SOLUSI KUADRAT TERKECIL MODEL REGRESI FUZZY DENGAN VARIABEL DEPENDEN FUZZY SIMETRIS | Kharisudin | 7473 15767 1 SM
JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011
SOLUSI KUADRAT TERKECIL MODEL REGRESI FUZZY DENGAN
VARIABEL DEPENDEN FUZZY SIMETRIS
Iqbal Kharisudin
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Semarang
Email: iqbal_kh@staff.unnes.ac.id
ABSTRAK
Diketahui bahwa model regresi biasa digunakan untuk menganalisis data-data tegas. Pada kondisi
terdapat ketidakpastian (ketidaktepatan, ketidakjelasan) nilai-nilai variabel terobservasi, maka model
regresi fuzzy diperlukan. Pada makalah ini dibahas suatu model regresi fuzzy dengan variabel
dependen fuzzy simetris dan variabel independen tegas menggunakan pendekatan kuadrat terkecil.
Metode yang digunakan untuk menemukan model linear adalah meminimalkan fungsi jarak fuzzy
antara variabel terobservasi dengan estimasi variabel dependen atau nilai teoritis yang
berkorespondensi. Ditunjukkan bahwa solusi dari model ini merupakan generalisasi model regresi
klasik. Selanjutnya dibahas sifat-sifat berkaitan dengan solusi model yang diperoleh.
Kata kunci: model pusat, model tepi, jarak fuzzy, solusi iteratif.
ABSTRACT
It is known that the regression model used to analyze the crisp data. In the condition that there
is uncertainty (imprecision, vagueness) on values of observed variables, then the fuzzy regression
model is required. In this paper discussed a fuzzy regression model with symmetrical fuzzy dependent
variable and crisp independent variables using the least squares approach. The method used to find
the linear model is to minimize the distance function between observed fuzzy variables with the
estimation dependent variable or the corresponding theoretical value. It is shown that the solution of
this model is a generalization of the classical regression model. Further discussion is about the
properties of solution of the model.
Keyword: center model, spread model, fuzzy distance, iterative solution.
mungkin,
PENDAHULUAN
Penalaran
statistik
dipengaruhi
oleh
(statistical
beberapa
reasoning)
jenis
dan
(3)
ketidakpastian
(ketidaktepatan, ketidakjelasan)
nilai-nilai
variabel terobservasi (Coppi, 2008).
sumber
Dalam
ketidakpastian, seperti: keacakan (randomness),
paradigma
statistik
tradisional,
ketidakjelasan
ketidakpastian (1) dan (2) telah banyak
(vagueness), ketidaktahuan sebagian (partial
ditangani dengan sangat memuaskan. Untuk
ignorance), dan sebagainya. Dalam konteks
menjawab permasalahan ketidakpastian (3),
analisis
telah banyak para peneliti yang mencoba
ketidaktepatan
(imprecision),
regresi,
terdapat
beberapa
aspek
ketidakpastian yang sering diperhatikan, yaitu
mengusulkan
ketidakpastian berkaitan dengan: (1) hubungan
alternatif.
antara variabel dependen dengan variabel
penelitian, pada dekade terakhir, telah banyak
independen,
data
penelitian yang berupaya mengembangkan
terobservasi dengan "semesta" data yang
koalisi antara teori himpunan fuzzy dan teori
(2)
hubungan
antara
10
berbagai
Seiring
metode
dengan
sebagai
perkembangan
JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011
statistik. Tujuan yang hendak dicapai di
variabel independen tegas. Selanjutnya dibahas
antaranya adalah untuk: (1) memperkenalkan
bentuk solusi model dengan pendekatan kuadrat
permasalahan analisis data baru berkaitan
terkecil dan beberapa bukti sifat-sifat dari
dengan relasional fuzzy, (2) membangun model
solusi model.
formal
dengan
yang
randomness
menggabungkan
fuzziness,
(3)
mengembangkan
KONSEP FUZZY UNTUK ANALISIS
metodologi statistik univariate dan multivariate
REGRESI
dalam menangani data bernilai fuzzy, dan (4)
Untuk merepresentasikan ketidakpastian
menyertakan konsep fuzzy dalam membantu
dalam permasalahan kehidupan diperlukan
menyelesaikan
statistik
konsep fuzzy yang diperkenalkan oleh L. A.
tradisional dengan data non-fuzzy (Coppi dkk.,
Zadeh pada 1965 dan dengan konsep bilangan
2006).
fuzzy (Zimmermann, 1991; Taheri, 2008). Pada
permasalahan
Secara umum terdapat dua pendekatan
dasarnya kita semua sering menggunakan
yang berbeda dalam analisis regresi fuzzy.
konsep fuzzy, aturan samar, dan ketidaktepatan
Pertama
konsep
informasi untuk mengambil keputusan dalam
possibilistic yang pertama kali diperkenalkan
situasi yang tidak menentu. Oleh karena itu
oleh Tanaka dkk. (1982). Kedua adalah
model-model komputasional dari sistem real
pendekatan berbasis kuadrat terkecil, yaitu
perlu juga bisa mengenali, merepresentasikan,
perluasan metode kuadrat terkecil dalam setting
memanipulasi,
fuzzy. Kedua pendekatan ini mempunyai
menggunakan ketidakpastian (Bezdek (1993)
perbedaan dalam metode optimasi fungsional
dalam Coppi dkk., 2006). Kelas umum dari
untuk membangun model regresi "terbaik".
data fuzzy dinyatakan dengan (selanjutnya
pendekatan
berbasis
menginterpretasikan,
dan
Salah satu pendekatan kuadrat terkecil
disebut dengan) data fuzzy LR. Data fuzzy LR
dalam analsis regresi fuzzy diusulkan oleh
dapat dinyatakan dengan matriks data fuzzy
D'Urso dkk. Metode yang digunakan untuk
(Coppi, 2006).
menemukan
model
meminimalkan
fungsi
linear
jarak
adalah
fuzzy antara
Himpunan dan Bilangan Fuzzy
variabel terobservasi dan variabel output yang
Teori himpunan tegas didasarkan pada logika
didefinisikan dalam suatu ruang metrik tertentu.
dwi nilai (two-valued logic) sebagai fungsi
Tulisan yang membahas masalah ini di
karakteristik yang memetakan setiap elemen
antaranya D'Urso dan Gastaldi 2000, 2002,
hanya pada dua nilai yaitu 0 dan 1. Teori
Coppi dan D'Urso 2003, D'Urso 2003, D'Urso
himpunan fuzzy didasarkan pada logika multi
dan Giordani 2003, D'Urso dan Giordani 2006,
nilai (multi-valued logic) sehingga fungsi
Coppi dkk. 2006, D'Urso dan Santoro 2006a,
karakteristiknya memetakan nilai-nilai kedalam
2006b. Dalam tulisan ini dikaji model regresi
suatu range tertentu yang menunjukkan derajat
dengan variabel dependen fuzzy simetris dan
keanggotaan setiap anggota. Dalam konteks ini,
11
JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011
∈ (0,1] adalah konveks, yaitu untuk setiap
fungsi karakteristik disebut dengan fungsi
keanggotaan (membership function) dan range
1, 2
adalah interval [0,1]. Fungsi keanggotaan
�
dalam derajat keanggotaan dari 0 sampai
Himpunan
fuzzy
�
+ 1−
≥ min
2
�
1
,
�
2
.
real, dan fungsi keanggotaan himpunan fuzzy
adalah kontinu, maka himpunan level- , � ,
dengan 1, yaitu:
→ 0,1 .
1
∈ [0,1], berlaku
Catatan 1.1.2. Jika Ω = ℜ himpunan bilangan
memetakan setiap anggota himpunan fuzzy ke
�: Ω
∈ � dan
dari himpunan fuzzy konveks adalah interval
Ω
dalam
dapat
tertutup.
dinyatakan sebagai pasangan terurut dari
sebarang elemen x dan nilai keanggotaannya,
Definisi 1.1.3. (Taheri, 2008, Giachetti dan
yaitu:
Young, 1997). Bilangan fuzzy
Untuk suatu
�=
0
,
∈ Ω, nilai
derajat keanggotaan
besar nilai
�
keanggotaan
�
0
0
�
∈Ω .
0
himpunan fuzzy normal dan konveks pada garis
real ℜ yang memenuhi (i) terdapat tepat satu
menyatakan
di dalam �. Semakin
0
∈ ℜ dengan
0
= 1 dan (ii)
bersifat
upper semi-continuous.
, maka semakin tinggi derajat
di dalam �. Jika fungsi
0
adalah
Bentuk khusus dari representasi bilangan
keanggotaan hanya menggunakan nilai 0 dan 1,
fuzzy yang dapat meningkatkan efisiensi
maka himpunan fuzzy menjadi himpunan tegas
komputasional adalah bilangan fuzzy tipe LR.
(crisp set) sehingga himpunan fuzzy merupakan
Bilangan fuzzy tipe LR paling banyak dan
generalisasi dari himpunan tegas. Derajat
mudah digunakan untuk mendeskripsikan data.
keanggotaan merupakan ukuran subjektif yang
bergantung pada perbedaan individu dalam
Definisi 1.1.4. (Zimmermann, 1991). Misalkan
merepresentasikan
L (dan R) adalah fungsi berbentuk turun dari
konsep
yang
abstrak.
ℜ+ ke 0,1 dengan � 0 = 1; �
Konsep yang sama bisa jadi diinterpretasikan
setiap
dengan cara yang berbeda bergantung pada
> 0; �
� +∞ = 0).
Bilangan fuzzy didefinisikan berdasarkan
konsep himpunan fuzzy. Bilangan fuzzy dapat
untuk
didefinisikan
keanggotaan
secara
umum
dengan
,
menggunakan konsep himpunan fuzzy normal
dan konveks maupun secara khusus dengan
=
menggunakan fungsi keanggotaan.
Definisi 1.1.1. (Chen dan Pham, 2001).
dengan
Himpunan fuzzy � di dalam Ω dikatakan
konveks jika dan hanya jika setiap �
> 0 untuk setiap
� 1 = 0 atau (�
konteksnya.
< 1 untuk
< 1;
> 0 untuk setiap
dan
disebut bilangan fuzzy ��1 jika
> 0,
>0
dalam
ℜ,
didefinisikan
−
�
,
untuk
�
−
,
untuk
disebut nilai mean dari
fungsi
<
,
≥
,
dan
dan
masing-masing disebut tepi kiri dan tepi
untuk
12
JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011
kanan. Bilangan fuzzy
=
, ,
Teorema
dinyatakan dengan
Teorema
antara dua bilangan fuzzy simetris dan sifat
tersebut.
dan
Ko,
1996).
berdasarkan
definisi
��� ℜ
Misalkan
1.2.3.
(Yang
dan
Ko,
1996).
��� ℜ , ��� adalah ruang metrik complete.
Pada bagian ini dikemukakan definisi jarak
metrik
(Yang
��� ℜ , ��� adalah ruang metrik.
�� .
Jarak dan Ruang Metrik Fuzzy
ruang
1.2.2.
MODEL REGRESI FUZZY
jarak
Analisis regresi linear dengan model fuzzy
menyatakan
himpunan semua bilangan fuzzy simetris.
pertama kali diusulkan oleh Tanaka dkk. pada
Definisi 1.2.1. (Yang dan Ko, 1996). Misalkan
tahun 1982. Berdasarkan metode ini, koefisien
=
,
,
=
dan
��
,
,
regresi merupakan bilangan fuzzy yang dapat
��
dinyatakan sebagai interval dengan fungsi
adalah bilangan fuzzy �� di dalam ��� ℜ .
Jarak antara dua bilangan fuzzy
keanggotaan. Perkembangan teori fuzzy pada
dan
analisis regresi sejak dikemukakan oleh Tanaka
didefinisikan dengan
2
���
,
=
+
=
1 −1
�
0
d .
−
−
+
dengan
dkk. sangat pesat. Referensi yang cukup
2
−
1 −1
�
0
+�
d
−
−
�=
Pendekatan lain yang juga banyak diteliti
dan �
fuzzy. Pendekatan ini telah banyak diteliti
dan
adalah kuadrat terkecil dalam analisis regresi
dalam dua dekade terakhir, di antaranya oleh
Celmins (1987), Diamond (1988), Chang dan
Lee (1996), Ma dkk. (1997), dan Wu (2003).
dan � memiliki peran ganda,
Penelitian-penelitian dalam konteks tersebut
yaitu berhubungan dengan variabilitas fungsi
sangat beragam dan masih menjadi topik
keanggotaan dan menurunkan penekanan pada
penelitian yang berkembang.
tepi, karena pada kenyataannya bobot pusat
Ide dasar analisis regresi fuzzy yang
lebih besar daripada bobot tepi. Selanjutnya
dikembangkan
pada definisi 1.2.1, jika kedua bilangan adalah
=
=�=
1 −1
�
0
,
=
dan
2
���
variabel dependen fuzzy melalui regresi linear
sederhana.
,
=3
−
+2
2
−
pusat
selanjutnya secara simultan memodelkan tepi
,
2
memodelkan
dengan mengadopsi model regresi klasik,
yaitu:
2
adalah
(center) dari variabel dependen fuzzy simetris
, dan
d ), maka diperoleh jarak
antara dua bilangan fuzzy simetris
perkembangan
dan Ayyub (2001) dan Shapiro (2005).
keanggotaan terhadap jarak antara dua bilangan
bilangan fuzzy simetris (
dengan
2
menyatakan pengaruh bentuk dari fungsi
fuzzy. Nilai
berkaitan
metode regresi fuzzy diantaranya seperti Chang
+�
Pada definisi 1.2.1 di atas,
lengkap
2
Hubungan
antara
dependen fuzzy simetris) dengan
.
(variabel
1, … ,
�
(variabel independen tegas) dinyatakan dengan
13
JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011
model (D’Urso dan Gastaldi, 2000; D’Urso dan
yang berkorespondensi
Santoro, 2006b):
melalui model (2.0.1). Untuk tujuan ini,
=�+ ,
− =�−
dimana
fuzzy ��, yaitu:
�;
+
dengan � = � dan
Δ2�� =
�;
= �� + �,
�
×
=3
, � masing-
;
fungsi
×1 ; ,
jenis
×1 ;
�+1 ×1 ;
b
dan
� , dan
�
−
.
variabel
fuzzy
(lihat
fungsi
keanggotaan
bilangan
fuzzy
pada dasarnya merupakan
penyesuaian tepi kiri dan tepi kanan pada saat
perhitungan batas bawah dan batas atas
d
bilangan fuzzy
koefisien/parameter regresi untuk model tepi;
serta ,
′
−
2
2
berkaitan dengan bentuk
jenis
simetris, nilai
vektor koefisien/parameter regresi untuk
berukuran
dari
−�
+2
2
− �+
+
′
−�
− �−
Kharisudin dan Subanar, 2009). Berdasarkan
masing-masing adalah vektor tepi terobservasi
dan vektor tepi interpolasi berukuran
−
+
Nilai parameter
masing adalah vektor pusat terobservasi dan
vektor pusat interpolasi berukuran
2
+
1, � matriks berukuran �+1 berisi vektor
1, … ,
−�
(2.0.1)
adalah vektor 1-an berukuran
dan variabel input
yang didefinisikan
digunakan konsep jarak Euclid untuk bilangan
+
+ =�+
∗
persamaan (2.1)
adalah vektor residual.
�,
∗
�
� = 1,2, … ,
. Pada
menyatakan bobot yang
berbeda antara pusat dengan tepi (kiri maupun
Model regresi tersebut di bangun atas tiga
kanan). Dalam estimasi parameter regresi, nilai
model linear. Pertama interpolasi pusat dari
didefinisikan secara subjektif sesuai dengan
observasi fuzzy, kedua dan ketiga adalah model
bobot pusat dan tepi variabel fuzzy dengan
untuk batas bawah (pusat – tepi) dan model
memperhatikan bentuk spesifik dari fungsi
untuk batas atas (pusat + tepi) yang dibangun
keanggotaan yang memberikan karakter setiap
berdasarkan model pertama. Dalam kasus
datum fuzzy. Secara umum bobot tersebut
variabel output adalah simetris, maka tepi kiri
selalu kurang dari satu, dengan alasan bahwa
sama dengan tepi kanan, sehingga model kedua
bobot untuk tepi selalu kurang dari bobot untuk
dan model ketiga mempunyai estimasi tepi
pusat variabel fuzzy.
Berdasarkan model (2.0.1), basis jarak (2.1)
yang sama.
dapat ditulis menjadi
Fungsi Objektif
Berdasarkan kriteria kuadrat terkecil, parameter
dari
model
(2.0.1)
diestimasi
Δ2�� = 3
dengan
meminimalkan kuadrat jarak antara variabel
dependen terobservasi
dengan nilai teoritis
14
′
−2
2
+2
−2
′
′
′
� +
′
�′ �
− 2 ′� �
�+
′
� ′ � �2
+ 2 ′ � �� + �2 .
JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011
Dengan demikian fungsi objektif kuadrat
Sifat Solusi Kuadrat Terkecil dari Model
terkecil menjadi
Pada bagian ini akan dibuktikan sifat-sifat
min
,�,�
3
′
′
−2
′
� +
�′ �
solusi kuadrat terkecil iteratif (2.2.1) s.d. (2.2.3)
+
2 2 ′ −2 ′� �−2 ′ �+ ′�′� �2+
dari model (2.0.1). Berkaitan dengan model
(2.1.1)
masing-masing dinyatakan
2 ′� ��+ �2.
(2.0.1), selanjutnya estimasi kuadrat terkecil
iteratif dari � dan
dengan � = � dan
= �� + �.
Proposisi 2.3.1. Hubungan berikut benar
Solusi Kuadrat Terkecil Iteratif
− � ′� = 0
Untuk menentukan solusi masalah (2.1.1),
dicari turunan parsial Δ2�� terhadap parameter a,
−�
b, dan d untuk nilai sama dengan nol, sehingga
yaitu
diperoleh sistem persamaan sebagai berikut.
dengan estimasi pusat �.
= 3 + 2 2 �2
�=
�=
−1
2 2 �− ��.
′
�′ �
−1 ′
−1 ′
�′ �
�′
−1
�′ 3
Bukti:
+
Δ2��
mempunyai rank penuh. Prosedur optimisasi
algoritma
turunan
dijamin diperolehnya minimum global, hanya
minimum lokal saja. Dengan demikian, sangat
disarankan untuk menggunakan algoitma iterasi
dengan beberapa nilai awal untuk mengetahui
Δ2��
parsial
(2.2.2)
(2.2.3)
=
iteratif
berdasarkan persamaan (2.2.1) - (2.2.3) tidak
berkorelasi
seperti yang termuat
dalam (2.2.1)
(2.2.1)
⇔ 3 −2� ′
diperoleh dengan mengasumsikan bahwa X
menggunakan
tidak
diperoleh
Solusi iteratif dari sistem persamaan di atas
dengan
Berdasarkan
terhadap
− � .
−� � .
residual
(2.3.1)
+ 2� ′ �
+2
2
−2� ′ � + 2� ′ � � 2
+ 2� ′ �� =
⇔ �′ 3
− � + 2 2�
−� �− �
⇔ �′ 3
− � + 2 2�
−
=
�+1
=
�+1 .
(2.3.2)
stabilitas solusi (D’Urso dan Santoro, 2006a).
Selanjutnya persamaan (2.3.2) di atas dapat
Selanjutnya dapat dilihat bahwa pada kasus
variabel dependen tegas (crisp) yaitu =
� = � = 0 maka estimasi
ditulis
dan
yang termuat
dalam (2.2.1) akan menghasilkan solusi kuadrat
terkecil biasa yaitu
�′ �
−1
′
� ′ . Dengan
demikian model dan solusi pada sistem
�′ 3
⇔ �′ 3
persamaan di atas merupakan generalisasi dari
model regresi linear klasik, jika variabel
− � + 2 2�
− � + 2 2�
−
−
=
′
= 0.
�+
(2.3.3)
Berdasarkan turunan parsial Δ2�� terhadap �
dependen memuat ketidakpastian.
yang termuat dalam (2.2.2) diperoleh
15
JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011
⇔2
⇔
Δ2��
�
2
′
⇔ �′
Dalam hal ini, regresi fuzzy dengan
=0
variabel dependen fuzzy ditransformasi ke
′
′
′
′
−2 � + 2 � � � + 2 � � = 0
′
�′ � � =
−
Dengan
�′ −
′
= 0.
mensubstitusi
�′ �
dalam masalah regresi biasa antara
variabel dependen) dan
(2.3.4)
= 0 ⇔ �′
−�
ke
(2.3.4)
estimasi regresi biasa, diketahui bahwa untuk
(2.3.3),
vektor optimal
diperoleh
′
−� =0⇔
− � ′ � = 0. ∎
−
nol, yaitu
′
′
Bukti:
′
−
′
⇔3
(2.3.5)
= 0.
(2.3.6)
3
terhadap � yang termuat dalam (2.2.3),
=0⇔−
′
⇔
′
⇔
′
′
+
=
−
−
=
−�
−
3
2
2
′
�� −
′
2
3
=
′
3� −
′
−
2
2
′
+
2
′
′
�
2
2
3� +
−
2
2 2� �
−�
= 0. ∎
= −2
−�
2
′
=0⇔
′
′
2
′
2 2� �
2
′
�−
−
.
(2.3.9)
− � = 0. ∎
= 0.
−
(2.3.10)
tidak berkorelasi dengan
Bukti: Berdasarkan (2.3.4) diperoleh
⇔
�′
⇔
−
−
−
′
′
=0
� =0
� � = 0.
Selanjutnya dalam proposisi 2.3.2, persamaan
−
3�2 2�� 2= −
(2.3.6) ditunjukkan
2
−�
−� �− �
− �
′
estimasi tepi .
�=0
2
3
2
′
yaitu residual
� �+ �=0
(2.1), dapat dituliskan
2
′
+
−
(ii). Berdasarkan basis jarak pada persamaan
Δ2��
dalam (2.3.7) ke
Proposisi 3.3. Hubungan berikut benar
diperoleh
3
=
2
dan
diperoleh
(2.3.6). Berdasarkan turunan parsial Δ2��
�
(2.3.8)
Dengan mensubstitusi (2.3.6) ke dalam (2.3.9),
(i). Akan ditunjukkan benar untuk persamaan
Δ2��
3
⇔0=
adalah
− � = 0,
.
dalam (2.3.8), diperoleh
− � dan jumlahan (dan
juga mean) dari n residual tepi
′
=
Dengan mensubstitusi
Proposisi 2.3.2. Jumlahan (dan juga mean) dari
n residual pusat
(matriks variabel
independen). Selanjutnya berdasarkan sifat
diperoleh
�′ 3
(vektor
⇔
′
−
−
′
=0
� = 0.
Dengan demikian berdasarkan (2.3.11) dan
(2.3.7)
(2.3.12) diperoleh
2.
16
JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011
⇔
−
′
−
⇔
� �+
′
−
−
′
assessment, Fuzzy Sets and Systems 119,
187-203.
�=0
� �+ � =0
′
Chen, G. and T. T. Pham. 2001. Introduction to
fuzzy sets, fuzzy logic, and fuzzy control
systems, Boca Raton: CRC Press.
= 0. ∎
Coppi, R. 2008. Management of uncertainty in
statistical reasoning: The case of regression
analysis,
International
Journal
of
Approximate Reasoning 47, 284-305.
SIMPULAN
Berdasarkan uraian di atas, dapat ditarik
beberapa simpulan antara lain: (i) model regresi
Coppi, R. and P. D'Urso. 2003. Regression
analysis
with
fuzzy
informational
paradigm: a least squares approach using
membership function information, Int. J.
Pure Appl. Math. 8, no. 3, 279-306.
fuzzy dengan variabel dependen fuzzy simetris
merupakan perluasan model regresi klasik
dengan menambahkan model regresi linear
sederhana untuk model tepi, (ii) kriteria kuadrat
Coppi, R., P. D'Urso, P. Giordani, and A.
Santoro. 2006. Least squares estimation of
a linear regression model with LR fuzzy
response, Computational Statistics & Data
Analysis 51, 267-286.
terkecil diadopsi untuk mengestimasi parameter
dari model dengan meminimalkan kuadrat jarak
fuzzy antara variabel dependen terobservasi
dengan nilai teoritis yang berkorespondensi
∗
,
Coppi, R., M. A. Gil, and H. A. L. Kiers. 2006.
The fuzzy approach to statistical analysis,
Computational Statistics & Data Analysis
51, 1-14.
(iii) solusi iteratif dari model yang didapat
dengan menentukan turunan parsial fungsi jarak
terhadap parameter yang diestimasi merupakan
Coppi, R., P. Giordani, and P. D'Urso. 2006.
Component models for fuzzy data,
Psychometrika 71, no. 4, 733-761.
generalisasi solusi regresi klasik, dan (iv)
dibuktikan beberapa sifat solusi iteratif dari
model.
Selanjutnya
masih
Diamond, P. 1998. Fuzzy least squares,
Information Sciences 46, 141-157.
diperlukan
penyelidikan lebih lanjut berkaitan dengan
permasalahan kehidupan sehari-hari.
D'Urso, P. 2003. Linear regression analysis for
fuzzy/crisp input and fuzzy/crisp output
data, Computational Statistics & Data
Analysis 42, 47-72.
DAFTAR PUSTAKA
D'Urso, P. and T. Gastaldi. 2000. A leastsquares approach to fuzzy linear regression
analysis, Computational Statistics & Data
Analysis 34, 427-440.
Celmins, A. 1987. Multidimensional leastsquares fitting of fuzzy models, Math.
Model. 9, 669-690.
-------. 2002. An "orderwise" polynomial
regression procedure for fuzzy data, Fuzzy
Sets and Systems 130, 1-19.
Chang, P.T. and E. S. Lee. 1996. A generalized
fuzzy weighted least-squares regression,
Fuzzy Sets and Systems 82, 289-298.
D'Urso, P. and P. Giordani. 2003. Fitting of
fuzzy linear regression models with
multivariate response, Int. Math. J. 3, no.
6, 655-664.
sifat-sifat solusi model, serta pengembangan
dan aplikasi model regresi fuzzy ini dalam
Chang, Y.-H. O. and B. M. Ayyub. 2001.
Fuzzy regression methods-a comparative
-------. 2006. A weighted fuzzy c-means
clustering model for fuzzy data,
17
JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011
Zimmermann, H. J. 1991. Fuzzy set theory and
its applications, Boston: Kluwer Academic
Publisher.
Computational Statistics & Data Analysis
50, no. 6, 1496-1523.
D'Urso, P. and A. Santoro. 2006a. Fuzzy
clusterwise linear regression analysis with
symmetrical fuzzy output variable,
Computational Statistics & Data Analysis
51, 287-313.
-------. 2006b. Goodness of fit and variable
selection in the fuzzy multiple linear
regression, Fuzzy Sets and Systems 157,
2627-2647.
Giachetti, R. E. and R. E. Young. 1997. A
parametric representation of fuzzy
numbers and their arithmetic operators,
Fuzzy Sets and Systems 91, 185-202.
Kharisudin, I. and Subanar. 2009. Fuzzy
regression analysis with symmetrical fuzzy
dependent variable, The Proceeding of
IICMA 2009, ISBN: 978-602-96426-0-5,
pp 935-950.
Ma, M., M. Friedman, and A. Kandel. 1997.
General fuzzy least squares, Fuzzy Sets and
Systems 88, 107-118.
Shapiro, A. F. 2005. Fuzzy regression and the
term structure of interest rates revisited,
Unpublished paper, Penn State University.
Taheri, S. M. 2008. C-fuzzy numbers and a
dual of extension principle, Information
Sciences 178, 827-835.
Tanaka, H., S. Uejima, and K. Asai. 1982.
Linear regression analysis with fuzzy
model, IEEE Transactions on Systems,
Man and Cybernetics 12, no. 6, 903-907.
Wu, H. C. 2003. Fuzzy least squares estimators
in linear regression analysis for imprecise
input and output data, Computational
Statistics & Data Analysis 42, 203-217.
Yang, M.-S. and C.-H. Ko. 1996. On a class of
fuzzy c-numbers clustering procedures for
fuzzy data, Fuzzy Sets and Systems 84, 4960.
Zadeh, L. A. 1999. Fuzzy sets as a basis for a
theory of possibility, Fuzzy Sets and
Systems 100 Supplement, 9-34.
18
SOLUSI KUADRAT TERKECIL MODEL REGRESI FUZZY DENGAN
VARIABEL DEPENDEN FUZZY SIMETRIS
Iqbal Kharisudin
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Semarang
Email: iqbal_kh@staff.unnes.ac.id
ABSTRAK
Diketahui bahwa model regresi biasa digunakan untuk menganalisis data-data tegas. Pada kondisi
terdapat ketidakpastian (ketidaktepatan, ketidakjelasan) nilai-nilai variabel terobservasi, maka model
regresi fuzzy diperlukan. Pada makalah ini dibahas suatu model regresi fuzzy dengan variabel
dependen fuzzy simetris dan variabel independen tegas menggunakan pendekatan kuadrat terkecil.
Metode yang digunakan untuk menemukan model linear adalah meminimalkan fungsi jarak fuzzy
antara variabel terobservasi dengan estimasi variabel dependen atau nilai teoritis yang
berkorespondensi. Ditunjukkan bahwa solusi dari model ini merupakan generalisasi model regresi
klasik. Selanjutnya dibahas sifat-sifat berkaitan dengan solusi model yang diperoleh.
Kata kunci: model pusat, model tepi, jarak fuzzy, solusi iteratif.
ABSTRACT
It is known that the regression model used to analyze the crisp data. In the condition that there
is uncertainty (imprecision, vagueness) on values of observed variables, then the fuzzy regression
model is required. In this paper discussed a fuzzy regression model with symmetrical fuzzy dependent
variable and crisp independent variables using the least squares approach. The method used to find
the linear model is to minimize the distance function between observed fuzzy variables with the
estimation dependent variable or the corresponding theoretical value. It is shown that the solution of
this model is a generalization of the classical regression model. Further discussion is about the
properties of solution of the model.
Keyword: center model, spread model, fuzzy distance, iterative solution.
mungkin,
PENDAHULUAN
Penalaran
statistik
dipengaruhi
oleh
(statistical
beberapa
reasoning)
jenis
dan
(3)
ketidakpastian
(ketidaktepatan, ketidakjelasan)
nilai-nilai
variabel terobservasi (Coppi, 2008).
sumber
Dalam
ketidakpastian, seperti: keacakan (randomness),
paradigma
statistik
tradisional,
ketidakjelasan
ketidakpastian (1) dan (2) telah banyak
(vagueness), ketidaktahuan sebagian (partial
ditangani dengan sangat memuaskan. Untuk
ignorance), dan sebagainya. Dalam konteks
menjawab permasalahan ketidakpastian (3),
analisis
telah banyak para peneliti yang mencoba
ketidaktepatan
(imprecision),
regresi,
terdapat
beberapa
aspek
ketidakpastian yang sering diperhatikan, yaitu
mengusulkan
ketidakpastian berkaitan dengan: (1) hubungan
alternatif.
antara variabel dependen dengan variabel
penelitian, pada dekade terakhir, telah banyak
independen,
data
penelitian yang berupaya mengembangkan
terobservasi dengan "semesta" data yang
koalisi antara teori himpunan fuzzy dan teori
(2)
hubungan
antara
10
berbagai
Seiring
metode
dengan
sebagai
perkembangan
JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011
statistik. Tujuan yang hendak dicapai di
variabel independen tegas. Selanjutnya dibahas
antaranya adalah untuk: (1) memperkenalkan
bentuk solusi model dengan pendekatan kuadrat
permasalahan analisis data baru berkaitan
terkecil dan beberapa bukti sifat-sifat dari
dengan relasional fuzzy, (2) membangun model
solusi model.
formal
dengan
yang
randomness
menggabungkan
fuzziness,
(3)
mengembangkan
KONSEP FUZZY UNTUK ANALISIS
metodologi statistik univariate dan multivariate
REGRESI
dalam menangani data bernilai fuzzy, dan (4)
Untuk merepresentasikan ketidakpastian
menyertakan konsep fuzzy dalam membantu
dalam permasalahan kehidupan diperlukan
menyelesaikan
statistik
konsep fuzzy yang diperkenalkan oleh L. A.
tradisional dengan data non-fuzzy (Coppi dkk.,
Zadeh pada 1965 dan dengan konsep bilangan
2006).
fuzzy (Zimmermann, 1991; Taheri, 2008). Pada
permasalahan
Secara umum terdapat dua pendekatan
dasarnya kita semua sering menggunakan
yang berbeda dalam analisis regresi fuzzy.
konsep fuzzy, aturan samar, dan ketidaktepatan
Pertama
konsep
informasi untuk mengambil keputusan dalam
possibilistic yang pertama kali diperkenalkan
situasi yang tidak menentu. Oleh karena itu
oleh Tanaka dkk. (1982). Kedua adalah
model-model komputasional dari sistem real
pendekatan berbasis kuadrat terkecil, yaitu
perlu juga bisa mengenali, merepresentasikan,
perluasan metode kuadrat terkecil dalam setting
memanipulasi,
fuzzy. Kedua pendekatan ini mempunyai
menggunakan ketidakpastian (Bezdek (1993)
perbedaan dalam metode optimasi fungsional
dalam Coppi dkk., 2006). Kelas umum dari
untuk membangun model regresi "terbaik".
data fuzzy dinyatakan dengan (selanjutnya
pendekatan
berbasis
menginterpretasikan,
dan
Salah satu pendekatan kuadrat terkecil
disebut dengan) data fuzzy LR. Data fuzzy LR
dalam analsis regresi fuzzy diusulkan oleh
dapat dinyatakan dengan matriks data fuzzy
D'Urso dkk. Metode yang digunakan untuk
(Coppi, 2006).
menemukan
model
meminimalkan
fungsi
linear
jarak
adalah
fuzzy antara
Himpunan dan Bilangan Fuzzy
variabel terobservasi dan variabel output yang
Teori himpunan tegas didasarkan pada logika
didefinisikan dalam suatu ruang metrik tertentu.
dwi nilai (two-valued logic) sebagai fungsi
Tulisan yang membahas masalah ini di
karakteristik yang memetakan setiap elemen
antaranya D'Urso dan Gastaldi 2000, 2002,
hanya pada dua nilai yaitu 0 dan 1. Teori
Coppi dan D'Urso 2003, D'Urso 2003, D'Urso
himpunan fuzzy didasarkan pada logika multi
dan Giordani 2003, D'Urso dan Giordani 2006,
nilai (multi-valued logic) sehingga fungsi
Coppi dkk. 2006, D'Urso dan Santoro 2006a,
karakteristiknya memetakan nilai-nilai kedalam
2006b. Dalam tulisan ini dikaji model regresi
suatu range tertentu yang menunjukkan derajat
dengan variabel dependen fuzzy simetris dan
keanggotaan setiap anggota. Dalam konteks ini,
11
JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011
∈ (0,1] adalah konveks, yaitu untuk setiap
fungsi karakteristik disebut dengan fungsi
keanggotaan (membership function) dan range
1, 2
adalah interval [0,1]. Fungsi keanggotaan
�
dalam derajat keanggotaan dari 0 sampai
Himpunan
fuzzy
�
+ 1−
≥ min
2
�
1
,
�
2
.
real, dan fungsi keanggotaan himpunan fuzzy
adalah kontinu, maka himpunan level- , � ,
dengan 1, yaitu:
→ 0,1 .
1
∈ [0,1], berlaku
Catatan 1.1.2. Jika Ω = ℜ himpunan bilangan
memetakan setiap anggota himpunan fuzzy ke
�: Ω
∈ � dan
dari himpunan fuzzy konveks adalah interval
Ω
dalam
dapat
tertutup.
dinyatakan sebagai pasangan terurut dari
sebarang elemen x dan nilai keanggotaannya,
Definisi 1.1.3. (Taheri, 2008, Giachetti dan
yaitu:
Young, 1997). Bilangan fuzzy
Untuk suatu
�=
0
,
∈ Ω, nilai
derajat keanggotaan
besar nilai
�
keanggotaan
�
0
0
�
∈Ω .
0
himpunan fuzzy normal dan konveks pada garis
real ℜ yang memenuhi (i) terdapat tepat satu
menyatakan
di dalam �. Semakin
0
∈ ℜ dengan
0
= 1 dan (ii)
bersifat
upper semi-continuous.
, maka semakin tinggi derajat
di dalam �. Jika fungsi
0
adalah
Bentuk khusus dari representasi bilangan
keanggotaan hanya menggunakan nilai 0 dan 1,
fuzzy yang dapat meningkatkan efisiensi
maka himpunan fuzzy menjadi himpunan tegas
komputasional adalah bilangan fuzzy tipe LR.
(crisp set) sehingga himpunan fuzzy merupakan
Bilangan fuzzy tipe LR paling banyak dan
generalisasi dari himpunan tegas. Derajat
mudah digunakan untuk mendeskripsikan data.
keanggotaan merupakan ukuran subjektif yang
bergantung pada perbedaan individu dalam
Definisi 1.1.4. (Zimmermann, 1991). Misalkan
merepresentasikan
L (dan R) adalah fungsi berbentuk turun dari
konsep
yang
abstrak.
ℜ+ ke 0,1 dengan � 0 = 1; �
Konsep yang sama bisa jadi diinterpretasikan
setiap
dengan cara yang berbeda bergantung pada
> 0; �
� +∞ = 0).
Bilangan fuzzy didefinisikan berdasarkan
konsep himpunan fuzzy. Bilangan fuzzy dapat
untuk
didefinisikan
keanggotaan
secara
umum
dengan
,
menggunakan konsep himpunan fuzzy normal
dan konveks maupun secara khusus dengan
=
menggunakan fungsi keanggotaan.
Definisi 1.1.1. (Chen dan Pham, 2001).
dengan
Himpunan fuzzy � di dalam Ω dikatakan
konveks jika dan hanya jika setiap �
> 0 untuk setiap
� 1 = 0 atau (�
konteksnya.
< 1 untuk
< 1;
> 0 untuk setiap
dan
disebut bilangan fuzzy ��1 jika
> 0,
>0
dalam
ℜ,
didefinisikan
−
�
,
untuk
�
−
,
untuk
disebut nilai mean dari
fungsi
<
,
≥
,
dan
dan
masing-masing disebut tepi kiri dan tepi
untuk
12
JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011
kanan. Bilangan fuzzy
=
, ,
Teorema
dinyatakan dengan
Teorema
antara dua bilangan fuzzy simetris dan sifat
tersebut.
dan
Ko,
1996).
berdasarkan
definisi
��� ℜ
Misalkan
1.2.3.
(Yang
dan
Ko,
1996).
��� ℜ , ��� adalah ruang metrik complete.
Pada bagian ini dikemukakan definisi jarak
metrik
(Yang
��� ℜ , ��� adalah ruang metrik.
�� .
Jarak dan Ruang Metrik Fuzzy
ruang
1.2.2.
MODEL REGRESI FUZZY
jarak
Analisis regresi linear dengan model fuzzy
menyatakan
himpunan semua bilangan fuzzy simetris.
pertama kali diusulkan oleh Tanaka dkk. pada
Definisi 1.2.1. (Yang dan Ko, 1996). Misalkan
tahun 1982. Berdasarkan metode ini, koefisien
=
,
,
=
dan
��
,
,
regresi merupakan bilangan fuzzy yang dapat
��
dinyatakan sebagai interval dengan fungsi
adalah bilangan fuzzy �� di dalam ��� ℜ .
Jarak antara dua bilangan fuzzy
keanggotaan. Perkembangan teori fuzzy pada
dan
analisis regresi sejak dikemukakan oleh Tanaka
didefinisikan dengan
2
���
,
=
+
=
1 −1
�
0
d .
−
−
+
dengan
dkk. sangat pesat. Referensi yang cukup
2
−
1 −1
�
0
+�
d
−
−
�=
Pendekatan lain yang juga banyak diteliti
dan �
fuzzy. Pendekatan ini telah banyak diteliti
dan
adalah kuadrat terkecil dalam analisis regresi
dalam dua dekade terakhir, di antaranya oleh
Celmins (1987), Diamond (1988), Chang dan
Lee (1996), Ma dkk. (1997), dan Wu (2003).
dan � memiliki peran ganda,
Penelitian-penelitian dalam konteks tersebut
yaitu berhubungan dengan variabilitas fungsi
sangat beragam dan masih menjadi topik
keanggotaan dan menurunkan penekanan pada
penelitian yang berkembang.
tepi, karena pada kenyataannya bobot pusat
Ide dasar analisis regresi fuzzy yang
lebih besar daripada bobot tepi. Selanjutnya
dikembangkan
pada definisi 1.2.1, jika kedua bilangan adalah
=
=�=
1 −1
�
0
,
=
dan
2
���
variabel dependen fuzzy melalui regresi linear
sederhana.
,
=3
−
+2
2
−
pusat
selanjutnya secara simultan memodelkan tepi
,
2
memodelkan
dengan mengadopsi model regresi klasik,
yaitu:
2
adalah
(center) dari variabel dependen fuzzy simetris
, dan
d ), maka diperoleh jarak
antara dua bilangan fuzzy simetris
perkembangan
dan Ayyub (2001) dan Shapiro (2005).
keanggotaan terhadap jarak antara dua bilangan
bilangan fuzzy simetris (
dengan
2
menyatakan pengaruh bentuk dari fungsi
fuzzy. Nilai
berkaitan
metode regresi fuzzy diantaranya seperti Chang
+�
Pada definisi 1.2.1 di atas,
lengkap
2
Hubungan
antara
dependen fuzzy simetris) dengan
.
(variabel
1, … ,
�
(variabel independen tegas) dinyatakan dengan
13
JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011
model (D’Urso dan Gastaldi, 2000; D’Urso dan
yang berkorespondensi
Santoro, 2006b):
melalui model (2.0.1). Untuk tujuan ini,
=�+ ,
− =�−
dimana
fuzzy ��, yaitu:
�;
+
dengan � = � dan
Δ2�� =
�;
= �� + �,
�
×
=3
, � masing-
;
fungsi
×1 ; ,
jenis
×1 ;
�+1 ×1 ;
b
dan
� , dan
�
−
.
variabel
fuzzy
(lihat
fungsi
keanggotaan
bilangan
fuzzy
pada dasarnya merupakan
penyesuaian tepi kiri dan tepi kanan pada saat
perhitungan batas bawah dan batas atas
d
bilangan fuzzy
koefisien/parameter regresi untuk model tepi;
serta ,
′
−
2
2
berkaitan dengan bentuk
jenis
simetris, nilai
vektor koefisien/parameter regresi untuk
berukuran
dari
−�
+2
2
− �+
+
′
−�
− �−
Kharisudin dan Subanar, 2009). Berdasarkan
masing-masing adalah vektor tepi terobservasi
dan vektor tepi interpolasi berukuran
−
+
Nilai parameter
masing adalah vektor pusat terobservasi dan
vektor pusat interpolasi berukuran
2
+
1, � matriks berukuran �+1 berisi vektor
1, … ,
−�
(2.0.1)
adalah vektor 1-an berukuran
dan variabel input
yang didefinisikan
digunakan konsep jarak Euclid untuk bilangan
+
+ =�+
∗
persamaan (2.1)
adalah vektor residual.
�,
∗
�
� = 1,2, … ,
. Pada
menyatakan bobot yang
berbeda antara pusat dengan tepi (kiri maupun
Model regresi tersebut di bangun atas tiga
kanan). Dalam estimasi parameter regresi, nilai
model linear. Pertama interpolasi pusat dari
didefinisikan secara subjektif sesuai dengan
observasi fuzzy, kedua dan ketiga adalah model
bobot pusat dan tepi variabel fuzzy dengan
untuk batas bawah (pusat – tepi) dan model
memperhatikan bentuk spesifik dari fungsi
untuk batas atas (pusat + tepi) yang dibangun
keanggotaan yang memberikan karakter setiap
berdasarkan model pertama. Dalam kasus
datum fuzzy. Secara umum bobot tersebut
variabel output adalah simetris, maka tepi kiri
selalu kurang dari satu, dengan alasan bahwa
sama dengan tepi kanan, sehingga model kedua
bobot untuk tepi selalu kurang dari bobot untuk
dan model ketiga mempunyai estimasi tepi
pusat variabel fuzzy.
Berdasarkan model (2.0.1), basis jarak (2.1)
yang sama.
dapat ditulis menjadi
Fungsi Objektif
Berdasarkan kriteria kuadrat terkecil, parameter
dari
model
(2.0.1)
diestimasi
Δ2�� = 3
dengan
meminimalkan kuadrat jarak antara variabel
dependen terobservasi
dengan nilai teoritis
14
′
−2
2
+2
−2
′
′
′
� +
′
�′ �
− 2 ′� �
�+
′
� ′ � �2
+ 2 ′ � �� + �2 .
JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011
Dengan demikian fungsi objektif kuadrat
Sifat Solusi Kuadrat Terkecil dari Model
terkecil menjadi
Pada bagian ini akan dibuktikan sifat-sifat
min
,�,�
3
′
′
−2
′
� +
�′ �
solusi kuadrat terkecil iteratif (2.2.1) s.d. (2.2.3)
+
2 2 ′ −2 ′� �−2 ′ �+ ′�′� �2+
dari model (2.0.1). Berkaitan dengan model
(2.1.1)
masing-masing dinyatakan
2 ′� ��+ �2.
(2.0.1), selanjutnya estimasi kuadrat terkecil
iteratif dari � dan
dengan � = � dan
= �� + �.
Proposisi 2.3.1. Hubungan berikut benar
Solusi Kuadrat Terkecil Iteratif
− � ′� = 0
Untuk menentukan solusi masalah (2.1.1),
dicari turunan parsial Δ2�� terhadap parameter a,
−�
b, dan d untuk nilai sama dengan nol, sehingga
yaitu
diperoleh sistem persamaan sebagai berikut.
dengan estimasi pusat �.
= 3 + 2 2 �2
�=
�=
−1
2 2 �− ��.
′
�′ �
−1 ′
−1 ′
�′ �
�′
−1
�′ 3
Bukti:
+
Δ2��
mempunyai rank penuh. Prosedur optimisasi
algoritma
turunan
dijamin diperolehnya minimum global, hanya
minimum lokal saja. Dengan demikian, sangat
disarankan untuk menggunakan algoitma iterasi
dengan beberapa nilai awal untuk mengetahui
Δ2��
parsial
(2.2.2)
(2.2.3)
=
iteratif
berdasarkan persamaan (2.2.1) - (2.2.3) tidak
berkorelasi
seperti yang termuat
dalam (2.2.1)
(2.2.1)
⇔ 3 −2� ′
diperoleh dengan mengasumsikan bahwa X
menggunakan
tidak
diperoleh
Solusi iteratif dari sistem persamaan di atas
dengan
Berdasarkan
terhadap
− � .
−� � .
residual
(2.3.1)
+ 2� ′ �
+2
2
−2� ′ � + 2� ′ � � 2
+ 2� ′ �� =
⇔ �′ 3
− � + 2 2�
−� �− �
⇔ �′ 3
− � + 2 2�
−
=
�+1
=
�+1 .
(2.3.2)
stabilitas solusi (D’Urso dan Santoro, 2006a).
Selanjutnya persamaan (2.3.2) di atas dapat
Selanjutnya dapat dilihat bahwa pada kasus
variabel dependen tegas (crisp) yaitu =
� = � = 0 maka estimasi
ditulis
dan
yang termuat
dalam (2.2.1) akan menghasilkan solusi kuadrat
terkecil biasa yaitu
�′ �
−1
′
� ′ . Dengan
demikian model dan solusi pada sistem
�′ 3
⇔ �′ 3
persamaan di atas merupakan generalisasi dari
model regresi linear klasik, jika variabel
− � + 2 2�
− � + 2 2�
−
−
=
′
= 0.
�+
(2.3.3)
Berdasarkan turunan parsial Δ2�� terhadap �
dependen memuat ketidakpastian.
yang termuat dalam (2.2.2) diperoleh
15
JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011
⇔2
⇔
Δ2��
�
2
′
⇔ �′
Dalam hal ini, regresi fuzzy dengan
=0
variabel dependen fuzzy ditransformasi ke
′
′
′
′
−2 � + 2 � � � + 2 � � = 0
′
�′ � � =
−
Dengan
�′ −
′
= 0.
mensubstitusi
�′ �
dalam masalah regresi biasa antara
variabel dependen) dan
(2.3.4)
= 0 ⇔ �′
−�
ke
(2.3.4)
estimasi regresi biasa, diketahui bahwa untuk
(2.3.3),
vektor optimal
diperoleh
′
−� =0⇔
− � ′ � = 0. ∎
−
nol, yaitu
′
′
Bukti:
′
−
′
⇔3
(2.3.5)
= 0.
(2.3.6)
3
terhadap � yang termuat dalam (2.2.3),
=0⇔−
′
⇔
′
⇔
′
′
+
=
−
−
=
−�
−
3
2
2
′
�� −
′
2
3
=
′
3� −
′
−
2
2
′
+
2
′
′
�
2
2
3� +
−
2
2 2� �
−�
= 0. ∎
= −2
−�
2
′
=0⇔
′
′
2
′
2 2� �
2
′
�−
−
.
(2.3.9)
− � = 0. ∎
= 0.
−
(2.3.10)
tidak berkorelasi dengan
Bukti: Berdasarkan (2.3.4) diperoleh
⇔
�′
⇔
−
−
−
′
′
=0
� =0
� � = 0.
Selanjutnya dalam proposisi 2.3.2, persamaan
−
3�2 2�� 2= −
(2.3.6) ditunjukkan
2
−�
−� �− �
− �
′
estimasi tepi .
�=0
2
3
2
′
yaitu residual
� �+ �=0
(2.1), dapat dituliskan
2
′
+
−
(ii). Berdasarkan basis jarak pada persamaan
Δ2��
dalam (2.3.7) ke
Proposisi 3.3. Hubungan berikut benar
diperoleh
3
=
2
dan
diperoleh
(2.3.6). Berdasarkan turunan parsial Δ2��
�
(2.3.8)
Dengan mensubstitusi (2.3.6) ke dalam (2.3.9),
(i). Akan ditunjukkan benar untuk persamaan
Δ2��
3
⇔0=
adalah
− � = 0,
.
dalam (2.3.8), diperoleh
− � dan jumlahan (dan
juga mean) dari n residual tepi
′
=
Dengan mensubstitusi
Proposisi 2.3.2. Jumlahan (dan juga mean) dari
n residual pusat
(matriks variabel
independen). Selanjutnya berdasarkan sifat
diperoleh
�′ 3
(vektor
⇔
′
−
−
′
=0
� = 0.
Dengan demikian berdasarkan (2.3.11) dan
(2.3.7)
(2.3.12) diperoleh
2.
16
JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011
⇔
−
′
−
⇔
� �+
′
−
−
′
assessment, Fuzzy Sets and Systems 119,
187-203.
�=0
� �+ � =0
′
Chen, G. and T. T. Pham. 2001. Introduction to
fuzzy sets, fuzzy logic, and fuzzy control
systems, Boca Raton: CRC Press.
= 0. ∎
Coppi, R. 2008. Management of uncertainty in
statistical reasoning: The case of regression
analysis,
International
Journal
of
Approximate Reasoning 47, 284-305.
SIMPULAN
Berdasarkan uraian di atas, dapat ditarik
beberapa simpulan antara lain: (i) model regresi
Coppi, R. and P. D'Urso. 2003. Regression
analysis
with
fuzzy
informational
paradigm: a least squares approach using
membership function information, Int. J.
Pure Appl. Math. 8, no. 3, 279-306.
fuzzy dengan variabel dependen fuzzy simetris
merupakan perluasan model regresi klasik
dengan menambahkan model regresi linear
sederhana untuk model tepi, (ii) kriteria kuadrat
Coppi, R., P. D'Urso, P. Giordani, and A.
Santoro. 2006. Least squares estimation of
a linear regression model with LR fuzzy
response, Computational Statistics & Data
Analysis 51, 267-286.
terkecil diadopsi untuk mengestimasi parameter
dari model dengan meminimalkan kuadrat jarak
fuzzy antara variabel dependen terobservasi
dengan nilai teoritis yang berkorespondensi
∗
,
Coppi, R., M. A. Gil, and H. A. L. Kiers. 2006.
The fuzzy approach to statistical analysis,
Computational Statistics & Data Analysis
51, 1-14.
(iii) solusi iteratif dari model yang didapat
dengan menentukan turunan parsial fungsi jarak
terhadap parameter yang diestimasi merupakan
Coppi, R., P. Giordani, and P. D'Urso. 2006.
Component models for fuzzy data,
Psychometrika 71, no. 4, 733-761.
generalisasi solusi regresi klasik, dan (iv)
dibuktikan beberapa sifat solusi iteratif dari
model.
Selanjutnya
masih
Diamond, P. 1998. Fuzzy least squares,
Information Sciences 46, 141-157.
diperlukan
penyelidikan lebih lanjut berkaitan dengan
permasalahan kehidupan sehari-hari.
D'Urso, P. 2003. Linear regression analysis for
fuzzy/crisp input and fuzzy/crisp output
data, Computational Statistics & Data
Analysis 42, 47-72.
DAFTAR PUSTAKA
D'Urso, P. and T. Gastaldi. 2000. A leastsquares approach to fuzzy linear regression
analysis, Computational Statistics & Data
Analysis 34, 427-440.
Celmins, A. 1987. Multidimensional leastsquares fitting of fuzzy models, Math.
Model. 9, 669-690.
-------. 2002. An "orderwise" polynomial
regression procedure for fuzzy data, Fuzzy
Sets and Systems 130, 1-19.
Chang, P.T. and E. S. Lee. 1996. A generalized
fuzzy weighted least-squares regression,
Fuzzy Sets and Systems 82, 289-298.
D'Urso, P. and P. Giordani. 2003. Fitting of
fuzzy linear regression models with
multivariate response, Int. Math. J. 3, no.
6, 655-664.
sifat-sifat solusi model, serta pengembangan
dan aplikasi model regresi fuzzy ini dalam
Chang, Y.-H. O. and B. M. Ayyub. 2001.
Fuzzy regression methods-a comparative
-------. 2006. A weighted fuzzy c-means
clustering model for fuzzy data,
17
JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011
Zimmermann, H. J. 1991. Fuzzy set theory and
its applications, Boston: Kluwer Academic
Publisher.
Computational Statistics & Data Analysis
50, no. 6, 1496-1523.
D'Urso, P. and A. Santoro. 2006a. Fuzzy
clusterwise linear regression analysis with
symmetrical fuzzy output variable,
Computational Statistics & Data Analysis
51, 287-313.
-------. 2006b. Goodness of fit and variable
selection in the fuzzy multiple linear
regression, Fuzzy Sets and Systems 157,
2627-2647.
Giachetti, R. E. and R. E. Young. 1997. A
parametric representation of fuzzy
numbers and their arithmetic operators,
Fuzzy Sets and Systems 91, 185-202.
Kharisudin, I. and Subanar. 2009. Fuzzy
regression analysis with symmetrical fuzzy
dependent variable, The Proceeding of
IICMA 2009, ISBN: 978-602-96426-0-5,
pp 935-950.
Ma, M., M. Friedman, and A. Kandel. 1997.
General fuzzy least squares, Fuzzy Sets and
Systems 88, 107-118.
Shapiro, A. F. 2005. Fuzzy regression and the
term structure of interest rates revisited,
Unpublished paper, Penn State University.
Taheri, S. M. 2008. C-fuzzy numbers and a
dual of extension principle, Information
Sciences 178, 827-835.
Tanaka, H., S. Uejima, and K. Asai. 1982.
Linear regression analysis with fuzzy
model, IEEE Transactions on Systems,
Man and Cybernetics 12, no. 6, 903-907.
Wu, H. C. 2003. Fuzzy least squares estimators
in linear regression analysis for imprecise
input and output data, Computational
Statistics & Data Analysis 42, 203-217.
Yang, M.-S. and C.-H. Ko. 1996. On a class of
fuzzy c-numbers clustering procedures for
fuzzy data, Fuzzy Sets and Systems 84, 4960.
Zadeh, L. A. 1999. Fuzzy sets as a basis for a
theory of possibility, Fuzzy Sets and
Systems 100 Supplement, 9-34.
18