KELAS GRAF RAMSEY MINIMAL R(〖3K〗_2,F_5 ) YANG TERBATAS PADA ORDE DAN DIAMETER | Saleh | JURNAL ILMIAH MATEMATIKA DAN TERAPAN 7200 23955 1 PB
JIMT
Vol. 13 No. 2 Desember 2016 (Hal 11 - 16)
Jurnal Ilmiah Matematika dan Terapan
ISSN : 2450 – 766X
KELAS GRAF RAMSEY MINIMAL �
� , �� YANG TERBATAS PADA ORDE
DAN DIAMETER
K. Saleh1, I W. Sudarsana2, dan Resnawati3
1,2,3
Program Studi Matematika Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Tadulako
Jalan Sukarno-Hatta Km. 9 Palu 94118, Indonesia
[email protected], [email protected], [email protected]
ABSTRACT
A graph
,
,
is called Ramsey
-minimal graph if
→
mean that any red-blue coloring of the edges of
subgraph
contains all of blue edges. While, notation
implies there is no subgraph
,
and
−
↛
,
−
↛
,
contains all of red edges or
mean that red-blue coloring of the edges of
contains all of red edges and subgraph
contains all of blue edges. The
purpose of this research is to obtain class of Ramsey-minimal graph in combination of graph � and
result showed that 13 connected graf of
2 and 1 disconnected graph of
Keywords
with orde between 19-25, 1 connected graph graph of
which is combination of 3 graph
: Complete Graph, Fan Graph, Ramsey
,
→
for every edge . Notation
implies there is subgraph
contained in ℛ � ,
. The
with diameter
.
-minimal Graphs.
ABSTRAK
Graf
Notasi
,
disebut sebagai graf Ramsey
→
-minimal jika
→
,
dan
terdapat subgraf
yang memuat semua sisinya merah atau subgraf
Sedangkan notasi
−
↛
,
sisinya biru. Semua graf
,
,
di .
senantiasa
yang memuat semua sisinya biru.
yang memuat semua sisinya merah dan subgraf
yang
yang memuat semua
,
-
. Tujuan penelitian ini untuk mendapatkan kelas graf Ramsey minimal
. Hasil penelitian menunjukkan terdapat 13 graf
terhubung berdiameter 2 dan 1 graf
terhubung yang berorde antara 19-25,
tak terhubung yaitu gabungan 3 buah graf
.
Kata Kunci
untuk sebarang sisi
-minimal dikelompokkan dalam kelas yang dinamakan kelas Ramsey
minimal, dan dinotasikan dengan ℛ
dari graf � dan graf
1 graf
,
berarti bahwa terdapat pewarnaan merah-biru terhadap sisi – sisi graf
mengakibatkan tidak terdapat subgraf
ℛ �,
− ↛
berarti bahwa pada sebarang pewarnaan merah-biru terhadap sisi – sisi graf
,
: Graf Kipas, Graf Lengkap,Graf Ramsey
,
-minimal.
yang termuat di
I.
PENDAHULUAN
Ilmu pengetahuan dan teknologi tidak lepas dari peran serta matematika. Aplikasi matematika
sangat banyak sekali dalam ilmu pengetahuan lain, salah satunya adalah teori graf. Teori graf
adalah salah satu cabang matematika diskrit yang penting dan banyak manfaatnya. Antara lain
dalam komunikasi, transportasi, sistem antrian dan penjadwalan.
Graf F disebut sebagai graf Ramsey (G,H)-minimal jika F → (G,H) dan F - e ↛ (G,H) untuk
sebarang sisi e di F (Burr dkk, 1976). Untuk setiap graf G dan H sebarang, notasi F→ (G,H) berarti
bahwa pada sebarang pewarnaan merah-biru terhadap sisi-sisi graf F, senantiasa terdapat subgraf
G yang memuat semua sisinya merah atau subgraf H yang memuat semua sisinya biru. Sedangkan
notasi F↛ (G,H) berarti bahwa terdapat pewarnaan merah-biru terhadap sisi-sisi graf F, sedemikian
sehingga tidak ada subgraf G yang semua sisinya merah dan subgraf H yang semua sisinya biru.
Penelitian mengenai Ramsey minimal terus berkembang pesat. Di antaranya adalah
penelitian yang dilakukan oleh
Burr dkk. (1978) membuktikan bahwa ℛ(� , ) adalah { },
ℛ( � , � ) adalah { � , � }, ℛ( � , � ) adalah { � , � }. Burr dkk. (1980) juga membuktikan bahwa
ℛ( � , � ) adalah { � , � }, ℛ( � , � ) adalah { � , � }. Selain itu, Mengersen dan Oeckermann
(1999) membuktikan bahwa ℛ( � , � , ) adalah { � , , � , � }. Burr dkk. (1980) dan Mushi dan
Baskoro (2012) secara berurutan telah membuktikan bahwa ℛ( � , � , ) adalah { � , }, serta
ℛ( � , � ) adalah { � , � ∪ � , � ∪ � , � , � }.
II.
TINJAUAN PUSTAKA
2.1.
Definisi Graf dan Orde pada Graf
Graf
adalah pasangan himpunan �,
dengan � adalah himpunan tidak kosong
dan berhingga dari obyek-obyek yang disebut sebagai titik dan
adalah himpunan (mungkin
kosong) pasangan tak berurutan dari titik-titik berbeda di
yang disebut sebagai sisi.
Himpunan titik di
dinotasikan dengan �
dan himpunan sisi dinotasikan dengan
Sedangkan banyaknya titik di � disebut orde dari
dan dilambangkan dengan p(G) dan
banyaknya sisi di E disebut ukuran dari G dan dilambangkan dengan q(G) (Chartrand dan
Lesniak, 1986).
2.2.
Jenis – Jenis Graf
Graf dibagi menjadi beberapa kelas, pada bagian ini ada beberapa jenis – jenis graf
yang berkaitan pada penelitian ini.
12
1.
Graf Lengkap
K1
K3
K2
K4
Gambar 1. Contoh graf lengkap
2.
Graf Kipas
V1
V2
V3
Vn-1
Vn
V0
Gambar 2. Contoh graf kipas
2.3.
�
Diameter Graf
Misalkan
sebarang di
dinotasikan �
= �,
. Diameter
adalah graf terhubung dan
,
elemen � adalah dua titik
didefinisikan sebagai jarak maksimum antara setiap dua titik di
= max {
,
,
| ∀ , � }. (Javaid dan Shokat,2008).
E
B
A
G
D
C
F
Gambar 3. Contoh graf G terhubung
2.4.
Ramsey Minimal
Untuk setiap graf G dan H sebarang, notasi F→ (G,H) berarti bahwa pada sebarang
pewarnaan merah-biru terhadap sisi-sisi graf F, senantiasa terdapat subgraf G yang memuat
semua sisinya merah atau subgraf H yang memuat semua sisinya biru. Sedangkan notasi F↛
(G,H) berarti bahwa terdapat pewarnaan merah-biru terhadap sisi-sisi graf F, sedemikian
sehingga tidak ada subgraf G yang semua sisinya merah dan subgraf H yang semua sisinya
biru. F disebut sebagai graf Ramsey (G,H) -minimal jika F → (G,H) dan F - e ↛ (G,H) untuk
sebarang sisi e di F (Burr dkk, 1976).
III.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bagian ini akan dibahas beberapa graf diameter kurang dari atau sama dengan dua dan
beberapa graf
yang di klasifikasikan berdasarkan order yang berada dalam ℛ
�,
.
13
graf sebarang. Jika � adalah pewarnaan merah-biru pada sisi-sisi graf
Lemma 3.1 Misalkan
yang menghindari adanya � -merah dan memuat
sisi
∈
-biru) di
−
berlaku
Bukti :
↛
�,
-biru di
Pandang pewarnaan merah-biru � pada sisi-sisi graf
memuat
-biru di
↛
�,
untuk setiap sisi
Karena pewarnaan � menghindari adanya
−
tunggal, maka
tidak memuat
pewarnaan merah-biru � di
Jadi,
−
↛
yang menghindari adanya � -merah dan
dengan tunggal.
−
Akan ditunjukkan
�,
−
.
dengan tunggal, maka untuk setiap
.
∈
-biru) di .
� -merah di
-biru untuk setiap
−
sedemikian sehingga
namun memuat
∈
-biru di
dengan
-biru). Oleh karena itu, terdapat
⊉ � -merah dan
−
⊉
-biru.
Dalam penelitian ini diperoleh beberapa graf terhubung dan graf tidak terhubung yang berada
dalam ℛ
,
.
Kelas Graf Ramsey Minimal Terhubung dari �
3.1
� , ��
Dalam penelitian inidiperoleh satu graf berdiameter dua dan tiga belas graf berorde 19
sampaii 25 yang berada dalam ℛ
,
.
Teorema 3.1 :
Jika � = {F ∈ ℛ K , F |F adalah Graf Terhubung}, maka { K, H, A, I, R, U, L, S, T, F, M, J, C, P} ⊆
� .
Akan ditunjukkan graf � ∈ ℛ
�→
(i)
�,
�,
.
Pandang sebarang pewarnaan merah-biru terhadap sisi-sisi di �. Untuk sebarang
pewarnaan pada sisi-sisi � akan senantiasa didapat � merah atau
biru. Sebagai ilustrasi
misalkan tidak terdapat � merah dalam pewarnaan tersebut, bagaimanapun cara mewarnai
sisi-sisinya akan senantiasa diperoleh
,
,
sisi-sisi
,
,
,
,
�−
↛
�,
di K dengan warna merah, dapat diverifikasi bahwa
, dan
,
,
,
untuk sebarang
∈�
sedemikian sehingga diperoleh
(ii)
biru. Dalam hal ini pandang pewarnaan sisi-sisi
,
,
, dan
membentuk
biru
.
Kasus 1, misalkan diberikan pewarnaan merah-biru � pada sisi-sisi graf � seperti pada
Gambar 4.2 dengan ( -biru) di � adalah
. Berdasarkan Lemma 4.1 misalkan
,
,
,
,
∈ ( -biru) di � maka � −
,
↛
,
,
�,
.
, dan
14
Kelas Graf Ramsey Minimal Tak Terhubung dari �
3.2
� , ��
Berikut ini diberikkan Teorema untuk graf tak terhubung yang memenuhi syarat kedua
graf Ramsey (G,H).
Teorema 3.2 :
Jika � = { ∈ ℛ � ,
|
Akan ditunjukkan graf
(i)
→ �,
∈ℛ
Bukti :
Pertama-tama
akan
ℎ �
�,
ditunjukkan
�
� �ℎ
bahwa
pewarnaan merah-biru terhadap sisi-sisi di
akan senantiasa didapat
}⊆�
}, maka {
→
�,
.
Pandang
sebarang
. Untuk sebarang pewarnaan pada sisi-sisi
� merah atau
biru. Sebagai ilustrasi misalkan tidak terdapat
� merah dalam pewarnaan tersebut, bagaimanapun cara mewarnai sisi-sisinya akan
senantiasa diperoleh
biru. Dalam hal ini pandang pewarnaan sisi-sisi
dengan warna merah, dapat diverifikasi bahwa sisi-sisi
,
,
−
(ii)
, dan
↛
�,
membentuk
untuk sebarang
,
,
dan
,
,
maka
IV.
,
−
↛
, dan
�,
,
biru sedemikian sehingga diperoleh
( -biru) di
adalah
,
,
. Berdasarkan Lemma 4.1 misalkan
.
,
,
.
∈
Kasus 1, misalkan diberikan pewarnaan merah-biru � pada sisi-sisi graf
pada Gambar 4.102 dengan
di
seperti
,
,
∈ ( -biru) di
KESIMPULAN
Berdasarkan hasil penelitian yang diperoleh, dapat disimpulkan bahwa :
1.
2.
Diperoleh 13 graf
terhubung yang berorde antara 19-25 dan 1 graf
berdiameter 2 yang berada dalam ℛ
Diperoleh graf tak terhubung
�,
terhubung
.
yang berada dalam ℛ
�,
.
15
DAFTAR PUSTAKA
[1].
Burr, S. A., Erdos, P., Faudree, R. J., dan Schelp, R. H., (1978b): A Class of Ramsey-finite
Graphs, Congressus Numer., 21, 171 – 180.
[2].
Burr, S. A., Erdos, P., dan Lovasz, L., (1976): On Graphs of Ramsey Type, Ars Combinatoria,
1, 167 – 190.
[3].
Chartrand, G. dan Lesniak, L., 1986, Graph and Digraph 2nd Edition, California: Wadsworth,
Inc.
[4].
Javaid, I., dan Shokat, S., 2008, On The Partition Dimension of Some Wheel Related Graphs,
Prime Research in Mathematica 4: 154-164.
[5].
Mahfudiyah, L., 2008. Pelabelan Graceful pada kipas Fn dan kipas ganda dFn, n bilangan asli
dan
[6].
≥ . Skripsi tidak diterbitkan. Malang : FMIPA UIN Malang.
Mengersen, I dan Oeckermen, J., (1999): Mahtcing-star Ramsey Sets, Discrete Applied
Mathematics, 95, 33 – 42.
[7].
Rosen K. H., 2003, Discrete Mathematics And Its Applications Fifth Edition, McGraw-Hill
Companies, The New York.
16
Vol. 13 No. 2 Desember 2016 (Hal 11 - 16)
Jurnal Ilmiah Matematika dan Terapan
ISSN : 2450 – 766X
KELAS GRAF RAMSEY MINIMAL �
� , �� YANG TERBATAS PADA ORDE
DAN DIAMETER
K. Saleh1, I W. Sudarsana2, dan Resnawati3
1,2,3
Program Studi Matematika Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Tadulako
Jalan Sukarno-Hatta Km. 9 Palu 94118, Indonesia
[email protected], [email protected], [email protected]
ABSTRACT
A graph
,
,
is called Ramsey
-minimal graph if
→
mean that any red-blue coloring of the edges of
subgraph
contains all of blue edges. While, notation
implies there is no subgraph
,
and
−
↛
,
−
↛
,
contains all of red edges or
mean that red-blue coloring of the edges of
contains all of red edges and subgraph
contains all of blue edges. The
purpose of this research is to obtain class of Ramsey-minimal graph in combination of graph � and
result showed that 13 connected graf of
2 and 1 disconnected graph of
Keywords
with orde between 19-25, 1 connected graph graph of
which is combination of 3 graph
: Complete Graph, Fan Graph, Ramsey
,
→
for every edge . Notation
implies there is subgraph
contained in ℛ � ,
. The
with diameter
.
-minimal Graphs.
ABSTRAK
Graf
Notasi
,
disebut sebagai graf Ramsey
→
-minimal jika
→
,
dan
terdapat subgraf
yang memuat semua sisinya merah atau subgraf
Sedangkan notasi
−
↛
,
sisinya biru. Semua graf
,
,
di .
senantiasa
yang memuat semua sisinya biru.
yang memuat semua sisinya merah dan subgraf
yang
yang memuat semua
,
-
. Tujuan penelitian ini untuk mendapatkan kelas graf Ramsey minimal
. Hasil penelitian menunjukkan terdapat 13 graf
terhubung berdiameter 2 dan 1 graf
terhubung yang berorde antara 19-25,
tak terhubung yaitu gabungan 3 buah graf
.
Kata Kunci
untuk sebarang sisi
-minimal dikelompokkan dalam kelas yang dinamakan kelas Ramsey
minimal, dan dinotasikan dengan ℛ
dari graf � dan graf
1 graf
,
berarti bahwa terdapat pewarnaan merah-biru terhadap sisi – sisi graf
mengakibatkan tidak terdapat subgraf
ℛ �,
− ↛
berarti bahwa pada sebarang pewarnaan merah-biru terhadap sisi – sisi graf
,
: Graf Kipas, Graf Lengkap,Graf Ramsey
,
-minimal.
yang termuat di
I.
PENDAHULUAN
Ilmu pengetahuan dan teknologi tidak lepas dari peran serta matematika. Aplikasi matematika
sangat banyak sekali dalam ilmu pengetahuan lain, salah satunya adalah teori graf. Teori graf
adalah salah satu cabang matematika diskrit yang penting dan banyak manfaatnya. Antara lain
dalam komunikasi, transportasi, sistem antrian dan penjadwalan.
Graf F disebut sebagai graf Ramsey (G,H)-minimal jika F → (G,H) dan F - e ↛ (G,H) untuk
sebarang sisi e di F (Burr dkk, 1976). Untuk setiap graf G dan H sebarang, notasi F→ (G,H) berarti
bahwa pada sebarang pewarnaan merah-biru terhadap sisi-sisi graf F, senantiasa terdapat subgraf
G yang memuat semua sisinya merah atau subgraf H yang memuat semua sisinya biru. Sedangkan
notasi F↛ (G,H) berarti bahwa terdapat pewarnaan merah-biru terhadap sisi-sisi graf F, sedemikian
sehingga tidak ada subgraf G yang semua sisinya merah dan subgraf H yang semua sisinya biru.
Penelitian mengenai Ramsey minimal terus berkembang pesat. Di antaranya adalah
penelitian yang dilakukan oleh
Burr dkk. (1978) membuktikan bahwa ℛ(� , ) adalah { },
ℛ( � , � ) adalah { � , � }, ℛ( � , � ) adalah { � , � }. Burr dkk. (1980) juga membuktikan bahwa
ℛ( � , � ) adalah { � , � }, ℛ( � , � ) adalah { � , � }. Selain itu, Mengersen dan Oeckermann
(1999) membuktikan bahwa ℛ( � , � , ) adalah { � , , � , � }. Burr dkk. (1980) dan Mushi dan
Baskoro (2012) secara berurutan telah membuktikan bahwa ℛ( � , � , ) adalah { � , }, serta
ℛ( � , � ) adalah { � , � ∪ � , � ∪ � , � , � }.
II.
TINJAUAN PUSTAKA
2.1.
Definisi Graf dan Orde pada Graf
Graf
adalah pasangan himpunan �,
dengan � adalah himpunan tidak kosong
dan berhingga dari obyek-obyek yang disebut sebagai titik dan
adalah himpunan (mungkin
kosong) pasangan tak berurutan dari titik-titik berbeda di
yang disebut sebagai sisi.
Himpunan titik di
dinotasikan dengan �
dan himpunan sisi dinotasikan dengan
Sedangkan banyaknya titik di � disebut orde dari
dan dilambangkan dengan p(G) dan
banyaknya sisi di E disebut ukuran dari G dan dilambangkan dengan q(G) (Chartrand dan
Lesniak, 1986).
2.2.
Jenis – Jenis Graf
Graf dibagi menjadi beberapa kelas, pada bagian ini ada beberapa jenis – jenis graf
yang berkaitan pada penelitian ini.
12
1.
Graf Lengkap
K1
K3
K2
K4
Gambar 1. Contoh graf lengkap
2.
Graf Kipas
V1
V2
V3
Vn-1
Vn
V0
Gambar 2. Contoh graf kipas
2.3.
�
Diameter Graf
Misalkan
sebarang di
dinotasikan �
= �,
. Diameter
adalah graf terhubung dan
,
elemen � adalah dua titik
didefinisikan sebagai jarak maksimum antara setiap dua titik di
= max {
,
,
| ∀ , � }. (Javaid dan Shokat,2008).
E
B
A
G
D
C
F
Gambar 3. Contoh graf G terhubung
2.4.
Ramsey Minimal
Untuk setiap graf G dan H sebarang, notasi F→ (G,H) berarti bahwa pada sebarang
pewarnaan merah-biru terhadap sisi-sisi graf F, senantiasa terdapat subgraf G yang memuat
semua sisinya merah atau subgraf H yang memuat semua sisinya biru. Sedangkan notasi F↛
(G,H) berarti bahwa terdapat pewarnaan merah-biru terhadap sisi-sisi graf F, sedemikian
sehingga tidak ada subgraf G yang semua sisinya merah dan subgraf H yang semua sisinya
biru. F disebut sebagai graf Ramsey (G,H) -minimal jika F → (G,H) dan F - e ↛ (G,H) untuk
sebarang sisi e di F (Burr dkk, 1976).
III.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bagian ini akan dibahas beberapa graf diameter kurang dari atau sama dengan dua dan
beberapa graf
yang di klasifikasikan berdasarkan order yang berada dalam ℛ
�,
.
13
graf sebarang. Jika � adalah pewarnaan merah-biru pada sisi-sisi graf
Lemma 3.1 Misalkan
yang menghindari adanya � -merah dan memuat
sisi
∈
-biru) di
−
berlaku
Bukti :
↛
�,
-biru di
Pandang pewarnaan merah-biru � pada sisi-sisi graf
memuat
-biru di
↛
�,
untuk setiap sisi
Karena pewarnaan � menghindari adanya
−
tunggal, maka
tidak memuat
pewarnaan merah-biru � di
Jadi,
−
↛
yang menghindari adanya � -merah dan
dengan tunggal.
−
Akan ditunjukkan
�,
−
.
dengan tunggal, maka untuk setiap
.
∈
-biru) di .
� -merah di
-biru untuk setiap
−
sedemikian sehingga
namun memuat
∈
-biru di
dengan
-biru). Oleh karena itu, terdapat
⊉ � -merah dan
−
⊉
-biru.
Dalam penelitian ini diperoleh beberapa graf terhubung dan graf tidak terhubung yang berada
dalam ℛ
,
.
Kelas Graf Ramsey Minimal Terhubung dari �
3.1
� , ��
Dalam penelitian inidiperoleh satu graf berdiameter dua dan tiga belas graf berorde 19
sampaii 25 yang berada dalam ℛ
,
.
Teorema 3.1 :
Jika � = {F ∈ ℛ K , F |F adalah Graf Terhubung}, maka { K, H, A, I, R, U, L, S, T, F, M, J, C, P} ⊆
� .
Akan ditunjukkan graf � ∈ ℛ
�→
(i)
�,
�,
.
Pandang sebarang pewarnaan merah-biru terhadap sisi-sisi di �. Untuk sebarang
pewarnaan pada sisi-sisi � akan senantiasa didapat � merah atau
biru. Sebagai ilustrasi
misalkan tidak terdapat � merah dalam pewarnaan tersebut, bagaimanapun cara mewarnai
sisi-sisinya akan senantiasa diperoleh
,
,
sisi-sisi
,
,
,
,
�−
↛
�,
di K dengan warna merah, dapat diverifikasi bahwa
, dan
,
,
,
untuk sebarang
∈�
sedemikian sehingga diperoleh
(ii)
biru. Dalam hal ini pandang pewarnaan sisi-sisi
,
,
, dan
membentuk
biru
.
Kasus 1, misalkan diberikan pewarnaan merah-biru � pada sisi-sisi graf � seperti pada
Gambar 4.2 dengan ( -biru) di � adalah
. Berdasarkan Lemma 4.1 misalkan
,
,
,
,
∈ ( -biru) di � maka � −
,
↛
,
,
�,
.
, dan
14
Kelas Graf Ramsey Minimal Tak Terhubung dari �
3.2
� , ��
Berikut ini diberikkan Teorema untuk graf tak terhubung yang memenuhi syarat kedua
graf Ramsey (G,H).
Teorema 3.2 :
Jika � = { ∈ ℛ � ,
|
Akan ditunjukkan graf
(i)
→ �,
∈ℛ
Bukti :
Pertama-tama
akan
ℎ �
�,
ditunjukkan
�
� �ℎ
bahwa
pewarnaan merah-biru terhadap sisi-sisi di
akan senantiasa didapat
}⊆�
}, maka {
→
�,
.
Pandang
sebarang
. Untuk sebarang pewarnaan pada sisi-sisi
� merah atau
biru. Sebagai ilustrasi misalkan tidak terdapat
� merah dalam pewarnaan tersebut, bagaimanapun cara mewarnai sisi-sisinya akan
senantiasa diperoleh
biru. Dalam hal ini pandang pewarnaan sisi-sisi
dengan warna merah, dapat diverifikasi bahwa sisi-sisi
,
,
−
(ii)
, dan
↛
�,
membentuk
untuk sebarang
,
,
dan
,
,
maka
IV.
,
−
↛
, dan
�,
,
biru sedemikian sehingga diperoleh
( -biru) di
adalah
,
,
. Berdasarkan Lemma 4.1 misalkan
.
,
,
.
∈
Kasus 1, misalkan diberikan pewarnaan merah-biru � pada sisi-sisi graf
pada Gambar 4.102 dengan
di
seperti
,
,
∈ ( -biru) di
KESIMPULAN
Berdasarkan hasil penelitian yang diperoleh, dapat disimpulkan bahwa :
1.
2.
Diperoleh 13 graf
terhubung yang berorde antara 19-25 dan 1 graf
berdiameter 2 yang berada dalam ℛ
Diperoleh graf tak terhubung
�,
terhubung
.
yang berada dalam ℛ
�,
.
15
DAFTAR PUSTAKA
[1].
Burr, S. A., Erdos, P., Faudree, R. J., dan Schelp, R. H., (1978b): A Class of Ramsey-finite
Graphs, Congressus Numer., 21, 171 – 180.
[2].
Burr, S. A., Erdos, P., dan Lovasz, L., (1976): On Graphs of Ramsey Type, Ars Combinatoria,
1, 167 – 190.
[3].
Chartrand, G. dan Lesniak, L., 1986, Graph and Digraph 2nd Edition, California: Wadsworth,
Inc.
[4].
Javaid, I., dan Shokat, S., 2008, On The Partition Dimension of Some Wheel Related Graphs,
Prime Research in Mathematica 4: 154-164.
[5].
Mahfudiyah, L., 2008. Pelabelan Graceful pada kipas Fn dan kipas ganda dFn, n bilangan asli
dan
[6].
≥ . Skripsi tidak diterbitkan. Malang : FMIPA UIN Malang.
Mengersen, I dan Oeckermen, J., (1999): Mahtcing-star Ramsey Sets, Discrete Applied
Mathematics, 95, 33 – 42.
[7].
Rosen K. H., 2003, Discrete Mathematics And Its Applications Fifth Edition, McGraw-Hill
Companies, The New York.
16