BAB 4. INTEGRAL KOMPLEKS 4.1 Integral Garis Kompleks - BAB 4 INtegral KOMPleks

BAB 4. INTEGRAL KOMPLEKS

4.1 Integral Garis Kompleks

  Misalkan z ( t ) : D → C adalah fungsi kompleks dengan domain riil

  b

• D = [ b a , ] , maka integral z ( t ) dt , dimana z ( t ) = x ( t ) iy ( t ) dapat dengan mudah

  ∫ a b b b

• dihitung, yaitu z ( t ) dt = x ( t ) dx i y ( t ) dx . Sebagai

  ∫ ∫ ∫ a a a

  1

  3 i

  2

  contoh [( t 1 ) it ] dt . + = + +

  ∫

  2

  3

  b

  Masalah kita adalah bagaimana menghitung f ( z ) dz , dimana fungsi f : D → C

  ∫ a

  dengan D ⊂ . C Misalkan f (z) fungsi kompleks pada sub himpunan dari himpunan bilangan

• kompleks dan C lintasan yang dinyatakan dengan z ( t ) = x ( t ) iy ( t ) , a ≤ t ≤ b ,

  b

  maka pendefinisian dari f ( z ) dz sama dengan pendefinisian pada integral fungsi

  ∫ a riil pada suatu interval.

  b = z

  n z z

  1 n −

  1 z

  2 z a

  = Misal P menyatakan partisi pada lintasan terbuka C, yaitu

• { , ,..., } dan [ , ],

  1 , 2 ,..., , maka jumlah Riemann

  P = a = z z z = b z ∈ z z k = n 1 n k k −

1 k

  yang bersesuaian dengan pariosi P adalah

  n S ( P ) = f ( z ) z z = z − z .

• k =

  ∆ , dengan ∆

  − k k k k k

  1 ∑

1 Jika terdapat bilangan kompleks L sedemikian sehingga untuk sebarang bilangan

  terdapat sebuah partisi P dari lintasan C sehingga berlaku ε >

  ε

  ,

  

S ( P ) − L < ε

  maka fungsi f(z) dikatakan terintegral pada lintasan C dengan nilai integralnya adalah L. Dengan kata lain lim S ( P ) = L .

  → ∞ n

  Nilai limit ini dinamakan integral garis f(z) sepanjang kurva C, ditulis f ( z ) dz L . Jika C tertutup biasa ditulis dengan f ( z ) dz .

  =

  ∫ ∫

  C C

  Sifat-sifat integral kompleks :

  1. Linier, yaitu [ k f ( z ) k g ( z )] dz = k f ( z ) dz k g ( z ) dz + +

  1

  2

  

1

  2 ∫ ∫ ∫

  C C C

  2. Jika C terdiri dari dua bagian kurva C dan C maka,

  1

  2 + f ( z ) dz = f ( z ) dz f ( z ) dz .

  ∫ ∫ ∫ C C

^{1 C}

²

  3. z dan z adalah ujung-ujung lintasan, maka Jika

  1 z z ₁ f ( z ) dz f ( z ) dz

  = −

  ∫ ∫ z z ₁

  4. Jika f(z) terbatas, f ( z ) ≤ M dengan M bilangan positif, maka f ( z ) dz ≤ f ( z ) dz ≤ ML dengan L adalah panjang kurva.

  ∫ ∫ C C

4.2 Menghitung integral kompleks Integral bergantung lintasan

  Misalkan ( ) : [ , ] C . Lintasan C dapat dipartisi dengan mempartisi inteval

  z t α β →

  [ , ] menjadi n buah sub interval = t < t < ... < t = b . Dengan demikian α β α

  1 n

  { a z ( ), z ( t ), z ( t ),..., z ( ) b } merupakan partisi dari lintasan C. Jumlah = α β =

  1

2 Riemann yang bersesuaian dengan lintasan C adalah

  n

• S ( P ) f ( z ( t ))( z ( t ) − z ( t ))

  =

  k k k −

  1 ∑ k =

  1

  yang dapat ditulis dalam bentuk

  n

  ( z ( t ) − z ( t ))

  − * k k

  1 ( ) ( ( )) ( ) .

  S P = f z t t − t k k k −

  1 ∑ t t

  −

  − = k k

  1 k

1 Untuk diperoleh

  n → ∞ n

  ( z ( t ) − z ( t ))

  

−

1 * k k

  lim S ( P ) lim f ( z ( t )) ( t t ) = −

  − k k k

  1 ∑

  → ∞ → ∞ n n t t

  −

  − = k k

  1 k

  1 β

  = f ( z ( t )) z ' ( t ) dt

  ∫ α

  Jadi integral f(z) pada lintasan C dapat dinyatakan dengan

  β f ( z ) dz = f ( z ( t )) z ' ( t ) dt .

  ∫ ∫ α

  C

  Untuk menghitung integral lintasan di atas dilakukan cara sebagai berikut :

• 1. Nyatakan lintasan C dalam z ( t ) = x ( t ) iy ( t ) , a ≤ t ≤ b 2. Cari turunan, z’(t).

  3. Substitusikan z(t) ke dalam f(z).

  4. Integralkan.

• Contoh 1. Tentukan f ( z ) dz jika f ( z ) = ( x y ) iy dari z = 0 ke z = 1 + i , jika

  ∫ C

  C adalah : a.

  Garis lurus yang menghubungkan z = 0 ke z = 1 + i.

• i t z = 1
• =

• =

  2

  t it t t z , ti t z

  2 ( 1 ) ' + = , dan

  2

  2

  ) ( )) ( ( it t t t z f + + = . Dengan demikian integral menjadi

  ∫ ∫

  C

dt i it t t dz z f

  1

  

2

  2

  ) ) 1 ]( [( ) ( .

  6

  7

  2

  1 )

  [ 2 (

  1

  2 i dt t t i t

  ≤ ≤ + =

  ∫ ∫

  b. Dalam kasus ini lintasan C adalah ) 1 , (

  ∫ ∫

  b.

  Parabola

  2 x y

  = .

  c. Ruas garis dari z = 0 ke z = 1 , kemudian dari z = 1 ke z = 1 + i. Penyelesaian.

  a. Dalam kasus ini lintasan C adalah ) 1 , ( ≤ ≤ + = t it t t z dan

  ) ( ' . Dengan demikian integral menjadi

  C dt i it t f dz z f

  1

  ) ( 1 )( ) ( .

• =
<
• =

  2

  3

  2

  1 ] 3 [

  ) 1 ]( 2 [

  1

  1 i dt t i t dt i it t

  ∫

• =
• =

c.

  C : z(t) = t,

  Dalam kasus ini lintasan C terdiri dua bagian , katakan

  1

  ≤ t + ≤ 1 dan C : z ( t ) = 1 it , ≤ t ≤ 1 .

2 Pada C , z ' ( t ) =

  1 , dan f ( z ( t )) = t . Dengan demikian integral menjadi

  1

  

1

  1

f ( z ) dz = tdt = .

  ∫ ∫

  2 C ¹

• Pada C , z ' ( t ) = − i , dan f ( z ( t )) = − ( t it ) . Dengan demikian

  2

  integral menjadi

  1

  1

  1

f ( z ) dz ( t it ) dt i .

= − = − + +

  ∫ ∫

  2

  2 C ₁ Jadi 1 + f ( z ) dz = f ( z ) dz f ( z ) dz = i .

  ∫ ∫ ∫

  2 C C C _{1 2} Selanjutnya misalkan ingin ditentukan batas atas nilai mutlak integral, maka perlu C dicari bilangan M sehingga f ( z ) ≤ M untuk semua ∈ z dan panjang lintasan L. Misalkan untuk C pada kasus (a) kita punyai dan L 2 sehingga

  =

  f ( z ) dz ≤ f ( z ) dz ≤ 10 .

  ∫ ∫ C C

  Dari contoh 1 di atas terlihat bahwa nilai integral akan berbeda untuk lintasan yang berbeda.

  Integral bebas lintasan

  Terdapat suatu keadaan khusus, bahwa integral lintasan tidak bergantung terhadap bentuk lintasannya, artinya nilai integral akan sama walaupun lintasanya berbeda asalkan ujung-ujungnya sama. Dalam hal ini integral dikatakan bebas lintasan, yang akan dijelaskan sebagai berikut.

  Misalkan D merupakan sub himpunan dari himpunana bilangan riel dan fungsi

  z ( t ) : D → C terdiferensial di t. Selanjutnya misalkan fungsi = + g ( z ) u ( x , y ) iv ( x , y ) terdiferensial di z(t).

  Selanjutnya perhatikan bahwa

• g ( z ( t )) = u ( x ( t ), y ( t )) iv ( x ( t ), y ( t )) dan

  d [ g ( z ( t ))] du dx du dy ⎛ dv dx dv dy ⎞ i .

  = + + + ⎜⎜ ⎟⎟

  dt dx dt dy dt dx dt dy dt

  ⎝ ⎠ Dengan menerapkan persamaan Cauchy Riemann, diperoleh

  d [ g ( z ( t ))] du dx dv dy ⎛ dv dx du dy ⎞ i

  = − + + ⎜⎜ ⎟⎟

  dt dx dt dx dt dx dt dy dt

  ⎝ ⎠

  du dv dx dy

  ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + i i

  ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

  dx dx dt dt

  ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ g ' ( z ( t )) z ' ( t ). =

  Kenyataan di atas dapat digunakan untuk menghitung integral lintasan sebagai berikut. Misalkan F : D → C dengan ) F ' ( z ) = f ( z di D. Misalkan juga a dan b di dalam D dan C ⊂ D kontur/lintasan dari a ke b. Maka

  β f ( z ) dz f ( z ( t )) z ' ( t ) dt , dimana z ( t ) : [ , ] → C ,

  = α β

  ∫ ∫ C α

  =

• z ( t ) x ( t ) iy ( t ) merupakan representasi lintasan C. Telah diketahui bahwa

  d F ( z ( t )) F ' ( z ( t )) z ' ( t ) f ( z ( t )) z ' ( t ) , sehingga

  = =

  dt β β d

  ( ) ( ( )) ' ( ) ( ( ))

  f z dz = f z t z t dt = F z t dt ∫ ∫ ∫ dt

  α α C

  = ( ( )) ( ( )) F z β − F z α = F ( b ) F ( a ) .

  − Perhatikan bahwa integral hanya bergantung pada titik a dab b dan tidak peduli pada bentuk lintasan C. Integral ini dinamakan integral bebas lintasan (path

  

independent ). Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa integral suatu fungsi

  analitik untuk suatu litasan C di dalam pada domain terhubung sederhana D dari titik a ke titik b adalah ( ) ( ) ( )

  f z dz = F b − F a ∫

  C dengan ) ' ( ) ( untuk z di D.

  F z = f z

  Dengan demikian jika C adalah lintasan tertutup maka f ( z ) dz .

  =

  ∫ C Contoh 2.

  2

  2 Tentukan z dz , jika C adalah kurva y x dari z = 1 + i ke z = 2 + 4i.

  =

  ∫ C

  2 Penyelesaian. Kita tahu bahwa f ( z ) = z adalah fungsi seluruh, jadi analitik untuk

  1

  3

  semua z dan F ( z ) = z . Jadi

  3

  1

  2

  3

  3 z dz (

  2 4 i ) ( 1 i ) = − + +

  [ ] ∫

  3 C

• 14

  18 i = − .

  3 Soal latihan : Tentukan f ( z ) dz jika

  ∫ C

  2

  1. f ( z ) = y − x − 3 ix , C garis dari 0 ke 1 + i

  2 2. f ( z ) = z , C parabola y = x dari 0 ke 1 + i.

  1 3. f ( z ) = , C lingkaran jari-jari 2 pusat 0 arah positif (berlawanan

  z arah jarum jam).

  4. f ( z ) = + z 2 z , C lintasan dari 0 ke 1 kemudian dari 1 ke 1+ 2i.

• z

  2 5. f ( z ) = , C lingkaran jari-jari 2 pusat 0 arah positif.

  z

• = z z z z f , C parabola

  π − = ke i z

  

Gambar 1. Lintasan tertutup, (a) sederhana, (b) sederhana, (c) tidak sederhana

  (a) (b) (c)

  Pada bagian sebelumnya telah dibahas bahwa integral garis fungsi kompleks f(z) bergantung pada ujung-ujung dan bentuk lintasannya. Tetapi jika f(z) analitik maka pada domain terhubung sederhana D maka integral tidak akan bergantung pada bentuk lintasannya dan nilainya nol jika lintasannya tertutup. Pada bagian ini akan dibahas untuk lintasan tertutup. Integral pada lintasan tertutup sederhana sering disebut dengan integral kontur. Ada beberapa definisi yang akan sering digunakan dalam pembahsan ini.

  π − = ke i z π = .

  z dari i z

  , C setengah lingkaran π =

  ) sin ( =

  2

  π = . 10. z z f

  π = . 9. z z z f sin ) ( = , C sebarang lintasan dari z = 0 ke i z

  z dari i z

  , C setengah lingkaran π =

  8. z z f cos ) ( =

  2 = x y dari 0 ke 1 + i.

  3

  2

  5 ( 2 )

  1

  = , C garis dari 0 ke 1 + i 7.

  z ze z f

  6. ² ) (

4.3 Teorema Cauchy - Goursat

• Lintasan tertutup sederhana, adalah lintasan yang tidak memotong atau menyinggung dirinya sendiri (gambar 1)
• Domain terhubung sederhana, adalah jika setiap lintasan tertutup sederhana dalam domain tersebut melingkungi hanya titik-titik dalam domain. Sedangkan domain yang lainna disebut domain terhubung berganda (Gambar 2)

  (a) (b) (c)

  

Gambar 2. Domain terhubung, (a) sederhana, (b) ganda dua, (c) ganda tiga

Teorema Cauchy Goursat . Jika f(z) analitik di dalam suatu domain terhubung

  sederhana D, maka untuk setiap lintasan tertutup sederhana di dalam D berlaku f ( z ) dz = .

  ∫ C

  C D

  Gambar 3. lintasan tertutup sederhana C di dalam D

  Dengan kata lain integral kontur fungsi kompleks tidak tergantung lintasan yang dilewatinya. Contoh 3. f ( z ) dz untuk sebarang lintasan tertutup C jika f (z ) adalah fungsi

  =

  ∫ C z

  seluruh, misal f (z ) = sin z, ) f (z = e .

  1 Contoh 4. Tentukan f ( z ) dz jika f ( z ) = dan C linngkaran satuan arah

  ∫

  

z

• 2

  4 C positif.

  1 Penyelesaian. Titik singular dari ( ) adalah z 2 i terletak di luar C.

  f z = = ±

  

2

  

z

• 4

  1 Jadi f ( z ) = analitik pada dan di dalam C, sehingga f ( z ) dz = .

  2 ∫

• z

  4 C

  Teorema Cauchy-Goursat pada domain berganda

  Sebuah anulus adalah daerah cincin, termasuk domain terhubung ganda dua, terdiri dari dua kurva tertutup, C dan K( Gambar 4a). Jika arah kontur dibalik, hasil integral akan menjadi negatifnya. Untuk kurva tertutup arah positif adalah arah yang menyebabkan daerah integrasi berada di sebelah kiri lintasan integrasi. Itulah sebabnya arah lintasan integrasi haruslah ditentukan pada integral kontur fungsi kompleks.

   C K

  (a) (b)

  

Gambar 4. Lintasan integrasi ganda dua

  Integrasi menyusuri kurva batas daerah anulus ini dapat dipecah menjadi 4 _{1 2} integral dengan kontur masing-masing C’, , , dan –K’ Γ Γ

   (+K’ didefinisikan

  searah dengan C). Kontur C’ _{1 2} adalah kontur C setelah terbelah oleh celah lintasan dan yang masuk dan keluar di antara C dan K. Demikian pula kontur K’

  Γ Γ adalah kontur K sesudah diberi celah tersebut di atas (Gambar 4). Celah harus dibuat sedemikian kecil agar C’

  → C dan K’ → K. Nilai integral ini adalah

  

f ( z ) dz f ( z ) dz f ( z ) dz f ( z ) dz f ( z ) dz

  = + + +

  ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ C C ' Γ − K ' Γ _{1 1 2 2} Jika diamati jelaslah bahwa Γ = - Γ sehingga kedua integralnya saling

  menghilangkan.Untuk f(z) yang bersifat analitik di daerah anulus ini berlaku teorema Cauchy-Goursat :

• f ( z ) dz = f ( z ) dz f ( z ) dz = .

  

∫ ∫ ∫

−

  

C C ' K '

  Karena C’ → C dan K’ → − K ,maka diperoleh

  f ( z ) dz f ( z ) dz .

  =

  ∫ ∫ C K (Dalam hal ini perhatikan bahwa lintasan C dan K memiliki arah yang sama).

  Jadi di dalam daerah analitiknya, kontur tertutup integral kompleks boleh mengecil tanpa mengubah nilai integral itu sendiri. Sifat ini dapat diperluas _{1 2} pengertiannya jika anulusnya memiliki banyak lubang, katakanlah lubang K , K , _n ... , K (Domain berganda n), sehingga diperoleh

f ( z ) dz f ( z ) dz f ( z ) dz ... f ( z ) dz .

  = + + +

  ∫ ∫ ∫ ∫ C K ^{1 K 2 K n}

  3 Contoh. Hitunglah dz , dengan C lingkaran pusat 0, berjari-jari 3 arah

• z

  ∫

  z z C positif.

• 2

  Penyelesaian.

• z

  3

  3

  2 Perhatikan bahwa fungsi f ( z ) = = − tidak analitik di z = 0

  

2

z z

  1

  z z

  dan z = 1. Kedua titik tersebut ”dibuang” dengan membentuk lingkaran dengan pusat di titik tersebut (gambar 5).

   C K K

  1

  2

• - 1 0

  Gambar 5.

• − =

• − +
₂ 1<
• −
_{2 2 1} 1<
• − +

  5. Tentukan

  36

  , dengan C ellips

  2

  1

  1

  C dz z

  −

  ∫

  1 , dengan C sebarang lingkaran berpusat di z = – 1 arah positif.

  2

  1

  dz z

  ∫

  4. Tentukan

  1 , dengan C sebarang lingkaran berpusat di z = 1 arah positif.

  1

  C dz z

  −

  4

  2 = + y x arah positif.

  3. Tentukan

  = + − y x x arah positif.

  2

  7 , dengan C lingkaran

  2

  ) 2 )( 1 (

  C dz z z z

  − + −

  ∫

  7. Tentukan

  2

  6. Tentukan

  2

  10

  , dengan C lingkaran

  2

  1

  1

  C dz z

  −

  ∫

  ∫

  1

  3 = z arah positif.

  ⎜ ⎝ ⎛

  2

  3

  3

  2

  1

  3

  2

  1

  ⎟ ⎠ ⎞

  ∫ ∫ ∫ ∫

  ⎜ ⎝ ⎛

  ⎟ ⎠ ⎞

  K K C ∫ ∫ ∫

  dz z z dz z z dz z z z

  sehingga diperoleh

  2

  , K

  1

  Dengan demikian f(z) analitik di dalam domain yang dibatasi oleh C, K

  =

  1

  .

  6

  ∫ C dz z

  2. Misalkan C daerah persegi dengan titik –titik sudut 10 , ± 10 ± = = y x arah positif. Tentukan

  Soal Latihan 1. Buktikan teorema Cauchy-Goursat.

  ∫ .

  = + − =

  2

  3

  4

  2

  2

  π π π

  C

  i i i dz z z z

  Menurut teorema Cauchy – Goursat maka integral suku pertama dan keempat di ruas kanan adalah nol. Sehingga diperoleh

  z dz z dz

z

dz z .

  3 K K K K

  2

  1

  3

• C

4.4 Rumus integral Cauchy

  Misalkan fungsi f(z) analitik di dalam suatu daerah yang memuat lintasan tertutup sederhana C arah positif, dan misalkan z titik interior C. Karena f analitik maka f kontinu di z sehingga untuk setiap bilangan positif

  &gt; terdapat &gt; sehingga jika z − z &lt; maka f ( z ) − f ( z ) &lt; . Misalkan ε δ

  ε sedemikian sehingga K { z : z z } berada di ρ &gt; ρ &lt; dan lingkaran δ = − = ρ dalam C.

   C K z ρ

  Gambar 5. Integral Cauchy f ( z )

  Fungsi analitik di daerah antara C dan K. Maka menurut teorema Cauchy

  z z

  − ( ) ( )

  

f z f z

dz = dz .

  ∫ ∫ z − z z − z

  C K

  Perhatikan bahwa

  2 π

  f ( z ) f ( z e )

• it

  ρ

  it dz lim i e dt

  = ρ

  it ∫ ∫

  ρ → z − z e

  ρ

  K 2 π

  = if ( z ) dt

  ∫ = .

  2 π if ( z )

  Jadi

  

f ( z ) f ( z )

dz = dz = 2 π if ( z ) .

  ∫ ∫ z − z z − z

  C K

  atau

  f ( z ) dz = 2 π if ( z )

  ∫ z − z

  C

  atau 1 f ( z )

  f ( z ) = dz .

  ∫

  2 π i z − z

  C yang biasa disebut Rumus Integral Cauchy.

  2 z Contoh 6. Tentukan dz , Jika C : z 2 arah positif.

  =

  ∫

  1 )( z 4 ) −

• ( z

  C Penyelesaian.

  Perhatikan bahwa integran tidak analitik di z = 1 dan di z = – 4. Dari kedua titik ini, yang berada di dalam C adalah z = 1. Jadi z = 1

  f ( z )

  merupakan titik interior dari C, sehingga integran dapat ditulis

  z −

  1 2 z dengan f ( z ) = .

• z

  4 Sekarang fungsi f(z) ini analitik pada dan di dalam lintasan C, sehingga dengan menggunakan rumus integral Cauchy, diperoleh 2 z f ( z )

  4

  dz = dz

  2 if ( 1 ) i . = π = π

  ∫ ∫

  ( z 1 )( z 4 ) z

  1

  5 − + −

  C C Turunan fungsi analitik

  Secara umum, jika z adalah titik interior pada C maka bentuk integral Cauchy 1 f ( z ) menjadi = dz dengan z di dalam C.

  f ( z ) ∫

  2 i z − z π

  C

  Selanjutnya rumus tersebut dapat diperumum dengan mencari turunannya hingga tingkat ke-n. Dalam rumus integral Cauchy, turunan fungsi f di titik z adalah 1 f ( z )

  

f ' ( z ) dz . (tunjukkan!)

  =

  2 ∫

  2 i π ( z z )

  −

  C

  Turunan keduanya adalah

  2 ! f ( z ) f ' ' ( z ) = dz .

  3 ∫

  2 π i ( z − z )

  C

  Hingga diperoleh turunan ke-n adalah

  

n ! f ( z )

( n ) f ( z ) = dz .

• 1

  ∫

  n

  2 π

  i

  ( z − z )

  C

  Yang biasa ditulis dalam bentuk

  f ( z )

  2 i π

  ( n ) dz f ( z ) .

  =

• n

  1 ∫

n !

  ( z z ) −

  C

  Uraian di atas dapat dnyatakan dalam teorema berikut Teorema. Jika f(z) analitik pada dan di dalam suatu kurva tertutup sederhana C,

  ( n )

  maka f ( z ) ada untuk setiap bilangan bulat n, dan dinyatakan dalam rumus

  

n ! f ( z )

( n ) f ( z ) = dz .

• n

  1 ∫

  2 i π ( z − z )

  C

  Hal ini mengakibatkan jika suatu fungsi analitik di suatu titik maka turunan untuk semua tingkatnya , f’, f’’, ... , juga analitik di titik tersebut.

  z

• 3

  3 Contoh 7. Tentukan dz , jika C : z = 3 arah positif.

  3 ∫

  ( z − 2 )

  C Penyelesaian.

  Dalam hal ini f ( z ) = z 3 , z = 2, dan n = 2. Dengan menggunakan rumus integral Cauchy yang telah diperumum, diperoleh,

• 3

  z

• 3

  3 2 i π

  dz = f ' ' ( 2 ) = 12 i.

  π

  3 ∫

  2 ( z 2 )

  −

  C Soal Latihan

  1. Hitunglah g ( z ) dz , jika

  ∫ C

  sin z

  a. g ( z ) = , C : z = 1 arah positif

  2 z

  2

  3 z + +

  z

  b. g ( z ) = , C : z − 2 = 2 .

  2

  ( z 9 )

• 2

  2

  2 z − z −

  2

  c. g ( z ) = , C : z = 3 .

  z −

  2

  z 2. Hitunglah dz , jika C seperti pada gambar berikut.

  ∫

  ( z 4 )

• 2

  C

  (a) (b)

  3. Jika C adalah kontur tertutup dalam arah positif dan

  2

  2 z −

  2 g ( z ) dz . =

  2 ∫

  ( z z ) −

  C

  Hitunglah g ( z ) jika (a). z di dalam C dan (b). z di luar C

  z e

  4. Jika a bilangan ral positif, hitung integral dz dalam arah positif,

  2 ∫ z a

• 2

  C

  jika

  a. C : z 2 a b. C : z ai a .

  = − =