ATURAN RANTAI makanan dan jaring

ATURAN RANTAI

Oleh:
Kelompok 5
1.
2.
3.
4.

Ika Indri Priyana
Suep
Norma Oktika Rini
Iska Wolandari

06081181320005
06081181320016
06081181320021
06081181320038

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SRIWIJAYA
2014

KATA PENGANTAR

Assalammualaikum W.W.
Segala puji bagi Allah Swt., Tuhan Seluruh Alam yang telah memberikan
kami kesempatan dan segala nikmat-Nya dalam menyelesaikan makalah tugas
mata kuliah Kalkulus Lanjut yang berjudul “Aturan Rantai” ini.
Kami menyadari bahwa makalah ini masih banyak kekurangan. Untuk itu,
segala bentuk kritik dan saran akan kami terima guna kemajuan dan kebaikan
ringkasan materi ini.
Semoga makalah ini bermanfaat bagi siapa saja yang membutuhkannya.
Wassalamualaikum W.W.
Indralaya, Desember 2014

Penulis

2

DAFTAR ISI
Halaman Sampul

i

Kata Pengantar

ii

Daftar Isi

iii

Aturan Rantai
A. Aturan Rantai Fungsi Dua Variabel
B. Aturan Rantai Fungsi Tiga Variabel

1
2
5

Turunan Fungsi Implisit

5

Daftar Pustaka

iv

3

ATURAN RANTAI
Misal
menghitung

F ( x )=(2 x +1)5 , amati bahwa F berupa fungsi komposisi. Untuk
F' (x)

F ( x ) , ada beberapa aturan

yang berupa turunan dari

yang harus dipahami, antara lain aturan penjumlahan, aturan kali, dan aturan
rantai. Aturan rantai adalah aturan untuk mencari turunan fungsi komposisi.
Aturan rantai untuk fungsi-fungsi komposit satu variabel ialah sebagai
berikut.
Jika

y=f ( x ( t ) )

dengan

f

dan

x

merupakan fungsi yang

terdefinisi dan dapat diturunkan, maka dalam notasi Leibniz dapat ditulis:
dy dy dx
= ∙
dt dx dt
Atau dalam notasi aksennya ialah:

( f ∘ g )' ( x )=f ' ( g ( x ) ) g ' ( x )
Jadi,

F ' ( x ) untuk

F ( x )=(2 x +1)5 adalah

F ' ( x )=5( 2 x +1) 4 ∙ 2
F ' ( x )=10( 2 x +1)

4

Contoh:
1. Jika

60

y=( 2 x 2−4 x+1 ) , carilah

dari y atau
Penyelesaian :
Kita pikirkan

F ' ( x ) dari

y

Dx y !

( Dx y

adalah diferensial

F(x)

sebagai pangkat ke- 60 suatu fungsi

60
dan u=2 x 2−4 x+1
y=u
fungsi sebelah luar f(x) = u60

x , yakni

dan fungsi sebelah dalam adalah

2

u=g (x)=2 x −4+1
Dx y
= Dx f ( g ( x ) )
= f ( u) g ( u)

1

= ( 60 u59 ) ( 4 x−4 )
59
= 60 ( 2 x 2−4 x +1 ) (4 x −4)
2. Jika f ( x)=sin (cos (tan x)) , maka carilah f ’ ( x ) !
Penyelesaian:
d
f ’ (x)=cos( cos(tan x)) cos (tan x)
dx
x
tan ¿
x
tan ¿
d
−sin ⁡¿ ¿
dx
¿ cos(cos( tan x))¿
2
¿−cos(cos( tan x ))sin( tan x) se c x
4

(cos ( x 2 +5 x+1 ) )
3.
adalah….
5 sin 3 ¿
Dx ¿
Penyelesaian:
4
Dx (cos ( x2 +5 x +1 ) )
Dx
¿
4
2
( x + 5 x +1 ) . ¿
¿−sin ¿
4
3
¿−sin ( x2 +5 x +1 ) .4 ( x 2 +5 x+1 ) .(2 x+ 5)
3
4

¿− ( 8 x +20 ) ( x 2 +5 x+1 ) . sin ( x 2+5 x +1 ) ⁡
A. Aturan Rantai untuk Fungsi Dua Variabel
Menurut Varberg, dkk. (2007: 265) ada dua versi aturan rantai untuk
fungsi dua variabel.
Versi Pertama jika z=f (x , y ) dengan
, maka masuk akal untuk menanyakan

x dan

y

adalah fungsi t

dz
, dan seharusnya ada rumus
dt

untuknya.
Teorema A | Aturan Rantai
y= y (t ) terdeferensiasikan di t dan

Misalkan x=x (t) dan
z=f (x , y )
misalkan
terdeferensiasikan di
Maka
( x (t ) , y (t )) .
z=f ( x ( t ) , y ( t )) dapat dideferensiasikan di t dan
2

dz ∂ z dx ∂ z dy
=
+
dt ∂ x dt ∂ y dt

Contoh:
1. Misalkan

4
z=x y , dengan

x=2 t

dan

y=t

3

. Carilah

dz
!
dt

Penyelesaian:
dz ∂ z dx ∂ z dy
=
+
dt ∂ x dt ∂ y dt
¿ 4 x 3 y (2)+ x 4 (3 t 2 )
3
4
2
¿ 8 x y + x (3 t )
2t
¿
¿
t3
¿
¿
¿8¿
¿ 8 ( 8 t 3) t 3 +16 t 4 (3 t 6 )
6
10
¿ 64 t + 48 t
2. Misalkan w=x 2 y 3 , dengan

x=t

3

dan

y=t

2

. Carilah

dz
.
dt

Penyelesaian:
dw ∂ w dx ∂ w dy
=
+
dt ∂ x dt ∂ y dt
3x
(¿ ¿ 2 y 2)( 2t)
¿ ( 2 xy 3) ( 3 t 2 ) +¿
3 2
2 2
¿ 6 x y t +6 x y t
2
t
¿
¿
t3
¿
¿
t2
¿
¿
3
¿6t ¿
11
11
¿6t +6t
11
¿ 12t
Versi Kedua Misalkan bahwa

z=f ( x , y )

dengan

Teorema
B | Aturan
y= y ( s , t)
. MakaRantai
masuk akal untuk menanyakan

x=x (s , t)

dan

∂ z /∂ s

dan

∂ z /∂t
x=x (s , t ) dan
y= y ( s , t ) mempunyai turunan-turunan parsial
Misalkan
( s ,t )
z=f ( x , y )
pertama di
dan misalkan
terdeferensiasikan di
( x ( s , t ) , y ( s ,t )) . Maka
z=f ( x ( s , t ) , y ( s ,t ))
mempunyai turunan-turunan
3
parsial pertama yang diberikan oleh:

1.

∂z ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y
=
+
∂s ∂ x ∂s ∂ y ∂ s

2.

∂z ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y
=
+
∂t ∂ x ∂ t ∂ y ∂ t

Contoh:
1. Jika

2

z=3 x − y

2

x=2 s +7 t

dengan

dan

y=5 st . Carilah

∂ z /∂t , dan nyatakan dalam bentuk s dan t!
Penyelesaian:
∂z ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y
=
+
∂t ∂ x ∂ t ∂ y ∂ t
¿ ( 6 x )( 7 )+ (−2 y ) (5 s )
¿ 42 ( 2 s+ 7 t )−10 st (5 s)
¿ 84 s+294 t−50 s2 t
2. Tentukan

∂z
∂s

dan

∂z
∂t

jika

z=f ( x , y )=x e y

dengan

x=2 s−t dan y=2 s +t !
Penyelesaian:
∂z ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y
=
+
a)
∂s ∂ x ∂s ∂ y ∂ s
y
y
¿ e ( 2) + x e ( 2)
¿ 2 e y ( 1+ x )
¿ 2 e2 s +t ( 2 s−t+ 1 )

b)

∂z ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y
=
+
∂t ∂ x ∂ t ∂ y ∂ t
¿ e y (−1 ) + x e y (1)
¿ e y ( x−1 )
2 s+t
¿ e (2 s−t−1)

4

B. Aturan Rantai untuk Fungsi Tiga Variabel
Jika
t , dan

x=x ( t ) , y= y ( t ) ,
w=f ( x , y , z )

z=z (t)

dan

diferensial di titik

fungsi yang diferensial di

( x (t ) , y (t ) , z (t)) ,

maka

w=f ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) diferensial di t , dan
dw ∂ w dx ∂ w dy ∂ w dz
=
+
+
dt ∂ x dt ∂ y dt ∂ z dt
Contoh:
1. Jika w=x 2+ y 2+ z 2 + xy , dengan

x=st , y=s−t , dan

z=s+2 t ,

∂w
!
∂t
Penyelesaian:
dw ∂ w dx ∂ w dy ∂ w dz
=
+
+
dt ∂ x dt ∂ y dt ∂ z dt
¿ ( 2 x + y ) ( s ) + ( 2 y+ x ) (−1 )+ ( 2 z ) ( 2 )
¿ ( 2 st +s−t ) ( s )+ ( 2 s−2 t+ st )(−1 ) + ( 2 s+ 4 t ) 2
2
2
¿ 2 s t+ s −2 st +2 s +10 t
carilah

TURUNAN FUNGSI IMPLISIT
Misal

z=F ( x , y )

dan

y=g ( x ) ,

maka

z=F (x , g ( x ))

menyatakan fungsi satu variabel, sehingga berdasarkan aturan rantai diperoleh:
∂ z ∂F ∂ x ∂F ∂ y ∂z ∂F ∂ F ∂ y
=
+
↔
=
+
∂x ∂ x ∂ x ∂ y ∂x ∂ x ∂ x ∂ y ∂ x
…………… (¿)

5

Jika

x

z=0

dan

maka

F ( x , y ) =0

(¿) menjadi

mendefinisikan secara implisit sebagai fungsi

∂F ∂F ∂ y
0=
+
∂x ∂ y ∂x

−∂ F
∂y
∂x
↔
=
∂x
∂F
∂y

asalkan

∂F
≠0
∂y
Contoh:
1. Jika

2
2
3
x y + y −x =0 , tentukan

dy
dx

dengan menggunakan metode

pendiferensialan implisit?
Penyelesaian:
Turunan dari y terhadap dengan menggunakan pendiferensialan implicit
sebagai berikut. Kedua ruas (kiri dan kanan) diturunkan terhadap x.
d 2
( x y + y 2−x 3 )= d (0)
dx
dx
dy
dy
2 xy + x 2 +2 y −3 x 2=0
dx
dx
( x 2+ 2 y ) dy −3 x2 +2 xy=0
dx
Sehingga diperoleh
dy 3 x 2−2 xy
= 2
dx
x +2 y

6

DAFTAR PUSTAKA
Varberg, Dale, dkk. 2007. Kalkulus⁡Edisi⁡Kesembilan⁡Jilid⁡2.⁡Jakarta: Erlangga.

4