ALT 3. Persamaan Garis dan Kurva
PRAKTIKUM ALJABAR LINEAR TERAPAN Pertemuan 3
28 September 2018
PERSAMAAN GARIS DAN KURVA
APA YANG AKAN DIBAHAS HARI INI?
Garis – 2 titik Dimensi – n
Lingkaran – 3 titik
2 a a a
Irisan Kerucut – 5 titik m rv a u
Bidang – 3 titik K rs
Dimensi –
3 Pe
Bola – 4 titik
TEOREMA PERSAMAAN GARIS DAN KURVA
Suatu sistem linear homogen yang mempunyai jumlah persamaan sama dengan jumlah faktor yang tak diketahui akan mempunyai sebuah solusi nontrivial jika dan hanya jika determinan dari matriks koefsiennya adalah nol.
GARIS YANG MELALUI DUA TITIK
Jika diberikan dua titik berbeda pada suatu bidang, yaitu dan maka terdapat sebuah garis yang melalui dua titik tersebut, yaitu:
…(1) Karena dan terletak pada garis tersebut, maka jika disubstitusikan ke persamaan garis di atas menjadi:
…(2) …(3)
GARIS YANG MELALUI DUA TITIK
Gabungkan persamaan (1)-(3) sehingga didapatkan sistem persamaan linear yang homogen sebagai berikut:
GARIS YANG MELALUI DUA TITIK
Bentuk sistem persamaan tersebut dalam bentuk matriks, sehingga didapat: Karena nilai , dan tidak semuanya nol, maka sistem persamaan di atas memiliki sebuah solusi non trivial.
GARIS YANG MELALUI DUA TITIK
Berdasarkan teorema, maka determinan dari matriks koefsiennya haruslah nol, sehingga: Dari hasil perhitungan di atas, akan didapatkan persamaan garis yang melalui dua titik.
CONTOH
Tentukan persamaan garis yang melalui titik dan !
Jawab:
Sistem persamaan linear homogennya ialah
CONTOH
Inputkan sistem ke dalam Maple Ubah ke dalam bentuk matriks, tanpa ruas kanan
CONTOH
Didapat persamaan garisnya dengan mencari nilai determinan matriks M yang sama dengan nol Sehingga didapatlah persamaan garisnya:
LINGKARAN YANG MELALUI TIGA TITIK
Jika diberikan tiga titik berbeda pada suatu bidang, yaitu, , dan , tidak semuanya terletak pada suatu garis lurus maka terdapat sebuah lingkaran yang melalui tiga titik tersebut, yaitu: …(4) Jika yaitu, , dan disubstitusikan ke persamaan di atas menjadi: …(5)
…(6) ...(7)
LINGKARAN YANG MELALUI TIGA TITIK
Dari penggabungan sistem persamaan di atas maka dibentuk dalam bentuk matriks, sehingga didapat: Karena nilai , dan tidak semuanya nol, maka sistem persamaan di atas memiliki sebuah solusi non trivial.
LINGKARAN YANG MELALUI TIGA TITIK
Berdasarkan teorema, maka determinan dari matriks koefsiennya haruslah nol, sehingga: Dari hasil perhitungan di atas, akan didapatkan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik.
CONTOH
Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik , , dan !
Jawab:
Sistem persamaan linear homogennya ialah
CONTOH
Inputkan sistem ke dalam Maple Ubah ke dalam bentuk matriks, tanpa ruas kanan
CONTOH
Didapat persamaan lingkarannya dengan mencari nilai determinan matriks M2 yang sama dengan nol Persamaan belum sederhana sehingga persamaan akan dibagi dengan 32, Sehingga didapatlah persamaan lingkarannya: atau
IRISAN KERUCUT UMUM YANG MELALUI LIMA TITIK
Persamaan umum suatu irisan kerucut pada bidang (parabola, hiperbola, elips, dan bentuk turunannya) adalah
…(8) Mengikuti cara seperti sebelumnya, maka persamaan ini membutuhkan lima titik dan harus memenuhi:
CONTOH
Seorang astronom yang ingin menentukan orbit suatu asteroid mengelilingi matahari membuat sistem koordinat kartesius pada bidang orbit dimana matahari merupakan titik asalnya. Ukuran satuan astronomis digunakan sepanjang sumbu (1 satuan astronomis = jarak rata-rata dari bumi ke matahari = 93 juta mil). Dengan menggunakan hukum Kapler I, orbit harus berupa elips, sehingga astronom melakukan lima observasi pada asteroid di lima waktu yang berbeda dan menemukan lima titik sepanjang orbit tersebut, yaitu: dan. Carilah persamaan orbit tersebut.
CONTOH
Untuk mempermudah membuat persamaannya, maka dibuat fungsi sebagai berikut: Bentuk sistem persamaan dengan memasukkan nilai titik yang diketahui,
CONTOH
Ubah ke dalam bentuk matriks tanpa ruas kanan
CONTOH
Didapat persamaan elipsnya dengan mencari nilai determinan matriks M3 yang sama dengan nol Sehingga didapatlah persamaan elipsnya:
BIDANG YANG MELALUI TIGA TITIK
Persamaan umum suatu bidang pada dimensi tiga adalah …(9)
Dengan diketahui tiga titik pada dimensi tiga, misalkan dan maka menghasilkan persamaan: …(10) …(11) …(12)
BIDANG YANG MELALUI TIGA TITIK
Sama seperti sebelumnya, untuk mendapatkan persamaan bidang digunakan determinan matriks koefsiennya sama dengan nol, yaitu sebagai berikut:
CONTOH
Tentukan persamaan bidang yang melalui titik dan !
Jawab:
Sistem persamaan linear homogennya didapat:
CONTOH
Ubah ke dalam bentuk matriks tanpa ruas kanan
CONTOH
Didapat persamaan bidangnya dengan mencari nilai determinan matriks M4 yang sama dengan nol Sehingga didapatlah persamaan bidangnya:
BOLA YANG MELALUI EMPAT TITIK
Persamaan umum suatu bola pada dimensi tiga adalah …(13)
Dengan diketahui empat titik pada dimensi tiga, misalkan , dan maka menghasilkan persamaan: …(14) …(15) …(16) …(17)
BOLA YANG MELALUI EMPAT TITIK
Sama seperti sebelumnya, untuk mendapatkan persamaan bola digunakan determinan matriks koefsiennya sama dengan nol, yaitu sebagai berikut:
CONTOH
Tentukan persamaan bidang yang melalui titik dan !
Jawab:
Sistem persamaan linear homogennya didapat:
CONTOH
Ubah ke dalam bentuk matriks tanpa ruas kanan
CONTOH
Didapat persamaan bolanya dengan mencari nilai determinan matriks M5 yang sama dengan nol Karena persamaan masih belum sederhana, maka persamaan dibagi 300 Sehingga didapatlah persamaan bolanya: atau
LATIHAN
1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik dan !
2. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik dan !
3. Tentukan persamaan irisan kerucut yang melalui titik dan !
4. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik dan !
5. Tentukan persamaan bola yang melalui titik dan !
No.1
JAWABAN
Jadi, persamaan garisnya adalah No.2
JAWABAN
Jadi, persamaan lingkarannya adalah atau Artinya, lingkaran pusat di dan No.3
JAWABAN Jadi, persamaan irisan kerucutnya adalah
No.4
JAWABAN Jadi, persamaan bidangnya adalah
No.5
JAWABAN
Jadi, persamaan bolanya adalah atau Artinya, bola pusat di , jari-jari 13
ADA PERTANYAAN??
TERIMA KASIH ASISTEN LABORATORIUM MATEMATIKA FMIPA UNPAD 2018