SOLUSI KUADRAT TERKECIL MODEL REGRESI FUZZY DENGAN VARIABEL DEPENDEN FUZZY SIMETRIS | Kharisudin | 7473 15767 1 SM

JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011

SOLUSI KUADRAT TERKECIL MODEL REGRESI FUZZY DENGAN
VARIABEL DEPENDEN FUZZY SIMETRIS
Iqbal Kharisudin
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Semarang
Email: iqbal_kh@staff.unnes.ac.id
ABSTRAK
Diketahui bahwa model regresi biasa digunakan untuk menganalisis data-data tegas. Pada kondisi
terdapat ketidakpastian (ketidaktepatan, ketidakjelasan) nilai-nilai variabel terobservasi, maka model
regresi fuzzy diperlukan. Pada makalah ini dibahas suatu model regresi fuzzy dengan variabel
dependen fuzzy simetris dan variabel independen tegas menggunakan pendekatan kuadrat terkecil.
Metode yang digunakan untuk menemukan model linear adalah meminimalkan fungsi jarak fuzzy
antara variabel terobservasi dengan estimasi variabel dependen atau nilai teoritis yang
berkorespondensi. Ditunjukkan bahwa solusi dari model ini merupakan generalisasi model regresi
klasik. Selanjutnya dibahas sifat-sifat berkaitan dengan solusi model yang diperoleh.
Kata kunci: model pusat, model tepi, jarak fuzzy, solusi iteratif.
ABSTRACT
It is known that the regression model used to analyze the crisp data. In the condition that there
is uncertainty (imprecision, vagueness) on values of observed variables, then the fuzzy regression
model is required. In this paper discussed a fuzzy regression model with symmetrical fuzzy dependent

variable and crisp independent variables using the least squares approach. The method used to find
the linear model is to minimize the distance function between observed fuzzy variables with the
estimation dependent variable or the corresponding theoretical value. It is shown that the solution of
this model is a generalization of the classical regression model. Further discussion is about the
properties of solution of the model.
Keyword: center model, spread model, fuzzy distance, iterative solution.

mungkin,

PENDAHULUAN
Penalaran

statistik

dipengaruhi

oleh

(statistical
beberapa


reasoning)

jenis

dan

(3)

ketidakpastian

(ketidaktepatan, ketidakjelasan)

nilai-nilai

variabel terobservasi (Coppi, 2008).

sumber

Dalam


ketidakpastian, seperti: keacakan (randomness),

paradigma

statistik

tradisional,

ketidakjelasan

ketidakpastian (1) dan (2) telah banyak

(vagueness), ketidaktahuan sebagian (partial

ditangani dengan sangat memuaskan. Untuk

ignorance), dan sebagainya. Dalam konteks

menjawab permasalahan ketidakpastian (3),


analisis

telah banyak para peneliti yang mencoba

ketidaktepatan

(imprecision),

regresi,

terdapat

beberapa

aspek

ketidakpastian yang sering diperhatikan, yaitu

mengusulkan


ketidakpastian berkaitan dengan: (1) hubungan

alternatif.

antara variabel dependen dengan variabel

penelitian, pada dekade terakhir, telah banyak

independen,

data

penelitian yang berupaya mengembangkan

terobservasi dengan "semesta" data yang

koalisi antara teori himpunan fuzzy dan teori

(2)


hubungan

antara

10

berbagai

Seiring

metode

dengan

sebagai

perkembangan

JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011


statistik. Tujuan yang hendak dicapai di

variabel independen tegas. Selanjutnya dibahas

antaranya adalah untuk: (1) memperkenalkan

bentuk solusi model dengan pendekatan kuadrat

permasalahan analisis data baru berkaitan

terkecil dan beberapa bukti sifat-sifat dari

dengan relasional fuzzy, (2) membangun model

solusi model.

formal
dengan


yang

randomness

menggabungkan

fuzziness,

(3)

mengembangkan

KONSEP FUZZY UNTUK ANALISIS

metodologi statistik univariate dan multivariate

REGRESI

dalam menangani data bernilai fuzzy, dan (4)


Untuk merepresentasikan ketidakpastian

menyertakan konsep fuzzy dalam membantu

dalam permasalahan kehidupan diperlukan

menyelesaikan

statistik

konsep fuzzy yang diperkenalkan oleh L. A.

tradisional dengan data non-fuzzy (Coppi dkk.,

Zadeh pada 1965 dan dengan konsep bilangan

2006).

fuzzy (Zimmermann, 1991; Taheri, 2008). Pada


permasalahan

Secara umum terdapat dua pendekatan

dasarnya kita semua sering menggunakan

yang berbeda dalam analisis regresi fuzzy.

konsep fuzzy, aturan samar, dan ketidaktepatan

Pertama

konsep

informasi untuk mengambil keputusan dalam

possibilistic yang pertama kali diperkenalkan

situasi yang tidak menentu. Oleh karena itu


oleh Tanaka dkk. (1982). Kedua adalah

model-model komputasional dari sistem real

pendekatan berbasis kuadrat terkecil, yaitu

perlu juga bisa mengenali, merepresentasikan,

perluasan metode kuadrat terkecil dalam setting

memanipulasi,

fuzzy. Kedua pendekatan ini mempunyai

menggunakan ketidakpastian (Bezdek (1993)

perbedaan dalam metode optimasi fungsional

dalam Coppi dkk., 2006). Kelas umum dari

untuk membangun model regresi "terbaik".

data fuzzy dinyatakan dengan (selanjutnya

pendekatan

berbasis

menginterpretasikan,

dan

Salah satu pendekatan kuadrat terkecil

disebut dengan) data fuzzy LR. Data fuzzy LR

dalam analsis regresi fuzzy diusulkan oleh

dapat dinyatakan dengan matriks data fuzzy

D'Urso dkk. Metode yang digunakan untuk

(Coppi, 2006).

menemukan

model

meminimalkan

fungsi

linear
jarak

adalah

fuzzy antara

Himpunan dan Bilangan Fuzzy

variabel terobservasi dan variabel output yang

Teori himpunan tegas didasarkan pada logika

didefinisikan dalam suatu ruang metrik tertentu.

dwi nilai (two-valued logic) sebagai fungsi

Tulisan yang membahas masalah ini di

karakteristik yang memetakan setiap elemen

antaranya D'Urso dan Gastaldi 2000, 2002,

hanya pada dua nilai yaitu 0 dan 1. Teori

Coppi dan D'Urso 2003, D'Urso 2003, D'Urso

himpunan fuzzy didasarkan pada logika multi

dan Giordani 2003, D'Urso dan Giordani 2006,

nilai (multi-valued logic) sehingga fungsi

Coppi dkk. 2006, D'Urso dan Santoro 2006a,

karakteristiknya memetakan nilai-nilai kedalam

2006b. Dalam tulisan ini dikaji model regresi

suatu range tertentu yang menunjukkan derajat

dengan variabel dependen fuzzy simetris dan

keanggotaan setiap anggota. Dalam konteks ini,
11

JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011

∈ (0,1] adalah konveks, yaitu untuk setiap

fungsi karakteristik disebut dengan fungsi
keanggotaan (membership function) dan range

1, 2

adalah interval [0,1]. Fungsi keanggotaan



dalam derajat keanggotaan dari 0 sampai

Himpunan

fuzzy



+ 1−

≥ min

2



1

,



2

.

real, dan fungsi keanggotaan himpunan fuzzy
adalah kontinu, maka himpunan level- , � ,

dengan 1, yaitu:
→ 0,1 .

1

∈ [0,1], berlaku

Catatan 1.1.2. Jika Ω = ℜ himpunan bilangan

memetakan setiap anggota himpunan fuzzy ke

�: Ω

∈ � dan

dari himpunan fuzzy konveks adalah interval


dalam

dapat

tertutup.

dinyatakan sebagai pasangan terurut dari
sebarang elemen x dan nilai keanggotaannya,

Definisi 1.1.3. (Taheri, 2008, Giachetti dan

yaitu:

Young, 1997). Bilangan fuzzy

Untuk suatu

�=
0

,

∈ Ω, nilai

derajat keanggotaan
besar nilai



keanggotaan



0

0



∈Ω .

0

himpunan fuzzy normal dan konveks pada garis
real ℜ yang memenuhi (i) terdapat tepat satu

menyatakan

di dalam �. Semakin

0

∈ ℜ dengan

0

= 1 dan (ii)

bersifat

upper semi-continuous.

, maka semakin tinggi derajat
di dalam �. Jika fungsi

0

adalah

Bentuk khusus dari representasi bilangan

keanggotaan hanya menggunakan nilai 0 dan 1,

fuzzy yang dapat meningkatkan efisiensi

maka himpunan fuzzy menjadi himpunan tegas

komputasional adalah bilangan fuzzy tipe LR.

(crisp set) sehingga himpunan fuzzy merupakan

Bilangan fuzzy tipe LR paling banyak dan

generalisasi dari himpunan tegas. Derajat

mudah digunakan untuk mendeskripsikan data.

keanggotaan merupakan ukuran subjektif yang
bergantung pada perbedaan individu dalam

Definisi 1.1.4. (Zimmermann, 1991). Misalkan

merepresentasikan

L (dan R) adalah fungsi berbentuk turun dari

konsep

yang

abstrak.

ℜ+ ke 0,1 dengan � 0 = 1; �

Konsep yang sama bisa jadi diinterpretasikan

setiap

dengan cara yang berbeda bergantung pada

> 0; �

� +∞ = 0).

Bilangan fuzzy didefinisikan berdasarkan
konsep himpunan fuzzy. Bilangan fuzzy dapat

untuk

didefinisikan

keanggotaan

secara

umum

dengan

,

menggunakan konsep himpunan fuzzy normal
dan konveks maupun secara khusus dengan

=

menggunakan fungsi keanggotaan.
Definisi 1.1.1. (Chen dan Pham, 2001).

dengan

Himpunan fuzzy � di dalam Ω dikatakan

konveks jika dan hanya jika setiap �

> 0 untuk setiap

� 1 = 0 atau (�

konteksnya.

< 1 untuk
< 1;

> 0 untuk setiap

dan

disebut bilangan fuzzy ��1 jika

> 0,

>0

dalam

ℜ,

didefinisikan


,
untuk





,

untuk

disebut nilai mean dari

fungsi

<

,



,

dan

dan

masing-masing disebut tepi kiri dan tepi

untuk
12

JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011

kanan. Bilangan fuzzy
=

, ,

Teorema

dinyatakan dengan

Teorema

antara dua bilangan fuzzy simetris dan sifat

tersebut.

dan

Ko,

1996).

berdasarkan

definisi

��� ℜ

Misalkan

1.2.3.

(Yang

dan

Ko,

1996).

��� ℜ , ��� adalah ruang metrik complete.

Pada bagian ini dikemukakan definisi jarak

metrik

(Yang

��� ℜ , ��� adalah ruang metrik.

�� .

Jarak dan Ruang Metrik Fuzzy

ruang

1.2.2.

MODEL REGRESI FUZZY

jarak

Analisis regresi linear dengan model fuzzy

menyatakan

himpunan semua bilangan fuzzy simetris.

pertama kali diusulkan oleh Tanaka dkk. pada

Definisi 1.2.1. (Yang dan Ko, 1996). Misalkan

tahun 1982. Berdasarkan metode ini, koefisien

=

,

,

=

dan

��

,

,

regresi merupakan bilangan fuzzy yang dapat

��

dinyatakan sebagai interval dengan fungsi

adalah bilangan fuzzy �� di dalam ��� ℜ .

Jarak antara dua bilangan fuzzy

keanggotaan. Perkembangan teori fuzzy pada

dan

analisis regresi sejak dikemukakan oleh Tanaka

didefinisikan dengan
2
���

,

=
+

=

1 −1

0

d .





+

dengan

dkk. sangat pesat. Referensi yang cukup

2



1 −1

0

+�

d





�=

Pendekatan lain yang juga banyak diteliti

dan �

fuzzy. Pendekatan ini telah banyak diteliti

dan

adalah kuadrat terkecil dalam analisis regresi

dalam dua dekade terakhir, di antaranya oleh
Celmins (1987), Diamond (1988), Chang dan
Lee (1996), Ma dkk. (1997), dan Wu (2003).

dan � memiliki peran ganda,

Penelitian-penelitian dalam konteks tersebut

yaitu berhubungan dengan variabilitas fungsi

sangat beragam dan masih menjadi topik

keanggotaan dan menurunkan penekanan pada

penelitian yang berkembang.

tepi, karena pada kenyataannya bobot pusat

Ide dasar analisis regresi fuzzy yang

lebih besar daripada bobot tepi. Selanjutnya

dikembangkan

pada definisi 1.2.1, jika kedua bilangan adalah
=

=�=

1 −1

0

,

=

dan

2
���

variabel dependen fuzzy melalui regresi linear
sederhana.

,

=3



+2

2



pusat

selanjutnya secara simultan memodelkan tepi

,
2

memodelkan

dengan mengadopsi model regresi klasik,

yaitu:
2

adalah

(center) dari variabel dependen fuzzy simetris

, dan

d ), maka diperoleh jarak

antara dua bilangan fuzzy simetris

perkembangan

dan Ayyub (2001) dan Shapiro (2005).

keanggotaan terhadap jarak antara dua bilangan

bilangan fuzzy simetris (

dengan

2

menyatakan pengaruh bentuk dari fungsi

fuzzy. Nilai

berkaitan

metode regresi fuzzy diantaranya seperti Chang

+�

Pada definisi 1.2.1 di atas,

lengkap

2

Hubungan

antara

dependen fuzzy simetris) dengan

.

(variabel
1, … ,



(variabel independen tegas) dinyatakan dengan
13

JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011

model (D’Urso dan Gastaldi, 2000; D’Urso dan

yang berkorespondensi

Santoro, 2006b):

melalui model (2.0.1). Untuk tujuan ini,
=�+ ,

− =�−

dimana

fuzzy ��, yaitu:

�;

+

dengan � = � dan

Δ2�� =

�;

= �� + �,



×

=3

, � masing-

;

fungsi

×1 ; ,

jenis

×1 ;

�+1 ×1 ;

b

dan

� , dan





.

variabel

fuzzy

(lihat

fungsi

keanggotaan

bilangan

fuzzy

pada dasarnya merupakan

penyesuaian tepi kiri dan tepi kanan pada saat
perhitungan batas bawah dan batas atas

d

bilangan fuzzy

koefisien/parameter regresi untuk model tepi;
serta ,





2

2

berkaitan dengan bentuk

jenis

simetris, nilai

vektor koefisien/parameter regresi untuk
berukuran

dari

−�

+2

2

− �+

+


−�

− �−

Kharisudin dan Subanar, 2009). Berdasarkan

masing-masing adalah vektor tepi terobservasi
dan vektor tepi interpolasi berukuran



+

Nilai parameter

masing adalah vektor pusat terobservasi dan
vektor pusat interpolasi berukuran

2

+

1, � matriks berukuran �+1 berisi vektor
1, … ,

−�

(2.0.1)

adalah vektor 1-an berukuran

dan variabel input

yang didefinisikan

digunakan konsep jarak Euclid untuk bilangan

+

+ =�+



persamaan (2.1)

adalah vektor residual.

�,




� = 1,2, … ,

. Pada

menyatakan bobot yang

berbeda antara pusat dengan tepi (kiri maupun

Model regresi tersebut di bangun atas tiga

kanan). Dalam estimasi parameter regresi, nilai

model linear. Pertama interpolasi pusat dari

didefinisikan secara subjektif sesuai dengan

observasi fuzzy, kedua dan ketiga adalah model

bobot pusat dan tepi variabel fuzzy dengan

untuk batas bawah (pusat – tepi) dan model

memperhatikan bentuk spesifik dari fungsi

untuk batas atas (pusat + tepi) yang dibangun

keanggotaan yang memberikan karakter setiap

berdasarkan model pertama. Dalam kasus

datum fuzzy. Secara umum bobot tersebut

variabel output adalah simetris, maka tepi kiri

selalu kurang dari satu, dengan alasan bahwa

sama dengan tepi kanan, sehingga model kedua

bobot untuk tepi selalu kurang dari bobot untuk

dan model ketiga mempunyai estimasi tepi

pusat variabel fuzzy.
Berdasarkan model (2.0.1), basis jarak (2.1)

yang sama.

dapat ditulis menjadi
Fungsi Objektif
Berdasarkan kriteria kuadrat terkecil, parameter
dari

model

(2.0.1)

diestimasi

Δ2�� = 3

dengan

meminimalkan kuadrat jarak antara variabel
dependen terobservasi

dengan nilai teoritis
14



−2

2

+2
−2







� +


�′ �

− 2 ′� �

�+



� ′ � �2

+ 2 ′ � �� + �2 .

JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011

Dengan demikian fungsi objektif kuadrat

Sifat Solusi Kuadrat Terkecil dari Model

terkecil menjadi

Pada bagian ini akan dibuktikan sifat-sifat

min

,�,�

3





−2



� +

�′ �

solusi kuadrat terkecil iteratif (2.2.1) s.d. (2.2.3)

+

2 2 ′ −2 ′� �−2 ′ �+ ′�′� �2+

dari model (2.0.1). Berkaitan dengan model

(2.1.1)

masing-masing dinyatakan

2 ′� ��+ �2.

(2.0.1), selanjutnya estimasi kuadrat terkecil
iteratif dari � dan

dengan � = � dan

= �� + �.

Proposisi 2.3.1. Hubungan berikut benar

Solusi Kuadrat Terkecil Iteratif

− � ′� = 0

Untuk menentukan solusi masalah (2.1.1),
dicari turunan parsial Δ2�� terhadap parameter a,

−�

b, dan d untuk nilai sama dengan nol, sehingga

yaitu

diperoleh sistem persamaan sebagai berikut.

dengan estimasi pusat �.

= 3 + 2 2 �2
�=

�=

−1

2 2 �− ��.


�′ �

−1 ′

−1 ′

�′ �

�′

−1

�′ 3

Bukti:

+

Δ2��

mempunyai rank penuh. Prosedur optimisasi
algoritma

turunan

dijamin diperolehnya minimum global, hanya
minimum lokal saja. Dengan demikian, sangat
disarankan untuk menggunakan algoitma iterasi
dengan beberapa nilai awal untuk mengetahui

Δ2��

parsial

(2.2.2)
(2.2.3)

=

iteratif

berdasarkan persamaan (2.2.1) - (2.2.3) tidak

berkorelasi

seperti yang termuat
dalam (2.2.1)
(2.2.1)

⇔ 3 −2� ′

diperoleh dengan mengasumsikan bahwa X

menggunakan

tidak

diperoleh

Solusi iteratif dari sistem persamaan di atas

dengan

Berdasarkan

terhadap

− � .

−� � .

residual

(2.3.1)

+ 2� ′ �
+2

2

−2� ′ � + 2� ′ � � 2

+ 2� ′ �� =

⇔ �′ 3

− � + 2 2�

−� �− �

⇔ �′ 3

− � + 2 2�



=

�+1

=

�+1 .

(2.3.2)

stabilitas solusi (D’Urso dan Santoro, 2006a).
Selanjutnya persamaan (2.3.2) di atas dapat

Selanjutnya dapat dilihat bahwa pada kasus
variabel dependen tegas (crisp) yaitu =
� = � = 0 maka estimasi

ditulis

dan

yang termuat

dalam (2.2.1) akan menghasilkan solusi kuadrat
terkecil biasa yaitu

�′ �

−1



� ′ . Dengan

demikian model dan solusi pada sistem

�′ 3

⇔ �′ 3

persamaan di atas merupakan generalisasi dari
model regresi linear klasik, jika variabel

− � + 2 2�

− � + 2 2�





=



= 0.

�+

(2.3.3)

Berdasarkan turunan parsial Δ2�� terhadap �

dependen memuat ketidakpastian.

yang termuat dalam (2.2.2) diperoleh

15

JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011

⇔2


Δ2��

2



⇔ �′

Dalam hal ini, regresi fuzzy dengan

=0

variabel dependen fuzzy ditransformasi ke








−2 � + 2 � � � + 2 � � = 0


�′ � � =


Dengan

�′ −



= 0.

mensubstitusi

�′ �

dalam masalah regresi biasa antara
variabel dependen) dan

(2.3.4)

= 0 ⇔ �′

−�

ke

(2.3.4)

estimasi regresi biasa, diketahui bahwa untuk

(2.3.3),

vektor optimal

diperoleh


−� =0⇔

− � ′ � = 0. ∎



nol, yaitu




Bukti:







⇔3

(2.3.5)

= 0.

(2.3.6)

3

terhadap � yang termuat dalam (2.2.3),
=0⇔−













+

=





=

−�


3
2

2



�� −



2

3

=


3� −




2

2



+

2







2

2

3� +


2

2 2� �

−�

= 0. ∎

= −2

−�

2



=0⇔





2



2 2� �

2



�−



.
(2.3.9)

− � = 0. ∎

= 0.


(2.3.10)
tidak berkorelasi dengan

Bukti: Berdasarkan (2.3.4) diperoleh



�′













=0
� =0

� � = 0.

Selanjutnya dalam proposisi 2.3.2, persamaan



3�2 2�� 2= −

(2.3.6) ditunjukkan

2

−�
−� �− �
− �



estimasi tepi .

�=0

2

3
2



yaitu residual

� �+ �=0

(2.1), dapat dituliskan
2



+



(ii). Berdasarkan basis jarak pada persamaan

Δ2��

dalam (2.3.7) ke

Proposisi 3.3. Hubungan berikut benar

diperoleh

3
=
2

dan

diperoleh

(2.3.6). Berdasarkan turunan parsial Δ2��



(2.3.8)

Dengan mensubstitusi (2.3.6) ke dalam (2.3.9),

(i). Akan ditunjukkan benar untuk persamaan

Δ2��

3

⇔0=

adalah

− � = 0,

.

dalam (2.3.8), diperoleh

− � dan jumlahan (dan

juga mean) dari n residual tepi



=

Dengan mensubstitusi

Proposisi 2.3.2. Jumlahan (dan juga mean) dari
n residual pusat

(matriks variabel

independen). Selanjutnya berdasarkan sifat

diperoleh
�′ 3

(vektor











=0
� = 0.

Dengan demikian berdasarkan (2.3.11) dan
(2.3.7)
(2.3.12) diperoleh

2.
16

JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011











� �+








assessment, Fuzzy Sets and Systems 119,
187-203.

�=0

� �+ � =0


Chen, G. and T. T. Pham. 2001. Introduction to
fuzzy sets, fuzzy logic, and fuzzy control
systems, Boca Raton: CRC Press.

= 0. ∎

Coppi, R. 2008. Management of uncertainty in
statistical reasoning: The case of regression
analysis,
International
Journal
of
Approximate Reasoning 47, 284-305.

SIMPULAN
Berdasarkan uraian di atas, dapat ditarik
beberapa simpulan antara lain: (i) model regresi

Coppi, R. and P. D'Urso. 2003. Regression
analysis
with
fuzzy
informational
paradigm: a least squares approach using
membership function information, Int. J.
Pure Appl. Math. 8, no. 3, 279-306.

fuzzy dengan variabel dependen fuzzy simetris
merupakan perluasan model regresi klasik
dengan menambahkan model regresi linear
sederhana untuk model tepi, (ii) kriteria kuadrat

Coppi, R., P. D'Urso, P. Giordani, and A.
Santoro. 2006. Least squares estimation of
a linear regression model with LR fuzzy
response, Computational Statistics & Data
Analysis 51, 267-286.

terkecil diadopsi untuk mengestimasi parameter
dari model dengan meminimalkan kuadrat jarak
fuzzy antara variabel dependen terobservasi
dengan nilai teoritis yang berkorespondensi



,

Coppi, R., M. A. Gil, and H. A. L. Kiers. 2006.
The fuzzy approach to statistical analysis,
Computational Statistics & Data Analysis
51, 1-14.

(iii) solusi iteratif dari model yang didapat
dengan menentukan turunan parsial fungsi jarak
terhadap parameter yang diestimasi merupakan

Coppi, R., P. Giordani, and P. D'Urso. 2006.
Component models for fuzzy data,
Psychometrika 71, no. 4, 733-761.

generalisasi solusi regresi klasik, dan (iv)
dibuktikan beberapa sifat solusi iteratif dari
model.

Selanjutnya

masih

Diamond, P. 1998. Fuzzy least squares,
Information Sciences 46, 141-157.

diperlukan

penyelidikan lebih lanjut berkaitan dengan

permasalahan kehidupan sehari-hari.

D'Urso, P. 2003. Linear regression analysis for
fuzzy/crisp input and fuzzy/crisp output
data, Computational Statistics & Data
Analysis 42, 47-72.

DAFTAR PUSTAKA

D'Urso, P. and T. Gastaldi. 2000. A leastsquares approach to fuzzy linear regression
analysis, Computational Statistics & Data
Analysis 34, 427-440.

Celmins, A. 1987. Multidimensional leastsquares fitting of fuzzy models, Math.
Model. 9, 669-690.

-------. 2002. An "orderwise" polynomial
regression procedure for fuzzy data, Fuzzy
Sets and Systems 130, 1-19.

Chang, P.T. and E. S. Lee. 1996. A generalized
fuzzy weighted least-squares regression,
Fuzzy Sets and Systems 82, 289-298.

D'Urso, P. and P. Giordani. 2003. Fitting of
fuzzy linear regression models with
multivariate response, Int. Math. J. 3, no.
6, 655-664.

sifat-sifat solusi model, serta pengembangan
dan aplikasi model regresi fuzzy ini dalam

Chang, Y.-H. O. and B. M. Ayyub. 2001.
Fuzzy regression methods-a comparative

-------. 2006. A weighted fuzzy c-means
clustering model for fuzzy data,
17

JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011

Zimmermann, H. J. 1991. Fuzzy set theory and
its applications, Boston: Kluwer Academic
Publisher.

Computational Statistics & Data Analysis
50, no. 6, 1496-1523.
D'Urso, P. and A. Santoro. 2006a. Fuzzy
clusterwise linear regression analysis with
symmetrical fuzzy output variable,
Computational Statistics & Data Analysis
51, 287-313.
-------. 2006b. Goodness of fit and variable
selection in the fuzzy multiple linear
regression, Fuzzy Sets and Systems 157,
2627-2647.
Giachetti, R. E. and R. E. Young. 1997. A
parametric representation of fuzzy
numbers and their arithmetic operators,
Fuzzy Sets and Systems 91, 185-202.
Kharisudin, I. and Subanar. 2009. Fuzzy
regression analysis with symmetrical fuzzy
dependent variable, The Proceeding of
IICMA 2009, ISBN: 978-602-96426-0-5,
pp 935-950.
Ma, M., M. Friedman, and A. Kandel. 1997.
General fuzzy least squares, Fuzzy Sets and
Systems 88, 107-118.
Shapiro, A. F. 2005. Fuzzy regression and the
term structure of interest rates revisited,
Unpublished paper, Penn State University.
Taheri, S. M. 2008. C-fuzzy numbers and a
dual of extension principle, Information
Sciences 178, 827-835.
Tanaka, H., S. Uejima, and K. Asai. 1982.
Linear regression analysis with fuzzy
model, IEEE Transactions on Systems,
Man and Cybernetics 12, no. 6, 903-907.
Wu, H. C. 2003. Fuzzy least squares estimators
in linear regression analysis for imprecise
input and output data, Computational
Statistics & Data Analysis 42, 203-217.
Yang, M.-S. and C.-H. Ko. 1996. On a class of
fuzzy c-numbers clustering procedures for
fuzzy data, Fuzzy Sets and Systems 84, 4960.
Zadeh, L. A. 1999. Fuzzy sets as a basis for a
theory of possibility, Fuzzy Sets and
Systems 100 Supplement, 9-34.

18