Menurunkan Rumus Volum Bola sumardyono jakim
!
" #
Sumardyono, M.Pd.
Topik volum bola muncul dalam Standar Isi untuk jenjang pendidikan SMP, tepatnya pada
kelas IX semester 1, dengan SK dan KD sebagai berikut.
2. Memahami sifat-sifat tabung,
kerucut dan bola, serta
menentukan ukurannya
2.1 Mengidentifikasi unsur-unsur tabung, kerucut dan bola
2.2 Menghitung luas selimut dan volume tabung, kerucut
dan bola
2.3 Memecahkan masalah yang berkaitan dengan tabung,
kerucut dan bola
Seringkali pembelajaran mengenai rumus volum bola dilakukan dengan cara eksposisi atau
ceramah belaka. Pembelajaran rumus volum bola akan lebih baik atau bermakna jika
menggunakan pendekatan problem solving dengan bantuan alat peraga. Penggunaan alat
peraga dalam pembelajaran dapat membantu siswa dalam memahami suatu konsep atau
prinsip matematika dengan lebih baik.
Salah satu alat peraga volum bola akan dibahas dalam artikel ini. Pembelajaran volum bola,
tepatnya rumus volum bola, yang dilakukan menggunakan alat peraga ini terkait dengan suatu
prinsip yang sering disebut “prinsip Cavalieri”.
Prinsip Cavalieri
Diberikan dua buah bangun ruang yang memiliki luas alas dan tinggi yang sama.
Jika untuk setiap irisan (horizontal) dengan tinggi yang sama memiliki luas irisan
yang sama, maka kedua bangun ruang tsb sama volumnya.
Mungkin contoh paling sederhana mengenai rumus volum limas persegi. Perhatikanlah kedua
gambar limas persegi di bawah ini.
Sumardyono (2012)
Jika pada dua buah kubus yang kongruen dibentuk dua buah limas dengan (luas) alas dan
tinggi yang sama, maka dapat ditunjukkan bahwa kedua limas tsb memiliki volum yang sama.
(perhatikan gambar di atas).
Dengan menggunakan sifat kesebangunan segitiga, mudah ditunjukkan bahwa sebarang irisan
dengan ketinggian yang sama, misalnya daerah gelap pada kedua limas, maka luas kedua
irisan tsb adalah sama. Karena itu, dengan prinsip Cavalieri, maka kedua limas sama
volumnya.
Bagaimana dengan volum bangun bola? Ada beberapa cara menggunakan prinsip Cavalieri
untuk menurunkan atau membuktikan rumus volum bola. Berikut ini salah satu cara yang
dapat dipergunakan menggunakan konstruksi setengah bola dan sebuah limas.
Perhatikan kedua gambar di bawah ini.
r
Sudut
siku-siku
2 πr
r
Persegi,
dengan
sisi r
Kedua bangun di atas memiliki ketinggian yang sama (yaitu r = jari-jari bola) dan luas alas
yang sama (dalam hal ini adalah πr2).
Untuk “kedalaman“ h yang sama, maka pada setengah bola diperoleh irisan berupa lingkaran
dengan jari-jari
r 2 − h 2 , sedang pada limas diperoleh irisan berupa trapesium.
Sumardyono (2012)
Jari-jarinya = r 2 − h 2
Sehingga luasnya
L = π(r2 – h2)
2 π(r – h)
h
Luasnya,
L = π(r – h)(r + h)
= π(r2 – h2)
r
Nah, karena “kedalaman” nya sebarang, maka berdasarkan Prinsip Cavalieri, maka kedua
bangun memiliki volum yang sama.
Dengan demikian, volum setengah bola dapat dihitung menggunakan rumus volum limas di
atas.
Dengan menggunakan persegi pada limas sebagai alas, maka diperoleh
Volum setengah bola = volum limas
=
1
. (luas alas).(tinggi limas)
3
=
1 2
.(r ).(2 πr)
3
=
2 3
πr
3
Karena itu, diperoleh rumus volum bola sebagai berikut:
Volum bola = 2 × volum setengah bola
=2×
=
2 3
πr
3
4 3
πr
3
Berdasarkan penggunaan kedua bangun ruang di atas dalam membuktikan atau menurunkan
rumus volum bola, maka kita dapat mengkonstruksi alat peraga volum bola.
Beberapa alat peraga volum bola yang dapat dikonstruksi sebagai berikut:
1. Lembar peraga.
Lembar peraga berupa lembaran yang dapat diamati dari kejauhan (penggunaan secara
klasikal) dan memuat diagram setengah bola dan limas dengan ukuran-ukurannya, disertai
rumusan prinsip Cavalieri.
Sumardyono (2012)
Dengan menggunakan lembar peraga tsb, siswa diarahkan untuk menemukan rumus
volum bola seperti yang telah ditunjukkan sebelumnya.
2. Model bangun setengah bola dan model limas (tertutup)
Model kedua bangun ini dipergunakan dengan cara pengukuran dan perhitungan. Mulamula tetapkan sebarang ketinggian pada kedua bangun, lalu ukur sisi-sisi pada bangun
irisan yang diperoleh (yaitu lingkaran dan trapesium). Dengan menggunakan hasil
pengukuran tersebut, kemudian dihitung luas kedua irisan. Tentu dengan ketelitian yang
memadai, maka kedua irisan memiliki luas yang sama.
3. Model bangun setengah bola dan model limas, yang terbuka (tanpa tutup)
Dengan menggunakan pasir atau yang sejenis, maka kita dapat menerapkan prinsip
Cavalieri untuk menunjukkan bahwa dengan ketinggian pasir yang sama maka volum
pasir pada kedua bangun memiliki volum yang sama. Dengan demikian, kedua bangun
memiliki volum yang sama.
Cara lain dengan menuangkan pasir pada bangun yang satu (setelah ketinggiannya
ditandai atau diukur) ke bangun yang lain, untuk menunjukkan bahwa ketinggian pada
bangun kedua juga sama dengan ketinggian yang telah ditandai atau diukur pada bangun
pertama.
Alat peraga pertama memiliki tingkat keabstrakan atau formalitas yang tinggi dibanding
kedua alat peraga lain, sedangkan alat peraga terakhir (yang ketiga) memiliki tingkat abstraksi
atau formalitas yang rendah dibanding kedua alat peraga lainnya.
Alat peraga mana yang terbaik, bergantung pada kemampuan berpikir siswa. Alangkah
baiknya, bila ketiga alat peraga tersebut dapat disiapkan oleh guru, sehingga setiap siswa
dapat belajar sesuai dengan tingkat kemampuan mereka.
Demikian sedikit pembahasan mengenai cara membuktikan atau menurunkan rumus volum
bola menggunakan prinsip Cavalieri melalui bangun setengah bola dan dan sebuah limas.
Mudah-mudahan bermanfaat.
Daftar Pustaka/Bacaan
Hazewinkel, Michiel. 2002. Encyclopedia of Mathematics. New York: Springer-Verlag
Kutsner, W.G., & Kutsner, M.H. 1977. The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics. New
York: Van Nostrand Reinhold Company.
Nelsen, Roger B. - . Proof Without Words, exercise in visual thinking. Washington DC: the
Mathematical Association of America (MAA)
Sumardyono (2012)
" #
Sumardyono, M.Pd.
Topik volum bola muncul dalam Standar Isi untuk jenjang pendidikan SMP, tepatnya pada
kelas IX semester 1, dengan SK dan KD sebagai berikut.
2. Memahami sifat-sifat tabung,
kerucut dan bola, serta
menentukan ukurannya
2.1 Mengidentifikasi unsur-unsur tabung, kerucut dan bola
2.2 Menghitung luas selimut dan volume tabung, kerucut
dan bola
2.3 Memecahkan masalah yang berkaitan dengan tabung,
kerucut dan bola
Seringkali pembelajaran mengenai rumus volum bola dilakukan dengan cara eksposisi atau
ceramah belaka. Pembelajaran rumus volum bola akan lebih baik atau bermakna jika
menggunakan pendekatan problem solving dengan bantuan alat peraga. Penggunaan alat
peraga dalam pembelajaran dapat membantu siswa dalam memahami suatu konsep atau
prinsip matematika dengan lebih baik.
Salah satu alat peraga volum bola akan dibahas dalam artikel ini. Pembelajaran volum bola,
tepatnya rumus volum bola, yang dilakukan menggunakan alat peraga ini terkait dengan suatu
prinsip yang sering disebut “prinsip Cavalieri”.
Prinsip Cavalieri
Diberikan dua buah bangun ruang yang memiliki luas alas dan tinggi yang sama.
Jika untuk setiap irisan (horizontal) dengan tinggi yang sama memiliki luas irisan
yang sama, maka kedua bangun ruang tsb sama volumnya.
Mungkin contoh paling sederhana mengenai rumus volum limas persegi. Perhatikanlah kedua
gambar limas persegi di bawah ini.
Sumardyono (2012)
Jika pada dua buah kubus yang kongruen dibentuk dua buah limas dengan (luas) alas dan
tinggi yang sama, maka dapat ditunjukkan bahwa kedua limas tsb memiliki volum yang sama.
(perhatikan gambar di atas).
Dengan menggunakan sifat kesebangunan segitiga, mudah ditunjukkan bahwa sebarang irisan
dengan ketinggian yang sama, misalnya daerah gelap pada kedua limas, maka luas kedua
irisan tsb adalah sama. Karena itu, dengan prinsip Cavalieri, maka kedua limas sama
volumnya.
Bagaimana dengan volum bangun bola? Ada beberapa cara menggunakan prinsip Cavalieri
untuk menurunkan atau membuktikan rumus volum bola. Berikut ini salah satu cara yang
dapat dipergunakan menggunakan konstruksi setengah bola dan sebuah limas.
Perhatikan kedua gambar di bawah ini.
r
Sudut
siku-siku
2 πr
r
Persegi,
dengan
sisi r
Kedua bangun di atas memiliki ketinggian yang sama (yaitu r = jari-jari bola) dan luas alas
yang sama (dalam hal ini adalah πr2).
Untuk “kedalaman“ h yang sama, maka pada setengah bola diperoleh irisan berupa lingkaran
dengan jari-jari
r 2 − h 2 , sedang pada limas diperoleh irisan berupa trapesium.
Sumardyono (2012)
Jari-jarinya = r 2 − h 2
Sehingga luasnya
L = π(r2 – h2)
2 π(r – h)
h
Luasnya,
L = π(r – h)(r + h)
= π(r2 – h2)
r
Nah, karena “kedalaman” nya sebarang, maka berdasarkan Prinsip Cavalieri, maka kedua
bangun memiliki volum yang sama.
Dengan demikian, volum setengah bola dapat dihitung menggunakan rumus volum limas di
atas.
Dengan menggunakan persegi pada limas sebagai alas, maka diperoleh
Volum setengah bola = volum limas
=
1
. (luas alas).(tinggi limas)
3
=
1 2
.(r ).(2 πr)
3
=
2 3
πr
3
Karena itu, diperoleh rumus volum bola sebagai berikut:
Volum bola = 2 × volum setengah bola
=2×
=
2 3
πr
3
4 3
πr
3
Berdasarkan penggunaan kedua bangun ruang di atas dalam membuktikan atau menurunkan
rumus volum bola, maka kita dapat mengkonstruksi alat peraga volum bola.
Beberapa alat peraga volum bola yang dapat dikonstruksi sebagai berikut:
1. Lembar peraga.
Lembar peraga berupa lembaran yang dapat diamati dari kejauhan (penggunaan secara
klasikal) dan memuat diagram setengah bola dan limas dengan ukuran-ukurannya, disertai
rumusan prinsip Cavalieri.
Sumardyono (2012)
Dengan menggunakan lembar peraga tsb, siswa diarahkan untuk menemukan rumus
volum bola seperti yang telah ditunjukkan sebelumnya.
2. Model bangun setengah bola dan model limas (tertutup)
Model kedua bangun ini dipergunakan dengan cara pengukuran dan perhitungan. Mulamula tetapkan sebarang ketinggian pada kedua bangun, lalu ukur sisi-sisi pada bangun
irisan yang diperoleh (yaitu lingkaran dan trapesium). Dengan menggunakan hasil
pengukuran tersebut, kemudian dihitung luas kedua irisan. Tentu dengan ketelitian yang
memadai, maka kedua irisan memiliki luas yang sama.
3. Model bangun setengah bola dan model limas, yang terbuka (tanpa tutup)
Dengan menggunakan pasir atau yang sejenis, maka kita dapat menerapkan prinsip
Cavalieri untuk menunjukkan bahwa dengan ketinggian pasir yang sama maka volum
pasir pada kedua bangun memiliki volum yang sama. Dengan demikian, kedua bangun
memiliki volum yang sama.
Cara lain dengan menuangkan pasir pada bangun yang satu (setelah ketinggiannya
ditandai atau diukur) ke bangun yang lain, untuk menunjukkan bahwa ketinggian pada
bangun kedua juga sama dengan ketinggian yang telah ditandai atau diukur pada bangun
pertama.
Alat peraga pertama memiliki tingkat keabstrakan atau formalitas yang tinggi dibanding
kedua alat peraga lain, sedangkan alat peraga terakhir (yang ketiga) memiliki tingkat abstraksi
atau formalitas yang rendah dibanding kedua alat peraga lainnya.
Alat peraga mana yang terbaik, bergantung pada kemampuan berpikir siswa. Alangkah
baiknya, bila ketiga alat peraga tersebut dapat disiapkan oleh guru, sehingga setiap siswa
dapat belajar sesuai dengan tingkat kemampuan mereka.
Demikian sedikit pembahasan mengenai cara membuktikan atau menurunkan rumus volum
bola menggunakan prinsip Cavalieri melalui bangun setengah bola dan dan sebuah limas.
Mudah-mudahan bermanfaat.
Daftar Pustaka/Bacaan
Hazewinkel, Michiel. 2002. Encyclopedia of Mathematics. New York: Springer-Verlag
Kutsner, W.G., & Kutsner, M.H. 1977. The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics. New
York: Van Nostrand Reinhold Company.
Nelsen, Roger B. - . Proof Without Words, exercise in visual thinking. Washington DC: the
Mathematical Association of America (MAA)
Sumardyono (2012)