FUNGSI dan LIMIT Fungsi Kontinu

FUNGSI dan LIMIT

Disusun oleh :
Bob Rozalno (1006734533)
Siti Julaeha (1006734621)
Desti Riminarsih (1006786064)
Iffatul Mardhiyah (1006786133)
Rida Novrida (1006786221)
Departemen Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Indonesia 2010

FUNGSI dan LIMIT
1.1 Fungsi dan Grafiknya
Fungsi :
suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal)
tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil)
fungsi

Daerah asal

Daerah hasil

Aturan suatu fungsi dinyatakan dalam persamaan :
y = f(x)
x adalah variabel bebas , y adalah variabel tak bebas
contoh :
y = x2 - 4
y = 2x + 1
Jika daerah asal dan daerah hasil suatu fungsi adalah himpunan bilangan riil, maka
fungsi tersebut dapat digambarkan dalam bentuk grafik pada suatu bidang koordinat.

y

y

6

6

4

3
2
-4

2

-2

4

x

-3

-1

1

3

x

-2
-3
-4

y = f(x) = x2 – 4

y = 2x + 3

Apabila grafik suatu fungsi adalah simetris terhadap sumbu Y maka fungsi yang
demikian disebut fungsi genap, yaitu jika f(-x) = f (x).
Apabila grafik suatu fungsi adalah simetris terhadap titik asal O (0,0) maka fungsi yang
demikian disebut fungsi ganjil, yaitu jika f(-x) = - f(x).

1.2 Operasi Pada Fungsi
JUMLAH, SELISIH,HASIL KALI, HASIL BAGI, PANGKAT.
Pandanglah fungsi- fungsi f dan g dengan rumus- rumus
x−3
f(x) = 2

g(x) = √ x
x−3
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = 2
+ √x
Fungsi- fungsi f – g, f . g, dan f/g diperkenalkan dengan cara analog. Dengan
anggapan bahwa f dan g mempunyai daerah asal alamiah, kita mempunyai yang berikut :

Operasi pada Fungsi
Jumlah
Selisih

Rumus dan Contoh
x−3
(f + g) (x) = f(x) + g(x) = 2
+ √x

Daerah asal
[ 0, ∞ )
[ 0, ∞ )

x−3
(f - g) (x) = f(x) - g(x) = 2
- √x

Hasil Kali

(f . g) (x) = f(x) . g(x) =

Hasil Bagi

x−3
. √x
2

[ 0, ∞ )
( 0, ∞ )

f (x)
x−3
f

( g ) (x) =
= 2 x
√
g (x)

Kita harus mengecualikan 0 dari daerah asal f/g untuk menghindari pembagian oleh 0.
Kita juga boleh memangkatkan suatu fungsi. Dengan fn, kita maksudkan fungsi
yang menetapkan nilai [f(x)]n pada x. Jadi,
f2(x) = [f(x)]2 =

[ x−3
2 ] =
2

x2 −6 x+ 9
4

dan
g3(x) = [g(x)]3 = ( √ x )3 = x3/2
Satu-satunya pengecualian pada aturan ini untuk n dalam fn adalah n = -1

CONTOH 1. Andaikan F(x) = √4 x+1 dan G(x) = √ 9−x2, dengan masing- masing daerah
asal alamiah

[ - 1, ∞ ) dan [ - 3, 3 ]. Cari rumus untuk F + G, F – G, F . G, F/G dan F 5

dan berikan daerah asal alamiahnya.
Penyelesaian
Rumus

Daerah

(F + G) (x) = F(x) + G(x) = √ x+1 +√ 9−x

asal
[ -1, 3)

(F - G) (x) = F(x) - G(x) = √4 x+1 - √ 9−x2

[ -1, 3 )

4

2

(F . G) (x) = F(x) . G(x) = √4 x+1 .√ 9−x2

[ -1, 3 )

4
F( x)
F
√ x +1
( G ) (x) =
=
G(x)
√ 9−x 2

[ -1, 3 )

F5(x) = [ F(x) ]5 = (√4 x+1 )5 = ( x + 1)5/4

[ -1, ∞ )

KOMPOSISI FUNGSI.
Sebelumnya, anda diminta untuk membayangkan sebuah fungsi sebagai sebuah senapan.
Sekarang diminta memikirkan fungsi f sebagai sebuah mesin.
Fungsi ini menerima x sebagai masukan, bekerja pada x, dan menghasilkan f(x)
sebagai keluaran. Dua mesin seringkali dapat diletakkan berdampingan untuk membuat
sebuah mesin yang lebih rumit demikian juga halnya dengan dua fungsi f dan g. Jika f
bekerja pada x untuk menghasilkan f(x) dan kemudian g bekerja pada f(x) untuk
mehasilkan g(f(x)), dikatakan bahwa kita telah menyusun g dengan f. Fungsi yang
dihasilkan, disebut komposit g dengan f, dinyatakan oleh g o f. Jadi,
( g o f )(x) = g(f(x))
Ingat kembali contoh kita terdahulu, f(x) = (x- 3)/2 dan g(x) = √ x . Kita dapat
menyusunnya dalam dua cara,
x−3
( x−3
2 )=√ 2

( g o f )(x) = g(f(x)) = g

( f o g )(x) = f(g(x)) = f( √ x ) =

√ x−3
2

Segera kita perhatikan satu hal: Susunan (komposisi) fungsi tidak komutatif; gof
dan fog umumnya berlainan.
CONTOH 2. Andaikan f(x) = 6x/(x2 – 9) dan g(x) = √ 3 x. Pertama, cari ( fog )
(12),kemudian cari (fog)(x) dan berikan daerah asalnya.
Penyelesaian
36
4
( f o g )(12) = f(g(12)) = f (√ 36) = f(6) = 27 = 3

( f o g )(x) = f(g(x)) = f (√ 3 x ¿ ¿
6 √3 x 2 √ 3 x
6 3x
= √
= 3 x −9 = x −3

¿¿
Daerah asal fog adalah [0, 3) ∪ ( 3, ∞ )
TRANSLASI.
Dengan mengamati bagaimana sebuah fungsi dibentuk dari yang paling sederhana dapat
membantu Anda dalam menggambar grafik. Mungkin anda akan bertanya:
Bagaimana grafik- grafik dari
y = f(X)

y = f(x – 3)

y = f(x) + 2

y = f(x – 3) + 2
apakah berkaitan satu sama lain? Ambillah f(x) = |x|sebagai contoh. Keempat grafik
yang bersesuaian ini dapat anda lihat pada gambar

2
y = |x|

3 y = |x−3|

2
y = |x| + 2 y=|x−3|+2

3

Apa yang terjadi dengan f(x) = |x|adalah khas. Perhatikan bahwa keempat grafik
tersebut mempunyai bentuk yang sama, tiga yang terakhir hanyalah penggeseran
(translasi) dari yang pertama. Dengan mengganti x oleh x – 3 akan menggeser grafik itu 3
satuan luas ke kanan, dengan menambahkan 2 berarti menggesernya ke atas sebesar 2
satuan.
KATALOG SEBAGIAN DARI FUNGSI.
Sebuah fungsi berbentuk f(x) = k, dengan k adalah konstanta (bilangan riil) disebut fungsi
konstan. Grafiknya berupa garis mendatar. Fungsi f(x) = x disebut fungsi identitas.
Grafiknya berupa sebuah garis yang melaui titik asal dengan kemiringan 1. Dari fungsifungsi sederhana ini, kita dapat membangun banyak fungsi- fungsi kalkulus yang penting.

Fungsi Konstan

Fungsi identitas

Sebarang fungsi yang dapat diperoleh dari fungsi konstan dan fungsi identitas
dengan memakai operasi penambahan, pengurangan, dan perkalian disebut fungsi
polinom. Ini sama saja dengan mengatakan bahwa f adalah fungsi polinom jika berbentuk
n

f(x) = a n x + a n−1 x

n−1

+ … + a 1 x +a o

dengan koefisien- koefisien a berupa bilangan riil dan n adalah bilangan bulat tak
negative. Jika a n ≠ 0, maka n adalah derajat dari fungsi polinommya. Khususnya, f(x) = ax
+ b adalah fungsi derajat satu, atau fungsi linear, dan f(x) = ax2 +bx + c adalah fungsi
derajat dua, atau fungsi kuadrat
Hasil bagi fungsi- fungsi polinom disebut fungsi rasional. Jadi f adalah fungsi
rasional jika dibentuk
a n x n +an−1 x n−1 +…+ a1 x + ao
f(x) =
bm x m+ bm−1 x m−1+ …+bx+ bo
Sebuah fungsi aljabar eksplisit adalah fungsi yang dapat diperoleh dari fungsi
konstan dan fungsi identitas melalui operasi penambahan , pengurangan, perkalian,
pembagian, dan penarikan akar. Contohnya adalah
5

f(x) = 3x2/5 = 3√ x 2

g(x) =

(x+ 2) √ 2
3
x3 + √ x 2−1

Fungsi – fungsi yang didaftarkan sedemikian jauh, bersama- sama dengan fungsifungsi trigonometri, balikan trignometri, eksponen, dan logaritma (akan diperkenalkan
nanti), merupakan bahan baku yang mendasar untuk kalkulus kita.

1.3 Fungsi Trigonometri
Definisi

Perhatikan gambar berikut :

Definisi fungsi trigonometri didasarkan pada lingkaran satuan , yaitu lingkaran
yang berjari-jari 1 dan berpusat di titik asal. Andaikan A adalah titik (1,0) dan andaikan t
adalah sembarang bilangan positif. Maka terdapat satu titik P (x,y) sedemikian rupa
sehingga panjang busur AP , yang diukur menurut arah berlawanan dengan putaran jarum
jam dari A sepanjang lingkaran satuan sama dengan t (gambar 1). Jika arah putaran
searah jarum jam, maka t < 0.
Definisi Fungsi Sinus dan Kosinus
Andaikan t menentukan titik P (x,y) seperti ditunjukkan di atas, maka

sin t  y dan cos t  x
Sifat-sifat Dasar Fungsi Sinus dan Kosinus
1. Daerah hasil untuk fungsi sinus dan kosinus adalah selang
2.

1,1

sin  t  2   sin t dan cos t  2  = cos t

3. sinus adalah fungsi ganjil, sedangkan kosinus adalah fungsi genap,



 
sin   t  cos t dan cos   t =sin t
2 
2 
4.

2
2
5. sin t  cos t  1

Grafik Sinus dan Kosinus
Berikut ini gambar grafik sinus

Berikut ini grafik fungsi kosinus

Empat Fungsi Trigonometri Lainnya

sin t
cos t
1
sec t 
cos t
tan t 

cos t
sin t
1
csc t 
sin t
cot t 

Hubungan Dengan Trigonometri Sudut
Sudut biasanya diukur dengan derajat atau dalam radian. Satu radian didefinisikan
sebagai sudut yang berpadanan dengan busur sepanjang 1 unit lingkaran.
1800   radian  3,1415927 radian
1 radian  57, 29578
10  0, 0174533

Panjang busur s dari potongan busur sebuah lingkaran dari sebuah lingkaran berjari-jari r
dengan sudut pusat t radian memenuhi
s
t

2 r 2

Atau

s  rt

Contoh :
Carilah jarak yang ditempuh oleh sebuah sepeda dengan roda yang mempunyai
jari-jari 30 cm bila roda itu berputar sampai 100 putaran?
Penyelesaian :
r  30cm
t  100 putaran
=100.2
maka,
s  rt
 30.100.2
 6000
 18849, 6cm
 188,5m

Jadi, jarak yang ditempuh sepeda tersebut  188,5m

1.4 Pendahuluan Limit
Definisi. Pengertian Limit Secara Intuisi.

lim f ( x ) =L

Mengatakan bahwa

berarti bahwa bilamana

x →c

f ( x)

berlainan dari c, maka

x

dekat tetapi

dekat ke L.

Contoh
Carilah

lim ( 4 x−5 )
x→3

Penyelesaian
Bilamana x

dekat 3; maka

4 x−5

dekat terhadap

4⋅3−5=7

. Kita tuliskan

lim ( 4 x−5 )=7
x →3

Limit-limit Sepihak
Bilamana suatu fungsi mempunyai lompatan, maka limit tidak ada pada setiap titik
lompatan. Untuk fungsi-fungsi yang demikian, adalah wajar untuk memperkenalkan
limit-limit sepihak. Anggaplah lambang
dari kanan, dan andaikan

−

x →c

+

x →c

berarti bahwa

berarti bahwa x

x

mendekati c

mendekati c dari kiri.

Definisi Limit Kiri dan Limit Kanan
Mengatakan bahwa

lim f ( x )=L

x → c+

sebelah kanan c, maka

lim f ( x )=L
x → c−

f ( x)

f ( x)

berarti bahwa bilamana

x

dekat tetapi pada

dekat ke L. Hal yang serupa, mengatakan bahwa

berarti bahwa bilamana

x

dekat tetapi pada sebelah kiri c, maka

adalah dekat ke L.

Contoh
Carilah

lim [|x|]
x→2

Penyelesaian
Ingatlah kembali bahwa

[|x|]

atau sama dengan x . Grafik

menyatakan bilangan bulat terbesar lebih kecil dari

y=[|x|]

adalah

y=[|x|]
3
2
1
1

lim [|x|]

Jadi, walaupun

lim [| x|] =1

3

4

x

tidak ada, adalah benar untuk menuliskan

lim [| x|] =2

dan

x → 2−

2

x → 2+

Teorema

lim f ( x ) =L
x →c

jika dan hanya jika

lim f ( x )=L

x → c−

dan

lim f ( x )=L

x → c+

1.5 Pengkajian Mendalam Tentang Limit
Definisi Pengertian yang tepat tentang limit
Mengatakan bahwa

lim f ( x ) =L
x →c

(betapapun kecilnya), terdapat

|f ( x ) −L|0

ε>0

yang diberikan

yang berpadanan sedemikian sehingga

0