relasi Konsep Kekontinuan Fungsibentuk dan
MODUL PERKULIAHAN
Matematika
1
(Limit dan kontinuitas Fungsi)
1.
2.
3.
4.
5.
Konsep Kekontinuan Fungsi
Limit Fungsi Trigonometri
Kekontinuan Fungsi Komposisi
Asimtot Grafik Fungsi Kontinu
Bentuk-Bentuk Tak Tentu Limit Fungsi
Fakultas
Program Studi
Teknik
Teknik Sipil
TatapMuka
03
Abstract
Dalam
menyelesaikan
soal-soal
mengenai limit akan banyak dijumpai
bentuk-bentuk yang tidak wajar atau
tidak tentu. Modul ini akan membahas
mengenai penyelesaian bentuk tak
tentu, termasuk untuk membuat
asimtot grafik fungsi kontinu dan fungsi
trigonometri,
serta
membahas
mengenai
kekontinuan
fungsi
komposisi
Kode MK
DisusunOleh
90016
Reza Ferial Ashadi, ST, MT
Kompetensi
Diharapkan setelah membaca modul
ini Mahasiswa mampu:
1. Memahami tentang limit fungsi
trigonometri
2. Memahami
tentang
kekontinuan fungsi komposisi
dan asimtot fungsi kontinu
3. Memahami tentang bentuk tak
tentu limit fungsi
Pembahasan
1. KONSEP KEKONTINUAN FUNGSI
Sebagian besar fungsi yang akan kita jumpai adalah kontinu di mana-mana atau di setiap
titik terkecuali di beberapa titik. Teorema berikut akan menggambarkan hal ini.
Fungsi polinom kontinu di setiap bilangan riil c.
Fungsi rasional kontinu di setiap bilangan riil c dalam daerah asalnya, yaitu kecuali di
mana penyebutnya sama dengan nol.
Fungsi polinom adalah sebarang fungsi yang dapat diperoleh dari fungsi konstan dan
fungsi identitas dengan memakai operasi penambahan, pengurangan, dan perkalian. Ini
sama saja dengan mengatakan bahwa f adalah fungsi polinom jika berbentuk :
dengan koefisien-koefisien a berupa bilangan riil dan n adalah bilangan bulat tak negatif.
Jika an ≠ 0, maka n adalah derajat dari fungsi polinomnya. Khususnya, f(x) = ax + b adalah
fungsi derajat satu, atau fungsi linear, dan f(x) = ax2 + bx + c adalah fungsi derajat dua,
atau fungsi kuadrat.
Hasilbagi fungsi-fungsi polinom disebut fungsi rasional. Jadi f adalah fungsi rasional jika
berbentuk :
2. KEKONTINUAN DALAM OPERASI FUNGSI
Jika f dan g kontinu di c, maka demikian juga kf, f + g, f – g, f.g, f/g (asalkan g(c) ≠ 0),
, dan √
Contoh : f(x) = 2x + 1 kontinu di x = 5, g(x) = x + 3 kontinu di x = 5,
maka (f + g)(x) = f(x) + g(x) = (2x + 1) + (x + 3) = 3x + 4 kontinu di x = 5
2016
2
Matematika I
Reza Ferial Ashadi, ST, MT
PusatBahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
3. KEKONTINUAN FUNGSI KOMPOSISI
Teorema
Jika fungsi f dan g memenuhi Rf Ϲ Dg , f kontinu di c
1.
Df, dan g kontinu di f(c)
Dg,
maka fungsi g ◦ f kontinu di c.
Jika fungsi f dan g memenuhi Rf Ϲ Dg , f kontinu pada Df dan g kontinu pada Dg,
2.
maka fungsi g ◦ f kontinu pada Df.
CONTOH:
Tunjukkan fungsi
√
kontinu pada daerah asalnya.
Jawab : Kita tentukan dahulu daerah asal fungsi ini. Agar
dan
√
Dari syarat yang pertama diperoleh
atau
, syaratnya adalah
, sedangkan dari syarat kedua
diperoleh
Jadi daerah asal fungsi f adalah :
Df = ((-∞,-3]
[3, ∞)) – {-5, 5} = (-∞, -5)
(-5, -3]
[3,5)
(5, ∞)
Untuk menunjukkan kekontinuan fungsi f pada Df, tulislah
, dengan g(x) = x – 1 dan
√
Disini h dapat ditulis sebagai komposisi dari tiga fungsi yang kontinu, yaitu
h(x) = (k◦l◦m)(x) = k(l(m(x))), dengan m(x) = x2 – 9 ,
l(x) = √ , dan k(x) = 4 – x
Karena fungsi m kontinu di Df, l kontinu di setiap m(x) ≥ 0, dan k kontinu pada R, maka
fungsi komposisi h = k◦l◦m kontinu pada Df. Selanjutnya, kekkontinuan fungsi g dan h pada
Df mengakibatkan fungsi f juga kontinu pada Df.
2016
3
Matematika I
Reza Ferial Ashadi, ST, MT
PusatBahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
4. LIMIT FUNGSI KOMPOSISI
Teorema
Jika
dan fungsi g kontinu di L, maka
(
)
CONTOH :
√ kontinu untuk setiap x ≥ 0,
Dengan menggunakan teorema di atas, karena fungsi
maka
√
√
√
5. LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
2016
4
Matematika I
Reza Ferial Ashadi, ST, MT
PusatBahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
CONTOH :
Hitunglah
Jawab :
6. ASIMTOT FUNGSI KONTINU
Asimtot fungsi adalah garis lurus yang didekati grafik fungsinya.
Ada tiga jenis asimtot fungsi, yaitu
1. Asimtot tegak.
Garis x = c disebut asimtot tegak grafik fungsi y = f(x) jika
2. Asimtot Datar
Garis y = b disebut asimtot datar grafik fungsi y = f(x) jika
3. Asimtot miring
Garis y = ax + b disebut asimtot miring jika
CONTOH :
Tentukan semua asimtot dari fungsi :
Jawab :
2016
(i)
Asimtot tegak : x = 0 , karena
(ii)
Asimtot Miring/datar :
5
Matematika I
Reza Ferial Ashadi, ST, MT
PusatBahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
dan
Jadi asimtot miring : y = x + 2 ; asimtot datar tidak ada
Grafik :
y
y=x+2
2
-2
2016
6
Matematika I
Reza Ferial Ashadi, ST, MT
x
0
PusatBahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
7. BENTUK-BENTUK TAK TENTU LIMIT FUNGSI
a. LIMIT TAK HINGGA
menyatakan bahwa :
f(x) membesar tanpa batas bila x mendekati c.
f(x) dapat dibuat lebih besar dari sebarang bilangan positif dengan cara mengambil x
yang cukup dekat ke c, tetapi x ≠ c.
y
x=c
f
0
x c
x
Teorema
1.
2.
3.
2016
7
Matematika I
Reza Ferial Ashadi, ST, MT
PusatBahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
x
Teorema ini dapat diperumum untuk menyelesaikan masalah :
Berapakah
, dalam kasus
Jawaban masalah ini adalah
dan
, atau
,
.
b. LIMIT DI TAK HINGGA
menyatakan bahwa f(x) mendekati L bila x membesar tanpa batas. f(x) dapat dibuat
sebarang dekat ke L dengan cara mengambil x yang cukup besar
atau
jarak f(x) ke L dapat dibuat sebarang kecil bila x dibuat lebih besar dari suatu bilangan positif
y
L
f
x→
0
m
x
x>m
Limit di Tak Hingga
y
f
L
x→
n
0
x
Matematika
1
(Limit dan kontinuitas Fungsi)
1.
2.
3.
4.
5.
Konsep Kekontinuan Fungsi
Limit Fungsi Trigonometri
Kekontinuan Fungsi Komposisi
Asimtot Grafik Fungsi Kontinu
Bentuk-Bentuk Tak Tentu Limit Fungsi
Fakultas
Program Studi
Teknik
Teknik Sipil
TatapMuka
03
Abstract
Dalam
menyelesaikan
soal-soal
mengenai limit akan banyak dijumpai
bentuk-bentuk yang tidak wajar atau
tidak tentu. Modul ini akan membahas
mengenai penyelesaian bentuk tak
tentu, termasuk untuk membuat
asimtot grafik fungsi kontinu dan fungsi
trigonometri,
serta
membahas
mengenai
kekontinuan
fungsi
komposisi
Kode MK
DisusunOleh
90016
Reza Ferial Ashadi, ST, MT
Kompetensi
Diharapkan setelah membaca modul
ini Mahasiswa mampu:
1. Memahami tentang limit fungsi
trigonometri
2. Memahami
tentang
kekontinuan fungsi komposisi
dan asimtot fungsi kontinu
3. Memahami tentang bentuk tak
tentu limit fungsi
Pembahasan
1. KONSEP KEKONTINUAN FUNGSI
Sebagian besar fungsi yang akan kita jumpai adalah kontinu di mana-mana atau di setiap
titik terkecuali di beberapa titik. Teorema berikut akan menggambarkan hal ini.
Fungsi polinom kontinu di setiap bilangan riil c.
Fungsi rasional kontinu di setiap bilangan riil c dalam daerah asalnya, yaitu kecuali di
mana penyebutnya sama dengan nol.
Fungsi polinom adalah sebarang fungsi yang dapat diperoleh dari fungsi konstan dan
fungsi identitas dengan memakai operasi penambahan, pengurangan, dan perkalian. Ini
sama saja dengan mengatakan bahwa f adalah fungsi polinom jika berbentuk :
dengan koefisien-koefisien a berupa bilangan riil dan n adalah bilangan bulat tak negatif.
Jika an ≠ 0, maka n adalah derajat dari fungsi polinomnya. Khususnya, f(x) = ax + b adalah
fungsi derajat satu, atau fungsi linear, dan f(x) = ax2 + bx + c adalah fungsi derajat dua,
atau fungsi kuadrat.
Hasilbagi fungsi-fungsi polinom disebut fungsi rasional. Jadi f adalah fungsi rasional jika
berbentuk :
2. KEKONTINUAN DALAM OPERASI FUNGSI
Jika f dan g kontinu di c, maka demikian juga kf, f + g, f – g, f.g, f/g (asalkan g(c) ≠ 0),
, dan √
Contoh : f(x) = 2x + 1 kontinu di x = 5, g(x) = x + 3 kontinu di x = 5,
maka (f + g)(x) = f(x) + g(x) = (2x + 1) + (x + 3) = 3x + 4 kontinu di x = 5
2016
2
Matematika I
Reza Ferial Ashadi, ST, MT
PusatBahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
3. KEKONTINUAN FUNGSI KOMPOSISI
Teorema
Jika fungsi f dan g memenuhi Rf Ϲ Dg , f kontinu di c
1.
Df, dan g kontinu di f(c)
Dg,
maka fungsi g ◦ f kontinu di c.
Jika fungsi f dan g memenuhi Rf Ϲ Dg , f kontinu pada Df dan g kontinu pada Dg,
2.
maka fungsi g ◦ f kontinu pada Df.
CONTOH:
Tunjukkan fungsi
√
kontinu pada daerah asalnya.
Jawab : Kita tentukan dahulu daerah asal fungsi ini. Agar
dan
√
Dari syarat yang pertama diperoleh
atau
, syaratnya adalah
, sedangkan dari syarat kedua
diperoleh
Jadi daerah asal fungsi f adalah :
Df = ((-∞,-3]
[3, ∞)) – {-5, 5} = (-∞, -5)
(-5, -3]
[3,5)
(5, ∞)
Untuk menunjukkan kekontinuan fungsi f pada Df, tulislah
, dengan g(x) = x – 1 dan
√
Disini h dapat ditulis sebagai komposisi dari tiga fungsi yang kontinu, yaitu
h(x) = (k◦l◦m)(x) = k(l(m(x))), dengan m(x) = x2 – 9 ,
l(x) = √ , dan k(x) = 4 – x
Karena fungsi m kontinu di Df, l kontinu di setiap m(x) ≥ 0, dan k kontinu pada R, maka
fungsi komposisi h = k◦l◦m kontinu pada Df. Selanjutnya, kekkontinuan fungsi g dan h pada
Df mengakibatkan fungsi f juga kontinu pada Df.
2016
3
Matematika I
Reza Ferial Ashadi, ST, MT
PusatBahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
4. LIMIT FUNGSI KOMPOSISI
Teorema
Jika
dan fungsi g kontinu di L, maka
(
)
CONTOH :
√ kontinu untuk setiap x ≥ 0,
Dengan menggunakan teorema di atas, karena fungsi
maka
√
√
√
5. LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
2016
4
Matematika I
Reza Ferial Ashadi, ST, MT
PusatBahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
CONTOH :
Hitunglah
Jawab :
6. ASIMTOT FUNGSI KONTINU
Asimtot fungsi adalah garis lurus yang didekati grafik fungsinya.
Ada tiga jenis asimtot fungsi, yaitu
1. Asimtot tegak.
Garis x = c disebut asimtot tegak grafik fungsi y = f(x) jika
2. Asimtot Datar
Garis y = b disebut asimtot datar grafik fungsi y = f(x) jika
3. Asimtot miring
Garis y = ax + b disebut asimtot miring jika
CONTOH :
Tentukan semua asimtot dari fungsi :
Jawab :
2016
(i)
Asimtot tegak : x = 0 , karena
(ii)
Asimtot Miring/datar :
5
Matematika I
Reza Ferial Ashadi, ST, MT
PusatBahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
dan
Jadi asimtot miring : y = x + 2 ; asimtot datar tidak ada
Grafik :
y
y=x+2
2
-2
2016
6
Matematika I
Reza Ferial Ashadi, ST, MT
x
0
PusatBahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
7. BENTUK-BENTUK TAK TENTU LIMIT FUNGSI
a. LIMIT TAK HINGGA
menyatakan bahwa :
f(x) membesar tanpa batas bila x mendekati c.
f(x) dapat dibuat lebih besar dari sebarang bilangan positif dengan cara mengambil x
yang cukup dekat ke c, tetapi x ≠ c.
y
x=c
f
0
x c
x
Teorema
1.
2.
3.
2016
7
Matematika I
Reza Ferial Ashadi, ST, MT
PusatBahan Ajar dan eLearning
http://www.mercubuana.ac.id
x
Teorema ini dapat diperumum untuk menyelesaikan masalah :
Berapakah
, dalam kasus
Jawaban masalah ini adalah
dan
, atau
,
.
b. LIMIT DI TAK HINGGA
menyatakan bahwa f(x) mendekati L bila x membesar tanpa batas. f(x) dapat dibuat
sebarang dekat ke L dengan cara mengambil x yang cukup besar
atau
jarak f(x) ke L dapat dibuat sebarang kecil bila x dibuat lebih besar dari suatu bilangan positif
y
L
f
x→
0
m
x
x>m
Limit di Tak Hingga
y
f
L
x→
n
0
x