2: Peluang dan Ekspektasi Bersyarat

  

Pengantar Proses Stokastik

  2015 Peluang Bersama Distribusi Diskrit

  Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak diskrit yang terdefinisi di ruang sampel yang sama. Maka fungsi peluang bersama dari X dan Y

  p X , Y (x, y ) = P(X = x, Y = y ) Sifat-sifat fungsi peluang bersama p , (x, y ): ₁ X Y _{2 P P} p X , Y (x, y ) ≥ 0, ∀(x, y )

  p , (x, y ) = 1

  X Y x , y Fungsi Peluang Marginal

  Fungsi peluang marginal dari X dan Y masing-masing adalah: _X

  p (x) = p

  X X , Y (x, y ), x ∈ R y

  dan _X

  p Y (y ) = p X , Y

  (x, y ), y ∈ R

  

x Contoh 1

  Berikut adalah data tentang jumlah kamar tidur dan kamar mandi dari 50 rumah yang akan dijual:

  4

  50 Hitung p

  1

  7

  23

  19

  19 Total

  1

  5

  11

  2

  28

  X \Y

  2

  12

  14

  3

  3

  3

  2

  5 Total

  4

  3

  2

  X , Y untuk semua nilai X dan Y Penyelesaian:

  X \Y

  4

  0.02

  0.14

  0.46

  0.38

  0.38 Total

  0.02

  0.10

  0.22

  0.04

  0.56

  2

  0.04

  0.24

  0.28

  3

  0.06

  0.06

  2

  5 Total

  4

  3

  1 Peluang Bersama Distribusi Kontinu

  Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu yang terdefinisi di ruang sampel yang sama. Fungsi distribusi bersama dari X dan Y adalah

  F

  X ^, Y

  (x, y ) = P(X ≤ x, Y ≤ y ) dan fungsi peluang bersamanya adalah

  f

  X ^, Y

  (x, y ) = ∂

  2

  ∂

  x∂y F X

^,

Y

  (x, y ) = ∂

  2

  ∂

  y ∂x F X ^, Y

  (x, y ) Sifat-sifat fungsi peluang bersama f

  X , Y (x, y ) adalah: ₁

  2 f X , Y (x, y ) ≥ 0,

  ∀(x, y ) ∈ R _{2 R R} ∞ ∞

  f , (x, y ) dx dy = 1

  X Y −∞ −∞ Fungsi Peluang Marginal

  Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama f

  X , Y (x, y ), maka fungsi peluang

  marginal dari X dan Y masing-masing adalah

  f

  X

  (x) = ^Z

  y f

  

X

^,

Y (x, y )dy , x ∈ R

  dan

  f Y (y ) = ^Z x f

X , Y

  (x, y )dx, y ∈ R Contoh 2

  Misalkan X dan Y mempunyai fungsi peluang bersama ₂

  3y

  ,

  f , (x, y ) = ^{3 0 < y < x < 1. Tentukan fungsi peluang}

  X Y x

  marginal X dan Y .

  Penyelesaian:

  a. Fungsi peluang marginal X _{Z Z} x x

  2

  3y

  f X (x) = f X , Y (x, y )dy = dy

  3 x x

  3

  3

  y x = = = 1

  3

  3 x x b. Fungsi peluang marginal Y _{Z Z}

  1

  

1

  2

  3y

  f Y (y ) = f X , Y (x, y )dx = dx

  3 x y y

  1

  2

  2

  2

  −3y −3y −3y

  = = −

  2

  2

  2x 2 2y

  y

  4

  2

  2

  2

  −3y + 3y 3y (1 − y )

  3

  2

  = = = (1 − y ), 0 < y < 1

  2

  2

  2y 2y

  2 Kebebasan

  Dua kejadian X dan Y saling bebas jika dan hanya jika

  f (x, y ) = f (x)f (y ) X , Y

  X Y Contoh 3

  Pada Contoh 2, apakah X dan Y saling bebas? Jawab:

  3

  3

  2

  2 f (x)f (y ) = 1 (1 − y ) = (1 − y )

  X Y

  2

  2 6= f

  X , Y (x, y ) Jadi, X dan Y tidak saling bebas. Peluang Bersyarat Distribusi Diskrit

  Misalkan X dan Y peubah acak-peubah acak diskrit. Jika

  p (y ) > 0, maka fungsi peluang bersyarat X diberikan Y = y Y

  adalah

  p (x|y ) = P(X = x|Y = y )

  X |Y P(X = x, Y = y )

  =

  P(Y = y ) p X , Y (x, y )

  =

  p Y (y ) Jika X dan Y saling bebas, maka

  P(X = x, Y = y ) p (x|y ) = X |Y

  P(Y = y ) P(X = x)P(Y = y )

  =

  P(Y = y )

  = P(X = x) Fungsi distribusi bersyarat X diberikan Y = y , untuk semua y sehingga P(Y = y ) > 0 adalah

  F (x|y ) = P(X ≤ x|Y = y ) X |Y _X

  = p (a|y )

  X |Y a ≤x Ekspektasi Bersyarat Distribusi Diskrit

  Ekspektasi bersyarat dari X diberikan Y = y adalah _X E [X |Y = y ] = x P(X = x|Y = y ) _X x = x p (x|y )

  X |Y x Law of Total Probability

  , , . . . , Misalkan {B

  1 B

  2 B n } merupakan himpunan dari

  kejadian-kejadian yang saling asing (’mutually exclusive’), yaitu partisi-partisi dari ruang sampel S, ∪ B = S =⇒ P(∪ B ) = 1

  i i i i B i ∩ B j = φ, untuk i 6= j =⇒ P(B i ∩ B j ) = 0 Maka, A = A ∩ S = A ∩ (∪ B ) = ∪ (A ∩ B ) dan

  i i i i _X n n _X P(A) = P(A ∩ B ) = P(A|B )P(B ) i i i i =1 i =1 Contoh 4

  Misalkan p(x, y ) diberikan

  p(1, 1) = 0.5 p(1, 2) = 0.1 p(2, 1) = 0.1 p(2, 2) = 0.3

  Hitung peluang bersyarat X diberikan Y = 1.

  Pertama, kita mempunyai _X

  p Y (1) = p(x, 1) = p(1, 1) + p(2, 1) = 0.6 x

  Maka,

  P(X = 1, Y = 1) p (1|1) = P(X = 1|Y = 1) = X |Y

  P(Y = 1) p(1, 1)

  5 = =

  p (1)

  6 Y

  p(2, 1)

  1

  p (2|1) = =

  X |Y p Y (1)

  6

Contoh 5 Lala sedang mempersiapkan diri menghadapi seminar TA 2

  Sebagai seorang mahasiswa yang selalu penuh perhitungan, Lala mencoba memperkirakan apakah akan mendapat hari yang baik atau hari yang buruk. Jika Lala mendapat hari yang baik, maka para dosen penguji semua akan menghujani Lala dengan pertanyaan-pertanyaan (secara independen satu sama lain) dengan peluang 0.2. Jika mendapat hari yang buruk peluangnya membesar menjadi 0.6. Menghujani pertanyaan-pertanyaan berarti membantai atau tidak meluluskan. Lala yakin bahwa hari yang baik akan didapatkannya dua kali lebih banyak dibanding hari yang buruk. Pertanyaannya: Berapa peluang Lala akan lulus seminar?

  Penyelesaian: Misalkan

  A : kejadian hari yang baik B : kejadian hari yang buruk L : kejadian meluluskan TL : kejadian tidak meluluskan

  Maka

  P(TL|A) = 0.2 P(L|A) = 0.8 P(TL|B) = 0.6 P(L|B) = 0.4

P(A) = 2P(B)

  P(TL) = P(TL|A)P(A) + P(TL|B)P(B)

  = 0.2(2P(B)) + 0.6P(B) = P(B)

  P(L) = P(L|A)P(A) + P(L|B)P(B)

  = 0.8(2P(B)) + 0.4P(B) = 2P(B)

  P(L) + P(TL) = 1

  2P(B) + P(B) = 1

  1

  2 P(B) = =⇒ P(A) =

  3

  3 Maka, peluang Lala akan lulus seminar adalah

  1

  2

  =

  P(L) = 2P(B) = 2

  3

  3 Peluang Bersyarat Distribusi Kontinu

  Jika X dan Y mempunyai fungsi peluang bersama f

  X , Y (x, y ),

  maka fungsi peluang bersyarat dari X diberikan Y = y , terdefinisi ∀y sehingga f (y ) > 0, adalah

  Y f X , Y (x, y ) f

  X (x|y ) = |Y f Y (y ) Ekspektasi Bersyarat Distribusi Kontinu

  Ekspektasi bersyarat dari X diberikan Y = y adalah _Z ∞

  E [X |Y = y ] = x f (x|y )dx

  X |Y −∞ Contoh 6

  Misalkan fungsi peluang bersama X dan Y diberikan ₍ 6xy (2 − x − y ), 0 < x < 1, 0 < y < 1

  f X , Y (x, y ) =

  0, lainnya Tentukan ekspektasi bersyarat dari X diberikan Y = y , di mana 0 < y < 1. Penyelesaian: Pertama, kita tentukan f (x|y ) yaitu

  X |Y f (x, y )

  X , Y f (x|y ) =

  X |Y f Y (y )

  6xy (2 − x − y ) = _R

  1

  6xy (2 − x − y ) dx 6xy (2 − x − y )

  =

  y (4 − 3y )

  6x(2 − x − y ) = 4 − 3y Maka _Z

  1

  6x(2 − x − y )

  E [X |Y = y ] = x dx

  4 − 3y

  6

  (2 − y )2 −

  4

  = 4 − 3y 5 − 4y

  = 8 − 6y Conditioning Rules E [X ] = E [E [X |Y ]]

  Bukti:

  E [X ] = ^X y

  E [X |Y = y ]P(Y = y )

  = ^X

  y ^X x x P(X = x|Y = y )P(Y = y )

  = ^X

  y ^X x x P(X = x, Y = y )

  P(Y = y ) P(Y = y )

  = ^X

  y ^X x x P(X = x, Y = y )

  = ^X

  x x ^X y

  P(X = x, Y = y ) = ^X x x P(X = x)

Contoh 7

  Sam akan membaca baik satu bab buku statistika maupun satu bab buku sejarah. Jika banyaknya kesalahan cetak pada satu bab buku statistika berdistribusi Poisson dengan mean 2 dan banyaknya kesalahan cetak pada satu bab buku sejarah juga berdistribusi Poisson dengan mean 5. Asumsikan Sam memiliki peluang yang sama untuk memilih kedua buku tersebut, berapa banyak kesalahan cetak yang diharapkan yang akan Sam temukan?

  Penyelesaian: Misalkan

  X : menyatakan banyaknya kesalahan cetak

Y : menyatakan buku yang akan dipilih

  Misalkan ₍ 1, jika Sam memilih buku statistika

  Y =

  2, jika Sam memilih buku sejarah Maka

  E [X ] = E [X |Y = 1] P(Y = 1) + E [X |Y = 2] P(Y = 2)

  1

  1

  7 = 2 + 5 =

  2

  2

  2

  Var (X ) = E [Var (X |Y )] + Var (E [X |Y ])

  Bukti:

  2

  2 E [Var (X |Y )] = E E [X |Y ] − (E [X |Y ])

  2

  2

  = E E [X |Y ] − E (E [X |Y ])

  

2

  2

  = E [X ] − E (E [X |Y ]) dan

  2

  2 Var (E [X |Y ]) = E (E [X |Y ]) − (E [E [X |Y ]])

  2

  2

  = E (E [X |Y ]) − (E [X ])

  2

  2 Jadi, E [Var (X |Y )] + Var (E [X |Y ]) = E [X ] − (E [X ]) . Misalkan E adalah sebarang kejadian dan definisikan peubah acak indikator X oleh ₍ 1, jika E terjadi

  X =

  0, jika E tidak terjadi Maka

  E [X ] = P(E )

E [X |Y = y ] = P(E |Y = y ), untuk sebarang peubah acak Y Maka,

  P(E ) = E [X ] = E [E [X |Y = y ]]

  = E [P(E |Y = y )] _X = P(E |Y = y )P(Y = y ), jika Y diskrit

  y _Z ∞

  = P(E |Y = y )f Y (y )dy , jika Y kontinu

  −∞

Contoh 8

  Di kampung, setiap Minggu pagi Swari meninggalkan rumah untuk lari pagi. Swari akan pergi lewat pintu depan/belakang dengan peluang sama. Ketika meninggalkan rumah, Swari memakai sepatu olahraga/bertelanjang kaki jika sepatu tidak tersedia di depan pintu yang ia lewati. Ketika Swari pulang, Swari akan masuk lewat pintu depan/belakang dan meletakkan sepatunya dengan peluang yang sama. Jika dia mempunyai 4 pasang sepatu, akan dihitung berapa peluang Swari akan sering berolahraga dengan bertelanjang kaki. Tentukan ruang sampelnya terlebih dahulu.

  Penyelesaian:

  S = {(0, 4), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 0)}

  Misalkan

  A : Swari berolahraga dengan bertelanjang kaki D : sepatu ada di pintu depan B : sepatu ada di pintu belakang P(A) = P(A|D) P(D) + P(A|B) P(B)

  =

  1

• 1

  5 .

  1

  2

  5 .

  1

  2 =

  1

  5 Diskusi

  informasi bahwa (i) setiap pelanggan mengasuransikan setidaknya satu mobil (ii) 70 % pelanggan mengasuransikan lebih dari satu mobil, dan (iii) 20 % mengasuransikan jenis

  sports car. Dari pelanggan yang mengasuransikan lebih dari

  satu mobil, 15 % mengasuransikan sports car. Hitung peluang bahwa seorang pelanggan yang terpilih secara acak mengasuransikan tepat satu mobil dan ini bukan sports car. oleh 50, 75, dan 100 mahasiswa. Dari jumlah tersebut diketahui bahwa 50, 60, dan 70 persen-nya adalah mahasiswa angkatan 2012. Seperti biasa, mahasiswa akan mungkin mengundurkan diri dari perkuliahan tersebut, dengan kemungkinan yang sama. Seorang mahasiswa mengundurkan diri dan dia adalah angkatan 2012. Berapa peluang bahwa mahasiswa tersebut mengambil kuliah PPS?

  Dia ingin melarikan diri namun hal itu tidak mudah. Fakta yang ada menunjukkan bahwa jika JB hendak keluar dari penjara, dia akan menghadapi 3 pintu. Pintu 1 akan membawanya ke sebuah lorong dan kembali ke penjara dalam waktu 2 jam. Pintu 2 membawanya ke lorong dan kembali ke penjara dalam waktu 3 jam. Sedangkan pintu ketigalah yang akan membawa JB bebas. Diasumsikan bahwa JB memilih pintu-pintu 1,2, dan 3 dengan peluang berturut-turut 0.5, 0.3, dan 0.2. Berapa lama waktu rata-rata yang dibutuhkan JB untuk bebas? menyimpan sebuah koin yang memiliki sisi M dan B dan sebuah koin lain yang ternyata memiliki 2 sisi M. Kepada Zeta calon korbannya, JB mengatakan bahwa dirinyalah sang pemenang apabila muncul M dalam koin yang dimilikinya. JB kemudian memilih koin secara acak dan melantunkannya. Ternyata muncul M. Berapa peluang bahwa koin yang dilantunkan adalah koin M dan B? Misal JB melantunkan koin yang sama untuk kedua kalinya dan muncul M, berapa peluang koin yang dilantunkan adalah koin M dan B? Misal JB melantunkan koin yang sama untuk ketiga kalinya dan muncul B, berapa peluang koin tsb adalah koin M dan B?

Pustaka

  Ross, Sheldon M. 2007. Introduction to Probability Models; 9th Edition. New York: Academic Press. Syuhada, Khreshna I.A. Materi Kuliah: MA4181 Pengantar Proses Stokastik. Departemen Matematika ITB, Bandung. Taylor, Howard M. dan Samuel Karlin. 1975. A First Course

  in Stochastic Processes; Second Edition. New York: Academic Press.

  Virtamo, J. 38.143 Queueing Theory/ Probability Theory.