Sifat Relasi dan Konsep Fungsi

SIFAT RELASI DAN KONSEP FUNGSI
Kelas X SMA

Oleh
M ZULFIKAR M (1003095)

KOMPETENSI INTI
Mengembangkan perilaku (jujur, disiplin,
tanggung jawab, peduli, santun, ramah
lingkungan, gotong royong, kerjasama,
cinta damai, responsif dan proaktif) dan
menunjukan sikap sebagai bagian dari
solusi
atas
berbagai
permasalahan
bangsa dalam berinteraksi secara efektif
dengan lingkungan sosial dan alam serta
dalam
menempatkan
diri

sebagai
cerminan bangsa dalam pergaulan dunia

KOMPETENSI INTI
Memahami,
menerapkan,
dan
menganalisis
pengetahuan
faktual,
konseptual, dan prosedural dalam ilmu
pengetahuan, teknologi, seni, budaya,
dan
humaniora
dengan
wawasan
kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan,
dan peradaban terkait fenomena dan
kejadian,
serta

menerapkan
pengetahuan prosedural pada bidang
kajian yang spesifk sesuai dengan bakat
dan minatnya untuk memecahkan
masalah

KOMPETENSI DASAR
 Memahami daerah asal, daerah kawan,
dan daerah hasil suatu relasi antara dua
himpunan yang disajikan dalam berbagai
bentuk
(grafk,
himpunan
pasangan
terurut, atau ekspresi simbolik).
 Mengidentifkasi relasi yang disajikan
dalam berbagai bentuk yang merupakan
fungsi.

INDIKATOR

Mengidentifkasi sifat-sifat dari suatu
relasi.
 Mengidentifkasi relasi yang disajikan
dalam
berbagai
bentuk
yang
merupakan fungsi.
 Menentukan daerah asal atau daerah
hasil dari suatu fungsi.


SIFAT RELASI
Sifat
Refeksif

Sifat
Simetris

Sifat

Transitif

Sifat
Antisimet
ris
Sifat
Ekuivalen
si

Sifat Refeksif
Misalkan
R
sebuah
relasi
yang
didefnisikan pada himpunan P. Relasi R
dikatakan bersifat Refeksif jika untuk
setiap p ∈ P erlaku (p,p) ∈ P
Contoh 1
Diberikan himpunan P = {1, 2, 3}.

Didefnisikan relasi R pada himpunan P
dengan hasil relasi adalah himpunan S =
{(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)}.
Apakah
R bersifat
?
Relasi R relasi
bersifat
RefeksifRefeksif
sebab setiap
anggota
himpunan P berpasangan atau berelasi dengan
dirinya sendiri.

Contoh 2
Diberikan himpunan C = {2,4,5}.
Didefnisikan relasi R pada himpunan
C dengan R = {(a,b)│ a + b <
9,dengan a,b ∈ C}, Apakah relasi R
bersifat Refeksif ?

Diperoleh R = {(2,2), (2,4), (2,5),
(4,2), (4,4), (5,2)}
Relasi R tidak bersifat refeksif sebab
ada anggota himpunan C, yaitu 5
tidak berelasi dengan dirinya sendiri
atau (5, 5) bukan anggota R

Sifat Simetris
Misalkan
R
sebuah
relasi
yang
didefnisikan pada himpunan P. Relasi R
dikatakan bersifat simetris jika untuk
setiap (x,y) ∈ R berlaku (y,x) ∈ R.
Contoh 3
Diberikan himpunan P = {1, 2, 3}.
Didefnisikan relasi R pada himpunan P
dengan R = {(1,1) , (1,2), (1,3), (2,2),

(2,1), (3,1), (3,3)}.
Apakah relasi R
bersifat simetris?
Relasi R tersebut bersifat simetris sebab
untuk setiap (x,y) ∈ R, berlaku (y,x) ∈ R.

Contoh 4
Diberikan himpunan A = {2, 4, 5}.
Didefnisikan relasi R pada himpunan
A dengan R = {(x,y) │ x kelipatan y, x,
y ∈ A}, Apakah relasi R bersifat
simetris?
Diperoleh R = {(2,2), (4,4), (5,5),
(4,2)}.
Relasi R tersebut tidak bersifat
simetris karena (4,2) anggota R tetapi
(2,4) bukan anggota R.

Sifat Transitif
Misalkan R sebuah relasi pada sebuah

himpunan P. Relasi R bersifat transitif,apabila
untuk setiap (x,y) ∈ R dan (y,z) ∈ R maka
berlaku (x,z) ∈ R
Contoh 5
Diberikan himpuan P = {1, 2, 3}.
Didefnisikan relasi pada himpunan P dengan
hasil relasi adalah himpunan R = {(1,1),
(1,2), (2,2), (2,1), (3,3)}. Apakah relasi R
bersifat
Relasi R Transitif?
tersebut bersifat transitif sebab
(x,y) ∈ R dan (y,z) ∈ R maka berlaku (x,z) ∈
R.

Contoh 6
Diberikan himpunan C = {1, 2, 3}.
Didefnisikan relasi R dengan R =
{(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3),
(3,2)}. Apakah relasi R bersifat
transitif?

Relasi R tidak memenuhi sifat
transitif, sebab terdapat (1,2) ∈ R
dan (2,3) ∈ R, tetapi (1,3) bukan
anggota R.

Sifat Antisimetris
Misalkan R sebuah relasi pada sebuah
himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat
antisimetris, apabila untuk setiap (x,y) ∈ R
dan (y,x) ∈ R berlaku x = y.
Contoh 7
Diberikan himpunan C = {2, 4, 5}.
Didefnisikan relasi R pada himpunan C
dengan R = { (a,b) ∈ a kelipatan b, a,b
∈ C}. Apakah relasi R bersifat
antisimetris?
diperoleh R = {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)}
Relasi R tersebut bersifat antisimetris.

Contoh 8

Diberikan S = {1, 2, 3}. Didefnisikan
relasi R pada himpunan S dengan R
= {(1,1), (1,2), (2,2), (2,1), (3,3)}.
Apakah relasi R bersifat antisimetris?
Relasi R tidak bersifat antisimetris
sebab terdapat (1,2) ∈ R dan (2,1) ∈
R, tetapi 1 ≠ 2.

Sifat Ekuivalensi
Misalkan R sebuah relasi pada sebuah
himpunan P. Relasi R disebut relasi
ekivalensi jika dan hanya jika relasi R
memenuhi sifat refeksif, simetris, dan
transitif.
Contoh 9
Diberikan himpunan P = {1, 2, 3}.
Didefnisikan relasi pada himpunan P
dengan R = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,1), (3,3)}.
Apakah relasi R bersifat ekuivalensi?
Relasi R tersebut bersifat refeksif, simetris

dan transitif. Oleh karena itu relasi R
merupakan relasi ekivalensi.

KONSEP FUNGSI
Perhatikan Relasi Berikut!
(1)

(2)

• Apakah semua anggota himpunan P memiliki pasangan
dengan anggota himpunan Q?
• Apakah semua anggota himpunan P memiliki pasangan
yang tunggal dengan anggota himpunan Q?
• Apakah semua anggota himpunan Q memiliki pasangan
dengan anggota himpunan P?

Perhatikan Relasi
(4)
(3
Berikut!
)

• Apakah semua anggota himpunan P memiliki
pasangan dengan anggota himpunan Q?
• Apakah semua anggota himpunan P memiliki
pasangan yang tunggal dengan anggota himpunan
Q?
• Apakah semua anggota himpunan Q memiliki
pasangan dengan anggota himpunan P?

Perhatikan Relasi
(6)
(5
Berikut!
)

• Apakah semua anggota himpunan P memiliki
pasangan dengan anggota himpunan Q?
• Apakah semua anggota himpunan P memiliki
pasangan yang tunggal dengan anggota himpunan
Q?
• Apakah semua anggota himpunan Q memiliki
pasangan dengan anggota himpunan P?

Relasi 1
• Semua anggota himpunan P memiliki pasangan
dengan anggota himpunan Q.
• Semua anggota himpunan P memiliki pasangan
yang tunggal dengan anggota himpunan Q.
• Semua anggota himpunan Q memiliki pasangan
dengan anggota himpunan P.
Relasi 2
• Semua anggota himpunan P memiliki pasangan
dengan anggota himpunan Q.
• Semua anggota himpunan P memiliki pasangan
yang tunggal dengan anggota himpunan Q.
• Ada anggota himpunan Q yang tidak memiliki
pasangan dengan anggota himpunan P.

Relasi 3
• Semua anggota himpunan P memiliki pasangan
dengan anggota himpunan Q.
• Ada anggota himpunan P yang berpasangan
dengan dua buah anggota himpunan Q.
• Semua anggota himpunan Q memiliki pasangan
dengan anggota himpunan P.
Relasi 4
• Semua anggota himpunan P memiliki pasangan
dengan anggota himpunan Q
• Semua anggota himpunan P memiliki pasangan
yang tunggal dengan anggota himpunan Q.
• Ada anggota himpunan Q yang tidak memiliki
pasangan dengan anggota himpunan P

Relasi 5
• Ada anggota himpunan P yang tidak memiliki
pasangan dengan anggota himpunan Q.
• Ada anggota himpunan P yang berpasangan
dengan semua anggota himpunan Q.
• Semua anggota himpunan Q memiliki pasangan
dengan anggota himpunan P.
Relasi 6
• Ada anggota himpunan P yang tidak memiliki
pasangan dengan anggota himpunan Q.
• Ada anggota himpunan Q yang tidak memiliki
pasangan dengan anggota himpunan P..
• Ada anggota himpunan Q yang tidak memiliki
pasangan dengan anggota himpunan P.

Dari 6 relasi diatas. Relasi 1, 2, dan 4
adalah fungsi dari himpunan P ke
himpunan Q.
Maka syarat relasi mejadi sebuah
fungsi adalah:
- Semua anggota himpunan P
memiliki pasangan dengan anggota
himpunan
- Semua Q.anggota himpunan P
memiliki pasangan yang tunggal
dengan anggota himpunan Q.

KONSEP FUNGSI
Defnisi Fungsi
A dan B himpunan. Fungsi f dari A ke
Misalkan B adalah suatu aturan pengaitan
yang
memasangkan
setiap
anggota
himpunan A dengan tepat satu anggota
himpunan B.
Secara simbolik f : A
→ B, dibaca: fungsi f
memetakan
setiap
anggota A dengan
tepat satu anggota B.

f : x → y, dibaca:
fungsi f memetakan
x ke y, sedemikian
sehingga y = f(x).
y adalah peta
x adalah prapeta
dari y

Contoh 10:
Perhatikan diagram panah dibawah ini :
A

B
. 1

0.
2.
4.
6.
Daerah asal/
Domain

. 2
. 3
. 4
. 5
Daerah kawan/
kodomain

Daerah hasil/
Range

Dari diagram panah diatas dapat dilihat bahwa :
1. Fungsi A ke B adalah relasi khusus yang
memasangkan setiap anggota A dengan
tepat satu anggota B.
2. Himpunan A = { 0, 2, 4, 6 } disebut daerah
asal ( Domain ), Himpunan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }
disebut daerah kawan ( Kodomain ), dan
{ 1, 2, 5 } disebut daerah hasil ( Range ).

Contoh 11
Diketahui suatu fungsi f : x  x + 2 dengan
daerah asal fungsi { x/ 1 < x < 6, x  A}
a. Tentukan rumus fungsi !
b. Tentukan daerah asal fungsi !
c . Tentukan daerah hasil fungsi !
d. Jika f(x) = 15 , maka tentukan nilai x !

Jawab :

a. Rumus fungsi f(x) = x +2
b. Daerah asal = { 2, 3, 4, 5 }
c. Daerah hasil : f(x) = x + 2
untuk x = 2  f(x) = 2 + 2 = 4
x = 3  f(x) = 3 + 2 = 5
x = 4  f(x) = 4 + 2 = 6
x = 5  f(x) = 5 + 2 = 7
Jadi daerah hasil fungsi : { 4, 5, 6, 7 }
d. f(x) = 15
x + 2 = 15
x = 15 – 2
x = 13
Jadi nilai x = 13
27

Contoh 12
Diketahui fungsi f:x→f(x) degan rumus fungsi
f(x)=px-q. Jika f(1)=-3 dan f(4)=3. Tentukanlah
nilai p dan q kemudian tentukanlah rumus
fungsinya!
Jawab:
f(x)=px-q, f(1)=-3, f(4)=3
Jika f(1)=-3 maka f(x)=px-q → -3=p-q…………(1)
Jika f(4)=3 maka f(x)=px-q → 3=4p-q…………(2)
Persamaan (1) dikurangi persamaan (2), didapat:
-6=-3p → p=2
-3=p-q → -3=2-q → -q=-5 → q=5
Maka rumus fungsinya adalah f(x)=2x-5

Contoh 13
Diketahui fungsi dengan rumus
f ( x)  2 x  6
Tentukan
domain
fungsi
f
agar
mempunyai pasangan di himpunan
bilangan real.
Jawab
Domain fungsi f memiliki pasangan
dengan anggota himpunan bilangan real
apabila:
2x + 6 ≥ 0,
2x ≥ -6 ↔ x ≥ -3.

LATIHAN
1. Diberikan himpunan P={a,b,c,} dan reasi
R adalah pasangan berurutan dari A×A.
apakah relasi R bersifat refeksif, simetris,
transitif,
antisimetris
atau
bahkan
ekuivalen?
2. Gambarlah relasi-relasi berikut dengan
diagram panah. Kemudian tentukan
termasuk fungsi atau bukan fungsi !
a. { (1,2), (1,3), (2,4), (3,5) }
b. { (1,1), (2,2), (3,3) }
c. { (3,4), (5,6), (7,8) }
d. { (2,3), (3,4), (4,5) }

3. Fungsi f : x  x + 3 mempunyai domain
{ -2, -1, 0, 1, 2 } .
a. Tunjukkan fungsi f dalam diagram panah
.
b. Nyatakan dalam himpunan pasangan
berurutan .
c. Tulis range dari f .
f ( x) 

1
x 8
2

4. Diketahui fungsi f dengan rumus
Tentukanlah daerah asal dari sungsi f
agar memiliki pasangan di angota
himpunan bilangan real

PEMBAHASAN
1.Didapat R = {(a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b),
(b,c), (c,a), (c,b), (c,c)}
Relasi R bersifat refeksif karena setiap anggota
himpunan A berpasangan dengan sirinya sendiri
Relasi R tersebut bersifat simetris sebab untuk
setiap (x,y) ∈ R, berlaku (y,x) ∈ R.
Relasi R tersebut bersifat transitif sebab (x,y) ∈
R dan (y,z) ∈ R maka berlaku (x,z) ∈ R.
Relasi R tidak bersifat antisimetris sebab
terdapat (a,b) ∈ R dan (b,a) ∈ R, tetapi a ≠ b.
Relasi R bersifat ekuivalen karena memenuhi
sifat refelksif, simetri, dan transitif

2a. { (1,2), (1,3), (2,4), (3,5) }
bukan fungsi karena ada anggota x
yang berpasangan lebih dari satu
dengan anggota y .

x
1.
2.
3.

y
.
.
.
.

2
3
4
5

Bukan fungsi

2b. { (1,1), (2,2), (3,3) }
A

B

1.

.1

2.

.2

3.

.3

Fungsi

2c. { (3,4), (5,6), (7,8) }
P

Q

3.

.4

5.

.6

7.

.8

Fungsi

2d. { (2,3), (3,4), (4,5) }
K

L

2.

.3

3.

.4

4.

.5

Fungsi

36

3b. Himpunan pasangan berurutan
{ (-2,1), (-1,2), (0,3), (1,4), (2,5) }
3c. Range (daerah hasil ) = ( 1, 2, 3,
4, 5 )

4.

Domain fungsi f memiliki
pasangan
dengan
anggota
himpunan bilangan real apabila:
(½) x - 8 ≥ 0,
x - 16 ≥ 0 ↔ x ≥16

37

3a. Fungsi f : x  x + 3 , jadi f(x) = x
+3
Untuk x = -2 maka f(-2) = -2 + 3 =
1
x = -1 maka f(-1) = -1 + 3
=2
x = 0 maka f(0) = 0 + 3 =
x
x+3
3
-2 .
. 1f(1) = 1 + 3 =
x = 1 -1 maka
.
.2
0.
4
.3
1 .
. f(2)
4
x = 2 maka
=
2
+
3
=
5
2.
.5
38

TERIMA KASIH