2. DASAR DASAR MATEMATIKA & DISTRIBUSI FREKUENSI
DASAR-DASAR MATEMATIKA
(PENGOLAHAN & PENYAJIAN
DATA) &
DISTRIBUSI FREKUENSI
DYAH NIRMALA A.J., S.E., M.Si.
TEKNIK PEMBULATAN
• Lebih besar dari setengah
pembulatan ke atas, contoh:
– 7,5710 7,6
– 7,3501 7,4
• Lebih kecil dari setengah
pembulatan ke bawah (dihilangkan),
contoh:
– 6,349 6,3
– 8,4037 8,4
TEKNIK PEMBULATAN
• Tepat setengah & bila angka sebelumnya
angka genap dibulatkan ke bawah
(dihilangkan), contoh:
– 6,450 6,4
– 6,850 6,8
• Tepat setengah & bila angka sebelumnya
angka ganjil dibulatkan ke atas, contoh:
– 6,350 6,4
– 6,750 6,8
NOTASI SIGMA
•
Untuk lebih mudah, ditulis
Contoh
•
Maka
Contoh
•
Maka
Contoh
•
Maka
Contoh
•
Maka
Contoh
•
Maka
Contoh
•
Maka
DISTRIBUSI FREKUENSI
• Penyusunan suatu data mulai dari
angka yang terkecil sampai dengan
angka yang terbesar dan membagi
banyaknya data tersebut ke dalam
beberapa kelas.
• Pengelompokan data ke dalam
beberapa kelas dan kemudian
dihitung banyaknya pengamatan
yang masuk ke dalam tiap kelas.
TUJUAN PENGELOMPOKAN
DATA
•
•
•
•
Memudahkan dalam penyajian data
Mudah dipahami
Mudah dibaca
Mudah digunakan untuk membuat
tabel
• Mudah digunakan untuk membuat
grafk
KOMPONEN TABEL DISTRIBUSI
FREKUENSI
• Interval kelas
– Sejumlah nilai variabel yang ada dalam
batas kelas tertentu, contoh: 7-9
• Batas kelas
– Suatu nilai yang membatasi kelas
pertama dengan kelas lain. Misalnya:
untuk selang kelas 7-9, maka batas
kelasnya adalah:
KOMPONEN TABEL DISTRIBUSI
FREKUENSI
• Titik tengah kelas
– Nilai yang terdapat di tengah interval
kelas / selang kelas:
• Frekuensi
• Frekuensi kumulatif
Tabel Distribusi Frekuensi
Interval
Kelas
7–9
10 – 12
13 – 15
16 – 18
19 – 21
Batas
Titik Tengah
Kelas
Kelas
6,5 – 9,5
8
9,5 –
11
12,5
12,5 –
14
15,5
15,5 –
17
18,5
18,5 –
20
Frekue
nsi
2
8
14
19
7
Langkah-langkah Membuat
Distribusi Frekuensi:
•1. Mengurutkan data dari yang terkecil
sampai terbesar.
2. Menentukan jumlah / banyaknya
interval / selang kelas yang diperlukan
dengan menggunakan rumus Sturges:
– Di mana: k = banyaknya interval / selang
kelas; n = jumlah data.
3. Menentukan rentangan / wilayah data / R
dengan rumus:
•4. Membagi wilayah tersebut dengan
banyaknya kelas untuk menduga
lebar selang / interval dengan rumus:
5. Menentukan data pada interval kelas:
1. Meletakkan data terendah dari data yang
telah diurutkan di atas tadi
2. Dengan menggunakan rumus C,
jumlahkan data terendah tadi dengan
lebar kelas (C) dan hasilnya dikurangi 1.
3. Demikian seterusnya untuk menentukan
data pada interval kelas yang lain.
•6. Menentukan batas kelas, dengan
rumus:
7. Menentukan titik tengah kelas,
dengan rumus:
8. Menentukan frekuensi masingmasing kelas.
9. Menjumlahkan kolom frekuensi dan
diperiksa apakah hasilnya sama
dengan banyaknya total
pengamatan.
Contoh Soal
• Data berikut ini merupakan data
penduduk laki-laki umur 50 tahun ke
atas pada sensus penduduk dari 35
kota di sebuah propinsi.
70, 78, 40, 39, 71, 54, 36, 64, 53, 80,
38, 68,
36, 45, 56, 47, 26, 59, 20, 42, 33, 45,
33, 42,
29, 36, 52, 55, 65, 8, 37, 5, 55, 8, 7
Jawaban Contoh Soal:
•a. Mengurutkan data terkecil sampai
terbesar:
5, 7, 8, 8, 20, 26, 29, 33, 33, 36, 36,
36,
37, 38, 39, 40, 42, 42, 45, 45, 47, 52,
53, 64
55, 55, 56, 59, 64, 65, 68, 70, 71, 78,
80
b. Menentukan banyaknya kelas / interval
•c. Menentukan rentang/wilayah data:
d. Menentukan lebar kelas:
e. Memasukkan semua data ke dalam
tabel distribusi frekuensi
TABEL DISTRIBUSI
FREKUENSI
Selang /
interval
kelas
Batas
kelas
Titik
tengah
kelas
5 – 17
4,5 –
17,5
17,5 –
30,5
30,5 –
43,5
43,5 –
56,5
56,5 –
11
18 – 30
31 – 43
44 – 56
57 – 69
Frekuen Frekuen
si
si
Kumulat
if
4
4
24
3
7
37
11
18
50
9
27
63
4
31
Grafk/Peta Balok/Batang /
Bar Chart / Histogram
Series 1
12
10
8
Series 1
6
4
2
0
5 - 17
18 - 30 31 - 43
44 -56
57 - 69 70 - 82
Grafk/Diagram/Peta Garis /
Line Chart/Kurva/Curve
Series 1
12
10
8
Series 1
6
4
2
0
5 - 17
18 - 30
31 - 43
44 -56
57 - 69
70 - 82
Diagram lingkar / Pie Chart
Series 1
5 - 17
18 - 30
31 - 43
44 -56
57 - 69
70 - 82
KURVA FREKUENSI
• Berdasarkan kemencengannya
(skewness):
– Menceng positif (positively skewed),
tidak simetris dengan ekor yang lebih
panjang di sebelah kanan; atau
– Menceng negatif (negatively skewed),
tidak simetris dengan ekor yang lebih
panjang di sebelah kiri; atau
– Simetris
KURVA FREKUENSI
• Berdasarkan keruncingannya
(kurtosis):
– Platykurtic: datar, di mana nilai-nilai
observasi didistribusikan secara merata di
antara semua kelas;
– Leptokurtic: lancip, di mana nilai-nilai
observasi terkonsentrasi dalam rentang
nilai yang sempit; atau
– Mesokurtic: tidak datar dan tidak lancip,
menurut distribusi nilai-nilai observasi.
Latihan Soal (1)
• Diketahui:
• Hitunglah:
Latihan Soal (2)
• Hasil penelitian penerimaan (dalam
USD) seorang pengamat pertanian
dari 12 kali undangan diskusi adalah
sebagai berikut:
64, 38, 51, 36, 48, 65, 40, 46, 63, 44,
60, 44
• Dari data di atas hitung dan buatlah
tabel dan grafk distribusi
frekuensinya.
(PENGOLAHAN & PENYAJIAN
DATA) &
DISTRIBUSI FREKUENSI
DYAH NIRMALA A.J., S.E., M.Si.
TEKNIK PEMBULATAN
• Lebih besar dari setengah
pembulatan ke atas, contoh:
– 7,5710 7,6
– 7,3501 7,4
• Lebih kecil dari setengah
pembulatan ke bawah (dihilangkan),
contoh:
– 6,349 6,3
– 8,4037 8,4
TEKNIK PEMBULATAN
• Tepat setengah & bila angka sebelumnya
angka genap dibulatkan ke bawah
(dihilangkan), contoh:
– 6,450 6,4
– 6,850 6,8
• Tepat setengah & bila angka sebelumnya
angka ganjil dibulatkan ke atas, contoh:
– 6,350 6,4
– 6,750 6,8
NOTASI SIGMA
•
Untuk lebih mudah, ditulis
Contoh
•
Maka
Contoh
•
Maka
Contoh
•
Maka
Contoh
•
Maka
Contoh
•
Maka
Contoh
•
Maka
DISTRIBUSI FREKUENSI
• Penyusunan suatu data mulai dari
angka yang terkecil sampai dengan
angka yang terbesar dan membagi
banyaknya data tersebut ke dalam
beberapa kelas.
• Pengelompokan data ke dalam
beberapa kelas dan kemudian
dihitung banyaknya pengamatan
yang masuk ke dalam tiap kelas.
TUJUAN PENGELOMPOKAN
DATA
•
•
•
•
Memudahkan dalam penyajian data
Mudah dipahami
Mudah dibaca
Mudah digunakan untuk membuat
tabel
• Mudah digunakan untuk membuat
grafk
KOMPONEN TABEL DISTRIBUSI
FREKUENSI
• Interval kelas
– Sejumlah nilai variabel yang ada dalam
batas kelas tertentu, contoh: 7-9
• Batas kelas
– Suatu nilai yang membatasi kelas
pertama dengan kelas lain. Misalnya:
untuk selang kelas 7-9, maka batas
kelasnya adalah:
KOMPONEN TABEL DISTRIBUSI
FREKUENSI
• Titik tengah kelas
– Nilai yang terdapat di tengah interval
kelas / selang kelas:
• Frekuensi
• Frekuensi kumulatif
Tabel Distribusi Frekuensi
Interval
Kelas
7–9
10 – 12
13 – 15
16 – 18
19 – 21
Batas
Titik Tengah
Kelas
Kelas
6,5 – 9,5
8
9,5 –
11
12,5
12,5 –
14
15,5
15,5 –
17
18,5
18,5 –
20
Frekue
nsi
2
8
14
19
7
Langkah-langkah Membuat
Distribusi Frekuensi:
•1. Mengurutkan data dari yang terkecil
sampai terbesar.
2. Menentukan jumlah / banyaknya
interval / selang kelas yang diperlukan
dengan menggunakan rumus Sturges:
– Di mana: k = banyaknya interval / selang
kelas; n = jumlah data.
3. Menentukan rentangan / wilayah data / R
dengan rumus:
•4. Membagi wilayah tersebut dengan
banyaknya kelas untuk menduga
lebar selang / interval dengan rumus:
5. Menentukan data pada interval kelas:
1. Meletakkan data terendah dari data yang
telah diurutkan di atas tadi
2. Dengan menggunakan rumus C,
jumlahkan data terendah tadi dengan
lebar kelas (C) dan hasilnya dikurangi 1.
3. Demikian seterusnya untuk menentukan
data pada interval kelas yang lain.
•6. Menentukan batas kelas, dengan
rumus:
7. Menentukan titik tengah kelas,
dengan rumus:
8. Menentukan frekuensi masingmasing kelas.
9. Menjumlahkan kolom frekuensi dan
diperiksa apakah hasilnya sama
dengan banyaknya total
pengamatan.
Contoh Soal
• Data berikut ini merupakan data
penduduk laki-laki umur 50 tahun ke
atas pada sensus penduduk dari 35
kota di sebuah propinsi.
70, 78, 40, 39, 71, 54, 36, 64, 53, 80,
38, 68,
36, 45, 56, 47, 26, 59, 20, 42, 33, 45,
33, 42,
29, 36, 52, 55, 65, 8, 37, 5, 55, 8, 7
Jawaban Contoh Soal:
•a. Mengurutkan data terkecil sampai
terbesar:
5, 7, 8, 8, 20, 26, 29, 33, 33, 36, 36,
36,
37, 38, 39, 40, 42, 42, 45, 45, 47, 52,
53, 64
55, 55, 56, 59, 64, 65, 68, 70, 71, 78,
80
b. Menentukan banyaknya kelas / interval
•c. Menentukan rentang/wilayah data:
d. Menentukan lebar kelas:
e. Memasukkan semua data ke dalam
tabel distribusi frekuensi
TABEL DISTRIBUSI
FREKUENSI
Selang /
interval
kelas
Batas
kelas
Titik
tengah
kelas
5 – 17
4,5 –
17,5
17,5 –
30,5
30,5 –
43,5
43,5 –
56,5
56,5 –
11
18 – 30
31 – 43
44 – 56
57 – 69
Frekuen Frekuen
si
si
Kumulat
if
4
4
24
3
7
37
11
18
50
9
27
63
4
31
Grafk/Peta Balok/Batang /
Bar Chart / Histogram
Series 1
12
10
8
Series 1
6
4
2
0
5 - 17
18 - 30 31 - 43
44 -56
57 - 69 70 - 82
Grafk/Diagram/Peta Garis /
Line Chart/Kurva/Curve
Series 1
12
10
8
Series 1
6
4
2
0
5 - 17
18 - 30
31 - 43
44 -56
57 - 69
70 - 82
Diagram lingkar / Pie Chart
Series 1
5 - 17
18 - 30
31 - 43
44 -56
57 - 69
70 - 82
KURVA FREKUENSI
• Berdasarkan kemencengannya
(skewness):
– Menceng positif (positively skewed),
tidak simetris dengan ekor yang lebih
panjang di sebelah kanan; atau
– Menceng negatif (negatively skewed),
tidak simetris dengan ekor yang lebih
panjang di sebelah kiri; atau
– Simetris
KURVA FREKUENSI
• Berdasarkan keruncingannya
(kurtosis):
– Platykurtic: datar, di mana nilai-nilai
observasi didistribusikan secara merata di
antara semua kelas;
– Leptokurtic: lancip, di mana nilai-nilai
observasi terkonsentrasi dalam rentang
nilai yang sempit; atau
– Mesokurtic: tidak datar dan tidak lancip,
menurut distribusi nilai-nilai observasi.
Latihan Soal (1)
• Diketahui:
• Hitunglah:
Latihan Soal (2)
• Hasil penelitian penerimaan (dalam
USD) seorang pengamat pertanian
dari 12 kali undangan diskusi adalah
sebagai berikut:
64, 38, 51, 36, 48, 65, 40, 46, 63, 44,
60, 44
• Dari data di atas hitung dan buatlah
tabel dan grafk distribusi
frekuensinya.