INTEGRAL RIEMAAN FUNGSI BERNILAI VEKTOR

  

DAFTAR ISI

  Halaman

  KelompokMatematika

  PERBANDINGAN SEGIEMPAT LAMBERT PADA GEOMETRI EUCLID DAN NON-EUCLID 1-6 Anggun Novita Sari, Muslim Ansori dan Agus Sutrisno RuangTopologi , , , ,

  7-14 Anwar Sidik, Muslim Ansori dan Amanto PENERAPAN GRAF DEBRUIJN PADA KONSTRUKSI GRAF EULERIAN 15-21 Fazrie Mulia , Wamiliana , dan Fitriani REPRESENTASI OPERATOR HILBERT SCHMIDT PADA RUANG BARISAN 22-27 Herlisa Anggraini , Muslim Ansori, Amanto ANALISIS APROKSIMASI FUNGSI DENGAN METODE MINIMUM NORM PADA RUANG 28-33 HILBERT C[a, b] (STUDI KASUS : FUNGSI POLINOM DAN FUNGSI RASIONAL) Ida Safitri, Amanto, dan Agus Sutrisno AlgoritmaUntukMencariGrupAutomorfismaPada Graf Circulant 34-37 Vebriyan Agung , Ahmad Faisol, Amanto KEISOMORFISMAAN GEOMETRI AFFIN

  38-41 Pratiwi Handayani, Muslim Ansori, Dorrah Aziz METODE PENGUKURAN SUDUT MES SEBAGAI KEBIJAKAN PENENTUAN 1 SYAWAL 42-44 Mardiyah Hayati , Tiryono, dan Dorrah KE-ISOMORFISMAAN GEOMETRI INSIDENSI

  45-47 Marlina , Muslim Ansori dan Dorrah Aziz TRANSFORMASI MATRIKS PADA RUANG BARISAN 48-53 Nur Rohmah, Muslim Ansori dan Amanto KAJIAN ANALITIK GEOMETRI PADA GERAK MEKANIK POLISI TIDUR (POLDUR) UNTUK 54-56 PENGGERAK DINAMO Nurul Hidayah Marfiatin, Tiryono Ruby dan Agus Sutrisno

  INTEGRAL RIEMAAN FUNGSI BERNILAI VEKTOR

  57-63 Pita Rini, Dorrah Aziz, dan Amanto

  ISOMORFISME BENTUK-BENTUK GRAF WRAPPED BUTTERFLY NETWORKS DAN GRAF 64-71

  CYCLIC-CUBES

  Ririn Septiana, Wamiliana, dan Fitriani Ring Armendariz

  72-77 Tri Handono, Ahmad Faisol dan Fitriani PERKALIAN DAN AKAR KUADRAT UNTUK OPERATOR SELF-ADJOINT 78-81 Yuli Kartika, Muslim Ansori, Fitriani

  Kelompok Statistika

  APROKSIMASI DISTRIBUSI T-STUDENT TERHADAP GENERALIZED LAMBDA 82-85

  DISTRIBUTION

  (GLD) BERDASARKAN EMPAT MOMEN PERTAMANYA Eflin Marsinta Uli, Warsono, dan Widiarti ANALISIS CADANGAN ASURANSI DENGAN METODE ZILLMER DAN NEW JERSEY 86-93 Eva fitrilia, Rudi Ruswandi, dan Widiarti PENDEKATAN DIDTRIBUSI GAMMATERHADAP GENERALIZED LAMBDA DISTRIBUTION 94-97 (GLD)BERDASARKAN EMPAT MOMEN PERTAMANYA Jihan Trimita Sari T, Warsono, dan Widiarti PERBANDINGAN ANALISIS RAGAM KLASIFIKASI SATU ARAH METODE KONVENSIONAL 98-103 DENGAN METODE ANOM Latusiania Oktamia, Netti Herawati, Eri Setiawan PENDUGAAN PARAMETER MODEL POISSON-GAMMA MENGGUNAKAN ALGORITMA EM 104-109

  EXPECTATION MAXIMIZATION

  ( ) Nurashri Partasiwi, Dian Kurniasari dan Widiarti KAJIAN CADANGAN ASURANSIDENGAN METODE ZILLMER DAN METODE KANADA 110-115 RozaZelvia, Rudi Ruswandi dan Widiarti ANALISIS KOMPONEN RAGAM DATA HILANG PADA RANCANGAN CROSS-OVER 116-121 Sorta Sundy H. S, Mustofa Usman dan Dian Kurniasari PENDEKATAN DISTRIBUSI GOMPERTZ PADA CADANGAN ASURANSI JIWA UNTUK METODE 122-126 ZILLMER DAN ILLINOIS Mahfuz Hudori, Rudi Ruswandi dan Widiarti

  ONE-STAGE TWO-STAGE CLUSTER SAMPLING

  KAJIAN RELATIF BIASMETODE DAN 127-130

  Rohman, Dian Kurniasar dan Widiarti PERBANDINGAN UJI HOMOGENITAS RAGAM KLASIFIKASI SATU ARAH METODE 131-136 KONVENSIONAL DENGAN METODE ANOMV Tika Wahyuni, Netti Herawati dan Eri Setiawan PENDEKATAN DISTRIBUSI KHI-KUADRAT TERHADAP GENERALIZED LAMBDA 137-140

  DISTRIBUTION (GLD) BERDASARKAN EMPAT MOMEN PERTAMANYA

  Tiyas Yulita , Warsono dan Dian Kurniasari

  Kelompok Kimia

  TRANSESTERIFIKASI MINYAK SAWIT DENGAN METANOL DAN KATALIS HETEROGEN 141-147 BERBASIS SILIKA SEKAM PADI (MgO-SiO

  2 )

  EviRawati Sijabat, Wasinton Simanjuntak dan Kamisah D. Pandiangan EFEK PENAMBAHAN SENYAWA EKSTRAK DAUN BELIMBING SEBAGAI INHIBITOR KERAK 148-153 KALSIUM KARBONAT (CaCO

  

3 ) DENGAN METODE UNSEEDED EXPERIMENT

,

  Miftasani Suharso dan Buhani EFEK PENAMBAHAN SENYAWA EKSTRAK DAUN BELIMBING WULUH SEBAGAI INHIBITOR 154-160 KERAK KALSIUM KARBONAT (CaCO

  3 ) DENGAN METODE SEEDED EXPERIMENT ,

  PutriFebriani Puspita Suharso dan Buhani

  IDENTIFIKASI SENYAWA AKTIF DARI KULIT BUAH ASAM KERANJI ( Dalium indum) 161-168 SEBAGAI INHIBITORKOROSIBAJA LUNAK Dewi Kartika Sari, Ilim Wasinton dan Simanjuntak TransesterifikasiMinyakSawitdenganMetanoldanKatalisHeterogenBerbasis 169-175 SilikaSekamPadi(TiO

  2 /SiO 2 )

  Wanti Simanjuntak, Kamisah D. Pandiangan dan Wasinton Simanjuntak UJI PENDAHULUAN HIDROLISIS ONGGOK UNTUK MENGHASILKAN GULA REDUKSI 176-182

  DENGAN BANTUAN ULTRASONIKASI SEBAGAI PRAPERLAKUAN Juwita Ratna Sari dan Wasinton Simanjuntak STUDI FORMULASI PATI SORGUM-GELATIN DAN KONSENTRASI PLASTICIZER DALAM 183-190 SINTESA BIOPLASTIK SERTA UJI BIODEGRADABLE DENGAN METODE FISIK Yesti Harryzona dan Yuli Darni

  KelompokFisika

  Pengaruh Variasi Suhu Pemanasan Dengan Pendinginan Secara Lambat Terhadap Uji 191-195

  Bending Dan Struktur Mikro Pada Baja Pegas Daun AISI 5140

  Adelina S.E Sianturi, Ediman Ginting dan Pulung Karo-Karo PengaruhKadarCaCO

  3 terhadapPembentukanFaseBahanSuperkonduktorBSCCO-2212 196-201

  denganDopingPb (BPSCCO-2212) Ameilda Larasati, Suprihatin dan Ediman GintingSuka Variasi Kadar CaCO

  3 dalamPembentukanFaseBahanSuperkonduktor BSCCO-2223 dengan 202-207

  Doping Pb (BPSCCO-2223) Fitri Afriani, Suprihatin dan Ediman Ginting Suka Sintesis Bahan Superkonduktor BSCCO-2223 Tanpa Doping Pb Pada Berbagai Kadar CaCO

  3 208-212

  Heni Handayani, Suprihatin dan Ediman Ginting Suka Pengaruh Variasi Waktu Penarikan dalam Pembuatan Lapisan Tipis TiO

  2 dengan Metode 213-218

  Pelapisan Celup Dian Yulia Sari dan Posman Manurung Pengaruh Suhu Sintering terhadap Karakteristik Struktur dan Mikrostruktur Komposit 219-225 Aluminosilikat 3Al

  2 O 3 .2SiO

  2 Berbahan Dasar Silika Sekam Padi

  Fissilla Venia Wiranti dan Simon Sembiring Sintesisdan KarakterisasiTitaniaSilikadenganMetode Sol Gel 226-230 Revy Susi Maryanti dan Posman Manurung Uji Fotokatalis Bahan TiO yang ditambahdengan SiO padaZatWarnaMetilenBiru 231- 236

  2

  2 Violina Sitorus dan Posman Manurung

  KARAKTERISTIK STRUKTUR DAN MIKROSTRUKTUR KOMPOSIT B

  2 O 3 -SiO

  2 BERBASIS 237-241

  SILIKA SEKAM PADI DENGAN VARIASI SUHU KALSINASI Nur Hasanah, Suprihatin, dan Simon Sembiring RANCANG BANGUN DAN ANALISIS ALAT UKUR MASSA JENIS ZAT CAIR BERBASIS 242-247 MIKROKONTROLER ATMega8535 Prawoto, Arif Surtono, dan Gurum Ahmad Pauzi

ANALISIS BAWAH PERMUKAAN KELURAHAN TRIKORA KABUPATEN NGADA NTT 248-250

  MENGGUNAKAN METODE GPR ( Ground Penetrating Radar ) DAN GEOLISTRIK

  ,

  R. Wulandari Rustadi dan A. Zaenudin Analisis Fungsionalitas Na2CO3 Berbasis CO2 Hasil Pembakara Tempurung Kelapa 251-256 Rizky Sastia Ningrum, Simon Sembiring dan

  Ring Armendariz

  2.2 Operasi Direct Sum

  Kata Kunci : Ring Armendariz, Ring reduced, Daerah integral,Daerah Ideal Utama, Direct Sum

  1. Pendahuluan

  Struktur aljabar adalah himpunan atau beberapa himpunan yang dilengkapi dengan suatu operasi atau beberapa operasi yang memenuhi aksioma-aksioma tertentu. Salah satu contoh struktur aljabar adalah ring. Ring adalah struktur aljabar dengan satu himpunan dan dua operasi yang memenuhi aksioma- aksioma tertentu.

  Ring polinomial dibentuk dari perluasan suatu ring. Ring polinomial merupakan suatu himpunan yang berisi polinomial-polinomial yang dilengkapi dua operasi biner dan memenuhi aksioma-aksioma tertentu. Suatu ring R komutatif dikatakan Armendariz jika pergandaan dua buah polinomial dengan koefisiennya merupakan elemen ring R menghasilkan nol, maka mengakibatkan pergandaan koefisiennya nol. Ring yang mempunyai sifat Armendariz dikatakan ring Armendariz. Ide awal mengenai ring Armendariz diperkenalkan oleh Rege dan Chawcharia pada tahun 1997 dan pemilihan nama ring Armendariz tersebut berdasarkan atas nama orang yang menemukan yaitu Efraim P. Armendariz pada tahun 1973. Pada penelitian ini, akan dikaji ring dan beberapa struktur ring yang mempunyai sifat Armendariz.

  2. Landasan teori

  Diberikan himpunan S ≠ ∅. Suatu operasi biner

  ∗ pada himpunan S adalah suatu aturan beraturan (a,b) ∈ S x S dengan tepat satu elemen S.

  ∗ : S x S → S (a,b)

  ↦ (a ∗ b) ∈ S (Gilbert dan Nicholson, 2004). Contoh : Penjumlahan biasa “+” dan perkalian biasa “•” pada himpunan bilangan real

  ℝ adalah operasi biner.

  Diberikan R dan S suatu ring. Operasi direct

  = 0 untuk setiap i dan j. Dalam makalah ini dikaji beberapa ring yang memenuhi sifat Armendariz. Jika R adalah daerah ideal utama yang komutatif dan A ideal di R maka R/A merupakan ring Armendariz. Selanjutnya, jika diketahui R daerah integral dengan A ideal di R dan ring faktor R/A merupakan Armendariz maka struktur ring R  R/A adalah Armendariz yang hasil operasi pergandaan didefinisikan dengan (a,

  sum pada struktur ring R  S = {(r,s)

  ȁݎ א ܴ dan ݏ א ܵ} berlaku (r,s) + (t,u) = (r + t,s + u) dan (r,s)

  ⋅(t,u) = (rt,ru+st) (Rege dan Chhawchharia, 1997).

  2.3 Ring

  Diberikan R himpunan sebarang tak kosong, + dan • adalah sebarang dua operasi pada R. Himpunan < R,+, •> dikatakan ring jika memenuhi sifat :

  1. Terhadap operasi +,

  a). Tertutup, yaitu untuk setiap a,b

  ∈ R berlaku a + b ∈ R.

  b). Asosiatif, yaitu untuk setiap a,b,c ∈ R berlaku (a + b) + c = a + (b + c). c ).

  Mempunyai elemen identitas, yaitu terdapat ∈ R sedemikian sehingga untuk setiap a

  ∈ R berlaku 0 + a = a + 0 = a.

  ݑത)⋅(b,ݒҧ) = (ab,ܽݒ ൅ ݑܾ തതതതതതതതതതത). Ring R  R/A juga merupakan Armendariz terkait sifat ring reduced yaitu ring yang tidak mempunyai elemen nilpoten tak nol.

  

௝

  Tri Handono

  ݔ

  1

  , Ahmad faisol

  2

  , Fitriani

  3 Jurusan Matematika FMIPA, Unila, Bandar Lampung, Indonesia

  1

  rihanD25@yahoo.com Jurusan Matematika FMIPA, Unila, Bandar Lampung, Indonesia

  2 Jurusan Matematika FMIPA, Unila, Bandar Lampung, Indonesia

  3 Abstrak

  Misalkan R ring komutatif dan R[x] ring polinomial. Suatu ring R dikatakan ring Armendariz jika diberikan sebarang dua polinomial f(x) = ∑ ܽ

  ௜

  ௜ ௡ ௜ୀ଴

  ܾ

  ,g(x) =

  ∑ ܾ

  ௝

  ݔ

  ௝ ௠ ௝ୀ଴

  ∈ R[x] dimana ܽ

  ௜

  ǡ ܾ

  ௝

  ∈ R sedemikian sehingga jika f(x)g(x) = 0 maka ܽ

  ௜

2.1 Operasi Biner

2. Terhadap operasi •,

3. Terhadap operasi + dan •,

a). Distribusi kanan, yaitu untuk setiap a,b,c

  ∈ Z } yang merupakan ring faktor.

  ݔ

  ௜

  ܽ

  Diberikan ring R. Himpunan < R[x],+,• > yang beranggotakan semua polinomial dengan koefisien anggota ring R dalam variabel x dan dilengkapi dua operasi biner dikatakan ring polinomial. Ring polinomial dapat disajikan sebagai <R[x],+,•> = ∑

  2.10 Ring Polinomial

  Contoh : Diketahui 4Z merupakan ideal pada ring Z. Dapat dibentuk himpunan

  Z /4Z = {a + 4Z | a

  ǡ ܽ

  R/N = { ߚ+ N | ߚ ∈ R } (Herstein, 1996).

  Jika N adalah ideal pada ring R, maka ring koset ߚ + N yang dibangkitkan oleh operasi koset adalah ring faktor dan dinotasikan sebagai berikut.

  2.9 Ring Faktor

  ,maka Z disebut daerah ideal utama.

  ⟨ܽ⟩ = aZ

  ௜ ௡ ௜ୀ଴

  א ܴ (Herstein, 1996). Contoh : Himpunan < Z[x],+, • > dengan koefisien elemen ring Z merupakan ring polinomial.

  ௜

  = 4 ത

  2.12 Ring Reduced

  8 .

  = 0 ത maka {2 ത},{4ത},{6ത} adalah elemen nilpoten tak nol pada Z

  3

  = 6 ത

  2

  3

  Contoh : Diberikan daerah integral Z. Terdapat I ⊂ Z . Karena I = {0} ideal pada Z yang dibangun oleh elemen 0 dan jika I

  2 ത

  8 dan karena

  ∈ Z

  n = 0, untuk suatu n

  Diberikan ring R dan a ∈ R dikatakan nilpoten jika a

  2.11 Nilpoten

  ≠ {0} ideal pada Z yang berisi semua kelipatan dari a juga dibangun oleh a yaitu

  I = { ݔܽ ȁ ݔ א ܴ } untuk suatu ܽ ∈ I (Herstein, 1996).

  2.4 Subring

  ∈ R berlaku a • b ∈ R.

  Diberikan ring < R,+, •>, jika terhadap operasi

  ∈ R berlaku (a + b) • c = (a • c) + (b • c) (Herstein, 1996).

  b).Distribusi kiri, yaitu untuk setiap a,b,c

  ∈ R berlaku a • (b + c) = (a • b) + (a • c).

  ∈ R berlaku (a • b) • c = a • (b • c).

  b). Asosiatif, yaitu untuk setiap a,b,c

  a). Tertutup, yaitu untuk setiap a,b

  Diberikan suatu ring R dan himpunan S ⊂ R dengan

  ∈ R berlaku a + b = b + a.

  e).Komutatif, yaitu untuk setiap a,b

  terdapat -a ∈ R sedemikian sehingga berlaku a + -a = -a+ a = 0

  2.7 Pembangun

  ∈ R

  d).Elemen invers, yaitu untuk setiap a

• pada R berlaku a • b = b • a untuk setiap a,b ∈ R, maka R disebut ring komutatif (Dummit dan Foote, 2004). Contoh : <Z, +, •> adalah ring komutatif.

  S ≠ ∅. Himpunan S disebut subring

  Suatu daerah integral dikatakan daerah ideal utama jika untuk setiap ideal I di R berbentuk

  ⊆ I, untuk setiap r ∈ R ; (i) Jika I

  2.8 Daerah Ideal Utama

  ⟨݌⟩ = A (Dummit dan Foote, 2004).

  Diketahui R ring komutatif dan A ideal pada R. Himpunan A = {pr | r ∈ R }suatu ideal yang dibangun suatu elemen p dan p disebut pembangun ideal A dapat ditulis

  Jika I ⊆ R hanya memenuhi (a) dan (c) maka I dikatakan ideal kanan pada R (Herstein , 1996).

  (ii)

  ⊆ R hanya memenuhi (a) dan (b) maka I dikatakan ideal kiri pada R.

  c. Ir

  jika S merupakan ring terhadap operasi yang sama pada R (Herstein, 1996). Contoh : Himpunan 2Z merupakan subring pada ring <Z, +, • >.

  ⊆ I, untuk setiap r ∈ R ;

  b. rI

  a. I subring pada R ;

  Diberikan R ring dan I ⊆ R. I dikatakan ideal jika :

  2.6 Ideal

  Suatu ring komutatif R dikatakan daerah integral jika a • b = 0 di R yang berakibat bahwa a = 0 atau b = 0 (Herstein, 1996). Contoh : Himpunan < R,+,•> dan himpunan < Z,+, •> adalah contoh daerah integral.

  2.5 Daerah Integral

• + (Herstein, 1996). Contoh : Diberikan ring Z

2.13 Ring Armendariz

3. Metode Penelitian

  ଶ

  തതത ݔ

  ଶ

  തതതݔ ൅ ܽ

  ଵ

  തതത ൅ ܽ

  ଴

  ⇔(ܽ

  Diasumsikan ݂̅(x)݃ҧ(x) = 0ത

  untuk setiap i dan j elemen

  R/A = { ܽത ൌ a+A |a ∈ R}.

  ௝

  , ܾത

  ௜

  ∈ R/A[x] dimana ܽത

  ௝ ௠ ௝ୀ଴

  ݔ

  ௝

  , ݃ҧ(x) = ∑ ܾത

  ௜ ௡ ௜ୀ଴

  ൅ ڮ ൅ ܽ

  ௡

  ௜

  ଴ തതത) + (ܽ ଴

  തതത ܾ

  ௠ିଵ തതതതതതത ൅ ڮ ൅ ܽ ௡

  തതത ܾ

  ௠ തതതത + ܽ ଵ

  തതത ܾ

  ଴ തതത)x + ⋯ + (ܽ ଴

  തതത ܾ

  ଵ ഥ ൅ܽ ଵ

  തതത ܾ

  തതത ܾ

  തതത ݔ

  ଴

  ⇔(ܽ

  ) = 0 ത

  ௠ തതതത ݔ ௠

  ൅ ڮ ൅ ܾ

  ଶ തതത ݔ ଶ

  ܾ

  ଴ തതത ൅ ܾ ଵ ഥ ݔ ൅

  ) ( ܾ

  ௡

  ݔ

  ݂̅(x) = ∑

  ܽത

  ݔ

  ௝ = 0 untuk setiap i dan j.

  ܾ

  ௜

  ∈ R sedemikian sehingga f(x)g(x) = 0 maka ܽ

  ௝

  ǡ ܾ

  ௜

  ∈ R[x] dimana ܽ

  ௝ ௠ ௝ୀ଴

  ௝

  R suatu daerah ideal utama yang komutatif

  ܾ

  ௜ ௡ ௜ୀ଴ , g(x) = ∑

  ݔ

  ௜

  ܽ

  f(x)= ∑

  Suatu ring R dikatakan ring Armendariz jika diberikan sebarang dua polinomial

  6 adalah ring reduced karena tidak mempunyai elemen nilpoten tak nol.

  Suatu ring dikatakan ring reduced jika tidak mempunyai elemen nilpoten tak nol (Herstein, 1996). Contoh : Ring Z

  Pada penelitian ini metode yang digunakan adalah studi literatur. Pada tahap pertama, akan ditunjukkan ring faktor R/A merupakan ring Armendariz dengan

  dan A ideal pada R. Selanjutnya diberikan sebarang dua polinomial dengan koefisiennya merupakan elemen ring faktor R/A. Akan ditunjukkan bahwa jika pergandaan dua elemen polinomial sama dengan nol maka pergandaan koefisiennya juga nol.

  = 0 ത

  4.1 Teorema

  Bukti : Diberikan sebarang dua polinomial

  ఫ തതതതതത = 0ത.

  ܾ

  ప

  ݂̅(x)݃ҧ(x) = 0ത maka ܽ

  Akan ditunjukkan R/A merupakan ring Armendariz dengan kata lain jika

  ଴ ∈ R.

  ⟩ ideal A yang dibangun oleh unsur ݔ

  Diketahui R adalah daerah ideal utama yang komutatif dan A ideal di R. Misalkan A = ⟨ݔ ଴

  Berikut ini dikaji beberapa karakteristik ring dan ring faktor yang mempunyai sifat Armendariz.

  ଴ തതതതതതതതതതതതതതതത)x+ ⋯

  4. Hasil dan Pembahasan

  ֞ ܽ

  ଴

  ܾ

  ଴ തതതതതത +(ܽ ଴

  ܾ

  ଵ

  ൅ ܽ

  ଵ

  ܾ

  ଴ തതത) ݔ ௡ା௠

• (
• A=0 + A dimana

   R juga merupakan ring Armendariz dengan diberikan ideal A sama dengan nol.

  ଴

  ଵ

  ൅ ݔ

  ଴

  ܽ

  ଵ

  ܾ

  ଴

  ൅ ܣ = 0 + A ݔ

  ܽ

  ଴

  ଴

  ܾ

  ଵ

  ൅ ܽ

  ଵ

  ݔ

  ଴

  ܾ

  ܾ

  ܽ

  ൅ ܣ = 0 + A (R komutatif) ݔ

  ଴

  ଴

  ܾ

  ଵ

  ൅ ܽ

  ଵ

  ܾ

  ଴

  ൅ ܣ ݔ

  ሺܽ

  ଴

  ଴

  ܾ

  ଵ

  ൅ ܽ

  ଵ

  ܾ

  ଴

  ሻ ൅ ܣ = 0 + A (dikali ݔ

  ଴

  ଴

  ଴

  ଴ ∈ R.

  ଵ

  ݔ

  ଴

  ܾ

  ଵ

  A. Selanjutnya subtitusikan

  ܽ

  ଴

  ܾ

  ܽ ଵ ܾ ଴

  ܾ

  ܽ

  ଴

  ܾ

  ଵ

  ൅ ܽ

  ଵ

  ܾ

  ଴ തതതതതതതതതതതതതതതത = 0ത.

  Pada tahap kedua, dibentuk ring yang lebih luas yaitu struktur ring R  R/A yang merupakan ring dengan operasi direct sum yang didefinisikan khusus. Akan dibuktikan bahwa struktur ring R  R/A merupakan ring Armendariz, dengan R suatu daerah integral,

  ଵ

  ଴

  ܽ

  ଴

  ଴

  ܾ

  ଵ

  ൅ Ͳ ൅ ܣ

  = 0 + A (

  ݔ

  ଴

  ܾ

  ଴

  ∈ A dan A ideal utama maka diperoleh ܽ

  ሺܽ

  ଴

  ܾ

  ଵ

  ሻ ൅ ܣ = 0 + A. Karena

  ݔ

  ଴

  , ܽ

  ଴

  ܽ

  ܾ

   R/A. Akan ditunjukkan bahwa jika pergandaan dua elemen polinomial sama dengan nol maka pergandaan koefisiennya nol. Bentuk struktur ring R  R/A berakibat bahwa ring R

  ଴

  ଴

  തതതതതത = 0ത (4.1) ܽ

  ଴

  ܾ

  ଵ

  ൅ ܽ

  ଵ

  ܾ

  തതതതതതതതതതതതതതതത = 0ത (4.2) ܽ

  ଴

  ଴

  ܾ

  ଶ

  ൅ ܽ

  ଵ

  ܾ

  ଵ

  ଶ

  ܾ

  Akibatnya ܽ

  ଴

  ܽ

  mendukung pembuktian struktur ring R  R/A adalah Armendariz. Selanjutnya diambil sebarang dua polinomial dengan koefisiennya merupakan elemen ring R

  reduced R dan beberapa lemma yang

  Sebelumnya dikaji terlebih dahulu tentang ring

  Pada tahap berikutnya akan ditunjukkan bahwa struktur ring R  R/A terkait sifat ring reduced memenuhi sifat Armendariz.

  R  R/A memenuhi aksioma-aksioma ring.

   R/A. Akan ditunjukkan bahwa jika pergandaan dua elemen polinomial sama dengan nol maka pergandaan koefisiennya nol, namun terlebih dahulu disajikan pembuktian struktur ring

  Armendariz. Selanjutnya diberikan sebarang dua polinomial dengan koefisiennya merupakan elemen ring R

  A ideal pada R dan R/A ring faktor yang

  ଴

  ଴ തതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതሻ ݔ ௡ା௠ = ത.

  ܾ

  ௠

  ൅ ܽ

  ଵ

  ܾ

  ௠ିଵ

  ൅ ڮ ൅ ܽ

  ௡

  ܾ

  ܾ

  തതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതത = 0ത (4.3) dan seterusnya.

  ଵ

  ܾ

  ) + A = 0 + A. Karena ݔ

  ଴

  ∈ A dan A ideal utama maka diperoleh ݔ

  ଴

  ܾ

  ଴ + A = 0 + A.

  Dari persamaan (4.2) dapat ditulis ܽ

  ଴

  ଵ

  ܾ

  ൅ ܽ

  ଵ

  ܾ

  ଴

  ܽ

  ଴

  ܾ

  ଵ

  ൅ ܽ

  ଴

  ଴

  Dari persamaan (4.1) dapat ditulis ܽ

  ଴

  ଴

  ܾ

  ଴

  ൅ ܣ ൌ Ͳ ൅ ܣ dimana ܽ

  ଴

  ܾ

  ଴

  ∈ R. Karena R daerah ideal utama, maka ܽ

  dapat dinyatakan sebagai ܽ

  ሺݔ

  ଴

  = ݔ

  ଴

  ݎ

  ଴

  ∈ A suatu elemen ideal utama yang dibangun oleh ݔ

  ଴

  ∈ A yang mengakibatkan ݎ

  ଴

  ൅ ܽ

• A) ݔ
• A = 0 + A) ݔ
• A = 0 + A dan
• A = 0 +
• A = 0 + A ke persamaan (4.2) dan diperoleh
• A = 0 + A sehingga terbukti
• A = 0 + A dimana ܽ

• A
• A = 0 + A (dikali
• A) ݔ
• + A =
• ⋯ + ሺܽ
• ሺܾ
• 0 + A
• ⋯ + (ܾ
• + A =

• 0 + 0 + A
• ⋯ +
• + A =
• + A = 0 + A.
• A = 0 + A dan
• A = 0 + A ke persamaan (4.3) sehingga diperoleh
• ܽ
• ܽ
• ⋯, ܽ
• A = 0 + A. Karena R daerah ideal utama maka haruslah memenuhi sifat tertutup pada operasi penjumlahan, maka diperoleh ܽ
• ܽ

  ଴

  തതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതത)x........ = 0 ֞ ܽ

  ଴

  ܾ

  ଵ

  ൅ ݑ

  ଴

  ݒ

  ଵ

  ൅ ܽ

  ଵ

  ܾ

  ଴

  ൅ ݑ

  ଵ

  ݒ

  ଴

  ǡ ܽ

  ଴

  ܾ

  ଵ

  ଵ

  ܾ

  ଴ തതതതതതതതതതതതതതതത)+(ܽ ଴

  ܾ

  ଴

  ൅ ݑ

  ଴

  ݒ

  ܾ

  ଴

  ൅ ሺܽ

  ଵ

  ܾ

  ଵ

  ൅ ݑ

  ଴

  ݒ

  ଵ

  ൅ ܽ

  ଴

  ܾ

  ଵ

  ൅ ݑ

  ଴

  ݒ

  തതതതതതതതതതതതതതതത + ሺܽ

  ଴

  ଴

  ܾ

  ଴

  ൅ ݑ

  ଴

  ݒ

  ଴

  )x

  ଴

  ܾ

  ଵ

  ଵ

  ܾ

  ଴

  ଴

  ǡ ܽ

  ௠ିଵ

  ܾ

  ଴

  = 0 ⇔ (ܽ

  ௡ା௠

  )) ݔ

  ଴

  ǡ ݒҧ

  ଴

  ) ሺܾ

  ௡

  ǡ ݑത

  ௡

  ) ൅ ڮ ൅ ሺܽ

  ǡ ݒҧ

  ǡ ܽ

  ௠ିଵ

  ሻሺܾ

  ଵ

  ǡ ݑത

  ଵ

  ൅ሺܽ

  ௠

  ǡ ݒҧ

  ௠

  ሻሺܾ

  ଴

  ǡ ݑത

  ଴

  ଴

  ଴

  ܾ

  തതതതതതതതതതതതതതതത) ൅ ሺܽ

  ଴

  തതതതതതതതതതതതതതതത))x....... = 0 ⇔(ܽ

  ଴

  ܾ

  ଵ

  ൅ ݑ

  ଴

  ݒ

  ଵ

  ǡ ܽ

  ଴

  ܾ

  ଵ

  ଵ

  ݒ

  ܾ

  ଴

  ൅ ݑ

  ଵ

  ݒ

  ଴

  ǡ ܽ

  ଵ

  ܾ

  ଴ തതതതതതതതതതതതതതതത) + ((ܽ ଴

  ܾ

  ଴

  ൅ ݑ

  ଴

  ଴ തതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതሻݔ + ⋯ = 0

  ֞ ݂

  ଴

  ଴

  ( ݔ)

  ଴

  ( ݔ)݃

  ଵ

  ( ݔ) ൅ ݂

  ଵ

  ( ݔ)݃

  ଴

  (4.5) diperoleh : ݂

  ( ݔ) = 0 , maka dari persamaan

  ଴

  Jika ݃

  ( ݔ) = 0,

  ݃

  ଴

  b).

  = (0,0 ത) = 0.

  ఫ

  , Ͳݒ

  ௝

  = ( Ͳܾ

  ܽ ప ݒ ఫ ൅ ݑ ప ܾ ఫ തതതതതതതതതതതതതത)

  ൫ܾ ௝ ǡ ݒҧ ௝ ൯ = (ܽ ௜ ܾ ௝ ,

  ܽ ௜ ǡ ݑത ௜ )

  Selanjutnya dapat disimpulkan sebagai berikut: (

  ௜ = 0 untuk setiap i.

  ( ݔ) = 0 berakibat ܽ

  ଴

  തതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതത = 0ത ݂

  ( ݔ)݃

  ఫ

  ( ݔ)

  ( ݔ) = 0 berakibat ܾ

  ଴

  തതതതത = 0ത untuk setiap i dan j dan ݃

  ఫ

  ݒ

  ప

  തതതതതതതതതതതതതത = 0ത berakibat ܽ

  ( ݔ)

  ଵ

  ( ݔ)݃

  ଴

  ݂

  തതതതതതതതതതതതതത = 0 ത. Karena R/A Armendariz,

  ଵ

  ଵ

  ( ݔ)݃

  ଴

  ത ݂

  തതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതത = 0

  ( ݔ) + 0

  ଵ

  ( ݔ)݃

  ଴

  ത ݂

  തതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതത = 0

  ( ݔ)0

  ଵ

  ( ݔ) ൅ ݂

  തതതതത = 0ത untuk setiap i dan j dan ݂

  ܾ

  ( ݔ)݃

  ( ݔ) = 0

  ଴

  ݂

  a).

  തതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതത = 0ത (4.5) Karena R adalah daerah integral maka terdapat dua kemungkinan, yaitu :

  ( ݔ)

  ଴

  ( ݔ)݃

  ଵ

  ( ݔ) ൅ ݂

  ଵ

  ( ݔ)݃

  ଴

  (4.4) ݂

  ଴

  Jika ݂

  ( ݔ)݃

  ଴

  Akibatnya ݂

  ( ݔ) തതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതത = 0.

  ଴

  ( ݔ)݃

  ଵ

  ( ݔ) ൅ ݂

  ଵ

  ( ݔ)݃

  ଴

  ( ݔ), ݂

  ଴

  ( ݔ) = 0,

  ଴

  ప

  ( ݔ)݃

  തതതതതതതതതതതതതതത = 0ത berakibat ݑ

  ( ݔ)

  ଴

  ( ݔ)݃

  ଵ

  Karena R/A Armendariz, ݂

  ( ݔ) തതതതതതതതതതതതതതത = 0ത.

  ଴

  ( ݔ)݃

  ଵ

  തതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതത = 0ത ݂

  ( ݔ)

  ଴

  ଵ

  ( ݔ) = 0, maka dari persamaan (4.5) diperoleh :

  തതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതത = 0ത Ͳ ൅ ݂

  ( ݔ)

  ( ݔ)݃ ଴

  ( ݔ) ൅ ݂ ଵ

  തതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതത = 0ത Ͳ݃ ଵ

  ( ݔ)

  ଴

  ( ݔ)݃

  ଵ

  ( ݔ) ൅ ݂

  ଵ

  ( ݔ)݃

  ଴

  ݂

  (( ܽ

  ))x

  ଴

  ଴

  ܾ

  ଴

  ܽ

  ଴

  0 + A) ݔ

  ଵ

  ܾ

  ଴

  ݔ

  0 + A (

  =

  ଶ

  ܾ

  ܽ

  Karena ݔ

  ଴

  0 + A) ݔ

  ଴

  ܾ

  ଴

  ݔ

  0 + A (

  =

  ଵ

  ܾ

  ଴

  ݔ

  ଵ

  ଶ

  ଴

  ଶ

  ଵ

  ଴

  ܽ

  ଴

  ܾ

  ଶ

  ଵ

  ܾ

  ଵ

  ଴

  ܾ

  ଶ

  ଵ

  ܾ

  ܽ

  , ܽ

  ଶ

  ܾ

  ଴

  Selanjutnya subtitusikan ܽ

  ଶ + A=0 + A.

  ܾ

  ଴

  ݔ

  ଶ

  ܾ

  ଴

  ∈ A dan A ideal utama maka diperoleh ܽ

  ଴

  ൅ ܽ

  ܾ

  ଶ

  ଶ

  ଶ

  ܾ

  ଴

  ܽ

  ଴ ∈ R.

  ܾ

  ଶ

  ൅ ܽ

  ଵ

  ܾ

  ଵ

  ൅ ܽ

  ܾ

  ଵ

  ଴

  ଴

  ܾ

  ଶ

  ൅ ܽ

  ଵ

  ܾ

  ଵ

  ൅ ܽ

  ଶ

  ܾ

  ଴

  Dari persamaan (4.3) dapat ditulis ܽ

  ൅ ܽ

  ܾ

  ଴

  ଵ

  ܽ

  ଴

  0 + A (R komutatif) ݔ

  ଴

  ܾ

  ଴

  ݔ

  ଶ

  ൅ ܽ

  ଵ

  ܾ

  ଴

  ݔ

  ଵ

  ൅ ܽ

  ଶ

  ܾ

  ଴

  ܽ

  ଴

  ଴

  ݔ

  0 + A ݔ ଴ ܽ ଴ ܾ ଶ ൅ ݔ ଴ ܽ ଵ ܾ ଵ ൅ ݔ ଴ ܽ ଶ ܾ ଴

  =

  ଴

  ܾ

  ଶ

  ൅ ܽ

• A= 0 + A dan ܽ
• A = 0 + A sehingga terbukti

  ܾ

  ൅ ܽ

  ǡ ݒҧ

  ௡

  ሻݔ

  ଵ

  ǡ ݒҧ

  ଵ

  ሻ ൅ ሺܾ

  ଴

  ǡ ݒҧ

  ଴

  )( ሺܾ

  ௡

  ሻݔ

  ௡

  ǡ ݑത

  ଶ

  ǡ ݒҧ

  ሻݔ

  ଶ

  ǡ ݑത

  ଶ

  ሻݔ ൅ ሺܽ

  ଵ

  ǡ ݑത

  ଵ

  ሻ ൅ ሺܽ

  ଴

  ǡ ݑത

  ଴

  Diasumsikan ݂(x)݃(x) = 0 ⇔((ܽ

  ଶ

  ଶ

  ( ݔ)ǡ ݃

  )) + (( ܽ

  ଴

  ሻሺܾ

  ଵ

  ǡ ݑത

  ଵ

  ) + ሺܽ

  ଵ

  ǡ ݒҧ

  ଵ

  ሻሺܾ

  ଴

  ǡ ݑത

  ଴

  ଴

  ሻݔ

  ǡ ݒҧ

  ଴

  ሻሺܾ

  ଴

  ǡ ݑത

  ଴

  ) = 0 ⇔((ܽ

  ௠

  ) ݔ

  ௠

  ǡ ݒҧ

  ௠

  ଶ

  ଵ തതതሺݔሻ).

  ଵ ഥሺݔሻ) dan ݃(x) = (݃ ଴

  ଵ

  Didefinisikan dua operasi pada struktur ring

  ௜

  ǡ ݑത

  ௜

  ݂(x) = ∑ ሺܽ

   R/A Armendariz. Bukti : Diberikan sebarang dua polinomial

  R dan R/A Armendariz maka ring R

  Diketahui R daerah integral dengan A ideal di

  4.3 Teorema

  Berikut ini akan disajikan teorema suatu struktur ring yang memenuhi sifat Armendariz.

  ݑത) • (b,ݒҧ) = ab,ܽݒ ൅ ݑܾ തതതതതതതതതതത. maka < R  R/A, +, •> memenuhi aksioma – aksioma ring.

  ݑത) + (b,ݒҧ) = (a + b, ݑത + ݒҧ) dan (a,

   R/A, yaitu + dan • sebagai berikut : (a,

  R

  4.2 Lemma Diberikan R ring dan A ideal pada R.

  ௜ ௡ ௜ୀ଴

   R/A memenuhi aksioma-aksioma ring.

  Oleh karena itu R/A merupakan ring Armendariz. ∎ Untuk selanjutnya diberikan tentang sifat Armendariz, namun dibuktikan terlebih dahulu bahwa struktur ring R

  ఫ തതതതതത= 0ത untuk setiap i dan j.

  ܾ

  ప

  ܽ

  Berdasarkan persamaan (4.1), (4.2), (4.3) dan dapat dilanjutkan dengan langkah yang serupa sehingga didapat

  ଴ തതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതത = 0ത.

  ܾ

  ଶ

  ൅ ܽ

  ଵ

  ܾ

• 0 തതതതതതതതതത)

  ሻݔ

  , ݃(x)=∑ ൫ܾ

  ( ݔ)ǡ ݂

  ܽ

  ଴

  Selanjutnya untuk mempermudah pembuktian, digunakan notasi sebagai berikut : ݂(x) = (݂

  ఫ തതതതതതതതതതതതതത) = 0.

  ܾ

  ప

  ൅ ݑ

  ఫ

  ݒ

  ప

  , ܽ

  ௝

  ܾ

  ௜

  ൯ = (

  ௝

  ௝

  ǡ ݒҧ

  ௝

  ) ൫ܾ

  ௜

  ǡ ݑത

  ௜

  adalah Armendariz dengan kata lain jika ݂(x)݃(x) = (0,0ത) = 0 maka (ܽ

  R  R/A . Akan ditunjukkan ring R  R/A

  ∈ (R R/A)[x] , dimana koefisiennya merupakan elemen ring

  ௝ ௠ ௝ୀ଴

  ൯ݔ

  ௝

  ǡ ݒҧ

  ௝ = 0 untuk setiap j.

• (
• ⋯ +
• ܽ

  ଴

  ଵ

  = ܽ

  ଴

  ܾ

  ଵ

  ܽ

  ܾ

  ଵ

  ଵ

  ܽ

  2 =

  )

  ଴

  ܾ

  0 = 0, artinya ܽ

  ܾ

  Karena ( ܽ

  ܾ

  0. Untuk persamaan selanjutnya dengan langkah yang serupa sehingga didapat

  ଵ =

  ܾ

  ଴

  sehingga diperoleh ܽ

  ଴ = 0 ke persamaan (4.7)

  ଵ

  ଴

  0. Selanjutnya subtitusikan ܽ

  ଴ =

  ܾ

  ଵ

  ܽ

  reduced maka

  adalah elemen nilpoten. Karena R ring

  ଵ

  ଴ = 0.

  ௜

  ܾ

  ܾ

  ଴

  ܽ

  ଴

  ) ܾ

  ଴

  ଴ = 0 (dikali

  ଴

  ܾ

  ଵ

  ൅ ܽ

  ଵ

  ܾ

  ଴

  ଵ

  ܽ

  ܾ

  ଵ

  ଵ

  ܽ

  ଴

  ܾ

  ଴ = 0

  ܾ

  ܽ

  ଵ

  ଴

  ଴ = 0)

  ܽ

  ଴

  ܾ

  ଴ = 0 (

  ܾ

  ܽ

  ܾ

  ଴

  ଴

  ௠ା௠

  ݔ

  ௠ ௡

  ) ݔ ൅ ڮ ൅ ܽ

  ଵ

  ܽ

  ݉ܽ

  ௡

  ଴ ௡

  ֞ ܽ

  ௡

  }

  ௠

  ݔ

  ⇔ 0

  ൅ Ͳݔ ൅ ڮ ൅ Ͳݔ

  ൅ ڮ ൅ ܽ

  ଴

  ௜

  = 0 dengan kata lain terbukti ܽ

  ௠

  ൌ ڮ ൌ ܽ

  ଵ

  ൌ ܽ

  ܽ

  ௠ା௠ ⇔ 0.

  = 0 untuk suatu n ∈ Z

  ௠ ௡

  = ڮ ൌ ܽ

  ଵ ௡ିଵ

  ൌ ܽ

  ଴ ௡

  Karena R ring reduced maka ܽ

  ௠

  ଶ

  ௝ = 0 untuk setiap i dan j. Oleh karena itu R merupakan ring

  = 0 untuk suatu n ∈ Z

  ௜ ∈ R untuk setiap i.