LIMIT DAN DERIVATIF FUNGSI – FUNGSI BERNILAI VEKTOR

ABSTRAK

LIMIT DAN DERIVATIF FUNGSI – FUNGSI BERNILAI VEKTOR

Oleh ALES WANDA S

Limit fungsi vektor merupakan limit fungsi dengan daerah hasil bernilai vektor ��_{, begitu juga halnya dengan fungsi turunan ( derivatif ) bernilai vektor. Konsep} limit fungsi vektor di �� dirancang serupa dengan limit fungsi real, Jika di dalam

limit fungsi real menggunakan nilai ”mutlak” { | |}, di dalam fungsi vektor

menggunakan ”norm” {‖ ‖}.

� ∶ �  _��_{, dengan � � = � � , � � , . . . , �}

� �  ��, Fungsi bernilai vektor �

�→� �⃗ � = � , jika dan hanya jika untuk setiap bilangan > 0 terdapat bilangan > 0 dan 0 < |� − �| < , sedemikian sehingga ‖�⃗ � − � ‖ <  . Fungsi turunan bernilai vektor, dengan daerah interval terbuka �. Turunan fungsi � di titik �0 ∈ � didefinisikan sebagai,

� � = lim_ℎ→0� � + ℎ − � �_ℎ

LIMIT DAN DERIVATIF FUNGSI – FUNGSI BERNILAI VEKTOR

Oleh

ALES WANDA S 0717031019

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG 2012

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah

Salah satu bahasan dalam ilmu matematika adalah limit fungsi. Dengan mengingat kembali konsep limit fungsi real = � �) yang terdefinisi pada selang terbuka � yang memuat � kecuali mungkin di � sendiri, yaitu

�

�→�� � = l ⟺ ∀ > 0 ∃ > 0 ∋ 0 < |� − �| < ⇒ |� � − | <

Perhatikan bahwa situasi yang terjadi sebelum konsep limit fungsi real dirancang adalah bahwa nilai � � dapat dibuat sebarang dekat ke l dengan cara mengambil nilai t yang cukup dekat ke �. Dengan kata lain, jarak � � ke l dapat dibuat sebarang kecil dengan cara mengambil jarak t ke � cukup kecil. Bila ukuran jarak yang digunakan di sini adalah nilai mutlak, maka diperoleh rancangan konsep limit yang hasilnya seperti di atas.

Konsep limit fungsi real di atas sering dijumpai dalam pembahasan limit fungsi dan tidak asing lagi dalam bahasan limit fungsi.

Bagaimana jika limit fungsi itu sendiri di bawa ke dalam ruang vektor ?

Dalam bahasan ini akan difokuskan pada limit fungsi vektor tersebut.

Konsep limit fungsi vektor di �� dirancang serupa dengan limit fungsi real. Di sini, yang digunakan adalah ukuran jarak dua vektor di �� .

2 Jarak antara vektor di ��,

= , , . . . , � � = , , … , � Ditulis nilai,‖X − Y‖ didefinisikan sebagai,

‖ − ‖ = √ − + − + ⋯ + �− �

Agar limit fungsi vektor = � � untuk � mendekati a dapat dibahas, di sekitar � harus terdapat tak terhingga banyaknya titik dari �_�; untuk itu, di ambil �_� selang terbuka � yang memuat �, kecuali di � itu sendiri. Jarak dua vektor yang digunakan adalah seperti yang didefinisikan di atas sedangkan untuk jarak � ke � di � dipergunakan nilai mutlak. Dari situasi ini diperoleh konsep limit fungsi vektor berikut.

Misalkan fungsi vektor � � = � � + � � + . . . + �_� � _� terdefinisi pada selang terbuka di � yang memuat �, kecuali di � sendiri dan � = , , … , _� vektor di ��. Limit fungsi � jika t mendekati a sama dengan L, ditulis

�

�→�� � = �, jika∀ > 0∃ > 0 ∋ 0 < |� − �| < ⇒ ‖� � − �‖ < . Adapun limit sepihak fungsi vektor didefinisikan sebagai berikut:

�

�→�� � = � ⟺ ∀ > 0∃ > 0 ∋ 0 < � − � < ⇒ ‖� � − �‖ < �

1.2 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penulisan ini adalah

1. Mengkonstruksi konsep limit dan derivatif bernilai vektor, 2. Menjelaskan sifat – sifat dasar kedua konsep tersebut.

1.3 Manfaat Penelitian

Adapun manfaat dari penelitian ini adalah :

1. Menambah wawasan penulis tentang limit fungsi dalam vektor,

2. Dapat memberikan sumbangan pemikiran untuk memperluas wawasan di bidang analisis khususnya limit fungsi dalam vektor.

II. LANDASAN TEORI

2.1 Limit Fungsi

Definisi 2.1.1(Edwin J, 1987)

Misalkan I interval terbuka pada R dan : � → fungsi bernilai real. Secara matematis ditulis

lim_→ =

untuk suatu ∊ �, yaitu nilai cukup dekat dengan � untuk semua nilai yang cukup dekat dengan , tetapi ≠ .

Secara matematis definisi di atas dapat ditulis,

∀ > ada bilangan > sehingga

| − | < untuk setiap ∈ � dan < | − | < .

Nilai mutlak pada definisi tersebut di interpretasikan untuk mengukur jarak dua buah titik atau bilangan.

Y

=

Limit Fungsi di Titik , Definisi 2.1.2

Diketahui fungsi bernilai real dengan daerah definisi himpunan buka � di R2 dan , titik di � atau titik batas �.

lim

, → , , = �

Untuk sebarang bilangan > ada bilangan > sehingga untuk semua , di � dan memenuhi

< || , − , || = √ − + − <

berlaku,

| , − �| <

Syarat Limit Ada Definisi 2.1.3 Sebuah lim

→ dikatakan ada jika limit kirinya sama dengan limit kanan, ditulis jika,

lim_{→ −} = dan lim

→ + = , maka

lim_→ =

Teorema 2.1.4 (Teorema Apit)

Andaikan , , dan ℎ adalah fungsi – fungsi yang memenuhi

≤ ≤ ℎ

untuk semua mendekati , kecuali di itu sendiri. Jika,

lim_→ = lim_→ = lim_→ ℎ =

6

lim_→ =

Definisi 2.1.5

Diketahui fungsi ∶ � ⊂ → , ∈ � dan titik limit himpunan � . dikatakan kontinu di jika beberapa selang terbuka di sekitar terkandung dalam daerah asal dan

lim_→ =

Definisi 2.1.6

Diketahui fungsi ∶ � ⊂ → , ∈ � dan titik limit himpunan � . i. Fungsi dikatakan kontinu kanan (right continuous) di jika

lim_{→ +} =

ii. Fungsi dikatakan kontinu kiri (left continuous) di jika

lim_{→ −} =

Teorema 2.1.7(Edwin J, 1987)

Jika lim

→ = dan jika kontinu di , maka,

lim_→ =

Khususnya jika kontinu di dan kontinu di , maka fungsi komposit � kontinu di .

Bukti :

Andaikan diberikan > . Karena kontinu di , maka terdapat > , sedemikian sehingga,

|� − | < ⇒ | � − | <

| − | < ⇒ | ( ) − | < karena,

lim_→ = , untuk suatu > terdapat > sedemikian sehingga

< | − | < ⇒ | − | <

Dengan menggabungkan kedua teori di atas diperoleh,

< | − | < ⇒ | − | <

Ini menunjukkan bahwa,

lim_→ =

Teorema 2.1.8(Soeparno,2006)

Jika fungsi dan kontinu di suatu ∈ dan ∈ , maka fungsi , + , dan juga kontinu di . Selanjutnya, fungsi juga kontinu di asalkan ≠

.

Sifat Aljabar Limit Fungsi

 _lim

→ =

 _lim

→ =

 _lim

→ = lim→

 _lim

→ [ + ] = lim→ + lim→

 _lim

→ = lim→ lim→

 _lim

→ =

i �→�

i

8

 _lim

→ [ ] = [lim→ ]

 _lim

→ √

�

= √lim� _→ 2.2 Turunan Fungsi Definisi 2.2.1(Stewart, 2002)

Turunan fungsi adalah ′( dibaca “ aksen” ) yang nilainya sebarang pada bilangan adalah

′ _{= lim}

ℎ→

+ ℎ − ℎ Asalkan limit ini ada.

Teorema 2.2.2(Stewart, 2002) Jika ’ ada, maka kontinu di . Bukti :

Untuk menunjukkan bahwa lim

→ =

= + −₋ . − , ≠

Dengan demikian,

lim_→ = lim_→ [ + −₋ − ]

= lim_→ + lim_→ −₋ . lim_→ −

= + ′ _.

Teorema 2.2.3(Soeparno,2006)

Diketahui dua fungsi , ∶ � ⊂ → , dan ∈ � sebagai titik limit himpunan �. Jika ′ dan ′ ada, maka

i. + ′ = ′ + ′

ii. ′ = . ′ , untuk sebarang konstanta

iii. ′ = ′ + ′

iv. ′ = ′ − ′

[ ]2 Teorema 2.2.4

Diketahui fungsi : � → , fungsi : � → dengan ⊂ � , ∈ � sebagai titik limit himpunan � , dan sebagai titik limit himpunan � . Jika ′ dan ′ ada, maka

� ′ ₌ ′_{( )} ′

Bukti :

Karena ′ dan ′ ada, maka diperoleh

� ′ _{= lim}

→

� − �

−

= lim_→ ( ) − ( )

−

− −

= ′_{( ).} ′

Teorema 2.2.5

Jika fungsi : [ , ] → mempunyai titik di suatu titik ∈ , maka fungsi kontinu di .

10

Bukti :

Dengan menerapkan defenisi turunan ′ = lim →

−

− ada. Oleh karena itu diperoleh :

lim_→ ( − ) = lim_→ −₋ − = ′ _{. =}

yang berarti terbukti bahwa fungsi kontinu di . Teorema 2.2.6

Diketahui fungsi : [ , ] → dan terdiferensial di ∈ , . i. Jika ′ > , maka fungsi naik di

ii. Jika ′ < , maka fungsi turun di Bukti :

Fungsi terdiferensial di , maka bilangan ′ ada, artinya untuk setiap bilangan > terdapat bilangan > sehingga berlaku

| + ℎ −_ℎ − ′ _{| <}

Untuk setiap |ℎ| < . Jadi diperoleh

′ _{− <} + ℎ −

ℎ < ′ +

i. Jika ’ > dipilih bilangan tersebut sehingga ′ − > . Oleh karena itu untuk |ℎ| < berlaku,

< + ℎ −

ℎ

Untuk " ∈ − , + dan " > diperoleh,

Untuk ′∈ − , + dan ′< diperoleh ℎ = ′− < ,

|ℎ| < dan + ℎ − < atau ′ < .

Jadi terbukti bahwa jika ′ > berakibat fungsi naik di .

2.3 Ruang Vektor (Maddox,1970)

Ruang vektor V adalah himpunan vektor tak kosong dimana dua operasi berlaku, penjumlahan dan perkalian dengan skalar. Setiap dua vektor ⃗ dan ⃗⃗ dan kombinasi liniernya ⃗ dan ⃗⃗ , dan bilangan real merupakan anggota dari V, dan memenuhi sifat – sifat berikut :

 operasi penjumlahan :

1. ⃗ + ⃗⃗ = ⃗⃗ + ⃗

2. ( ⃗ + ⃗⃗) + ⃗ = ⃗ + ⃗⃗ + ⃗

3. ⃗ + = ⃗

4. ⃗ + − ⃗ =

 operasi perkalian :

1. ( ⃗ + ⃗⃗) = ⃗ + ⃗⃗

2. + ⃗ = ⃗ + ⃗

3. ⃗ = ⃗

4. ⃗ = ⃗

Kombinasi Linier

Suatu vektor ⃗⃗⃗ disebut kombinasi linier dari vektor – vektor ⃗⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗, … … , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ jika dapat dituliskan,

12

dimana , , _,………., adalah skalar.

Span (membangun) Ruang Vektor

Himpunan vektor = { ,⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗, , , , , , , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ } disebut membangun V jika setiap ⃗ anggota dari V dapat dinyatakan dalam kombinasi linier dari ⃗⃗⃗⃗⃗, ,⃗⃗⃗⃗⃗⃗ … … . . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , yaitu

⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗+ ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⋯ . . + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Basis

Jika V adalah ruang vektor dan = { ,⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗, , , , , , , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗} adalah hmpunan vektor di V. S adalah basis dari V jika,

1. S bebas linier 2. S membangun V

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2011/2012 di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.

3.2 Metodologi Penelitian

Metodologi penelitian yang digunakan dalam penulisan tugas akhir ini adalah studi pustaka. Dengan menggunakan buku – buku yang berkaitan dengan limit dan vektor yang ada di dalam dan luar perpustakaan UNILA serta jurnal-jurnal terakreditasi.

3.3 Langkah-langkah Penelitian

Langkah – langkah yang digunakan dalam peelitian ini adalah :

1. Mempelajari konsep limit dan derivatif fungsi – fungsi bernilai real 2. Menyelidiki konsep – konsep limit dan derivatif bernilai vektor

MENGESAHKAN

1. Tim Pembingbing

Ketua : Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si. ………...

Sekretaris : Agus Sutrisno, S.Si., M.Si. ………

Penguji

Bukan Pembimbing : Dra. Dorrah Azis, M.Si. ………

2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Prof. Suharso, Ph.D.

NIP 19690530 199512 1 001

MOTTO

Ia membuat segala sesuatu indah pada waktunya

( Pengkhotbah 3 : 11a )

Karya ini ku persembahkan

Teruntuk :

Tuhan ku Yesus Kristus

yang selalu menuntun setiap langkahku dan yang selalu menjadi sahabat

sejatiku.

Bapak dan Mama-ku

Buat kasih sayang yang tak ternilai, kesabaran, nasehat, dan doa.

Ketiga adikku : Krista, Oki, Kiki

dan

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Tanjung Beringin, Medan pada tanggal 4 Agustus 1989, anak keempat dari tujuh bersaudara dari pasangan J. Sipakkar dan E. Tondang. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar di SD Inpres II Tanjung Beringin yang diselesaikan pada tahun 2001, SLTP Negeri 2 Sumbul diselesaikan pada tahun 2004, SMA Swasta Santo Thomas 3 Medan diselesaikan pada tahun 2007. Selanjutnya, penulis terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampug pada tahun 2007 melalui jalur Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru (SPMB).

Pada masa perkuliahan, penulis pernah terlibat di kepanitiaan Unit Kegiatan Mahasiswa Kristen (UKMK) dan Pelayanan Doa FMIPA. Pada bulan Juni, penulis melaksanakan Praktek Kerja Lapangan (PKL) di PT. PLN (Persero) Metro.

SANWACANA

Terimakasih kepada Tuhan Yesus Kristus, untuk setiap kasih, berkat dan pimpinan Nya kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “ Limit dan Derivatif Fungsi –Fungsi Bernilai Vektor”.

Penelitian dan penulisan skripsi ini tidak akan terwujud tanpa adanya bantuan, dukungan dan bimbingan dari semua pihak. Dalam kesempatan ini, penulis menyampaikan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si. selaku dosen Pembimbing Utama, untuk saran, kritikan, nasehat dan waktu demi terselesainya skripsi ini. 2. Bapak Agus Sutrisno, S.Si., M.Si. selaku dosen Pembimbing Kedua,

untuk waktu, kritikan dan sarannya.

3. Ibu Dra. Dorrah Azis, M.Si. selaku dosen Penguji dan Ketua Program Studi Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, untuk masukan, kritikan dan waktunya.

4. Ibu Dr. Ir. Netti Herawati, M.Sc. selaku dosen Pembimbing Akademik. 5. Bapak Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika

Fakultas MIPA Universitas Lampung.

6. Bapak Prof. Suharso, Ph.D. selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

7. Bapak dan Mamak yang kukasihi, untuk doa, kasih sayang, dan segala perjuangan yang diberikan demi terselesainya skripsi ini.

8. Keenam saudaraku yang kusayangi, untuk persaudaraan yang indah, suka duka, doa dan dorongan semangatnya.

9. Teman seperjuangan, Benny Sianipar dan Ipip untuk kebersamaannya. 10.Teman – teman Animasi’07 , kakak/adik tingkat, Rechan dkk atas

dukungan dan kebersamaannya.

11.Sahabat – sahabatku, Agung, Hent, Desi, Bety, Desme, Ester, Evlin, Eny, Leny, Riri dan boruku Santi atas persahabatan yang indah, dan juga Dora C Pasaribu yang selalu mendorong semangatku.

12.Keluarga besar POMMIPA dan Perkantas untuk doa dan tuntunannya. 13.Aris, Ricardo, Ilong, Leo, Alex, Dongan, Gerobak Pasir FC.

14.Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu-persatu, yang telah banyak membantu hingga skripsi ini dapat diselesaikan.

Penulis hanya dapat berdoa semoga Tuhan Yang Maha Kuasa membalas segala kebaikan yang telah diberikan. Semoga skripsi ini bermanfaat bagi kita semua.

Bandar Lampung, Mei 2012 Penulis

LIMIT DAN DERIVATIF FUNGSI

–

FUNGSI

BERNILAI VEKTOR

Oleh

Ales Wanda S

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG

V. PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Konsep fungsi limit dan derivatif fungsi bernilai vektor dirancang serupa dengan konsep limit dan derivatif fungsi real. Jika di dalam limit fungsi real

menggunakan nilai ”mutlak” { | |}, di dalam fungsi vektor menggunakan

”norm” {‖ ‖}.

�⃗ ∶ �  _��_{, dengan �⃗ � = � � , � � , . . . , �}

� �  �� i. Fungsi bernilai vektor �

�→��⃗ � = � , jika dan hanya jika untuk setiap bilangan > 0 terdapat bilangan > 0 dan 0 < |� − �| < , sedemikian sehingga

‖�⃗ � − � ‖ <

ii. Turunan fungsi � di titik �0 ∈ � didefenisikan sebagai

�⃗ � = �_�→ �⃗ � + � − �⃗ �_� asalkan limit vektor ada.

24 5.2 Saran

Dari penelitian yang telah dilakukan disarankan bagi penelitian selanjutnya untuk mencari fungsi bernilai vektor dengan menggunakan integral.

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Tanjung Beringin, Medan pada tanggal 4 Agustus 1989, anak keempat dari tujuh bersaudara dari pasangan J. Sipakkar dan E. Tondang. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar di SD Inpres II Tanjung Beringin yang diselesaikan pada tahun 2001, SLTP Negeri 2 Sumbul diselesaikan pada tahun 2004, SMA Swasta Santo Thomas 3 Medan diselesaikan pada tahun 2007. Selanjutnya, penulis terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampug pada tahun 2007 melalui jalur Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru (SPMB).

Pada masa perkuliahan, penulis pernah terlibat di kepanitiaan Unit Kegiatan Mahasiswa Kristen (UKMK) dan Pelayanan Doa FMIPA. Pada bulan Juni, penulis melaksanakan Praktek Kerja Lapangan (PKL) di PT. PLN (Persero) Metro.

SANWACANA

Terimakasih kepada Tuhan Yesus Kristus, untuk setiap kasih, berkat dan pimpinan Nya kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “ Limit dan Derivatif Fungsi –Fungsi Bernilai Vektor”.

Penelitian dan penulisan skripsi ini tidak akan terwujud tanpa adanya bantuan, dukungan dan bimbingan dari semua pihak. Dalam kesempatan ini, penulis menyampaikan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si. selaku dosen Pembimbing Utama, untuk saran, kritikan, nasehat dan waktu demi terselesainya skripsi ini. 2. Bapak Agus Sutrisno, S.Si., M.Si. selaku dosen Pembimbing Kedua,

untuk waktu, kritikan dan sarannya.

3. Ibu Dra. Dorrah Azis, M.Si. selaku dosen Penguji dan Ketua Program Studi Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, untuk masukan, kritikan dan waktunya.

4. Ibu Dr. Ir. Netti Herawati, M.Sc. selaku dosen Pembimbing Akademik. 5. Bapak Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika

Fakultas MIPA Universitas Lampung.

6. Bapak Prof. Suharso, Ph.D. selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

7. Bapak dan Mamak yang kukasihi, untuk doa, kasih sayang, dan segala perjuangan yang diberikan demi terselesainya skripsi ini.

8. Keenam saudaraku yang kusayangi, untuk persaudaraan yang indah, suka duka, doa dan dorongan semangatnya.

9. Teman seperjuangan, Benny Sianipar dan Ipip untuk kebersamaannya. 10.Teman – teman Animasi’07 , kakak/adik tingkat, Rechan dkk atas

dukungan dan kebersamaannya.

11.Sahabat – sahabatku, Agung, Hent, Desi, Bety, Desme, Ester, Evlin, Eny, Leny, Riri dan boruku Santi atas persahabatan yang indah, dan juga Dora C Pasaribu yang selalu mendorong semangatku.

12.Keluarga besar POMMIPA dan Perkantas untuk doa dan tuntunannya. 13.Aris, Ricardo, Ilong, Leo, Alex, Dongan, Gerobak Pasir FC.

14.Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu-persatu, yang telah banyak membantu hingga skripsi ini dapat diselesaikan.

Penulis hanya dapat berdoa semoga Tuhan Yang Maha Kuasa membalas segala kebaikan yang telah diberikan. Semoga skripsi ini bermanfaat bagi kita semua.

Bandar Lampung, Mei 2012 Penulis

LIMIT DAN

DERIVATIF

FUNGSI

–

FUNGSI

BERNILAI VEKTOR

Oleh

Ales Wanda S

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG

V. PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Konsep fungsi limit dan derivatif fungsi bernilai vektor dirancang serupa dengan konsep limit dan derivatif fungsi real. Jika di dalam limit fungsi real

menggunakan nilai ”mutlak” { | |}, di dalam fungsi vektor menggunakan

”norm” {‖ ‖}.

�⃗ ∶ �  _��_{, dengan �⃗ � = � � , � � , . . . , �}

� �  ��

i. Fungsi bernilai vektor �

�→��⃗ � = � , jika dan hanya jika untuk setiap

bilangan > 0 terdapat bilangan > 0 dan 0 < |� − �| < , sedemikian sehingga

‖�⃗ � − � ‖ <

ii. Turunan fungsi � di titik �₀ ∈ � didefenisikan sebagai

�⃗ � = �_�→ �⃗ � + � − �⃗ �_� asalkan limit vektor ada.

24 5.2 Saran

Dari penelitian yang telah dilakukan disarankan bagi penelitian selanjutnya untuk mencari fungsi bernilai vektor dengan menggunakan integral.