SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  

HIPOTESIS KONTINUUM

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

  

Oleh:

R. Pudji Tursana

NIM: 943114004

NIRM: 940051122808120004

  

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2002

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI “ ... dipersembahkan untuk para pengungsi yang terlupakan, yang hingga saat ini masih di tanah asing, dan mengenali kata “rumah”,

sebagai sebuah mimpi, cita-

cita, dan harapan.... “

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Pernyataan Keaslian Karya Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam Daftar Pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

  Yogyakarta, 1 April 2002 Penulis

  R. Pudji Tursana

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  

ABSTRAK

  Himpunan A dikatakan mempunyai kardinalitas (bilangan kardinal) yang sama dengan himpunan B, yaitu ⏐A⏐ = ⏐B⏐, jika A berkorespondensi satu-satu dengan B. Kardinalitas himpunan hingga adalah banyaknya elemen dalam himpunan tersebut. Kardinalitas himpunan takhingga didasarkan pada sifat tercacah atau taktercacahnya himpunan tersebut. Pada himpunan tercacah B, ⏐B⏐ = ⏐R⏐ = c. Kardinalitas himpunan taktercacah disebut kardinalitas

  ℵ

  kontinuum. Suatu hubungan antara c dan adalah c = 2 . Timbul suatu ℵ dugaan bahwa tidak ada bilangan kardinal x sedemikian hingga

  ℵ < x < c. Dugaan ini pertama kali dicetuskan oleh George Cantor dan kemudian diberi nama Hipotesis Kontinuum. Hipotesis Kontinuum Umum menyatakan bahwa

  ℵ

  ℵ = 2 , yaitu selalu dapat ditemukan bilangan kardinal yang lebih besar dari ^{n 1}

• bilangan kardinal yang diberikan.

  viii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  

ABSTRACT

  Two sets A and B are said to have the same cardinality (cardinal number), which is written ⏐A⏐ = ⏐B⏐, if there exists a one-to-one correspondence between A and

  

B . Cardinality of a finite set is the number of elements of the set. Cardinality of an

  infinite set is depending on the denumerable or non-denumerable property of the set. A denumerable set B has ⏐B⏐ = ⏐R⏐ = c. The cardinality of a non- denumerable set is called continuum cardinality. The relation between c and ℵ is

  ℵ

c = 2 . There is a conjecture that there is no cardinal x such that ℵ < x < c.

  George Cantor is the first person who proposed the conjecture which is later called Continuum Hypothesis. The Generalized Continuum Hypothesis notes that

  ℵ ℵ = 2 , i.e. there is always a greater cardinal number than a given one.

• n
¹

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

KATA PENGANTAR

  Saya mengucapkan syukur yang sebesar-besarnya kepada Tuhan Yang Maha Rahim untuk segala keajaiban yang diberikan kepada saya dalam usaha menyelesaikan skripsi ini. Topik yang saya pilih untuk skripsi ini pun tidak terlepas dari campur tangan dan persetujuanNya.

  Tujuan saya menulis skripsi ini selain untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar akademis, adalah untuk belajar bagaiamana menulis ilmiah dengan baik dan benar.

  Saya juga bersyukur untuk setiap orang yang dikirimNya kepada saya sebagai orang tua, guru, saudara, sahabat, teman seperjalanan, dan teman sekerja.

  Penghargaan dan rasa terima kasih yang sangat besar saya berikan kepada mereka.

  1. Papa Mama Boni Tatang yang telah menghadirkan saya ke dunia ini dengan segala talenta yang saya miliki sampai saat ini.

  2. Bapak Drs. Y. Eka Priyatma, M. Sc. sebagai Dekan Fakultas MIPA.

  3. Romo Dr. F. Susilo, SJ sebagai Dosen Wali dan Dosen Pembimbing Skripsi yang telah membimbing penulisan skripsi ini dengan sabar.

  4. Ibu M. V. Ani Herawati, M. Si. sebagai Dosen Pembimbing Skripsi yang telah membimbing penulisan skripsi ini dalam proses penyelesaian dengan sabar.

  5. Ibu Dra. Maria Agustiani, M.Si. yang telah bertindak sebagai Guru, Ibu, dan Sahabat, yang menemani saya dalam saat-saat sulit.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  6. Ibu P. H. Prima Rosa, M. Sc. yang telah meletakkan dasar keteguhan hati bagi saya sebagai pembelajar pada masa awal perkuliahan saya.

  7. Bapak Ir. Ign. Aris Dwiatmaka, M. Sc. yang telah bertindak sebagai Guru, pemberi energi positif, dan Sahabat yang selalu memberi semangat.

  8. Bapak Prof. R. Soemantri yang dengan sangat sabar membantu kelancaran kuliah saya.

  9. Hongky Julie yang telah membantu saya dalam proses belajar menjelang ujian dengan rendah hati dan sabar.

  10. Sr. Benedict, CB sebagai Ibu dan Sahabat yang telah menunggu dengan sabar proses pendidikan saya.

  11. Komunitas FCJ yang telah menemani saya dalam suka duka pengenalan diri.

  12. Komunitas Syantikara dan PSP Pingit sebagai tempat saya belajar tentang hidup dan menjadi dewasa.

  13. Para sahabat: Ike, Ika, Dian, Eva, Bulan, Sekar, Sukma, dan Fajar yang telah menemani saya dalam suka dan duka dan selalu memberikan energi positif .

  14. Tia untuk selalu menjadi adik yang baik dan sabar dalam suka dan duka.

  15. Ari yang selalu menjadi semangat, menemani, dan menerima setiap perubahan saya.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  16. Agus Supriyadi yang menjadi teman “Emausan” dan membantu saya kembali kepada rantai komitmen yang lebih tepat.

  17. Komunitas Jesuit Refugee Service (JRS) Indonesia yang telah memberi kesempatan dan ruang bagi saya untuk belajar lebih dalam tentang hidup dan sejarah manusia.

  18. Staff dan karyawan kesekretariatan MIPA dan Perpustakaan Universitas Sanata Dharma, yang telah memberi bantuan peminjaman pustaka dalam suasana yang bersahabat.

  19. Semua saja yang telah membantu saya dalam proses pendidikan saya. Saya menyadari sepenuhnya bahwa skripsi ini masih belum sempurna. Untuk itu kritik dan saran yang membangun saya harapkan demi perbaikan skripsi ini. Harapan saya, skripsi ini dapat memberi manfaat khususnya bagi para pemerhati matematika.

  Penulis

  PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

DAFTAR ISI

  HALAMAN JUDUL................................................................................................ i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ..................................................... ii HALAMAN PENGESAHAN................................................................................ iii HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................ iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ..................................................................v HAK CIPTA .......................................................................................................... vi ABSTRAK ............................................................................................................ vii ABSTRACT......................................................................................................... viii KATA PENGANTAR ........................................................................................... ix DAFTAR ISI......................................................................................................... xii

  BAB I. PENDAHULUAN .......................................................................................1

  1. Latar Belakang .............................................................................................1

  2. Rumusan Masalah ........................................................................................2

  3. Tujuan Penulisan..........................................................................................2

  4. Manfaat Penulisan........................................................................................2

  5. Metode Penulisan .........................................................................................2

  BAB II. HIMPUNAN, RELASI DAN FUNGSI .....................................................3

  1. Konsep Dasar Teori Himpunan....................................................................3

  2. Produk Kartesius, Relasi, dan Fungsi ........................................................10

  3. Sistem Aljabar dan Homomorfisma...........................................................27

  BAB III. HIMPUNAN TERCACAH ....................................................................31

  1. Himpunan Hingga dan Himpunan Takhingga ...........................................31

  PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  2. Himpunan Tercacah dan Himpunan Terbilang ..........................................32

  3. Himpunan Kuasa........................................................................................48

  BAB IV. HIPOTESIS KONTINUUM...................................................................57

  1. Bilangan Kardinal ......................................................................................57

  2. Hipotesis Kontinuum .................................................................................62

  BAB V. PENUTUP................................................................................................65 DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................67

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB I PENDAHULUAN

1. Latar Belakang

  Himpunan adalah kumpulan obyek-obyek yang berbeda. Himpunan kuasa dari himpunan A adalah himpunan semua himpunan bagian dari A, dan ditulis ℘[A]. Selanjutnya, dapat dibentuk himpunan kuasa dari ℘[A], himpunan kuasa dari ℘[℘[A]], ....

  Pada himpunan hingga, jumlah elemen dari ℘[A] hingga dan pada himpunan takhingga jumlah elemen dari ℘[A] takhingga. Bilangan kardinal dari himpunan hingga A menyatakan jumlah elemen A. Secara umum bilangan kardinal dari himpunan A sebarang adalah sama dengan bilangan kardinal dari himpunan yang berkorespondensi satu-satu dengannya. Bilangan kardinal dari ℘[A] selalu lebih besar dari bilangan kardinal A.

  Jika diberikan N = {1,2,3,4,5,....}, maka bilangan kardinal dari ℘[N] sama dengan bilangan kardinal dari himpunan semua bilangan real atau semua titik pada sebuah garis lurus. Oleh karena itu ℘[N] disebut bilangan kardinal dari dari kontinuum.

  Hipotesis kontinuum mengatakan bahwa tidak ada bilangan kardinal x sedemikian hingga ⏐N⏐ < x < ⏐R⏐. Dalam skripsi pembahasan hipotesis kontinumm dibatasi hanya sampai pada proses pemunculan ide hipotesis kontinuum tersebut.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  2. Rumusan Masalah

  Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini dirumuskan sebagai berikut:

• Apakah yang dimaksud dengan hipotesis kontinuum?
• Bagaimana proses terjadinya (munculnya) hipotesis kontinuum?
• Bagaimana keberadaan hipotesis kontinuum sampai saat ini?

  3. Tujuan Penulisan

  Tujuan penulisan skripsi ini adalah untuk memahami bagaimana proses terjadinya suatu hipotesis, yang dalam hal ini adalah hipotesis kontinuum, dan untuk memahami konsep teori himpunan dan himpunan tercacah lebih mendalam.

  4. Manfaat Penulisan

  Dengan mempelajari proses terjadinya hipotesis kontinuum lalu menuliskannya diperoleh manfaat sebagai berikut:

• Penulis semakin memahami konsep teori himpunan dan himpunan tercacah.
• Penulis menjadi paham dengan proses bagaimana sebuah hipotesis terjadi.
• Penulis menjadi paham bagaimana menulis suatu tulisan ilmiah.

  5. Metode Penulisan

  Untuk menulis skripsi ini digunakan metode studi pustaka, yaitu mempelajari materi-materi terkait yang terdapat pada beberapa buku acuan.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB II HIMPUNAN, RELASI, DAN FUNGSI Pada Bab II ini dibahas materi dasar teori himpunan. Pembahasan dimulai

  dari konsep-konsep dasar teori himpunan dan operasi-operasinya. Lalu ditinjau Produk Kartesius, relasi, dan fungsi, dan akhirnya sistem aljabar dan homomorfisma.

1. Konsep Dasar Teori Himpunan

  Sekotak kapur, sekaleng permen, dan sekeranjang buah-buahan adalah contoh himpunan. Pada matematika suatu himpunan didefinisikan dengan menyatakan syarat keanggotaannya. Anggota suatu himpunan disebut unsur atau elemen. Terdapat beberapa cara untuk mendefinisikan suatu himpunan:

  1. Dengan menuliskan anggota-anggotanya. Contoh: A = {1,2,3,4}.

2. Dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan. Contoh: A = {x ⏐1 ≤ x ≤ 4}.

  3. Dengan menggunakan ungkapan deskriptif verbal. Contoh: A = {bilangan asli dari satu sampai empat}.

  Untuk menyatakan keanggotaan suatu himpunan digunakan notasi ∈, sedangkan notasi ∉ digunakan untuk menyatakan bahwa suatu obyek bukan elemen suatu himpunan.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Selain hubungan keanggotaan di atas, ada prinsip mendasar lain yaitu prinsip kesamaan dua himpunan. Jika himpunan A sama dengan himpunan B ditulis A = B. Jika tidak sama ditulis A

  ≠ B. Jika A = B maka setiap elemen dari A adalah elemen dari B dan sebaliknya. Demikian pula jika himpunan A dan himpunan B memiliki elemen yang sama maka A = B. Prinsip ini dirumuskan dalam sebuah definisi sebagai berikut:

  Definisi 2.1.1: Aksioma Perluasan A = B bila dan hanya bila ( ∀x) [x ∈ A ⇔ x ∈ B]

  Perlu diketahui pula bahwa suatu himpunan dapat menjadi himpunan bagian dari himpunan lain.

  

Definisi 2.1.2: Himpunan A disebut himpunan bagian dari himpunan B, ditulis

A ⊆ B, bila dan hanya bila setiap anggota A adalah anggota B.

  A ⊆ B ⇔ (∀x) [x ∈ A ⇒ x ∈ B]

  Dari definisi tersebut diperoleh beberapa sifat, yaitu :

  Teorema 2.1.1: Jika A, B, dan C adalah himpunan-himpunan, maka

  1. ( ] (Refleksif) ∀A) [A ⊆ A

  2. ( ∀A,B) [ A ⊆ B dan B ⊆ A ⇔ A = B ] (Antisimetris) 3. ( ∀A,B,C) [ A ⊆ B dan B ⊆ C ⇒ A = C ] (Transitif)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Bukti: 1. Akan dibuktikan: ( ∀A) [A ⊆ A].

  Andaikan A ⊄ A, maka ada paling sedikit satu x ∈ A dan x ∉ A. Terjadi kontradiksi, maka pengandaian salah, sehingga benar bahwa ( ∀A) [A ⊆ A].

  Jadi terbukti bahwa A ⊆ A.

  2. Akan dibuktikan: ( ∀A,B) [A ⊆ B dan B ⊆ A ⇔ A = B]

  Untuk setiap himpunan A dan B berlaku A ⊆ B dan B ⊆ A bila dan hanya bila ( ∀x) [x ∈ A ⇒ x ∈ B] dan (∀x) [x ∈ B ⇒ x ∈ A] bila dan hanya bila ( ∀x) [x ∈ A ⇔ x ∈ B] bila dan hanya bila A = B. Jadi terbukti bahwa A ⊆ B dan B ⊆ A ⇔ A = B.

  3. Akan dibuktikan: ( ∀A,B,C) [A ⊆ B dan B ⊆ C ⇒ A = C]

  Diketahui A ⊆ B dan B ⊆ C. Ambil sebarang x ∈ A, maka x ∈ B. Karena diketahui bahwa B ⊆ C dan x ∈ B, maka x ∈ C, sehingga x ∈ A ⇒ x ∈ C.

  Jadi benar bahwa A = C. Jadi terbukti bahwa A ⊆ B dan B ⊆ C ⇒ A = C „

  Definisi 2.1.3: Himpunan A disebut himpunan bagian sejati dari himpunan B, ditulis A ⊂ B, bila dan hanya bila A ⊆ B dan A ≠ B.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Pada umumnya himpunan didefinisikan dengan menyatakan sifatnya. Misalkan Φ adalah suatu sifat obyek-obyek. Prinsip himpunan mengatakan bahwa:

  I. Ada paling sedikit satu himpunan yang elemen-elemennya adalah obyek-obyek dengan sifat Φ.

  Andaikan ada dua himpunan yang elemen-elemennya adalah sebarang obyek- obyek dengan sifat Φ, maka kedua himpunan tersebut mempunyai elemen-elemen yang sama, sehingga dengan aksioma perluasan mereka adalah sama. Jadi

  II. Ada paling banyak satu himpunan yang elemen-elemennya adalah obyek- obyek dengan sifat Φ.

  Dengan menggabungkan I dan II: Ada tepat satu himpunan yang elemen- elemennya adalah obyek-obyek dengan sifat Φ, dilambangkan dengan { x⏐Φ (x) } dengan Φ (x) berarti “ x mempunyai sifat Φ ”. Jadi jika Φ suatu sifat, maka: ( i ) { x ⏐Φ (x) } adalah sebuah himpunan, dan ( ii ) ( ∀y) [ y ∈ { x⏐Φ (x) } ⇔ Φ (y) ] Andaikan A = { x ⏐Φ (x) } dan B = { x ⏐Ψ (x) }, maka berlaku:

  A = B

  ⇔ ∀ x [ Φ (x) ⇔ Ψ (x) ]

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  A ⊆ B ⇔ ∀ x [ Φ (x) ⇒ Ψ (x) ]

  Andaikan Φ (x) adalah x ≠ x sedemikian hingga dapat dibentuk suatu himpunan {x ⏐x ≠ x}. Himpunan ini tidak mempunyai elemen sebab tidak ada himpunan yang elemennya tidak sama dengan elemen itu sendiri. Jadi ada tepat satu himpunan yang tidak mempunyai elemen yang disebut himpunan kosong dan dilambangkan dengan φ.

  

Teorema 2.1.2: Himpunan kosong adalah himpunan bagian dari sebarang

himpunan yaitu ( ∀A) [φ ⊆ A].

  Bukti: Diberikan himpunan A. Andaikan φ ⊄ A, maka ada elemen dalam φ tetapi tidak dalam A. Padahal φ tidak mempunyai elemen, sehingga terjadi kontradiksi. Pengandaian salah, sehingga φ ⊆ A.

  „ Jadi terbukti ∀ A [ φ ⊆ A ]. Diberikan himpunan A dan himpunan B, maka gabungan dari himpunan A dan himpunan B, ditulis A ∪ B, didefinisikan sebagai himpunan yang elemen- elemennya terdiri dari elemen-elemen himpunan A atau himpunan B. Dengan kata lain:

  A

  ∪ B = { x ⏐ x ∈ A ∨ x ∈ B }

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Sedangkan irisan dari himpunan A dan himpunan B, ditulis A ∩ B, didefinisikan sebagai himpunan yang elemen-elemennya terdiri dari elemen-elemen himpunan

  A dan himpunan B. Dengan kata lain:

A ∩ B = { x ⏐ x ∈ A ∧ x ∈ B }

  Sifat-sifat yang berlaku pada operasi gabungan dan irisan himpunan adalah sebagai berikut:

  1. A ∪ φ = A ; A ∩ φ = φ

  2. A ∪ B = B ∪ A ; A ∩ B = B ∩ A (Komutatif) 3. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) ; (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (Asosiatif)

  4. A ∪ A = A ; A ∩ A = A (Idempotan) 5. A ⊆ B bila dan hanya bila A ∪ B = B bila dan hanya bila A ∩ B = A.

  6. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ; A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

  (Distributif) Jika A ∩ B = φ maka dikatakan bahwa himpunan A dan himpunan B saling asing. Selisih antara himpunan A dengan himpunan B, ditulis A – B, didefinisikan sebagai berikut:

  Definisi 2.1.4: A – B = {x ⏐x ∈ A ∧ x ∉ B}

  PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI c

  Selisih antara himpunan semesta pembicaraan S dengan himpunan A, ditulis A , disebut komplemen dari A, didefinisikan sebagai berikut: _c

  Definisi 2.1.5: A = S – A = { x ⏐ x ∈ S ∧ x ∉ A } = { x ⏐ x ∉ A }

  Sifat-sifat yang berlaku pada operasi komplemen adalah: _{c c} 1. (A ) = A _{c c} 2. a.

  φ = S ; S = φ _{c c} b. A ∩ A = φ ; A ∪ A = S di mana S adalah himpunan semesta. _{c c}

  3. A ⊆ B bila dan hanya bila B ⊆ A _{c c c c c c} 4. (A = A De Morgan)

  ∪ B) = A ∩ B ; (A ∩ B) ∪ B (Hukum Keluarga himpunan adalah himpunan yang elemen-elemennya adalah himpunan-himpunan. Digunakan himpunan indeks I = {1,2,3,..., n} untuk menunjukkan setiap elemennya. Misalkan A , A , A , ..., A adalah himpunan- _{1 2 3 n} himpunan terindeks dengan I = {1,2,3,...,n} adalah himpunan indeks. Gabungan dan irisan dari himpunan-himpunan ini didefinisikan sebagai berikut:

  Definisi 2.1.6: Diberikan keluarga himpunan A = { A ₁ , A , A , ..., A }, dengan _{2 3 n} A , A , A , ..., A masing-masing adalah himpunan, maka: _{1 n 2 3 n}

  U

  1. A = { x }

  I = {1,2,3,...,n} _{i 1 i i} ⏐(∃ i ∈ I) x ∈ A =

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  ∈ C, maka

  .... (1)

  ×

  ∪ ) ( C A

  ∪ × ) ( B A ×

  Jadi ⊆ ) ( C B A

  ×

  ∪ ]. ) ( C A

  ×

  , sehingga (a,b) ∈ [ ) ( B A

  × ) ( C A ×

  ) ( B A

  atau (a,b) ∈

  × . Jadi (a,b) ∈

  a ∈ A dan b ∈ C, sehingga (a,b) ∈ ) ( C A

  2. A _i = { x ⏐(∀ i ∈ I) x ∈ A _i }

  I = {1,2,3,...,n} ⁿ _{i 1} =

2. Produk Kartesius, Relasi, dan Fungsi

  Teorema 2.2.1: Produk Kartesius bersifat distributif terhadap operasi gabungan

  I

  Produk Kartesius A B × dari himpunan A dan himpunan B didefinisikan sebagai himpunan semua pasangan terurut (a,b) dengan a ∈ A dan b ∈ B.

  Definisi 2.2.1: B A

  × = { (a,b)

  ⏐ a ∈ A ∧ b ∈ B }

  dan irisan:

  Karena b ∈ (B ∪ C), maka b ∈ B atau b ∈ C. Jika b ∈ B, maka

  ) ( ) ( ) ( C A B A C B A

  × ∪ × = ∪ × ) ( ) ( ) ( C A B A C B A × ∩ × = ∩ ×

  Bukti:

  1. Akan ditunjukkan:

  ) ( ) ( ) ( C A B A C B A

× ∪ × = ∪ ×

  ( ⇒) Ambil sebarang (a,b) ∈ ) ( C B A

  ∪ × , maka a ∈ A dan b ∈ (B ∪ C).

  a ∈ A dan b ∈ B, sehingga (a,b) ∈ ) ( B A × . Jika b

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  ( ⇐) Ambil sebarang (a,b) ∈ ( A × B ) ∪ ( A × C ) , maka (a,b) ∈ ( A × B )

  ×

  atau (a,b) ∈ ( A C ) , sehingga (a ∈ A dan b ∈ B) atau (a ∈ A dan

  b ∈ C). Oleh karena itu a ∈ A dan (b ∈ B atau b ∈ C), sehingga a ∈ A dan b ∈ (B ∪ C). Berdasarkan Definisi 2.2.1, maka × ∪ (a,b) ∈ A ( B C ) .

  Jadi ( × ) ∪ ( × ) ⊆ × ( ∪ ) . .... (2)

  A B A C A B C Dari (1) dan (2) terbukti: A × ( B ∪ C ) = ( A × B ) ∪ ( A × C ) .

  × ∩ = × ∩ ×

  2. Akan ditunjukkan: A ( B C ) ( A B ) ( A C )

  × ∩ ( ⇒) Ambil sebarang (a,b) ∈ A ( B C ) , maka a ∈ A dan b ∈ (B ∩ C).

  Karena b ∈ (B ∩ C), maka b ∈ B dan b ∈ C, sehingga a ∈ A dan

  × b ∈ B. Oleh karena itu (a,b) ∈ ( A B ) , dan a ∈ A dan b ∈ C,

  × ×

  sehingga (a,b) ∈ ( A C ) , maka (a,b) ∈ ( A B ) dan (a,b) ∈

  × × × ( A C ) , sehingga (a,b) ∈ ( A B ) ∩ ( A C ) .

  Jadi × ∩ × × . .....(1)

  A ( B C ) ⊆ ( A B ) ∩ ( A C )

  ( ⇐) Ambil sebarang (a,b) ∈ ( A × B ) ∩ ( A × C ) , maka (a,b) ∈ ( A × B )

  ×

  dan (a,b) ∈ ( A C ) , sehingga (a ∈ A dan b ∈ B) dan (a ∈ A dan b ∈C). Oleh karena itu a ∈ A dan (b ∈ B dan b ∈C), sehingga a ∈ A

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  dan b ∈ (B ∩ C). Berdasarkan Definisi 2.2.1, maka (a,b) ∈

  

× ∩ × × × ∩

A ( B C ) . Jadi ( A B ) ∩ ( A C ) ⊆ A ( B C ) ....(2)

  × ∩ = × ∩ × „

  Dari (1) dan (2) terbukti: A ( B C ) ( A B ) ( A C ) Kesamaan pasangan terurut didefinisikan sebagai berikut: Definisi 2.2.2: (a,b) = (c,d) bila dan hanya bila a = c dan b = d.

  Jika diberikan himpunan X dan himpunan Y, maka relasi biner R antara elemen- elemen himpunan X dan elemen-elemen himpunan Y adalah suatu himpunan

  X × Y bagian dari .

  

Definisi 2.2.3: R adalah relasi biner antara elemen-elemen X dan elemen-elemen Y

X × Y

bila dan hanya bila R ⊆ .

  Kalimat (x,y) ∈ R seringkali ditulis dengan notasi xRy atau R(x,y) dan dibaca x berelasi dengan y.

  Relasi biner pada himpunan X adalah himpunan bagian dari

  X × X . X × Y

  Definisi 2.2.4: Untuk R ⊆ didefinisikan: Dom R = { x ∈ X ⏐(∃ y ∈ Y) xRy} (domain / daerah asal dari R) Ran R = { y ∈ Y ⏐ (∃ x ∈ X) xRy} (range / daerah hasil dari R)

  Andaikan R adalah relasi pada himpunan H, maka:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  R dikatakan bersifat refleksif bila dan hanya bila ( ∀ x ∈ H) xRx R dikatakan bersifat simetris bila dan hanya bila ( ∀ x, y ∈ H) xRy ⇒ yRx R dikatakan bersifat transitif bila dan hanya bila

  ( ∀ x, y, z ∈ H) xRy ∧ yRz ⇒ xRz

  

Definisi 2.2.5: Suatu relasi R pada himpunan H yang tidak kosong disebut relasi

  ekivalensi bila dan hanya bila R bersifat refleksif, simetris, dan transitif.

  Relasi kongruensi modulo n pada Z adalah salah satu contoh relasi ekivalensi. Dua bilangan bulat berelasi kongruensi modulo n (di mana n adalah suatu bilangan bulat positif) bila dan hanya bila keduanya menghasilkan sisa yang sama bila dibagi n. Relasi ini dilambangkan dengan x ≡ y (mod n), dibaca “ x kongruen terhadap y modulo n ”. Jika H suatu himpunan yang tidak kosong dan R adalah suatu relasi ekivalensi pada H maka:

  1. Dua eleman x, y ∈ H dikatakan ekivalen terhadap relasi R bila dan hanya bila xRy .

  2. Untuk setiap x ∈ H pasti terdapat paling tidak satu elemen dalam H yang ekivalen dengan x terhadap R, yaitu x itu sendiri (karena R refleksif). Himpunan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  semua elemen dalam H yang ekivalen dengan x disebut klas ekivalensi dengan

  x wakil x, ditulis sebagai .

  ( ∀ x ∈ H) x = {y ∈ H⏐ xRy}

  3. Keluarga dari semua klas ekivalensi dari suatu himpunan H terhadap relasi

  H

  ekivalensi R dinyatakan dengan = { x ⏐x ∈ H}, dan disebut H modulo R

  R atau H mod R.

  Sifat-sifat klas-klas ekivalensi dijelaskan dalam teorema berikut:

  

Teorema 2.2.2: Jika R adalah suatu relasi ekivalensi pada himpunan H, maka

( ∀ x, y ∈ H) x = y bila dan hanya bila xRy.

  Bukti: ( ⇒) Diketahui bahwa R adalah relasi ekivalensi pada himpunan H dan x, y ∈

  H . Andaikan x = y . Akan ditunjukkan xRy. Karena R refleksif, maka berlaku yRy, sehingga y = y , maka y . Jadi xRy.

  ∈ y . Karena x ∈ x ( ⇐) Andaikan xRy. Akan ditunjukkan x = y . Ambil sebarang z ∈ y , maka

  yRz , sehingga diperoleh xRy dan yRz. Karena R transitif, maka berlaku x x x xRz . Jadi z ∈ , sehingga z ∈ y ⇒ z ∈ , maka y ⊆ . .......(1)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  x x

  x ∩ y ≠ φ ⇒ x = y „

  Terbukti ( ∀ x, y ∈ H)

  xRy . Dengan Teorema 2.2.2 diperoleh x = y .

  bersifat simetris, maka zRy. R bersifat transitif dan xRz dan zRy, maka

  y ) ≠ φ, maka z ∈ dan z ∈ x y , sehingga berlaku xRz dan yRz. R

  ∩

  x

  = y . Ambil sebarang z ∈ (

  x

  ∩ y ≠ φ ⇒

  x

  2. Akan ditunjukkan:

  Sekarang andaikan z ∈ x , maka xRz. Karena xRy dan R simetris, maka berlaku yRx, sehingga diperoleh yRx dan xRz. Karena R transitif, maka berlaku yRz. Jadi z ∈ y , sehingga z ∈ ⇒ z ∈

  x y , maka x ⊆ y .

  = y Bukti:

  x

  ∩ y ≠ φ ⇒

  x

  ≠ φ 2. ( ∀ x, y ∈ H)

  x

  pada himpunan tidak kosong H bersifat sebagai berikut: 1. ( ∀ x ∈ H)

  

Teorema 2.2.3: Klas-klas ekivalensi yang terbentuk dari suatu relasi ekivalensi R

  „

  x = y bila dan hanya bila xRy.

  = y Jadi terbukti ( ∀ x, y ∈ H)

  x

  .......(2) Dari (1) dan (2) terbukti bahwa

  1. Ambil sebarang x ∈ H. Karena R relasi ekivalensi, maka R refleksif sehingga xRx. Jadi x ∈ . Terbukti ≠ φ.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Relasi ekivalensi pada suatu himpunan H berkaitan erat dengan partisi dari himpunan H. Partisi dari H adalah keluarga himpunan bagian dari H yang tidak kosong dan saling asing yang gabungannya adalah H. Himpunan bagian dari H yang elemennya dari partisi disebut sel dari partisi. Hubungan erat ini ditunjukkan lewat teorema di bawah ini.

  Teorema 2.2.4: Relasi Ekivalensi dan Partisi

  1. Setiap relasi ekivalensi R yang didefinisikan pada himpunan takkosong H membangkitkan satu partisi P pada H.

  2. Untuk setiap partisi P pada H ada suatu relasi ekivalensi R yang didefinisikan pada H.

  Bukti:

  1. Andaikan H suatu himpunan yang tidak kosong dan R adalah suatu relasi ekivalensi yang didefinisikan pada H. Akan diperlihatkan bahwa

  R H

  , yaitu himpunan klas-klas ekivalensi dari H yang diakibatkan oleh R, adalah suatu partisi dari H.

  R H

  = {

  x

  ⏐ x ∈ H} dengan

  x

  = {y ⏐y ∈ H ∧ xRy} Akan ditunjukkan: a. Setiap klas tidak kosong.

  b. Klas-klas yang berbeda saling asing.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  c. Gabungan dari semua klas adalah himpunan H.

  a. Dalam Teorema 2.2.3 no. 1, telah dibuktikan bahwa setiap klas ekivalensi tidak kosong.

  b. Telah dibuktikan dalam Teorema 2.2.3 no. 2 bahwa ( ∀x, y ∈ H)

  x x = y , sehingga ( x x

  ∩ y ≠ φ ⇒ ∀x, y ∈ H) ≠ y ⇒ ∩ y = φ (kontraposisi). Jadi klas-klas yang berbeda saling asing.

  c. Ambil sebarang z ∈ H. Karena z ∈ z , maka z adalah elemen dari gabungan semua klas ekivalensi. Jadi H adalah himpunan bagian dari gebungan semua klas ekivalensi. Jelas bahwa gabungan dari semua klas ekivalensi adalah himpunan bagian dari H. Jadi gabungan semua klas ekivalensi dari H adalah himpunan H.

  2. Andaikan P suatu partisi dari H, di mana P = { H ⏐δ ∈ Δ, untuk suatu

  δ

himpunan indeks Δ}. Akan ditunjukkan bahwa ada suatu relasi

  ekivalensi pada H yang berkaitan dengan P. Didefinisikan suatu relasi R pada H sebagai berikut ( ∀x, y ∈ H) xRy bila dan hanya bila (∃δ ∈ Δ) (x ∈ H ∧ y ∈ H ). Artinya x berelasi dengan y bila dan hanya bila x

  δ δ dan y berada dalam sel yang sama.

  Akan ditunjukkan bahwa R bersifat refleksif, simetris, dan transitif. i. Setiap x ∈ H berada pada suatu sel, sehingga (∃δ ∈ Δ) ( x ∈ H

  δ

H ). Jadi xRx, yaitu R bersifat refleksif.

  ∧ x ∈

  δ

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  ii. Andaikan xRy, maka ( ∃δ ∈ Δ) (x ∈ H ∧ y ∈ H ), sehingga

  δ δ

  ( ∃δ ∈ Δ) (y ∈ H ∧ x ∈ H ), yaitu yRx. Jadi R bersifat

  δ δ simetris.

  iii. Andaikan xRy dan yRz, maka sel H H , ∈ P, sehingga x, y ∈

  δ δ

  dan ada sel H ∈ P, sehingga y, z ∈ H . Jadi y ∈ H dan y ∈ _{r r δ}

  H , yaitu H ∩ H ≠ φ. Karena P adalah partisi dari H, maka _{r δ r} H = H . Jadi x, y, dan z berada dalam sel yang sama, δ r sehingga xRz. Jadi R bersifat transitif.

  Dari i, ii, dan iii terbukti bahwa R adalah relasi ekivalensi pada H. Terbukti untuk setiap partisi P pada H ada suatu relasi ekivalensi R yang

  „ didefinisikan pada H. Salah satu relasi biner yang khusus adalah relasi urutan. Ada dua macam relasi urutan yang dapat didefinisikan pada himpunan:

  1. Relasi urutan Parsial Andaikan S adalah suatu himpunan dan R adalah suatu relasi biner pada S.

  Relasi R disebut relasi urutan parsial pada S bila dan hanya bila

  1. R refleksif: ( ∀ a ∈ S) aRa

  2. R antisimetris: ( ∀ a, b ∈ S) aRb ∧ bRa ⇒ a = b

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  3. R transitif: ( ∀ a, b, c ∈ S) aRb ∧ bRc ⇒ aRc Jika S adalah himpunan yang tidak kosong dan S mempunyai relasi urutan parsial R yang didefinisikan padanya, maka pasangan terurut (S,R) disebut himpunan terurut parsial (poset). Jika (S,R) adalah suatu poset maka dua elemen a dan b dikatakan terbanding bila dan hanya bilsa aRb atau bRa (atau keduanya, yang berarti a = b). Perlu diperhatikan tidak semua elemen dalam poset itu terbanding.

  2. Relasi Urutan Total Andaikan S adalah suatu himpunan dan R adalah suatu relasi biner pada S.

  Relasi R disebut relasi urutan total pada S bila dan hanya bila R adalah suatu relasi urutan parsial yang mempunyai sifat ( ∀a, b ∈ S) aRb ∨ bRa.

  Perbedaan utama dari relasi urutan parsial dan relasi urutan total pada himpunan S adalah pada keterbandingan dari elemen-elemen pada S. Pada relasi urutan total setiap pasang elemen pasti terbanding, sedangkan pada relasi urutan parsial tidak setiap pasang elemen terbanding.

  Selain relasi-relasi yang disebutkan di atas, ada sebuah relasi khusus yang penting yaitu fungsi. Relasi ini didefinisikan dari himpunan A ke himpunan B.

  

Definisi 2.2.6: Suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B, ditulis f : A → B,

  adalah suatu relasi biner dari A ke B (yang berarti suatu himpunan

  A × B

  bagian dari ) yang memenuhi syarat-syarat sebagai berikut:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  1. Eksistensi: ( ∀x ∈ A) (∃y ∈ B) (x,y) ∈ f .

  Artinya: setiap elemen dalam A berelasi dengan satu elemen dalam B.

  2. Keunikan: ( ∀( x , y ), ( x , y ) ∈ f ) = ⇒ = x x y y . _{1 1 2 2 1 2 1 2} Artinya: setiap satu elemen dalam A hanya berelasi dengan satu elemen dalam B.

  Domain (daerah asal) dari fungsi f adalah himpunan semua komponen pertama dari pasangan terurut (x,y) ∈ f. Elemen-elemen dalam domain disebut prabayangan. Daerah asal suatu fungsi f dilambangkan dengan Dom f. Range (daerah hasil) dari fungsi f adalah himpunan semua komponen kedua dari pasangan terurut (x,y) ∈ f. Elemen-elemen dalam daerah hasil disebut bayangan.

  Daerah hasil suatu fungsi f dilambangkan dengan Ran f. Pada pembahasan fungsi, penulisan (x,y) ∈ f dapat diganti dengan f(x) = y, di mana x adalah prabayangan dan y adalah bayangannya. Dengan menggunakan lambang ini fungsi dapat didefinisikan sebagai berikut:

  

Definisi 2.2.7: Suatu fungsi dari A ke B, ditulis f : A → B, adalah suatu relasi biner

  dari A ke B yang memenuhi syarat sebagai berikut:

  1. Eksistensi: ( ∀x ∈ A) (∃y ∈ B) f(x) = y

  2. Keunikan: ( ∀x,y ∈ A) x = y ⇒ f(x) = f(y)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Definisi 2.2.8: Dua fungsi f dan fungsi g dikatakan sama bila dan hanya bila:

  1. Dom f = Dom g 2. (

  ∀x ∈ Dom f) f(x) = g(x) Fungsi disebut juga pemetaan. Beberapa pemetaan khusus:

  Definisi 2.2.9: Pemetaan Onto (Surjektif)

  Suatu pemetaan f : A → B disebut pemetaan onto (surjektif) bila dan hanya bila ( ∀y ∈ B) (∃x ∈ A) f(x) = y.

  Definisi 2.2.10: Pemetaan Satu-satu (Injektif)

  Suatu pemetaan f : A → B disebut pemetaan satu-satu (injektif) bila dan hanya bila ( ∀ , ∈ A) f( ) = f( ) ⇒ = . x x x x x x _{1 2 1 2 1 2} Definisi 2.2.11: Pemetaan Bijektif