DIMENSI PARTISI PADA TIGA HASIL OPERASI GRAF CYCLE DENGAN GRAF PATH.

DIMENSI PARTISI PADA TIGA HASIL OPERASI
GRAF CYCLE DENGAN GRAF PATH

oleh
HIDRA VERTANA
M0112042

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2016

i

ii

ABSTRAK
Hidra Vertana, 2016. DIMENSI PARTISI PADA TIGA HASIL
OPERASI GRAF CYCLE DENGAN GRAF PATH . Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.
Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang berkembang begitu cepat. Dalam kehidupan sehari-hari, teori graf membantu menyelesaikan
permasalahan manusia dengan merepresentasikan objek diskrit sebagai vertex
dan hubungan antar objek diskrit sebagai edge. Salah satu konsep teori graf
yang menarik adalah dimensi partisi. Dimensi partisi pada graf G dinotasikan
pd(G) adalah kardinalitas terkecil dari partisi pembeda terhadap V (G), dengan
Π = {S1 , S2 , . . . , Sk } pada V (G) merupakan himpunan partisi pembeda sedemikian sehingga representasi jarak tiap vertex v ∈ V (G) ke Π berbeda.
Tujuan penelitian ini untuk menentukan rumus umum dimensi partisi pada
tiga hasil operasi graf cycle dengan graf path. Operasi tersebut adalah operasi
product (graf Cm × Pn ), korona (graf Cm ⊙ Pn ), dan join (graf Cm + Pn ).
Hasil dimensi partisi pada graf Cm × Pn adalah pd(Cm × Pn ) = 3 dengan
m ≥ 3 dan n ≥ 2. Selanjutnya, dimensi partisi graf Cm ⊙ Pn dengan m ≥ 3 dan
n ≥ 2 adalah pd(Cm ⊙ Pn ) = k + 1 dimana k bilangan bulat positif terkecil yang
3
2
memenuhi n ≤ 2 untuk k = 2, n ≤ 3k − 2 untuk k = 3, dan n ≤ k −3k 2+6k−2
untuk k ≥ 4. Dimensi partisi graf C3 +Pn dengan n ≥ 2 yaitu pd(C3 +Pn ) = g dimana g dimana bilangan positif terkecil yang memenuhi n ≤ 5g − 12 untuk g = 5

3
2
untuk g ≥ 6, dan pd(Cq + Pn ) = min{p + f, r + t, x + y},
dan n ≤ g −7g +20g−18
2
untuk q ≥ 4 dan n ≥ 2 dimana p, f, r, t, x dan y merupakan bilangan bulat positif
tertentu yang terkait dengan banyaknya kelas partisi yang memuat vertex-vertex
Cq dan Pn .
Kata Kunci: Dimensi partisi, partisi pembeda, graf Cm × Pn , graf Cm ⊙ Pn ,
graf Cm + Pn

iii

ABSTRACT
Hidra Vertana, 2016. ON THE PARTITION DIMENSION OF THREE
OPERATIONS OF CYCLE GRAPH WITH PATH GRAPH. Faculty of
Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.
Graph theory is a branch of mathematics that developed rapidly. In
daily life, the graph theory is used to solve some problems with vertex as discrete objects and edge as the relationship between both of them. One of the
interesting concepts in graph theory is so called the partition dimension. The

partition dimension of G denoted pd(G) is the minimum cardinality of partition
of V (G), with Π = {S1 , S2 , . . . , Sk } on V (G) is called a resolving partition if the
representations of vertex v ∈ V (G) with respect to Π are distinct.
In this research, we determine the partition dimension of three operations
of cycle graph with path graph. The operations are product (Cm × Pn graph),
corona (Cm ⊙ Pn graph), and join (Cm + Pn graph).
The partition dimension of Cm × Pn graph is pd(Cm × Pn ) = 3 with m ≥ 3
and n ≥ 2. Next, the partition dimension of Cm ⊙ Pn graph with m ≥ 3 and
n ≥ 2 is pd(Cm ⊙ Pn ) = k + 1 where k is the smallest positive integer such that
3
2
n ≤ 2 for k = 2, n ≤ 3k − 2 for k = 3, and n ≤ k −3k 2+6k−2 for k ≥ 4. The
partition dimension of C3 +Pn graph with n ≥ 2 is pd(C3 +Pn ) = g where g is the
3
2
smallest positive integer such that n ≤ 5g − 12 for g = 5 and n ≤ g −7g +20g−18
2
for g ≥ 6, and pd(Cq + Pn ) = min{p + f, r + t, x + y} for q ≥ 4 and n ≥ 2 where
p, f, r, t, x and y are some positive integers related to the number of partition
classes containing vertices of Cq and Pn .

Keywords : Partition dimension, resolving partition, Cm × Pn graph, Cm ⊙ Pn
graph, Cm + Pn graph

iv

PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk
ibu, bapak, dan kakak saya.

v

KATA PENGANTAR

Bismillahirrahmanirrahim,
Segala puji bagi Allah SWT atas segala rahmat dan hidayah-Nya sehingga
penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Sholawat serta salam selalu dihaturkan
kepada Nabi Muhammad SAW. Penulis menyadari bahwa selesainya skripsi ini
berkat dorongan, dukungan dan bimbingan dari semua pihak. Oleh karena itu
penulis menghaturkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu

dalam penulisan skripsi ini, terutama kepada Prof. Drs. Tri Atmojo Kusmayadi,
M.Sc., Ph.D. sebagai pembimbing yang telah memberikan bimbingan dalam materi dan penulisan, motivasi, dan semangat sehingga penulis dapat menyelesaikan
skripsi ini. Semoga skripsi ini bermanfaat.

Surakarta, Oktober 2016

Penulis

vi

DAFTAR ISI

PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

ABSTRACT

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vi

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

I

DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ix

DAFTAR NOTASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x

PENDAHULUAN

1

1.1

Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Perumusan Masalah

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3

Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.4

Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

II LANDASAN TEORI

4

2.1

Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2

Landasan Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2.1

Pengertian Dasar Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2.2

Operasi pada Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2.3

Kelas-Kelas Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.2.4

Dimensi Partisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.3

III METODE PENELITIAN

15
vii

IV HASIL DAN PEMBAHASAN

16

4.1

Dimensi Partisi pada Graf Cm × Pn . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

4.2

Dimensi Partisi pada Graf Cm ⊙ Pn . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

4.3

Dimensi Partisi pada Graf Cm + Pn . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

V PENUTUP

36

5.1

Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

5.2

Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

DAFTAR PUSTAKA

38

viii

DAFTAR GAMBAR

2.1

Graf G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2

Graf G1 dan Graf H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.3

(a) Graf C3 dan P2 , (b) Graf C3 ∪ P2 , (c) Graf C3 +P2 , (d) Graf
C3 ×P2 , dan (e) Graf C3 ⊙P2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.4

Graf Cm × Pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.5

Graf Cm ⊙ Pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.6

Graf Cm + Pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.7

Graf cycle C4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

ix

DAFTAR NOTASI

G

:

graf G

u, v

:

vertex

uv

:

edge

V (G)

:

himpunan vertex dari graf G

E(G)

:

himpunan edge dari graf G

|V (G)|

:

banyaknya vertex dari graf G (order )

|E(G)|

:

banyaknya edge dari graf G (size)

deg v

:

degree vertex v dari graf G

d(u, v)

:

jarak dari vertex u ke v pada graf G

G∼
=H

:

graf G isomorphic dengan graf H

d(v, S)

:

jarak dari vertex v terhadap himpunan bagian S pada graf G

diam(G)

:

diameter dari graf G

∪

:

operasi union

+

:

operasi join

×

:

operasi product

⊙

:

operasi korona

⊂

:

himpunan bagian

∈

:

anggota

⌈⌉

:

pembulatan ke atas (ceiling)

W

:

himpunan pembeda

|W |

:

kardinalitas himpunan pembeda

dim(G)

:

dimensi metrik pada graf G

x

Si

:

kelas partisi ke-i

|Si |

:

kardinalitas dari kelas partisi ke-i

Π

:

partisi pembeda

|Π|

:

kardinalitas dari partisi pembeda

r(v|Π) :

representasi jarak setiap vertex v terhadap Π

pd(G)

:

dimensi partisi pada graf G

Pn

:

graf lintasan ber-order n

Cm

:

graf cycle ber-order m

xi