BAB VI Persamaan dan kuadrat
Persamaan Kuadrat
Kompetensi Inti
K
:
:
Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya
:
Menghargai dan menghayati perilaku jujur, disiplin, tanggungjawab,
peduli (toleransi, gotongroyong), santun, percaya diri, dalam
berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam dalam
jangkauan pergaulan dan keberadaannya
Memahami dan menerapkan pengetahuan (faktual, konseptual, dan
prosedural) berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan,
teknologi, seni, budaya terkait fenomena dan kejadian tampak mata
I
1
K
I
2
K
:
I
3
K
:
Mengolah, menyaji, dan menalar dalam ranah konkret (menggunakan,
mengurai, merangkai, memodifikasi, dan membuat) dan ranah abstrak
I
(menulis, membaca, menghitung, menggambar, dan mengarang) sesuai
4
dengan yang dipelajari di sekolah dan sumber lain yang sama dalam
sudut pandang/teori
Kompetensi Dasar
1.1 Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya
2.1 Menunjukkan sikap logis, kritis, analitik, konsisten dan teliti, bertanggung
jawab, responsif, dan tidak mudah menyerah dalam memecahkan masalah.
2.2 Memiliki rasa ingin tahu, percaya diri, dan ketertarikan pada matematika serta
memiliki rasa percaya pada daya dan kegunaan matematika, yang terbentuk
melalui pengalaman belajar.
1.2 Memiliki sikap terbuka, santun, objektif, menghargai pendapat dan karya
teman dalam interaksi kelompok maupun aktivitas sehari-hari.
3.3 Menentukan nilai persamaan kuadrat dengan satu variabel yang tidak
diketahui
Tujuan pembelajaran
1. Siswa dapat menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan
2. Siswa dapat menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan
kuadrat sempurna
3. Siswa dapat menurunkan rumus penyelesaian persamaan kuadrat dengan
rumus abc
4. Siswa dapat menyelesaikan persamaan irasional
Alokasi Waktu: 3 x 45 menit
GERBANG ILMU
Apersepsi
Pak Adi bermaksud menjadikan tanah pekarangan yang berbentuk empat persegi
panjang berukuran 60 m 80 m sebuah taman. Dia merencanakan sebuah jalan
setapak dengan lebar sama, yang mengelilingi taman tersebut. Setelah taman
tersebut jadi, ternyata luas tamannya tinggal seperenam luas tanah pekarangan
semula. Berapa lebar jalan setapak yang dibuat Pak Edi? Dengan memisalkan
lebar jalan setapak x m, diperoleh:
(80 - 2x)(60 - 2x) = 1/6 x 60 x 80
BAB 6
PERSAMAAN KUADRAT
A. Penyelesaian Persamaan Kuadrat
Sesuai dengan model matematika yang didesain dari contoh
masalah diatas, dapat disimpulkan sebagai berikut.
Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c = 0,
dengan a≠ 0 dan a,b,c ∈ R. Setiap konstanta pengganti x yang
menjadikan pernyataannya bernilai benar disebut penyelesaian
persamaan kuadrat atau akar-akar persamaan kuadrat tersebut.
Dari persoalan nomor 1 di atas, diperoleh model matematika
bahwa lebar jalan setapak Pak Adi memenuhi persamaan
x2 -70x +1000 = 0 .
Aturan pokok yang dijadikan dasar penyelesaian kuadrat adalah sifat dalam
bilangan real yang kita lampirkan dalam modul ini, adalah bahwa:
Aturan pokok untuk menyelesaikan persamaan aljabar:
untuk setiap a, b R jika dipenuhi a.b = 0 maka a = 0 atau b = 0
Dari persoalan nomor 1 di atas,
x 2 - 70 x +1000 0
( x -20 )( x -50 ) 0
x= 20 0 atau x=50
Jawaban ini jika direfleksikan kembali ke persoalannya, maka lebar jalan
setapak yang mungkin adalah 20 m (pembaca dapat mencari jawaban
mengapa tidak 50 m).
Cara yang pembaca lakukan di atas dikenal sebagai menyelesaikan
persamaan kuadrat dengan memfaktorkan. Secara umum, penyelesaian
persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan cara:
a. memfaktorkan, cara ini akan sangat efektif bila diskriminannya
merupakan kuadrat sempurna;
b. melengkapkan kuadrat sempurna, dan
c. menggunakan rumus, yang biasa kita sebut sebagai rumus abc.
Adapun contoh-contoh penyelesaiannya sebagai berikut.
1) Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan
Pada prinsipnya pemfaktoran merupakan kebalikan dari
penjabaran, langkah selanjutnya adalah digunakannya Teorema II
dari Hukum Dasar Aljabar yang penulis sertakan dalam lampiran
ini.
Contoh 1.
Selesaikan persamaan kuadrat x2- 5x + 6 = 0
Jawab :
x2-5x + 6 = 0
dikalikan : ( -2)x (- 3) = 6 (= c)
(x -2)(x-3) = 0
dijumlah : ( -2)+( -3) = -5 (= b)
x -2 = 0 atau x-3 = 0
(Teorema II)
x = 2 atau x = 3
Jadi himpunan penyelesaiannya { 2, 3}
2) Penyelesaian Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat
Sempurna
Penyelesaian kuadrat sempurna dengan cara melengkapkan kuadrat
sempurna pada dasarnya menggunakan sifat-sifat:
p
p
a) Jika x2 = p untuk p≥0, maka x = ±
(artinya x =
atau x =
p
)
b) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Jika dalam persamaan kuadrat diskriminan (D = b2 4ac) bukan kuadrat
sempurna, maka cara ini adalah sangat efektif, demikian juga cara ini justru
dapat digunakan sebagai dasar penyelesaian umum persamaan kuadrat, dan
dalam pengembangannya dapat untuk menentukan nilai-nilai ekstrim fungsi
kuadrat, mencari sumbu simetrinya dan sebagainya.
Contoh 1
Tentukan penyelesaian dari persamaan kuadrat
x2 + 4x 5 = 0
Jawab :
x2 + 4x 5 = 0
x2 + 4x = 5
x2 + 4x + 4 = 5 + 4 (kedua ruas ditambah kuadrat dari
( 12 (4))2 4 )
(x + 2)2 = 9
x+2=
93
x + 2 = 3 atau x + 2 = 3
x = 1 atau x = 5
1
2
b atau
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 1, 5}
3) Menurunkan Rumus Penyelesaian Persamaan Kuadrat
dengan Rumus abc
Menurunkan rumus penyelesaian persamaan kuadrat dapat
dipercayakan kepada siswa, tetapi syaratnya penyelesaian
dengan melengkapkan kuadrat telah dikuasai dengan baik. Dengan pengarahan
yang baik maka siswa dapat diarahkan menurunkan rumus mencari akar
persamaan kuadrat. Cara menurunkan rumus penyelesaian kuadrat di bawah ini
dapat dijadikan referensi tambahan guru pada saat memfasilitasi siswa mereinvent rumus ini, di samping cara menurunkan rumus yang sudah sering kita
kenal.
ax2 + bx + c = 0, a≠0
ax2 + bx = -c
4a(ax2 + bx) = -4ac
4a2x2
(kedua ruas dikali 4a)
+ 4abx = -4ac
4a2x2
+ 4abx + b2 = 4ac + b2
(2ax)2 + 2(2ax)(b) + b2 = b2-4ac
(2ax+b)2=b2-4ac
(kedua ruas ditambah b2)
2
2ax + b = ± b 4ac
2
2ax = -b± b 4ac
b2 4ac
x = -b±
2a
Jadi rumus untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat :
ax2 + bx + c = 0 untuk a ≠0 maka akar-akarnya adalah:
2
x = -b± b 4ac
2a
Contoh: Selesaikanlah akar-akar persamaan 3x2
5x + 1 = 0
Jawab: di sini a = 3, b = -5 dan c = 1, sehingga:
x
( 5) ( 5)2 4.3.1
3(3)
x
5 13
6
5 13 5 13
,
6
6
Jadi himpunan penyelesaiannya
Catatan
Mengacu pada definisi akar kuadrat, bahwa nilai pengakaran dari
bilangan real non negatif a, yang ditulis dengan lambang
a adalah b, sedemikian hingga dipenuhi b2 = a. Dan merujuk
konsistensi dari matematika, maka akar kuadrat dari bilangan non
negatif, didefinisikan bernilai non negatif pula. Sebagai
misal
9 3, sebab 9 positif dan 32 = 9.
Berikut contoh penerapan persamaan kuadrat dari persoalan yang kita
jadikan konteks menuju ke persamaan kuadrat di depan.
Suatu kotak tanpa tutup untuk penyerahan kenang-kenangan teman yang
berulang tahun, dibuat dari kertas karton berbentuk empat persegi
panjang, ukuran 10 cm 20 cm dengan jalan menggunting suatu persegi
pada keempat sudutnya. Luas alasnya adalah 96 cm 2. Hitunglah panjang
sisi dari keempat persegi yang digunting pada sudut karton tersebut!
Solusi:
x
20 2
x
x
x
10 2
10 2
x
x
x
20 2
x
Misalkan dipotong persegi di keempat sudutnya dengan panjang sisinya x cm.
Maka kotak karton tanpa tutup yang terbentuk mempunyai alas yang
berbentuk empat persegi panjang dengan ukuran (20 2x) cm (10 2x) cm.
Dari sini kita hasilkan persamaan :
(20 2x)(10 2x) = 96
Dengan menggunakan sifat distributif untuk menjabarkan ruas kiri kita
hasilkan
200 -60x + 4x2 = 96
4x2 - 60x + 104 = 0
x2 - 15x + 26 = 0
(kedua ruas dibagi dengan 4)
(x - 2)(x -13) = 0
x -2 = 0 atau x - 13 = 0
(Teorema II)
x = 2 atau x = 13
Dari hasil ini dapat ditarik kesimpulan bahwa harus dipotong persegi
dengan ukuran sisi 2 cm agar diperoleh kotak dengan ukuran itu, dan
tidak mungkin dipotong 13 cm (mengapa ?)
2. Persamaan Irasional
Persamaan irasional adalah persamaan yang peubahnya terletak di
bawah tanda akar. Untuk menyelesaikannya, pada prinsipnya adalah
dengan mengkuadratkan kedua ruas. Tetapi dengan mengkuadratkan
kedua ruas, ada kemungkinan kita menyelundupkan akar, sehingga
hasil solusi harus diperiksa kembali.
Contoh 1
Tentukan nilai x yang memenuhi identitas
Jawab:
(x 5)2 x 5
(x 5)2 x 5
Agar berlaku identitas
, harus dipenuhi syaratnya,
yaitu: (x – 5) ≥ 0, sebab hasil pengakaran adalah non negatif.
Sehingga x ≥ 5
Contoh 2
Tentukan penyelesaian dari
x2
Jawab:
Uji prasyarat:
x2 - 4 ≥ 0 jadi x≤-2 atau x ≥ 2 , dan
4
x 2
x + 2 ≥ 0 jadi
x ≥ -2
2
Dari x 4 x 2 , kedua ruas dikuadratkan, akan diperoleh
x2 – 4 = x + 2
x2 – x – 6 = 0
(x-3)(x + 2) = 0
x = 3 atau x = 2
Dengan memperhatikan uji prasyarat tadi, maka himpunan penyelesaian dari
persamaan di atas adalah { 2, 3 }
BELAJAR MANDIRI
1
1. Susunlah persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya 4 dan –3
2. Jika jumlah kuadrat akar-akar persamaan x 2 – 2x + k – 3 = 0 adalah
20, maka tentukan nilai k!
Diketahui x1, x2 merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat x2 – 2x + 6
= 0, tentukan nilai dari:
3. x1 + x2
4. x1 . x2
5. x12 + x22
BELAJAR KELOMPOK
Buatlah soal dan Kerjakanlah dengan kelompok anda tentang permasalahan
persamaan kuadrat 10 soal.
UJI KOMPETENSI
A.pilihlah jawaban yang benar
1. Himpunan penyelesaian 5(x – 6) + 15 – 3 (x + 5) = 4(x –1)
adalah ....
a. –11 d. –14
b. –12 e. –15
c. –13
2. Harga 1 kg beras adalah tiga kali harga 1 kg tepung terigu.
Harga 6 kg beras dan 4 kg tepung terigu adalah Rp46.200,00.
Jika Putri membeli 3 kg beras
dan 3 kg tepung terigu, berapa rupiahkah Putri harus membayar?
a. Rp22.500,00 d. Rp23.000,00
b. Rp25.200,00 e. Rp23.100,00
c. Rp52.500,00
3. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan 2/5 adalah ....
a. 5x2 - 17x + 6 = 0
b. 4x2 - 10x + 3 = 0
c. 5x2 - 5x + 4 = 0
d. 5x2 – 12x + 2 = 0
e. 5x2 - 12x = 0
4. Agar persamaan x2 + (k + 2)x + (k + 3) = 0 mempunyai akar
kembar maka nilai k = ....
a. 8 d. 2
b. 4 e. 1
c. 2 2
5. Jika persamaan ax – 4x + 10 = 0 mempunyai akar-akar
dandengan・ = 5 maka += ....
a. –8 d. 2
b. –4 e. 8
c. –2
6. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya lebih 3 dari akar-akar
persamaan kuadrat x2 + 5x – 2 = 0 adalah ....
a. x2 - x - 30 = 0 d. x2 + 5x - 21 = 0
b. x2 - x + 30 = 0 e. x2 + 8x - 24 = 0
c. x2 + x + 30 = 0
7.Jika p dan q adalah akar-akar persamaan 2x2 - 3x + 2 = 0 maka
p3q2 + p2q3 = ....
1
a. 4
3
b. 4
3
c. 2
9
d. 4
7
e. 2
8. Persamaan kuadrat : x2 – 6x + 5 = 0 akar-akarnya adalah a
dan b . Nilai (a - b)2= …
A. 9
B. 16
C. 21
D. 25
E. 31
9. Fungsi kuadrat yang memotong sumbu x di titik (0,0) ;
(2,0) dan melalui titik (1, -1) mempunyai persamaan ….
A. f(x) = 2x2 - 2x
B. f(x) = 2x2 + 2x
C. f(x) = 2x2 - x
D. f(x) = x2 - 2x
E. f(x) = x2 + 2x
10.Persamaan
2
2x
– 2x
+ 3
+ 4 = 0 , maka nilai x yang
memenuhi adalah ….
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
E. 0
11. Jumlah kuadrat akar-akar dari persamaan
x 2 px p 0
adalah ....
(A) Minimum 1
(B) Maksimum 1
(C) Minimum 8
(D) Maksimum 8
(E) Minimum -1
12. Jika dua sisi yang sama pada segitiga sama kaki
masing-masing ditambah 11 cm, hasil perubahannya
menjadi segitiga sama sisi. Jika keliling segitiga sama kaki
tersebut adalah 50 cm, maka luasnya sama dengan ....
(A) 60 cm²
(B) 90 cm²
(C) 93 cm²
(D) 108 cm²
(E) 180 cm²
13. Dari sehelai karton persegi panjang akan dibuat
sebuah kotak tanpa tutup dengan cara memotong ujungujung karton tersebut dengan potongan berbentuk bujur
sangkar seluas 2 x 2 cm². Jika panjang bidang alas kotak 4
cm lebih besar dari lebarnya dan isi kotak itu 42 cm³, lebar
alas kotak tersebut adalah ....
(A) 3 cm
(B) 4 cm
(C) 5 cm
(D) 6 cm
(E) 7 cm
14. Suatu lapangan berbentuk empat persegi panjang
dengan keliling 42 m dan luas 80 m². Selisih antara
panjang dan lebar lapangan tersebut adalah?
(A) 2
(B) 3
(C) 5
(D) 7
(E) 11
2
15. Salah satu akar persamaan x ax 4 0 adalah lima
lebihnya dari akar yang lain. Nilai a adalah ....
(A) -1 atau 1
(B) -3 atau 7
(C) -3 atau 3
(D) -4 atau 4
(E) -5 atau 5
16. Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar dari persamaan
x 2 kx k 0 dan x12 x22 15 maka nilai k yang mungkin
adalah ....
(A) -3
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 3
2
17. Jika kedua akar persamaan x (2m 3)x 3m 0 adalah
berkebalikan, nilai m = ....
a. 1
1
b. 3
1
4
c.
3
d.- 2
e-2
18. α dan β adalah akar-akar persamaan
x 2 3 x (k 13) 0. Jika x 2 b 2 29 kuadrat
nilai k adalah ….
(A) -12
(B) -3
(C) 3
(D) 12
(E) 13
2
19. Jika jumlah kuadrat akar-akar persamaan x 3 x p 0
sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan
x 2 x p 0 , nilai p adalah ....
(A) 8
(B) 6
(C) -2
(D) -8
(E) -10
20 Jika α dan β merupakan akar-akar real persamaan
x2 x
6
2
x x 1 nilai αβ adalah ....
(A) -1
(B) -2
(C) -3
(D) 3
(E) 2
2
21. Nilai x yang memenuhi persamaan x ax 5 x 5a 0
(A) 5
(B) a
(C) 5 dan a
(D) -5 dan 1
(E) 5 dan -a
22. Persamaan kuadrat (2x - 3)(2x + 7) = 0 dan x² + px +
q = 0 memiliki akar-akar yang sama. Nilai p + q = ....
(A) -2,00
(B) -3,25
(C) -6,50
(D) -13,00
(E) -26,00
23. Himpunan penyelesaian dari persamaan
x R adalah ....
(A) {3, 1}
(B) {1, -2}
(C) {1, 2}
(D) {-1, 2}
(E) {-1, -3}
2
x
3
4
x
untuk
2
24. Salah satu akar persamaan x 2k x 6k 0 , (k > 0)
adalah x =2, maka akar yang lainnya adalah ....
(A) 2
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
2
25. Jika perbandingan akar-akar persamaan 2x px 4 0
adalah 2 : 1, nilai p sama dengan ....
(A) 6
(B) -6
(C) ±6
(D) 12
(E) 18
B.
Isilah Pertanyaan-pertanyaan berikut dengan benar
1. Tentukan nilai x dari persamaan berikut:
a.
x 2 4x 4 = x - 2
b.
4x 2 12x 9 = 2x + 3
2. Tentukan x dari persamaan berikut:
a.
6x 2 - 4x 4 = x +2
b.
4x 1 - 3x 2 =1
c.
2x 1 + 3x 4 =7
Tentukan nilai x yang memenuhi:
3.
5x 1 2x 10x 5
4.
2x 8 3x 4 x 5
5.
x 1 2x 3 10x 6
6.
x1 x2
x2 x1
7. Jika persamaan kuadrat kx2 + kx + 3 = 0 mempunyai akar kembar,
tentukan nilai k dan tentukan akar-akar kembar tersebut!
8. Persamaan kuadrat mx2 + (2 – 2m)x + m = 0 mempunyai 2 akar riil
yang berbeda. Tentukan nilai m!
Tentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat berikut, tanpa terlebih
dahulu menentukan akar-akarnya.
9. x2 + 5x + 2 = 0
10. x2 – 10x + 25 = 0
Jawablah dengan singkat
1. Tentukan nilai p agar (4 – p) x2 + 11 x + p + 6 = 0 mempunyai akar
berkebalikan !
2. Persamaan x2 + (2 m – 1) x + m2 – 3 m – 4 = 0 mempunyai akar
berlawanan. Tentukan nilai m !
Tentukan nilai p agar persamaan berikut mempunyai dua akar yang
sama !
3. x2 + 2 p x + 4 = 0
4. x2 + px + p + 3 = 0
Tentukan nilai p agar persamaan berikut mempunyai akar akar real yang
berlainan !
5. x2 + p x + p = 0
6. x2 – (p + 3) x + 2 p + 2 = 0
7. p x2 + 3 x + p = 0
Tentukan nilai m agar x2 + 2 m x – m2 + 5 m – 6 = 0 mempunyai :
8. dua akar berlawanan
9. dua akar berlawanan tanda
10. dua akar positif
Uraikan pertanyaan dibawah ini dengan jelas
1. Konstruksikan beberapa buah persoalan yang dapat dijadikan konteks
untuk pendekatan ke persamaan kuadrat
2. Selesaikanlah persamaan- persamaan kuadrat berikut : a.
x2 + 3x 28 = 0
1
1
5
b.
+
=
4
t -1
t- 4
c. 5x2- 6x + 5 = 0
d.
y
3p
2p 6y 5p
3. Sebuah bilangan positif lebih besar 5 dari tiga kali bilangan lainnya. Hasil
kali kedua bilangan itu adalah sama dengan 68. Carilah bilangan itu!
4. Tentukan ukuran dari empat persegi panjang yang kelilingnya 50 kaki dan
luasnya 150 kaki persegi.
5. Sisi miring sebuah segitiga adalah 34 inci. Carilah panjang dua kaki lainnya,
apabila kaki yang satu 14 inci lebih panjang dari kaki lainnya
6.Tentukan persamaan kuadrat dengan rumus yang akar-akarnya 3
1
dan 2 !
7.
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 lebihnya
dari akar-akar persamaan 3x2 – 4x + 2 = 0!
8.Diketahui akar-akar persamaan kuadrat x2 – 8x – 2 = 0 adalah x1
dan x2. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya
x2
x1
x1
x2
dan
!
9.Susunlah persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya:
a. –2 dan 3
b.
5 dan 5
10.Jika salah satu akar persamaan x2 – 10x + (k – 2) = 10 adalah empat kali
akar yang lain maka tentukan nilai k dan akar-akar tersebut!
Perbaikan
1. Bila ada persamaan kuadrat (2-a)x 2 + (3+a)x – 8 = 0
2.
3.
4.
5.
6.
dan salah satu akar dari persamaan kuadrat tersebut
adalah 2, coba sobat tentukan berapa nilai a
Akar-akar persamaan kuadrat dari 3x2 – 5x + 2 adalah
….
Berapa nilai x yang memenuhi persamaan x + √(x-1) =
3 adalah..
Jika akar-akar persamaan kuadrat dari 6x2 + 6x + 19 =
0 adalah a dan b, maka …
Akar-akar persamaan kuadrat 3x2 – 2x -9 = 0 adalah a
dan b maka
Jika
salah
satu
akar
persamaan
kuadrat
x 2 (n 1)x ( n 3) 0 adalah dua kali akar yang lain,
nilai n adalah ....
7. Jika
x1 dan x2
adalah
akar-akar
dari
persamaan
2
1
1
x 2 px q 0, ...
x
x
2
1
8. Akar-akar
persaman kuadrat
(m 2)x 2 4 x (m 2) 0
2
2
adalah α dan β. Jika 20 , p = ....
9. Jumlah
kuadrat
2 x 2 6 x (2k 1) 0 akar-akar
8
1
2 . Nilai k adalah ....
persamaan kuadrat adalah
α dan β merupakan
10. Jika
2
4
...
2
kuadrat , nilai dari 2
Pengayaan
akar-akar
persamaan
1. Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat 2x 2 - 4x + 6=
0adalah…..
2. Persamaan kuadrat ( k + 2 )x 2 - ( 2k - 1) x + k – 1 = 0
mempunyai akar-akar nyata dan sama. Jumlah kedua akar
persamaan tersebut adalah….
3. Persamaan kuadrat x 2 + (m-2)x + 9 = 0, akar-akar nyata. Nilai m
yang memenuhi adalah….
4. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan -2 adalah:
5. Akar-akar persamaan kuadrat x 2 - 5 x - 3 = 0 adalah x1 dan x 2 .
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 -1 dan x 2 - 1 adalah...
6. Grafik di bawah ini berbentuk parabola dengan persamaan ….
7. Suatu fungsi kuadrat f(x) mempunyai nilai maksimum 5 untuk x
= 2, sedangkan f(4) = 3. Fungsi kuadrat tersebut adalah…..
8. Daerah hasil fungsi f(x)= x 2 -2x - 3 untuk daerah asal {x | -1 ≤
x ≤ 4, x ∈R }. Dan y=f(x) adalah…..
9. Grafik fungsi kuadrat yang persamaannya adalah y = 6 +px – 5x
2 memotong sumbu x. Salah satu titik potongnya adalah (-2,0),
mak p = ….
10. Grafik fungsi f(x)= ax 2 +bx +c seperti gambar berikut, jika b 2 4ac > 0dan ….
PORTOFOLIO
2
Persamaan kuadrat x + ( m−2 ) x+ 9=0adalah akar-akar nyata.
Nilai m yang memenuhi adalah?
Kompetensi Inti
K
:
:
Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya
:
Menghargai dan menghayati perilaku jujur, disiplin, tanggungjawab,
peduli (toleransi, gotongroyong), santun, percaya diri, dalam
berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam dalam
jangkauan pergaulan dan keberadaannya
Memahami dan menerapkan pengetahuan (faktual, konseptual, dan
prosedural) berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan,
teknologi, seni, budaya terkait fenomena dan kejadian tampak mata
I
1
K
I
2
K
:
I
3
K
:
Mengolah, menyaji, dan menalar dalam ranah konkret (menggunakan,
mengurai, merangkai, memodifikasi, dan membuat) dan ranah abstrak
I
(menulis, membaca, menghitung, menggambar, dan mengarang) sesuai
4
dengan yang dipelajari di sekolah dan sumber lain yang sama dalam
sudut pandang/teori
Kompetensi Dasar
1.1 Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya
2.1 Menunjukkan sikap logis, kritis, analitik, konsisten dan teliti, bertanggung
jawab, responsif, dan tidak mudah menyerah dalam memecahkan masalah.
2.2 Memiliki rasa ingin tahu, percaya diri, dan ketertarikan pada matematika serta
memiliki rasa percaya pada daya dan kegunaan matematika, yang terbentuk
melalui pengalaman belajar.
1.2 Memiliki sikap terbuka, santun, objektif, menghargai pendapat dan karya
teman dalam interaksi kelompok maupun aktivitas sehari-hari.
3.3 Menentukan nilai persamaan kuadrat dengan satu variabel yang tidak
diketahui
Tujuan pembelajaran
1. Siswa dapat menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan
2. Siswa dapat menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan
kuadrat sempurna
3. Siswa dapat menurunkan rumus penyelesaian persamaan kuadrat dengan
rumus abc
4. Siswa dapat menyelesaikan persamaan irasional
Alokasi Waktu: 3 x 45 menit
GERBANG ILMU
Apersepsi
Pak Adi bermaksud menjadikan tanah pekarangan yang berbentuk empat persegi
panjang berukuran 60 m 80 m sebuah taman. Dia merencanakan sebuah jalan
setapak dengan lebar sama, yang mengelilingi taman tersebut. Setelah taman
tersebut jadi, ternyata luas tamannya tinggal seperenam luas tanah pekarangan
semula. Berapa lebar jalan setapak yang dibuat Pak Edi? Dengan memisalkan
lebar jalan setapak x m, diperoleh:
(80 - 2x)(60 - 2x) = 1/6 x 60 x 80
BAB 6
PERSAMAAN KUADRAT
A. Penyelesaian Persamaan Kuadrat
Sesuai dengan model matematika yang didesain dari contoh
masalah diatas, dapat disimpulkan sebagai berikut.
Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c = 0,
dengan a≠ 0 dan a,b,c ∈ R. Setiap konstanta pengganti x yang
menjadikan pernyataannya bernilai benar disebut penyelesaian
persamaan kuadrat atau akar-akar persamaan kuadrat tersebut.
Dari persoalan nomor 1 di atas, diperoleh model matematika
bahwa lebar jalan setapak Pak Adi memenuhi persamaan
x2 -70x +1000 = 0 .
Aturan pokok yang dijadikan dasar penyelesaian kuadrat adalah sifat dalam
bilangan real yang kita lampirkan dalam modul ini, adalah bahwa:
Aturan pokok untuk menyelesaikan persamaan aljabar:
untuk setiap a, b R jika dipenuhi a.b = 0 maka a = 0 atau b = 0
Dari persoalan nomor 1 di atas,
x 2 - 70 x +1000 0
( x -20 )( x -50 ) 0
x= 20 0 atau x=50
Jawaban ini jika direfleksikan kembali ke persoalannya, maka lebar jalan
setapak yang mungkin adalah 20 m (pembaca dapat mencari jawaban
mengapa tidak 50 m).
Cara yang pembaca lakukan di atas dikenal sebagai menyelesaikan
persamaan kuadrat dengan memfaktorkan. Secara umum, penyelesaian
persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan cara:
a. memfaktorkan, cara ini akan sangat efektif bila diskriminannya
merupakan kuadrat sempurna;
b. melengkapkan kuadrat sempurna, dan
c. menggunakan rumus, yang biasa kita sebut sebagai rumus abc.
Adapun contoh-contoh penyelesaiannya sebagai berikut.
1) Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan
Pada prinsipnya pemfaktoran merupakan kebalikan dari
penjabaran, langkah selanjutnya adalah digunakannya Teorema II
dari Hukum Dasar Aljabar yang penulis sertakan dalam lampiran
ini.
Contoh 1.
Selesaikan persamaan kuadrat x2- 5x + 6 = 0
Jawab :
x2-5x + 6 = 0
dikalikan : ( -2)x (- 3) = 6 (= c)
(x -2)(x-3) = 0
dijumlah : ( -2)+( -3) = -5 (= b)
x -2 = 0 atau x-3 = 0
(Teorema II)
x = 2 atau x = 3
Jadi himpunan penyelesaiannya { 2, 3}
2) Penyelesaian Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat
Sempurna
Penyelesaian kuadrat sempurna dengan cara melengkapkan kuadrat
sempurna pada dasarnya menggunakan sifat-sifat:
p
p
a) Jika x2 = p untuk p≥0, maka x = ±
(artinya x =
atau x =
p
)
b) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Jika dalam persamaan kuadrat diskriminan (D = b2 4ac) bukan kuadrat
sempurna, maka cara ini adalah sangat efektif, demikian juga cara ini justru
dapat digunakan sebagai dasar penyelesaian umum persamaan kuadrat, dan
dalam pengembangannya dapat untuk menentukan nilai-nilai ekstrim fungsi
kuadrat, mencari sumbu simetrinya dan sebagainya.
Contoh 1
Tentukan penyelesaian dari persamaan kuadrat
x2 + 4x 5 = 0
Jawab :
x2 + 4x 5 = 0
x2 + 4x = 5
x2 + 4x + 4 = 5 + 4 (kedua ruas ditambah kuadrat dari
( 12 (4))2 4 )
(x + 2)2 = 9
x+2=
93
x + 2 = 3 atau x + 2 = 3
x = 1 atau x = 5
1
2
b atau
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 1, 5}
3) Menurunkan Rumus Penyelesaian Persamaan Kuadrat
dengan Rumus abc
Menurunkan rumus penyelesaian persamaan kuadrat dapat
dipercayakan kepada siswa, tetapi syaratnya penyelesaian
dengan melengkapkan kuadrat telah dikuasai dengan baik. Dengan pengarahan
yang baik maka siswa dapat diarahkan menurunkan rumus mencari akar
persamaan kuadrat. Cara menurunkan rumus penyelesaian kuadrat di bawah ini
dapat dijadikan referensi tambahan guru pada saat memfasilitasi siswa mereinvent rumus ini, di samping cara menurunkan rumus yang sudah sering kita
kenal.
ax2 + bx + c = 0, a≠0
ax2 + bx = -c
4a(ax2 + bx) = -4ac
4a2x2
(kedua ruas dikali 4a)
+ 4abx = -4ac
4a2x2
+ 4abx + b2 = 4ac + b2
(2ax)2 + 2(2ax)(b) + b2 = b2-4ac
(2ax+b)2=b2-4ac
(kedua ruas ditambah b2)
2
2ax + b = ± b 4ac
2
2ax = -b± b 4ac
b2 4ac
x = -b±
2a
Jadi rumus untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat :
ax2 + bx + c = 0 untuk a ≠0 maka akar-akarnya adalah:
2
x = -b± b 4ac
2a
Contoh: Selesaikanlah akar-akar persamaan 3x2
5x + 1 = 0
Jawab: di sini a = 3, b = -5 dan c = 1, sehingga:
x
( 5) ( 5)2 4.3.1
3(3)
x
5 13
6
5 13 5 13
,
6
6
Jadi himpunan penyelesaiannya
Catatan
Mengacu pada definisi akar kuadrat, bahwa nilai pengakaran dari
bilangan real non negatif a, yang ditulis dengan lambang
a adalah b, sedemikian hingga dipenuhi b2 = a. Dan merujuk
konsistensi dari matematika, maka akar kuadrat dari bilangan non
negatif, didefinisikan bernilai non negatif pula. Sebagai
misal
9 3, sebab 9 positif dan 32 = 9.
Berikut contoh penerapan persamaan kuadrat dari persoalan yang kita
jadikan konteks menuju ke persamaan kuadrat di depan.
Suatu kotak tanpa tutup untuk penyerahan kenang-kenangan teman yang
berulang tahun, dibuat dari kertas karton berbentuk empat persegi
panjang, ukuran 10 cm 20 cm dengan jalan menggunting suatu persegi
pada keempat sudutnya. Luas alasnya adalah 96 cm 2. Hitunglah panjang
sisi dari keempat persegi yang digunting pada sudut karton tersebut!
Solusi:
x
20 2
x
x
x
10 2
10 2
x
x
x
20 2
x
Misalkan dipotong persegi di keempat sudutnya dengan panjang sisinya x cm.
Maka kotak karton tanpa tutup yang terbentuk mempunyai alas yang
berbentuk empat persegi panjang dengan ukuran (20 2x) cm (10 2x) cm.
Dari sini kita hasilkan persamaan :
(20 2x)(10 2x) = 96
Dengan menggunakan sifat distributif untuk menjabarkan ruas kiri kita
hasilkan
200 -60x + 4x2 = 96
4x2 - 60x + 104 = 0
x2 - 15x + 26 = 0
(kedua ruas dibagi dengan 4)
(x - 2)(x -13) = 0
x -2 = 0 atau x - 13 = 0
(Teorema II)
x = 2 atau x = 13
Dari hasil ini dapat ditarik kesimpulan bahwa harus dipotong persegi
dengan ukuran sisi 2 cm agar diperoleh kotak dengan ukuran itu, dan
tidak mungkin dipotong 13 cm (mengapa ?)
2. Persamaan Irasional
Persamaan irasional adalah persamaan yang peubahnya terletak di
bawah tanda akar. Untuk menyelesaikannya, pada prinsipnya adalah
dengan mengkuadratkan kedua ruas. Tetapi dengan mengkuadratkan
kedua ruas, ada kemungkinan kita menyelundupkan akar, sehingga
hasil solusi harus diperiksa kembali.
Contoh 1
Tentukan nilai x yang memenuhi identitas
Jawab:
(x 5)2 x 5
(x 5)2 x 5
Agar berlaku identitas
, harus dipenuhi syaratnya,
yaitu: (x – 5) ≥ 0, sebab hasil pengakaran adalah non negatif.
Sehingga x ≥ 5
Contoh 2
Tentukan penyelesaian dari
x2
Jawab:
Uji prasyarat:
x2 - 4 ≥ 0 jadi x≤-2 atau x ≥ 2 , dan
4
x 2
x + 2 ≥ 0 jadi
x ≥ -2
2
Dari x 4 x 2 , kedua ruas dikuadratkan, akan diperoleh
x2 – 4 = x + 2
x2 – x – 6 = 0
(x-3)(x + 2) = 0
x = 3 atau x = 2
Dengan memperhatikan uji prasyarat tadi, maka himpunan penyelesaian dari
persamaan di atas adalah { 2, 3 }
BELAJAR MANDIRI
1
1. Susunlah persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya 4 dan –3
2. Jika jumlah kuadrat akar-akar persamaan x 2 – 2x + k – 3 = 0 adalah
20, maka tentukan nilai k!
Diketahui x1, x2 merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat x2 – 2x + 6
= 0, tentukan nilai dari:
3. x1 + x2
4. x1 . x2
5. x12 + x22
BELAJAR KELOMPOK
Buatlah soal dan Kerjakanlah dengan kelompok anda tentang permasalahan
persamaan kuadrat 10 soal.
UJI KOMPETENSI
A.pilihlah jawaban yang benar
1. Himpunan penyelesaian 5(x – 6) + 15 – 3 (x + 5) = 4(x –1)
adalah ....
a. –11 d. –14
b. –12 e. –15
c. –13
2. Harga 1 kg beras adalah tiga kali harga 1 kg tepung terigu.
Harga 6 kg beras dan 4 kg tepung terigu adalah Rp46.200,00.
Jika Putri membeli 3 kg beras
dan 3 kg tepung terigu, berapa rupiahkah Putri harus membayar?
a. Rp22.500,00 d. Rp23.000,00
b. Rp25.200,00 e. Rp23.100,00
c. Rp52.500,00
3. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan 2/5 adalah ....
a. 5x2 - 17x + 6 = 0
b. 4x2 - 10x + 3 = 0
c. 5x2 - 5x + 4 = 0
d. 5x2 – 12x + 2 = 0
e. 5x2 - 12x = 0
4. Agar persamaan x2 + (k + 2)x + (k + 3) = 0 mempunyai akar
kembar maka nilai k = ....
a. 8 d. 2
b. 4 e. 1
c. 2 2
5. Jika persamaan ax – 4x + 10 = 0 mempunyai akar-akar
dandengan・ = 5 maka += ....
a. –8 d. 2
b. –4 e. 8
c. –2
6. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya lebih 3 dari akar-akar
persamaan kuadrat x2 + 5x – 2 = 0 adalah ....
a. x2 - x - 30 = 0 d. x2 + 5x - 21 = 0
b. x2 - x + 30 = 0 e. x2 + 8x - 24 = 0
c. x2 + x + 30 = 0
7.Jika p dan q adalah akar-akar persamaan 2x2 - 3x + 2 = 0 maka
p3q2 + p2q3 = ....
1
a. 4
3
b. 4
3
c. 2
9
d. 4
7
e. 2
8. Persamaan kuadrat : x2 – 6x + 5 = 0 akar-akarnya adalah a
dan b . Nilai (a - b)2= …
A. 9
B. 16
C. 21
D. 25
E. 31
9. Fungsi kuadrat yang memotong sumbu x di titik (0,0) ;
(2,0) dan melalui titik (1, -1) mempunyai persamaan ….
A. f(x) = 2x2 - 2x
B. f(x) = 2x2 + 2x
C. f(x) = 2x2 - x
D. f(x) = x2 - 2x
E. f(x) = x2 + 2x
10.Persamaan
2
2x
– 2x
+ 3
+ 4 = 0 , maka nilai x yang
memenuhi adalah ….
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
E. 0
11. Jumlah kuadrat akar-akar dari persamaan
x 2 px p 0
adalah ....
(A) Minimum 1
(B) Maksimum 1
(C) Minimum 8
(D) Maksimum 8
(E) Minimum -1
12. Jika dua sisi yang sama pada segitiga sama kaki
masing-masing ditambah 11 cm, hasil perubahannya
menjadi segitiga sama sisi. Jika keliling segitiga sama kaki
tersebut adalah 50 cm, maka luasnya sama dengan ....
(A) 60 cm²
(B) 90 cm²
(C) 93 cm²
(D) 108 cm²
(E) 180 cm²
13. Dari sehelai karton persegi panjang akan dibuat
sebuah kotak tanpa tutup dengan cara memotong ujungujung karton tersebut dengan potongan berbentuk bujur
sangkar seluas 2 x 2 cm². Jika panjang bidang alas kotak 4
cm lebih besar dari lebarnya dan isi kotak itu 42 cm³, lebar
alas kotak tersebut adalah ....
(A) 3 cm
(B) 4 cm
(C) 5 cm
(D) 6 cm
(E) 7 cm
14. Suatu lapangan berbentuk empat persegi panjang
dengan keliling 42 m dan luas 80 m². Selisih antara
panjang dan lebar lapangan tersebut adalah?
(A) 2
(B) 3
(C) 5
(D) 7
(E) 11
2
15. Salah satu akar persamaan x ax 4 0 adalah lima
lebihnya dari akar yang lain. Nilai a adalah ....
(A) -1 atau 1
(B) -3 atau 7
(C) -3 atau 3
(D) -4 atau 4
(E) -5 atau 5
16. Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar dari persamaan
x 2 kx k 0 dan x12 x22 15 maka nilai k yang mungkin
adalah ....
(A) -3
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 3
2
17. Jika kedua akar persamaan x (2m 3)x 3m 0 adalah
berkebalikan, nilai m = ....
a. 1
1
b. 3
1
4
c.
3
d.- 2
e-2
18. α dan β adalah akar-akar persamaan
x 2 3 x (k 13) 0. Jika x 2 b 2 29 kuadrat
nilai k adalah ….
(A) -12
(B) -3
(C) 3
(D) 12
(E) 13
2
19. Jika jumlah kuadrat akar-akar persamaan x 3 x p 0
sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan
x 2 x p 0 , nilai p adalah ....
(A) 8
(B) 6
(C) -2
(D) -8
(E) -10
20 Jika α dan β merupakan akar-akar real persamaan
x2 x
6
2
x x 1 nilai αβ adalah ....
(A) -1
(B) -2
(C) -3
(D) 3
(E) 2
2
21. Nilai x yang memenuhi persamaan x ax 5 x 5a 0
(A) 5
(B) a
(C) 5 dan a
(D) -5 dan 1
(E) 5 dan -a
22. Persamaan kuadrat (2x - 3)(2x + 7) = 0 dan x² + px +
q = 0 memiliki akar-akar yang sama. Nilai p + q = ....
(A) -2,00
(B) -3,25
(C) -6,50
(D) -13,00
(E) -26,00
23. Himpunan penyelesaian dari persamaan
x R adalah ....
(A) {3, 1}
(B) {1, -2}
(C) {1, 2}
(D) {-1, 2}
(E) {-1, -3}
2
x
3
4
x
untuk
2
24. Salah satu akar persamaan x 2k x 6k 0 , (k > 0)
adalah x =2, maka akar yang lainnya adalah ....
(A) 2
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
2
25. Jika perbandingan akar-akar persamaan 2x px 4 0
adalah 2 : 1, nilai p sama dengan ....
(A) 6
(B) -6
(C) ±6
(D) 12
(E) 18
B.
Isilah Pertanyaan-pertanyaan berikut dengan benar
1. Tentukan nilai x dari persamaan berikut:
a.
x 2 4x 4 = x - 2
b.
4x 2 12x 9 = 2x + 3
2. Tentukan x dari persamaan berikut:
a.
6x 2 - 4x 4 = x +2
b.
4x 1 - 3x 2 =1
c.
2x 1 + 3x 4 =7
Tentukan nilai x yang memenuhi:
3.
5x 1 2x 10x 5
4.
2x 8 3x 4 x 5
5.
x 1 2x 3 10x 6
6.
x1 x2
x2 x1
7. Jika persamaan kuadrat kx2 + kx + 3 = 0 mempunyai akar kembar,
tentukan nilai k dan tentukan akar-akar kembar tersebut!
8. Persamaan kuadrat mx2 + (2 – 2m)x + m = 0 mempunyai 2 akar riil
yang berbeda. Tentukan nilai m!
Tentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat berikut, tanpa terlebih
dahulu menentukan akar-akarnya.
9. x2 + 5x + 2 = 0
10. x2 – 10x + 25 = 0
Jawablah dengan singkat
1. Tentukan nilai p agar (4 – p) x2 + 11 x + p + 6 = 0 mempunyai akar
berkebalikan !
2. Persamaan x2 + (2 m – 1) x + m2 – 3 m – 4 = 0 mempunyai akar
berlawanan. Tentukan nilai m !
Tentukan nilai p agar persamaan berikut mempunyai dua akar yang
sama !
3. x2 + 2 p x + 4 = 0
4. x2 + px + p + 3 = 0
Tentukan nilai p agar persamaan berikut mempunyai akar akar real yang
berlainan !
5. x2 + p x + p = 0
6. x2 – (p + 3) x + 2 p + 2 = 0
7. p x2 + 3 x + p = 0
Tentukan nilai m agar x2 + 2 m x – m2 + 5 m – 6 = 0 mempunyai :
8. dua akar berlawanan
9. dua akar berlawanan tanda
10. dua akar positif
Uraikan pertanyaan dibawah ini dengan jelas
1. Konstruksikan beberapa buah persoalan yang dapat dijadikan konteks
untuk pendekatan ke persamaan kuadrat
2. Selesaikanlah persamaan- persamaan kuadrat berikut : a.
x2 + 3x 28 = 0
1
1
5
b.
+
=
4
t -1
t- 4
c. 5x2- 6x + 5 = 0
d.
y
3p
2p 6y 5p
3. Sebuah bilangan positif lebih besar 5 dari tiga kali bilangan lainnya. Hasil
kali kedua bilangan itu adalah sama dengan 68. Carilah bilangan itu!
4. Tentukan ukuran dari empat persegi panjang yang kelilingnya 50 kaki dan
luasnya 150 kaki persegi.
5. Sisi miring sebuah segitiga adalah 34 inci. Carilah panjang dua kaki lainnya,
apabila kaki yang satu 14 inci lebih panjang dari kaki lainnya
6.Tentukan persamaan kuadrat dengan rumus yang akar-akarnya 3
1
dan 2 !
7.
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 lebihnya
dari akar-akar persamaan 3x2 – 4x + 2 = 0!
8.Diketahui akar-akar persamaan kuadrat x2 – 8x – 2 = 0 adalah x1
dan x2. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya
x2
x1
x1
x2
dan
!
9.Susunlah persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya:
a. –2 dan 3
b.
5 dan 5
10.Jika salah satu akar persamaan x2 – 10x + (k – 2) = 10 adalah empat kali
akar yang lain maka tentukan nilai k dan akar-akar tersebut!
Perbaikan
1. Bila ada persamaan kuadrat (2-a)x 2 + (3+a)x – 8 = 0
2.
3.
4.
5.
6.
dan salah satu akar dari persamaan kuadrat tersebut
adalah 2, coba sobat tentukan berapa nilai a
Akar-akar persamaan kuadrat dari 3x2 – 5x + 2 adalah
….
Berapa nilai x yang memenuhi persamaan x + √(x-1) =
3 adalah..
Jika akar-akar persamaan kuadrat dari 6x2 + 6x + 19 =
0 adalah a dan b, maka …
Akar-akar persamaan kuadrat 3x2 – 2x -9 = 0 adalah a
dan b maka
Jika
salah
satu
akar
persamaan
kuadrat
x 2 (n 1)x ( n 3) 0 adalah dua kali akar yang lain,
nilai n adalah ....
7. Jika
x1 dan x2
adalah
akar-akar
dari
persamaan
2
1
1
x 2 px q 0, ...
x
x
2
1
8. Akar-akar
persaman kuadrat
(m 2)x 2 4 x (m 2) 0
2
2
adalah α dan β. Jika 20 , p = ....
9. Jumlah
kuadrat
2 x 2 6 x (2k 1) 0 akar-akar
8
1
2 . Nilai k adalah ....
persamaan kuadrat adalah
α dan β merupakan
10. Jika
2
4
...
2
kuadrat , nilai dari 2
Pengayaan
akar-akar
persamaan
1. Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat 2x 2 - 4x + 6=
0adalah…..
2. Persamaan kuadrat ( k + 2 )x 2 - ( 2k - 1) x + k – 1 = 0
mempunyai akar-akar nyata dan sama. Jumlah kedua akar
persamaan tersebut adalah….
3. Persamaan kuadrat x 2 + (m-2)x + 9 = 0, akar-akar nyata. Nilai m
yang memenuhi adalah….
4. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan -2 adalah:
5. Akar-akar persamaan kuadrat x 2 - 5 x - 3 = 0 adalah x1 dan x 2 .
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 -1 dan x 2 - 1 adalah...
6. Grafik di bawah ini berbentuk parabola dengan persamaan ….
7. Suatu fungsi kuadrat f(x) mempunyai nilai maksimum 5 untuk x
= 2, sedangkan f(4) = 3. Fungsi kuadrat tersebut adalah…..
8. Daerah hasil fungsi f(x)= x 2 -2x - 3 untuk daerah asal {x | -1 ≤
x ≤ 4, x ∈R }. Dan y=f(x) adalah…..
9. Grafik fungsi kuadrat yang persamaannya adalah y = 6 +px – 5x
2 memotong sumbu x. Salah satu titik potongnya adalah (-2,0),
mak p = ….
10. Grafik fungsi f(x)= ax 2 +bx +c seperti gambar berikut, jika b 2 4ac > 0dan ….
PORTOFOLIO
2
Persamaan kuadrat x + ( m−2 ) x+ 9=0adalah akar-akar nyata.
Nilai m yang memenuhi adalah?