13 8 induksi deduksi web p4tk2

BENARKAH GURU MATEMATIKA SEBAIKNYA MENGAJAR SECARA
INDUKTIF DAN BUKAN SECARA DEDUKTIF?
Fadjar Shadiq, M.App.Sc

Widyaiswara PPPPTK Matematika
 (fadjar_p3g@yahoo.com & www.fadjarp3g.wordpress.com)
Merupakan suatu kenyataan yang tidak dapat dibantah bahwa teori IPA banyak
disimpulkan   menggunakan   penalaran   induktif   (induksi).   Sebagai   contoh,   dari
beberapa   kasus   khusus   seperti   besi,   aluminium,   seng   dan   tembaga   yang   jika
dipanasi akan selalu memuai maka dapat ditarik suatu kesimpulan yang bersifat
umum   (general)   yang   dikenal   dengan   suatu   teorema,   yaitu   semua   logam   jika
dipanasi akan memuai. Di samping itu, berbeda dengan IPA, matematika sudah
dikenal   sejak   zaman   Euclides   bersifat   deduktif   aksiomatis.   Bangunan
matematika   disusun   oleh   suatu   dasar   atau   pondasi   yang   kokoh   berupa
kumpulan   sifat   pangkal   (aksioma).   Jadi,   aksioma   adalah   semacam   dalil   atau
teorema yang kebenarannya tidak perlu dibuktikan namun akan dijadikan dasar
untuk membuktikan dalil atau teorema matematika selanjutnya secara deduktif.
Hal seperti ini tidak dikenal di IPA.
Berkait dengan induksi dan deduksi ini, pada suatu pertemuan, penulis pernah
menyatakan   tentang   adanya   suatu   kecenderungan   baru   (the   newest  trend)
bahwa   proses   pembelajaran   matematika   di   kelas   sudah   dan   akan   lebih

mengarah ke induktif dari hanya murni deduktif. Beberapa teman sepertinya ada
yang   tidak   menyetujui   peryataan   tersebut   meskipun   tidak   dilontarkan   secara
jelas, namun hanya berupa gumanan saja. Mungkin saja penulis dianggap salah
ngomong.   Karenanya   artikel   ini   disusun   dengan   maksud   untuk   menjelaskan
secara umum bahwa pernyataan penulis tadi tidak salah. Meskipun demikian,
penulis   akan   tetap   menghargai   setiap   pendapat   yang   berbeda   dengannya.
Harapannya,   pendapat   yang   berbeda   tersebut   dapat   dipublikasikan   juga   di
Limas sehingga akan terjadi saling pengertian dan saling melengkapi di antara
kedua   pendapat   tersebut.   Itupun   jika   memang   benar   ada   perbedaan.   Namun,
mudah­mudahan   saja   tidak   ada   perbedaan   di   antara   kita.   Berikut   ini   akan
dijelaskan   secara   lebih   terinci   beberapa   alasan   yang   mendasari   pernyataan
tersebut, dimulai dari alasan tentang  pengertian matematika, diikuti pendapat
Polya dan Lakatos yang sama­sama akan menunjukkan pentingnya para siswa
belajar secara induktif dan tidak hanya belajar secara deduktif.
Pengertian Matematika
Courant   &   Courant   pada   1981   menulis   buku   teks   matematika   yang   sangat
terkenal   untuk   mahasiswanya   dengan   judul:   “What   is   Mathematics”.   Buku
1

tersebut tidak membahas secara khusus tentang apa itu matematika. Ternyata,

jawaban   untuk   pertanyaan   ‘Apa   sih   Matematika   itu?’   tidaklah   semudah   yang
dibayangkan. Jika Anda yang mendapat pertanyaan seperti itu, lalu apa jawaban
Anda? De Lange (2005:8) seorang pakar pendidikan matematika dari Freudenthal
Institute (FI), suatu lembaga di Universitas Utrecht yang sangat terkenal dengan
Realistic  Mathematics  Education  (RME) menyatakan:  “‘What  is  mathematics?’  is
not a simple question to answer.” 
Faktanya, materi (content) yang dibahas matematika pada tahun 1900 jelas­jelas
akan berbeda dengan materi matematika pada tahun 2008. De Lange (2005:8)
mencatat   ada   sekitar   60   sampai   70   cabang   matematika   yang   berbeda.   Tidak
hanya itu, kebutuhan (needs) para siswa terhadap matematika pada tahun 1900
akan sangat berbeda dengan kebutuhan para siswa terhadap matematika pada
saat sekarang. Pada tahun 1900­an komputer dan kalkulator belum ada. Yang
ada   waktu   itu   hanyalah   mistar   hitung.   Hal   inilah   yang   akan   menyebabkan
terjadinya   perubahan   definisi   matematika,   pembelajarannya,   dan   tujuan
pembelajaran   matematika   di   kelas.   Jadi,   tujuan   dan   proses   pembelajaran
matematika di kelas akan selalu berubah karena harus menyesuaikan dengan
perubahan   waktu   dan   tuntutan   perubahan   kebutuhan   siswa   terhadap
matematika. 
Belasan tahun lalu, NRC (National Research Council, 1989:1) dari Amerika Serikat
telah menyatakan pentingnya Matematika dengan pernyataan berikut: “

Mathematics is the key to opportunity.”  Matematika adalah kunci ke arah
peluang­peluang.   Masih   menurut  NRC,   bagi   seorang   siswa   keberhasilan
mempelajarinya   akan   membuka   pintu   karir   yang   cemerlang.   Bagi   para
warganegara, matematika akan menunjang pengambilan keputusan yang tepat.
Bagi suatu negara, matematika akan menyiapkan warganya untuk bersaing dan
berkompetisi   di   bidang   ekonomi   dan   teknologi.   Meskipun   demikian,   ada
pengakuan   tulus   juga   dari   para   pakar   pendidikan   matematika   (NRC,  1989:3)
bahwa sesungguhnya kemampuan membaca akan jauh lebih penting dan lebih
mendasar dari matematika.
Kecenderungan   pada   saat   ini   menunjukkan   bahwa   definisi   matematika   lebih
dikaitkan   dengan   kemampuan   berpikir   yang   digunakan   para   matematikawan.
Karena itulah, NRC (1989:31) menyatakan dengan singkat bahwa: “Mathematics
is   a   science   of   patterns   and   order.”   Artinya,   matematika   adalah   ilmu   yang
membahas   pola   atau   keteraturan   (pattern)  dan   tingkatan   (order).   De   Lange
(2005:8) menyatakan hal yang sama: “Mathematics could be seen as the language
that   describes   patterns   –   both   patterns   in   nature   and   patterns   invented   by   the
human mind.” Jelaslah sekarang bahwa matematika dapat dilihat sebagai bahasa
yang   menjelaskan   tentang   pola;   baik   pola   di   alam   dan   maupun   pola   yang
ditemukan melalu pikiran. 
Masih   menurut   De   Lange   (2005:8);   pola­pola   pada   matematika   tersebut   bisa

berbentuk   real  (nyata)  maupun  berbentuk   imajinasi,   dapat   dilihat   atau   hanya
dalam bentuk mental, statis atau dinamis, kualitatif atau kuantitatif, asli dan
nyata   yang   berkait   dengan   kehidupan   nyata   sehari­hari   atau   tidak   lebih   dari
hanya   sekedar   untuk   keperluan   rekreasi.   Hal­hal   tersebut   dapat   muncul   dari
lingkungan sekitar, dari kedalaman ruang dan waktu, atau dari hasil pekerjaan
2

pikiran   insani.   Formulasi   definisi   seperti   yang   dinyatakan  NRC  maupun   De
Lange   menunjukkan   bahwa   langkah   paling   tepat   mempelajari   pola   atau
keteraturan   adalah   dengan   menggunakan   penalaran   induktif;   di   mana
pembelajarannya   dimulai   dengan   contoh­contoh   khusus,   diikuti   dengan
keteraturan­ keteraturan yang ada. Agar lebih jelas, berikut ini akan dipaparkan
pendapat   Polya   maupun   Lakatos   yang   akan   menunjukkan   pentingnya
memfasilitasi siswa untuk belajar secara induktif.
Pendapat Polya
George Polya  (1973:  VII)  di dalam  bukunya  yang  sangat terkenal  dan  menjadi
buku  acuan tentang  pemecahan  masalah,  yaitu  ‘How to Solve  It’  menyatakan:
“Yes, mathematics has two faces; it is the rigorous science of Euclid but it is also
something   else.   Mathematics   presented   in   the   Euclidean   way   appears   as   a
systematic,   deductive   science;   but   mathematics   in   the   making   appears   as   an

experimental, inductive science.”  Pendapat   Polya  ini  telah menunjukkan  bahwa
matematika memiliki dua sisi. Pada satu sisinya matematika sebagai hasil karya
Euclides merupakan ilmu yang eksak, namun pada sisi yang lain, sesungguhnya
matematika memiliki hal lain. Matematika yang disajikan dalam bentuk seperti
hasil   kerja   Euclides   muncul   sebagai   ilmu   yang   sistematis   dan   deduktif.   Akan
tetapi, pada waktu proses ditemukan atau dikembangkan; matematika muncul
sebagai   ilmu   yang   mengunakan   sifat   eksperimen   dan   induktif.   Hal   ini
menunjukkan pengakuan Polya tentang pentingnya penalaran induktif (induksi)
dalam   pengembangan   matematika   dan   secara   tersirat   pada   proses
pembelajarannya.   Berikut   ini   adalah   penjelasannya   secara   lebih   rinci,
berdasarkan pengalaman penulis.
Ketika penulis sedang mengikuti kuliah dan untuk pertama kalinya mempelajari
turunan (differensial), maka yang dilakukan sang dosen adalah langsung secara
deduktif menyatakan definisi turunan adalah:
f ' ( x )  lim

x  0

f ( x  x )  f ( x )
x

Hal yang sama terjadi ketika proses pembelajaran teorema limit yang langsung
dimulai   dengan   definisi.   Meskipun   Anda   seorang   guru,   jika   Anda   mempelajari
limit langsung dengan definisi, apakah Anda langsung memahaminya? Hal yang
sama   akan   terjadi   ketika   proses   pembelajaran   Aljabar,   di   mana   prosesnya
langsung   dimulai   dari   beberapa   sifat   penjumlahan   dan   perkalian   seperti   sifat
tertutup, komutatif, asosiatif, adanya unsur identitas, invers dan sifat distributif
perkalian   terhadap   penjumlahan   dan   diikuti   dengan   membuktikan   beberapa
rumus atau teorema seperti a.(b) = (ab).  Pada proses pembelajaran seperti itu
teorema   matematika   telah   dibahas   sebagai   ilmu   yang   eksak,   sistematis   dan
deduktif.   Mahasiswa   tidak   mengetahui   darimana   dan   bagaimana   rumus   itu
didapat. 
Padahalnya,   pada   waktu   proses   ditemukan   atau   dikembangkannya   teorema
turunan  adalah tidak seperti itu, telah terjadi perjuangan yang sangat menarik
untuk   mendapatkannya.   Teorema   peluang   misalnya   ditemukan   secara   tidak
sengaja dari arena judi. Menurut buku yang penulis pernah baca namun lupa
3

judulnya,   penemuan   teorema   awal   differensial   ditemukan   ketika   seseorang
mencatat   jarak   yang   ditempuh   suatu   benda   (partikel)   yang   dilepaskan   dari

puncak menara miring Pisa. Ternyata, hubungan yang didapat antara waktu t
(dalam detik) dengan jarak yang ditempuh s (dalam meter) adalah mendekati:
s(t) = 5t2
Dengan   demikian,   dalam   waktu   6   detik,   jarak   yang   ditempuh   benda   tersebut
adalah   5×62  =   5×36   =   180m.   Sedangkan   dalam   waktu   4   detik,   jarak   yang
ditempuh benda adalah 5×42  = 5×16 = 80m. Jika ditanyakan kecepatan benda
untuk selang t = 4 sampai t = 6, maka kecepatan rata­rata benda pada selang
tersebut   adalah   (180    80)/(6    4)   =   100/2   =   50m/detik.   Secara   matematis
perhitungan itu dapat dinyatakan dengan:
Selang Jarak
180  80 s(6)  s( 4)


Selang Waktu
2
6 4

Sekarang,   pertanyaan   yang   dapat   diajukan   adalah   bagaimana   caranya
menentukan kecepatan rata­rata benda pada:
1. selang antara t = 4 sampai t = 4,2?

2. selang waktu antara t = 4 sampai t = 4,0000002?
3. tepat pada waktu t = 4?
Jawaban pertanyaan 1 dan 2 adalah seperti di atas. Namun pertanyaan terakhir
dapat   juga   dinyatakan   dengan   cara   di   atas,   yaitu   untuk   selang   antara   t   =   4
sampai t = 4,000...0001. Sehingga kecepatannya menjadi:
v( 4) lim

s( 4  0,000...0001)  s( 4)
 atau
0,000...0001

Perhatikan   bahwa   0,000...0001   merupakan   bilangan   yang   sangat   kecil
sedemikian sehingga mendekati 0 namun tidak sama dengan 0 dan diberi notasi
0,000...00010   atau   dapat   juga   dilambangkan   dengan   h0   atau  x0,
sehingga didapat:
s( 4  h)  s(h)
 atau 
h 0
h
f ( x  x )  f ( x )

f ' ( x )  lim
x  0
x

v( 4)  lim

Jelaslah bahwa pada proses penemuan yang berkait dengan definisi differensial
ini telah terjadi penalaran induktif dan bukan penalaran deduktif, sebagaimana
dinyatakan   Polya.   Dimulai   dari   kasus­kasus   khusus,   akan   didapat   pola   atau
keteraturan yang selanjutnya mengarah ke definisinya. Pertanyaan selanjutnya
adalah:   Manakah   yang   lebih   penting,   kemampuan   penalaran   secara   induktif
atau   deduktif?   Kedua   penalaran   tersebut   sama   penting.   Namun,   sebagaimana
dinyatakan Polya, pada satu sisinya  matematika merupakan ilmu yang eksak,
sistematis   dan   deduktif.   Akan   tetapi,   pada   waktu   proses   ditemukan   atau
dikembangkan   matematika   muncul   sebagai   ilmu   yang   mengunakan   sifat
eksperimen   dan   induktif.   Namun,   jika   kemampuan   menemukan   juga
dibutuhkan   siswa   dan   bangsa   ini,   maka   jelas   bahwa   siswa   harus   difasilitasi
untuk   belajar   secara   induktif   dan   tidak   hanya   melulu   deduktif.  Artinya,   dari
induktif baru ke deduktif.
4

Pendapat Lakatos
Di samping Polya yang dikenal sebagai pakar pemecahan masalah, Lakatos yang
dikenal   sebagai   filusuf,   sebagaimana   dikutip   Burton   (1992:2)   membuat
pernyataan   yang   lebih   keras:   “Deductivist   style   hides   the   struggle,   hides   the
adventure.  The whole story vanishes, the successive tentative formulations of the
theorem in the course of the proof­procedure are doomed to oblivion while the end
result   is   exalted   into   sacred   infallibility”   Artinya,   cara   deduktif   telah
menyembunyikan   perjuangan   dan   petualangan   (penemunya).   Semua   ceritera
sudah usai, urut­urutan yang bersifat tentatif atau nisbi dari formulasi teorema­
teorema,   dalam   pelajaran   yang   mengutamakan   prosedur   pembuktian   telah
dimatikan   ke   arah   yang   tidak   berarti,   sedangkan   hasilnya   telah   diagung­
agungkan sebagai suatu kebenaran yang tidak terbantahkan dan dikeramatkan. 
Kembali   ke   waktu   di   mana   penulis   sedang   mengikuti   kuliah   tentang   turunan
(differensial), maka yang dilakukan sang dosen adalah sesuatu yang sudah jadi,
yaitu suatu definisi turunan adalah:
f ( x  x )  f ( x )
x  0
x

f ' ( x )  lim

Namun   proses   pembelajarannya   sama   sekali   tidak   membahas   atau   tidak
menceriterakan   bahkan   telah  menyembunyikan   perjuangan   dan   petualangan
yang   dilakukan   si   penemu   teorema   tersebut.   Semua   ceritera   mengenai
kehebatan si penemu sama sekali tidak nampak. Padahalnya, dari ceritera tadi,
nampak   jelas   kehebatan   si   penemu   ketika   ia   mulai   berpikir   dari   kasus­kasus
khusus   tersebut,   lalu   muncul   pertanyaan   berikut:   “Bagaimana   caranya
menentukan   kecepatan   benda   pada   waktu   t   =   4?”   Pertanyaan   inilah   yang
memunculkan teori tentang turunan. Kadang­kadang muncul di benak penulis,
bagaimana dan mengapa tiba­tiba muncul pertanyaan yang sangat hebat seperti
itu pada diri si penemu? Lalu, mengapa bukan salah seorang warga bangsa kita
yang memunculkan pertanyaan seperti itu untuk pertama kalinya? 
Dari   contoh   tentang   pembelajaran   differensial   di   saat   kuliah   tadi,   di   mana
pembelajarannya lebih mengacu pada pembelajaran deduktif, hal­hal yang harus
dilakukan dan diketahui siswa sudah tertentu, sudah jelas dan sudah terarah.
Namun proses pembelajaran yang diinginkan para pakar pendidikan matematika
sekarang   adalah   dengan   memulai   pembelajarannya   dengan   menayangkan
‘masalah   kontektual’   atau   ‘masalah   realistik’   sehingga   para   siswa   difasilitasi
untuk   melakukan   eksplorasi,   investigasi,   inkuari   dan   berkomunikasi   dengan
teman­temannya.  Selanjutnya,   berkait   dengan   investigasi,  Bastow,   dkk   (1986)
menyatakan,  “Investigating   is  not  just  getting   the  right  answers   but  asking   the
right questions”. Artinya, pada proses investigasi (atau proses eksplorasi maupun
proses penemuan) intinya adalah bukan hanya pada jawaban yang benar saja,
namun juga untuk belajar mengajukan pertanyaan yang benar.  Fasilitasi bagi
para   siswa   untuk   belajar   mengajukan   pertanyaan   akan   lebih   banyak   pada
pembelajaran yang lebih mengacu pada pembelajaran induktif daripada hanya
murni deduktif. Investigasi, eksplorasi, ataupun penemuan merupakan aktivitas
yang   dapat   memfasilitasi   siswa   untuk   mempelajari   induksi   dan   deduksi.
5

Selanjutnya,   pendekatan   terbaru   seperti   pembelajaran   matematika   realistik,
kontekstual,   kooperatif,   PAKEM,   ataupun   pemecahan   masalah   adalah   sangat
cocok dengan pembelajaran yang lebih mengacu pada pembelajaran induktif.
Penutup
Istilah pola dan generalisasi jelas menunjukkan bahwa pelajaran matematika ini
mengacu   pada   pembelajaran   yang   berkait   dengan   penalaran   induktif.
Selanjutnya,   perhatikan   pendapat  Giere   (1984:   45)   berikut:   ”The   general
characteristic of inductive arguments is that they are kowledge expanding; that is,
their conclusions contain more information than all they are premises combined”.
Pada   penalaran   induktif,   dari   beberapa   kasus   khusus,   dapat   disusun   suatu
kesimpulan yang bersifat umum (general). Proses penalaran induktif ini menjadi
sangat   penting,   karena   ilmu   pengetahuan,   termasuk   matematika,   tidak   akan
pernah   berkembang   tanpa   adanya   penarikan   kesimpulan   ataupun   pembuatan
pernyataan   baru   yang   bersifat   umum   yang   melebihi   kasus­kasus   khususnya.
Contohnya, differensial tidak akan ada tanpa eksperimen dan induksi. 
Hal   inilah   yang   telah   menjadi   suatu   kelebihan   dari   penalaran   induktif
dibandingkan dengan penalaran deduktif. Mengingat begitu hebat dan besarnya
kelebihan  dari penalaran induktif ini, maka pada  akhirnya  dapat  disimpulkan
bahwa pembelajaran matematika sudah seharusnya dimulai secara induktif dan
dilanjutkan dengan deduktif. Tidak hanya di bangku SD dan SMP saja langkah
pembelajaran   seperti   itu   dilaksanakan,   namun   juga   di   SMA   dan   SMK   harus
dilakukan seperti  ditunjukkan  dengan  contoh  tentang  differensial   yang  sangat
jelas   dan   gamblang   pada   penemuan   dan   implikasinya   pada   pembelajarannya.
Terakhir,   terhadap   pertanyaan   pada   judul   artikel   ini,   yaitu:   “Benarkah   guru
matematika   sebaiknya   mengajar   secara   induktif   dan   bukan   secara   deduktif?”
Lalu bagaimana jawaban Anda? Yakinkah Anda dengan jawaban Anda tersebut?
Jawaban penulis  sebagaimana disampaikan di depan  adalah keduanya  sangat
dibutuhkan.  Kedua penalaran itu memiliki kelebihan  dan kekurangan sendiri­
sendiri.   Pada   intinya,   untuk   lebih   memahamkan   siswa   dapat   digunakan
penalaran induktif lalu pembuktiannya menggunakan penalaran deduktif. Jadi
tidak benar juga hanya menggunakan penalaran induktif saja.
Daftar Pustaka
Bastow,   B.;   Hughes,   J.;   Kissane,   B.;   &   Randall,   R.;   (1986).  Another   20
Investigational Work. Perth: Mawa.
Burton,   L.   (1992).   Implications   of   constructivism   for   achievement   in
mathematics.   Pada   buku:  7th  International   Congress   on   Mathematical
Education   (ICME­7).   Topic   Group   10;   Constructivist   Interpretations   of
Teaching and Learning Mathematics. Perth: Curtin University of Technology.
De Lange, J. (2005). Mathematical Literacy for Living from OECD­PISA Perspective.
Paris: OECD­PISA.
Depdiknas   (2006).  Permendiknas   Nomor   22   Tahun   2006   Tentang   Standar   Isi
Sekolah Menengah Atas. Jakarta: Depdiknas
6

Giere,   R.   N.   (1984).  Understanding   Scientific   Reasoning   (2ndEdition).   New   York:
Holt, Rinehart and Winston.
NRC   (1989).  Everybody   Counts.   A   Report   to   the   Nation   on   the   Future   of
Mathematics Education. Washington DC: National Academy Press.
Polya, G. (1973). How To Solve It (2nd Ed). Princeton: Princeton University Press.

7