Model Endemik Susceptible Infected Recovered (SIR) Dengan Imigrasi, Vaksinasi Dan Sanitasi

(SIR) DENGAN IMIGRASI, VAKSINASI DAN SANITASI

oleh ANITA KESUMA ARUM M0108030

SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2012

commit to user

commit to user

ABSTRAK

Anita Kesuma Arum. 2012. MODEL ENDEMIK SUSCEPTIBLE INFEC- TED RECOVERED (SIR) DENGAN IMIGRASI VAKSINASI DAN SANITASI. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret.

Masalah penyebaran penyakit dapat dijelaskan dengan menggunakan mo- del matematika. Model matematika yang dimaksud yaitu model SIR. Ada dua jenis model SIR yaitu model epidemik SIR dan model endemik SIR. Model epi- demik SIR tidak memperhatikan faktor kelahiran dan kematian karena penyakit menyebar dalam waktu yang singkat, sedangkan model endemik SIR memper- hatikan faktor kelahiran dan kematian karena penyakit menyebar dalam kurun waktu yang lama. Imigrasi merupakan faktor yang dapat mempengaruhi penye- baran penyakit. Selain faktor imigrasi, upaya pencegahan yang dilakukan seperti program vaksinasi dan program sanitasi juga dapat mempengaruhi penyebaran suatu penyakit.

Tujuan penulisan ini adalah mengkonstruksikan model endemik SIR dengan imigrasi, vaksinasi dan sanitasi serta menentukan titik kesetimbangan dan tipe kestabilan titik kesetimbangan tersebut.

Model SIR berupa sistem autonomous persamaan diferensial nonlinier orde satu. Penyelesaian model tersebut berupa jumlah individu tiap kelompok S,I dan R tiap saat. Penyelesaian dimana jumlah individu susceptible, infected dan recovered tetap sepanjang waktu disebut titik kesetimbangan. Dari pembahas- an diperoleh dua jenis titik kesetimbangan yaitu titik kesetimbangan endemik dan bebas penyakit. Untuk mengetahui kestabilan titik kesetimbangan dapat dilihat dari nilai eigen matriks Jacobian sistem di titik kesetimbangan atau mela- lui perilaku trajektori di sekitar titik kesetimbangan pada bidang fase. Simulasi menunjukkan bahwa faktor sanitasi dapat menurunkan jumlah penderita serta mempersingkat waktu yang dibutuhkan penyakit untuk menyebar dalam suatu wilayah.

commit to user

Anita Kesuma Arum. 2012. ENDEMIC SUSCEPTIBLE INFECTED RE- COVERED (SIR) MODEL WITH IMMIGRATION VACCINATION AND SA- NITATION. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret Uni- versity.

The disease outbreak problem can be explained using a mathematical model. The mathematical model mentioned is the model of SIR. There are two classic SIR models, namely SIR epidemic model and SIR endemic model. SIR epidemic models are used to describe the rapid outbreak, while the SIR endemic models are used for studying disease over longer periods. Immigration is a factor that able to influence the disease outbreak. In addition, prevention efforts such as vaccination programs and sanitation programs can also affect the disease outbreak.

The purposes of this research are to construct model of endemic SIR with immigration, vaccination and sanitation and to find the type of equilibrium points and the stability of the equilibrium points.

The SIR model is an autonomous system of nonlinear first-order differential equations. The solution of the model which the number of individuals susceptible, infected and recovered are fixed all the time is called the equilibrium point. Based on the discussion, there are two types of equilibrium point that is the point of endemic equilibrium and disease-free equilibrium. The stability of the equilibrium point can be obtained by the eigenvalue of the Jacobian matrix system at the equilibrium point or through the behavioral trajectory around the equilibrium point in the phase plane. Simulations show that the factor of sanitation can reduce the number of infected individuals, and can shorten the time required for the spread of disease within a region.

commit to user

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak lepas dari bantuan, dorongan, serta bimbingan berbagai pihak. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada

1. Bapak Dr. Sutanto, DEA. selaku Pembimbing I dan Ibu Dra. Purnami Widyaningsih, M.App.Sc selaku Pembimbing II yang telah membimbing dan mengarahkan dalam penyusunan skripsi ini.

2. Seluruh pihak yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pihak yang memerlukan.

Surakarta, September 2012

Penulis

commit to user

PERSEMBAHAN

Sebuah karya sederhana ini kupersembahkan untuk Bapak, Ibu, Kakak, serta saudara kembar saya sebagai wujud atas doa, semangat, dan pengorbanan yang diberikan.

commit to user

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

HALAMAN PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii ABSTRACT ................................ iv KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii DAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Perumusan Masalah .........................

1.3 Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5 Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II LANDASAN TEORI

2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Teori Penunjang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.1 Sistem Autonomous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.2 Bidang Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.3 Model Endemik SIR dengan Imigrasi dan Vaksinasi . . . .

2.2.4 Kesetimbangan dan Kestabilan . . . . . . . . . . . . . . .

commit to user

2.3 Kerangka Berpikir .......................... 12

III METODE PENELITIAN

14

IV PEMBAHASAN

16

4.1 Konstruksi Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.2 Titik Kesetimbangan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.3 Kestabilan Titik Kesetimbangan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.4 Penerapan Kasus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

V PENUTUP

27

5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 DAFTAR PUSTAKA

29

commit to user

DAFTAR TABEL

2.1 Kriteria kestabilan berdasarkan nilai eigen . . . . . . . . . . . . . 12

4.1 Nilai puncak endemik dengan simulasi nilai H . . . . . . . . . . . 26

commit to user

DAFTAR GAMBAR

2.1 Dinamika populasi model endemik SIR dengan imigrasi dan vak-

sinasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Trajektori pada bidang fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.1 Dinamika populasi model SIR dengan imigrasi, vaksinasi dan sa-

nitasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2 Jumlah individu S dan R ...................... 23

4.3 Jumlah individu I .......................... 23

4.4 Trajektori di sekitar titik kesetimbangan . . . . . . . . . . . . . . 25

4.5 Penurunan puncak endemik H=0 (kiri), H=0.25,0.5,0.75,1 (kanan) 26

commit to user

Bab I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Penyakit infeksi seperti rubella, measles, mumps, pertussis, cacar air dan hepatitis merupakan penyakit infeksi yang berbahaya. Kinbaby [13] menyebut- kan bahwa penyakit tersebut berbahaya karena dapat mengakibatkan komplikasi, kerusakan organ tubuh, cacat, kelumpuhan bahkan kematian. Penyakit tersebut disebabkan oleh virus yang dapat menyerang siapa saja. Penyebaran penyakit ini dapat melalui udara, batuk atau bersin, makanan, minuman dan kotoran manusia. Bagi anak-anak gejala yang ditimbulkan dari penyakit ini memang tidak begitu berbahaya, namun pada orang dewasa khususnya pada ibu hamil gejala tersebut bisa menjadi sangat berbahaya.

Piccolo dan Billings [15] menyebutkan penyakit infeksi seperti cacar air, rubella, measles, mumps dan pertussis merupakan masalah yang dihadapi setiap negara di dunia. Pada kota-kota besar imigrasi merupakan suatu hal yang wajar dan sering terjadi, sehingga faktor imigran menjadi salah satu faktor yang dapat mempengaruhi penyebaran suatu penyakit di wilayah tersebut. Individu baru yang masuk ke suatu wilayah mungkin membawa penyakit dari daerah sebelum- nya, sehingga individu tersebut dapat menularkan penyakit pada individu lain dalam daerah baru.

Penyakit infeksi tersebut bersifat endemik yaitu menyebar dalam kurun waktu yang lama, sehingga dapat menimbulkan kerugian yang cukup besar. De- ngan demikian perlu dilakukan upaya untuk menurunkan jumlah penderita. Upa- ya pencegahan penyebaran penyakit dapat dilakukan dengan vaksinasi. Vaksinasi diberikan pada individu susceptible atau individu yang rentan terhadap penyakit. Program vaksinasi diharapkan dapat meningkatkan imunitas tubuh, sehingga in-

commit to user

dividu menjadi kebal terhadap suatu penyakit. Menurut WHO [16], pemberian vaksin MMR (Measles, Mumps, Rubella) telah terbukti dapat menekan jumlah kematian yang disebabkan penyakit measles, mumps dan rubella.

Pada umumnya, suatu penyakit akan cepat menyebar apabila didukung oleh keadaan lingkungan yang tidak sehat. Lingkungan yang tidak sehat ini dikare- nakan kurangnya akses masyarakat terhadap sanitasi serta kurangnya pelayanan kesehatan pada daerah tersebut. Menurut CDC [17], pada dasarnya sanitasi di- gambarkan sebagai suatu akses terhadap fasilitas pembuangan yang aman dari kotoran manusia (tinja dan urine), serta memiliki kemampuan untuk memper- tahankan kondisi higienis. Hetchote [9] menyebutkan bahwa, perbaikan sanitasi dapat mengurangi laju penyebaran penyakit. Upaya pencegahan penyebaran penyakit dapat dilakukan dengan meningkatkan sanitasi seperti mencegah ter- kontaminasinya makanan dan air oleh tinja, mencuci tangan setelah buang air besar dan sebelum makan, menjaga kebersihan saluran pembuangan, pengelolaan sampah rumah tangga serta gaya hidup sehat.

Menurut CDC [17], sanitasi total meliputi sumber air bersih, gaya hidup se- hat dan saluran pembuangan. Tingkat sanitasi dapat dilihat dari jumlah individu yang sakit tiap tahunnya. Hal ini berkorelasi dengan fasilitas sanitasi yang ada pada suatu daerah. Apabila di daerah tersebut banyak individu yang sakit tiap tahunnya, maka tingkat sanitasi di daerah tersebut kurang baik dan begitu pula sebaliknya. Guimaraens dan Code¸co [6] menyebutkan bahwa daerah yang memi- liki tingkat sanitasi rendah dapat menyebabkan endemik bagi penyakit hepatitis

A. Selain hepatitis A, penyakit cacar air juga menjadi endemik pada daerah yang memikiki tingkat sanitasi yang rendah. Masalah penyebaran penyakit dengan upaya pencegahannya dapat digam- barkan dengan model matematika. Masalah tersebut dibentuk ke dalam model matematis dengan asumsi-asumsi dan parameter yang telah ditentukan. Pada beberapa kasus, individu yang rentan penyakit dapat terinfeksi. Kemudian de- ngan pengobatan medis atau proses alam, individu terinfeksi akan sembuh dan diharapkan kebal terhadap penyakit. Menurut Kermak dan McKendrick [11],

commit to user

pola penyebaran penyakit seperti ini dapat dijelaskan melalui model susceptible, infected, recovered (SIR).

Menurut Hethcote [8] ada dua model SIR klasik yaitu model epidemi SIR dan model endemik SIR. Karena penyakit ini bersifat endemik maka permasa- lahan penyebaran penyakit ini dapat dimodelkan dengan model endemik SIR. Kermack dan McKendrick [11] menyebutkan bahwa model endemik SIR berben- tuk sistem autonomous persamaan diferensial nonlinier orde satu. Penyelesaian sistem tersebut menyatakan jumlah individu susceptible (S ), infected (I ) dan recovered (R) setiap saat. Dengan demikian penyelesaian sistem tersebut dapat menjelaskan tentang bagaimana penyebaran penyakit pada suatu wilayah. Penye- lesaian sistem dengan sifat tertentu dimana jumlah individu susceptible, infected dan recovered tetap sepanjang waktu disebut titik kesetimbangan. Selanjutnya perlu diketahui sifat kestabilan dari titik kesetimbangan tersebut untuk menge- tahui bagaimana perilaku penyelesaian di sekitar titik kesetimbangan tersebut.

Piccolo dan Billings [15] telah meneliti tentang model endemik susceptible, infected, recovered SIR yang mempertimbangkan faktor imigrasi dan vaksinasi dengan keefektifan vaksin 100%. Dalam hal ini, penulis ingin mengembangkan model endemik susceptible, infected, recovered (SIR) yang mempertimbangkan faktor imigrasi dan vaksinasi dengan keefektifan vaksin yang tidak 100% serta menambahkan faktor sanitasi dalam model. Selain itu penulis juga tertarik un- tuk mengetahui titik kesetimbangan serta kestabilan titik kesetimbangan model tersebut. Kemudian diberikan pula suatu contoh kasus untuk menginterpretasi- kan model endemik SIR dengan imigrasi, vaksinasi dan sanitasi.

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan dapat diambil tiga perumusan masalah yaitu

1. bagaimana menurunkan model endemik SIR dengan imigrasi, vaksinasi dan sanitasi?

commit to user

2. bagaimana menentukan titik kesetimbangan dan kestabilan di titik kese- timbangan?

3. bagaimana interpretasi model endemik SIR dengan imigrasi, vaksinasi dan sanitasi pada suatu kasus?

1.3 Batasan Masalah

Dalam penelitian ini, permasalahan dibatasi hanya pada fungsi sanitasi dengan nilai konstanta proporsionalitas pada fungsi tersebut lebih kecil atau sama dengan tingkat rata-rata kontaknya.

1.4 Tujuan

Penelitian ini bertujuan untuk

1. menurunkan model endemik SIR dengan imigrasi, vaksinasi dan sanitasi,

2. menentukan titik kesetimbangan dan kestabilan di titik kesetimbangan,

3. menginterpretasikan model endemik SIR dengan imigrasi, vaksinasi dan sanitasi pada suatu kasus.

1.5 Manfaat

Penelitian ini diharapkan dapat menambah pengetahuan tentang pengaruh imigrasi, vaksinasi, serta sanitasi terhadap penyebaran penyakit dilihat dari sudut pandang matematika.

commit to user

Bab II LANDASAN TEORI

Pada bagian ini diberikan tinjauan pustaka yang berisi penelitian sebe- lumnya yang mendasari penelitian ini, teori penunjang yang berisi definisi dan teori yang diperlukan serta kerangka pemikiran yang menjelaskan alur pemikiran penulisan skripsi.

2.1 Tinjauan Pustaka

Model SIR pertama kali diperkenalkan pada tahun 1927 oleh Kermack dan McKendrick [11]. Model ini berbentuk sistem autonomous persamaan diferensial. Menurut Hethcote [8], ada dua model SIR yaitu model epidemik SIR dan model endemik SIR. Model epidemik SIR digunakan untuk menggambarkan penyebaran suatu penyakit yang bersifat epidemik, sedangkan model endemik SIR digunakan untuk menggambarkan penyebaran suatu penyakit yang bersifat endemik. Model SIR sendiri telah dikembangkan oleh beberapa ilmuwan lain seperti Piccolo dan Billings [15], Guimaraens dan Code¸co [6] untuk mempelajari penyebaran penyakit pada kasus-kasus tertentu.

Dalam artikelnya, Piccolo dan Billings [15] telah mempelajari tentang pe- ngaruh vaksinasi pada model SIR dengan imigrasi. Vaksinasi pada model tersebut memiliki keefektifan vaksin 100%. Kemudian pada tahun 2005, dalam artikelnya Guimaraens dan Code¸co [6] meneliti tentang pengaruh sanitasi pada penyebaran penyakit dengan model SIR dengan vaksinasi. Mereka mempelajari tentang pe- nyebaran penyakit hepatitis A pada masyarakat Brazil yang sangat kurang dalam pelayanan kesehatan dan kebersihan.

Penulis tertarik untuk mengembangkan model SIR dengan mempertim- bangkan faktor imigrasi dan vaksinasi seperti yang dikembangkan oleh Piccolo

commit to user

dan Billings [15], namun dengan keefektifan vaksin yang tidak 100%. Kemudian model tersebut ditambahkan dengan faktor sanitasi seperti yang ditulis oleh Gui- maraens dan Code¸co [6]. Hal tersebut merupakan pengembangan dari yang telah dilakukan Arum dan Kuntari [1] yang membahas tentang simulasi level sanitasi pada model SIR dengan imigrasi dan vaksinasi.

2.2 Teori Penunjang

Pada bagian ini dijelaskan definisi dan teori yang mendukung dalam menca- pai tujuan penulisan. Selanjutnya diberikan definisi sistem autonomous, bidang fase, model endemik SIR dengan imigrasi dan vaksinasi, kesetimbangan serta kestabilan.

2.2.1 Sistem Autonomous

Sistem persamaan diferensial nonlinear orde satu yang terdiri dari tiga persamaan mempunyai bentuk umum

dengan variabel S, I, dan R bergantung pada t. Fungsi f 1 ,f 2 ,f 3 merupakan per-

samaan nonlinear yang kontinu. Dengan demikian ada jaminan bahwa sistem (2.1) memiliki penyelesaian. Menurut Boyce [3], suatu sistem persamaan diferen-

sial dimana variabel bebas t tidak muncul secara eksplisit pada f 1 ,f 2 ,f 3 disebut sistem autonomous.

2.2.2 Bidang Fase

Farlow [4] menyebutkan bahwa tidak semua sistem persamaan nonlinear dapat diselesaikan dengan mudah. Oleh karena itu dibutuhkan suatu alat yang

commit to user

dapat membantu memberikan informasi tentang perilaku penyelesaian sistem no- nlinier tersebut. Dalam hal ini trajektori pada bidang fase dapat digunakan untuk mengetahui perilaku penyelesaian sistem.

Sistem (2.1) terdiri dari tiga persamaan diferensial orde satu yaitu

=f 3 (S, I, R). Sistem (2.1) memiliki tiga kemungkinan persamaan bidang fase yaitu dS dI , dS dR , dan

dI

dR . Ambil contoh persamaan bidang fase dS dI . Persamaan bidang fase dS dI yaitu

Penyelesaian persamaan bidang fase (2.2) tersebut dapat digambarkan sebagai kurva pada bidang S −I. Untuk selanjutnya bidang S −I tersebut disebut bidang fase. Sedangkan kurva yang dibentuk oleh penyelesaian persamaan bidang fase (2.2) yang disajikan pada bidang fase disebut trajektori.

2.2.3 Model Endemik SIR dengan Imigrasi dan

Vaksinasi

Penyakit yang bersifat endemik merupakan suatu penyakit yang menyebar pada suatu wilayah tertentu dalam kurun waktu yang lama. Menurut Hethcote [8], penyebaran penyakit endemik dapat dimodelkan kedalam model matematika yang disebut model endemik SIR. Karena terjadi dalam kurun waktu yang lama, faktor kelahiran dan kematian diperhatikan dalam model tersebut. Kemudian Piccolo dan Bilings [15] mengembangkan model endemik SIR dengan menam- bahkan faktor imigran dan vaksinasi. Dalam hal ini imigrasi dan program vak- sinasi juga memberikan pengaruh pada penyebaran suatu penyakit.

Menurut Hethcote [8], populasi pada model endemik SIR dengan imigrasi dan vaksinasi dibagi menjadi tiga kelompok yaitu kelompok individu susceptible atau individu yang rentan penyakit (S), kelompok individu infected atau individu yang terinfeksi penyakit serta dapat menyebarkan penyakit ke sejumlah individu lain (I) dan kelompok individu recovered atau individu yang sudah sembuh atau

commit to user

bebas dari penyakit (R). Berikut adalah asumsi yang digunakan pada model endemik SIR dengan imigrasi dan vaksinasi.

1. Jumlah individu pada populasi konstan.

2. Setiap individu lahir dan imigran dalam keadaan sehat tetapi rentan pe- nyakit.

3. Populasi bercampur secara homogen, artinya setiap individu memiliki ke- mungkinan yang sama tertular suatu penyakit.

4. Hanya satu penyakit yang menyebar dalam populasi dengan masa inkubasi penyakit diabaikan.

5. Tidak terjadi emigrasi pada daerah tersebut.

6. Vaksinasi hanya diberikan pada individu susceptible, dengan keefektifan vaksin 100%.

Karena diasumsikan populasi konstan, sehingga jumlah individu pada po- pulasi tersebut tetap atau S(t)+I(t)+R(t) = N. Misal tingkat kelahiran sebesar

µ 1 , dan tingkat individu imigran sebesar µ 2 . Oleh karena itu jumlah individu lahir dan jumlah individu imigran pada daerah tersebut sebesar µ 1 N dan µ 2 N . Ting-

kat kematian dalam tiap kelompok sama dengan tingkat kelahiran dan tingkat

imigrasi yaitu (µ 1 +µ 2 ). Misal tingkat vaksinasi pada individu lahir dan individu imigran sebesar σ 1 dan σ 2 . Dengan demikian jumlah individu lahir dan imigran yang divaksin yaitu sebesar σ 1 µ 1 N dan σ 2 µ 2 N . Karena diasumsikan bahwa ke-

efektifan vaksin 100%, maka individu yang telah berhasil divaksin langsung ma- suk pada kelompok R.

Individu dapat terinfeksi suatu penyakit jika ada kontak antara individu infected dengan susceptible. Misal tingkat rata-rata kontak sebesar β dan tingkat kesembuhan penyakit sebesar γ. Karena setiap individu memiliki kemungkinan yang sama tertular suatu penyakit, maka kemungkinan jumlah individu suscep- tible yang pindah ke kelompok I sebesar βSI N . Sedangkan jumlah individu yang sembuh sebesar γI. Dinamika populasi model endemik SIR dengan imigrasi dan

commit to user

vaksinasi disajikan dalam Gambar 2.1. Perubahan jumlah individu S, I dan R

Gambar 2.1. Dinamika populasi model endemik SIR dengan imigrasi dan vaksinasi

setiap saat disajikan sebagai dS

Sistem persamaan diferensial (2.3) merupakan model endemik SIR dengan vak- sinasi dan imigrasi.

2.2.4 Kesetimbangan dan Kestabilan

Panfilov [14] menyebutkan bahwa titik kesetimbangan dari suatu sistem merupakan suatu titik saat sistem tidak mengalami perubahan sepanjang wak- tu. Definisi titik kesetimbangan secara matematis disajikan pada Definisi 2.2.1 berikut.

Definisi 2.2.1. Titik (S ∗ ,I ∗ ,R ∗ ) merupakan titik kesetimbangan sistem (2.1) jika memenuhi

f 1 (S ∗ ,I ∗ ,R ∗ )=f 2 (S ∗ ,I ∗ ,R ∗ )=f 3 (S ∗ ,I ∗ ,R ∗ ) = 0. Titik kesetimbangan merupakan salah satu penyelesaian dari suatu sistem

persamaan diferensial. Perilaku kestabilan di sekitar titik kesetimbangan dapat

commit to user

memberikan informasi tentang perilaku penyelesaian sistem tersebut. Menurut Finizio dan Ladas [5], titik kesetimbangan yang stabil berarti jika terjadi per- ubahan kecil pada titik kesetimbangan maka akan memberikan pengaruh kecil pada penyelesaian. Sedangkan stabil asimtotis berarti pengaruh dari perubahan kecil tersebut cenderung menghilang, dan suatu titik kesetimbangan yang tidak stabil berarti perubahan kecil yang terjadi pada titik kesetimbangan tersebut memiliki pengaruh besar dalam penyelesaiannya.

Jika (S, I, R) merupakan suatu titik disekitar titik kesetimbangan (S ∗ ,I ∗ ,R ∗ ) pada sistem (2.1), maka (S, I, R) secara matematis dapat dituliskankan sebagai

(S, I, R) = (S ∗ + ∆S, I ∗ + ∆I, R ∗ + ∆R). Dengan demikian perubahan titik kesetimbangan pada sistem (2.1) dapat

dituliskan sebagai

=f 3 (S ∗ + ∆S, I ∗ + ∆I, R ∗ + ∆R).

(2.4)

Menurut Khamsi [12], fungsi nonlinear f 1 ,f 2 ,f 3 pada sistem (2.4) dapat didekati dengan menggunakan ekspansi deret Taylor

Karena (S ∗ ,I ∗ ,R ∗ ) merupakan titik kesetimbangan maka berdasarkan Definisi 2.2.1 berlaku

f 1 (S ∗ ,I ∗ ,R ∗ )=f 2 (S ∗ ,I ∗ ,R ∗ )=f 3 (S ∗ ,I ∗ ,R ∗ ) = 0.

commit to user

Dengan demikian sistem (2.1) dapat didekati sebagai sistem linear dS

Sistem linear (2.5) dapat disajikan dalam bentuk matriks 

Matriks J(S ∗ ,I ∗ ,R ∗ ) pada sistem (2.6) merupakan matriks Jacobian. Menurut Bellomo dan Preziosi [2] nilai eigen dari matriks Jacobian pada sistem (2.6) dapat digunakan untuk menentukkan tipe kestabilan di titik kesetimbangan. Berikut ini teorema yang menyatakan hal tersebut.

Teorema 2.2.1. Jika λ i merupakan nilai eigen matriks Jacobian J(S ∗ ,I ∗ ,R ∗ )

yang dievaluasi pada titik kesetimbangan (S ∗ ,I ∗ ,R ∗ ) dan R e (λ i ) adalah real dari λ i maka

1. untuk setiap Re(λ i ) < 0, (S ∗ ,I ∗ ,R ∗ ) disebut stabil asimtotis,

2. untuk setiap Re(λ i ) > 0, (S ∗ ,I ∗ ,R ∗ ) disebut tidak stabil. Kriteria kestabilan titik kesetimbangan berdasarkan nilai eigen dari ma-

triks Jacobian disajikan pada Tabel 2.1. Selain dengan menggunakan nilai eigen matriks Jacobian, kestabilan titik kesetimbangan dapat dilihat dari perilaku tra- jektori pada bidang fase. Menurut Haberman [7] apabila arah trajektori menuju titik kesetimbangan maka titik kesetimbangan tersebut stabil, sebaliknya apabila arah trajektori menjauhi titik kesetimbangan maka titik kesetimbangan tersebut tidak stabil. Trajektori pada bidang fase disajikan pada Gambar 2.2.

commit to user

Tabel 2.1. Kriteria kestabilan berdasarkan nilai eigen Nilai eigen.

Titik Kestabilan

real, tidak sama, simpul stabil asimtotis : semuanya negatif bertanda sama

tidak stabil : semuanya positif real, tidak sama,

sadel tidak stabil

berlawanan tanda real, sama

simpul stabil asimtotis : semuanya negatif tidak stabil : jika semuanya positif kompleks konjugate

spiral stabil asimtotis : bagian real negatif bukan imajiner murni

tidak stabil : bagian real positif imajiner murni

pusat stabil

2.3 Kerangka Berpikir

Berdasarkan tinjauan pustaka, dapat disusun kerangka pemikiran sebagai berikut. Model susceptible, infected, recovered (SIR) merupakan salah satu model matematika yang menyatakan pola penyebaran penyakit. Dengan asumsi-asumsi tertentu model tersebut dapat digunakan untuk masalah yang memenuhi asumsi tersebut.

Penyakit infeksi seperti hepatitis, rubella, measles, mumps, hepatitis, cacar air dan pertussis merupakan penyakit infeksi yang dapat dimodelkan dengan model SIR. Penyakit tersebut bersifat endemik, oleh karena itu faktor kelahiran, kematian perlu diperhatikan dalam model. Selanjutnya individu imigran juga dapat mempengaruhi penyebaran suatu penyakit, untuk itu faktor imigrasi perlu diperhatikan dalam model.

Upaya penekanan laju penyebaran penyakit dapat dilakukan dengan vak- sinasi. Dengan demikian, untuk selanjutnya vaksinasi juga akan diperhatikan dalam model. Namun pada nyatanya, pemberian vaksin saja tidak cukup un- tuk menurunkan jumlah penderita. Hal ini dikarenakan beberapa faktor, seperti keefektivitasan vaksinasi dan faktor sanitasi yang kurang baik. Pada beberapa penyakit infeksi seperti cacar air, faktor sanitasi merupakan suatu faktor yang

commit to user

Gambar 2.2. Trajektori pada bidang fase sangat berpengaruh dalam penyebaran penyakit. Oleh karena itu faktor sanitasi

akan dimasukkan ke dalam model. Model endemik SIR berupa sistem autonomous persamaan diferensial non- linear orde satu. Perilaku sistem dapat diamati dengan menganalisis kestabilan di titik kesetimbangannya. Tipe kestabilan pada model SIR dapat ditentukan dari nilai eigen matriks Jacobian di titik kesetimbangan atau dapat diamati dari perilaku trajektori di sekitar titik kesetimbangan pada bidang fase. Selanjutnya model diinterpretasikan dalam permasalahan nyata.

commit to user

Bab III METODE PENELITIAN

Metode penelitian yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah studi literatur. Langkah-langkah yang dilakukan untuk mencapai tujuan dalam pene- litian ini adalah sebagai berikut.

1. Mempelajari keadaan, perilaku, interaksi, serta kejadian dalam suatu popu- lasi konstan dimana terdapat individu imigran dengan individu didalamnya telah diberi vaksinasi, dan program sanitasi.

2. Menentukan asumsi, dan parameter yang diperlukan untuk mengkonstruksi model.

3. Mengkonstruksi model berdasarkan asumsi, dan parameter yang telah di- tentukan. Langkah 1-3 dilakukan untuk mencapai tujuan pertama.

4. Menentukan titik kesetimbangan dari model SIR dengan imigrasi, vaksinasi dan sanitasi menggunakan Definisi 2.2.1

5. Menganalisis tipe kestabilan di titik kesetimbangan menggunakan Teorema

7.1 dan Tabel 2.1. Langkah 4-5 dilakukan untuk mencapai tujuan kedua.

6. Menentukan nilai parameter pada contoh yang diamati kemudian menen-

tukan titik kesetimbangan serta kestabilan di titik kesetimbangan.

7. Menggambarkan grafik penyelesaian untuk membantu mendeskripsikan pe-

rilaku penyelesaian model SIR dengan imigrasi, vaksinasi dan sanitasi.

8. Melakukan simulasi numerik menggunakan nilai parameter yang bervariasi untuk mengetahui perubahan puncak endemik.

commit to user

9. Membandingkan hasil-hasil perubahan puncak endemik yang diperoleh dari langkah (8)

10. Menginterpretasikan hasil yang diperoleh. Langkah 6-10 dilakukan untuk mencapai tujuan ketiga.

commit to user

Bab IV PEMBAHASAN

4.1 Konstruksi Model

Konstruksi model endemik SIR dengan imigrasi, vaksinasi dan sanitasi mengacu pada Piccolo dan Billings [15]. Penyebaran penyakit terjadi pada suatu daerah dengan asumsi dasar yang sama dengan asumsi pada model endemik SIR dengan imigrasi dan vaksinasi menurut Piccolo dan Billings [15].

Telah diasumsikan populasi konstan, sehingga jumlah individu pada popu- lasi tersebut tetap atau S(t) + I(t) + R(t) = N. Tingkat kelahiran pada populasi

tersebut sebesar µ 1 , sedangkan tingkat individu yang masuk ke daerah tersebut (imigran) sebesar µ 2 . Tingkat kematian dalam tiap kelompok sama dengan de- ngan tingkat kelahiran dan tingkat imigrasi yaitu (µ 1 +µ 2 ). Tingkat vaksinasi pada individu lahir adalah σ 1 , sedangkan tingkat vaksinasi pada individu imigran adalah σ 2 dengan 0 ≤ σ 1 ≤ 1 dan 0 ≤ σ 2 ≤ 1. Pada Piccolo dan Billings [15] di-

asumsikan keefektifan vaksin 100%, namun pada penelitian ini diasumsikan bah- wa keefektifan vaksin tidak 100%. Oleh karena itu terdapat individu yang gagal vaksin dengan tingkat kegagalan vaksin sebesar θ. Tingkat kegagalan vaksin ter- sebut bernilai 0 ≤ θ ≤ 1. Individu yang telah berhasil divaksin langsung masuk pada kelompok R, sedangkan individu yang mengalami kegagalan vaksin kembali ke kelompok S.

Penyakit yang menyebar pada daerah tersebut bersifat endemik atau me- nyebar dalam jangka waktu lama. Banyaknya jumlah individu infected tentunya akan membawa kerugian yang besar bagi daerah tersebut. Untuk itu perlu di- lakukan suatu cara untuk menurunkan jumlah individu infected. Usaha untuk me- nurunkan jumlah individu infected dapat dilakukan dengan menurunkan tingkat kontak rata-rata. Menurut Hethcote [8] faktor sanitasi dapat menurunkan ting-

commit to user

kat kontak rata-rata tersebut. Guimaraens dan Code¸co [6] menyebutkan bahwa faktor sanitasi merupakan suatu fungsi linear kontinu yang mendeskripsikan efek sanitasi terhadap tingkat kontak rata-rata. Dengan demikian fungsi tersebut dapat didefinisikan sebagai c(H) = β − αH, dengan β merupakan tingkat kontak rata-rata, α merupakan sebuah konstanta proporsionalitas yang bernilai 0 < α ≤ β dan H merupakan tingkat sanitasi yang bernilai 0 ≤ H ≤ 1. Oleh karena itu kemungkinan jumlah individu susceptible yang pindah ke kelompok I sebesar

(β−αH)SI N

. Perubahan jumlah individu kelompok S setiap saat adalah jumlah individu lahir serta imigran sebesar (µ 1 +µ 2 )N dikurangi dengan jumlah individu lahir dan imigran yang telah sukses divaksin sebesar (1 − θ)(σ 1 µ 1 +σ 2 µ 2 )N. Jumlah

individu kelompok S juga berkurang karena adanya individu yang terinfeksi atau pindah ke kelompok I sebesar (β−αH)SI N serta adanya kematian pada kelompok S

sejumlah (µ 1 +µ 2 )S. Oleh karena itu perubahan jumlah individu pada kelompok S setiap saat dapat diekspresikan sebagai dS

dt

= (µ 1 +µ 2 )N − (1 − θ)(σ 1 µ 1 +σ 2 µ 2 )N − (µ 1 +µ 2 )S −

(β − αH)SI N

. (4.1) Individu pada kelompok I berasal dari individu pada kelompok S yang

terinfeksi sebesar (β−αH)SI N . Jumlah individu pada kelompok I berkurang karena

adanya kematian alami yang terjadi pada kelompok I sebesar (µ 1 +µ 2 )I dan

adanya individu yang sembuh. Misal tingkat kesembuhan γ, jumlah individu yang sembuh dan ke dalam kelompok R sejumlah γI. Perubahan jumlah individu pada kelompok I setiap saat dapat diekspresikan sebagai

dI

dt

(β − αH)SI

− (µ 1 +µ 2 )I − γI.

(4.2) Individu pada kelompok R berasal dari jumlah individu yang telah berhasil

divaksin (baik individu lahir maupun imigran) dan jumlah individu yang sembuh sebesar γI. Jumlah individu pada kelompok R berkurang dengan adanya kema-

tian pada kelompok R sebesar (µ 1 +µ 2 )R. Dengan demikian perubahan jumlah individu pada kelompok R setiap saat dapat diekspresikan sebagai

dR dt

= (1 − θ)(σ 1 µ 1 +σ 2 µ 2 )N + γI − (µ 1 +µ 2 )R. (4.3)

commit to user

Dinamika populasi model SIR dengan imigrasi dan vaksinasi disajikan dalam Gambar 4.1. Dari persamaan (4.1), (4.2), dan (4.3) diperoleh model endemik

Gambar 4.1. Dinamika populasi model SIR dengan imigrasi, vaksinasi dan sanitasi

SIR dengan imigrasi, vaksinasi dan sanitasi yang dinyatakan sebagai dS

dt

= (µ 1 +µ 2 )N − (1 − θ)(σ 1 µ 1 +σ 2 µ 2 )N − (µ 1 +µ 2 )S −

(β − αH)SI N

dI dt

(β − αH)SI N

− (µ 1 +µ 2 )I − γI

dR dt

= (1 − θ)(σ 1 µ 1 +σ 2 µ 2 )N + γI − (µ 1 +µ 2 )R.

(4.4)

Sistem persamaan diferensial (4.4) merupakan model endemik SIR dengan imi-

grasi, vaksinasi dan sanitasi dengan parameter µ 1 ,µ 2 , β, γ bernilai positif dan α

merupakan suatu konstanta proporsionalitas. Penyelesaian dari sistem (4.4) be- rupa S(t), I(t) dan R(t) yang menyatakan jumlah individu pada kelompok S,I,R setiap saat. Hal ini dapat digunakan untuk menjelaskan tentang penyebaran suatu penyakit.

4.2 Titik Kesetimbangan

Panfilov [14] menyebutkan bahwa titik kesetimbangan dari suatu sistem merupakan suatu titik saat sistem tidak mengalami perubahan sepanjang waktu. Pada sistem (4.4) variabel R tidak muncul pada kedua persamaan lainnya, hal ini menunjukkan bahwa jumlah individu pada kelompok R tidak mempengaruhi laju

commit to user

perubahan individu pada kelompok S dan I. Karena diasumsikan bahwa populasi konstan S(t) + I(t) + R(t) = N, maka nilai R(t) dapat diketahui apabila nilai S (t) dan I(t) diketahui. Oleh karena itu sistem (4.4) dapat ditulis sebagai

dS dt

= (µ 1 +µ 2 )N − (1 − θ)(σ 1 µ 1 +σ 2 µ 2 )N − (µ 1 +µ 2 )S −

(β − αH)SI N

dI dt

(β − αH)SI

− (µ 1 +µ 2 )I − γI.

Dengan demikian berdasarkan Definisi 2.2.1 sistem akan setimbang jika dS

dt

= (µ 1 +µ 2 )N − (1 − θ)(σ 1 µ 1 +σ 2 µ 2 )N − (µ 1 +µ 2 )S −

(β − αH)SI N

=0

dI dt

(β − αH)SI N

− (µ 1 +µ 2 )I − γI = 0.

Karena pada sistem (4.4) terdapat suatu fungsi c(H) = β − αH dengan 0 ≤

H ≤ 1, maka sulit untuk menentukan titik kesetimbangannya. Sehingga harus dimasukkan suatu nilai H ke dalam sistem (4.4) agar dapat ditentukan titik

kesetimbangannya. Untuk selanjutnya titik kesetimbangan hanya akan diselidiki pada H = 1. Hal ini dilakukan untuk mengetahui titik kesetimbangan dengan sanitasi maksimal (H = 1). Sedangkan untuk 0 ≤ H < 1 akan diselidiki melalui simulasi.

Untuk sanitasi maksimal atau H = 1, sistem (4.4) memenuhi keadaan se- timbang jika dS

dt

= (µ 1 +µ 2 )N − (1 − θ)(σ 1 µ 1 +σ 2 µ 2 )N − (µ 1 +µ 2 )S −

(β − α)SI N

=0

dI dt

(β − α)SI N

− (µ 1 +µ 2 )I − γI = 0.

Karena S + I + R = N maka nilai R dapat diperoleh jika nilai S dan I telah diperoleh. Dari persamaan (4.2) diperoleh dua jenis titik kesetimbangan dilihat dari ada tidaknya individu pada kelompok I.

1. Titik kesetimbangan bebas penyakit

E 0 = (S 0 ,I 0 ,R 0 )= (µ 1 +µ 2 )N −(1−θ)(µ 1 σ 1 +µ 2 σ 2 µ )N 1 +µ 2 , 0, (1−θ)(µ 1 σ 1 +µ 2 σ 2 µ )N 1 +µ 2 . Nilai I 0 = 0 menunjukkan bahwa tidak ada individu pada kelompok I saat

sistem dalam keadaan setimbang. Oleh karena itu pada kondisi ini penyakit sudah tidak menyebar lagi atau bebas penyakit.

commit to user

2. Titik kesetimbangan endemik

(µ 1 +µ 2 )N − (1 − θ)(µ 1 σ 1 +µ 2 σ 2 )N − (µ 1 +µ 2 )(γ+µ 1 +µ 2 β−α )N

(γ + µ 1 +µ 2 ) R e =N − S e −I e

Nilai I e yang tidak nol menunjukkan bahwa terdapat sejumlah individu pada kelompok I yang menyebarkan penyakit dan menyebabkan endemik.

4.3 Kestabilan Titik Kesetimbangan

Menurut Bellomo dan Presziosi [2], kestabilan dari suatu sistem persamaan diferensial dapat ditentukan berdasarkan nilai eigen matriks Jacobian sistem yang dievaluasi pada titik kesetimbangannya. Karena diasumsikan populasi konstan S + I + R = N, nilai R dapat diketahui apabila nilai S dan I telah diketahui. Dengan demikian sistem (4.4) dapat ditulis sebagai

dS dt

= (µ 1 +µ 2 )N − (1 − θ)(σ 1 µ 1 +σ 2 µ 2 )N − (µ 1 +µ 2 )S −

(β − αH)SI N

dI dt

(β − αH)SI N

− (µ 1 +µ 2 )I − γI.

(4.5)

Matriks Jacobian dari sistem (4.5) adalah J =

− (β−αH)I N −µ 1 −µ 2 − (β−αH)S N

(β−αH)I

(β−αH)S

−γ−µ 1 −µ 2

Seperti pada titik kesetimbangan, harus dimasukkan suatu nilai H pada sistem (4.5) agar dapat ditentukan nilai eigen dari matriks J. Berikut kestabilan di titik kesetimbangan dengan H = 1.

1. Bebas penyakit Matriks Jacobian sistem (4.5) untuk H = 1 yaitu

J (E 0 )=

−µ 1 −µ 2 − (β−α)S 0 N

0 (β−α)S 0 N −γ−µ 1 −µ 2

 (4.6)

commit to user

dengan S 0 = (µ 1 +µ 2 )N −(1−θ)(µ 1 σ 1 +µ 2 σ 2 µ )N 1 +µ 2 . Nilai eigen dari matriks Jacobian (4.6) adalah

. Dari Tabel 2.1, sistem akan stabil asimtotis jika (µ 1 +µ 2 )−(1−θ)(µ 1 σ 1 +µ 2 σ 2 (µ ) 1 +µ 2 ) ≤ 0.

Sebaliknya jika (µ 1 +µ 2 )−(1−θ)(µ 1 σ 1 +µ 2 σ 2 (µ ) 1 +µ 2 ) > 0 maka sistem tidak stabil.

2. Endemik Matriks Jacobian sistem (4.5) untuk H = 1 yaitu

J (E e )=

− (β−α)I e N γ +µ 1 +µ 2

(β−α)I e

(4.7)

dengan I e = (µ 1 +µ 2 )N −(1−θ)(µ 1 σ 1 +µ 2 σ 2 )N − (µ1+µ2)(γ+µ1+µ2)N

β−α

(γ+µ 1 +µ 2 )

. Persamaan karakte- ristik matriks Jacobian (4.7) yaitu

Nilai eigen dari matriks Jacobian (4.7) adalah λ 1 = −A−

2 . Berdasarkan Tabel 2.1 titik kesetimbangan tersebut akan sta- bil asimtotis apabila nilai eigennya bernilai real negatif. Dengan demikian

titik kesetimbangan akan stabil asimtotis apabila

A 2 − 4B < A dan tidak stabil apabila

A 2 − 4B > A dengan nilai A > 0 dan A 2 − 4B > 0. Selain itu titik kesetimbangan juga akan stabil asimtotis apabila bagian real nilai eigennya yang berbentuk kompleks konjugat bernilai negatif. Dengan demi- kian apabila nilai A > 0 maka titik kesetimbangan stabil asimtotis, dengan

A 2 − 4B ≤ 0. Sebaliknya apabila nilai A < 0 maka titik kesetimbangan tidak stabil.

commit to user

4.4 Penerapan Kasus

Penerapan kasus ini merupakan pengembangan dari Arum dan Kuntari [1]. Diberikan informasi tentang penyebaran penyakit cacar air. Penyakit cacar air merupakan penyakit infeksi yang menyebar melalui bersin, batuk, makanan dan bersentuhan langsung dengan luka yang diakibatkan oleh penyakit ini. Menurut Johnson [10] tingkat rata-rata kontak penyakit cacar air yaitu 0.65 ≤ β ≤ 0.85, sedangkan tingkat kesembuhan penyakit sebesar γ = 0.3. Pada pembahasan ini ingin diketahui perilaku penyebaran penyakit cacar air dengan tingkat rata-rata kontak minimal, untuk itu digunakan tingkat rata-rata kontak minimal atau β =

0.65. Sebagai contoh, suatu daerah yang memenuhi asumsi pada model memiliki jumlah penduduk yaitu N = 586039, dengan tingkat kelahiran sebesar µ 1 = 0.01193 dan tingkat individu imigran sebesar µ 2 = 0.02585. Tingkat individu lahir yang divaksin pada daerah tersebut sebesar σ 1 = 0.7, sedangkan tingkat individu imigran yang divaksin sebesar σ 2 = 0.6. Menurut Johnson [10], vaksin

cacar air hanya memiliki keefektifan 99%. Dengan demikian tingkat kegagalan vaksin cacar air yaitu θ = 0.01.

Pada penerapan, ingin diketahui penyebaran penyakit apabila dengan ting- kat sanitasi maksimal atau H = 1. Diambil nilai α = 0.5, dengan demikian tingkat sanitasi dapat menurunkan tingkat rata-rata kontak dari 0.65 menjadi

0.15. Selanjutnya berdasarkan parameter yang telah diketahui, model (4.4) da- pat disajikan sebagai

dS dt

= 8296.91 − 0.03778S − 2.55956 × 10 −7 IS

dI dt

= 2.55956 × 10 −7 IS − 0.33778I

dR dt = 13843.6 + 0.3I − 0.03778R.

(4.8)

Penyelesaian model SIR (4.8) dilakukan dengan menggunakan metode Runge- Kutta orde empat dengan jumlah individu awal I(0) = 100, S(0) = 585939 dan R(0) = 0. Jumlah individu kelompok S, I dan R dengan tingkat sanitasi maksimal dapat dilihat pada Gambar 4.2 dan Gambar 4.3.

Dari Gambar 4.2 terlihat bahwa seiring berjalannya waktu terjadi penu-

commit to user

RS

0 400 t

SR

Gambar 4.2. Jumlah individu S dan R runan jumlah individu pada kelompok S, hal ini dikarenakan adanya individu

susceptible yang tertular penyakit dan kemudian berpindah ke kelompok I. Pada awalnya tidak ada individu pada kelompok R, namun jumlah individu recovered meningkat karena adanya individu yang sembuh dari penyakit dan individu yang sukses divaksin. Jumlah individu pada kelompok R meningkat dari 0 sampai 366428 individu kemudian jumlah tersebut tetap sepanjang waktu. Hal ini ber- kebalikan dengan kelompok S yang menurun dari 585939 sampai 219611 individu kemudian jumlah tersebut tidak berubah atau tetap sepanjang waktu. Jumlah

0 24 100 0 t

100

Gambar 4.3. Jumlah individu I

commit to user

individu infected yang tampak pada Gambar 4.3 menurun dari 100 individu sam- pai 0, kemudian jumlahnya tidak mengalami perubahan sepanjang waktu. Hal ini berarti bahwa penyakit tersebut sudah tidak menyebar lagi. Dari Gambar

4.2 dan 4.3 tampak bahwa untuk suatu waktu t jumlah individu S,I dan R akan tetap sepanjang waktu. Kondisi seperti ini disebut titik kesetimbangan. Titik kesetimbangan merupakan suatu titik dimana tidak terjadi perubahan jumlah individu pada tiap kelompok. Pada kasus ini, hanya terdapat satu titik ke- setimbangan yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit pada (219611, 0, 366428). Tidak adanya individu pada kelompok I menunjukkan bahwa penyakit sudah tidak menyebar lagi atau bebas penyakit. Untuk tingkat sanitasi maksimal atau

H = 1, nilai eigen dari matriks Jacobian di titik kesetimbangan tersebut ada- lah (−0.28156, −0.03778). Berdasarkan Tabel 2.1 titik kesetimbangan tersebut

bersifat stabil asimtotis. Selain dilihat dari nilai eigen matriks Jacobiannya, kes- tabilan di titik kesetimbangan dapat dilihat melalui perilaku trajektori di sekitar titik kesetimbangan pada bidang fase. Hal ini dilakukan untuk mengetahui ba- gaimana perilaku penyelesaian sistem disekitar titik kesetimbangan secara visual agar lebih mudah dipahami.

Pada model (4.8) dapat dibuat tiga bidang fase, yaitu bidang fase S-I, S- R dan I-R. Akan tetapi pada pembahasan ini hanya ditampilkan bidang fase S-I. Hal ini karena penyebaran suatu penyakit dapat dilihat dari jumlah indi- vidu yang sakit (infected ), sedangkan jumlah individu recovered akan diketahui apabila jumlah individu susceptible diketahui. Trajektori di sekitar titik kese- timbangan disajikan pada Gambar 4.4. Dilihat dari bentuknya yang menyerupai simpul, titik kesetimbangan pada kasus ini disebut titik simpul. Tampak bahwa arah trajektori menuju titik kesetimbangan, oleh karena itu kestabilan di titik tersebut bersifat stabil. Selanjutnya karena arah trajektori tersebut membentuk suatu garis asimtotis di sepanjang sumbu S maka kestabilan di titik kesetimbang- an tersebut bersifat stabil asimtotis. Karena titik kesetimbangan yang diperoleh merupakan titik kesetimbangan bebas penyakit, maka pada keadaan ini tidak ada individu yang terinfeksi penyakit. Dengan demikian jika titik kesetimbangan

commit to user

tersebut stabil asimtotis maka kondisi dimana tidak ada individu yang terinfeksi akan terus berlangsung di daerah tersebut. Kondisi yang demikian sangat diha- rapkan karena penyakit tidak akan menyebar lagi.

-300 000

600 000 I

-300 000

600 000

Gambar 4.4. Trajektori di sekitar titik kesetimbangan Selanjutnya dilakukan simulasi pada nilai H untuk mengetahui bagaimana

pengaruh tingkat sanitasi terhadap penurunan puncak endemik. Hal tersebut dirasa penting untuk dijadikan sebagai acuan dalam mengambil tindakan pence- gahan untuk menurunkan puncak endemik. Dengan demikian diharapkan penye- baran penyakit yang terjadi akan berkurang. Simulasi pertama dilakukan pada

H = 0 atau tanpa sanitasi. Hasil simulasi menunjukkan bahwa jumlah individu infected meningkat dengan puncak endemik mencapai 6564 individu pada hari ke-31.

Simulasi kedua dilakukan pada nilai H = 0.25. Jumlah individu infected meningkat pada H = 0.25 dengan puncak endemik sebesar 1507 individu pada hari ke-27, artinya terjadi penurunan puncak endemik sebesar 5057 orang jika tingkat sanitasi dinaikkan dari H = 0 menjadi H = 0.25. Simulasi yang ketiga

commit to user

dilakukan dengan menaikkan tingkat sanitasi menjadi H = 0.5. Ketika tingkat sanitasi dinaikkan menjadi 0.5, jumlah individu infected mencapai 393 individu pada hari ke-19. Hal ini berarti terjadi penurunan puncak endemik sebesar 6171 individu apabila sanitasi dinaikkan dari H = 0 sampai H = 0.5. Simulasi yang terakhir dilakukan pada H = 0.75. Jumlah individu infected maksimal menca- pai 153 individu pada hari ke-11. Dengan demikian terjadi penurunan jumlah individu infected sebesar 6411 individu.

Jumlah individu infeksi maksimum atau puncak endemik pada nilai H =

0, 0.25, 0.5, 0.75, dan 1 disajikan pada Tabel 4.1. Berdasarkan Tabel 4.1 tampak Tabel 4.1. Nilai puncak endemik dengan simulasi nilai H

H Puncak endemik (I maks ) t (dalam hari)

bahwa semakin besar nilai H maka puncak endemik akan semakin menurun. Secara visual penurunan puncak endemik dapat dilihat pada Gambar 4.5. Pada Gambar 4.5 tampak bahwa semakin besar tingkat sanitasi, maka semakin singkat pula penyakit tersebut menyebar pada suatu wilayah.

31 150 100 t

6564

H = 0.25 H = 0.5 H = 0.75

Gambar 4.5. Penurunan puncak endemik H=0 (kiri), H=0.25,0.5,0.75,1 (kanan)

commit to user

Bab V PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan dapat diambil kesimpulan sebagai berikut.

1. Model endemik SIR dengan imigrasi, vaksinasi dan sanitasi dapat dieks-

presikan sebagai dS

dt

= (µ 1 +µ 2 )N − (1 − θ)(σ 1 µ 1 +σ 2 µ 2 )N − (µ 1 +µ 2 )S −

(β − αH)SI N

dI dt

(β − αH)SI

− (µ 1 +µ 2 )I − γI

dR dt

= (1 − θ)(σ 1 µ 1 +σ 2 µ 2 )N + γI − (µ 1 +µ 2 )R.

2. Terdapat dua jenis titik kesetimbangan pada model SIR dengan imigrasi,

vaksinasi dan sanitasi yaitu titik kesetimbangan endemik yaitu

(µ 1 +µ 2 )N − (1 − θ)(µ 1 σ 1 +µ 2 σ 2 )N − (µ 1 +µ 2 )(γ+µ 1 +µ 2 β−αH )N

(γ + µ 1 +µ 2 ) R e =N − S e 1 −I e 1

dan titik kesetimbangan bebas penyakit yaitu

E 0 = (S 0 ,I 0 ,R 0 )= (µ 1 +µ 2 )N −(1−θ)(µ 1 σ 1 +µ 2 σ 2 µ )N

1 +µ 2 , 0, (1−θ)(µ 1 σ 1 +µ 2 σ 2 µ )N 1 +µ 2 .

3. Simulasi menunjukkan bahwa peningkatan sanitasi dapat menurunkan pun- cak endemik serta mempersingkat suatu penyakit menyebar dalam suatu daerah.

commit to user

5.2 Saran

Pada penulisan tugas akhir ini hanya dibahas tentang fungsi sanitasi de- ngan nilai konstanta proporsionalitas (α) pada fungsi sanitasi lebih kecil dari tingkat rata-rata kontak penyakit (β). Sedangkan untuk konstanta proporsionali- tas pada fungsi sanitasi yang lebih besar dari tingkat rata-rata kontak penyebaran penyakit tidak dibahas dalam tugas akhir ini. Dengan demikian apabila pemba-

ca tertarik dengan topik ini, model tersebut dapat dikembangkan lebih lanjut dengan menggunakan nilai α > β.