TEOREMA CARATHEODORY PADA HIMPUNAN KONVEKS DALAM RUANG EUKLIDES DIMENSI – n

  TEOREMA CARATHEODORY PADA HIMPUNAN KONVEKS DALAM RUANG EUKLIDES DIMENSI – n

  SKRIPSI Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

  Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika

  Disusun Oleh:

  Yohanes Lesmono Wijoyo NIM: 021414002

  Program Studi Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Fakultas Keguruan Dan Ilmu Pendidikan Universitas Sanata Dharma 2007

  MOTTO

  Janganlah hendaknya kerajinanmu kendor, biarlah rohmu menyala-nyala dan layanilah Tuhan.

  (Roma 12:11)

  Kupersembahkan karya ilmiah ini kepada Tuhan yang kekal sebagai penunjuk jalan hidupku Bapak (alm) dan ibuku yang mengharapkan kesuksesan bagi putra-putrinya Mas Wawan, Mas Momon dan Dian yang tersayang

  Serta semua orang yang telah berjasa dalam hidupku sampai saat ini

  

ABSTRAK

TEOREMA CARATHEODORY PADA HIMPUNAN KONVEKS

DALAM RUANG EUKLIDES DIMENSI – n

  Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah membahas i.) sifat-sifat dasar

  n

  himpunan konveks dalam , dan ii.) konsep dari Teorema Caratheodory beserta konsep-konsep yang mendasarinya.

  Metode yang akan digunakan dalam penulisan ini adalah metode studi pustaka, yaitu dengan mempelajari dan memahami beberapa bagian dari buku acuan yang digunakan.

  Hasil dari penulisan ini yakni diperolehnya suatu Teorema Caratheodory

  n

  yang mengatakan bahwa untuk sebarang A ⊂ dan sebarang x ∈ co(A), co(A) adalah konveks hull himpunan A, maka ada n + 1 vektor-vektor x , …, x ∈ A

• 1 n

  1 ∈

  dan vektor p P , sedemikian sehingga:

  n + 1 x = p x ... p x + +

  1 1 n 1 n + 1 +

  di mana

  n 1 + T p

  

P = = ( p ,..., p ) | p ≥ , p =

  1

  n +

  1 1 + n 1 i i =

  1 i

  P p p p p p

  1

  n i i i T n n

  | 1 , ,...,

  1

  1

  

1

  1

  1

  ( ) = ≥ = =

  where

  n n

p p

x x x

  1 ...

  1

  1

  , such that

  

ABSTRACT

CARATHEODORY’S THEOREM ON THE CONVEX SET

  n + 1

  P

  ∈

  A and vector p

  ∈

  1 + n x

  1 x , …,

  1 + n vectors

  n A ⊂ and any x ∈ co(A), co(A) is convex hull of set A, then there exist

  The method used in this thesis is literature study method, in which the researcher learn some parts of the books which were used as references. The result of this study is Caratheodory’s Theorem which stated that for any

  n , and ii.) concept of Caratheodory’s Theorem and its base.

  The aims of this thesis are to discuss i.) the basic concepts of convex set in

  

IN n-DIMENSIONAL EUCLIDEAN SPACE

• =
>=

KATA PENGANTAR

  Puji syukur kepada Allah Bapa di surga atas rahmat dan karuniaNya sehingga penulis mampu menyelesaikan skripsi ini. Dalam penulisan skripsi ini penulis banyak mengalami hambatan. Namun demikian banyak pihak yang telah turut serta membantu penulis menyelesaikan skripsi ini. Oleh karena itu dalam kesempatan ini penulis ingin mengucapkan banyak terima kasih khususnya kepada:

  1. Tuhan yang kekal sebagai pemberi rahmat dan karunia bagi semua orang.

  2. Bapak M. Andy Rudhito selaku Ketua Program Studi Pendidikan Matematika dan juga selaku dosen pembimbing penyusunan skripsi ini.

  3. Bapak Y. G. Hartono, S.Si., M.Sc. dan Bapak Hongki Julie, S.Pd., M.Si. selaku dosen penguji.

  4. Ibu Domesia Novi Handayani S.Pd. selaku dosen pembimbing akademik.

  5. Bapak Nardjo dan Bapak Sugeng yang membantu bidang administrasi.

  6. Ibuku, Mas Wawan, Mas Momon, dan Dian yang setia memberi semangat.

  7. Teman-teman Pendidikan Matematika angkatan 2002.

  8. Teman-teman satu jurusan Pendidikan MIPA.

  9. Teman-teman kos: Mang Juhai, Agustinus, Dono, Dagdo, Nata, Kentrung, Budi, Andika, Niko, Krisna.

  10. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu.

  Dalam dunia pendidikan, setiap manusia dididik menjadi manusia yang dewasa susila. Untuk menuju ke kedewasaan yang bersusila ini manusia perlu belajar seumur hidupnya dari lingkungan sosial mereka.

  Penulis sadar bahwa dalam segala hal yang dilakukan, baik perilaku maupun kata-kata, masih jauh dari sikap manusia yang dewasa susila. Oleh karena itu pada kesempatan ini penulis juga ingin menyampaikan permohonan maaf yang sebesar-besarnya kepada semua pihak atas segala tindakan dan tingkah laku yang kurang berkenan. Semoga Tuhan berkenan memandang niat baik kita. Amin.

  Penulis

  DAFTAR ISI

  HALAMAN JUDUL.................................................................................... i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ............................................ ii HALAMAN PENGESAHAN ...................................................................... iii HALAMAN MOTTO .................................................................................. iv HALAMAN PERSEMBAHAN ................................................................... v PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ........................................................ vi ABSTRAK .................................................................................................. vii ABSTRACT ................................................................................................viii KATA PENGANTAR.................................................................................. ix DAFTAR ISI ............................................................................................... x DAFTAR GAMBAR ................................................................................... xii

  BAB I PENDAHULUAN ..................................................................... 1 A. Latar Belakang........................................................................... 1 B. Perumusan Masalah ................................................................... 2 C. Tujuan Penulisan ....................................................................... 2 D. Manfaat Penulisan ..................................................................... 2 E. Pembatasan Masalah.................................................................. 2 F. Metode Penulisan....................................................................... 3 G. Sistematika Penulisan ................................................................ 3 H. Materi Prasyarat......................................................................... 4 BAB II LANDASAN TEORI................................................................. 5 A. Vektor ....................................................................................... 5 B. Ruang Vektor ............................................................................10 C. Subruang Vektor........................................................................11 D. Kombinasi Linear dan Kebebasan Linear...................................13 E. Basis..........................................................................................15 F. Perkalian Himpunan ..................................................................15 G.

  H.

  Barisan ......................................................................................21

  BAB III TEOREMA CARATHEODORY PADA HIMPUNAN KONVEKS DALAM ⁿ ..........................................................25 A. Persamaan Garis dan Persamaan Bidang Dalam ⁿ ..................25 B. Sifat-sifat Himpunan Konveks Dalam ⁿ

  .................................38 C. Teorema Caratheodory...............................................................57

  BAB IV KESIMPULAN .........................................................................69 DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................71

  DAFTAR GAMBAR

  Gambar 3.A.1 Garis ....................................................................................25 Gambar 3.A.2 Bidang .................................................................................30

  2 Gambar contoh 3.A.2 Ilustrasi Teorema 3.A.4 dalam ...........................37

  3 Gambar contoh 3.A.2 Ilustrasi Teorema 3.A.4 dalam ...........................37

  2 Gambar contoh 3.B.1 Himpunan konveks dalam .................................39

  3 Gambar 3.B.1 Bidang Cartesius ............................................................42

  Gambar 3.B.2 x ∈ int(C) dan x ∈ C .......................................................53

  1

  2

x ∈ C x C

  ∉ Gambar 3.B.3 x ∈ int(C), dan .........................................54

  1

  2

  2 Gambar contoh 3.C Daerah himpunan A .................................................66

  Gambar contoh 3.C Kombinasi konveks 3 vektor anggota A ...................67

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Pada umumnya, masalah-masalah optimisasi selalu berkaitan dengan

  memaksimumkan atau meminimumkan fungsi sasaran tanpa kendala atau dengan kendala. Salah satu cabang permasalahan optimisasi yang ada adalah masalah optimisasi konveks, yakni jika fungsi sasaran dan fungsi kendalanya bersifat konveks.

  Untuk suatu himpunan C, C dikatakan konveks jika sebarang dua vektor

  x x dan x ∈ C maka segmen garis tertutup , x juga termuat dalam C, dan

  1 2 [

  1 2 ]

  suatu titik x dikatakan sebagai titik ekstrim himpunan konveks C jika dan hanya jika: 1. x = α x β x , α > β > , α β = + + , x C x x x 1 , ∈ = = .

  { }

  1 2 i

  1

  2 2. C \ x masih tetap konveks.

  { }

  Himpunan

  k x x x = x = = x = x 3. = α selain ... .

  Tidak ada kombinasi konveks i i

  1 2 k i =

  1 Untuk mengetahui syarat nomor 3 di atas, perlu dibahas mengenai konsep- konsep dasar dari kombinasi konveks pada himpunan konveks C.

  Skripsi ini akan membahas mengenai sifat-sifat dasar himpunan konveks dalam ruang Euklides dimensi-n. Selanjutnya dari sifat-sifat dasar tersebut secara khusus akan diturunkan Teorema Caratheodory, yaitu teorema tentang kombinasi konveks dalam suatu himpunan konveks C.

  B. Perumusan Masalah

  Dari uraian tersebut, masalah yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah

  n 1.

  ? Bagaimanakah sifat-sifat dasar himpunan konveks dalam 2.

  Bagaimanakah konsep dari Teorema Caratheodory beserta konsep-konsep yang mendasarinya?

  C. Tujuan Penulisan

  Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah membahas:

  n 1.

  , dan Sifat-sifat dasar himpunan konveks dalam 2.

  Konsep dari Teorema Caratheodory beserta konsep-konsep yang mendasarinya.

  D. Manfaat Penulisan

  Teorema Caratheodory dapat digunakan sebagai acuan untuk menunjukkan apakah suatu vektor dalam himpunan konveks dapat ditulis sebagai kombinasi konveks dari vektor-vektor yang lainnya atau tidak. Jika tidak maka vektor tersebut memenuhi salah satu kriteria sebagai titik ekstrim himpunan konveks.

  E. Pembatasan Masalah

  Pembahasan dalam skripsi ini hanya dibatasi pada himpunan konveks yang tidak kosong. Titik ekstrim himpunan konveks juga tidak dibahas di dalamnya.

  F. Metode Penulisan

  Metode yang akan digunakan dalam penulisan ini adalah metode studi pustaka, yaitu dengan mempelajari dan memahami beberapa bagian dari buku acuan yang digunakan.

  G. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang B. Perumusan Masalah C. Tujuan Penulisan D. Manfaat Penulisan E. Pembatasan Masalah F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisan H. Materi Prasyarat BAB II LANDASAN TEORI A. Vektor B. Ruang Vektor C. Subruang Vektor D. Kombinasi Linear dan Kebebasan Linear E. Basis F. Perkalian Himpunan G. Topologi Metrik Dimensi – n

  H.

  Barisan

BAB III TEOREMA CARATHEODORY PADA HIMPUNAN KONVEKS DALAM

  n A.

  Persamaan Garis dan Persamaan Bidang Dalam

  n B.

  Sifat-sifat Himpunan Konveks Dalam

  n C.

  Teorema Caratheodory

BAB IV PENUTUP DAFTAR PUSTAKA H. Materi Prasyarat Dalam skripsi ini, diasumsikan pembaca telah mengikuti perkuliahan Logika dan Teori Himpunan, Aljabar Matrik danVektor, Geometri Analitik Ruang, Baris dan Deret dan Kalkulus Peubah Banyak.

BAB II LANDASAN TEORI A. Vektor

2 Vektor dalam dapat dinyatakan dengan matriks berordo

  2 × ,

  1

  x

  1

  3

  yaitu: × ,

  , dan dalam dapat dinyatakan dengan matriks berordo

  3

  1

  x

  2 x

  1 x x x x yaitu: , dengan , , adalah bilangan-bilangan real.

  2

  1

  2

  3 x

  3 n

  Secara generalisasi, dapat didefinisikan dengan cara aljabar,

  3 karena visualisasi geometris tidak dapat melebihi .

  Definisi 2.A.1 Ruang Euklides Dimensi-n

  Himpunan semua matriks berordo n × 1 dengan elemen-elemen bilangan real,

  n disebut ruang Euklides berdimensi–n, dan dilambangkan dengan . n n x

  Elemen-elemen dalam disebut sebagai vektor. Vektor ∈ merupakan matriks berordo n × 1 . Selanjutnya vektor x ditulis sebagai

  T x = x , x ,..., x . Bilangan real x , i =

  1 , 2 ,..., n disebut komponen dari

  (

  1 2 ) n i vektor x . Elemen-elemen dalam disebut sebagai skalar.

  Definisi 2.A.2 Operasi Penjumlahan dan Perkalian Vektor dengan Skalar n

  

Operasi penjumlahan dan perkalian vektor dengan skalar dalam

T T

  didefinisikan sebagai berikut: jika x = x , x ,..., x dan y = y , y ,..., y

  (

  1 2 ) (

  1 2 ) n n n

  adalah vektor-vektor dalam dan α ∈ , maka

  T T x y x y x y x y

• = , ,..., dan α x = α x , α x ,..., α x

  (

  1

  1

  2 2 ) (

  1 2 ) n n n

  Definisi 2.A.3 Operasi Pengurangan Vektor n

  Suatu vektor dalam yang semua komponennya sama dengan nol disebut

  T sebagai vektor nol dan dinotasikan dengan = .

  , ,...,

  ( ) T n x = x , x ,..., x

  Jika ( ) sebarang vektor dalam , maka vektor

  1 2 n T

  − x , − x ,..., − x

  ( ) disebut sebagai negatif (atau invers terhadap operasi

  1 2 n penjumlahan) dari x dan dilambangkan dengan − x . n

  Operasi pengurangan dalam didefinisikan sebagai berikut: T T n x y

  Untuk semua = x , x ,..., x dan semua = y , y ,..., y dalam ,

  (

  1 2 ) (

  1 2 ) n n

  berlaku:

• x − y = x − y

  ( ) T x y x y x y x − y = − , − ,..., −

  (

  1

  1

  2 2 ) n n

  Teorema 2.A.1 n x y z α, β

  Untuk setiap , , ∈ dan skalar ∈ , berlaku:

  n a. dan αx ∈ .

  x + y ∈

  b. x + y = y + x.

  c. x + (y + z) = (x + y) + z.

  d. x + 0 = x.

  e. x + (-x) = 0.

  f.

  α (x + y) = αx + αy.

  g.

  (α + β) x = αx + βx.

  h.

  (αβ) x = α (βx). i.

  1x = x.

  Pembuktian dapat dilihat pada James Stewart, 1999: 826.

  Definisi 2.A.4 Perkalian Skalar Dua Vektor n x y

  Perkalian skalar dua vektor x dan y dalam , dinotasikan dengan , dan n

  didefinisikan sebagai: x , y = x y

  

i i

=

  1 i

  Definisi 2.A.5 Panjang Vektor n

  Panjang vektor

  x dalam , dinotasikan dengan x dan didefinisikan sebagai:

  1 n

  2

  

1

  2

  2

x = x x = x

  ,

  i i =

  1

  Teorema 2.A.2 n

  Untuk setiap x, y, z ∈ dan skalar ∈ , berlaku: α, β

  x y z x z y z

  a. α β , = α , β , . + +

  x y y x b. , = , . x x c. , ≥ . x x bila dan hanya bila x

  d. , = =

  Bukti: n x y z x y z

  Ambil tiga elemen sebarang , , ∈ , maka , , ∈ di mana

  i i i i =

  1 , 2 ,..., n berturut-turut adalah komponen dari x, y, z; dan ambil sebarang α, β ∈ ; maka:

  n

  a. + x y , z = x y z α + β ( α β )

  i i i i =

  1 n

• = x z y z

  ( α β ) i i i i i =

  1 n n

  = ( x ) ( + z y z ) α β

  i i i i = = i 1 i

  1 n n

• = x z y z α β

  i i i i = 1 =

  

1

i i

• x , z y , z = α β .

  n x , y x y

  b. =

  i i i =

  1

  n

  = y x

  i i =

  1 i = y , x . n

  2 x , x x c. = ≥ . i i =

  1 n

  2

  2

  

2

  2

  d. x , x = x = 0 bhb x = x = ... = x =

  i

  1 2 n i =

  1

x x x

  bhb = = ... = =

  1 2 n x

  bhb =

  Definisi 2.A.6 Besar Sudut

  adalah besar sudut antara vektor x dan vektor y yang tidak nol di mana ≤ θ ≤ π .

  Teorema 2.A.3

  Jika adalah besar sudut antara vektor x dan vektor y, maka berlaku

  

x y x y

  , = cos θ Pembuktian dapat dilihat pada James Stewart, 1999: 831.

  Akibat 2.A.1

  Jika adalah besar sudut antara dua vektor x dan y yang tidak nol maka

  x y

  , cos θ =

  x y

  Akibat 2.A.2 n

  Dua vektor x dan y dalam , dikatakan saling tegak lurus atau ortogonal jika x , y = .

B. Ruang Vektor

  Suatu vektor dengan komponen sebanyak n biasanya disebut sebagai vektor berdimensi n. Suatu koleksi (kumpulan) yang lengkap terdiri dari semua vektor yang berkomponen sebanyak n di mana hal-hal tentang

  penjumlahan

  dan perkalian masih tetap berlaku bagi vektor-vektor tersebut disebut ruang vektor.

  Definisi 2.B Ruang Vektor

  Misalkan V adalah himpunan di mana didefinisikan operasi-operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar. Dengan ini kita mengartikan bahwa untuk setiap pasang elemen-elemen x dan y di dalam V, kita dapat mengasosiasikannya dengan elemen x + y yang tunggal yang juga berada di V, dan dengan setiap elemen x di V dan setiap skalar α , kita dapat

  x

  mengasosiasikannya dengan elemen α yang tunggal di dalam V. Himpunan

  V

  bersama-sama dengan operasi-operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar dikatakan membentuk suatu ruang vektor jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi: B.1. x + y = y + x untuk setiap x dan y di V.

  B.2. (x + y) + z = x + (y + z) untuk setiap x, y dan z di V.

  B.3. Terdapat elemen 0 di V sehingga x + 0 = x untuk setiap x V.

  ∈ B.4. Untuk setiap x ∈ V, terdapat elemen -x di V sehingga x + (-x) = 0.

  α (x + y) = αx + αy untuk setiap skalar B.5. α dan setiap x dan y di V. B.6. ( α + β) x = αx + βx untuk setiap skalar α dan V.

  β dan setiap x ∈ B.7. ( αβ) x = α (βx) untuk setiap skalar α dan β dan setiap x ∈ V. B.8. 1x = x untuk setiap x ∈ V. Elemen-elemen dalam V disebut vektor. Ruang vektor yang didefinisikan di atas sering juga disebut ruang vektor real, karena skalar yang digunakan adalah bilangan-bilangan real.

  Teorema 2.B

  Jika V adalah ruang vektor dan x adalah sebarang elemen dari V, maka: a.

  0x = 0.

  b. x + y = 0 berakibat y = -x (artinya, invers penjumlahan dari x adalah tunggal).

  c.

  (-1)x = -x.

  Pembuktian dapat dilihat pada Steven J. Leon, 2001: 107.

C. Subruang Vektor

  Suatu himpunan bagian W dari suatu ruang vektor V dikatakan suatu subruang dari V jika W adalah suatu ruang vektor yang tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar yang didefinisikan pada V.

  Definisi 2.C.1 Subruang

  Jika S adalah subhimpunan tak kosong dari suatu ruang vektor V, dan S memenuhi syarat-syarat berikut: (i) αx ∈ S jika x ∈ S untuk sebarang skalar α.

  x

  (ii) + y ∈ S jika x ∈ S dan y ∈ S maka S disebut subruang dari V.

  Definisi 2.C.2 Ruang Null

  Andaikan A sebarang matriks m x n berelemen skalar. Ruang null dari A

  n x

  adalah himpunan semua penyelesaian untuk sistem A x = 0, dengan ∈ dan dilambangkan dengan N(A). Jadi

  n N(A) = {x ∈ | A x = 0 }.

  Teorema 2.C n N(A) merupakan subruang dari .

  Bukti

  : ≠ ∅, karena sistem persamaan linear homogen (SPLH) punya

  (i) N(A) penyelesaian yaitu 0, sehingga 0 ∈ N(A).

  (ii) Ambil x ∈ N(A) dan α ∈ , maka A ( αx) = α (Ax) = α0 = 0.

  Karena itu αx ∈ N(A). (iii) ∈ N(A), maka A (x + y) = Ax + Ay = 0 + 0 = 0.

  Jika x dan y Sehingga x + y ∈ N(A).

  Syarat-syarat dari subruang dipenuhi oleh N(A). Jadi terbukti bahwa

  n N(A) merupakan subruang dari .

  D. Kombinasi Linear dan Kebebasan Linear Definisi 2.D.1 Kombinasi Linear Misalkan v , v ,..., v adalah vektor-vektor dalam suatu ruang vektor V.

  1 2 n Kombinasi linear dari vektor-vektor v , v ,..., v adalah

  1 2 n

  α v α α + ... + + v v

  1

  1

  

2

  2 n n di mana α , α ,..., α ∈ .

  1

  2 n v v v

  Himpunan semua kombinasi linear dari , ,..., disebut rentang dari

  1 2 n v v v v v v , ,..., , dan dilambangkan dengan Rentang ( , ,..., ) .

  1 2 n

  1 2 n Teorema 2.D.1

  Jika v v v adalah elemen-elemen dari suatu ruang vektor V, maka , ,...,

  1 2 n Rentang ( v , v ,..., v ) adalah subruang dari V.

  1 2 n Pembuktian dapat dilihat pada Steven J. Leon, 2001: 113.

  Definisi 2.D.2 Himpunan Perentang v v v

  Himpunan { , ,..., } disebut himpunan perentang untuk V jika dan hanya

  1

  2 n

  jika setiap vektor dalam V dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari

  v v v , ,..., .

  1

  2 n

  Teorema 2.D.2 v v v

  a. , ,..., merentang pada suatu ruang vektor V dan salah satu dari Jika

  1 2 n

  vektor-vektor ini dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari n-1 vektor yang lain, maka ke n-1 vektor itu juga merentang V.

  b. v , v ,..., v , maka kita dapat menuliskan salah Jika diberikan n vektor

  1

2 n

  satu vektor sebagai kombinasi linear dari n-1 vektor yang lain jika dan hanya jika terdapat skalar-skalar α , α ,..., α yang tidak semuanya sama

  1

  2 n

  dengan nol sedemikian sehingga:

  

v v v

  α α ... α = + + +

  1

  1

  2

  

2

n n Pembuktian dapat dilihat pada Steven J. Leon, 2001: 119.

  Definisi 2.D.3 Bebas Linear v v v

  Vektor-vektor , ,..., dalam ruang vektor V disebut bebas linear jika

  1 2 n

• v v v = α α ... α

  1

  1

  2 2 n n mengakibatkan semua skalar-skalar , ,..., harus sama dengan 0.

  α α α

  1 2 n Definisi 2.D.4 Bergantung Linear

  Vektor-vektor v , v ,..., v dalam ruang vektor V disebut bergantung linear

  1

  2 n

  jika terdapat skalar-skalar α , α ,..., α yang tidak semuanya nol sehingga

  1

  2

n

v v v

  α α ... α = + + +

  1

  1

  2

  2 n n

  E. Basis Definisi 2.E Basis

  Vektor-vektor v , v ,..., v membentuk basis untuk ruang vektor V jika dan

  1 2 n

  hanya jika: (i) v , v ,..., v bebas linear,

  1 2 n (ii) v , v ,..., v merentang V.

  1

  2 n

  Teorema 2.E v v v

  Jika { , ,..., } adalah himpunan yang merentang suatu ruang vektor V,

  1

  2 n

  maka himpunan dari m vektor di mana m > adalah bergantung linear. n Pembuktian dapat dilihat pada Steven J. Leon, 2001: 129.

  Akibat 2.E v v v w w w

  Jika { , ,..., } dan { , ,..., } kedua-duanya adalah basis untuk suatu

  1

  2

  1

  2 n m ruang vektor V, maka n = m .

  Pembuktian dapat dilihat pada Steven J. Leon, 2001: 130.

  F. Perkalian Himpunan n i

  A A A A R

  Misalkan , ,..., adalah himpunan-himpunan dengan ⊆ ,

  1

  2 m i

  di mana i = 1 , 2 ,..., m . Perkalian himpunan-himpunan yang dinotasikan dengan

  m A A × A × × A atau ... i

  1 2 m ∏

• n n ... n

  1 2 m

  adalah himpunan A dalam yang beranggotakan semua vektor yang

  ... + + + n 1 n 2 n m

  mungkin dalam yang diperoleh dengan mengambil n komponen

  1

  pertama dari vektor anggota A , kemudian n komponen kedua dari vektor

  1

  2

  anggota A , kemudian n komponen ketiga dari vektor anggota A ,

  2

  3 3 kemudian seterusnya hingga n komponen terakhir dari vektor anggota A . m m

  Dalam notasi himpunan ditulis sebagai berikut:

  m T A = x = x , x , ..., x | x ∈ A , ∀ i =

  1 , 2 , ..., m

  ( ) i {

  1 2 m i i } ∏

  = i

  1 n

  Sebagai contoh, dapat dianggap sebagai hasil perkalian himpunan

  1 dari dengan dirinya sendiri sebanyak n kali. n

  

1

  1

  1

  = × ... ×

  n kali

  2 A ⊂

  Jika berisi vektor-vektor pada keliling lingkaran dengan

  1

  1 A = ⊂ A A

  pusat di titik pusat dan berjari-jari 1, dan jika [ ] , 1 , maka ×

  2

  1

  2

  3

  adalah himpunan dalam yang berupa silinder dengan tinggi 1 dan alasnya

  x

  berupa lingkaran dalam bidang ( , x ) dengan pusat di titik pusat dan jari-

  1

  2 jarinya sama degan 1. n n n

  1 2 m

  Misalkan = × × × . Untuk vektor x ∈ , ...

  T T x = x , x ,..., x di mana x = x , x ,..., x , i =

  1 , 2 ,..., m . Operasi

  (

  1 2 )

  1

  2 m i ( i i in ) i

  penjumlahan dua vektor x dan y ∈ dan perkalian vektor x ∈ dengan skalar α ∈ , didefinisikan sebagai:

  T T x y x y x y x y x

  x x x

  = , , ..., α + dan + = α , α , ..., α

  ( ) (

  1

  1

  2 2 m m ) (

  1 2 m )

  = + + + n n n n dan misalkan ... , maka dapat diidentifikasi sebagai ruang

  1 2 m n vektor biasa .

  G. Topologi Metrik Dimensi – n

  Misalkan V adalah suatu himpunan. Suatu fungsi d yang memetakan bilangan real pada masing-masing pasangan vektor ( x , y ) dengan x ∈

  V dan y ∈

  V

  disebut sebagai metrik atau fungsi jarak pada V jika memenuhi syarat berikut:

  d (x, y) ≥ 0, dengan d(x, y) = 0 jika dan hanya jika x = y ................ (1) d (x, y) = d(y, x), ............................................................................ (2) d

  (x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) untuk semua z ∈ V................................. (3) Pertidaksamaan (3) disebut sebagai pertidaksamaan segitiga.

  Definisi 2.G.1 Ruang Metrik

  Suatu himpunan V yang dilengkapi dengan metrik d disebut sebagai ruang

  metrik . n

  Contoh dalam , fungsi d didefinisikan sebagai berikut:

  1 n

  2

  2 d x y

  (x, y) = − = ( x − y )

  i i i =

  1

  n

  Akan ditunjukkan fungsi d di atas merupakan metrik pada : i. x − y ≥ . d(x, y) =

  y y Jika x = maka d(x, y) = d(y, y) = y − = 0.

  Jika d(x, y) = 0, maka

  x − y

  = 0

  1 n

  

2

  2 x − y

  ⇔ ( ) = 0

  i i i =

  1 n

  

2

  ⇔ ( x − y ) = 0

  i i =

  1 i

  2

  2 Karena x − y ≥ , maka x y , i

  1 , 2 , ..., n . Sehingga

  ( ) ( − ) = ∀ = i i i i

x − y = 0

i i

  ⇔ x = y

  i i

  ⇔ x = y

  x − y y − x ii. = = d(y, x).

  d(x, y) =

  n

  iii. ∈ , Untuk semua z

• x y d(x, y) = − + = x − z z − y ≤ x − z z − y = d(x, z) + d(z, y).

  Definisi 2.G.2 Bola Terbuka dan Bola Tertutup

  Suatu bola terbuka berpusat di x dengan jari-jari r > dinotasikan oleh

  

B x , r didefinisikan sebagai himpunan vektor-vektor y yang jarak dari x

( )

  kuang dari r dan dituliskan sebagai: B x , r = y | y − x < r ( ) { }

  Bola tertutup B ( x , r ) dengan pusat x dan jari-jari r > didefinisikan sebagai:

  B x , r = y | y − x ≤ r ( )

  { } Definisi 2.G.3 Titik Interior n r >

  Misalkan S ⊆ . Suatu titik x disebut sebagai titik interior S jika ada

  B x r sedemikian sehingga , ⊂ S.

  ( )

  Jika himpunan titik-titik interior S tidak kosong, maka kita sebut himpunan titik-titik interior ini sebagai interior dari S dan dinotasikan dengan int(S).

  Himpunan S tidak harus memiliki titik interior. Perhatikan himpunan

  2

  titik-titik pada bidang ( ) dengan bentuk x , dengan < x < 1 . Interval

  ( )

  

1

  1

  2

  < x < 1 ini ada pada sumbu x − . Himpunan titik-titik pada ini tidak

  1

  1

  1

  memiliki titik interior. Tetapi jika kita perhatikan sebagai himpunan pada , maka semua titik tersebut adalah titik interior.

  Suatu himpunan S dikatakan terbuka jika semua titik pada S adalah titik-titik interior. Definisi himpunan terbuka ini ekuivalen dengan definisi interior.

  Definisi 2.G.4 Himpunan Terbuka

  Himpunan S dikatakan terbuka jika setiap titik x ∈ S, ada bilangan positif

  r > B x , r

  , yang bergantung pada x, sedemikian sehingga bola ( ) berada dalam S.

  Definisi 2.G.5 Titik Limit

  Titik x disebut sebagai titik limit himpunan S jika untuk setiap ε > ada titik

  x x x S x B x x

  ≠ sedemikian sehingga ∈ dan ∈ ( , ε ) . Titik secara umum

  ε ε ε ε bergantung pada ε .

  Himpunan titik-titik limit dari himpunan S dinotasikan dengan ' S .

  Suatu himpunan tidak harus memiliki titik-titik limit dan suatu titik limit tidak harus menjadi anggota himpunan tersebut. Himpunan bilangan asli

  

1

  positif sebagai himpunan dalam merupakan salah satu contoh himpunan yang tidak memiliki titik limit. Sedangkan contoh untuk suatu titik limit yang tidak harus menjadi anggota suatu himpunan, himpunan

  1

  1 S ≡ x | x = , n =

  1 , 2 , 3 , ... dalam . Nol adalah titik limit dari himpunan

  n S

  , tetapi nol bukan anggota S.

  Definisi 2.G.6 Pemampat Himpunan dan Himpunan Tertutup Pemampat (closure) himpunan S, dinotasikan dengan S dan didefinisikan sebagai S = S ∪ S ' dengan ' S adalah himpunan semua titik limit himpunan S.

  Himpunan S disebut tertutup jika S = S , yakni bahwa S beranggotakan semua titik limitnya.

  Suatu himpunan tidak harus memenuhi kedua sifat, yakni terbuka atau

  

2

  tertutup. Perhatikan B(0, 1) dalam , yakni suatu daerah lingkaran berpusat

  2

  di titik pusat dan berjari-jari 1. Secara intuitif, semua titik x dalam dengan

  x

  = 1 adalah titik-titik limit dari B(0, 1). Sekarang perhatikan himpunan

  T S = B ∪ x = x x x = x ≥

  , 1 , | 1 ,

  ( ) { (

  1 2 ) 1 } T x x x =

  1 x ≥ Titik x = ( , ) dengan dan bukan titik interior S karena

  1

  2

  1

  > untuk titik x itu sendiri, tidak masalah seberapa kecil kita memilih ε ,

  B x

  lingkaran , ε tidak berada dalam S. Karena itu S tidak terbuka. Namun

  ( ) T x x x =

  1 demikian S juga tidak tertutup, karena titik x = ( , ) dengan dan

  1

  2 x < adalah titik limit S tetapi tidak berada dalam S.

1 H.

   Barisan n

  Suatu barisan di adalah suatu fungsi yang memberikan sebuah

  n x x

  vektor ∈ di mana k adalah bilangan bulat positif. Barisan vektor

  k k

  ∞ x x ini biasanya ditulis sebagai , atau secara umum cukup ditulis { } .

  { } k =1 k k

  Sebarang barisan x dikatakan mempunyai limit y atau konvergen

  { } k

  ke y jika untuk sebarang > ada bilangan bulat positif K ( ) sedemikian ε ε hingga x ∈ B ( y , ) di mana k > K . Ini dituliskan sebagai:

  ε ( ) ε

  k

  x y x y

  lim = atau →

  k k k → ∞

  Barisan yang mempunyai limit disebut konvergen, dan barisan yang tidak mempunyai limit disebut divergen.

  Teorema 2.H x x y y

  Jika lim = , lim = , dan lim α = α di mana α adalah barisan

  { }

k k k k

k → ∞ k → ∞ k → ∞

• x y x y x x + dari skalar-skalar, maka lim ( ) = dan lim α = α .

  k k k k k → ∞ k → ∞ Bukti :

  i. lim ( x y ) + + + = lim x lim y = x y

  k k k k k → ∞ k → ∞ k → ∞

  ii. lim x = lim ⋅ lim x = x α α α