DIMENSI PARTISI PADA GRAF nS4,k
ABSTRAK
DIMENSI PARTISI PADA GRAF nS4,k
Oleh
Dinda Ristanti
Dimensi partisi pertama kali dikaji oleh Chartrand dkk. pada tahun 1998 yang
merupakan pengembangan dari dimensi metrik. Misalkan ∏ = {S1,S2,...,Sk} adalah
partisi
dari
r(v| )=
r(v| ) maka
V(G).
Representasi
)
)
v
terhadap
dinotasikan
dengan
)). Jika untuk setiap u,v V(G), r(u| ) ≠
disebut partisi pembeda. Banyaknya minimum partisi pembeda
disebut dimensi partisi dari G, dan dinotasikan dengan pd(G). Graf
diperoleh dari
graf
dan setiap titik
nya dihubungkan oleh suatu lintasan.
Pada penelitian dimensi partisi pada graf nS4,k untuk n,k sebarang bilangan asli
telah diperoleh hasilnya.
Kata kunci : teori graf, dimensi matriks, dimensi partisi.
DIMENSI PARTISI PADA GRAF nS4,k
(Skripsi)
Oleh
Dinda Ristanti
1017031023
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
2014
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 1. Graf S4,k ........................................................................................... 3
Gambar 2. Contoh graf dengan lima titik dan delapan sisi ............................... 5
Gambar 3. T G ............................................................................................... 7
Gambar 4. T adalah pohon dan H adalah hutan ................................................ 8
Gambar 5. Graf S4,k ........................................................................................... 8
Gambar 6. Graf 3S4,5 ......................................................................................... 9
Gambar 7. Graf bintang K1,6............................................................................ 10
Gambar 8. Graf bintang ganda S3,2.................................................................. 10
Gambar 9. Contoh graf ulat............................................................................. 10
Gambar 10. Dimensi Partisi graf G ................................................................... 11
Gambar 11. Dimensi partisi graf bintang ganda S3,2 ......................................... 13
Gambar 12. Dimensi partisi graf bintang K1,n ................................................... 14
Gambar 13. Dimensi partisi graf K1,6 ................................................................ 15
Gambar 14. Dimensi partisi graf ulat T1, T2, T3 dan T4 ..................................... 16
Gambar 15. Konstruksi graf nS4,k ...................................................................... 19
Gambar 16. Partisi pembeda pada graf S4,2 untuk n = 1 ................................... 20
Gambar 17. Partisi pembeda pada graf nS4,2 untuk n ≥ 2.................................. 21
Gambar 18. Partisi pembeda pada graf nS4,3 untuk n ≥ 1.................................. 22
Gambar 19. Partisi pembeda pada graf nS4,k untuk n
............................... 24
Gambar 20. Partisi pembeda pada graf 2S4,6 ..................................................... 25
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR ISI ....................................................................................................... i
DAFTAR GAMBAR ......................................................................................... ii
BAB I PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang ................................................................................. 1
1.2
Perumusan Masalah.......................................................................... 2
1.3
Tujuan Penelitian.............................................................................. 3
1.4
Manfaat Penelitian............................................................................ 4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1
Konsep Dasar Graf ........................................................................... 5
2.2
Beberapa Kelas Pohon ...................................................................... 8
2.3
Dimensi Partisi Graf ....................................................................... 10
BAB III METODE PENELITIAN
3.1
Waktu dan Tempat Penelitian ........................................................ 18
3.2
Metode Penelitian ........................................................................... 18
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
V.
4.1
Dimensi Partisi Graf nS4,2 .............................................................. 20
4.1
Dimensi Partisi Graf nS4,3 .............................................................. 22
4.1
Dimensi Partisi Graf nS4,k untuk k ≥ 4............................................ 23
SIMPULAN DAN SARAN
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
MOTO
“Man Jadda Wa Jada - Siapa yang bersungguh-sungguh akan
berhasil”
“Man Shobaro Zafiro – Siapa yang bersabar akan beruntung”
“Man Saaro „Alaa Darbi Washola – Siapa yang berjalan di
jalur Nya akan sampai”
“Selalu berusaha memberikan yang terbaik untuk orang
di sekitar kita”
(Dinda Ristanti)
PERSEMBAHAN
Dengan penuh rasa syukur kepada Allah SWT atas nikmat
yang luar biasa yang selalu diberikan kepadaku sehingga
aku dapat menyelesaikan hasil karyaku ini
Kupersembahkan hasil karyaku ini untuk Bapak dan Ibuku
tersayang sebagai salah satu wujud cintaku.
terima kasih untuk setiap doa, semangat, dan kasih sayang
yang selalu menemani disetiap hariku
Untuk kakakku Dyni Areta Ningrum, kedua adikku Nadia
Ayu Rifani dan Shepia Putri anggraini, sepupuku Siti
Nurmala, Kakak angkatku Mas Prapto, Richi Arif Pratama
Saputra, terima kasih untuk dukungan serta doa yang selalu
diberikan untukku
Sahabat-sahabat terbaikku, terima kasih untuk semua kisah
yang telah kita lalu bersama.
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Panjang pada tanggal 20 Mei 1993. Penulis merupakan anak
kedua dari pasangan Bapak M. Aripin dan Ibu Endang Tri Astuti, adik dari Dyni
Areta Ningrum serta kakak dari Nadia Ayu Rifani dan Shepia Putri Anggraini.
Penulis menyelesaikan pendidikan dari Taman Kanak-kanak Setia Kawan di
Panjang, Bandar Lampung pada tahun 1998.
Pendidikan sekolah dasar di
SD Negeri 1 Purwodadi Simpang, Lampung Selatan pada tahun 2004.
Pendidikan sekolah menengah pertama di SMP Negeri 23 Bandar Lampung
pada tahun
2007. Pendidikan sekolah menengah atas di SMA Al-Azhar 3,
Bandar Lampung pada tahun 2010.
Pada tahun 2010, Penulis melanjutkan pendidikan di perguruan tinggi dan
terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur SNMPTN. Pada periode
tahun 2010/2011 penulis terdaftar sebagai anggota GEMATIKA (Generasi Muda
HIMATIKA) Himpunan Mahasiswa Matematika FMIPA Unila. Penulis pernah
menjadi anggota biro Kesekretariatan Organisasi Himpunan Mahasiswa
Matematika FMIPA Unila pada periode tahun 2011/2012 - 2012/2013.
Sebagai bentuk aplikasi bidang ilmu kepada masyarakat, penulis telah
menyelesaikan Kerja Praktik (KP) selama satu bulan di Kantor Dinas Pendapatan
Kota Bandar Lampung serta Kuliah Kerja Nyata (KKN) selama 30 hari di desa
Sukaraja kecamatan Rajabasa, Lampung Selatan.
SANWACANA
Alhamdulillahi robbil ‘alamin, puji dan syukur penulis kepada Allah SWT atas
izin serta ridho-Nya dalam menyelesaikan skripsi ini. Shalawat serta salam
kepada junjungan nabi besar Muhammad SAW yang telah menjadi suri tauladan
yang baik bagi kita.
Pada proses penyusunan skripsi ini, penulis memperoleh banyak bimbingan,
kritik, dan saran yang membangun sehingga skripsi ini mampu penulis selesaikan.
Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :
1. Ibu Dr. Asmiati, S.Si., M.Si., selaku pembimbing I yang senantiasa
membimbing, memberikan arahan, saran, dan dukungan kepada penulis
dalam menyelesaikan skripsi ini.
2. Ibu Fitriani, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing II yang telah banyak
membantu dan memberikan pembelajaran serta bimbingan kepada penulis.
3. Ibu Dra. Wamilliana, M .A., Ph.D., selaku penguji yang telah memberikan
penulis kritik dan saran pada penelitian ini.
4.
Ibu Dra. Dorrah Aziz, S.Si., M.Si., selaku pembimbing akademik.
4. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika
FMIPA Universitas Lampung.
5. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku dekan FMIPA Universitas Lampung.
6. Seluruh dosen, staff, dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lampung.
7.
Untuk kedua orang tuaku, mbak Dyni, adikku Ayu, dan PSutri serta Mala
dan Mas Prapto yang luar biasa yang tak pernah letih memberikan saran,
perhatian, doa serta semangat kepada penulis.
8. Untuk Richi Arif Pratama Saputra atas nasehat, kesabaran, kebersamaan serta
waktu luang yang sangat bermanfaat selama ini.
9. Sahabat-sahabat penulis, Agustia Indriani, Agustina Ambar Wulan, Christy
Engine Nita, Dian Ekawati, Tri Handayani, Hasby Alkarim, Miftah Farid
Artama, Muhammad Ridho, Rohandi, serta Sofyan Saputra yang selalu ada
dan memberi semangat melalui keceriaan serta nasihatnya.
10. Sahabat seperjuangan sebimbingan, Erwin Hendrianto, Epy lestari, Suryadi
serta untuk teman-teman Matematika 2010 dan keluarga besar HIMATIKA.
11. Seluruh pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini yang tidak
dapat disebutkan satu persatu.
Akhir kata, penulis menyadari skripsi ini jauh dari kesempurnaan, akan tetapi
semoga dapat berguna dan bermanfaat bagi kita semua.
Bandar Lampung,
Penulis,
Dinda Ristanti
Agustus 2014
1
I. PENDAHULUAN
1.1. Latar belakang Masalah
Teori graf merupakan salah satu bagian ilmu dari matematika. Banyak
permasalahan yang dapat dinyatakan dan diselesaikan dengan menggunakan
teori graf. Graf merupakan kumpulan titik dan sisi, dinotasikan dengan
G=(V,E), dimana V menyatakan himpunan titik yang tak kosong dan E
menyatakan himpunan sisi yang merupakan pasangan sisi tak terurut dari
titik-titik V.
Seiring kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi, banyak terdapat penelitian
tentang graf, diantaranya pewarnaan graf dan dimensi partisi graf. Konsep
dimensi partisi dari suatu graf pertama kali diperkenalkan oleh Chartrand dkk.
pada tahun 1998. Konsep ini merupakan pengembangan dari konsep dimensi
metrik yang sebelumnya sudah diperkenalkan oleh Slater dan Melter dkk.
pada tahun 1975 dan 1976. Konsep dimensi partisi juga merupakan salah satu
konsep yang menjadi latar belakang munculnya konsep bilangan kromatik
lokasi.
Misalkan
suatu graf,
himpunan , dinotasikan dengan
dan
adalah
. Jarak dari titik
ke
dengan
2
adalah jarak dari titik
dari
,
dengan
dinotasikan
ke . Misalkan {
kelas-kelas dari
dengan
,
. Selanjutnya,
jika
. Representasi
adalah
-tupel
terhadap
terurut
disebut partisi pembeda dari
untuk setiap dua titik berbeda
Dimensi partisi dari
sehingga
} adalah partisi
, dinotasikan
mempunyai partisi pembeda dengan
adalah nilai
terkecil
kelas (Chartrand dkk.,
1998).
Penentuan dimensi partisi dari graf terhubung telah dilakukan oleh Chartrand
dkk. (1998), khususnya untuk kelas pohon telah mendapatkan dimensi partisi
dari graf lintasan Pn, n ≥ 2, yaitu pd( Pn) = 2 dan graf bintang K1,n, yaitu
pd(K1,n) = n. Graf bintang ganda T berorde n ≥ 6, pd(T)=max{deg(x),deg(y)}
– 1, dengan x dan y dua titik yang bukan daun. Selain itu, mereka
mendapatkan batas atas dan batas bawah dimensi partisi dari graf ulat.
Penelitian terus dilakukan untuk mendapatkan dimensi partisi graf terhubung
lainnya. Kelas graf tertentu dapat ditentukan dimensi partisinya secara tepat,
tetapi pada kelas graf lain baru dapat ditentukan batas atas atau batas
bawahnya.
Chartrand dkk. (2000) telah mengkaji dimensi partisi pada graf bipartit Km,n
dan Tomescu dkk. pada tahun 2007 untuk graf roda Wn. Untuk n tertentu,
dimensi partisi graf roda Wn telah dapat ditentukan secara tepat. Misalnya,
pd(Wn) = 3 untuk 4 ≤ n ≤ 7 dan pd(Wn) = 4 untuk 8 ≤ n ≤ 19. Selanjutnya,
3
Asmiati (2012) telah mendapatkan dimensi partisi pada graf amalgamasi
bintang.
Ketertarikan penulis pada penelitian ini adalah terkait masalah penentuan
untuk n,k sebarang bilangan asli.
dimensi partisi graf
1.2. Perumusan Masalah
Diberikan graf
sebagai berikut :
k
k
k
X
Gambar 1. Graf
Graf
diperoleh dari
graf
dan setiap titik
nya dihubungkan oleh
suatu lintasan. Pada penelitian ini akan ditentukan dimensi partisi graf nS4,k
untuk n,k sebarang bilangan asli.
1.3. Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan dimensi partisi dari graf
secara umum.
4
1.4. Manfaat Penelitian
Adapun manfaat dari penelitian ini adalah :
1. Memberikan pemahaman dan wawasan mengenai dimensi partisi dari graf
khususnya graf
.
2. Untuk menjadi referensi penelitian lanjutan mengenai dimensi partisi suatu
graf.
5
II. TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi
graf sebagai landasan teori dari penelitian ini.
2.1. Konsep Dasar Graf
Pada bagian ini akan diberikan beberapa definisi tentang konsep dasar graf
yang diambil dari Deo, 1998.
Graf merupakan kumpulan titik dan sisi, dinotasikan dengan G = (V,E),
dengan V menyatakan himpunan titik {v1, v2,…, vn} yang tak kosong dan E
menyatakan himpunan sisi {e1, e2,…, en} yang merupakan pasangan tak
terurut dari titik-titik di V.
v1
e1
e2
v3
e4
e6
v5
e8
e5
e7
v2
e3
v4
e8
Gambar 2. Contoh graf dengan 5 titik dan 8 sisi
6
Dua titik
pada graf
G dikatakan bertetangga (adjacent) bila keduanya
terhubung dengan suatu sisi. Suatu sisi dikatakan menempel (incident)
dengan suatu titik u, jika titik u merupakan salah satu titik ujung dari sisi
tersebut. Pada Gambar 2, titik v3 bertetangga dengan titik v1 dan v5. Sisi e3
menempel pada titik v2 dan v4.
Derajat suatu titik v pada graf G adalah banyaknya sisi yang menempel pada
titik v , dinotasikan dengan d(v). Daun (pendant vertex) adalah titik yang
berderajat satu. Pada Gambar 2, d(v1) = 2, d(v2) = 3, d(v3) = 3, d(v4) = 5 dan
d(v5) = 3 dan graf tersebut tidak memiliki daun karena setiap titiknya
memiliki derajat lebih dari satu.
Loop adalah sisi yang memiliki titik awal dan titik akhir yang sama. Sisi
paralel adalah sisi yang memiliki dua titik ujung yang sama. Graf yang tidak
mempunyai sisi ganda dan atau loop disebut graf sederhana. Pada Gambar 2,
terdapat loop pada titik v2 yaitu e8, sedangkan e3, e6, e5 dan e7 disebut sisi
paralel. Graf pada Gambar 2 bukan graf sederhana karena terdapat loop (e8)
dan sisi ganda (e7).
Jalan (walk) adalah barisan berhingga dari titik dan sisi dimulai dan diakhiri
dengan titik sedemikian sehingga setiap sisi menempel dengan titik sebelum
dan sesudahnya. Lintasan (path) adalah jalan yang memiliki atau melewati
titik yang berbeda-beda. Graf G dikatakan terhubung jika terdapat lintasan
yang menghubungkan setiap dua titik yang berbeda. Sirkuit (circuit) adalah
lintasan tertutup, yaitu lintasan yang memiliki titik awal dan titik akhir yang
sama. Sirkuit yang banyak titiknya genap disebut sirkuit genap, sedangkan
7
jika banyak titiknya ganjil, maka disebut sirkuit ganjil. Pada Gambar 2,
contoh jalan adalah v1-e1-v2-e3-v4-e7-v5-e5-v4. Contoh lintasan adalah v1-e1-v2e3-v4-e7-v5-e8-v3. Contoh dari sirkuit adalah v1-e1-v2-e3-v4-e5-v5-e8-v3-e2-v1.
Graf T dikatakan subgraf dari graf G dinotasikan dengan T G jika dan
hanya jika V(T) V(G) dan E(T) E(G).
Contoh subgraf :
A
e1
e2
C
e4
e6
E
e8
A
e2
c
e5
e4
e1
e7
B
e8
e3
D
B
Graf G
e3
D
Graf T
Gambar 3. T G
2.2. Beberapa Kelas Graf Pohon
Berikut ini akan diberikan beberapa kelas graf pohon yang berkaitan dengan
penelitian ini.
Misalkan G adalah graf terhubung, G disebut pohon jika dan hanya jika G
tidak memuat sirkuit dan gabungan dari pohon disebut hutan (forest).
8
T
H
Gambar 4. Contoh pohon dan hutan
Pada Gambar 4, T adalah pohon dan H adalah hutan.
Graf
adalah graf yang diperoleh dari
graf
dan setiap titik
dihubungkan oleh suatu lintasan.
k
k
k
X
Gambar 5. Graf S4,k
Gambar 6. Graf 3S4,5
nya
9
Graf bintang K1,n (star) adalah suatu graf terhubung yang mempunyai satu
titik berderajat n yang disebut pusat dan titik lainya berderajat satu (Chartrand
dkk., 1998).
Gambar 7. Graf bintang K1,6
Suatu graf pohon disebut graf bintang ganda (double star) jika graf pohon
tersebut mempunyai tepat dua titik x dan y berderajat lebih dari satu. jika x
dan y berturut-turut berderajat a + 1 dan b + 1, dinotasikan dengan Sa,b
(Chartrand dkk., 1998).
Gambar 8. Graf bintang ganda S3,2
Graf ulat (caterpillar graf) adalah graf pohon yang memiliki sifat apabila
dihapus semua daunnya akan menghasilkan lintasan (Chartrand dkk., 1998).
Gambar 9. Contoh graf ulat
10
2.3. Dimensi Partisi Graf
Pada bagian ini akan diberikan definisi dan sifat-sifat dari dimensi partisi
pada suatu graf yang diambil dari Chartrand dkk (1998).
Misalkan
suatu graf,
dan
himpunan , dinotasikan dengan
dengan
dinotasikan
adalah,
kelas-kelas dari
dengan
,
jika
adalah
terhadap ,
-tupel
terurut
disebut partisi pembeda dari
untuk setiap dua titik berbeda
Dimensi partisi dari
sehingga
} adalah partisi
. Representasi
. Selanjutnya,
ke
dengan
ke . Misalkan {
adalah jarak dari titik
dari
. Jarak dari titik
, dinotasikan
adalah nilai
mempunyai partisi pembeda dengan
terkecil
kelas.
Berikut ini akan diberikan graf G dan akan ditentukan dimensi partisinya.
v3
1
2
v4
v2
3
v1
1
v14
2
2
v5
1
v13
1 v7
1
v12
2
1
v11
v8
v6
2
1
2
v9
v10
Graf G
Gambar 10. Dimensi partisi graf G
11
Graf G dipartisi sedemikian sehingga diperoleh = {S1,S2,S3}, dengan S1 =
{v1,v4,v5,v7,v9,v11,v12}, S2 = {v3,v6,v8,v10,v13,v14} dan S3 = {v2}. Perhatikan
bahwa r(v1|) = (0,1,1); r(v2|) = (1,2,0); r(v3|) = (1,0,2); r(v4|) = (0,2,2);
r(v5|) = (0,1,2); r(v6|) = (1,0,3); r(v7|) = (1,0,4); r(v8|) = (2,0,4); r(v9|) =
(0,1,4); r(v10|) = (1,0,5); r(v11|) = (0,1,5); r(v12|) = (0,1,6); r(v13|) =
(1,0,6); r(v14|) = (0,1,7). Karena representasi dari setiap titik berbeda, maka
adalah partisi pembeda dari graf G dan pd(G) ≤ 3.
Untuk menunjukkan pd(G) ≥ 3, andaikan terdapat partisi pembeda =
{S1,S2} dari G. Perhatikan titik v1, v1 memiliki 3 daun yaitu v2, v3 dan v4. Jika
hanya terdapat dua kelas partisi pembeda, maka dua dari tiga daun tersebut
akan memiliki partisi pembeda yang sama. Akibatnya representasi kedua
daun itu akan sama, karena memiliki jarak yang sama terhadap titik-titik
lainnya pada graf G, kontradiksi. Jadi pd(G) ≥ 3. Akibatnya, pd(G) = 3.
Berikut ini akan diberikan lemma dan teorema penting dari dimensi partisi
yang telah dibuktikan Chartrand dkk. (1998).
Lemma 2.2.1
Diberikan G graf terhubung dengan partisi pembeda dari V(G), untuk u,v
V(G), jika d(u,w) = d(v,w) untuk setiap w V(G) – {u,v}, maka u dan v
merupakan elemen yang berbeda dari .
12
Berikut ini akan diberikan teorema untuk menentukan dimensi partisi pada
graf bintang ganda.
Teorema 2.2.2
Jika T adalah graf bintang ganda berorde n ≥ 6, dengan x dan y dua titik yang
bukan daun, maka pd(T) = max{deg(x),deg(y)} – 1.
Contoh penentuan dimensi partisi graf dari graf bintang ganda.
Diberikan graf bintang ganda S3,2, akan tentukan bahwa pd(S3,2) = 3.
3
v3
v5
1
2
3
1
1
v1
v2
v6
v7
2
v4
Gambar 11. Dimensi partisi graf bintang ganda S3,2
Graf bintang ganda S3,2 dipartisi sedemikian sehingga diperoleh =
{S1,S2,S3}, dengan S1 = {v2,v3,v7}, S2 = {v4,v6}, dan S3 = {v1,v5}.
Perhatikan bahwa r(v1|) = (1,1,0); r(v2|) = (0,1,1); r(v3|) = (0,2,2); r(v4|)
= (1,0,2); r(v5|) = (2,2,0); r(v6|) = (2,0,1); r(v7|) = (0,2,1). Karena
representasi dari setiap titik berbeda, maka adalah partisi pembeda dari graf
S3,2 dan pd(G) ≤ 3.
Untuk menunjukkan pd(S3,2) ≥ 3, andaikan terdapat partisi pembeda =
{S1,S2} dari G dengan S1={v1,v3,v7}; S2={v1,v4,v5,v6}, maka titik v5,v6 akan
13
memiliki representasi yang sama yaitu (2,0), kontradiksi. Jadi pd(S3,2) ≥ 3.
Akibatnya, pd(S3,2) = 3.
Teorema 2.2.3
Misalkan K1,n graf bintang berode n ≥ 1, maka pd(K1,n) = n.
Bukti :
Vn+1
v12
v11
n
11
v2
1
v3
10
2
9
v4
1
v10
3
v1
v9
8
4
7
v8
v5
v6
6
v7
5
Gambar 12. Dimensi partisi graf bintang K1,n
Graf K1,n dipartisi sedemikian sehingga diperoleh = {S1,S2,S3,S4,S5,S6,…,Sn}
dengan S1 = {v1,v2}, S2 = {v3}, S3 = {v4}, S4 = {v5}, S5 = {v6}, S6 = {v7},...,
dan Sn = {vn+1}. Perhatikan bahwa r(v1|) = (0,1,1,1,1,1,1,…,1); r(v2|) =
(0,2,2,2,2,…,2); r(v3|) = (1,0,2,2,2,2,…,2); r(v4|) = (1,2,0,2,2,2,…,2);
r(v5|) = (1,2,2,,0,2,2,…,2); r(v6|) = (1,2,2,2,0,2,…,2);…;r(vn+1|) =
(1,2,2,2,2,2,…,0). Karena representasi dari setiap titik berbeda, maka
adalah partisi pembeda dari graf K1,n dan pd(K1,n) ≤ n.
14
Untuk menunjukkan pd(K1,n) ≥ n, andaikan bahwa terdapat partisi pembeda
= {S1,S2,S3,S4,S5,…,Sn-1} dari K1,n maka akan ada representasi yang sama
yaitu pada titik vn dan vn+1. Maka bukan merupakan partisi pembeda dari
graf K1,n, kontradiksi. Jadi pd(K1,n) ≥ n. Akibatnya, pd(K1,n) = n.
Berikut ini akan diberikan contoh penentuan dimensi partisi dari graf bintang
K1,6.
v2
1
v7
v3
6
2
1
v1
3
v6
v4
5
4
v5
Gambar 13. Dimensi partisi graf K1,6
Graf K1,6 dipartisi sedemikian sehingga diperoleh = {S1,S2,S3,S4,S5,S6}
dengan S1 = {v1,v2}, S2 = {v3}, S3 = {v4}, S4 = {v5}, S5 = {v6} dan S6 = {v7}.
Perhatikan bahwa r(v1|) = (0,1,1,1,1,1); r(v2|) = (0,2,2,2,2,2); r(v3|) =
(1,0,2,2,2,2); r(v4|) = (1,2,0,2,2,2); r(v5|) = (1,2,2,0,2,2); r(v6|) =
(1,2,2,2,0,2); r(v7|) = (1,2,2,2,2,0). Karena representasi dari setiap titik
berbeda, maka adalah partisi pembeda dari graf K1,6 dan pd(K1,6) ≤ 6.
Untuk menunjukkan pd(K1,6) ≥ 6, andaikan bahwa terdapat partisi pembeda
= {S1,S2,S3,S4,S5} maka akan ada representasi yang sama pada titik v6 dan v7.
15
Sehingga, bukan merupakan partisi pembeda dari graf K1,6, kontradiksi..
Jadi pd(K1,6) ≥ 6. Akibatnya, pd(K1,6) = 6.
Teorema 2.2.4
Jika T adalah graf ulat dengan t(T) ≥ 3, maka t(T) – 2 ≤ pd(T) ≤ t(T) + 1.
Untuk membuktikan Teorema 2.2.4, perhatikan partisi pembeda pada grafgraf ulat berikut ini :
v7
v3
2
1
v4
1
v6
2
3
v8
1
v5
2
v4
v1 3
1
2
v2
v3
3
2
1
3
v6
v5
v1
v2
T2
T1
v6
v3
v2
v1
v7
v4
T3
v5
v8
v9
v5
v6
1
1
v8
2
2
v16 1
1 v
11
4
1
v15
v12
2
v3
v4
v1 3
2
3
v2
2
3
v13
v14
3
3
v10
v7
T4
Gambar 14. Dimensi partisi graf ulat T1, T2, T3 dan T4
16
Graf ulat T1 pada Gambar 14 memiliki pd(T1) = 3 = t(T1) – 2 dengan
minimal partisi pembeda = {S1,S2,S3} dengan S1 = {v2,v5,v6}; S2 = {v3,v4,v7}
dan S3 = {v1,v8}.
Graf ulat T2 pada Gambar 14 memiliki pd(T2) = 3 = t(T2) – 1 dengan
minimal partisi pembeda = {S1,S2,S3} dengan S1 = {v1,v4}; S2 = {v3,v5} dan
S3 = {v2,v6}.
Graf ulat T3 pada Gambar 14, adalah graf bintang ganda dan berdasarkan
teorema 2.2.2 maka t(T3) = pd(T3) = 3.
Graf ulat T4 pada Gambar 14 memiliki t(T4) = 3 dengan partisi pembedanya
= {S1,S2,S3,S4} dari V(T4), dengan S1 = {v3,v5,v9,v11,v16}; S2 =
{v4,v6,v8,v12,v15}; S3 = {v1,v7,v10,v13,v14} dan S4 = {v2}. Untuk menunjukkan
pd(T4) = 4 cukup dengan menunjukkan bahwa tidak ada partisi pembeda
dengan tiga kelas partisi dari V(T4). Misalkan = {S1,S2,S3} sebagai partisi
pembeda dari V(T4) maka akan ada kesamaan partisi pembeda dari titik v1 dan
v2 sehingga mengakibatkan representasinya akan sama juga. Sehingga =
{S1,S2,S3} bukanlah partisi pembeda yang tepat untuk T4, kontradiksi.
Akibatnya, pd(T4) = 4 = t(T3) + 1.
18
III. METODE PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun ajaran 2013/2014
bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Metode yang dilakukan untuk menentukan dimensi partisi dari graf
yaitu sebagai berikut :
(
1. Menentukan batas bawah dari
)
Berdasarkan Lemma 2.2.1, dapat ditentukan batas bawah trivial dari
dimensi partisi
. Hal ini dapat dilakukan karena terdapat titik pada
yang mempunyai
daun, akibatnya,
2. Menentukan batas atas dari
Batas atas dari
(
(
)
diperoleh dengan cara mengkonstruksi graf
Himpunan titik-titik pada graf
dikelompokkan berdasarkan
diameternya kedalam kelas partisi pembeda. Minimum banyaknya partisi
pembeda itulah yang merupakan dimensi partisi dari graf
V. SIMPULAN DAN SARAN
Pada bagian ini akan diberikan simpulan dan saran dari hasil yang sudah diperoleh
untuk penelitian ini.
5.1. Simpulan
Adapun kesimpulan dalam penelitian ini secara umum adalah sebagai berikut :
1. Pd(nS4,2) = {
2. Pd(nS4,3) = 4 ; n ≥ 1
3. Untuk k ≥ 4, Pd(nS4,k) = {
5.2. Saran
Penelitian ini dapat dilanjutkan dengan menentukan dimensi partisi pada graf
pohon lainnya.
DAFTAR PUSTAKA
Asmiati. 2012. Partition Dimension of Amalgamation of Stars. Bulletin of
Mathematics. Vol 04, No. 02, 161-167.
Chartrand, G., E. Salehi, dan P. Zhang. 1998. On The Partition Dimension of
Graph, Congr. Numer,.130, 157-168.
Chartrand, G., E. Salehi, dan P. Zhang. 2000. The Partition Dimension of a Graph,
Aequationes Math.59, 45-54.
Deo, N. 1998. Graph Theory with Applications to Engineering and computer
Science. Prentice Hall Inc, New York.
Johnson, M., 1993. Structure-activity Maps For Visualizing The Graph variables
Arising In Drug Design, J. Biopharm., 3, 203-236.
Tomescu, L., Javaid, I., and Slaim, 2007. On Partition Dimension and Connected
Partition Dimension of Wheels, Ars Combin., 84, 311-317.
DIMENSI PARTISI PADA GRAF nS4,k
Oleh
Dinda Ristanti
Dimensi partisi pertama kali dikaji oleh Chartrand dkk. pada tahun 1998 yang
merupakan pengembangan dari dimensi metrik. Misalkan ∏ = {S1,S2,...,Sk} adalah
partisi
dari
r(v| )=
r(v| ) maka
V(G).
Representasi
)
)
v
terhadap
dinotasikan
dengan
)). Jika untuk setiap u,v V(G), r(u| ) ≠
disebut partisi pembeda. Banyaknya minimum partisi pembeda
disebut dimensi partisi dari G, dan dinotasikan dengan pd(G). Graf
diperoleh dari
graf
dan setiap titik
nya dihubungkan oleh suatu lintasan.
Pada penelitian dimensi partisi pada graf nS4,k untuk n,k sebarang bilangan asli
telah diperoleh hasilnya.
Kata kunci : teori graf, dimensi matriks, dimensi partisi.
DIMENSI PARTISI PADA GRAF nS4,k
(Skripsi)
Oleh
Dinda Ristanti
1017031023
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
2014
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 1. Graf S4,k ........................................................................................... 3
Gambar 2. Contoh graf dengan lima titik dan delapan sisi ............................... 5
Gambar 3. T G ............................................................................................... 7
Gambar 4. T adalah pohon dan H adalah hutan ................................................ 8
Gambar 5. Graf S4,k ........................................................................................... 8
Gambar 6. Graf 3S4,5 ......................................................................................... 9
Gambar 7. Graf bintang K1,6............................................................................ 10
Gambar 8. Graf bintang ganda S3,2.................................................................. 10
Gambar 9. Contoh graf ulat............................................................................. 10
Gambar 10. Dimensi Partisi graf G ................................................................... 11
Gambar 11. Dimensi partisi graf bintang ganda S3,2 ......................................... 13
Gambar 12. Dimensi partisi graf bintang K1,n ................................................... 14
Gambar 13. Dimensi partisi graf K1,6 ................................................................ 15
Gambar 14. Dimensi partisi graf ulat T1, T2, T3 dan T4 ..................................... 16
Gambar 15. Konstruksi graf nS4,k ...................................................................... 19
Gambar 16. Partisi pembeda pada graf S4,2 untuk n = 1 ................................... 20
Gambar 17. Partisi pembeda pada graf nS4,2 untuk n ≥ 2.................................. 21
Gambar 18. Partisi pembeda pada graf nS4,3 untuk n ≥ 1.................................. 22
Gambar 19. Partisi pembeda pada graf nS4,k untuk n
............................... 24
Gambar 20. Partisi pembeda pada graf 2S4,6 ..................................................... 25
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR ISI ....................................................................................................... i
DAFTAR GAMBAR ......................................................................................... ii
BAB I PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang ................................................................................. 1
1.2
Perumusan Masalah.......................................................................... 2
1.3
Tujuan Penelitian.............................................................................. 3
1.4
Manfaat Penelitian............................................................................ 4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1
Konsep Dasar Graf ........................................................................... 5
2.2
Beberapa Kelas Pohon ...................................................................... 8
2.3
Dimensi Partisi Graf ....................................................................... 10
BAB III METODE PENELITIAN
3.1
Waktu dan Tempat Penelitian ........................................................ 18
3.2
Metode Penelitian ........................................................................... 18
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
V.
4.1
Dimensi Partisi Graf nS4,2 .............................................................. 20
4.1
Dimensi Partisi Graf nS4,3 .............................................................. 22
4.1
Dimensi Partisi Graf nS4,k untuk k ≥ 4............................................ 23
SIMPULAN DAN SARAN
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
MOTO
“Man Jadda Wa Jada - Siapa yang bersungguh-sungguh akan
berhasil”
“Man Shobaro Zafiro – Siapa yang bersabar akan beruntung”
“Man Saaro „Alaa Darbi Washola – Siapa yang berjalan di
jalur Nya akan sampai”
“Selalu berusaha memberikan yang terbaik untuk orang
di sekitar kita”
(Dinda Ristanti)
PERSEMBAHAN
Dengan penuh rasa syukur kepada Allah SWT atas nikmat
yang luar biasa yang selalu diberikan kepadaku sehingga
aku dapat menyelesaikan hasil karyaku ini
Kupersembahkan hasil karyaku ini untuk Bapak dan Ibuku
tersayang sebagai salah satu wujud cintaku.
terima kasih untuk setiap doa, semangat, dan kasih sayang
yang selalu menemani disetiap hariku
Untuk kakakku Dyni Areta Ningrum, kedua adikku Nadia
Ayu Rifani dan Shepia Putri anggraini, sepupuku Siti
Nurmala, Kakak angkatku Mas Prapto, Richi Arif Pratama
Saputra, terima kasih untuk dukungan serta doa yang selalu
diberikan untukku
Sahabat-sahabat terbaikku, terima kasih untuk semua kisah
yang telah kita lalu bersama.
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Panjang pada tanggal 20 Mei 1993. Penulis merupakan anak
kedua dari pasangan Bapak M. Aripin dan Ibu Endang Tri Astuti, adik dari Dyni
Areta Ningrum serta kakak dari Nadia Ayu Rifani dan Shepia Putri Anggraini.
Penulis menyelesaikan pendidikan dari Taman Kanak-kanak Setia Kawan di
Panjang, Bandar Lampung pada tahun 1998.
Pendidikan sekolah dasar di
SD Negeri 1 Purwodadi Simpang, Lampung Selatan pada tahun 2004.
Pendidikan sekolah menengah pertama di SMP Negeri 23 Bandar Lampung
pada tahun
2007. Pendidikan sekolah menengah atas di SMA Al-Azhar 3,
Bandar Lampung pada tahun 2010.
Pada tahun 2010, Penulis melanjutkan pendidikan di perguruan tinggi dan
terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur SNMPTN. Pada periode
tahun 2010/2011 penulis terdaftar sebagai anggota GEMATIKA (Generasi Muda
HIMATIKA) Himpunan Mahasiswa Matematika FMIPA Unila. Penulis pernah
menjadi anggota biro Kesekretariatan Organisasi Himpunan Mahasiswa
Matematika FMIPA Unila pada periode tahun 2011/2012 - 2012/2013.
Sebagai bentuk aplikasi bidang ilmu kepada masyarakat, penulis telah
menyelesaikan Kerja Praktik (KP) selama satu bulan di Kantor Dinas Pendapatan
Kota Bandar Lampung serta Kuliah Kerja Nyata (KKN) selama 30 hari di desa
Sukaraja kecamatan Rajabasa, Lampung Selatan.
SANWACANA
Alhamdulillahi robbil ‘alamin, puji dan syukur penulis kepada Allah SWT atas
izin serta ridho-Nya dalam menyelesaikan skripsi ini. Shalawat serta salam
kepada junjungan nabi besar Muhammad SAW yang telah menjadi suri tauladan
yang baik bagi kita.
Pada proses penyusunan skripsi ini, penulis memperoleh banyak bimbingan,
kritik, dan saran yang membangun sehingga skripsi ini mampu penulis selesaikan.
Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :
1. Ibu Dr. Asmiati, S.Si., M.Si., selaku pembimbing I yang senantiasa
membimbing, memberikan arahan, saran, dan dukungan kepada penulis
dalam menyelesaikan skripsi ini.
2. Ibu Fitriani, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing II yang telah banyak
membantu dan memberikan pembelajaran serta bimbingan kepada penulis.
3. Ibu Dra. Wamilliana, M .A., Ph.D., selaku penguji yang telah memberikan
penulis kritik dan saran pada penelitian ini.
4.
Ibu Dra. Dorrah Aziz, S.Si., M.Si., selaku pembimbing akademik.
4. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika
FMIPA Universitas Lampung.
5. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku dekan FMIPA Universitas Lampung.
6. Seluruh dosen, staff, dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lampung.
7.
Untuk kedua orang tuaku, mbak Dyni, adikku Ayu, dan PSutri serta Mala
dan Mas Prapto yang luar biasa yang tak pernah letih memberikan saran,
perhatian, doa serta semangat kepada penulis.
8. Untuk Richi Arif Pratama Saputra atas nasehat, kesabaran, kebersamaan serta
waktu luang yang sangat bermanfaat selama ini.
9. Sahabat-sahabat penulis, Agustia Indriani, Agustina Ambar Wulan, Christy
Engine Nita, Dian Ekawati, Tri Handayani, Hasby Alkarim, Miftah Farid
Artama, Muhammad Ridho, Rohandi, serta Sofyan Saputra yang selalu ada
dan memberi semangat melalui keceriaan serta nasihatnya.
10. Sahabat seperjuangan sebimbingan, Erwin Hendrianto, Epy lestari, Suryadi
serta untuk teman-teman Matematika 2010 dan keluarga besar HIMATIKA.
11. Seluruh pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini yang tidak
dapat disebutkan satu persatu.
Akhir kata, penulis menyadari skripsi ini jauh dari kesempurnaan, akan tetapi
semoga dapat berguna dan bermanfaat bagi kita semua.
Bandar Lampung,
Penulis,
Dinda Ristanti
Agustus 2014
1
I. PENDAHULUAN
1.1. Latar belakang Masalah
Teori graf merupakan salah satu bagian ilmu dari matematika. Banyak
permasalahan yang dapat dinyatakan dan diselesaikan dengan menggunakan
teori graf. Graf merupakan kumpulan titik dan sisi, dinotasikan dengan
G=(V,E), dimana V menyatakan himpunan titik yang tak kosong dan E
menyatakan himpunan sisi yang merupakan pasangan sisi tak terurut dari
titik-titik V.
Seiring kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi, banyak terdapat penelitian
tentang graf, diantaranya pewarnaan graf dan dimensi partisi graf. Konsep
dimensi partisi dari suatu graf pertama kali diperkenalkan oleh Chartrand dkk.
pada tahun 1998. Konsep ini merupakan pengembangan dari konsep dimensi
metrik yang sebelumnya sudah diperkenalkan oleh Slater dan Melter dkk.
pada tahun 1975 dan 1976. Konsep dimensi partisi juga merupakan salah satu
konsep yang menjadi latar belakang munculnya konsep bilangan kromatik
lokasi.
Misalkan
suatu graf,
himpunan , dinotasikan dengan
dan
adalah
. Jarak dari titik
ke
dengan
2
adalah jarak dari titik
dari
,
dengan
dinotasikan
ke . Misalkan {
kelas-kelas dari
dengan
,
. Selanjutnya,
jika
. Representasi
adalah
-tupel
terhadap
terurut
disebut partisi pembeda dari
untuk setiap dua titik berbeda
Dimensi partisi dari
sehingga
} adalah partisi
, dinotasikan
mempunyai partisi pembeda dengan
adalah nilai
terkecil
kelas (Chartrand dkk.,
1998).
Penentuan dimensi partisi dari graf terhubung telah dilakukan oleh Chartrand
dkk. (1998), khususnya untuk kelas pohon telah mendapatkan dimensi partisi
dari graf lintasan Pn, n ≥ 2, yaitu pd( Pn) = 2 dan graf bintang K1,n, yaitu
pd(K1,n) = n. Graf bintang ganda T berorde n ≥ 6, pd(T)=max{deg(x),deg(y)}
– 1, dengan x dan y dua titik yang bukan daun. Selain itu, mereka
mendapatkan batas atas dan batas bawah dimensi partisi dari graf ulat.
Penelitian terus dilakukan untuk mendapatkan dimensi partisi graf terhubung
lainnya. Kelas graf tertentu dapat ditentukan dimensi partisinya secara tepat,
tetapi pada kelas graf lain baru dapat ditentukan batas atas atau batas
bawahnya.
Chartrand dkk. (2000) telah mengkaji dimensi partisi pada graf bipartit Km,n
dan Tomescu dkk. pada tahun 2007 untuk graf roda Wn. Untuk n tertentu,
dimensi partisi graf roda Wn telah dapat ditentukan secara tepat. Misalnya,
pd(Wn) = 3 untuk 4 ≤ n ≤ 7 dan pd(Wn) = 4 untuk 8 ≤ n ≤ 19. Selanjutnya,
3
Asmiati (2012) telah mendapatkan dimensi partisi pada graf amalgamasi
bintang.
Ketertarikan penulis pada penelitian ini adalah terkait masalah penentuan
untuk n,k sebarang bilangan asli.
dimensi partisi graf
1.2. Perumusan Masalah
Diberikan graf
sebagai berikut :
k
k
k
X
Gambar 1. Graf
Graf
diperoleh dari
graf
dan setiap titik
nya dihubungkan oleh
suatu lintasan. Pada penelitian ini akan ditentukan dimensi partisi graf nS4,k
untuk n,k sebarang bilangan asli.
1.3. Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan dimensi partisi dari graf
secara umum.
4
1.4. Manfaat Penelitian
Adapun manfaat dari penelitian ini adalah :
1. Memberikan pemahaman dan wawasan mengenai dimensi partisi dari graf
khususnya graf
.
2. Untuk menjadi referensi penelitian lanjutan mengenai dimensi partisi suatu
graf.
5
II. TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi
graf sebagai landasan teori dari penelitian ini.
2.1. Konsep Dasar Graf
Pada bagian ini akan diberikan beberapa definisi tentang konsep dasar graf
yang diambil dari Deo, 1998.
Graf merupakan kumpulan titik dan sisi, dinotasikan dengan G = (V,E),
dengan V menyatakan himpunan titik {v1, v2,…, vn} yang tak kosong dan E
menyatakan himpunan sisi {e1, e2,…, en} yang merupakan pasangan tak
terurut dari titik-titik di V.
v1
e1
e2
v3
e4
e6
v5
e8
e5
e7
v2
e3
v4
e8
Gambar 2. Contoh graf dengan 5 titik dan 8 sisi
6
Dua titik
pada graf
G dikatakan bertetangga (adjacent) bila keduanya
terhubung dengan suatu sisi. Suatu sisi dikatakan menempel (incident)
dengan suatu titik u, jika titik u merupakan salah satu titik ujung dari sisi
tersebut. Pada Gambar 2, titik v3 bertetangga dengan titik v1 dan v5. Sisi e3
menempel pada titik v2 dan v4.
Derajat suatu titik v pada graf G adalah banyaknya sisi yang menempel pada
titik v , dinotasikan dengan d(v). Daun (pendant vertex) adalah titik yang
berderajat satu. Pada Gambar 2, d(v1) = 2, d(v2) = 3, d(v3) = 3, d(v4) = 5 dan
d(v5) = 3 dan graf tersebut tidak memiliki daun karena setiap titiknya
memiliki derajat lebih dari satu.
Loop adalah sisi yang memiliki titik awal dan titik akhir yang sama. Sisi
paralel adalah sisi yang memiliki dua titik ujung yang sama. Graf yang tidak
mempunyai sisi ganda dan atau loop disebut graf sederhana. Pada Gambar 2,
terdapat loop pada titik v2 yaitu e8, sedangkan e3, e6, e5 dan e7 disebut sisi
paralel. Graf pada Gambar 2 bukan graf sederhana karena terdapat loop (e8)
dan sisi ganda (e7).
Jalan (walk) adalah barisan berhingga dari titik dan sisi dimulai dan diakhiri
dengan titik sedemikian sehingga setiap sisi menempel dengan titik sebelum
dan sesudahnya. Lintasan (path) adalah jalan yang memiliki atau melewati
titik yang berbeda-beda. Graf G dikatakan terhubung jika terdapat lintasan
yang menghubungkan setiap dua titik yang berbeda. Sirkuit (circuit) adalah
lintasan tertutup, yaitu lintasan yang memiliki titik awal dan titik akhir yang
sama. Sirkuit yang banyak titiknya genap disebut sirkuit genap, sedangkan
7
jika banyak titiknya ganjil, maka disebut sirkuit ganjil. Pada Gambar 2,
contoh jalan adalah v1-e1-v2-e3-v4-e7-v5-e5-v4. Contoh lintasan adalah v1-e1-v2e3-v4-e7-v5-e8-v3. Contoh dari sirkuit adalah v1-e1-v2-e3-v4-e5-v5-e8-v3-e2-v1.
Graf T dikatakan subgraf dari graf G dinotasikan dengan T G jika dan
hanya jika V(T) V(G) dan E(T) E(G).
Contoh subgraf :
A
e1
e2
C
e4
e6
E
e8
A
e2
c
e5
e4
e1
e7
B
e8
e3
D
B
Graf G
e3
D
Graf T
Gambar 3. T G
2.2. Beberapa Kelas Graf Pohon
Berikut ini akan diberikan beberapa kelas graf pohon yang berkaitan dengan
penelitian ini.
Misalkan G adalah graf terhubung, G disebut pohon jika dan hanya jika G
tidak memuat sirkuit dan gabungan dari pohon disebut hutan (forest).
8
T
H
Gambar 4. Contoh pohon dan hutan
Pada Gambar 4, T adalah pohon dan H adalah hutan.
Graf
adalah graf yang diperoleh dari
graf
dan setiap titik
dihubungkan oleh suatu lintasan.
k
k
k
X
Gambar 5. Graf S4,k
Gambar 6. Graf 3S4,5
nya
9
Graf bintang K1,n (star) adalah suatu graf terhubung yang mempunyai satu
titik berderajat n yang disebut pusat dan titik lainya berderajat satu (Chartrand
dkk., 1998).
Gambar 7. Graf bintang K1,6
Suatu graf pohon disebut graf bintang ganda (double star) jika graf pohon
tersebut mempunyai tepat dua titik x dan y berderajat lebih dari satu. jika x
dan y berturut-turut berderajat a + 1 dan b + 1, dinotasikan dengan Sa,b
(Chartrand dkk., 1998).
Gambar 8. Graf bintang ganda S3,2
Graf ulat (caterpillar graf) adalah graf pohon yang memiliki sifat apabila
dihapus semua daunnya akan menghasilkan lintasan (Chartrand dkk., 1998).
Gambar 9. Contoh graf ulat
10
2.3. Dimensi Partisi Graf
Pada bagian ini akan diberikan definisi dan sifat-sifat dari dimensi partisi
pada suatu graf yang diambil dari Chartrand dkk (1998).
Misalkan
suatu graf,
dan
himpunan , dinotasikan dengan
dengan
dinotasikan
adalah,
kelas-kelas dari
dengan
,
jika
adalah
terhadap ,
-tupel
terurut
disebut partisi pembeda dari
untuk setiap dua titik berbeda
Dimensi partisi dari
sehingga
} adalah partisi
. Representasi
. Selanjutnya,
ke
dengan
ke . Misalkan {
adalah jarak dari titik
dari
. Jarak dari titik
, dinotasikan
adalah nilai
mempunyai partisi pembeda dengan
terkecil
kelas.
Berikut ini akan diberikan graf G dan akan ditentukan dimensi partisinya.
v3
1
2
v4
v2
3
v1
1
v14
2
2
v5
1
v13
1 v7
1
v12
2
1
v11
v8
v6
2
1
2
v9
v10
Graf G
Gambar 10. Dimensi partisi graf G
11
Graf G dipartisi sedemikian sehingga diperoleh = {S1,S2,S3}, dengan S1 =
{v1,v4,v5,v7,v9,v11,v12}, S2 = {v3,v6,v8,v10,v13,v14} dan S3 = {v2}. Perhatikan
bahwa r(v1|) = (0,1,1); r(v2|) = (1,2,0); r(v3|) = (1,0,2); r(v4|) = (0,2,2);
r(v5|) = (0,1,2); r(v6|) = (1,0,3); r(v7|) = (1,0,4); r(v8|) = (2,0,4); r(v9|) =
(0,1,4); r(v10|) = (1,0,5); r(v11|) = (0,1,5); r(v12|) = (0,1,6); r(v13|) =
(1,0,6); r(v14|) = (0,1,7). Karena representasi dari setiap titik berbeda, maka
adalah partisi pembeda dari graf G dan pd(G) ≤ 3.
Untuk menunjukkan pd(G) ≥ 3, andaikan terdapat partisi pembeda =
{S1,S2} dari G. Perhatikan titik v1, v1 memiliki 3 daun yaitu v2, v3 dan v4. Jika
hanya terdapat dua kelas partisi pembeda, maka dua dari tiga daun tersebut
akan memiliki partisi pembeda yang sama. Akibatnya representasi kedua
daun itu akan sama, karena memiliki jarak yang sama terhadap titik-titik
lainnya pada graf G, kontradiksi. Jadi pd(G) ≥ 3. Akibatnya, pd(G) = 3.
Berikut ini akan diberikan lemma dan teorema penting dari dimensi partisi
yang telah dibuktikan Chartrand dkk. (1998).
Lemma 2.2.1
Diberikan G graf terhubung dengan partisi pembeda dari V(G), untuk u,v
V(G), jika d(u,w) = d(v,w) untuk setiap w V(G) – {u,v}, maka u dan v
merupakan elemen yang berbeda dari .
12
Berikut ini akan diberikan teorema untuk menentukan dimensi partisi pada
graf bintang ganda.
Teorema 2.2.2
Jika T adalah graf bintang ganda berorde n ≥ 6, dengan x dan y dua titik yang
bukan daun, maka pd(T) = max{deg(x),deg(y)} – 1.
Contoh penentuan dimensi partisi graf dari graf bintang ganda.
Diberikan graf bintang ganda S3,2, akan tentukan bahwa pd(S3,2) = 3.
3
v3
v5
1
2
3
1
1
v1
v2
v6
v7
2
v4
Gambar 11. Dimensi partisi graf bintang ganda S3,2
Graf bintang ganda S3,2 dipartisi sedemikian sehingga diperoleh =
{S1,S2,S3}, dengan S1 = {v2,v3,v7}, S2 = {v4,v6}, dan S3 = {v1,v5}.
Perhatikan bahwa r(v1|) = (1,1,0); r(v2|) = (0,1,1); r(v3|) = (0,2,2); r(v4|)
= (1,0,2); r(v5|) = (2,2,0); r(v6|) = (2,0,1); r(v7|) = (0,2,1). Karena
representasi dari setiap titik berbeda, maka adalah partisi pembeda dari graf
S3,2 dan pd(G) ≤ 3.
Untuk menunjukkan pd(S3,2) ≥ 3, andaikan terdapat partisi pembeda =
{S1,S2} dari G dengan S1={v1,v3,v7}; S2={v1,v4,v5,v6}, maka titik v5,v6 akan
13
memiliki representasi yang sama yaitu (2,0), kontradiksi. Jadi pd(S3,2) ≥ 3.
Akibatnya, pd(S3,2) = 3.
Teorema 2.2.3
Misalkan K1,n graf bintang berode n ≥ 1, maka pd(K1,n) = n.
Bukti :
Vn+1
v12
v11
n
11
v2
1
v3
10
2
9
v4
1
v10
3
v1
v9
8
4
7
v8
v5
v6
6
v7
5
Gambar 12. Dimensi partisi graf bintang K1,n
Graf K1,n dipartisi sedemikian sehingga diperoleh = {S1,S2,S3,S4,S5,S6,…,Sn}
dengan S1 = {v1,v2}, S2 = {v3}, S3 = {v4}, S4 = {v5}, S5 = {v6}, S6 = {v7},...,
dan Sn = {vn+1}. Perhatikan bahwa r(v1|) = (0,1,1,1,1,1,1,…,1); r(v2|) =
(0,2,2,2,2,…,2); r(v3|) = (1,0,2,2,2,2,…,2); r(v4|) = (1,2,0,2,2,2,…,2);
r(v5|) = (1,2,2,,0,2,2,…,2); r(v6|) = (1,2,2,2,0,2,…,2);…;r(vn+1|) =
(1,2,2,2,2,2,…,0). Karena representasi dari setiap titik berbeda, maka
adalah partisi pembeda dari graf K1,n dan pd(K1,n) ≤ n.
14
Untuk menunjukkan pd(K1,n) ≥ n, andaikan bahwa terdapat partisi pembeda
= {S1,S2,S3,S4,S5,…,Sn-1} dari K1,n maka akan ada representasi yang sama
yaitu pada titik vn dan vn+1. Maka bukan merupakan partisi pembeda dari
graf K1,n, kontradiksi. Jadi pd(K1,n) ≥ n. Akibatnya, pd(K1,n) = n.
Berikut ini akan diberikan contoh penentuan dimensi partisi dari graf bintang
K1,6.
v2
1
v7
v3
6
2
1
v1
3
v6
v4
5
4
v5
Gambar 13. Dimensi partisi graf K1,6
Graf K1,6 dipartisi sedemikian sehingga diperoleh = {S1,S2,S3,S4,S5,S6}
dengan S1 = {v1,v2}, S2 = {v3}, S3 = {v4}, S4 = {v5}, S5 = {v6} dan S6 = {v7}.
Perhatikan bahwa r(v1|) = (0,1,1,1,1,1); r(v2|) = (0,2,2,2,2,2); r(v3|) =
(1,0,2,2,2,2); r(v4|) = (1,2,0,2,2,2); r(v5|) = (1,2,2,0,2,2); r(v6|) =
(1,2,2,2,0,2); r(v7|) = (1,2,2,2,2,0). Karena representasi dari setiap titik
berbeda, maka adalah partisi pembeda dari graf K1,6 dan pd(K1,6) ≤ 6.
Untuk menunjukkan pd(K1,6) ≥ 6, andaikan bahwa terdapat partisi pembeda
= {S1,S2,S3,S4,S5} maka akan ada representasi yang sama pada titik v6 dan v7.
15
Sehingga, bukan merupakan partisi pembeda dari graf K1,6, kontradiksi..
Jadi pd(K1,6) ≥ 6. Akibatnya, pd(K1,6) = 6.
Teorema 2.2.4
Jika T adalah graf ulat dengan t(T) ≥ 3, maka t(T) – 2 ≤ pd(T) ≤ t(T) + 1.
Untuk membuktikan Teorema 2.2.4, perhatikan partisi pembeda pada grafgraf ulat berikut ini :
v7
v3
2
1
v4
1
v6
2
3
v8
1
v5
2
v4
v1 3
1
2
v2
v3
3
2
1
3
v6
v5
v1
v2
T2
T1
v6
v3
v2
v1
v7
v4
T3
v5
v8
v9
v5
v6
1
1
v8
2
2
v16 1
1 v
11
4
1
v15
v12
2
v3
v4
v1 3
2
3
v2
2
3
v13
v14
3
3
v10
v7
T4
Gambar 14. Dimensi partisi graf ulat T1, T2, T3 dan T4
16
Graf ulat T1 pada Gambar 14 memiliki pd(T1) = 3 = t(T1) – 2 dengan
minimal partisi pembeda = {S1,S2,S3} dengan S1 = {v2,v5,v6}; S2 = {v3,v4,v7}
dan S3 = {v1,v8}.
Graf ulat T2 pada Gambar 14 memiliki pd(T2) = 3 = t(T2) – 1 dengan
minimal partisi pembeda = {S1,S2,S3} dengan S1 = {v1,v4}; S2 = {v3,v5} dan
S3 = {v2,v6}.
Graf ulat T3 pada Gambar 14, adalah graf bintang ganda dan berdasarkan
teorema 2.2.2 maka t(T3) = pd(T3) = 3.
Graf ulat T4 pada Gambar 14 memiliki t(T4) = 3 dengan partisi pembedanya
= {S1,S2,S3,S4} dari V(T4), dengan S1 = {v3,v5,v9,v11,v16}; S2 =
{v4,v6,v8,v12,v15}; S3 = {v1,v7,v10,v13,v14} dan S4 = {v2}. Untuk menunjukkan
pd(T4) = 4 cukup dengan menunjukkan bahwa tidak ada partisi pembeda
dengan tiga kelas partisi dari V(T4). Misalkan = {S1,S2,S3} sebagai partisi
pembeda dari V(T4) maka akan ada kesamaan partisi pembeda dari titik v1 dan
v2 sehingga mengakibatkan representasinya akan sama juga. Sehingga =
{S1,S2,S3} bukanlah partisi pembeda yang tepat untuk T4, kontradiksi.
Akibatnya, pd(T4) = 4 = t(T3) + 1.
18
III. METODE PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun ajaran 2013/2014
bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Metode yang dilakukan untuk menentukan dimensi partisi dari graf
yaitu sebagai berikut :
(
1. Menentukan batas bawah dari
)
Berdasarkan Lemma 2.2.1, dapat ditentukan batas bawah trivial dari
dimensi partisi
. Hal ini dapat dilakukan karena terdapat titik pada
yang mempunyai
daun, akibatnya,
2. Menentukan batas atas dari
Batas atas dari
(
(
)
diperoleh dengan cara mengkonstruksi graf
Himpunan titik-titik pada graf
dikelompokkan berdasarkan
diameternya kedalam kelas partisi pembeda. Minimum banyaknya partisi
pembeda itulah yang merupakan dimensi partisi dari graf
V. SIMPULAN DAN SARAN
Pada bagian ini akan diberikan simpulan dan saran dari hasil yang sudah diperoleh
untuk penelitian ini.
5.1. Simpulan
Adapun kesimpulan dalam penelitian ini secara umum adalah sebagai berikut :
1. Pd(nS4,2) = {
2. Pd(nS4,3) = 4 ; n ≥ 1
3. Untuk k ≥ 4, Pd(nS4,k) = {
5.2. Saran
Penelitian ini dapat dilanjutkan dengan menentukan dimensi partisi pada graf
pohon lainnya.
DAFTAR PUSTAKA
Asmiati. 2012. Partition Dimension of Amalgamation of Stars. Bulletin of
Mathematics. Vol 04, No. 02, 161-167.
Chartrand, G., E. Salehi, dan P. Zhang. 1998. On The Partition Dimension of
Graph, Congr. Numer,.130, 157-168.
Chartrand, G., E. Salehi, dan P. Zhang. 2000. The Partition Dimension of a Graph,
Aequationes Math.59, 45-54.
Deo, N. 1998. Graph Theory with Applications to Engineering and computer
Science. Prentice Hall Inc, New York.
Johnson, M., 1993. Structure-activity Maps For Visualizing The Graph variables
Arising In Drug Design, J. Biopharm., 3, 203-236.
Tomescu, L., Javaid, I., and Slaim, 2007. On Partition Dimension and Connected
Partition Dimension of Wheels, Ars Combin., 84, 311-317.