Sejarah Perkembangan Geometri Proyektif
BAB 6
GEOMETRI PROYEKTIF
A.
Sejarah Perkembangan Geometri Proyektif
Geometri proyektif mulai dipelajari pada
periode Renaissance, abad 14 sampai 16. Geometri
proyektif muncul ketika seniman-seniman mencoba
teknik baru untuk memperoleh hasil yang bagus dalam
memindahkan objek 3D ke bentuk 2D. Sebelum adanya
geometri proyektif, pelukis susah menampilkan
bagaimana melukis garis sejajar di atas kanvas.
Seniman ingin menampilkan garis sejajar, seperti
pinggir jalan, karena sejajar pinggiran jalan tersebut,
terlihat berubah dalam lukisan dengan apa yang
dilihat nyata oleh orang. Usaha untuk mewujudkan
gambar yang realistik di dunia ke dalam bentuk 2D
dipelajari oleh banyak seniman selama periode
Renaissance. Salah satunya adalah Albrecht Durer.
Durer merupakan seniman yang terkenal di Jerman
yang bekerja sebagai pelukis dan pengukir kayu. Dia
bekerja keras untuk menampilkan secara nyata semua
yang ada disekitarnya. Tujuan ini membawa
Durer untuk mempelajari geometri. Dia sebagai
Geometri proyektif
Page 119
penemu aturan geometri untuk merubah objek 3D ke
bentuk 2D.
Kita dapat belajar banyak tentang bagaimana
orang melihat cara kerja dunia dengan seninya. Dalam
lukisan, anak panah pemanah bergerak lurus secara
sempurna hingga ia mencapai puncaknya, pada saat
mereka berhenti tepat di titik, pada sudut yang tajam
dan jatuh langsung ke bumi. Sebelum masa renaisans
gambar dan lukisan dimulai dengan representasi dari
pelukis, orang yang digambar akan lebih kecil
dibandingkan sesungguhnya agar terlihat nyata.
Bahkan, Giotto, pelukis yang hidup dari sekitar 12661337 adalah yang pertama menyadari bahwa ukuran
relatif dan bentuk sesuatu harus dimodifikasi dalam
lukisan untuk membuatnya tampak lebih nyata. Tentu
saja dia tidak tahu persis bagaimana melakukan ini,
sehingga beberapa lukisannya muncul sedikit aneh
(ada beberapa koreksi untuk perspektif, tapi itu
dilakukan secara tidak benar). Sungguh mengejutkan,
karena semua orang sejak awal (sebelum pada
kenyataannya)
pasti
melihat orang-orang
yang
jaraknya jauh terlihat kecil. Tentu saja ada alasan
psikologis luar biasa untuk kesalahan representasi ini.
Kita "tahu" bahwa meskipun orang itu jauh, dia benarbenar tetap dengan ukuran yang sama. Gambar
tentang yang lainnya (orang-orang, bangunan, atau
pegunungan) lebih kecil pada gambar, disebut gambar
perspektif.
Sekarang kita tahu cara menggambar perspektif,
ini benar-benar jelas bahwa itu adalah cara yang
"benar" untuk menggambar. Kita tahu bahwa jika kita
melihat sepasang rel kereta api di tanah datar terus ke
120
cakrawala, sepasang rel itu akan bertemu di sebuah
titik, dan juga bahwa garis lintasannya akan muncul
lebih dekat di kejauhan, meskipun kita tahu bahwa di
dunia nyata jarak satu sama lain adalah sama. Tentang
bagaimana membuat suatu pemandangan dalam
perspektif, ada cara yang mekanis untuk mendapatkan
tampilan yang sangat akurat. Hanya dengan menggunakan
sepotong kaca, dan menjaga kepala Anda di posisi
yang sama persis (secara teknis, Anda harus menggunakan
hanya satu mata, dan menjaga pandangan Anda). Caranya,
di mana pun Anda melihat hijau melalui kaca, tandai
cat hijau pada saat itu pada kaca. Cat merah di mana
Anda melihat merah, dan sebagainya, dan itu jelas
bahwa jika Anda dapat mencocokkan warna persis, Anda telah
melukis sebuah pemandangan pada kaca dalam perspektif yang
sempurna. Jika Anda membayangkan bahwa garis
terang mengikuti ketika bergerak dari berbagai objek
ke mata Anda melalui kaca, sinar cahaya dari atas dan
bawah dari sebuah objek akan membuat sudut yang pada
dasarnya menentukan ukuran gambar benda pada kaca. Jika
objek yang sama lebih jauh, sudut akan lebih kecil, sehingga
gambar pada kaca juga akan lebih kecil. Ini adalah ide
dasar di balik gambar perspektif. Dapat dilihat pada
gambar berikut:
Geometri proyektif
Page 121
Melukis itu juga merupakan ide dasar di balik
geometri proyektif, yang mengatakan kepada kita
bagaimana gambar-gambar benda pada kaca terkait
dengan posisi benda-benda di dunia nyata, ke posisi
kaca, dan posisi mata. Nama "Proyektif" berasal dari
fakta bahwa pemandangan yang diambil dari kenyataan
menjadi "diproyeksikan" pada kaca. Kita mungkin berpikir,
dari sebuah proyektor dengan cara yang berlawanan,
tentu saja slide proyektor dari lampu bersinar terang
melalui slide (kaca) ke layar. Tetapi jika kita mengganti
lampu dengan mata dan bayangkan sinar cahaya
terbalik dan
datang
di objek,
mereka
akan
memproyeksikan citra dari objek yang ada pada slide.
Ada yang lebih dari geometri proyektif, tentu saja.
Hanya untuk mengisyaratkan masalah yang lebih sulit,
bayangkan bahwa Anda adalah seorang pelukis dari
suatu seperti di atas, tapi salah satu subjek dalam
pemandangan Anda adalah pelukis lain yang
melakukan perspektif menggambar di kanvasnya.
Ketika Anda menggambar di kanvas Anda apa yang ia
ggambar, bagaimana gambar Anda dari fotonya yang
terkait dengan dunia nyata, karena telah mengalami
dua proyeksi? Dan jika ini tampaknya terlalu jauh,
pertimbangkan ini: matahari melemparkan bayangan
di tanah, yang hanya proyeksi benda pada "kanvas"
dari tanah. Jika Anda seorang pelukis pemandangan
dengan bayangan di tanah dan Anda ingin membuat
bayangan dengan benar, Anda benar-benar melukis
proyeksi. Geometri Proyektif bukan hanya bagian dari
geometri Euclidean. Ini mungkin tampak mirip karena
tampaknya untuk menangani terutama dengan
proyeksi benda Euclidean pada bidang Euclidean. Tapi
122
itu tidak semua. Pikirkan tentang contoh kita dari
sepasang rel kereta api berkumpul di cakrawala.
Dalam lukisan Anda dari lintasan, dua baris mewakili
mereka memenuhi di sebuah titik pada kanvas Anda,
tapi apa titik yang mewakili di dunia nyata?
Jawabannya adalah bahwa hal itu merupakan
titik "Jauh di kejauhan" ke arah yang akan dituju
lintasan (dengan asumsi, tentu saja, bahwa dunia
benar-benar datar dan meluas seluas-luasnya). Kita
bisa langsung tahu bahwa sesuatu yang aneh sedang
terjadi, karena geometri Euclidean tidak dilengkapi
dengan poin yang "jauh di takhingga", tetapi contoh ini
menunjukkan
bahwa
geometri
proyektif tidak
memiliki masalah sama sekali yang mewakili titik-titik
tersebut (atau setidaknya proyeksi mereka). Saat ini
geometri proyektif banyak digunakan dalam waktu
cara yang sangat praktis setiap Anda melihat gambar
tiga dimensi pada layar komputer Anda, semua
perhitungan untuk menghasilkan citra realistik
dihitung dengan menggunakan rumus geometri
proyektif. Sifat geometris pertama yang bersifat
proyektif ditemukan pada abad ketiga oleh Pappus of
Alexandria. Geometri proyektif memiliki sejarah yang
sangat kompleks. Geometri ini mulai terkenal dan
dijadikan sebagai bentuk perkembangan formal pada
abad 19 dan ini merupakan hasil perkembangan dari
geometri Euclid. Jika ditelusuri lebih lanjut
berdasarkan konsep-konsep dasarnya maka geometri
ini muncul pada abad ke-14. Dan temuan ini juga
hampir sama dengan Euclid’s Elements yang diletakkan
para ahli sebagai fondasi geometri proyektif di abad 17.
Disinilah sejarah geometri proyektif menjadi menarik,
Geometri proyektif
Page 123
dimana di abad 17 geometri ini tidak popular
dikalangan matematikawan. Dan pada abad 19
geometri proyektif menjadi terkenal dan menjadi
sorotan bagi semua matematikawan. Gemetri proyektif
didefinisikan secara sederhana sebagai sifat-sifat angka
yang tetap atau tidak berubah (invariant) dalam
proyeksi. Proyeksi sendiri secara sederhana dapat
dicontohkan pada pengamatan yang dilakukan pada
papan catur. Jika kita melihat dari depan maka akan
terlihat garis-garis yang ada adalah sejajar, tapi ketika
kita turunkan papan tersebut dan kita lihat dari sudut
pandang yang lain maka garis-garis tersebut terlihat
seperti tidak parallel atau tak sejajar. Dari sudut
pandang geometri kegiatan tersebut merupakan
sebuah proyeksi dari bidang pada kotak-kotak papan
catur. Geometri proyeksi adalah studi tentang sifat
dari garis-garis yang diproyeksikan. Pada abad ke-17
barulah ada seorang matematikawan Perancis yang
berusaha untuk mempelajari geometri proyektif,
Gerard Desargues (1591 – 1661) dianggap sebagai
penemu sejati dari geometri proyektif. Desargues
adalah seorang insinyur dan arsitektur yang tertarik
pada konsep proyeksi. Tidak banyak yang dapat
diketahui tentang kehidupan Deargues. Keluarga (pihak
ayah maupun pihak ibu) adalah keluarga kaya selama
beberapa generasi. Profesi keluarga adalah pengacara
atau hakim di Paris maupun di Lyon. Desargues sering
pergi ke Paris dalam hubungannya dengan proses
hukum guna pemulihan hutang. Meskipun bangkrut,
kelurganya masih memiliki beberapa rumah besar di
Lyon, puri dekat desa Vourles dan kastil kecil yang
dikelilingi oleh tanaman anggur. Pendidikan
124
Desargues tidak susah untuk sekolah tinggi dan
mampu membeli buku-buku yang dia inginkan dan
mampu menikmati kesenangan apapun yang ingin dia
reguk. Sebagai penemu, Desargues, merancang tangga
spiral dan pompa model baru, tapi minat utama adalah
geometri. Dia menemukan sesuatu yang baru, berbeda
dengan geometri Yunani, yang sekarang dieknal
dengan nama “proyeksi” atau geometri “modern”.
Karya-karya Desargues terkesan praktis dengan
judul-judul seperti: Perspekctif (1636), pemotongan
batu untuk membangun gedung (1640) dan penunjuk
waktu terbuatdari batu/sundial (1640). Beberapa
salinan karya Desargues dicetak di Paris pada
tahun1639, namun hanya satu yang dapat diselamatkan, dan
ditemukan kembali pada tahun 1951. Penyebab semua itu
adalah karyanya tidak diterima oleh kalangan
matematikawan. Cara yang dipakai Desargues
untuk memasyarakatkan karya-karyanya adalah lewat
surat yang dikirim kepada teman-teman. Karya-karya
itu hampir semua hilang sampai tahun 1847, namun
salah satu salinan dibuat oleh Phillipe de Lahire, salah
seoarng
pengagum
Desargues ditemukan di
perpustakaan Paris. Karya-karyanya tidak untuk
konsumsi ilmuwan, yang mengikuti penjelajahan
imajinasi, tapi matematikawan “lapangan” dan ahliahli mesin, yang sulit memahami makna dari karyakaryanya. Istilah-istilah yang digunakan, karena ilmu
baru, banyak diambil dari bidang ilmu-ilmu lain yang
sudah mapan. Sekali lagi, metode proyektif tidak
sejalan dengan jaman, yang bertumpukan hanya pada
kemajuan aljabar dan analisis. Namun pada saat itu dia
tidak tertarik pada proyeksi matematika dasar.
Geometri proyektif
Page 125
Sebaliknya dia sangat berminat pada pendidikan
seniman dan insinyur karena hal ini merupakan
pekerjaannya yang paling menonjol. Desargues bukan
matematikawan tunggal yang mempelajari geometri
proyektif di abad ke-17 itu. Ada dua matematikawan
lainnya
yang
mengabdikan
hidup
mereka
untuk mempelajari geometri tersebut. Blaise Pascal dan
Phillippe de Lahire merupakan dua orang yang sangat
berminat pada geometri ini. Pascal lebih cendrung
dipengaruhi oleh Desargues dan dia lebih berminat
pada menyederhanakan sifat-sifat bagian kerucut.
Pada saat itu Pascal membuat suatu esai mengenai
geometri proyektif tapi sayangnya esai tersebut hilang
sehingga kebenarannya sempat diragukan tapi
sebelum esai tersebut hilang Leibniz sempat
membacanya. Pikiran yang brilian diberikan oleh
Pascal dan ahirnya lahir sebuah Teorema Pascal.
Philippe de La Hire juga sangat dipengaruhi
oleh Desargues dan sangat tertarik pada geometri
proyektif. Ia sangat dikenal karena karyanya yang
berjudul Sectiones Conicae (bagian kerucut). Konsep
ini semua ditangani dengan menggunakan geometri
proyektif. La Hire percaya bahwa metode proyektif
jauh lebih kuat dari metode Appolonios. Dengan
menggunakan geometri ini dia berusaha membuktikan
364 dari teorema Appolonios. Dan dia berhasil
membuktikan 300 teorema. Jika diamati secara
seksama maka sejarah geometri ini sangat menarik,
sejak abad 17 dimana Desargues, Pascal dan La Hire berusaha
menemukan teorema untuk geometri ini dan selama lebih
dari 100 tahun teorema itu tidak tersentuh oleh
siapapun. Berdasarkan sejarah yang ada sebenarnya
126
hasil karya Desargues sebenarnya memang tidak
begitu
dihargai
oleh
teman-temannya
dan
lingkungannya pada waktu itu. Hal ini menyebabkan
Geometri Proyeksi menjadi tidak menarik atau tidak
popular pada masanya. Berbeda sekali dengan
geometri analitik pada awal 18. Banyak sekali
matematikawan yang berminat untuk mempelajari
geometri ini secara mendalam. Satu hal yang menjadi
alasan utama mengapa hasil pikiran Desargues
tidak diminati adalah karena geometri ini tidak ada
kejelasannya. Bagaimana seseorang dapat menghargai
suatu karya kalau karya tersebut susah untuk
dimengerti. Sejarah mengaitkan ide-ide Desargues
tidak popular dikalangan matematikawan karena pada
waktu itu Desargues memfokuskan teorema proyeksi
hanya untuk seniman dan pengrajin, dengan kata lain
tidak ada kejelasan dalam hal matematika dan itu
membuat para matematikawan menjadi tidak antusias
pada idenya. Selain itu dalam ide-idenya, Desargues
memakai istilah-istilah yang rumit untuk dimengerti
oleh orang lain hal ini dapat dilihat pada Project
Brouillon, salah satu hasil pekeraan Desargues.
Walaupun diakui juga bahwa ide Desargues sangat
brilliant tapi hal ini menunda kemajuan geomteri
selama beberapa abad. Barulah pada abad ke 19
geometri proyeksi terlahir kembali sebagai hasil
perkembangan dari cabang geometri non-Euclid. Dan
ini mungkin ilmu yang lahir karena adanya suatu
kebutuhan dimana pemikiran manusia sudah mulai
maju.
B.
Tokoh-tokoh dalam Geometri Proyektif
Geometri proyektif
Page 127
1. Girard Desargues
Lahir pada tanggal 21 Februari 1591 di Lyon,
Perancis dan meninggal pada bulan September 1661 di
Lyon, Perancis. Desargues merupakan seorang
matematikawan Perancis yang dianggap sebagai salah
seorang pendiri geometri Proyektif. Pada saat di Paris,
Desargues menjadi bagian dari kumpulan matematika
Marin Mersenne (1588-1648). Dalam kumpulan ini
juga termasuk Descartes (1597– 1650), Etienne Pascal
(1588 – 1651) dan anaknya Blaise Pascal (1623 – 1662).
Pada dasarnya kumpulin ini hanya dibaca oleh
sahabat-sahabat mereka, namun Desargues telah
mempersiapkan
untuk mempublikasikan
hasil
kerjanya yang diterbitkan oleh Abraham Bosse (1602–
1676) yang kini dikenang sebagai pemahat terbaik
tetapi juga sebagai seorang guru perspektif. Desargues
menulis subjek “practical” seperti perspektif (1636),
pemotongan kayu untuk digunakan dalam bangunan
(1640) dan sundial (1640). Tulisannya memiliki isi dan
teori yang padat dalam pendekatan mereka terhadap
subjek yang bersangkutan. Desargues terkenal dengan
128
teorema Desarguesnya pada tahun 1636. Jelas bahwa,
meskipun tekadnya untuk menjelaskan hal-hal ini
dalam bahasa, dan tanpa referensi langsung
ke teorema atau kosakata matematika Kuno, Desargues
sangat menyadari pekerjaan geometers kuno, misalnya
Apollonius dan Pappus.
Dia
memilih
untuk
menjelaskan dirinya sendiri berbeda, mungkin karena
pengakuan bahwa karyanya sendiri juga sangat
berhutang kepada tradisi praktis, khusus untuk studi
perspektif (yang merupakan bentuk proyeksi kerucut).
Tampaknya sangat mungkin bahwa itu sebenarnya
dari karyanya pada perspektif dan hal-hal terkait
bahwa ide-ide baru Desargues muncul. Ketika Error!
Hyperlink reference not valid.Error! Hyperlink reference
not valid.yang diciptakan kembali oleh murid Gaspard
Monge (1746 -1818), penciptaan kembali berasal dari
geometri deskriptif, suatu teknik yang memiliki
banyak kesamaan dengan perspektif.
2.
Pappus of Alexandria
Pappus of Alexandria (Yunani c.290 – c.350)
adalah salah seorang ahli matematika Yunani yang
Geometri proyektif
Page 129
terkenal. Pappus lahir di Alexandria, Mesir sekitar 290
AD. Pappus terkenal denganbuku yang berjudul Synagoge
atau Collection (c.340), dan teorema Pappus dalam
geometri proyektif. Tidak banyak yang diketahui dari
hidupnya kecuali dia mempunyai seorang anak laki-laki yang
bernama Hermodorus sebagai guru di Alexandria (dari
tulisan Pappus sendiri). Collection merupakan hasil karya
Pappus yang sangat terkenal yang berisi ringkasan/ikhtisar
matematika. The Collection diperkirakan ditulis pada
sekitar tahun 340 (sebagian menaksir tahun 325) yang
terdiri dari 8 buku. Karakteristik dari Collection
Pappus adalah mengandung cerita, susunan yang
sistematis, dari hasil yang paling penting yang
diperoleh dari pendahulunya, yang kedua, menjelaskan
dan mengembagkan penemuan sebelumnya, excellent dan
elegan.
Buku I: berisi ulasan tentang aritmatika yang tidak
ditemukan.
Buku II: sebagian hilang tapi diketahui berisi bahasan
tentang metode menangani bilangan-bilangan besar.
Metode untuk mengekspresikan bilangan berpangkat,
diketahui sampai pangkat 10000.
Buku III: berisi masalah geometri, bidang dan ruang.
Buku III dapat dibagi menjadi 5 bagian yaitu: (1) Masalah
yang
paling
terkenal
adalah
menemukan
perbandingan proposional antara dua garis lurus
tertentu. Pappus memberikan beberapa solusi dari
masalah ini, termasuk metode pembuatan aproksimasi
untuk solusi tersebut, dia memberikan solusi sendiri
dalam menemukan sisi kubus yang diberikan
perbandingan tertentu telah diketahui. (2) Membahas
konstruksi aritmatika, geometrik dan perbandingan
130
harmonik antara dua garis lurus, dan masalah
mempresentasikan ketiganya ke dalam gambar yang
sama secara geometri. (3) Berisikan kumpulan
paradoks-paradoks geometrikal yang dikatakan oleh
Pappus diambil dari karya Erycinus. (4) Berisikan lima
bentuk polyhedra yang digambarkan dalam bentuk
ruang. (5) Tambahan oleh penulis di kemudian hari
menjadi solusi lain dari masalah pertama dari buku ini.
Buku IV: judul dan kata pengantar telah hilang,
sehingga program itu harus dikumpulkan dari buku
itu sendiri. Pada awalnya adalah generalisasi yang
terkenal dari Euclid, kemudian diikuti berbagai
teorema lingkaran, yang mengarah pada masalah
pembangunan sebuah lingkaran yang akan membatasi tiga
lingkaran yang diberikan, menyentuh masing-masing
dua lainnya. Hal Ini dan beberapa proposisi lainnya
pada kontak, misalnya kasus lingkaran menyentuh
satu sama lain dan tertulis dalam sosok yang terbuat
dari tiga setengah lingkaran dan dikenal sebagai
arbelos ("shoemakers knife") membentuk bagian
pertama dari buku tersebut. Pappus ternyata
kemudian mempertimbangkan sifat spiral Archimedes,
para conchoid dari Nicomedes (sudah disebutkan
dalam Buku I seperti penyediaan metode penggandaan
kubus), dan kurva paling mungkin ditemukan oleh
Hippias dari Elis sekitar 420 SM, dan dikenal dengan
nama
quadratrix.
Proposisi
30
menjelaskan
pembangunan kurva kelengkungan ganda disebut oleh
Pappus helix pada bola, melainkan digambarkan oleh
sebuah titik yang bergerak seragam di sepanjang busur
lingkaran besar, yang itu sendiri ternyata sekitar
diameter seragam, titik menggambarkan kuadran dan
Geometri proyektif
Page 131
lingkaran besar sebuah revolusi lengkap dalam waktu yang
sama. Luas permukaan termasuk antara kurva dan basis
adalah ditemukan contoh pertama yang diketahui dari
quadrature dari permukaan melengkung. Sisa buku ini
memperlakukan dari tiga bagian dari sebuah sudut,
dan solusi dari masalah yang lebih umum dari jenis
yang sama dengan menggunakan quadratrix dan
spiral. Dalam satu solusi dari masalah pertama adalah
penggunaan tercatat pertama dari properti sebuah
kerucut (hiperbola) dengan mengacu pada fokus dan
direktriks. Buku IV berisi bentuk-bentuk kurva
termasuk di sini adalah bentuk spiral dari Archimedes
dan kuadratrik dari Hippias. Terdapat tiga kategori
problem dalam geometri yang disebut dengan “plane”,
“solid” dan “linear.” Setiap problem mempunyai
penyelesaian yang tepat. Jangan menggunakan pola
garis lurus untuk menyelesaikan problem pada bidang.
Begitu pula problem ruang tidak dapat diselesaikan
dengan menggunakan pola garis lurus atau bidang.
Buku V: diawali dengan bagaimana lebah membangun
sarangnya (bentuk segienam). Bahasan Pappus tentang
hasil penelitian disimpulkan dalam buku ini, seperti
yang dinyatakan: lebah ternyata mengetahui bahwa
bentuk segienam (heksagon) lebih besar daripada
persegipanjang
atau
segitiga.
Sarang
lebah ternyata mampu menyimpan lebih banyak madu
yang dibuat oleh lebah dengan menggunakan bahan
yang sama. Dapat disimpulkan bahwa makin banyak
sudut maka makin banyak mempunyai isi (makin
besar) dan yang paling besar adalah lingkaran. Buku
ini juga berisikan problem tentang isoperimeter,
termasuk peragaan bahwa lingkaran mempunyai luas
132
lebih
besar dibandingkan
dengan
poligon
bentuk apapun. Pokok pikiran ini seperti karya
Zenodorus (± 180 SM). Dalam buku ini juga terdapat
penemuan Archimedes tentang bentuk polyhendra
(bidang dengan tiga belas sisi) yang sering disebut
dengan bidang-bidang (solids) Archimedes.
Buku VI dan buku VII: merangkum buku-buku
matematikawan lain seperti: Throdosius, Autolycus,
Aristarchus, Euclid, Apollonius, Aristaeus dan
Eratoshenes.
Buku VI: menyinggung astronomi dan diberi subjudul
Little Astronomy
banyak
mengandung
perbedaan dengan Greater Astronomy (Almagest) dari
Ptolemy. Buku VI berisi aplikasi matematika dalam
astronomi, optik dan mekanika.
Buku VII: tentang sejarah matematika. Melalui
generalisasi, Pappus hampir menemukan prinsip dasar
geometri analitik. Mempelopori generalisasi problem
yang terkait dengan berbagai jenis kurva tipe baru.
Disebut dengan problem Pappus yang menyebut tiga
atau empat garis seperti halnya Euclid atau
Apollonius. Pengantar Buku VII menjelaskan analisis
persyaratan dan sintesis, dan perbedaan antara
teorema dan masalah. Pappus kemudian menyebutkan
karya-karya Euclid, Apollonius, Aristaeus dan
Eratosthenes, terdapat 33 buku, substansi yang akan ia
beri, dengan lemma yang diperlukan untuk penjelasan
mereka. Buku VII juga berisi tentang: (1) Di bawah De
Sectione Determinata, lemma yang telah ditentukan
manjadi kasus-kasus involusi dari 6 poin. (2) Lemmalemma penting pada Porism Euclid. (3) Sebuah lemma
Surface Loci dari Euclid yang menyatakan bahwa lokus
Geometri proyektif
Page 133
dari sebuah titik sedemikian hingga jarak dari titik
yang diketahui mempunyai jari-jari ke garis lurus yang
diketahui adalah berbentuk sebuah kerucut, dan bukti
bahwa kerucut merupakan parabola, elips, atau
hiperbola. Hal ini tergantung jari-jari sama dengan 0 (r
= 0), kurang atau lebih dari 1 (r >1atau r < 1).
Buku VIII: adalah aplikasi matematika pada bidang
astronomi, optik dan mekanika.
3. Blaise Pascal (1623– 1662)
Blaise pascal lahir pada tanggal 19 juni 1623 di
Clermont, Ferrand dan meninggal dunia pada
tanggal 19 Agustus 1662 merupakan seorang
matematikawan dari Perancis, fisikawan, penemu,
penulis, dan filsafat katolik. Ayahnya barnama
Etienne Pascal seorang hakim dan Ibunya
Antoinette Begon. Pascal merupakan anak yang luar
biasa (pintar) untuk matematika dan ilmu
pengetahuan yang diajarkan oleh ayahnya sendiri.
Ayahnya
melarang
untuk
lebih
mengejar
134
matematika sampai usia 15 tahun agar tidak
merugikan pendidikan bahasa Latin dan Yunani.
Pada usia 12 tahun, ayahnya menemukan bahwa Blaise
Pascal menulis sebuah bukti bahwa jumlah sudut
segitiga sama dengan dua kali sudut sikusiku dengan sepotong batu bara di dinding. Karena
terkesan dengan kemampuan Blaise Pascal, ayahnya
memberinya salinan Euclid’s Elements yang
memang ingin segera dibaca dan dikuasai oleh
Blaise Pascal dan diijinkan untuk duduk sebagai penonton
pada pertemuan beberapa ahli matematika dan ilmuwan
terbesar di Eropa Sebelum menginjak usia 13 tahun.
Blaise Pascal telah membuktikan proposisi ke 32
Euclid dan menemukan kesalahan geometri Rene
Descartes. Pada usia 14 tahun, Blaise Pascal diijinkan
untuk duduk sebagai penonton pada pertemuan
beberapa ahli matematika dan ilmuwan terbesar di
Eropa. Pada usia 16 tahun, ia menyusun makalah
tentang kerucut untuk membantu menjelaskan ide
Desargues tentang kerucut, namun kertas Pascal
hilang.
Blaise Pascal menulis risalah singkat tentang apa
yang disebut “Mystic Hexagram”, “Essai pour les
coniques“, “Essay on Conics” dan mengirimnya ke
Pere Mersenne di Paris yang sampai sekarang kita
kenal sebagai teorema Pascal. Pada tahun 1642,
ketika Pascal masih remaja, dia memulai
mempelopori kalkulator, dan setelah berusaha
selama 3 tahun, dia menemukan mesin hitung
Pascaline. Pascal merupakan matematikawan urutan
pertama. Dia menciptakan dua daerah penelitian
baru. Dia menulis risalah pada subjek geometri
Geometri proyektif
Page 135
proyektif pada usia 16 tahun, dan kemudian
berhubungan dengan Pierre de Fermat pada teori
peluang, sangat mempengaruhi perkembangan
ekonomi modern dan ilmu social.
4. Philippe De La Hire
Lahir pada tanggal 18 Maret 1640 di Paris,
Perancis dan meninggal dunia pada tanggal 21 April
1718 di paris, Perancis. Ayah Philippe De La Hire
bernama Laurent De La Sewa (27 Februari 1606–28
Desember 1656). Ia merupakan seorang pelukis
dengan cara berbeda. Ia menjadi professor di
Akademika Lukisan dan Patung. Ibu Philippe
adalah Marguerite Coquin (meninggal 1669). La
Hire dididik sebagai seorang seniman dan menjadi
terampil dalam menggambar dan melukis.
Meskipun ia tidak menerima pendidikan formal
baik di sekolah atau disebuah universitas, namun
ayahnya mengharapkan anaknya dapat mengikuti
profesinya. Pada saat La Hire berusia 16 tahun,
ayahnya meninggal dunia dan pada saat itu dia
136
berkomitmen penuh untuk hidup sebagai seniman.
Tiga tahun setelah kematian ayahnya, ia membuat
rencana untuk mengunjungi Italia. Ada dua alasan
dia mengunjungi Italia yaitu: ia berharap
kehidupannya lebih baik di Italia dan ayahnya telah
memberikan cinta seni Italia walau ayahnya belum
pernah ke Italia. La Hire berangkat ke Venesia pada
tahun 1660 dan menghabiskan empat tahun untuk
mengembangkan keterampilan artistic dan belajar
geometri. La Hire menulis buku metode grafis
(1673), conic section (1685), sebuah risalah
epicycloids (1694), roulettes (1702), conchoids (1708).
Karya-karyanya conic section dan epicycloids
ditemukan pada pengajaran Desargues dimana ia
merupakan salah seorang pengagum Desargues.
5. Gaspard Monge
Lahir pada tanggal 9 mei 1746 di Beaune,
Bourgogne dan meninggal dunia pada tanggal 28
Juli 1818. Gaspard merupakan seorang ahli
Geometri proyektif
Page 137
matematika Perancis, revolusioner, dan penemu
geometri deskriptif. Ayahnya bernama Jacques Monge,
seorang pedagang yang berasal dari Haute-Savoie di
tenggara Perancis. Ibunya bernama Jeanne Rousseaux
adalah penduduk asli dari Burgundy. Karya-karya
Monge pada akhir abad 18 dan awal abad 19
penting bagi perkembangan geometri proyektif
selanjutnya. Awal abad 19 geometri proyektif
merupakan batu loncatan dari geometri analitik
ke geometri aljabar.
6. Filippo Brunelleschi
Lahir pada tahun 1377 di Florence, Italia dan
meninggal pada tanggal 15 April 1446. Filippo
adalah seorang arsitek terkemuka dan insinyur dari
Renaissance Italia. Ia paling terkenal atas penemuan
perspektif linear dan merancang kubah Katedral
Florence, selain itu juga berprestasi di bidang karya
seni perunggu, arsitektur (gereja dan kapel, benteng,
rumah sakit, dll), matematika, teknik (mesin,
hidrolik, mekanisme jarum jam, teater mesin, dll)
dan bahkan desain kapal. Ayah Filippo bernama
138
Brunellesco yaitu seorang pengacara di Lippo, dan
ibunya bernama Giuliana Spini. Filippo merupakan
anak kedua dari tiga bersaudara. Filippo diberi
pendidikan sastra dan matematika pada saat ia
masih muda. Hal ini betujuan untuk mengikuti jejak
sang ayah sebagai seorang PNS. Filippo juga
terdaftar di Seta della Arte, persekutuan pedagang
sutra, emas, pengrajin logam, dan pekerja perunggu.
Ia menjadi tukang emas pada tahun 1398, pada
tahun 1401, filippo mengikuti kompetisi untuk
merancang satu set pintu perunggu untuk baptistery
di Florence. Selain itu, Filippo juga dikenal sebagai
penemu perspektif linier. Lukisan-lukisan yang
dikenal pertama dalam linier optic geometris
perspektif dibuat oleh Filippo sekitar tahun 1425.
Filippo melukis dengan dua panel, yang pertama
Florentine Baptistery yang terlihat secara frontal
dari portal barat katedral yang belum selesai dan
yang kedua Palazzo Vecchio terlihat miring dari
sudut barat lautnya. Panel Baptistery pertama
dibangun dengan lubang dibor melalui titik hilang
sentries. Filippo menginginkan perspektif barunya
“realisme” yang akan diuji tidak dengan
membandingkan lukisan baptistery ke actual tetapi
untuk refleksi di cermin sesuai dengan hukum optic
geometris Euclidean. Prestasi ini menunjukkan
untuk pertama kalinya bagaimana mereka bisa
melukis gambar mereka yang tidak lagi terlihat
dalam dua dimensi namun sudah terlihat seperti
tiga dimensi.
7. Joseph Diaz Gergonne
Geometri proyektif
Page 139
Joseph Diaz Gergonne lahir 19 Juni 1771 di
Nancy, Perancis, anak dari seorang arsitek dan juga
pelukis. Ia adalah seorang perwira artileri Perancis,
profesor matematika, dan ahli logika dan dia datang
di bawah pengaruh Gaspard Monge. Joseph Diaz
Gergonne kesulitan mempublikasikan karyanya
sehingga dia mendirikan jurnal matematika sendiri.
Gergonne adalah matematikawan pertama yang
menggunakan
istilah
kutub dalam
geometri
tahun 1813. Prinsip dualitas tumbuh dari pekerjaan
Poncelet dan pertama kali dinyatakan Gergonne
pada tahun 1826.
8. Jean Victor Poncelet (1788– 1867)
Jean
Victor
Poncelet
adalah
seorang
matematikawanPerancis, dianggap sebagai bapak
geometri modern dan telah memiliki dampak
signifikan dalam bidang geometri proyektif. Jean
Victor Poncelet lahir di Metz, Perancis tanggal 1 Juli
1788 anak dari Claude Poncelet, seorang pengacara.
Ia dikirim untuk tinggal dengan keluarga Olierdi
Saint-Avold dan kembali ke Metz untuk pendidikan
menengahnya di Lycee. Setelah itu dia menghadiri
Ecole Polytechnique, sebuah sekolah bergengsi di
Paris (1808-1810). Setelah lulus ia bergabung dengan
Korps Militer Engineers dan mencapai pangkat
letnan di AD Perancis. Jean Victor Poncelet ditawan
saat berperang dalam kampanye Rusia Napoleon.
Selama 2 tahun penangkaran, ia bekerja pada bidang
matematika dalam geometri proyektif (bangunan
dari ide-ide Desargues dan Pascal) tetapi risalahnya
tidak dipublikasikan. Ia memisahkan sifat proyektif
140
suatu obyek dan membangun hubungan antara sifat
metrik dan proyektif. Dia dianggap sebagai
pembangun kembali geometri proyektif, karyanya
“Traite des proprietes projectives des figures” dan
“Applications d’analyseet de geometrie”. Jean Victor
Poncelet
mempelajari
conic
section
dan
mengembangkan prinsip dualitas.
9. Jacob Steiner
Jacob Steiner lahir tahun 1796 anak dari Niklaus
Steiner dan Anna Barbara Weber. Jacob Steiner
adalah seorang ahli geometri Swiss yang juga
memiliki dampak signifikan terhadap geometri
proyektif. Steiner tidak belajar membaca dan
menulis sampai dia berusia 14 tahun dan tidak
disekolahkan sampai ia berusia 18 tahun. Pada
usia18 tahun ia meninggalkan rumah untuk
menghadiri sekolah Johann Heinrich Pestalozzi di
Yverdom. Sekolah Pestalozzi memberikan efek yang
baik bagi Steiner untuk matematika dan filsafat
ketika melakukan penelitian dalam matematika.
Geometri proyektif
Page 141
Karyanya melanjutkan pekerjaan Poncelet yang
dikembangkan menjadi teorema Poncelet-Steiner.
Ide-ide dan teoremanya mendorong pertumbuhan
geometri proyektif Karya Poncelet, Steiner dan lainlain tidak dimaksudkan untuk memperpanjang
geometri analitik. Teknik seharusnya sintetik:
di ruang efek proyektif seperti sekarang dipahami
adalah diperkenalkan secara aksiomatik. Akibatnya,
perumusan karya awal dalam geometri proyektif
sehingga memenuhi standar agak sulit.
C. Gambaran Umum Geometri Proyektif
Geometri proyektif mempelajari tentang sifatsifat proyektif yang tidak berubah dalam
transformasi proyektif sehingga geometri ini
berbeda dalam pengaturan, ruang proyeksi dan
beberapa konsep dasar geometri. Berikut adalah
perbedaan antara geometri proyektif dan geometri
Euclid.
1. Secara intuisi, ruang proyektif memiliki titik
lebih banyak daripada ruang Euclid.
2. Dalam geometri proyektif tidak dibicarakan
tentang sudut seperti dalam geometri Euclid,
karena sudut adalah contoh dari konsep
yang berubah dalam transformasi proyektif,
seperti yang terlihat jelas dalam gambar
perspektif.
3. Geometri proyektif tidak didasarkan pada
konsep jarak.
4. Tidak terdapat penggunaan jangka dalam
geometri proyektif sehingga tidak membahas
tentang lingkaran.
142
5. Geometri proyektif menggunakan prinsip
utama seni perspektif yaitu garis sejajar
berpotongan di tak hingga. Namun pada
dasarnya, geometri proyektif dapat dianggap
sebagai perluasan dari geometri Euclid.
Geometri Euclid terkandung dalam geometri
proyektif sehingga teorema terpisah namun
serupa di geometri Euclid dapat dibahas
bersama dalam kerangka kerja geometri
proyektif. Misalnya, garis sejajar dan garis
berpotongan
tidak perlu
diperlakukan
sebagai kasus yang terpisah karena dua garis
sejajar dalam geometri proyektif juga
memiliki titik potong. Titik potong dua garis
sejajar adalah titik di tak hingga.
D. Materi geometri.
1. Pengertian pangkal geometri proyektif
Pengertian pangkal geometri proyektif
adalah titik, garis dan relasi insidensi. Contoh:
Titik B. Garis c. Relasi Insidensi adalah relasi
antara titik dan garis seperti 'terletak di' atau
'memotong'. Sebagai contoh adalah “titik P
terletak pada garis L” atau “garis L1 memotong
garis L2”. Artinya, relasi tersebut adalah relasi
biner yang menggambarkan bagaimana obyekobyek geometri bertemu. Jadi suatu titik dan
suatu garis dikatakan insidensi jika titik itu
terletak pada garis tersebut dan garis tersebut
melalui titik tadi.
2.
Definisi-definisi geometri proyektif
Geometri proyektif
Page 143
a. Himpunan titik-titik disebut collinear jika setiap
titik pada himpunan tersebut insiden dengan garis
yang sama.
b. Garis-garis yang insiden dengan titik yang sama
disebut concurrent
c. Complete quadrangle adalah himpunan dari empat
titik, yang tiga diantaranya tidak collinear dan
enam garis insiden dengan masing-masing
pasangan titik tersebut. empat titik tersebut
disebut vertices (titik sudut) dan enam garis
tersebut disebut sides (sisi)
d. Dua sisi dari Complete quadrangle berlawanan
jika titik insidennya tidak berpotongan pada
kedua garis.
e. Titik diagonal dari Complete quadrangle adalah
titik yang insiden dengan sisi yang berlawanan
pada quadrangle.
f. Segitiga adalah himpunan tiga titik noncollinear
dan tiga garis insiden dengan setiap pasangan
titik tersebut. titik-titik tersebut disebut vertices
dan garis tersebutdisebut sides (sisi)
g. Pencil of points adalah himpunan dari titiktitik yang insiden dengan sebuah garis.
h. Pencil of line adalah himpunan garis yang insiden
dengan sebuah titik.
3. Aksioma-aksioma dalam geometri proyektif
a. Aksioma 1: Terdapat sebuah titik dan sebuah
garis yang tidak insiden.
b. Aksioma 2: Setiap garis insiden dengan minimal
3 titik berbeda.
144
c. Aksioma 3: Dua titik sebarang yang berbeda berinsiden
hanya dengan 1 garis.
d. Aksioma 4: Jika A, B, C, D adalah 4 titik berbeda
sedemikian hingga AB berpotongan dengan CD,
maka AC memotong BD.
e. Aksioma 5: Jika ABC adalah bidang maka
terdapat paling sedikit 1 titik tidak berada pada
bidang tersebut.
f. Aksioma 6: Dua bidang sebarang yang berbeda
memiliki paling sedikit 2 titik potong.
g. Aksioma 7: Tiga titik diagonal pada complete
quadrangle tidak pernah kolinear.
h. Aksioma
8:
Jika
suatu
proyeksi
memproyeksikan tiga titik invarian yang segaris,
maka hasil dari proyeksi setiap titik pada garis
tersebut adalah titik invarian.
Definisi: Titik-titik P1, P2, …… , Pn dikatakan
kolinear jika terdapat sebuah garis yang memuatnya.
Definisi : Jika A, B, C tiga titik yang berbeda dan
nonkolinear, maka bidang yang memuat A, B, C
disebut bidang yang ditentukan oleh A, B, C. Dan
dinotasikan dengan ABC.
4.
Teorema-Teorema dalam Geometri Proyektif
Teorema 1: Dua garis berbeda insiden dengan
tepat satu titik.
Geometri proyektif
Page 145
Bukti:
Andaikan dua garis tersebut memiliki 2
titik potong A dan B. Berdasarkan aksioma 3,
setiap garis ditentukan oleh dua titik tersebut.
Maka dua garis tersebut sama (coincide). Hal ini
kontradiksi dengan yang diketahui bahwa
2 garis tersebut berbeda. Jadi pengandaian
salah. Yang benar kedua garis hanya
perpotongan di 1 titik.
Teorema 2: Sebarang dua garis berbeda yang
sebidang memiliki paling sedikit satu titik
potong.
Bukti:
Misal diberikan garis AC dan BD. ACE
adalah bidang yang memuat AC dan BD. Titik E
tidak pada AC dan BD. Karena bidang ACE
ditentukan oleh pensil garis yang melalui E
dan memotong AC, sedangkan BD menghubungkan
146
2 titik pada garis pensil berbeda. Misal: B pada EA
maka EA = BA. Titik D pada EC maka EC = CD. Maka
BA berpotongan dengan CD. Berdasarkan
aksioma 4, AC dan BD memiliki titik potong.
Teorema 3: Jika titik A tidak terletak pada
garis BC maka A, B, dan C berbeda dan
nonkolinear.
Bukti :
Garis BC memuat 2 titik sebarang yang
berbeda B dan C. Andaikan A = B. Karena B pada
BC maka A juga pada BC. Hal ini kontradisi
dengan yang diketahui. Jadi pengandaian salah.
Yang benar adalah A tidak sama dengan B.
Dengan cara yang sama berlaku bahwa pengandaian A
= C adalah salah. Jadi A, B, C berbeda. Andaikan
A, B, C kolinear. Maka berdasarkan definisi
kolinear, terdapat garis yang memuat ketiga
titik tersebut, Misal A, B, C pada garis l, Karena l
memuat B dan C, maka l = BC …(aksioma 3)
tetapi A juga pada garis l. Akibatnya A termuat
pada garis BC. Hal ini kontradiksi dengan yang
diketahui. Jadi pengandaian salah. Yang benar
adalah A, B, C nonkolinear.
Geometri proyektif
Page 147
Teorema 4 : sebuah garis dan sebuah titik di
luar garis hanya termuat pada sebuah bidang
Teorema 5: Jika dua garis memiliki titik
potong maka garis tersebut sebidang
Bukti:
Misal diberikan garis l dan k dan A pada l,
B pada k. Misal C = (l,k) dengan C pada garis AC,
Maka k = BC dan l = AC. Dari tiga titik yang
berbeda A, B dan C, dapat dibuat sebuah
bidang.
Teorema 6: Jika dua bidang berpotongan maka
perpotongannya adalah sebuah garis
Bukti :
Misal diberikan 2 bidang berbeda U dan
V yang berpotongan. Maka terdapat 2 titik misal A
148
dan B sedemikian hingga titik A dan B
merupakan 2 titik persekutuan bidang U dan
V….(aksioma 6). Dari A dan B dapat dibuat
garis AB….(aksioma 3). Jadi garis AB pada
bidang U dan juga garis AB pada bidang V.
Akibatnya AB merupakan garis persekutuan
bidang U dan V. Karena dalam aksioma 6 hanya
dikatakan bahwa minimal perpotongan 2
bidang adalah 2 titik, maka memungkinkan
terdapat titik lain C dengan C pada bidang U
dan C juga pada bidang V. Andaikan C tidak
pada garis AB. Maka AB dan C termuat pada 1
bidang ABC…(teorema 4). Padahal AB dan C
merupakan persekutuan 2 bidang U dan V. Hal
ini kontradiksi dengan yang diketahui
bahwa bidang U dan bidang V adalah 2 bidang
yang berbeda. Akibatnya pengandaian salah,
yang benar C pada garis AB. Jadi hanya
garis AB yang merupakan titik potong bidang U
dan V.
Akibat :
Jika sebuah garis termuat pada dua buah
bidang yang berbeda, maka garis
tersebut
adalah perpotongan kedua bidang.
Teorema 7: Terdapat empat titik sebidang yang
tiga diantaranya tidak collinear
Geometri proyektif
Page 149
Bukti:
Berdasarkan 3 aksioma pertama, terdapat
2 garis berbeda yang memiliki titik potong dan
masing-masing memuat paling sedikit 2 titik
selain titik potong tadi. Misal: EA memuat B, EC
memuat D. Akan dibuktikan A, B, C, D
nonkolinear. Andaikan A, B, C kolinear. Maka E
pada AB akan kolinear dengan ketiga titik
tersebut. Sehingga EA = EC. Kontradiksi dengan
permisalan bahwa EA tidak sama dengan EC.
Jadi permisalan salah, yang benar adalah A, B, C
noncolinear
Prinsip Dualitas
Salah satu sifat yang istimewa dari
geometri proyektif ialah prinsip dualitasnya
(principle of duality) yang menyatakan, bahwa
dalam bidang proyektif setiap definisi tetap
berarti dan setiap dalil tetap benar, apabila kita
tukar kata titik dengan garis (terletak pada
dengan melalui, menghubungkan dengan
memotong, segaris dengan berpotongan pada
satu titik). Dalam aksioma 1 dinyatakan bahwa
“terdapat sebuah titik dan sebuah garis yang
tidak insiden”. Berdasarkan prinsip dualitas,
150
dengan mengganti istilah “titik” dengan“garis”
dan istilah “garis” dengan “titik” diperoleh dual
aksioma 1 adalah aksioma 1 itu
sendiri. Dengan cara yang sama terhadap
aksioma berikutnya, diperoleh teorema- teorema
berikut.
Teorema 8: (dual aksioma 2) Sebarang titik insiden
dengan minimal 3 garis berbeda
Bukti:
Berdasarkan aksioma 1, terdapat sebuah titik
dan sebuah garis yang tidak insiden, misal titik
A dan garis BC tidak insiden. Berdasarkan
aksioma 2, garis BC memuat minimal 3 titik
berbeda yaitu B, C dan D. Berdasarkan aksioma
3, dapat dibuat garis AB, AC dan AD.
Teorema 9: (dual aksioma 3) Sebarang 2 garis
berbeda insiden dengan tepat 1 titik.
Teorema 10: (dual aksioma4) Jika a, b, c, d adalah
4 garis berbeda sedemikian hingga a∩b segaris
dengan c∩d, maka a∩c segaris dengan b∩d
Geometri proyektif
Page 151
Teorema 11: (dual aksioma 7) 3 garis diagonal
pada complete quadrilateral tidak pernah konkuren
Perspektif
Elementary correspondence
Pemetaan 1-1 antara Pencil of points dengan pencil
of lines
disebut dengan
Elementary
correspondence jika setiap titik pada Pencil of points
insiden dengan garis yang koresponden dengan pencil
of lines
Perspektivity
Pemetaan 1-1 antara dua Pencil of points disebut
perspektivitas jika garis insiden dengan titik
yang berkorespondensi dengan dua Pencil of
points concurrent. Titik dimana garis tersebut
berpotongan disebut center of the perspectivity
Pemetaan 1-1 antara dua Pencil of lines disebut
perspektivitas jika titik insiden dengan garis
yang berkorespondensi dengan dua Pencil of lines
collinear.
Garis yang memuat titik yang berpotongan
disebut axis of the perspectivity.
Proyektif
Proyektivitas
adalah
perluasan
dari
perspektivitas. Dua bangun F dan F’ dikatakan
proyektivitas jika yang satu dapat diperoleh dari
yang lain dengan suatu transformasi proyektif,
yaitu jika ada deretan bangun berhingga F1,
F2,…,Fk sedemikian hingga F perspektif dengan
152
F1, F1 perspektif dengan F2, dan seterusnya
hingga
Fk perspektif
dengan F’.
Dapat
juga dikatakan bahwa proyektivitas adalah hasil
kali dari perspektivitas. Dua buah bangun F dan
F’ yang perspektif dari suatu titik O dinyatakan
dengan F𝑂F’ dan dua bangun yang perspektif d
∧
ari suatu garis dinyatakan
dengan F∧F’
Maka jika F∧F1∧F2∧F3∧ ……∧Fk∧F’, dikatakan
F dan F’ proyektif dan dinyatakan dengan
F∧F’. Antara dua bangun yang proyektif selalu
ada korespondensi satu-satu antara unsurunsurnya. Perspektivitas adalah keadaan
khusus dari proyektivitas.
Teorema Desargues: Dalam ruang proyektif, 2
segitiga berada pada perspektif aksial, jika dan
hanya jika keduanya berada pada perspektif
terpusat
Atau dapat dinyatakan sebagai:
𝐴𝐵 ∩ 𝑎𝑏, 𝐴𝐶 ∩ 𝑎𝑐, 𝐵𝐶 ∩ 𝑏𝑐 kolinear, jika dan
hanya jika Aa, Bb, Cc kongkuren
Geometri proyektif
Page 153
Bukti :
Bukti jika Aa, Bb, Cc konkuren maka AB∩ab,
AC∩ac, dan BC∩bc kolinear:
Garis (AB) dan (ab) berpotongan karena
keduanya terletak pada bidang yang dibentang
oleh A, B, a, b. Misal x = (AB) ∩ (ab). (A, B) terletak
pada bidang yang memuat segitiga ABC. (a.b)
terletak pada bidang yang memuat segitiga abc.
Maka x terletak di perpotongan bidang (misal
garis h). Jadi x pada garis h….(*). Dengan cara
yang sama berlaku untuk dua titik perpotongan lainnya
yaitu y = (AC) ∩ (a.c) , z = (BC) ∩ (b.c) Maka y, z
pada garis h….(**). Dari (*) dan (**) maka x, y,
z kolinear.
Dengan
menggunakan
dual
dari
“ jika Aa, Bb, Cc konkuren maka AB∩ab, AC∩a
c, dan BC∩bc kolinear”
154
maka “jika AB∩ab, AC∩ac, dan BC∩bc kolinear
maka Aa, Bb, Cc konkuren” terjamin
kebenarannya. Maka terbukti bahwa sifat
implikasi yang
terdapat
pada
teorema
Desargues berlaku. Bukti di atas berlaku jika
kedua segitiga terletak pada bidang yang
berbeda, Namun jika keduanya berada pada bidang
yang sama, teorema Desargues bias dibuktikan
dengan memilih titik di luar bidang yang
memuat segitiga tersebut. Dengan titik ini, salah
satu segitiga diangkat keluar dari bidang
sehingga argumen di atas berlaku dan
kemudian memproyeksikan kembali ke bidang.
Langkah terakhir dari bukti gagal, jika ruang
proyeksi memiliki dimensi kurang dari 3,
karena tidak mungkin untuk menemukan
sebuah titik di luar bidang. Dualitas dari
teorema Desargues adalah teorema Desargues
itu sendiri. Hal inidisebabkan dalam teorema ini
terdapat biimplikasi dengan implikasi yang
pertama adalah dual dari implikasi kedua.
Teorema Pappus: Jika diberikan himpunan tiga
titik A1, A2, A3 kolinear dan himpunan tiga titik
B1, B2, B3 yang juga kolinear, maka titik X =
A1B2∩A2B1, Y = A1B3∩A3B1, dan Z =
A2B3∩A3B2 adalah kolinear.
Geometri proyektif
Page 155
Bukti:
A2A3𝐵1xy𝐴1B2B3 sehingga A2A3∧B2B3 dan
∧
∧
𝐵1
A1A2A3 xyz𝐴1B1B2B3
∧
∧
sehingga A1A2A3∧B1B2B3 dan karena A1, A2,
A3 kolinear begitu juga B1,B2,B3 kolinear
akibatnya x, y, z kolinear
Dualitas Teorema Pappus: Diberikan himpunan
garis konkuren A, B, C, dan himpunan garis
konkuren a,b, c, maka garis x, y, z yang secara
terurut didefinisikan oleh pasangan titik potong
A∩b dan a∩B, A∩c dan a∩C, B∩c dan b∩C adalah
konkuren.
156
Matematikawan Jerman Gerhard Hessenberg
membuktikan
bahwa
teorema
Pappus
menyiratkan Teorema Desargues's
Teorema Pascal :
Jika titik- titik A1, A2, A3, B1, B2, B3
terletak
pada lingkaran, maka X = A1B2∩A2B1, Y =
A1B3∩A3B1, Z = A2B3∩A3B2 kolinear.
Geometri proyektif
Page 157
E. Aplikasi Geometri Proyektif
Geometri proyektif banyak digunakan dalam
waktu sangat praktis dengan segalacara anda
melihat gambar tiga dimensi pada layar komputer
Anda, semua perhitunganuntuk menghasilkan citra
realistik dihitung dengan menggunakan rumus
geometri proyektif.
Kamera lubang jarum (Pinhole)
Sebuah kamera lubang jarum memberikan ilustrasi
perspektif yang sangatbagus. Sebuah kamera lubang
jarum hanya kotak lampu-ketat dengan satu
filmmelekat di dalam wajah dan dengan lubang
jarum pada wajah berlawanan yangtercakup sampai
kita ingin mengambil foto. Untuk mengambil foto,
titik
lubang
jarum di arahkan yang benar, menangkap sampai fil
m benar terkena, tutup lagi, kemudian keluarkan
dan mengembangkan film di kamar gelap.
158
Di sini, tentu saja, kami akan pertimbangkan kamera
lubang jarum ideal dimana lubang jarum
merupakan titik kecil tak berhingga dalam sebuah
kotak dengandinding tipis tak terhingga di alam
semesta dimana cahaya bergerak dalam garislurus
sempurna. Dalam dunia nyata, lubang jarum harus
memiliki beberapa daerah, dinding kamera dengan
beberapa ketebalan, dan ketika cahaya nyata
melewatilubang kecil, itu terdifraksi, atau tersebar
sedikit, tergantung pada ukuran dan bentuk lubang.,
titik adalah lubang jarum di depan kamera, dan film
terpasang ke sisi berlawanan kotak. Bayangkan
Anda mengambil foto garis pada sebelah kanan
dengan titik ditandai di atasnya. Cahaya tersebar
dari setiap titik ke segala arah, namun hanya sinar
cahaya yang ditujukan tepat pada lubang jarumakan
mampu mencapai film. Dengan demikian citra
intinya adalah pada film, dan sebagainya.
Perhatikan bahwa ini membalikkan atas dan bawah,
jadi jika Anda terus melacak akhir film itu ketika
anda mengambil foto, hal-hal ke arah bawah akan
menciptakan gambar ke atas film. Demikian pula,
kiri dan kanan tertukar pada selembar dua dimensi
dari film.
Geometri proyektif
Page 159
Dalam dunia nyata, tentu saja, objek dalam foto
tersebut tidak perlu berbaring di garis paralel ke
bagian belakang kamera. Mereka dapat berada di
mana saja dalam ruang. Perhatikan juga bahwa kita
telah menarik sepotong satu dimensi kamera, dan
film adalah dua dimensi, dan objek kepentingan
dapat terletak di mana saja di dunia tiga dimensi. Ini
adalah
pelajaran
untuk
berpikir
tentang
keterbatasan foto kamera. Bagaimana jika kamera
mengambil foto garis dengan titik yang ditandai?
Bagaimana titik tersebut menjadi spasi pada film?
Bagaimana perubahannya jika garis tidak sejajar
dengan kamera kembali? Bagaimana jika kamera
belakang tidak sejajar dengan bagian depan kamera
dimana lubang jarum itu? Akhirnya, perhatikan
bahwa contoh sebelumnya kita melukis di atas
sepotong kaca "seperti" kamera lubang jarum di
mana film ini di depan lubang jarum (jelas kamera
fisik tidak mungkin, tapi itu menunjukkan bahwa
gagasan tentang proyeksi matematis masuk akal,
tidak peduli dimana "film" ini.
160
GEOMETRI PROYEKTIF
A.
Sejarah Perkembangan Geometri Proyektif
Geometri proyektif mulai dipelajari pada
periode Renaissance, abad 14 sampai 16. Geometri
proyektif muncul ketika seniman-seniman mencoba
teknik baru untuk memperoleh hasil yang bagus dalam
memindahkan objek 3D ke bentuk 2D. Sebelum adanya
geometri proyektif, pelukis susah menampilkan
bagaimana melukis garis sejajar di atas kanvas.
Seniman ingin menampilkan garis sejajar, seperti
pinggir jalan, karena sejajar pinggiran jalan tersebut,
terlihat berubah dalam lukisan dengan apa yang
dilihat nyata oleh orang. Usaha untuk mewujudkan
gambar yang realistik di dunia ke dalam bentuk 2D
dipelajari oleh banyak seniman selama periode
Renaissance. Salah satunya adalah Albrecht Durer.
Durer merupakan seniman yang terkenal di Jerman
yang bekerja sebagai pelukis dan pengukir kayu. Dia
bekerja keras untuk menampilkan secara nyata semua
yang ada disekitarnya. Tujuan ini membawa
Durer untuk mempelajari geometri. Dia sebagai
Geometri proyektif
Page 119
penemu aturan geometri untuk merubah objek 3D ke
bentuk 2D.
Kita dapat belajar banyak tentang bagaimana
orang melihat cara kerja dunia dengan seninya. Dalam
lukisan, anak panah pemanah bergerak lurus secara
sempurna hingga ia mencapai puncaknya, pada saat
mereka berhenti tepat di titik, pada sudut yang tajam
dan jatuh langsung ke bumi. Sebelum masa renaisans
gambar dan lukisan dimulai dengan representasi dari
pelukis, orang yang digambar akan lebih kecil
dibandingkan sesungguhnya agar terlihat nyata.
Bahkan, Giotto, pelukis yang hidup dari sekitar 12661337 adalah yang pertama menyadari bahwa ukuran
relatif dan bentuk sesuatu harus dimodifikasi dalam
lukisan untuk membuatnya tampak lebih nyata. Tentu
saja dia tidak tahu persis bagaimana melakukan ini,
sehingga beberapa lukisannya muncul sedikit aneh
(ada beberapa koreksi untuk perspektif, tapi itu
dilakukan secara tidak benar). Sungguh mengejutkan,
karena semua orang sejak awal (sebelum pada
kenyataannya)
pasti
melihat orang-orang
yang
jaraknya jauh terlihat kecil. Tentu saja ada alasan
psikologis luar biasa untuk kesalahan representasi ini.
Kita "tahu" bahwa meskipun orang itu jauh, dia benarbenar tetap dengan ukuran yang sama. Gambar
tentang yang lainnya (orang-orang, bangunan, atau
pegunungan) lebih kecil pada gambar, disebut gambar
perspektif.
Sekarang kita tahu cara menggambar perspektif,
ini benar-benar jelas bahwa itu adalah cara yang
"benar" untuk menggambar. Kita tahu bahwa jika kita
melihat sepasang rel kereta api di tanah datar terus ke
120
cakrawala, sepasang rel itu akan bertemu di sebuah
titik, dan juga bahwa garis lintasannya akan muncul
lebih dekat di kejauhan, meskipun kita tahu bahwa di
dunia nyata jarak satu sama lain adalah sama. Tentang
bagaimana membuat suatu pemandangan dalam
perspektif, ada cara yang mekanis untuk mendapatkan
tampilan yang sangat akurat. Hanya dengan menggunakan
sepotong kaca, dan menjaga kepala Anda di posisi
yang sama persis (secara teknis, Anda harus menggunakan
hanya satu mata, dan menjaga pandangan Anda). Caranya,
di mana pun Anda melihat hijau melalui kaca, tandai
cat hijau pada saat itu pada kaca. Cat merah di mana
Anda melihat merah, dan sebagainya, dan itu jelas
bahwa jika Anda dapat mencocokkan warna persis, Anda telah
melukis sebuah pemandangan pada kaca dalam perspektif yang
sempurna. Jika Anda membayangkan bahwa garis
terang mengikuti ketika bergerak dari berbagai objek
ke mata Anda melalui kaca, sinar cahaya dari atas dan
bawah dari sebuah objek akan membuat sudut yang pada
dasarnya menentukan ukuran gambar benda pada kaca. Jika
objek yang sama lebih jauh, sudut akan lebih kecil, sehingga
gambar pada kaca juga akan lebih kecil. Ini adalah ide
dasar di balik gambar perspektif. Dapat dilihat pada
gambar berikut:
Geometri proyektif
Page 121
Melukis itu juga merupakan ide dasar di balik
geometri proyektif, yang mengatakan kepada kita
bagaimana gambar-gambar benda pada kaca terkait
dengan posisi benda-benda di dunia nyata, ke posisi
kaca, dan posisi mata. Nama "Proyektif" berasal dari
fakta bahwa pemandangan yang diambil dari kenyataan
menjadi "diproyeksikan" pada kaca. Kita mungkin berpikir,
dari sebuah proyektor dengan cara yang berlawanan,
tentu saja slide proyektor dari lampu bersinar terang
melalui slide (kaca) ke layar. Tetapi jika kita mengganti
lampu dengan mata dan bayangkan sinar cahaya
terbalik dan
datang
di objek,
mereka
akan
memproyeksikan citra dari objek yang ada pada slide.
Ada yang lebih dari geometri proyektif, tentu saja.
Hanya untuk mengisyaratkan masalah yang lebih sulit,
bayangkan bahwa Anda adalah seorang pelukis dari
suatu seperti di atas, tapi salah satu subjek dalam
pemandangan Anda adalah pelukis lain yang
melakukan perspektif menggambar di kanvasnya.
Ketika Anda menggambar di kanvas Anda apa yang ia
ggambar, bagaimana gambar Anda dari fotonya yang
terkait dengan dunia nyata, karena telah mengalami
dua proyeksi? Dan jika ini tampaknya terlalu jauh,
pertimbangkan ini: matahari melemparkan bayangan
di tanah, yang hanya proyeksi benda pada "kanvas"
dari tanah. Jika Anda seorang pelukis pemandangan
dengan bayangan di tanah dan Anda ingin membuat
bayangan dengan benar, Anda benar-benar melukis
proyeksi. Geometri Proyektif bukan hanya bagian dari
geometri Euclidean. Ini mungkin tampak mirip karena
tampaknya untuk menangani terutama dengan
proyeksi benda Euclidean pada bidang Euclidean. Tapi
122
itu tidak semua. Pikirkan tentang contoh kita dari
sepasang rel kereta api berkumpul di cakrawala.
Dalam lukisan Anda dari lintasan, dua baris mewakili
mereka memenuhi di sebuah titik pada kanvas Anda,
tapi apa titik yang mewakili di dunia nyata?
Jawabannya adalah bahwa hal itu merupakan
titik "Jauh di kejauhan" ke arah yang akan dituju
lintasan (dengan asumsi, tentu saja, bahwa dunia
benar-benar datar dan meluas seluas-luasnya). Kita
bisa langsung tahu bahwa sesuatu yang aneh sedang
terjadi, karena geometri Euclidean tidak dilengkapi
dengan poin yang "jauh di takhingga", tetapi contoh ini
menunjukkan
bahwa
geometri
proyektif tidak
memiliki masalah sama sekali yang mewakili titik-titik
tersebut (atau setidaknya proyeksi mereka). Saat ini
geometri proyektif banyak digunakan dalam waktu
cara yang sangat praktis setiap Anda melihat gambar
tiga dimensi pada layar komputer Anda, semua
perhitungan untuk menghasilkan citra realistik
dihitung dengan menggunakan rumus geometri
proyektif. Sifat geometris pertama yang bersifat
proyektif ditemukan pada abad ketiga oleh Pappus of
Alexandria. Geometri proyektif memiliki sejarah yang
sangat kompleks. Geometri ini mulai terkenal dan
dijadikan sebagai bentuk perkembangan formal pada
abad 19 dan ini merupakan hasil perkembangan dari
geometri Euclid. Jika ditelusuri lebih lanjut
berdasarkan konsep-konsep dasarnya maka geometri
ini muncul pada abad ke-14. Dan temuan ini juga
hampir sama dengan Euclid’s Elements yang diletakkan
para ahli sebagai fondasi geometri proyektif di abad 17.
Disinilah sejarah geometri proyektif menjadi menarik,
Geometri proyektif
Page 123
dimana di abad 17 geometri ini tidak popular
dikalangan matematikawan. Dan pada abad 19
geometri proyektif menjadi terkenal dan menjadi
sorotan bagi semua matematikawan. Gemetri proyektif
didefinisikan secara sederhana sebagai sifat-sifat angka
yang tetap atau tidak berubah (invariant) dalam
proyeksi. Proyeksi sendiri secara sederhana dapat
dicontohkan pada pengamatan yang dilakukan pada
papan catur. Jika kita melihat dari depan maka akan
terlihat garis-garis yang ada adalah sejajar, tapi ketika
kita turunkan papan tersebut dan kita lihat dari sudut
pandang yang lain maka garis-garis tersebut terlihat
seperti tidak parallel atau tak sejajar. Dari sudut
pandang geometri kegiatan tersebut merupakan
sebuah proyeksi dari bidang pada kotak-kotak papan
catur. Geometri proyeksi adalah studi tentang sifat
dari garis-garis yang diproyeksikan. Pada abad ke-17
barulah ada seorang matematikawan Perancis yang
berusaha untuk mempelajari geometri proyektif,
Gerard Desargues (1591 – 1661) dianggap sebagai
penemu sejati dari geometri proyektif. Desargues
adalah seorang insinyur dan arsitektur yang tertarik
pada konsep proyeksi. Tidak banyak yang dapat
diketahui tentang kehidupan Deargues. Keluarga (pihak
ayah maupun pihak ibu) adalah keluarga kaya selama
beberapa generasi. Profesi keluarga adalah pengacara
atau hakim di Paris maupun di Lyon. Desargues sering
pergi ke Paris dalam hubungannya dengan proses
hukum guna pemulihan hutang. Meskipun bangkrut,
kelurganya masih memiliki beberapa rumah besar di
Lyon, puri dekat desa Vourles dan kastil kecil yang
dikelilingi oleh tanaman anggur. Pendidikan
124
Desargues tidak susah untuk sekolah tinggi dan
mampu membeli buku-buku yang dia inginkan dan
mampu menikmati kesenangan apapun yang ingin dia
reguk. Sebagai penemu, Desargues, merancang tangga
spiral dan pompa model baru, tapi minat utama adalah
geometri. Dia menemukan sesuatu yang baru, berbeda
dengan geometri Yunani, yang sekarang dieknal
dengan nama “proyeksi” atau geometri “modern”.
Karya-karya Desargues terkesan praktis dengan
judul-judul seperti: Perspekctif (1636), pemotongan
batu untuk membangun gedung (1640) dan penunjuk
waktu terbuatdari batu/sundial (1640). Beberapa
salinan karya Desargues dicetak di Paris pada
tahun1639, namun hanya satu yang dapat diselamatkan, dan
ditemukan kembali pada tahun 1951. Penyebab semua itu
adalah karyanya tidak diterima oleh kalangan
matematikawan. Cara yang dipakai Desargues
untuk memasyarakatkan karya-karyanya adalah lewat
surat yang dikirim kepada teman-teman. Karya-karya
itu hampir semua hilang sampai tahun 1847, namun
salah satu salinan dibuat oleh Phillipe de Lahire, salah
seoarng
pengagum
Desargues ditemukan di
perpustakaan Paris. Karya-karyanya tidak untuk
konsumsi ilmuwan, yang mengikuti penjelajahan
imajinasi, tapi matematikawan “lapangan” dan ahliahli mesin, yang sulit memahami makna dari karyakaryanya. Istilah-istilah yang digunakan, karena ilmu
baru, banyak diambil dari bidang ilmu-ilmu lain yang
sudah mapan. Sekali lagi, metode proyektif tidak
sejalan dengan jaman, yang bertumpukan hanya pada
kemajuan aljabar dan analisis. Namun pada saat itu dia
tidak tertarik pada proyeksi matematika dasar.
Geometri proyektif
Page 125
Sebaliknya dia sangat berminat pada pendidikan
seniman dan insinyur karena hal ini merupakan
pekerjaannya yang paling menonjol. Desargues bukan
matematikawan tunggal yang mempelajari geometri
proyektif di abad ke-17 itu. Ada dua matematikawan
lainnya
yang
mengabdikan
hidup
mereka
untuk mempelajari geometri tersebut. Blaise Pascal dan
Phillippe de Lahire merupakan dua orang yang sangat
berminat pada geometri ini. Pascal lebih cendrung
dipengaruhi oleh Desargues dan dia lebih berminat
pada menyederhanakan sifat-sifat bagian kerucut.
Pada saat itu Pascal membuat suatu esai mengenai
geometri proyektif tapi sayangnya esai tersebut hilang
sehingga kebenarannya sempat diragukan tapi
sebelum esai tersebut hilang Leibniz sempat
membacanya. Pikiran yang brilian diberikan oleh
Pascal dan ahirnya lahir sebuah Teorema Pascal.
Philippe de La Hire juga sangat dipengaruhi
oleh Desargues dan sangat tertarik pada geometri
proyektif. Ia sangat dikenal karena karyanya yang
berjudul Sectiones Conicae (bagian kerucut). Konsep
ini semua ditangani dengan menggunakan geometri
proyektif. La Hire percaya bahwa metode proyektif
jauh lebih kuat dari metode Appolonios. Dengan
menggunakan geometri ini dia berusaha membuktikan
364 dari teorema Appolonios. Dan dia berhasil
membuktikan 300 teorema. Jika diamati secara
seksama maka sejarah geometri ini sangat menarik,
sejak abad 17 dimana Desargues, Pascal dan La Hire berusaha
menemukan teorema untuk geometri ini dan selama lebih
dari 100 tahun teorema itu tidak tersentuh oleh
siapapun. Berdasarkan sejarah yang ada sebenarnya
126
hasil karya Desargues sebenarnya memang tidak
begitu
dihargai
oleh
teman-temannya
dan
lingkungannya pada waktu itu. Hal ini menyebabkan
Geometri Proyeksi menjadi tidak menarik atau tidak
popular pada masanya. Berbeda sekali dengan
geometri analitik pada awal 18. Banyak sekali
matematikawan yang berminat untuk mempelajari
geometri ini secara mendalam. Satu hal yang menjadi
alasan utama mengapa hasil pikiran Desargues
tidak diminati adalah karena geometri ini tidak ada
kejelasannya. Bagaimana seseorang dapat menghargai
suatu karya kalau karya tersebut susah untuk
dimengerti. Sejarah mengaitkan ide-ide Desargues
tidak popular dikalangan matematikawan karena pada
waktu itu Desargues memfokuskan teorema proyeksi
hanya untuk seniman dan pengrajin, dengan kata lain
tidak ada kejelasan dalam hal matematika dan itu
membuat para matematikawan menjadi tidak antusias
pada idenya. Selain itu dalam ide-idenya, Desargues
memakai istilah-istilah yang rumit untuk dimengerti
oleh orang lain hal ini dapat dilihat pada Project
Brouillon, salah satu hasil pekeraan Desargues.
Walaupun diakui juga bahwa ide Desargues sangat
brilliant tapi hal ini menunda kemajuan geomteri
selama beberapa abad. Barulah pada abad ke 19
geometri proyeksi terlahir kembali sebagai hasil
perkembangan dari cabang geometri non-Euclid. Dan
ini mungkin ilmu yang lahir karena adanya suatu
kebutuhan dimana pemikiran manusia sudah mulai
maju.
B.
Tokoh-tokoh dalam Geometri Proyektif
Geometri proyektif
Page 127
1. Girard Desargues
Lahir pada tanggal 21 Februari 1591 di Lyon,
Perancis dan meninggal pada bulan September 1661 di
Lyon, Perancis. Desargues merupakan seorang
matematikawan Perancis yang dianggap sebagai salah
seorang pendiri geometri Proyektif. Pada saat di Paris,
Desargues menjadi bagian dari kumpulan matematika
Marin Mersenne (1588-1648). Dalam kumpulan ini
juga termasuk Descartes (1597– 1650), Etienne Pascal
(1588 – 1651) dan anaknya Blaise Pascal (1623 – 1662).
Pada dasarnya kumpulin ini hanya dibaca oleh
sahabat-sahabat mereka, namun Desargues telah
mempersiapkan
untuk mempublikasikan
hasil
kerjanya yang diterbitkan oleh Abraham Bosse (1602–
1676) yang kini dikenang sebagai pemahat terbaik
tetapi juga sebagai seorang guru perspektif. Desargues
menulis subjek “practical” seperti perspektif (1636),
pemotongan kayu untuk digunakan dalam bangunan
(1640) dan sundial (1640). Tulisannya memiliki isi dan
teori yang padat dalam pendekatan mereka terhadap
subjek yang bersangkutan. Desargues terkenal dengan
128
teorema Desarguesnya pada tahun 1636. Jelas bahwa,
meskipun tekadnya untuk menjelaskan hal-hal ini
dalam bahasa, dan tanpa referensi langsung
ke teorema atau kosakata matematika Kuno, Desargues
sangat menyadari pekerjaan geometers kuno, misalnya
Apollonius dan Pappus.
Dia
memilih
untuk
menjelaskan dirinya sendiri berbeda, mungkin karena
pengakuan bahwa karyanya sendiri juga sangat
berhutang kepada tradisi praktis, khusus untuk studi
perspektif (yang merupakan bentuk proyeksi kerucut).
Tampaknya sangat mungkin bahwa itu sebenarnya
dari karyanya pada perspektif dan hal-hal terkait
bahwa ide-ide baru Desargues muncul. Ketika Error!
Hyperlink reference not valid.Error! Hyperlink reference
not valid.yang diciptakan kembali oleh murid Gaspard
Monge (1746 -1818), penciptaan kembali berasal dari
geometri deskriptif, suatu teknik yang memiliki
banyak kesamaan dengan perspektif.
2.
Pappus of Alexandria
Pappus of Alexandria (Yunani c.290 – c.350)
adalah salah seorang ahli matematika Yunani yang
Geometri proyektif
Page 129
terkenal. Pappus lahir di Alexandria, Mesir sekitar 290
AD. Pappus terkenal denganbuku yang berjudul Synagoge
atau Collection (c.340), dan teorema Pappus dalam
geometri proyektif. Tidak banyak yang diketahui dari
hidupnya kecuali dia mempunyai seorang anak laki-laki yang
bernama Hermodorus sebagai guru di Alexandria (dari
tulisan Pappus sendiri). Collection merupakan hasil karya
Pappus yang sangat terkenal yang berisi ringkasan/ikhtisar
matematika. The Collection diperkirakan ditulis pada
sekitar tahun 340 (sebagian menaksir tahun 325) yang
terdiri dari 8 buku. Karakteristik dari Collection
Pappus adalah mengandung cerita, susunan yang
sistematis, dari hasil yang paling penting yang
diperoleh dari pendahulunya, yang kedua, menjelaskan
dan mengembagkan penemuan sebelumnya, excellent dan
elegan.
Buku I: berisi ulasan tentang aritmatika yang tidak
ditemukan.
Buku II: sebagian hilang tapi diketahui berisi bahasan
tentang metode menangani bilangan-bilangan besar.
Metode untuk mengekspresikan bilangan berpangkat,
diketahui sampai pangkat 10000.
Buku III: berisi masalah geometri, bidang dan ruang.
Buku III dapat dibagi menjadi 5 bagian yaitu: (1) Masalah
yang
paling
terkenal
adalah
menemukan
perbandingan proposional antara dua garis lurus
tertentu. Pappus memberikan beberapa solusi dari
masalah ini, termasuk metode pembuatan aproksimasi
untuk solusi tersebut, dia memberikan solusi sendiri
dalam menemukan sisi kubus yang diberikan
perbandingan tertentu telah diketahui. (2) Membahas
konstruksi aritmatika, geometrik dan perbandingan
130
harmonik antara dua garis lurus, dan masalah
mempresentasikan ketiganya ke dalam gambar yang
sama secara geometri. (3) Berisikan kumpulan
paradoks-paradoks geometrikal yang dikatakan oleh
Pappus diambil dari karya Erycinus. (4) Berisikan lima
bentuk polyhedra yang digambarkan dalam bentuk
ruang. (5) Tambahan oleh penulis di kemudian hari
menjadi solusi lain dari masalah pertama dari buku ini.
Buku IV: judul dan kata pengantar telah hilang,
sehingga program itu harus dikumpulkan dari buku
itu sendiri. Pada awalnya adalah generalisasi yang
terkenal dari Euclid, kemudian diikuti berbagai
teorema lingkaran, yang mengarah pada masalah
pembangunan sebuah lingkaran yang akan membatasi tiga
lingkaran yang diberikan, menyentuh masing-masing
dua lainnya. Hal Ini dan beberapa proposisi lainnya
pada kontak, misalnya kasus lingkaran menyentuh
satu sama lain dan tertulis dalam sosok yang terbuat
dari tiga setengah lingkaran dan dikenal sebagai
arbelos ("shoemakers knife") membentuk bagian
pertama dari buku tersebut. Pappus ternyata
kemudian mempertimbangkan sifat spiral Archimedes,
para conchoid dari Nicomedes (sudah disebutkan
dalam Buku I seperti penyediaan metode penggandaan
kubus), dan kurva paling mungkin ditemukan oleh
Hippias dari Elis sekitar 420 SM, dan dikenal dengan
nama
quadratrix.
Proposisi
30
menjelaskan
pembangunan kurva kelengkungan ganda disebut oleh
Pappus helix pada bola, melainkan digambarkan oleh
sebuah titik yang bergerak seragam di sepanjang busur
lingkaran besar, yang itu sendiri ternyata sekitar
diameter seragam, titik menggambarkan kuadran dan
Geometri proyektif
Page 131
lingkaran besar sebuah revolusi lengkap dalam waktu yang
sama. Luas permukaan termasuk antara kurva dan basis
adalah ditemukan contoh pertama yang diketahui dari
quadrature dari permukaan melengkung. Sisa buku ini
memperlakukan dari tiga bagian dari sebuah sudut,
dan solusi dari masalah yang lebih umum dari jenis
yang sama dengan menggunakan quadratrix dan
spiral. Dalam satu solusi dari masalah pertama adalah
penggunaan tercatat pertama dari properti sebuah
kerucut (hiperbola) dengan mengacu pada fokus dan
direktriks. Buku IV berisi bentuk-bentuk kurva
termasuk di sini adalah bentuk spiral dari Archimedes
dan kuadratrik dari Hippias. Terdapat tiga kategori
problem dalam geometri yang disebut dengan “plane”,
“solid” dan “linear.” Setiap problem mempunyai
penyelesaian yang tepat. Jangan menggunakan pola
garis lurus untuk menyelesaikan problem pada bidang.
Begitu pula problem ruang tidak dapat diselesaikan
dengan menggunakan pola garis lurus atau bidang.
Buku V: diawali dengan bagaimana lebah membangun
sarangnya (bentuk segienam). Bahasan Pappus tentang
hasil penelitian disimpulkan dalam buku ini, seperti
yang dinyatakan: lebah ternyata mengetahui bahwa
bentuk segienam (heksagon) lebih besar daripada
persegipanjang
atau
segitiga.
Sarang
lebah ternyata mampu menyimpan lebih banyak madu
yang dibuat oleh lebah dengan menggunakan bahan
yang sama. Dapat disimpulkan bahwa makin banyak
sudut maka makin banyak mempunyai isi (makin
besar) dan yang paling besar adalah lingkaran. Buku
ini juga berisikan problem tentang isoperimeter,
termasuk peragaan bahwa lingkaran mempunyai luas
132
lebih
besar dibandingkan
dengan
poligon
bentuk apapun. Pokok pikiran ini seperti karya
Zenodorus (± 180 SM). Dalam buku ini juga terdapat
penemuan Archimedes tentang bentuk polyhendra
(bidang dengan tiga belas sisi) yang sering disebut
dengan bidang-bidang (solids) Archimedes.
Buku VI dan buku VII: merangkum buku-buku
matematikawan lain seperti: Throdosius, Autolycus,
Aristarchus, Euclid, Apollonius, Aristaeus dan
Eratoshenes.
Buku VI: menyinggung astronomi dan diberi subjudul
Little Astronomy
banyak
mengandung
perbedaan dengan Greater Astronomy (Almagest) dari
Ptolemy. Buku VI berisi aplikasi matematika dalam
astronomi, optik dan mekanika.
Buku VII: tentang sejarah matematika. Melalui
generalisasi, Pappus hampir menemukan prinsip dasar
geometri analitik. Mempelopori generalisasi problem
yang terkait dengan berbagai jenis kurva tipe baru.
Disebut dengan problem Pappus yang menyebut tiga
atau empat garis seperti halnya Euclid atau
Apollonius. Pengantar Buku VII menjelaskan analisis
persyaratan dan sintesis, dan perbedaan antara
teorema dan masalah. Pappus kemudian menyebutkan
karya-karya Euclid, Apollonius, Aristaeus dan
Eratosthenes, terdapat 33 buku, substansi yang akan ia
beri, dengan lemma yang diperlukan untuk penjelasan
mereka. Buku VII juga berisi tentang: (1) Di bawah De
Sectione Determinata, lemma yang telah ditentukan
manjadi kasus-kasus involusi dari 6 poin. (2) Lemmalemma penting pada Porism Euclid. (3) Sebuah lemma
Surface Loci dari Euclid yang menyatakan bahwa lokus
Geometri proyektif
Page 133
dari sebuah titik sedemikian hingga jarak dari titik
yang diketahui mempunyai jari-jari ke garis lurus yang
diketahui adalah berbentuk sebuah kerucut, dan bukti
bahwa kerucut merupakan parabola, elips, atau
hiperbola. Hal ini tergantung jari-jari sama dengan 0 (r
= 0), kurang atau lebih dari 1 (r >1atau r < 1).
Buku VIII: adalah aplikasi matematika pada bidang
astronomi, optik dan mekanika.
3. Blaise Pascal (1623– 1662)
Blaise pascal lahir pada tanggal 19 juni 1623 di
Clermont, Ferrand dan meninggal dunia pada
tanggal 19 Agustus 1662 merupakan seorang
matematikawan dari Perancis, fisikawan, penemu,
penulis, dan filsafat katolik. Ayahnya barnama
Etienne Pascal seorang hakim dan Ibunya
Antoinette Begon. Pascal merupakan anak yang luar
biasa (pintar) untuk matematika dan ilmu
pengetahuan yang diajarkan oleh ayahnya sendiri.
Ayahnya
melarang
untuk
lebih
mengejar
134
matematika sampai usia 15 tahun agar tidak
merugikan pendidikan bahasa Latin dan Yunani.
Pada usia 12 tahun, ayahnya menemukan bahwa Blaise
Pascal menulis sebuah bukti bahwa jumlah sudut
segitiga sama dengan dua kali sudut sikusiku dengan sepotong batu bara di dinding. Karena
terkesan dengan kemampuan Blaise Pascal, ayahnya
memberinya salinan Euclid’s Elements yang
memang ingin segera dibaca dan dikuasai oleh
Blaise Pascal dan diijinkan untuk duduk sebagai penonton
pada pertemuan beberapa ahli matematika dan ilmuwan
terbesar di Eropa Sebelum menginjak usia 13 tahun.
Blaise Pascal telah membuktikan proposisi ke 32
Euclid dan menemukan kesalahan geometri Rene
Descartes. Pada usia 14 tahun, Blaise Pascal diijinkan
untuk duduk sebagai penonton pada pertemuan
beberapa ahli matematika dan ilmuwan terbesar di
Eropa. Pada usia 16 tahun, ia menyusun makalah
tentang kerucut untuk membantu menjelaskan ide
Desargues tentang kerucut, namun kertas Pascal
hilang.
Blaise Pascal menulis risalah singkat tentang apa
yang disebut “Mystic Hexagram”, “Essai pour les
coniques“, “Essay on Conics” dan mengirimnya ke
Pere Mersenne di Paris yang sampai sekarang kita
kenal sebagai teorema Pascal. Pada tahun 1642,
ketika Pascal masih remaja, dia memulai
mempelopori kalkulator, dan setelah berusaha
selama 3 tahun, dia menemukan mesin hitung
Pascaline. Pascal merupakan matematikawan urutan
pertama. Dia menciptakan dua daerah penelitian
baru. Dia menulis risalah pada subjek geometri
Geometri proyektif
Page 135
proyektif pada usia 16 tahun, dan kemudian
berhubungan dengan Pierre de Fermat pada teori
peluang, sangat mempengaruhi perkembangan
ekonomi modern dan ilmu social.
4. Philippe De La Hire
Lahir pada tanggal 18 Maret 1640 di Paris,
Perancis dan meninggal dunia pada tanggal 21 April
1718 di paris, Perancis. Ayah Philippe De La Hire
bernama Laurent De La Sewa (27 Februari 1606–28
Desember 1656). Ia merupakan seorang pelukis
dengan cara berbeda. Ia menjadi professor di
Akademika Lukisan dan Patung. Ibu Philippe
adalah Marguerite Coquin (meninggal 1669). La
Hire dididik sebagai seorang seniman dan menjadi
terampil dalam menggambar dan melukis.
Meskipun ia tidak menerima pendidikan formal
baik di sekolah atau disebuah universitas, namun
ayahnya mengharapkan anaknya dapat mengikuti
profesinya. Pada saat La Hire berusia 16 tahun,
ayahnya meninggal dunia dan pada saat itu dia
136
berkomitmen penuh untuk hidup sebagai seniman.
Tiga tahun setelah kematian ayahnya, ia membuat
rencana untuk mengunjungi Italia. Ada dua alasan
dia mengunjungi Italia yaitu: ia berharap
kehidupannya lebih baik di Italia dan ayahnya telah
memberikan cinta seni Italia walau ayahnya belum
pernah ke Italia. La Hire berangkat ke Venesia pada
tahun 1660 dan menghabiskan empat tahun untuk
mengembangkan keterampilan artistic dan belajar
geometri. La Hire menulis buku metode grafis
(1673), conic section (1685), sebuah risalah
epicycloids (1694), roulettes (1702), conchoids (1708).
Karya-karyanya conic section dan epicycloids
ditemukan pada pengajaran Desargues dimana ia
merupakan salah seorang pengagum Desargues.
5. Gaspard Monge
Lahir pada tanggal 9 mei 1746 di Beaune,
Bourgogne dan meninggal dunia pada tanggal 28
Juli 1818. Gaspard merupakan seorang ahli
Geometri proyektif
Page 137
matematika Perancis, revolusioner, dan penemu
geometri deskriptif. Ayahnya bernama Jacques Monge,
seorang pedagang yang berasal dari Haute-Savoie di
tenggara Perancis. Ibunya bernama Jeanne Rousseaux
adalah penduduk asli dari Burgundy. Karya-karya
Monge pada akhir abad 18 dan awal abad 19
penting bagi perkembangan geometri proyektif
selanjutnya. Awal abad 19 geometri proyektif
merupakan batu loncatan dari geometri analitik
ke geometri aljabar.
6. Filippo Brunelleschi
Lahir pada tahun 1377 di Florence, Italia dan
meninggal pada tanggal 15 April 1446. Filippo
adalah seorang arsitek terkemuka dan insinyur dari
Renaissance Italia. Ia paling terkenal atas penemuan
perspektif linear dan merancang kubah Katedral
Florence, selain itu juga berprestasi di bidang karya
seni perunggu, arsitektur (gereja dan kapel, benteng,
rumah sakit, dll), matematika, teknik (mesin,
hidrolik, mekanisme jarum jam, teater mesin, dll)
dan bahkan desain kapal. Ayah Filippo bernama
138
Brunellesco yaitu seorang pengacara di Lippo, dan
ibunya bernama Giuliana Spini. Filippo merupakan
anak kedua dari tiga bersaudara. Filippo diberi
pendidikan sastra dan matematika pada saat ia
masih muda. Hal ini betujuan untuk mengikuti jejak
sang ayah sebagai seorang PNS. Filippo juga
terdaftar di Seta della Arte, persekutuan pedagang
sutra, emas, pengrajin logam, dan pekerja perunggu.
Ia menjadi tukang emas pada tahun 1398, pada
tahun 1401, filippo mengikuti kompetisi untuk
merancang satu set pintu perunggu untuk baptistery
di Florence. Selain itu, Filippo juga dikenal sebagai
penemu perspektif linier. Lukisan-lukisan yang
dikenal pertama dalam linier optic geometris
perspektif dibuat oleh Filippo sekitar tahun 1425.
Filippo melukis dengan dua panel, yang pertama
Florentine Baptistery yang terlihat secara frontal
dari portal barat katedral yang belum selesai dan
yang kedua Palazzo Vecchio terlihat miring dari
sudut barat lautnya. Panel Baptistery pertama
dibangun dengan lubang dibor melalui titik hilang
sentries. Filippo menginginkan perspektif barunya
“realisme” yang akan diuji tidak dengan
membandingkan lukisan baptistery ke actual tetapi
untuk refleksi di cermin sesuai dengan hukum optic
geometris Euclidean. Prestasi ini menunjukkan
untuk pertama kalinya bagaimana mereka bisa
melukis gambar mereka yang tidak lagi terlihat
dalam dua dimensi namun sudah terlihat seperti
tiga dimensi.
7. Joseph Diaz Gergonne
Geometri proyektif
Page 139
Joseph Diaz Gergonne lahir 19 Juni 1771 di
Nancy, Perancis, anak dari seorang arsitek dan juga
pelukis. Ia adalah seorang perwira artileri Perancis,
profesor matematika, dan ahli logika dan dia datang
di bawah pengaruh Gaspard Monge. Joseph Diaz
Gergonne kesulitan mempublikasikan karyanya
sehingga dia mendirikan jurnal matematika sendiri.
Gergonne adalah matematikawan pertama yang
menggunakan
istilah
kutub dalam
geometri
tahun 1813. Prinsip dualitas tumbuh dari pekerjaan
Poncelet dan pertama kali dinyatakan Gergonne
pada tahun 1826.
8. Jean Victor Poncelet (1788– 1867)
Jean
Victor
Poncelet
adalah
seorang
matematikawanPerancis, dianggap sebagai bapak
geometri modern dan telah memiliki dampak
signifikan dalam bidang geometri proyektif. Jean
Victor Poncelet lahir di Metz, Perancis tanggal 1 Juli
1788 anak dari Claude Poncelet, seorang pengacara.
Ia dikirim untuk tinggal dengan keluarga Olierdi
Saint-Avold dan kembali ke Metz untuk pendidikan
menengahnya di Lycee. Setelah itu dia menghadiri
Ecole Polytechnique, sebuah sekolah bergengsi di
Paris (1808-1810). Setelah lulus ia bergabung dengan
Korps Militer Engineers dan mencapai pangkat
letnan di AD Perancis. Jean Victor Poncelet ditawan
saat berperang dalam kampanye Rusia Napoleon.
Selama 2 tahun penangkaran, ia bekerja pada bidang
matematika dalam geometri proyektif (bangunan
dari ide-ide Desargues dan Pascal) tetapi risalahnya
tidak dipublikasikan. Ia memisahkan sifat proyektif
140
suatu obyek dan membangun hubungan antara sifat
metrik dan proyektif. Dia dianggap sebagai
pembangun kembali geometri proyektif, karyanya
“Traite des proprietes projectives des figures” dan
“Applications d’analyseet de geometrie”. Jean Victor
Poncelet
mempelajari
conic
section
dan
mengembangkan prinsip dualitas.
9. Jacob Steiner
Jacob Steiner lahir tahun 1796 anak dari Niklaus
Steiner dan Anna Barbara Weber. Jacob Steiner
adalah seorang ahli geometri Swiss yang juga
memiliki dampak signifikan terhadap geometri
proyektif. Steiner tidak belajar membaca dan
menulis sampai dia berusia 14 tahun dan tidak
disekolahkan sampai ia berusia 18 tahun. Pada
usia18 tahun ia meninggalkan rumah untuk
menghadiri sekolah Johann Heinrich Pestalozzi di
Yverdom. Sekolah Pestalozzi memberikan efek yang
baik bagi Steiner untuk matematika dan filsafat
ketika melakukan penelitian dalam matematika.
Geometri proyektif
Page 141
Karyanya melanjutkan pekerjaan Poncelet yang
dikembangkan menjadi teorema Poncelet-Steiner.
Ide-ide dan teoremanya mendorong pertumbuhan
geometri proyektif Karya Poncelet, Steiner dan lainlain tidak dimaksudkan untuk memperpanjang
geometri analitik. Teknik seharusnya sintetik:
di ruang efek proyektif seperti sekarang dipahami
adalah diperkenalkan secara aksiomatik. Akibatnya,
perumusan karya awal dalam geometri proyektif
sehingga memenuhi standar agak sulit.
C. Gambaran Umum Geometri Proyektif
Geometri proyektif mempelajari tentang sifatsifat proyektif yang tidak berubah dalam
transformasi proyektif sehingga geometri ini
berbeda dalam pengaturan, ruang proyeksi dan
beberapa konsep dasar geometri. Berikut adalah
perbedaan antara geometri proyektif dan geometri
Euclid.
1. Secara intuisi, ruang proyektif memiliki titik
lebih banyak daripada ruang Euclid.
2. Dalam geometri proyektif tidak dibicarakan
tentang sudut seperti dalam geometri Euclid,
karena sudut adalah contoh dari konsep
yang berubah dalam transformasi proyektif,
seperti yang terlihat jelas dalam gambar
perspektif.
3. Geometri proyektif tidak didasarkan pada
konsep jarak.
4. Tidak terdapat penggunaan jangka dalam
geometri proyektif sehingga tidak membahas
tentang lingkaran.
142
5. Geometri proyektif menggunakan prinsip
utama seni perspektif yaitu garis sejajar
berpotongan di tak hingga. Namun pada
dasarnya, geometri proyektif dapat dianggap
sebagai perluasan dari geometri Euclid.
Geometri Euclid terkandung dalam geometri
proyektif sehingga teorema terpisah namun
serupa di geometri Euclid dapat dibahas
bersama dalam kerangka kerja geometri
proyektif. Misalnya, garis sejajar dan garis
berpotongan
tidak perlu
diperlakukan
sebagai kasus yang terpisah karena dua garis
sejajar dalam geometri proyektif juga
memiliki titik potong. Titik potong dua garis
sejajar adalah titik di tak hingga.
D. Materi geometri.
1. Pengertian pangkal geometri proyektif
Pengertian pangkal geometri proyektif
adalah titik, garis dan relasi insidensi. Contoh:
Titik B. Garis c. Relasi Insidensi adalah relasi
antara titik dan garis seperti 'terletak di' atau
'memotong'. Sebagai contoh adalah “titik P
terletak pada garis L” atau “garis L1 memotong
garis L2”. Artinya, relasi tersebut adalah relasi
biner yang menggambarkan bagaimana obyekobyek geometri bertemu. Jadi suatu titik dan
suatu garis dikatakan insidensi jika titik itu
terletak pada garis tersebut dan garis tersebut
melalui titik tadi.
2.
Definisi-definisi geometri proyektif
Geometri proyektif
Page 143
a. Himpunan titik-titik disebut collinear jika setiap
titik pada himpunan tersebut insiden dengan garis
yang sama.
b. Garis-garis yang insiden dengan titik yang sama
disebut concurrent
c. Complete quadrangle adalah himpunan dari empat
titik, yang tiga diantaranya tidak collinear dan
enam garis insiden dengan masing-masing
pasangan titik tersebut. empat titik tersebut
disebut vertices (titik sudut) dan enam garis
tersebut disebut sides (sisi)
d. Dua sisi dari Complete quadrangle berlawanan
jika titik insidennya tidak berpotongan pada
kedua garis.
e. Titik diagonal dari Complete quadrangle adalah
titik yang insiden dengan sisi yang berlawanan
pada quadrangle.
f. Segitiga adalah himpunan tiga titik noncollinear
dan tiga garis insiden dengan setiap pasangan
titik tersebut. titik-titik tersebut disebut vertices
dan garis tersebutdisebut sides (sisi)
g. Pencil of points adalah himpunan dari titiktitik yang insiden dengan sebuah garis.
h. Pencil of line adalah himpunan garis yang insiden
dengan sebuah titik.
3. Aksioma-aksioma dalam geometri proyektif
a. Aksioma 1: Terdapat sebuah titik dan sebuah
garis yang tidak insiden.
b. Aksioma 2: Setiap garis insiden dengan minimal
3 titik berbeda.
144
c. Aksioma 3: Dua titik sebarang yang berbeda berinsiden
hanya dengan 1 garis.
d. Aksioma 4: Jika A, B, C, D adalah 4 titik berbeda
sedemikian hingga AB berpotongan dengan CD,
maka AC memotong BD.
e. Aksioma 5: Jika ABC adalah bidang maka
terdapat paling sedikit 1 titik tidak berada pada
bidang tersebut.
f. Aksioma 6: Dua bidang sebarang yang berbeda
memiliki paling sedikit 2 titik potong.
g. Aksioma 7: Tiga titik diagonal pada complete
quadrangle tidak pernah kolinear.
h. Aksioma
8:
Jika
suatu
proyeksi
memproyeksikan tiga titik invarian yang segaris,
maka hasil dari proyeksi setiap titik pada garis
tersebut adalah titik invarian.
Definisi: Titik-titik P1, P2, …… , Pn dikatakan
kolinear jika terdapat sebuah garis yang memuatnya.
Definisi : Jika A, B, C tiga titik yang berbeda dan
nonkolinear, maka bidang yang memuat A, B, C
disebut bidang yang ditentukan oleh A, B, C. Dan
dinotasikan dengan ABC.
4.
Teorema-Teorema dalam Geometri Proyektif
Teorema 1: Dua garis berbeda insiden dengan
tepat satu titik.
Geometri proyektif
Page 145
Bukti:
Andaikan dua garis tersebut memiliki 2
titik potong A dan B. Berdasarkan aksioma 3,
setiap garis ditentukan oleh dua titik tersebut.
Maka dua garis tersebut sama (coincide). Hal ini
kontradiksi dengan yang diketahui bahwa
2 garis tersebut berbeda. Jadi pengandaian
salah. Yang benar kedua garis hanya
perpotongan di 1 titik.
Teorema 2: Sebarang dua garis berbeda yang
sebidang memiliki paling sedikit satu titik
potong.
Bukti:
Misal diberikan garis AC dan BD. ACE
adalah bidang yang memuat AC dan BD. Titik E
tidak pada AC dan BD. Karena bidang ACE
ditentukan oleh pensil garis yang melalui E
dan memotong AC, sedangkan BD menghubungkan
146
2 titik pada garis pensil berbeda. Misal: B pada EA
maka EA = BA. Titik D pada EC maka EC = CD. Maka
BA berpotongan dengan CD. Berdasarkan
aksioma 4, AC dan BD memiliki titik potong.
Teorema 3: Jika titik A tidak terletak pada
garis BC maka A, B, dan C berbeda dan
nonkolinear.
Bukti :
Garis BC memuat 2 titik sebarang yang
berbeda B dan C. Andaikan A = B. Karena B pada
BC maka A juga pada BC. Hal ini kontradisi
dengan yang diketahui. Jadi pengandaian salah.
Yang benar adalah A tidak sama dengan B.
Dengan cara yang sama berlaku bahwa pengandaian A
= C adalah salah. Jadi A, B, C berbeda. Andaikan
A, B, C kolinear. Maka berdasarkan definisi
kolinear, terdapat garis yang memuat ketiga
titik tersebut, Misal A, B, C pada garis l, Karena l
memuat B dan C, maka l = BC …(aksioma 3)
tetapi A juga pada garis l. Akibatnya A termuat
pada garis BC. Hal ini kontradiksi dengan yang
diketahui. Jadi pengandaian salah. Yang benar
adalah A, B, C nonkolinear.
Geometri proyektif
Page 147
Teorema 4 : sebuah garis dan sebuah titik di
luar garis hanya termuat pada sebuah bidang
Teorema 5: Jika dua garis memiliki titik
potong maka garis tersebut sebidang
Bukti:
Misal diberikan garis l dan k dan A pada l,
B pada k. Misal C = (l,k) dengan C pada garis AC,
Maka k = BC dan l = AC. Dari tiga titik yang
berbeda A, B dan C, dapat dibuat sebuah
bidang.
Teorema 6: Jika dua bidang berpotongan maka
perpotongannya adalah sebuah garis
Bukti :
Misal diberikan 2 bidang berbeda U dan
V yang berpotongan. Maka terdapat 2 titik misal A
148
dan B sedemikian hingga titik A dan B
merupakan 2 titik persekutuan bidang U dan
V….(aksioma 6). Dari A dan B dapat dibuat
garis AB….(aksioma 3). Jadi garis AB pada
bidang U dan juga garis AB pada bidang V.
Akibatnya AB merupakan garis persekutuan
bidang U dan V. Karena dalam aksioma 6 hanya
dikatakan bahwa minimal perpotongan 2
bidang adalah 2 titik, maka memungkinkan
terdapat titik lain C dengan C pada bidang U
dan C juga pada bidang V. Andaikan C tidak
pada garis AB. Maka AB dan C termuat pada 1
bidang ABC…(teorema 4). Padahal AB dan C
merupakan persekutuan 2 bidang U dan V. Hal
ini kontradiksi dengan yang diketahui
bahwa bidang U dan bidang V adalah 2 bidang
yang berbeda. Akibatnya pengandaian salah,
yang benar C pada garis AB. Jadi hanya
garis AB yang merupakan titik potong bidang U
dan V.
Akibat :
Jika sebuah garis termuat pada dua buah
bidang yang berbeda, maka garis
tersebut
adalah perpotongan kedua bidang.
Teorema 7: Terdapat empat titik sebidang yang
tiga diantaranya tidak collinear
Geometri proyektif
Page 149
Bukti:
Berdasarkan 3 aksioma pertama, terdapat
2 garis berbeda yang memiliki titik potong dan
masing-masing memuat paling sedikit 2 titik
selain titik potong tadi. Misal: EA memuat B, EC
memuat D. Akan dibuktikan A, B, C, D
nonkolinear. Andaikan A, B, C kolinear. Maka E
pada AB akan kolinear dengan ketiga titik
tersebut. Sehingga EA = EC. Kontradiksi dengan
permisalan bahwa EA tidak sama dengan EC.
Jadi permisalan salah, yang benar adalah A, B, C
noncolinear
Prinsip Dualitas
Salah satu sifat yang istimewa dari
geometri proyektif ialah prinsip dualitasnya
(principle of duality) yang menyatakan, bahwa
dalam bidang proyektif setiap definisi tetap
berarti dan setiap dalil tetap benar, apabila kita
tukar kata titik dengan garis (terletak pada
dengan melalui, menghubungkan dengan
memotong, segaris dengan berpotongan pada
satu titik). Dalam aksioma 1 dinyatakan bahwa
“terdapat sebuah titik dan sebuah garis yang
tidak insiden”. Berdasarkan prinsip dualitas,
150
dengan mengganti istilah “titik” dengan“garis”
dan istilah “garis” dengan “titik” diperoleh dual
aksioma 1 adalah aksioma 1 itu
sendiri. Dengan cara yang sama terhadap
aksioma berikutnya, diperoleh teorema- teorema
berikut.
Teorema 8: (dual aksioma 2) Sebarang titik insiden
dengan minimal 3 garis berbeda
Bukti:
Berdasarkan aksioma 1, terdapat sebuah titik
dan sebuah garis yang tidak insiden, misal titik
A dan garis BC tidak insiden. Berdasarkan
aksioma 2, garis BC memuat minimal 3 titik
berbeda yaitu B, C dan D. Berdasarkan aksioma
3, dapat dibuat garis AB, AC dan AD.
Teorema 9: (dual aksioma 3) Sebarang 2 garis
berbeda insiden dengan tepat 1 titik.
Teorema 10: (dual aksioma4) Jika a, b, c, d adalah
4 garis berbeda sedemikian hingga a∩b segaris
dengan c∩d, maka a∩c segaris dengan b∩d
Geometri proyektif
Page 151
Teorema 11: (dual aksioma 7) 3 garis diagonal
pada complete quadrilateral tidak pernah konkuren
Perspektif
Elementary correspondence
Pemetaan 1-1 antara Pencil of points dengan pencil
of lines
disebut dengan
Elementary
correspondence jika setiap titik pada Pencil of points
insiden dengan garis yang koresponden dengan pencil
of lines
Perspektivity
Pemetaan 1-1 antara dua Pencil of points disebut
perspektivitas jika garis insiden dengan titik
yang berkorespondensi dengan dua Pencil of
points concurrent. Titik dimana garis tersebut
berpotongan disebut center of the perspectivity
Pemetaan 1-1 antara dua Pencil of lines disebut
perspektivitas jika titik insiden dengan garis
yang berkorespondensi dengan dua Pencil of lines
collinear.
Garis yang memuat titik yang berpotongan
disebut axis of the perspectivity.
Proyektif
Proyektivitas
adalah
perluasan
dari
perspektivitas. Dua bangun F dan F’ dikatakan
proyektivitas jika yang satu dapat diperoleh dari
yang lain dengan suatu transformasi proyektif,
yaitu jika ada deretan bangun berhingga F1,
F2,…,Fk sedemikian hingga F perspektif dengan
152
F1, F1 perspektif dengan F2, dan seterusnya
hingga
Fk perspektif
dengan F’.
Dapat
juga dikatakan bahwa proyektivitas adalah hasil
kali dari perspektivitas. Dua buah bangun F dan
F’ yang perspektif dari suatu titik O dinyatakan
dengan F𝑂F’ dan dua bangun yang perspektif d
∧
ari suatu garis dinyatakan
dengan F∧F’
Maka jika F∧F1∧F2∧F3∧ ……∧Fk∧F’, dikatakan
F dan F’ proyektif dan dinyatakan dengan
F∧F’. Antara dua bangun yang proyektif selalu
ada korespondensi satu-satu antara unsurunsurnya. Perspektivitas adalah keadaan
khusus dari proyektivitas.
Teorema Desargues: Dalam ruang proyektif, 2
segitiga berada pada perspektif aksial, jika dan
hanya jika keduanya berada pada perspektif
terpusat
Atau dapat dinyatakan sebagai:
𝐴𝐵 ∩ 𝑎𝑏, 𝐴𝐶 ∩ 𝑎𝑐, 𝐵𝐶 ∩ 𝑏𝑐 kolinear, jika dan
hanya jika Aa, Bb, Cc kongkuren
Geometri proyektif
Page 153
Bukti :
Bukti jika Aa, Bb, Cc konkuren maka AB∩ab,
AC∩ac, dan BC∩bc kolinear:
Garis (AB) dan (ab) berpotongan karena
keduanya terletak pada bidang yang dibentang
oleh A, B, a, b. Misal x = (AB) ∩ (ab). (A, B) terletak
pada bidang yang memuat segitiga ABC. (a.b)
terletak pada bidang yang memuat segitiga abc.
Maka x terletak di perpotongan bidang (misal
garis h). Jadi x pada garis h….(*). Dengan cara
yang sama berlaku untuk dua titik perpotongan lainnya
yaitu y = (AC) ∩ (a.c) , z = (BC) ∩ (b.c) Maka y, z
pada garis h….(**). Dari (*) dan (**) maka x, y,
z kolinear.
Dengan
menggunakan
dual
dari
“ jika Aa, Bb, Cc konkuren maka AB∩ab, AC∩a
c, dan BC∩bc kolinear”
154
maka “jika AB∩ab, AC∩ac, dan BC∩bc kolinear
maka Aa, Bb, Cc konkuren” terjamin
kebenarannya. Maka terbukti bahwa sifat
implikasi yang
terdapat
pada
teorema
Desargues berlaku. Bukti di atas berlaku jika
kedua segitiga terletak pada bidang yang
berbeda, Namun jika keduanya berada pada bidang
yang sama, teorema Desargues bias dibuktikan
dengan memilih titik di luar bidang yang
memuat segitiga tersebut. Dengan titik ini, salah
satu segitiga diangkat keluar dari bidang
sehingga argumen di atas berlaku dan
kemudian memproyeksikan kembali ke bidang.
Langkah terakhir dari bukti gagal, jika ruang
proyeksi memiliki dimensi kurang dari 3,
karena tidak mungkin untuk menemukan
sebuah titik di luar bidang. Dualitas dari
teorema Desargues adalah teorema Desargues
itu sendiri. Hal inidisebabkan dalam teorema ini
terdapat biimplikasi dengan implikasi yang
pertama adalah dual dari implikasi kedua.
Teorema Pappus: Jika diberikan himpunan tiga
titik A1, A2, A3 kolinear dan himpunan tiga titik
B1, B2, B3 yang juga kolinear, maka titik X =
A1B2∩A2B1, Y = A1B3∩A3B1, dan Z =
A2B3∩A3B2 adalah kolinear.
Geometri proyektif
Page 155
Bukti:
A2A3𝐵1xy𝐴1B2B3 sehingga A2A3∧B2B3 dan
∧
∧
𝐵1
A1A2A3 xyz𝐴1B1B2B3
∧
∧
sehingga A1A2A3∧B1B2B3 dan karena A1, A2,
A3 kolinear begitu juga B1,B2,B3 kolinear
akibatnya x, y, z kolinear
Dualitas Teorema Pappus: Diberikan himpunan
garis konkuren A, B, C, dan himpunan garis
konkuren a,b, c, maka garis x, y, z yang secara
terurut didefinisikan oleh pasangan titik potong
A∩b dan a∩B, A∩c dan a∩C, B∩c dan b∩C adalah
konkuren.
156
Matematikawan Jerman Gerhard Hessenberg
membuktikan
bahwa
teorema
Pappus
menyiratkan Teorema Desargues's
Teorema Pascal :
Jika titik- titik A1, A2, A3, B1, B2, B3
terletak
pada lingkaran, maka X = A1B2∩A2B1, Y =
A1B3∩A3B1, Z = A2B3∩A3B2 kolinear.
Geometri proyektif
Page 157
E. Aplikasi Geometri Proyektif
Geometri proyektif banyak digunakan dalam
waktu sangat praktis dengan segalacara anda
melihat gambar tiga dimensi pada layar komputer
Anda, semua perhitunganuntuk menghasilkan citra
realistik dihitung dengan menggunakan rumus
geometri proyektif.
Kamera lubang jarum (Pinhole)
Sebuah kamera lubang jarum memberikan ilustrasi
perspektif yang sangatbagus. Sebuah kamera lubang
jarum hanya kotak lampu-ketat dengan satu
filmmelekat di dalam wajah dan dengan lubang
jarum pada wajah berlawanan yangtercakup sampai
kita ingin mengambil foto. Untuk mengambil foto,
titik
lubang
jarum di arahkan yang benar, menangkap sampai fil
m benar terkena, tutup lagi, kemudian keluarkan
dan mengembangkan film di kamar gelap.
158
Di sini, tentu saja, kami akan pertimbangkan kamera
lubang jarum ideal dimana lubang jarum
merupakan titik kecil tak berhingga dalam sebuah
kotak dengandinding tipis tak terhingga di alam
semesta dimana cahaya bergerak dalam garislurus
sempurna. Dalam dunia nyata, lubang jarum harus
memiliki beberapa daerah, dinding kamera dengan
beberapa ketebalan, dan ketika cahaya nyata
melewatilubang kecil, itu terdifraksi, atau tersebar
sedikit, tergantung pada ukuran dan bentuk lubang.,
titik adalah lubang jarum di depan kamera, dan film
terpasang ke sisi berlawanan kotak. Bayangkan
Anda mengambil foto garis pada sebelah kanan
dengan titik ditandai di atasnya. Cahaya tersebar
dari setiap titik ke segala arah, namun hanya sinar
cahaya yang ditujukan tepat pada lubang jarumakan
mampu mencapai film. Dengan demikian citra
intinya adalah pada film, dan sebagainya.
Perhatikan bahwa ini membalikkan atas dan bawah,
jadi jika Anda terus melacak akhir film itu ketika
anda mengambil foto, hal-hal ke arah bawah akan
menciptakan gambar ke atas film. Demikian pula,
kiri dan kanan tertukar pada selembar dua dimensi
dari film.
Geometri proyektif
Page 159
Dalam dunia nyata, tentu saja, objek dalam foto
tersebut tidak perlu berbaring di garis paralel ke
bagian belakang kamera. Mereka dapat berada di
mana saja dalam ruang. Perhatikan juga bahwa kita
telah menarik sepotong satu dimensi kamera, dan
film adalah dua dimensi, dan objek kepentingan
dapat terletak di mana saja di dunia tiga dimensi. Ini
adalah
pelajaran
untuk
berpikir
tentang
keterbatasan foto kamera. Bagaimana jika kamera
mengambil foto garis dengan titik yang ditandai?
Bagaimana titik tersebut menjadi spasi pada film?
Bagaimana perubahannya jika garis tidak sejajar
dengan kamera kembali? Bagaimana jika kamera
belakang tidak sejajar dengan bagian depan kamera
dimana lubang jarum itu? Akhirnya, perhatikan
bahwa contoh sebelumnya kita melukis di atas
sepotong kaca "seperti" kamera lubang jarum di
mana film ini di depan lubang jarum (jelas kamera
fisik tidak mungkin, tapi itu menunjukkan bahwa
gagasan tentang proyeksi matematis masuk akal,
tidak peduli dimana "film" ini.
160