1 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

Solusi Pengayaan Matematika
Edisi 13
April Pekan Ke-1, 2007
Nomor Soal: 121-130
121. Tentukan banyak pasangan bilangan real x, y  yang memenuhi persamaan x 2  y 2  2007 dan
cot  x cot  y  1 .

Solusi:
cot  x cot  y  1
tanπ x  cotπ y


π
tanπ x  tan   π y 

2
π
πx  πy kπ
2
1
x yk

2
x 2  y 2  2007
2

1


x 2   k   x   2007
2


2

1
1


x 2   k    2 x  k    x 2  2007
2
2



2

1
1


2 x 2   k    2 x  k    2007
2
2



2

1

k  2 
  k 1 


  2007
2  x     
2
  2 4 
2

2

1

k 
  k 1   
2007
2

 x     
4
2
  2 4 

2

2

1

k  2 
  2007 , maka
Karena 
4
2
2

1

 k  2   4014



1

1



 k  2  4014  k  2  4014   0




1
1
  4014  k    4014
2
2

Karena k bilangan bulat, maka 63  k  62 .

1 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

Setiap nilai k memberikan dua kemungkinan pasangan x, y  , karena

2

1

k 

  k 1 
2
2  x      
 2007 memberikan dua nilai x, kemudian nilai y ditentukan dari
2
4
2

 
2

1
.
2

Jadi, banyak pasangan bilangan real x, y  adalah 2126  252 .
x yk

122. Jika 8cos

2π
4π
6π
, 8cos
and 8cos
adalah akar-akar persamaan berderajat tiga (kubik), carilah
7
7
7

persamaan tersebut.
Solusi:
Misalnya persamaan berderajat tiga (kubik) adalah ax 3  bx 2  cx  d  0 dengan akar-akarnya
x1  2cos

2π
4π
6π
, x2  2cos
, dan x3  2cos
.
7
7
7

Menurut Vieta:

x1  x 2  x3  

b
a

2π 
2π
4π

6π 
2 cos
 2 cos
 2 cos
7 
7
7
7 
2π
sin
7
2π
2π
2π
4π
2π
6π
2sin
cos
cos

cos
 2sin
 2sin
7
7
7
7
7
7

2π
sin
7
4π
6π
2π
8π
4π
8π
6π

2π
sin
sin
 sin
 sin
 sin
 sin
 sin
 sin
7
7
7
7
7
7
7
7


2π
2π
sin
sin
7
7
π
2π
8sinπ cos  sin
7
7  1

2π
sin
7

2π
4π
6π
b

  2cos
 2cos
 2cos
a
7
7
7



sin

b
1
a

x1 x 2  x1 x3  x 2 x3 

c
a

2π
4π
2π
6π
4π
6π
c
 2cos
 2cos
 2cos
 2cos
 2cos
 2cos
a
7
7
7
7
7
7
2π
4π  
2π
6π  
4π
6π 
c

 2  2 cos
 2  2 cos
 2  2 cos
cos
cos
cos


a
7
7  
7
7  
7
7 

6π
2π
8π
4π
10 π
2π 
c

 2  cos
 cos
 cos
 cos
 cos
 cos
a
7
7
7
7
7
7 

c 
2π
4π
6π 
8π
10 π
2π
 2 cos
 2 cos
 2 cos
 2 cos
 2 cos
 2 cos
a 
7
7
7 
7
7
7

2 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

8π
10 π
2π
c
 1  2cos
 2cos
 2cos
a
7
7
7
c
6π 
4π 
2π


 1  2 cos  2 π 
  2 cos  2 π  7   2 cos 7
a
7





6π
4π
2π 
c

 1   2 cos
 2 cos
 2 cos
a
7
7
7 


c
 1  1
a
c
 2
a

x1 x 2 x3  

d
a

2π
4π
6π
d

  2cos
 2cos
 2cos
a
7
7
7



8sin

2π
2π
4π
6π
4π
4π
6π
cos
cos
cos
4sin
cos
cos
7
7
7
7 
7
7
7
2π
2π
sin
sin
7
7

6π 
6π

8π
6π
6π
6π
12 π
2sin  2 π 
cos
cos
2sin
 sin
 cos 7
7


7
7 
7
7 
7

2π
2π
2π
2π
sin
sin
sin
sin
7
7
7
7

2 sin

2π 

2π
 sin  2 π 
sin
7 

7 1


2π
2π
sin
sin
7
7

d
 1
a

Karena itu persamaannya adalah x3   1 x 2   2  x   1  0  x3  x 2  2 x  1  0 .
123. Diberikan ABC siku-siku di C yang panjang sisi-sisi adalah a, b, dan c, dengan a  b  c . Dua
lingkaran yang sama dengan jari-jari r berada di dalam segitiga yang bersinggungan dan juga
sisi AC dan AB dan lingkaran yang lain menyinggung sisi AC dan BC. Buktikan bahwa
bc  b 
dan hitunglah r jika a  6, b  8,dan c  10 .
r
3c  3b  a
B
c
a
C

Solusi:
A
2
tan A 
2 A
1  tan
2
A
2 tan
a
2

b 1  tan 2 A
2

A

b

2 tan

B
c
a
C

3 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

Q r
r
R

r

r

P
r

S
b

A

A
A
 2b tan
2
2
A
A
a tan 2  2b tan  a  0
2
2
a  a tan 2

 2b  2c  b  c
 2b  2 b 2  a 2
A  2b  4b 2  4a 2
 2b  2 c 2





2
2a
2a
2a
2a
a
A bc
A bc
(diterima) atau tan 
(ditolak)
tan 
2
a
a
2
A bc
r
tan 

2
a
AS
ar
AS 
cb
AC  CR  RS  AS
tan

b  r  2r 
r

a 
ar

 3c  3b  a 
 r 3 
  r

cb
cb

 c b 

b c  b
3c  3b  a

r 

(qed)

8 10  6 
3 10  3  8  6



32 8
2
 2
12 3
3

124. ABCD adalah segi empat dengan BAC  30 , CAD  20 , ABD  50 , DBC  30 .
Jika diagonal-diagonal berpotongan di O dan panjang OD = 2007, carilah panjang OC .
Solusi 1:
Kita mempunyai ACB  70 , ADB  80 . Sekarang kita gunakan aturan sinus pada
ABC , ABD , BCO , dan ADO :
A
BC sin 30
1
…. (1)


D
30 20
AB sin 70 2sin 70
AD sin 50
…. (2)

O
AB sin 80
C
BC sin 30
BC
…. (3)
OC 

30
sin 80
2sin 80
50
AD sin 20
…. (4)
OD 
B
sin 80
BC
sin 80
Bagilah persamaan (1) oleh persamaan (2), kita mendapatkan

AD 2sin 50 sin 70
OC BC
1
Bagilah persamaan (3) oleh persamaan (4), kita mendapatkan
.


OD AD 2sin 20
OC
sin 80
Karenanya,

OD 4sin 20 sin 50 sin 70
Tetapi
4 sin 20 sin 50 sin 70  2 sin 702 sin 20 sin 50  2 sin 70cos30  cos 70

 2 sin 70 cos 30  2 sin 70 cos 70  sin100  sin 40  sin140
 sin 80  sin 40  sin 40  sin 80
Karenanya, OC  OD  2007 .

4 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

Solusi 2:
ACB  70 , ADB  80 , x  OCD dan y  ODC ; x  y  80 

sin BAC  sin ADB  sin DCA  sin CBD  sin ABD  sin DAC  sin CDB  sin BCA
sin 30  sin 80  sin x  sin 30  sin 50  sin 20  sin y  sin 70

cos10  sin x  4  sin 20  cos 20  cos 40  sin y
cos10  sin x  sin 80  sin y
cos10  sin x  cos10  sin y
sin x  sin y
x y
OC  OD  2007

Catatan:
4  sin 20  cos 20  cos 40  2 sin 40  cos 40  sin 80  cos10 .
125. Diberikan ABC adalah segitiga sama kaki dengan AB  AC . Garis bagi B memotong sisi
AC pada titik D dan bahwa BC  BD  AD . Jika sin10  k , carilah sin A .
Solusi 1:
Misalnya E pada BC sehingga BE  BD .
A
BC  BD  AD (diketahui)
BE  CE  BD  AD
D
AD  CE
Menurut teorema garis bagi:
CE AD AB AC
B
C
E



CD CD CB CB
Karena DCE  BCA , sehingga DCE ~ BCA .
Akibatnya DCE  CDE  ABC .
Misalnya ABC  2 , maka BDE  BED  4 , CBD   , sehingga
  2   2  4   180
  20
Karena itu, A  100 .
sin A  sin100  sin80  cos10  1  sin 2 10  1  k 2

Solusi 2:
Menunjukkan B  C  2 x A  180  4 x, ADB  3x

BC  BD  DA
BC
DA
1
BD
DB
sin 3x
sin x
1
sin 2 x
sin 4 x
sin 3x sin 4 x  sin 2 x sin 4 x  sin x sin 2 x
cos x  cos 7 x  cos 2 x  cos 6 x  cos x  cos 3x
cos 6 x  cos 3x  cos 2 x  cos 7 x
9x
3x
9x
5x
cos cos  cos cos
2
2
2
2
9x
cos  0
2
x  20

5 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

Karena itu, A  100 B  C  40 .
sin A  sin100  sin80  cos10  1  sin 2 10  1  k 2

126. Jika x adalah bilangan real merupakan solusi dari persamaan 1 

2 x2  1
1 x

 2 x 1  x , carilah nilai

dari x 10  2 5 .
Solusi:
1

2 x2  1
1 x

 2x 1  x





1  x  2 x2  1  2x 1  x2

Di sini jelas bahwa  1  x  1 .
Misalnya x  cos ( 0    π ), sehingga
1  x  1  cos   2sin 2


2

 2 sin


2

,

2 x 2  1  2 cos 2   1  cos 2 , dan
2 x 1  x2  2cos  1  cos2   2cos  sin   sin 2 ,





Sehingga persamaan 1  x  2 x 2  1  2 x 1  x 2 menjadi
2 sin
2 sin

2 sin

sin


2


2


2

 cos 2  sin 2
 cos 2  sin 2





 2 sin  2  
2
4




 sin  2  
4


π 
π

  2k π atau 2   π   2k π , k  B
4 2
4
2
3
π
5
3π
    2k π atau  
 2k π , k  B
2
4
2
4
π 4
3π 4
    k π or  
 k π, kB
6 3
10 5
2 

Karena 0    π , kita memiliki  
 x 10  2 5 

3π
10  2 5
3π
, kemudian akarnya adalah x  cos
.

10
10
4

10  2 5
100  20
 10  2 5 
 20
4
4





127. Selesaikanlah persamaan 8sin x  8cos2 x sin x  8cos x  8sin 2 x cos x tan 3x  3cos3x .
Solusi 1:





8sin x  8cos2 x sin x  8cos x  8sin 2 x cos x tan 3x  3sec3x





8sin x  sin x   8cos x  cos x  tan 3x  3sec3x

8sin x 1  cos2 x  8cos x 1  sin 2 x tan 3x  3sec3x
2

2

6 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

8sin3 x  8cos3 x tan 3x 

3
cos3x

8sin 3 x cos 3x  8cos3 x sin 3 x  3

Gunakan identitas: sin 3 x 

3sin x  sin 3x
cos 3x  3cos x
dan cos3 x 
.
4
4

3
8
3 sin x  sin 3x
cos 3x  3 cos x
3
cos 3x 
sin 3x 
4
4
8
1
3 sin x cos 3x  sin 3x cos 3x  cos 3x sin 3x  3 cos x sin 3x   3
4
8
3
3 sin x cos 3x  3 cos x sin 3x 
2
1
sin x cos 3x  cos x sin 3x 
2
1
sin 4 x 
2
π
sin 4 x  sin
6
sin 3 x cos 3x  cos3 x sin 3x 

4x 
x

π
π
 2k π atau 4 x  π   2k π
6
6

π 1
5π 1
 k π atau x 
 k π , kB
24 2
24 2

128. Selesaikanlah persamaan sin 6 x  cos 6 x  0, 25 .
Solusi 1:
Misalnya p  sin 2 x , sehingga 1  p  cos 2 x
sin 6 x  cos 6 x  0, 25

 sin x    cos x 
2

3

2

3

 0, 25

p3  1  p   0, 25
3

p3  1  3 p  3 p 2  p3  0, 25
3 p 2  3 p  0, 75  0
4 p2  4 p  1  0

 2 p  12  0
p

1
2

1
2
1
sin x  
2
2
1
1
sin x 
2  sin x  
2
2
2

3
5

x   2k πatau x 
 2k π atau x 
 2k πatau x    2k π , k  B
4
4
4
4
sin 2 x 

7 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007

Solusi 2:
sin 6 x  cos6 x  0, 25

sin

2





x  cos2 x sin 4 x  sin 2 x cos2 x  cos4 x  0, 25

sin 4 x  sin 2 x cos2 x  cos4 x  0, 25

 sin

2

x  cos 2 x



2

 3sin 2 x cos 2 x  0, 25

1  3sin 2 x cos2 x  0, 25

3sin 2 x cos2 x  0, 75

4 sin 2 x cos2 x  1

2 sin x cos x 2  1
sin 2 2 x  1
sin 2 x  1
sin 2 x  1 atau sin 2 x  1
3


 2k π atau 2 x    2k π
2 x   2k π atau 2 x 
2
2
2

3

x   k π atau x 
 k π atau x    k π , k  B
4

4

4

Solusi 3:

Gunakan kesamaan a 3  b 3  a  b 3  3aba  b  , sehingga kita mendapatkan
sin 6 x  cos6 x  0, 25

sin

2

x  cos 2 x



3





 3sin 2 x cos 2 x sin 2 x  cos 2 x  0, 25

1  3sin 2 x cos2 x  0, 25
3sin 2 x cos2 x  0, 75

4 sin 2 x cos2 x  1

2 sin x cos x 2  1
sin 2 2 x  1
sin 2 x  1
sin 2 x  1 or sin 2 x  1

3

x   k π atau x 
 k π atau x    k π , k  B
4

129. Jika sin 18 

4

4

a b
, tentukan nilai a  b  c .
c

Solusi:
  18
5  5  18
2  90  3
sin 2  sin90  3 
sin 2  cos 3
2 sin  cos  cos2   
2 sin  cos  cos 2 cos  sin 2 sin 





2 sin  cos  2 cos 2   1 cos  2 sin  cos sin 

2 sin  cos  2 cos3   cos  2 sin 2  cos

8 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007





2 sin  cos  2 cos3   cos  2 1  cos 2  cos

2 sin  cos  2 cos   cos  2 cos  2 cos3 
3

2 sin  cos  4 cos3   3 cos , karena cos  0
2 sin   4 cos 2   3





2 sin   4 1  sin 2   3

2 sin   4  4 sin 2   3
4 sin 2   2 sin   1  0
sin  

 2  4  16  2  2 5  1  5


8
8
4

Karena  sudut lancip, maka sin  

1 5
. Berarti a  1 , b  5 , dan c  4 .
4

Jadi, nilai a  b  c  1  5  4  0 .
130. Tentukan nilai minimum dari
Solusi 1:

25 x 2  25 x 2 cos 2 x  16
untuk 0  x   .
x sin x





2
2
25 x 2  25 x 2 cos 2 x  16 25 x 1  cos x  16 25 x 2 sin 2 x  16


x sin x
x sin x
x sin x

Misalnya y  x sin x , sehingga bentuk terakhir menjadi

25 y 2  16
16
 25 y  .
y
y

Karena x  0 maka sin x  0 dan 0  x   , sehingga y  0 .
Selanjutnya dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM diperoleh
AM  GM
25 y 

16
16
 2 25 y 
 40
y
y

Kesetaraan akan tercapai jika 25 y 

16
16
4
 y2 
y .
y
25
5

Karenanya nilai minimum adalah 40 (jika x sin x 
pada interval 0  x 
Solusi 2:


2

4
; sehingga x sin x adalah kontinu dan naik
5

dan pada interval ini 0  sin x 




2

.



2
2
25 x 2  25 x 2 cos 2 x  16 25 x 1  cos x  16 25 x 2 sin 2 x  16


x sin x
x sin x
x sin x

Kita menyatakan pembilang sebagai bentuk kuadrat sempurna dengan menambah 

40 x sin x
,
x sin x

sehingga

 5 x sin x  4 
25 x 2 sin 2 x  16 40 x sin x
25 x 2 sin 2 x  40 x sin x  16
 40


 40 
 40 
x sin x
x sin x
x sin x
x sin x
2

Selanjutnya, jika 5 x sin x  4  0 , maka jelas minimum 40.
Solusi 3:

9 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007





2
2
25 x 2  25 x 2 cos 2 x  16 25 x 1  cos x  16 25 x 2 sin 2 x  16


x sin x
x sin x
x sin x

Misalnya y  x sin x , sehingga bentuk terakhir menjadi f  x  
Tentukan turunan pertama dan kedua, sehingga f '  y   25 
Nilai stasioner f dicapai jika f '  y   0 , sehingga 25 

25 y 2  16
16
 25 y  .
y
y

16
32
dan f " y   3 .
2
y
y

16
4
4
 0  y  atau y   .
2
5
5
y

 4  125
Perhatikan bahwa f "  
 0 berarti nilai f adalah minimum sedangkan
2
5
125
 4
f "    
 0 berarti nilai f adalah maksimum.
2
 5
Substitusikan y  x sin x 

25 x 2 sin 2 x  16
4
ke
, sehingga diperoleh nilai minimum adalah
x sin x
5

2

4
25    16
5
 40 .
4
5

10 |Husein Tampomas, Pengayaan Matematika, 2007