Fungsi Komposisi dan fungsi Invers

1

Fungsi Komposisi dan fungsi Invers
1.

Jika f ( x) = x 2 + 1 dan g ( x) = 2 x − 1 maka tentukan ( fog )( x) !
Jawab :

( fog )( x) = f ( g ( x)) = f (2 x − 1) = (2 x − 1) 2 + 1 = 4 x 2 − 4 x + 2

2. Jika f ( x) =

1
x
dan ( fog )( x) =
maka tentukan g(x) !
2x − 1
3x − 2

Jawab :

( fog )( x) = f ( g ( x))
x
1
3x − 2
1
=
⇔ 2 g ( x) − 1 =
⇔ g ( x) = 2 −
3 x − 2 2 g ( x) − 1
x
x

3. Jika f ( x) =

1
dan f − 1 (c) = − 4 maka tentukan c !
x+ 2

Jawab :

f − 1 (c) = − 4 ⇔ c = f (− 4) =

1
1
= −
− 4+ 2
2

4. Jika f ( x) = 53 x maka tentukan f − 1 (5 5 ) !
Jawab :
3

Misal f − 1 (5 5 ) = c ⇔ 5 5 = f (c) ⇔ 5 2 = 53c ⇔ c =

5. Diketahui f ( x) = x + 2 untuk x > 0 dan g ( x) =

15
untuk x > 0. Tentukan x jika
x

f − 1og − 1 ( x) = 1
Jawab :

f − 1og − 1 ( x) = 1 ⇔ g − 1 ( x) = f (1) = 1 + 2 = 3
15
x = g (3) =
= 5
3

6. Jika f ( x) =

x + 3 maka tentukan f − 1 ( x)

Jawab :

y=

7.

x + 3 ⇔ x = ( y − 3) 2 ⇒ f − 1 ( x) = ( x − 3) 2

Tentukan fungsi invers dari f ( x) =

3x + 4
2x − 1

1
2

2

Jawab :

ax + b
⇒ f − 1 ( x) =
cx + d
3x + 4
f ( x) =
⇒ f − 1 ( x) =
2x − 1

f ( x) =

8.

Jika f ( x) = 2 x − 3 dan g ( x) =

− dx + b
cx − a
x+ 4
2x − 3

1
maka tentukan ( fog ) − 1 ( x)
3x + 1

Jawab :

( fog )( x) = f (

9.

1
2
− 9x − 1
x+ 1
)=
− 3=
⇒ ( fog ) − 1 ( x) = −
3x + 1
3x + 1
3x + 1
3x + 9

Tentukan daerah asal (Df) dan daerah hasil dari fungsi y =

x− 1

Jawab :

Syarat x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1

Df : { x x ≥ 1, x ∈ R}

Rf : { y y ≥ 0, y ∈ R}

10.

 2 x − 1, untuk 0 < x < 1
maka tentukan f (2). f (− 4) + f ( 12 ). f (3)
2
x
+
1
,
untuk
x
yang
lain


Jika f ( x) = 

Jawab :

f (2). f (− 4) + f ( 12 ). f (3) = (2 2 + 1).((− 4) 2 + 1) + (2. 12 − 1).(32 + 1) = 85

11.

Diketahui f ( x) = 5 x + 1 dan g ( x) = 2(3 − 2 x) . Tentukan ( f − g )( x)
Jawab :

( f − g )( x) = (5 x + 1) − (6 − 4 x) = 9 x − 5

12. Jika f ( x) = − x + 3

maka tentukan f ( x 2 ) + f 2 ( x) − 2 f ( x)

Jawab :

f ( x 2 ) + f 2 ( x ) − 2 f ( x) = − x 2 + 3 + (− x + 3) 2 − 2(− x + 3) = − 4 x + 6

13.

2
Jika f ( x) = x + 4 dan g ( y ) =

2
maka tentukan ( gof )(t )
y

Jawab :

( gof )(t ) = g ( f (t )) = g (t 2 + 4) =

2
t2 + 4

3

14.

Jika f ( x) = 2 x 2 + 5 x dan g ( x) =

1
maka tentukan ( fog )(2)
x

Jawab :

( fog )(2) = f ( g (2)) = f ( 12 ) = 2( 12 ) 2 + 5( 12 ) = 3

15.

Diketahui f ( x) = 2 x + 5 dan g ( x) =

x− 1
. Jika ( fog )(a) = 5 maka tentukan a !
x+ 4

Jawab :

( fog )(a ) = 5 ⇔ f (

16.

a− 1
a− 1
) = 5 ⇔ 2(
)= 5⇔ a= 1
a+ 4
a+ 4

Diketahui f ( x) = 2 x 2 + 3x − 5 dan g ( x) = 3x − 2 . Agar ( gof )(a) = − 11 maka tentukan a
Jawab :

( gof )(a ) = − 11 ⇔ 3(2a 2 + 3a − 5) − 2 = − 11 ⇔ (2a − 1)(a + 2) = 0
a=

17.

1
2

atau a = − 2

Jika f ( x) = 2 x, g ( x) = x + 1 dan h( x) = x 3 maka tentukan (hogof )( x)
Jawab :

(hogof )( x) = h( g ( 2 x)) = h(2 x + 1) = (2 x + 1)3 = 8 x3 + 12 x 2 + 6 x + 1

18.

Jika f ( x) = 3x dan g ( x) = 3x maka tentukan 2 log(( gof )( x))
Jawab :
3

19.

log(( gof )( x))= 3 log 33 x = 3 x3 log 3 = 3 x = f ( x)

Jika f ( x) = 4 x + 2 dan ( fog )( x) = 12 x − 2 maka tentukan g(x)
Jawab :

( fog )( x) = f ( g ( x))
12 x − 2 = 4 g ( x) + 2 ⇔ g ( x) = 3x − 1

20. Jika f ( x) =

x + 1 dan ( fog )( x) = 2 x − 1 maka tentukan g(x)

Jawab :

( fog )( x) = f ( g ( x))
2 x− 1=

g ( x) + 1 ⇔ g ( x) + 1 = 4 x − 4 ⇔ g ( x ) = 4 x − 5

4

21.

Jika f ( x) =

x 2 + 1 dan ( fog )( x) =

1
x 2 − 4 x + 5 maka tentukan g ( x − 3)
x− 2

Jawab :

( fog )( x) = f ( g ( x))
1
1
x 2 − 4 x + 5 = ( g ( x)) 2 + 1 ⇔ ( g ( x))2 + 1 = 2
+1
x− 2
x − 4x + 4
1
1
1
g ( x) =
⇒ g ( x − 3) =
=
x− 2
x − 3− 2 x − 5

22.

Jika g ( x) = x + 1 dan ( fog )( x) = x 2 + 3x + 1 maka tentukan f(x)
Jawab :

( fog )( x) = f ( g ( x))
x 2 + 3 x + 1 = f ( x + 1) ⇔ f ( x + 1) = ( x + 1) 2 + ( x + 1) − 1
f ( x) = x 2 + x − 1

23.

Jika f ( x) = 2 x − 3 dan ( gof )( x) = 2 x + 1 maka tentukan g(x)
Jawab :

( gof )( x) = g ( f ( x))
g (2 x − 3) = 2 x + 1 = 2 x − 3 + 4 ⇒ g ( x) = x + 4

24.

Jika g ( x) = x + 3 dan ( fog )( x) = x 2 + 11x + 20 maka tentukan f ( x + 1)
Jawab :

( fog )( x) = f ( g ( x))
f ( x + 3) = x 2 + 11x + 20 = ( x + 3) 2 + 5( x + 3) − 4
f ( x + 1) = ( x + 1) 2 + 5( x + 1) − 4 = x 2 + 7 x + 2
25. Jika ( gof )( x) = 4 x 2 + 4 x dan g ( x) = x 2 − 1

maka tentukan f ( x − 2)

Jawab :

( gof )( x) = g ( f ( x))
4 x 2 + 4 x = ( f ( x)) 2 − 1 ⇔ f ( x) =
f ( x − 2) =

26.

4x2 + 4x + 1

4( x − 2) 2 + 4( x − 2) + 1 =

2 x − 3) 2 = 2 x − 3

Jika f ( x) = (1 − x3 ) + 2 maka tentukan f − 1 ( x)
1
5

Jawab :
1

1

1

y = (1 − x 3 ) 5 + 2 ⇔ x = (1 − ( y − 2)5 ) 3 ⇔ f − 1 ( x ) = (1 − ( x − 2)5 ) 3

5

27.

Tentukan invers dari y =

x+ 5
x− 1

Jawab :

y=

28.

x+ 5
x+ 5
⇒ y− 1 =
x− 1
x− 1

Tentukan f − 1 ( x) dari f ( x) =

3x + 5
2x − 3

Jawab :

f − 1 ( x) =

29.

Jika f ( x) =

3x + 5
2x − 3

x
maka tentukan f − 1 ( x)
x− 1

Jawab :

f − 1 ( x) =

30.

Jika f ( x) =

x
x− 1

2x + 1
maka tentukan f − 1 ( x − 2)
x− 3

Jawab :

f ( x) =

31.

Jika f ( x + 2) =

2x + 1
3x + 1
3( x − 2) + 1 3 x − 5
⇒ f − 1 ( x) =
⇒ f − 1 ( x − 2) =
=
x− 3
x− 2
x− 2− 2
x− 4
x+ 3
maka tentukan f − 1 ( x)
x− 1

Jawab :

x+ 3 x+ 2+ 1
=
x− 1 x+ 2− 3
x+ 1
3x + 1
f ( x) =
⇒ f − 1 ( x) =
x− 3
x− 1
f ( x + 2) =

32.

Jika ( fog )( x) = 4 x 2 + 8 x − 3 dan g ( x) = 2 x + 4 maka tentukan f − 1 ( x)
Jawab :

( fog )( x) = 4 x 2 + 8 x − 3
f (2 x + 4) = (2 x + 4) 2 − 4(2 x + 4) − 3
f ( x) = x 2 − 4 x − 3
y = x2 − 4 x − 3 ⇔ x = 2 +

y + 7 ⇒ f − 1 ( x) = 2 +

x+ 7

6

33.

Diketahui f ( x) = 2 x dan g ( x) = 3 − 5 x . Tentukan ( gof ) − 1 ( x)
Jawab :

( gof )( x) = g (2 x) = 3 − 5(2 x) = 3 − 10 x
3− y
3− x
y = 3 − 10 x ⇔ x =
⇒ ( gof ) − 1 ( x) =
10
10

34.

Jika f ( x) = 12 x − 1 dan g ( x) = 2 x + 4 maka tentukan ( gof ) − 1 (10)
Jawab :

( gof )( x) = g ( 12 x − 1) = 2( 12 x − 1) + 4 = x + 2
y = x+ 2 ⇔ x = y− 2
( gof ) − 1 ( x) = x − 2 ⇒ ( gof ) − 1 (10) = 10 − 2 = 8

35.

Jika f − 1 ( x) =

x− 1
3− x
dan g − 1 ( x) =
maka tentukan ( fog ) − 1 (6)
5
2

Jawab :

( fog ) − 1 (6) = ( g − 1of − 1 )(6) = g − 1 (

36.

Jika f ( x) = x + 2 dan g ( x) =

6− 1
3− 1
) = g − 1 (1) =
=1
5
2

15
maka tentukan x jika ( f − 1og − 1 )( x) = 1
x

Jawab :

(f

− 1

og − 1 )( x) = 1 ⇔ g − 1 ( x) = f (1) = 1 + 2 = 3 ⇔ x = g (3) =

15
3

= 5