Eksistensi Kontrol dan Ketunggalan Siste
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2015
ISBN No. 978-979-028-728-0
EKSISTENSI KONTROL DAN KETUNGGALAN SISTEM
OPTIMAL PADA MODEL EPIDEMI SEIT
M. Ivan Ariful Fathoni 1, Mardlijah2, Hariyanto3
2
1
Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya, m.ivan@fathonisme.com
Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya, mardlijah@matematika.its.ac.id
3
Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya, hariyanto_its@yahoo.co.id
Abstrak. Model matematika penyebaran penyakit menular yang digunakan pada penelitian ini adalah
model epidemi tipe SEIT (Susceptible Exposed Infective Treatment) dengan tingkat kejadian tersaturasi.
Kontrol optimal pengobatan diberikan pada populasi exposed dengan tujuan untuk meminimalkan
jumlah individu infective dan biaya pengobatan. Analisis eksistensi kontrol dan ketunggalan sistem
optimal pada model dibahas pada penelitian ini. Kontrol pengobatan pada model terbukti eksis, dan
dengan menerapkan Prinsip Pontryagin Maksimum diperoleh kontrol dan sistem yang optimal. Solusi
dari sistem optimal yang diperoleh terbukti tunggal untuk interval waktu yang kecil. Laju perubahan
populasi dalam model diilustrasikan dengan simulasi numerik.
Kata Kunci: Model epidemi, SEIT, kontrol optimal, eksistensi, ketunggalan, Prinsip Pontryagin
Pendahuluan
Matematika seringkali digunakan untuk menjelaskan fenomena dalam bidang biologi, seperti
penyebaran penyakit menular. Fenomena tersebut dimodelkan oleh persamaan diferensial dengan
representasi proses waktu kontinu. Model matematika yang dapat menggambarkan penyebaran
suatu penyakit di masa yang akan datang dengan melihat kondisi masa sekarang atau masa lalu
disebut dengan model epidemi. Model epidemi biasanya dinyatakan dalam suatu kompartemen
yang menyatakan kumpulan atau populasi.
Model epidemi pertama kali diperkenalkan pada tahun 1927 oleh Kermack dan McKendrick
[1], yaitu model SIR (Susceptible Infective Removal). Model SIR menggambarkan suatu
penyebaran penyakit dimana individu rentan (susceptible) dapat terinfeksi melalui proses interaksi
dengan individu yang terinfeksi (infective), kemudian populasi yang sembuh (removal) telah
memiliki kekebalan terhadap suatu penyakit sehingga individu tersebut tidak akan kembali menjadi
populasi yang rentan terhadap penyakit. Semakin berkembangnya penelitian mengenai model
penyebaran penyakit menjadikan model SIR sebagai pijakan banyak ilmuwan untuk membuat
model epidemi yang lebih khusus.
Beberapa penyakit menular memiliki periode exposed. Periode exposed atau disebut juga
dengan periode laten adalah masa bersembunyinya penyakit dalam tubuh ketika sistem kekebalan
tubuh dalam kondisi baik. Adanya periode exposed menjadi alasan pembentukan model epidemi
tipe SEIS (Susceptible Exposed Infective Susceptible) seperti yang dikemukakan oleh Fan, Li, dan
Wang [2].
Penyebaran suatu penyakit dapat dikendalikan dengan pemberian obat pada individu terinfeksi.
Oleh karena itu, pengobatan perlu dilakukan sebagai salah satu upaya untuk mencegah penyebaran
penyakit. Model epidemi dengan adanya pengobatan memunculkan populasi baru dari individu
terinfeksi yang telah mendapat pengobatan, yaitu populasi treatment. Dalam beberapa tahun
terakhir, penyebaran penyakit menular terjadi dalam bentuk yang beragam, seperti pada penyakit
H1N1. Keberagaman yang terjadi yaitu adanya perbedaan periode exposed dalam setiap tubuh
Universitas Negeri Surabaya
25 April 2015
229
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2015
ISBN No. 978-979-028-728-0
individu yang terinfeksi virus H1N1. Terdapat individu yang melewati fase periode exposed, dan
ada yang tidak. Hal tersebut terjadi karena variasi virus dan keadaan jasmani yang berbeda dari
setiap individu.
Model epidemi yang dibahas pada penelitian ini adalah model SEIT (Susceptible Exposed
Infective Treatment) dengan perbedaan periode exposed, sebagai berikut.
=
−
=
−
=
=
dengan
−
+
−
+
−
+
+
+ +
+
+
+
−
.
(1)
+ +
: banyaknya individu susceptible tiap waktu ,
: banyaknya individu exposed tiap waktu ,
: banyaknya individu infective tiap waktu ,
: banyaknya individu treatment tiap waktu ,
: banyaknya kelahiran tiap waktu ,
: tingkat kematian alami,
: tingkat kematian akibat penyakit,
: tingkat individu infective yang kembali rentan,
: tingkat individu treatment yang kembali rentan,
: tingkat individu exposed yang menjadi infective,
: tingkat individu terinfeksi yang menjadi exposed,
−
: tingkat individu terinfeksi yang menjadi infective,
: tingkat transmisi,
: tingkat pengobatan,
: tingkat kejadian tersaturasi (saturated incidence rate),
+
dengan
. Untuk selanjutnya
,
,
,
cukup ditulis dengan , , , tanpa
mengubah makna adanya variabel yang terkandung di dalamnya. Model yang dinyatakan dalam
sistem persamaan (1) diubah menjadi bentuk EITN, dengan mensubstitusikan = − − −
ke sistem persamaan (1), diperoleh
=
=
dengan
=
=
+
−
−
−
−
+
+
− ,
− −
−
−
− −
+ +
+
−
(2)
+ +
adalah daerah invariant positif dari model sistem persamaan (2).
={
, , ,
+
|
,
,
,
,
+ +
}.
Pengobatan sering kali terkendala oleh biaya, sehingga belum tentu optimal secara ekonomis.
Dengan demikian perlu ditentukan pengobatan yang optimal agar biaya yang dibutuhkan minimum
tetapi pengobatan yang dilakukan tetap efektif sebagai pengendali penyebaran penyakit. Tujuan
utama dari permasalahan kontrol optimal yaitu untuk mencari nilai kontrol
yang dimasukkan
ke dalam fungsi dinamik dan memenuhi kendala fisik atau konstrain. Pada waktu yang sama, dapat
230
25 April 2015
Universitas Negeri SUrabaya
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2015
ISBN No. 978-979-028-728-0
ditentukan nilai maksimum atau minimum yang memenuhi kriteria pada fungsi objektif. Dengan
kata lain nilai kontrol yang optimum dapat ditentukan pada saat keadaan dan waktu yang sama
berdasarkan fungsi objektif (fungsi tujuan). Tujuan yang dicapai dalam permasalahan kontrol
optimal pada penelitian ini adalah mendapatkan pengobatan optimal dengan meminimalkan jumlah
populasi infective dan biaya pengobatan. Secara matematika, permasalahan ini adalah
meminimalkan fungsi objektif
=∫ (
+
)
,
(3)
dengan adalah kontrol optimal pada model, adalah bobot pada biaya pengobatan,
adalah
waktu awal, dan adalah waktu akhir. Kemudian akan diperoleh
sehingga berlaku
(
= ���{
∶
},
|
. ,
[ , ], = , }. [3]
dengan = {
Pada penelitian ini dibahas beberapa hal, yaitu pada subbab 2.1 membahas tentang analisis
eksistensi dari kontrol optimal. Pada subbab 2.2 membahas tentang penyelesaian masalah kontrol
optimal dengan menggunakan Prinsip Pontryagin Maksimum sehingga diperoleh sistem yang
optimal. Analisis ketunggalan dari sistem optimal dibahas pada subbab 2.3. Pada bagian akhir,
subbab 2.4 dilakukan simulasi numerik untuk mengilustrasikan hasil yang telah diperoleh.
Hasil dan Pembahasan
2.1
Eksistensi Kontrol Optimal
Solusi terbatas dari sistem (2) untuk interval waktu yang terbatas digunakan untuk membuktikan
eksistensi kontrol optimal. Eksistensi dari kontrol optimal dapat dicari dengan menggunakan hasil
dari Fleming dan Rishel [4].
Teorema 2.1. Berdasarkan masalah kontrol (3) dengan sistem (2), terdapat kontrol
eksis sedemikian sehingga
���
yang
=
Bukti: Kontrol optimal dikatakan eksis jika memenuhi kondisi berikut [5].
1. Himpunan kontrol tidak kosong.
Secara umum, sistem didesain dengan adanya suatu kontrol supaya dapat mencapai tujuan yang
diinginkan (fungsi objektif). Akan tetapi, jika kontrol itu kosong maka tidak ada tindakan pada
sistem tersebut, dengan kata lain tujuan yang diinginkan sulit dicapai. Dengan kontradiksi,
andaikan terdapat fungsi objektif
����
=∫ (
+
)
,
artinya tujuan dari penelitian ini adalah memaksimalkan jumlah individu infective, dan biaya
pengobatan yang diperlukan dalam mengobati individu terinfeksi. Dengan semakin meningkatnya
populasi infective berarti semakin banyaknya individu yang terinfeksi penyakit, sehingga tidak
perlu adanya usaha pengobatan dalam menyembuhkan penyakit. Hal tersebut kontradiksi karena
pada interval waktu [ , ] terdapat tindakan pengendalian. Dengan demikian terbukti, seharusnya
fungsi kontrol tidak kosong sedemikian hingga
Universitas Negeri Surabaya
25 April 2015
231
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2015
ISBN No. 978-979-028-728-0
���
=∫ (
+
)
,
yang menggambarkan tujuan plant, yaitu mengontrol populasi infective dengan memberikan
pengobatan pada individu terinfeksi.
2. Himpunan kontrol konveks dan tertutup.
Akibat 1., maka dapat dijamin bahwa kontrol tidak kosong, sehingga dapat dilakukan analisis
mengenai sifat dari kontrol tersebut yaitu konveks dan tertutup.
a. Himpunan kontrol konveks
Dengan mengambil sebarang
dan ′
, serta berdasarkan definisi akan dibuktikan
′
′
[ , ]. Berdasarkan
=
+ −
, untuk semua
dan
−
− , maka
′
+
′
−
+
−
= .
[ , ], maka dapat
Karena
+ −
untuk semua
dan
ditunjukkan bahwa konveks.
b. Himpunan kontrol tertutup
Menurut definisi
. , maka dengan mengambil sebarang
[ , ],
= ∅.
sehingga < atau > . Jika < , maka
= | − | sehingga [ , ]
= ∅. Dengan demikian dapat
Jika > , maka
= | − | sehingga [ , ]
ditunjukkan
dengan
. untuk semua
. Terbukti
tertutup.
3. Persamaan ruas kanan (Right Hand Side) dari sistem dinamik kontinu terbatas oleh fungsi
linear pada state dan kontrol optimal.
Berdasarkan sistem (2), persamaan ruas kanan (Right Hand Side) dari sistem tersebut dapat
dinyatakan
[
−
+
+
−
−
− −
−
− −
−
−
⃗⃗ = [
+
−
+
+ +
−
+ +
]
]
+[
]+[ ]
|
|
[
+
−
+
+
|
|
]
+ |[
]| + |[ ]|
terbukti bahwa persamaan ruas kanan dari sistem (2) terbatas oleh fungsi linear pada state dan
kontrol optimal.
4. Integrand dari fungsi objektif konveks pada .
[ , ], = , untuk setiap
Ambil sebarang ,
Akan dibuktikan bahwa
(
untuk
dan
−
Sehingga dapat dibuktikan
232
−
(
+
−
+
=
+
=
−
+
(
−
(
+
25 April 2015
dengan
−
+
+
)+ (
,
=
+
.
,
+
).
Universitas Negeri SUrabaya
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2015
ISBN No. 978-979-028-728-0
√
−√
−
−
Jadi terbukti integrand pada fungsi objektif konveks pada
.
.
5. Integrand dari fungsi objektif terbatas.
Misalkan terdapat > dan mengingat terbatas pada [ , ] sedemikian sehingga
Oleh sebab itu
+
dengan
tergantung pada batas atas dari
. maka
= | | . Sehingga diperoleh
.
,
+
. Akibat fungsi kontrol terletak pada interval
+
+
|
| ,
| , terdapat konstanta
Dengan menganggap =
+ |
. Terbukti integrand pada fungsi objektif terbatas.
+
sedemikian sehingga
Berdasarkan pembuktian tersebut, terbukti bahwa kontrol optimal pada model dapat dijamin
eksistensinya karena terdapat kontrol optimal yang dapat meminimalkan fungsi objektif yang
diinginkan.
2.2
Penyelesaian Kontrol Optimal
Langkah pertama yang dilakukan untuk mendapatkan kontrol optimal adalah membentuk fungsi
Hamilton. Berdasarkan fungsi objektif (3), maka diperoleh fungsi Hamilton
, , , , , yaitu
+
+
(
+
(
−
(
+
(
+
+
−
−
(
+
−
−
−
−( + +
−
( −
+
−
−
+
.
−
)
+
+
)
Sehingga diperoleh sistem yang optimal dengan state dan costate sebagai berikut.
=
=
=
=
=(
=−
=(
+
−
−
(
(
+
− + +
−
+
−
+(
+
+
−
Universitas Negeri Surabaya
−
−
−
−
−( + +
+
−
+
−
−
+
−
−
+
+
+
+
(
+
−
+
+
+(
−
−
( +
−
+
25 April 2015
(4)
−
−
233
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2015
ISBN No. 978-979-028-728-0
= −(
+
−
Kondisi stasioner
+
= ,
−
(
=
̅
. sehingga
Karena
+
−
= ���
=
Dengan kondisi batas yaitu
, (
= , dan (
= .
,
= ,
,̅
, . Selanjutnya didapatkan bentuk
̅,
kontrol optimal
̅
= ��� ( . , ��� ( ,
Menggunakan Lema 2.1 diperoleh
|
234
−̅
|
| = |���
−
= ��� ( . , ��� ( ,
. , ���
,
− ̅ − ̅ ̅|
−
|
−
̅−̅ ̅
− ���
− ̅ ̅|
25 April 2015
))
))
. , ���
,
̅−̅ ̅
|
Universitas Negeri SUrabaya
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2015
ISBN No. 978-979-028-728-0
, , , ,
Untuk solusi
(4) diperoleh
+
=
+
+
=
+
−
,
−
+
,
−
+
− +
=
−
= −(
− +
=(
− +
=(
− +
−
−
+
= −(
+
,
+
+
−
−
−
−
−
−
= ��� ( . , ��� ( ,
dan ( ̅ , ,̅ ̅ , ̅, ̅̅̅, ̅̅̅, ̅̅̅, ̅̅̅ , berdasarkan sistem persamaan
,
−
−
( −
+
+
)) −
+
−
−
− ( + + ��� ( . , ��� ( ,
+
+
−
− −
+
−
−
−
.
−
)))
+ +
−
−
−
−
+
−
(��� ( . , ��� ( ,
+
−
+
)))
+
Dengan cara yang sama diperoleh ̅ + ̅ , ̅ + ̅, ̅ + ̅ , ̅ + ̅ , dan − ̅ + ̅, − ̅ + , − ̅ +
̅, − ̅ + ̅.
Dengan mengurangi persamaan dengan ̅ , dengan ,̅ dengan ̅ , dengan ̅ ,
dengan
̅̅̅,
̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅
dengan ,
dengan ,
dengan . Kemudian mengalikan masing-masing persamaan
dengan fungsi
− ̅ , −̅ , − ̅ ,
− ̅ ,
− ̅ , − ̅ , − ̅ , dan
− ̅ , serta
mengintegralkan dari 0 sampai . Sehingga diperoleh delapan persamaan yang digunakan untuk
estimasi dalam memperoleh ketunggalan. Gabungan dari delapan estimasi tersebut didapatkan
− ̅ (
+
−̅ (
+
−̅
+( − ̃
− ̃
+
+
∫ [
−̅
+
− ̅ (
+
− ̅
+
− ̅
+
− ̅ ]
−̅
+
Dari persamaan di atas dapat disimpulkan bahwa
( − ̃
− ̃
∫ [
+
−̅
+
− ̅
− ̅ ]
+
−̅
+
− ̅ (
− ̅
− ̅
+
+
+
− ̅
− ̅
−̅
+
+
+
−̅
−̅
+
+
− ̅
− ̅
dengan ̃ , ̃ bergantung pada semua koefisien dan batas pada , , , , , , , .
Jika memilih sedemikian sehingga − ̃
− ̃ > , maka haruslah
∫ [
− ̅
Sehingga
+
− ̅
+
− ̅
+
< l�
−̅
− ̃
̃
+
− ̅
+
−̅
− ̅
+
+
−̅
− ̅ ]
saat = ̅ , = ̅, = ̅ , = ̅, = ̅, = ̅ , = ̅, = .̅ Oleh karena itu solusinya adalah
tunggal untuk interval waktu yang kecil. Kontrol optimal
adalah karakteristik dari ketunggalan
Universitas Negeri Surabaya
25 April 2015
235
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2015
ISBN No. 978-979-028-728-0
solusi dari sistem optimal. Kontrol optimal tersebut memberikan strategi pengobatan optimal pada
model epidemi (1).
2.4
Simulasi Numerik
Untuk memperlihatkan pengaruh kontrol pengobatan pada model, simulasi numerik dibuat
=
, , , ,
dan
dengan menggunakan nilai awal atau populasi awal
, , , ,
nilai parameter-parameter yang memenuhi kondisi endemi sebagai berikut.
TABEL 1 Nilai parameter.
Parameter
Nilai
20
0.0455
0.004
0.07
0.75
0.2
0.23
0.1
0.3
1
Masing-masing populasi dibuat simulasi dari perubahan jumlah individu setelah diberikan kontrol
pengobatan, sebagai perbandingan disertakan perubahan jumlah individu tanpa kontrol. Hasil
simulasi ditampilkan pada Gambar 1 (a) - (d) dan 2.
Populasi Exposed
Populasi Susceptible
18
400
396.8
15.66
16
390
E Tanpa Kontrol
14
E dengan Kontrol
380
E(t)
S(t)
12
370
10
8
360
S Tanpa Kontrol
6
S dengan Kontrol
350
349.1
340
0
20
40
60
80
100
120
Waktu (Hari)
140
160
180
200
4
2
3.331
0
20
(a)
236
40
60
80
100
120
Waktu (Hari)
140
160
180
200
(b)
25 April 2015
Universitas Negeri SUrabaya
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2015
ISBN No. 978-979-028-728-0
Populasi Infective
Populasi Treatment
26
12
24
10
23.39
22
20
I Tanpa Kontrol
8.677
8
I dengan Kontrol
I(t)
T(t)
18
6
16
T Tanpa Kontrol
14
T dengan Kontrol
4
12
2
9.611
10
0
8
0
20
40
60
80
100
120
Waktu (Hari)
140
160
180
0
200
0
20
40
60
(c)
80
100
120
Waktu (Hari)
140
160
180
200
(d)
Gambar 1 Perbandingan perubahan jumlah individu tanpa dan dengan kontrol : (a) Susceptible, (b) Exposed, (c)
Infective, (d) Treatment.
Berdasarkan Gambar 1 diketahui bahwa jumlah individu susceptible tanpa kontrol pengobatan
mengalami penurunan sampai stabil berjumlah 349.1 individu sejak hari ke-85. Jika diberikan
kontrol , jumlahnya relatif konstan sejak hari pertama sampai mencapai kestabilan sebanyak
396.8 individu pada hari ke-105, ada peningkatan sebanyak 27.3 individu setelah dikontrol. Jumlah
individu Exposed tanpa pengobatan naik dari hari pertama dan pada hari ke-10 turun kemudian
stabil berjumlah 15.66 individu setelah hari ke-145. Jika diberikan kontrol jumlahnya berkurang
sebanyak 12.329 individu, sehingga stabil menjadi 3.331 individu pada hari ke-34. Jumlah individu
infective tanpa pengobatan naik dari hari pertama, kemudian stabil di angka 23.39 sejak hari ke93. Tetapi setelah diberi kontrol jumlahnya berkurang sebanyak 13.779 individu. Akibat tidak
adanya pengobatan, maka tetap tidak ada populasi treatment. Sedangkan jika diberikan kontrol
jumlah individu meningkat sampai sebesar 10.8 individu pada hari ke-2, kemudian turun sampai
menjadi 8.677 individu sejak hari ke-98.
Jika dilihat dari jumlah total individu di keempat populasi, Gambar 2 menunjukkan bahwa tanpa
kontrol pengobatan, populasi mengalami penurunan sejak awal dari 435 menjadi 399.2 pada hari
ke-114. Jumlah populasi dapat ditingkatkan dengan pemberian kontrol pengobatan, hal ini terbukti
dengan jumlah total individu di keempat populasi yang meningkat menjadi 435.9 individu sejak
hari ke-89, terjadi peningkatan sebanyak 36.7 individu.
Total Populasi
435
430
425
418.4
420
415
N(t)
N Tanpa Kontrol
N dengan Kontrol
410
405
400
395
390
385
399.2
0
20
40
60
80
100
120
Waktu (Hari)
140
160
180
200
Gambar 2 Perbandingan perubahan jumlah total individu tanpa dan dengan kontrol
Universitas Negeri Surabaya
25 April 2015
237
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2015
ISBN No. 978-979-028-728-0
Kesimpulan
Berdasarkan hasil analisis, kontrol pengobatan pada model SEIT terbukti eksis. Dengan
menerapkan Prinsip Pontryagin Maksimum diperoleh kontrol dan sistem yang optimal. Solusi dari
sistem optimal yang diperoleh terbukti tunggal untuk interval waktu yang kecil. Simulasi numerik
yang dilakukan menunjukkan hasil yang sesuai dengan hasil analisis. Hasil simulasi menunjukkan
keefektifan kontrol dalam mengendalikan penyebaran suatu penyakit sehingga dapat mengurangi
jumlah individu terinfeksi dan meminimumkan biaya pengobatan.
Ucapan Terima Kasih
Penulis berterima kasih kepada Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi yang telah memberikan
dukungan kepada penulis sehingga dapat memperoleh ilmu untuk menulis makalah ini.
Daftar Pustaka
[1] W. O. Kermack and A. G. McKendrick, "A Contribution of the Mathematical Theory of
Epidemics," in Proceedings of the Royal Society of London, Series A, Containing Papers of a
mathematical and Physical Character, 1927.
[2] M. Fan, M. Y. Li and K. Wang, "Global Stability of an SEIS Epidemic Model with
Recruitment and a Varying Total Population Size," Mathematical Biosciences, vol. 170, pp.
199-208, 2001.
[3] M. El hia, O. Balatif, J. Bouyaghroumni, E. Labriji and M. Rachik, "Optimal Control Applied
to the Spread of Influenza A(H1N1)," Applied Mathematical Sciences, vol. 6, pp. 4057-4065,
2012.
[4] W. H. Fleming and R. W. Rishel, Deterministic and Stochastic Optimal Control, New York:
Springer-Verlag, 1975.
[5] H. R. Joshi, "Optimal Control of an HIV Immunology Model," Department of Mathematics
University of Tennessee, 2002.
238
25 April 2015
Universitas Negeri SUrabaya
ISBN No. 978-979-028-728-0
EKSISTENSI KONTROL DAN KETUNGGALAN SISTEM
OPTIMAL PADA MODEL EPIDEMI SEIT
M. Ivan Ariful Fathoni 1, Mardlijah2, Hariyanto3
2
1
Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya, m.ivan@fathonisme.com
Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya, mardlijah@matematika.its.ac.id
3
Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya, hariyanto_its@yahoo.co.id
Abstrak. Model matematika penyebaran penyakit menular yang digunakan pada penelitian ini adalah
model epidemi tipe SEIT (Susceptible Exposed Infective Treatment) dengan tingkat kejadian tersaturasi.
Kontrol optimal pengobatan diberikan pada populasi exposed dengan tujuan untuk meminimalkan
jumlah individu infective dan biaya pengobatan. Analisis eksistensi kontrol dan ketunggalan sistem
optimal pada model dibahas pada penelitian ini. Kontrol pengobatan pada model terbukti eksis, dan
dengan menerapkan Prinsip Pontryagin Maksimum diperoleh kontrol dan sistem yang optimal. Solusi
dari sistem optimal yang diperoleh terbukti tunggal untuk interval waktu yang kecil. Laju perubahan
populasi dalam model diilustrasikan dengan simulasi numerik.
Kata Kunci: Model epidemi, SEIT, kontrol optimal, eksistensi, ketunggalan, Prinsip Pontryagin
Pendahuluan
Matematika seringkali digunakan untuk menjelaskan fenomena dalam bidang biologi, seperti
penyebaran penyakit menular. Fenomena tersebut dimodelkan oleh persamaan diferensial dengan
representasi proses waktu kontinu. Model matematika yang dapat menggambarkan penyebaran
suatu penyakit di masa yang akan datang dengan melihat kondisi masa sekarang atau masa lalu
disebut dengan model epidemi. Model epidemi biasanya dinyatakan dalam suatu kompartemen
yang menyatakan kumpulan atau populasi.
Model epidemi pertama kali diperkenalkan pada tahun 1927 oleh Kermack dan McKendrick
[1], yaitu model SIR (Susceptible Infective Removal). Model SIR menggambarkan suatu
penyebaran penyakit dimana individu rentan (susceptible) dapat terinfeksi melalui proses interaksi
dengan individu yang terinfeksi (infective), kemudian populasi yang sembuh (removal) telah
memiliki kekebalan terhadap suatu penyakit sehingga individu tersebut tidak akan kembali menjadi
populasi yang rentan terhadap penyakit. Semakin berkembangnya penelitian mengenai model
penyebaran penyakit menjadikan model SIR sebagai pijakan banyak ilmuwan untuk membuat
model epidemi yang lebih khusus.
Beberapa penyakit menular memiliki periode exposed. Periode exposed atau disebut juga
dengan periode laten adalah masa bersembunyinya penyakit dalam tubuh ketika sistem kekebalan
tubuh dalam kondisi baik. Adanya periode exposed menjadi alasan pembentukan model epidemi
tipe SEIS (Susceptible Exposed Infective Susceptible) seperti yang dikemukakan oleh Fan, Li, dan
Wang [2].
Penyebaran suatu penyakit dapat dikendalikan dengan pemberian obat pada individu terinfeksi.
Oleh karena itu, pengobatan perlu dilakukan sebagai salah satu upaya untuk mencegah penyebaran
penyakit. Model epidemi dengan adanya pengobatan memunculkan populasi baru dari individu
terinfeksi yang telah mendapat pengobatan, yaitu populasi treatment. Dalam beberapa tahun
terakhir, penyebaran penyakit menular terjadi dalam bentuk yang beragam, seperti pada penyakit
H1N1. Keberagaman yang terjadi yaitu adanya perbedaan periode exposed dalam setiap tubuh
Universitas Negeri Surabaya
25 April 2015
229
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2015
ISBN No. 978-979-028-728-0
individu yang terinfeksi virus H1N1. Terdapat individu yang melewati fase periode exposed, dan
ada yang tidak. Hal tersebut terjadi karena variasi virus dan keadaan jasmani yang berbeda dari
setiap individu.
Model epidemi yang dibahas pada penelitian ini adalah model SEIT (Susceptible Exposed
Infective Treatment) dengan perbedaan periode exposed, sebagai berikut.
=
−
=
−
=
=
dengan
−
+
−
+
−
+
+
+ +
+
+
+
−
.
(1)
+ +
: banyaknya individu susceptible tiap waktu ,
: banyaknya individu exposed tiap waktu ,
: banyaknya individu infective tiap waktu ,
: banyaknya individu treatment tiap waktu ,
: banyaknya kelahiran tiap waktu ,
: tingkat kematian alami,
: tingkat kematian akibat penyakit,
: tingkat individu infective yang kembali rentan,
: tingkat individu treatment yang kembali rentan,
: tingkat individu exposed yang menjadi infective,
: tingkat individu terinfeksi yang menjadi exposed,
−
: tingkat individu terinfeksi yang menjadi infective,
: tingkat transmisi,
: tingkat pengobatan,
: tingkat kejadian tersaturasi (saturated incidence rate),
+
dengan
. Untuk selanjutnya
,
,
,
cukup ditulis dengan , , , tanpa
mengubah makna adanya variabel yang terkandung di dalamnya. Model yang dinyatakan dalam
sistem persamaan (1) diubah menjadi bentuk EITN, dengan mensubstitusikan = − − −
ke sistem persamaan (1), diperoleh
=
=
dengan
=
=
+
−
−
−
−
+
+
− ,
− −
−
−
− −
+ +
+
−
(2)
+ +
adalah daerah invariant positif dari model sistem persamaan (2).
={
, , ,
+
|
,
,
,
,
+ +
}.
Pengobatan sering kali terkendala oleh biaya, sehingga belum tentu optimal secara ekonomis.
Dengan demikian perlu ditentukan pengobatan yang optimal agar biaya yang dibutuhkan minimum
tetapi pengobatan yang dilakukan tetap efektif sebagai pengendali penyebaran penyakit. Tujuan
utama dari permasalahan kontrol optimal yaitu untuk mencari nilai kontrol
yang dimasukkan
ke dalam fungsi dinamik dan memenuhi kendala fisik atau konstrain. Pada waktu yang sama, dapat
230
25 April 2015
Universitas Negeri SUrabaya
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2015
ISBN No. 978-979-028-728-0
ditentukan nilai maksimum atau minimum yang memenuhi kriteria pada fungsi objektif. Dengan
kata lain nilai kontrol yang optimum dapat ditentukan pada saat keadaan dan waktu yang sama
berdasarkan fungsi objektif (fungsi tujuan). Tujuan yang dicapai dalam permasalahan kontrol
optimal pada penelitian ini adalah mendapatkan pengobatan optimal dengan meminimalkan jumlah
populasi infective dan biaya pengobatan. Secara matematika, permasalahan ini adalah
meminimalkan fungsi objektif
=∫ (
+
)
,
(3)
dengan adalah kontrol optimal pada model, adalah bobot pada biaya pengobatan,
adalah
waktu awal, dan adalah waktu akhir. Kemudian akan diperoleh
sehingga berlaku
(
= ���{
∶
},
|
. ,
[ , ], = , }. [3]
dengan = {
Pada penelitian ini dibahas beberapa hal, yaitu pada subbab 2.1 membahas tentang analisis
eksistensi dari kontrol optimal. Pada subbab 2.2 membahas tentang penyelesaian masalah kontrol
optimal dengan menggunakan Prinsip Pontryagin Maksimum sehingga diperoleh sistem yang
optimal. Analisis ketunggalan dari sistem optimal dibahas pada subbab 2.3. Pada bagian akhir,
subbab 2.4 dilakukan simulasi numerik untuk mengilustrasikan hasil yang telah diperoleh.
Hasil dan Pembahasan
2.1
Eksistensi Kontrol Optimal
Solusi terbatas dari sistem (2) untuk interval waktu yang terbatas digunakan untuk membuktikan
eksistensi kontrol optimal. Eksistensi dari kontrol optimal dapat dicari dengan menggunakan hasil
dari Fleming dan Rishel [4].
Teorema 2.1. Berdasarkan masalah kontrol (3) dengan sistem (2), terdapat kontrol
eksis sedemikian sehingga
���
yang
=
Bukti: Kontrol optimal dikatakan eksis jika memenuhi kondisi berikut [5].
1. Himpunan kontrol tidak kosong.
Secara umum, sistem didesain dengan adanya suatu kontrol supaya dapat mencapai tujuan yang
diinginkan (fungsi objektif). Akan tetapi, jika kontrol itu kosong maka tidak ada tindakan pada
sistem tersebut, dengan kata lain tujuan yang diinginkan sulit dicapai. Dengan kontradiksi,
andaikan terdapat fungsi objektif
����
=∫ (
+
)
,
artinya tujuan dari penelitian ini adalah memaksimalkan jumlah individu infective, dan biaya
pengobatan yang diperlukan dalam mengobati individu terinfeksi. Dengan semakin meningkatnya
populasi infective berarti semakin banyaknya individu yang terinfeksi penyakit, sehingga tidak
perlu adanya usaha pengobatan dalam menyembuhkan penyakit. Hal tersebut kontradiksi karena
pada interval waktu [ , ] terdapat tindakan pengendalian. Dengan demikian terbukti, seharusnya
fungsi kontrol tidak kosong sedemikian hingga
Universitas Negeri Surabaya
25 April 2015
231
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2015
ISBN No. 978-979-028-728-0
���
=∫ (
+
)
,
yang menggambarkan tujuan plant, yaitu mengontrol populasi infective dengan memberikan
pengobatan pada individu terinfeksi.
2. Himpunan kontrol konveks dan tertutup.
Akibat 1., maka dapat dijamin bahwa kontrol tidak kosong, sehingga dapat dilakukan analisis
mengenai sifat dari kontrol tersebut yaitu konveks dan tertutup.
a. Himpunan kontrol konveks
Dengan mengambil sebarang
dan ′
, serta berdasarkan definisi akan dibuktikan
′
′
[ , ]. Berdasarkan
=
+ −
, untuk semua
dan
−
− , maka
′
+
′
−
+
−
= .
[ , ], maka dapat
Karena
+ −
untuk semua
dan
ditunjukkan bahwa konveks.
b. Himpunan kontrol tertutup
Menurut definisi
. , maka dengan mengambil sebarang
[ , ],
= ∅.
sehingga < atau > . Jika < , maka
= | − | sehingga [ , ]
= ∅. Dengan demikian dapat
Jika > , maka
= | − | sehingga [ , ]
ditunjukkan
dengan
. untuk semua
. Terbukti
tertutup.
3. Persamaan ruas kanan (Right Hand Side) dari sistem dinamik kontinu terbatas oleh fungsi
linear pada state dan kontrol optimal.
Berdasarkan sistem (2), persamaan ruas kanan (Right Hand Side) dari sistem tersebut dapat
dinyatakan
[
−
+
+
−
−
− −
−
− −
−
−
⃗⃗ = [
+
−
+
+ +
−
+ +
]
]
+[
]+[ ]
|
|
[
+
−
+
+
|
|
]
+ |[
]| + |[ ]|
terbukti bahwa persamaan ruas kanan dari sistem (2) terbatas oleh fungsi linear pada state dan
kontrol optimal.
4. Integrand dari fungsi objektif konveks pada .
[ , ], = , untuk setiap
Ambil sebarang ,
Akan dibuktikan bahwa
(
untuk
dan
−
Sehingga dapat dibuktikan
232
−
(
+
−
+
=
+
=
−
+
(
−
(
+
25 April 2015
dengan
−
+
+
)+ (
,
=
+
.
,
+
).
Universitas Negeri SUrabaya
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2015
ISBN No. 978-979-028-728-0
√
−√
−
−
Jadi terbukti integrand pada fungsi objektif konveks pada
.
.
5. Integrand dari fungsi objektif terbatas.
Misalkan terdapat > dan mengingat terbatas pada [ , ] sedemikian sehingga
Oleh sebab itu
+
dengan
tergantung pada batas atas dari
. maka
= | | . Sehingga diperoleh
.
,
+
. Akibat fungsi kontrol terletak pada interval
+
+
|
| ,
| , terdapat konstanta
Dengan menganggap =
+ |
. Terbukti integrand pada fungsi objektif terbatas.
+
sedemikian sehingga
Berdasarkan pembuktian tersebut, terbukti bahwa kontrol optimal pada model dapat dijamin
eksistensinya karena terdapat kontrol optimal yang dapat meminimalkan fungsi objektif yang
diinginkan.
2.2
Penyelesaian Kontrol Optimal
Langkah pertama yang dilakukan untuk mendapatkan kontrol optimal adalah membentuk fungsi
Hamilton. Berdasarkan fungsi objektif (3), maka diperoleh fungsi Hamilton
, , , , , yaitu
+
+
(
+
(
−
(
+
(
+
+
−
−
(
+
−
−
−
−( + +
−
( −
+
−
−
+
.
−
)
+
+
)
Sehingga diperoleh sistem yang optimal dengan state dan costate sebagai berikut.
=
=
=
=
=(
=−
=(
+
−
−
(
(
+
− + +
−
+
−
+(
+
+
−
Universitas Negeri Surabaya
−
−
−
−
−( + +
+
−
+
−
−
+
−
−
+
+
+
+
(
+
−
+
+
+(
−
−
( +
−
+
25 April 2015
(4)
−
−
233
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2015
ISBN No. 978-979-028-728-0
= −(
+
−
Kondisi stasioner
+
= ,
−
(
=
̅
. sehingga
Karena
+
−
= ���
=
Dengan kondisi batas yaitu
, (
= , dan (
= .
,
= ,
,̅
, . Selanjutnya didapatkan bentuk
̅,
kontrol optimal
̅
= ��� ( . , ��� ( ,
Menggunakan Lema 2.1 diperoleh
|
234
−̅
|
| = |���
−
= ��� ( . , ��� ( ,
. , ���
,
− ̅ − ̅ ̅|
−
|
−
̅−̅ ̅
− ���
− ̅ ̅|
25 April 2015
))
))
. , ���
,
̅−̅ ̅
|
Universitas Negeri SUrabaya
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2015
ISBN No. 978-979-028-728-0
, , , ,
Untuk solusi
(4) diperoleh
+
=
+
+
=
+
−
,
−
+
,
−
+
− +
=
−
= −(
− +
=(
− +
=(
− +
−
−
+
= −(
+
,
+
+
−
−
−
−
−
−
= ��� ( . , ��� ( ,
dan ( ̅ , ,̅ ̅ , ̅, ̅̅̅, ̅̅̅, ̅̅̅, ̅̅̅ , berdasarkan sistem persamaan
,
−
−
( −
+
+
)) −
+
−
−
− ( + + ��� ( . , ��� ( ,
+
+
−
− −
+
−
−
−
.
−
)))
+ +
−
−
−
−
+
−
(��� ( . , ��� ( ,
+
−
+
)))
+
Dengan cara yang sama diperoleh ̅ + ̅ , ̅ + ̅, ̅ + ̅ , ̅ + ̅ , dan − ̅ + ̅, − ̅ + , − ̅ +
̅, − ̅ + ̅.
Dengan mengurangi persamaan dengan ̅ , dengan ,̅ dengan ̅ , dengan ̅ ,
dengan
̅̅̅,
̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅
dengan ,
dengan ,
dengan . Kemudian mengalikan masing-masing persamaan
dengan fungsi
− ̅ , −̅ , − ̅ ,
− ̅ ,
− ̅ , − ̅ , − ̅ , dan
− ̅ , serta
mengintegralkan dari 0 sampai . Sehingga diperoleh delapan persamaan yang digunakan untuk
estimasi dalam memperoleh ketunggalan. Gabungan dari delapan estimasi tersebut didapatkan
− ̅ (
+
−̅ (
+
−̅
+( − ̃
− ̃
+
+
∫ [
−̅
+
− ̅ (
+
− ̅
+
− ̅
+
− ̅ ]
−̅
+
Dari persamaan di atas dapat disimpulkan bahwa
( − ̃
− ̃
∫ [
+
−̅
+
− ̅
− ̅ ]
+
−̅
+
− ̅ (
− ̅
− ̅
+
+
+
− ̅
− ̅
−̅
+
+
+
−̅
−̅
+
+
− ̅
− ̅
dengan ̃ , ̃ bergantung pada semua koefisien dan batas pada , , , , , , , .
Jika memilih sedemikian sehingga − ̃
− ̃ > , maka haruslah
∫ [
− ̅
Sehingga
+
− ̅
+
− ̅
+
< l�
−̅
− ̃
̃
+
− ̅
+
−̅
− ̅
+
+
−̅
− ̅ ]
saat = ̅ , = ̅, = ̅ , = ̅, = ̅, = ̅ , = ̅, = .̅ Oleh karena itu solusinya adalah
tunggal untuk interval waktu yang kecil. Kontrol optimal
adalah karakteristik dari ketunggalan
Universitas Negeri Surabaya
25 April 2015
235
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2015
ISBN No. 978-979-028-728-0
solusi dari sistem optimal. Kontrol optimal tersebut memberikan strategi pengobatan optimal pada
model epidemi (1).
2.4
Simulasi Numerik
Untuk memperlihatkan pengaruh kontrol pengobatan pada model, simulasi numerik dibuat
=
, , , ,
dan
dengan menggunakan nilai awal atau populasi awal
, , , ,
nilai parameter-parameter yang memenuhi kondisi endemi sebagai berikut.
TABEL 1 Nilai parameter.
Parameter
Nilai
20
0.0455
0.004
0.07
0.75
0.2
0.23
0.1
0.3
1
Masing-masing populasi dibuat simulasi dari perubahan jumlah individu setelah diberikan kontrol
pengobatan, sebagai perbandingan disertakan perubahan jumlah individu tanpa kontrol. Hasil
simulasi ditampilkan pada Gambar 1 (a) - (d) dan 2.
Populasi Exposed
Populasi Susceptible
18
400
396.8
15.66
16
390
E Tanpa Kontrol
14
E dengan Kontrol
380
E(t)
S(t)
12
370
10
8
360
S Tanpa Kontrol
6
S dengan Kontrol
350
349.1
340
0
20
40
60
80
100
120
Waktu (Hari)
140
160
180
200
4
2
3.331
0
20
(a)
236
40
60
80
100
120
Waktu (Hari)
140
160
180
200
(b)
25 April 2015
Universitas Negeri SUrabaya
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2015
ISBN No. 978-979-028-728-0
Populasi Infective
Populasi Treatment
26
12
24
10
23.39
22
20
I Tanpa Kontrol
8.677
8
I dengan Kontrol
I(t)
T(t)
18
6
16
T Tanpa Kontrol
14
T dengan Kontrol
4
12
2
9.611
10
0
8
0
20
40
60
80
100
120
Waktu (Hari)
140
160
180
0
200
0
20
40
60
(c)
80
100
120
Waktu (Hari)
140
160
180
200
(d)
Gambar 1 Perbandingan perubahan jumlah individu tanpa dan dengan kontrol : (a) Susceptible, (b) Exposed, (c)
Infective, (d) Treatment.
Berdasarkan Gambar 1 diketahui bahwa jumlah individu susceptible tanpa kontrol pengobatan
mengalami penurunan sampai stabil berjumlah 349.1 individu sejak hari ke-85. Jika diberikan
kontrol , jumlahnya relatif konstan sejak hari pertama sampai mencapai kestabilan sebanyak
396.8 individu pada hari ke-105, ada peningkatan sebanyak 27.3 individu setelah dikontrol. Jumlah
individu Exposed tanpa pengobatan naik dari hari pertama dan pada hari ke-10 turun kemudian
stabil berjumlah 15.66 individu setelah hari ke-145. Jika diberikan kontrol jumlahnya berkurang
sebanyak 12.329 individu, sehingga stabil menjadi 3.331 individu pada hari ke-34. Jumlah individu
infective tanpa pengobatan naik dari hari pertama, kemudian stabil di angka 23.39 sejak hari ke93. Tetapi setelah diberi kontrol jumlahnya berkurang sebanyak 13.779 individu. Akibat tidak
adanya pengobatan, maka tetap tidak ada populasi treatment. Sedangkan jika diberikan kontrol
jumlah individu meningkat sampai sebesar 10.8 individu pada hari ke-2, kemudian turun sampai
menjadi 8.677 individu sejak hari ke-98.
Jika dilihat dari jumlah total individu di keempat populasi, Gambar 2 menunjukkan bahwa tanpa
kontrol pengobatan, populasi mengalami penurunan sejak awal dari 435 menjadi 399.2 pada hari
ke-114. Jumlah populasi dapat ditingkatkan dengan pemberian kontrol pengobatan, hal ini terbukti
dengan jumlah total individu di keempat populasi yang meningkat menjadi 435.9 individu sejak
hari ke-89, terjadi peningkatan sebanyak 36.7 individu.
Total Populasi
435
430
425
418.4
420
415
N(t)
N Tanpa Kontrol
N dengan Kontrol
410
405
400
395
390
385
399.2
0
20
40
60
80
100
120
Waktu (Hari)
140
160
180
200
Gambar 2 Perbandingan perubahan jumlah total individu tanpa dan dengan kontrol
Universitas Negeri Surabaya
25 April 2015
237
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2015
ISBN No. 978-979-028-728-0
Kesimpulan
Berdasarkan hasil analisis, kontrol pengobatan pada model SEIT terbukti eksis. Dengan
menerapkan Prinsip Pontryagin Maksimum diperoleh kontrol dan sistem yang optimal. Solusi dari
sistem optimal yang diperoleh terbukti tunggal untuk interval waktu yang kecil. Simulasi numerik
yang dilakukan menunjukkan hasil yang sesuai dengan hasil analisis. Hasil simulasi menunjukkan
keefektifan kontrol dalam mengendalikan penyebaran suatu penyakit sehingga dapat mengurangi
jumlah individu terinfeksi dan meminimumkan biaya pengobatan.
Ucapan Terima Kasih
Penulis berterima kasih kepada Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi yang telah memberikan
dukungan kepada penulis sehingga dapat memperoleh ilmu untuk menulis makalah ini.
Daftar Pustaka
[1] W. O. Kermack and A. G. McKendrick, "A Contribution of the Mathematical Theory of
Epidemics," in Proceedings of the Royal Society of London, Series A, Containing Papers of a
mathematical and Physical Character, 1927.
[2] M. Fan, M. Y. Li and K. Wang, "Global Stability of an SEIS Epidemic Model with
Recruitment and a Varying Total Population Size," Mathematical Biosciences, vol. 170, pp.
199-208, 2001.
[3] M. El hia, O. Balatif, J. Bouyaghroumni, E. Labriji and M. Rachik, "Optimal Control Applied
to the Spread of Influenza A(H1N1)," Applied Mathematical Sciences, vol. 6, pp. 4057-4065,
2012.
[4] W. H. Fleming and R. W. Rishel, Deterministic and Stochastic Optimal Control, New York:
Springer-Verlag, 1975.
[5] H. R. Joshi, "Optimal Control of an HIV Immunology Model," Department of Mathematics
University of Tennessee, 2002.
238
25 April 2015
Universitas Negeri SUrabaya