MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya

  

Aljabar Linear Elementer

MA1223

  

3 SKS

Silabus :

  Bab I Matriks dan Operasinya Bab II Determinan Matriks Bab III Sistem Persamaan Linear Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang Bab V Ruang Vektor Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam Bab VII Transformasi Linear Bab VIII Ruang Eigen

VEKTOR DI BIDANG DAN DI RUANG Pokok Bahasan :

  1. Notasi dan Operasi Vektor

  2. Perkalian titik dan Proyeksi Ortogonal

  3. Perkalian silang dan Aplikasinya

  Beberapa Aplikasi :

• Proses Grafika Komputer • Kuantisasi pada proses kompresi
• Least Square pada Optimasi • Dan lain-lain

sama dengan satu

  

Vektor satuan Î Vektor dengan panjang atau norm

  3

  1 c c c c

  2

  2

  2

  3

  2

  adalah

  1 c c c c

  2

  =

  Notasi dan Operasi

  

⎜

⎜

⎝

⎛

  ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

⎜

  = Notasi panjang vektor

  ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  = + + = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  c c c k c j c i c c c c c

  ˆ ˆ

  , , ˆ

  ( ) _{3 2}

₁

_{3 2 1 3 2} ¹

  Vektor Î besaran yang mempunyai arah Notasi vektor

• =

  Operasi Vektor meliputi :

  1. Penjumlahan antar vektor (pada ruang yang sama)

  2. Perkalian vektor (a) dengan skalar (b) dengan vektor lain

• Hasil kali titik (Dot Product)
• Hasil kali silang (Cross Product)

  Penjumlahan Vektor Misalkan dan v adalah vektor – vektor u yang berada di ruang yang sama, maka vektor

  u v didefinisikan

• maka
• u v

  v u

  { u

  Perkalian vektor dengan skalar

  Perkalian vektor dengan skalar k,

  u k u

  ( )

  didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali panjang vektor dengan arah

  u

  Jika k > 0 Æ searah dengan u Jika k < 0 Æ berlawanan arah dengan u

  u

  2 u u

  −

  2

  Scaling P

  P

  P

  P

  ’

  ’ Secara analitis, kedua operasi pada vektor diatas dapat dijelaskan sebagai berikut : b = b , b , b a = a a , a ( )

  Misalkan dan ( ) _{1 1 2 3 1 2 3} adalah vektor-vektor di ruang yang sama maka

  ( _{1 1 2 2 3 3} ) a b a b a b a b

  1 . a b = a b , a b , a b + +

  2 . − = − , − , − ( _{1 1 2 2 3 3} ) k a ka ka ka

  3 . = , ,

  ( ) _{1 2 3}

  Perkalian antara dua vektor

• Hasil kali titik (dot product)
• Hasil kali silang (cross product)

  Hasil kali titik (dot product)

  Î Hasil kali titik merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang yang sama yang menghasilkan skalar

  Hasil kali silang (Cross product)

  Î Hasil kali silang merupakan operasi

  3

  antara dua buah vektor pada ruang R yang menghasilkan vektor

  Dot Product

  Misalkan a ,

  b

  adalah vektor pada ruang yang sama maka hasil kali titik antara dua vektor :

  = • a b a b cos α

  dimana

  a

  : panjang a : panjang

  b b

  α : sudut keduanya Ilustrasi dot product vektor A dan B

  α cos B A B A

  = •

  Contoh 2 :

  Tentukan hasil kali titik dari dua vektor

  ˆ

  a = 2 i =

  2

• ˆ ˆ

  2

  dan b i j

  Jawab :

  Karena tan α = 1 , artinya = 45

• a b = a b cos

  α

  1 =

  2

  8

  2 = 4 Ingat aturan cosinus Perhatikan

  

a

  2 = b

  2

  2

  a c b

• + c
• – 2 bc cos α

  α a b a b a b

  − α cos

  2 ^{2 2 2} b a b a a b

  − + = − α

  − b

  Selanjutnya dapat ditulis Ingat bahwa :

  = θ cos b a ⎥⎦ ⎤

  ⎢⎣ ⎡ − − + ^{2 2 2} ₂ ¹ a b b a

  α cos 1. b a b a

  = • _{2 2}

  2 _n

• a a a a + =

₂

₂

  2 ^{2 1 2} ... .

• =

• + + + + + + + =

^{n n} b a b a b a b a + + + = • ... _{2 2 1 1}

  2 ^{2 1 2} ... .

  3 _n b b b b

  ( ) ( ) ( ) ^{2 2} _{2 2} ² _{1 1} ² ... .

  4 _{n n} a b a b a b a b

  − + + − + − = − n n n n ^{n n} a b a b a b a a a b b b 2 ...

  2

  2 ... ... _{1 1} ^{2 2} ₂ ² ₁ ^{2 2} ₂ ² ₁ − − − −

  Perhatikan setiap sukunya, diperoleh hubungan :

• a b = a b a b a b ...

  1

  1

  2 2 n n

  Tentukan kembali hasil kali titik dari dua vektor pada contoh sebelumnya

• a b = a b a b
_{1 1 2 2} = 2 (2) + 0 (2)

  = 4 Beberapa sifat hasilkali titik :

• = •

  a b b a 1.

• a b c = • + • + a b a c 2.

  ( ) ( ) ( )

• = • • k a b k a b = a k b , dimana k ∈ R 3.

  ( )

  Proyeksi Ortogonal

• =

  Karena

  a proy c b

  = a b w c w a

• = •
• b c b w + • =

  ( ) b c w b a

• =
• =

  b k b b k

  =

  b k c = bahwa terlihat

  2 b b a k Jadi, rumus proyeksi diperoleh :

• =

  Contoh 4 :

  Tentukan proyeksi ortogonal vektor terhadap vektor

  ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  − − =

  3

  4

  2 u

  ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  − =

  4

  3

  1 v b b b a a oy _{b 2} Pr

• =
• ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  3

  3

  1

  26 ) ) 12 ( 12 (

  2

  4

  3

  1 ) 4 (

  1

  26

  4

  3

  1

  3

  4

  2

  2

  2

  4

  26

  Jawab : ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

−

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  − − = ⎟

  ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −

  − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  − − + − + − = ⎟

  ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  − + + ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  1

  ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −

  ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −

  − =

  4

  3

  1

  4

  3

  2 v v v w w oy v

  Cross Product (hasilkali silang)

  Hasil kali silang merupakan hasil kali antara dua vektor

  3

  di Ruang (R ) yang menghasilkan vektor yang tegak lurus terhadap kedua vektor yang dikalikan tersebut.

  ˆ ˆ ˆ i j k

  = A B A C A x B

  =

  1

  2

  3 B B B

  1

  2

  3 A A A A A A

  ˆ ˆ = i − j k ^{2 3 1 3 1 2} B B B B B B _{2 3 1 3 1 2}

• ˆ

  Ilustrasi Cross Product (hasilkali silang) B x A C

  =

  Contoh :

  Tentukan , w u v

  = × v = (

3 , ,

1 )

  dimana u

  = 1 , 2 , −

  2 ( )

  Jawab : ˆ ˆ ˆ i j k w = u u u _{1 2 3} v v v _{1 2 3}

  ˆ ˆ ˆ i j k

  1

  2

  2 = −

  3

  1 2 . 1 − ( − 2 ) iˆ + = ( − − jˆ ) +

  3 ( 2 ) 1 .

  1 1 . − 3 . 2 kˆ ( ) ( )

  ˆ ˆ ˆ = 2 i − 7 j − 6 k Beberapa sifat Cross Product :

  a. =

• u u x v

  ( ) ( )

• v u x v

  = b.

  2

  2

  2 × = −

  u v u v u v

• 2 c.

  ( )

• − = ×

  ( )

α

^{2 2 2}

  α , sin

  2 ⋅ sin ⋅ = v u

  2

  2

  α

  cos ⋅ 1 − = v u

  cos ⋅ ⋅ − ⋅ = v u v u

  Dari sifat ke-3 diperoleh

  ( ) α ^{2 2 2 2 2}

  α ⋅ ⋅ − ⋅ = v u v u

  2 cos

  2

  2

  ( )

  ( ) ^{2 2 2 2} v u v u v u

  ⋅ ⋅ = Jadi v u v x u Perhatikan ilustrasi berikut : Luas segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut adalah

  u v

  α α sin v u

  α sin Genjang Jajaran Luas ⋅ ⋅ = = v u v x u

  × v u =

  2

  Contoh :

  Diketahui titik-titik diruang ( di R³ ) adalah : A = (1, –1, –2) B = (4, 1, 0) C = (2, 3, 3)

  Dengan menggunakan hasilkali silang, tentukan luas segitiga ABC !

  Jawab :

  Tulis

  AB

  = B – A= (4, 1, 0) – (1, –1, –2) = (3, 2, 2)

  AC

  = C – A= (2, 3, 3) – (1, –1, –2) = (1, 4, 5)

  ˆ ˆ ˆ i j k

  3

  2

  ×

  AB

  2 = AC

  1

  4

  5 ˆ

• ˆ ˆ 2 i

  13 j 10 k = −

  Luas segitiga ABC yang berimpit di A adalah

  1 = + + Luas 4 169 100

  2

  1 = 273

  2

  Orientasi pada titik B a b

  BA = −

  = (1,-1,-2) – (4,1,0) = (-3,-2,-2)

  BC =

  = (2,3,3) – (4,1,0) = (-2,2,3)

  c − b ˆ ˆ ˆ i j k

  BA

  ˆ

  × BC =

  ˆ ˆ

  − 3 − 2 −

  2

  = − + 2 i 13 k − 10 j

  −

  2

  2

  1

  1 = BA x = BC 4 169 100

  2

  2

  1 = 273

  2

  Latihan Bab 4

  1. Tentukan cos sudut yang terbentuk oleh pasangan vektor berikut :

  6 ⎛ ⎞ ⎛ 1 ⎞ v =

  a. dan

  u = ⎜⎜ ⎟⎟

  ⎜⎜ ⎟⎟ −

  8

  2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

  ⎛ ^{1 ⎞}

  8 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟

  ⎜ ⎟

  b. dan _{u = − 3}

  ⎜ ⎟ v = −

  2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ₇ ⎜ ⎟

  ⎝ ⎠ −

  2 ⎝ ⎠

  2. Tentukan proyeksi ortogonal vektor terhadap vektor dan tentukan panjang vektor proyeksi tersebut:

  2 ⎛ ⎞ 3 ⎛− ⎞

  a. dan

  a = b

  = ⎜⎜ ⎟⎟

  ⎜⎜ ⎟⎟

  1

  2 ⎝ ⎠

  ⎝ ⎠

  2 ⎛ ⎞ 1 ⎛ ⎞

  ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a = −

  1

  b. dan ⎜ ⎟

  2 b =

  ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

  ⎜ ⎟

  3 ⎝ ⎠ 2 ⎝ ⎠

  3. Tentukan dua buah vektor satuan yang tegak lurus terhadap

  1

  4

  =

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  7 u

  3

  =

  4. Tentukan vektor yang tegak lurus terhadap vektor dan

  ⎜ ⎜ ⎝ ⎛−

  u ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  3

  2

  − =

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  5. Tentukan luas segitiga yang mempunyai titik sudut P (2, 0, –3), Q (1, 4, 5), dan R (7, 2, 9) ⎟⎟ ⎠ ⎞

  2 v