1) Alat Ukur Sudut a) Busur b) Jangka
Trigonometri
A. Sudut
Definisi
Sudut adalah pertemuan dua sinar garis pada satu titik. Sudut dinotasikan dengan 𝑎0
(𝑎 derajat).
Kaki Sudut
Sudut
1) Alat Ukur Sudut
a) Busur
b) Jangka
4) Macam-macam Sudut
a) Sudut Lancip
Sudut lancip adalah sudut yang besarnya < 90°.
b) Sudut Siku-siku
Sudut siku-siku adalah sudut yang besarnya = 90°.
c) Sudut Tumpul
Sudut tumpul adalah sudut yang besarnya > 90° dan besarnya < 180°.
1
d) Sudut Lurus
Sudut lurus adalah sudut yang besarnya = 180°.
e) Sudut Penuh
Sudut penuh adalah sudut yang besarnya = 360°.
2) Ukuran Sudut (Derajad dan Radian)
1 putaran = 360°
1 putaran = 2𝜋
2𝜋 = 1 putaran
1
𝜋 = putaran
2
360° = 2𝜋
180° = 𝜋
1
𝜋
1° =
180°
⋯°
⋯° =
Contoh:
180°
𝜋
45° =
1
Jadi, 45° 𝜋
4
45°
180°
1
= 𝜋
4
𝜋
B. Koordinat Kartesius
Definisi
Koordinat Kartesius terbentuk oleh sebuah sumbu mendatar (horizontal) dan
sebuah sumbu tegak (vertikal). Arah sumbu horizontal disebut absis (Sumbu 𝑋). Arah
sumbu vertikal disebut ordinat (Sumbu 𝑌).
𝑦
𝑌
𝑥
𝐴 𝑥, 𝑦
𝑋
2
Contoh: Tentukan 𝐴 −4,5 , 𝐵 −6, −3 , 𝐶 4,2 , 𝐷 5, −3 !
Kuadran II
Kuadran I
Kuadran III
Kuadran IV
Sumbu 𝑋 dan Sumbu 𝑌, membagi bidang koordinat menjadi 4 kuadran, yaitu:
Kuadran I, koordinat 𝑥 positif dan 𝑦 positif
Kuadran II, koordinat 𝑥 negatif dan 𝑦 positif
Kuadran III, koordinat 𝑥 negatif dan 𝑦 negatif
Kuadran IV, koordinat 𝑥 positif dan 𝑦 negatif
3
C. Perbandingan Trigonometri
1) Sudut 𝜶 Kuadran I
𝑟
𝛼
𝑦
𝑥
𝑦
𝑟
𝑥
cos 𝛼 =
𝑟
𝑦
tan 𝛼 =
𝑥
sin 𝛼 =
Contoh: Jika 𝑥 = 3, 𝑦 = 4, dan 𝑟 = 5, maka tentukanlah sin 𝛼 , cos 𝛼 , tan 𝛼 ?
Jawab:
5
𝛼
4
3
4
𝑦 4
= = 0,8
𝑟 5
𝑥 3
cos 𝛼 = = = 0,6
𝑟 5
𝑦 4
tan 𝛼 = = = 1,33
𝑥 3
sin 𝛼 =
Sudut Khusus
a) Sudut 𝟎°
0°
𝑦 = 0, 𝑥 = 𝑟 = 1
0
𝑦
sin 00 = = 1 = 0 jika dan hanya jika sin 00 = 0 atau sin 0 = 0
𝑟
𝑥
1
cos 0 = = 1 = 1 jika dan hanya jika cos 00 = 1 atau cos 0 = 1
0
tan 00 =
𝑟
𝑦
𝑥
b) Sudut 𝟑𝟎°
0
= = 0 jika dan hanya jika tan 00 = 1 atau tan 0 = 1
1
2
30°
1
3
5
𝑥 = 3, 𝑦 = 1, 𝑟 = 2
𝑦
1
1
1
1
sin 300 = 𝑟 = jika dan hanya jika sin 300 = atau sin 𝜋 =
2
2
6
2
𝑥
cos 300 = =
c)
tan 300 =
𝑦
𝑥
𝑟
=
1
3
Sudut 𝟒𝟓°
3
2
=
=
1
3
⋅
1
2
3
3
3 jika dan hanya jika cos 300 =
3
=
3
=
1
3
45°
sin 450 =
cos 450 =
tan 450 =
𝑦
𝑟
𝑥
𝑟
𝑦
𝑥
=
=
1
2
1
1
2
=
=
1
2
1
2
⋅
⋅
2
2
2
2
=
=
2
2
2
2
=
=
1
2
1
2
2
3 jika dan hanya jika tan 300 =
d) Sudut 𝟔𝟎°
2
2 jika dan hanya jika sin 45 =
2 jika dan hanya jika cos 45 =
1
4
3
60°
1
6
1
3
6
1
3 atau tan 𝜋 =
6
1
3
2
1
3
3
1
1
2
1
2
= = 1 jika dan hanya jika tan 450 = 1 atau tan 𝜋 = 1
1
1
3 atau cos 𝜋 =
1
2
𝑥 = 1, 𝑦 = 1, 𝑟 = 2
1
1
2 atau sin 𝜋 =
4
1
1
2
1
2 atau cos 𝜋 =
4
2
2
2
𝑥 = 1, 𝑦 = 3, 𝑟 = 2
sin 600 =
𝑦
𝑟
𝑥
=
3
2
1
=
1
2
3 jika dan hanya jika sin 600 =
1
1
2
1
1
cos 600 = = 2 jika dan hanya jika cos 600 = 2 atau cos 3 𝜋 = 2
0
e)
tan 60 =
𝑟
𝑦
Sudut 𝟗𝟎°
𝑥
=
3
1
1
3 atau sin 𝜋 =
3
1
3
𝑥 = 0, 𝑦 = 𝑟 = 1
1
1
𝑦
sin 900 = = 1 = 1 jika dan hanya jika sin 900 = 1 atau tan 2 𝜋 = 1
𝑟
𝑥
0
1
cos 90 = = = 0 jika dan hanya jika cos 900 = 0 atau cos 𝜋 = 0
𝑟
0
tan 90 =
𝑦
𝑥
1
1
0
𝑟
−𝑥
𝛽
2
1
= = ∞ jika dan hanya jika tan 90 = ∞ atau tan 𝜋 = ∞
0
2) Sudut 𝜶 Kuadran II
𝑦
2
= 3 jika dan hanya jika tan 600 = 3 atau tan 𝜋 = 3
90°
0
1
𝛼
7
2
3
𝛼 + 𝛽 = 180°
𝛼 = 180° − 𝛽 atau 𝛽 = 180° − 𝛼
sin 𝛼
sin 𝛼
sin 𝛼
sin 𝛼
cos 𝛼
cos 𝛼
cos 𝛼
cos 𝛼
= sin 180° − 𝛽
𝑦
=
𝑟
= sin 𝛽
= sin 180° − 𝛼 atau sin 𝛼 = sin 𝜋 − 𝛼
= cos 180° − 𝛽
−𝑥
𝑥
=
=−
𝑟
𝑟
= − cos 𝛽
= − cos 180° − 𝛼 atau cos 𝛼 = − cos 𝜋 − 𝛼
tan 𝛼 = tan 180° − 𝛽
𝑦
𝑦
=−
tan 𝛼 =
𝑥
−𝑥
tan 𝛼 = − tan 𝛽
tan 𝛼 = − tan 180° − 𝛼 atau tan 𝛼 = − tan 𝜋 − 𝛼
Contoh: Jika 𝛼 = 120°, maka tentukanlah sin 𝛼 , cos 𝛼 , tan 𝛼, serta konversikan ke 𝜋 ?
Jawab:
sin 𝛼 = sin 180° − 𝛼
sin 120° = sin 180° − 120°
sin 120° = sin 60°
1
3
sin 120° =
sin (
120°
180°
⋅ 𝜋) =
2
2
1
2
1
3
sin 𝜋 = 2 3
3
cos 𝛼 = − cos 180° − 𝛼
cos 120° = − cos 180° − 120°
cos 120° = − cos 60°
1
cos 120° = −
120°
cos (
180°
⋅ 𝜋) = −
2
cos 𝜋 = −
3
2
1
2
1
2
tan 𝛼 = − tan 180° − 𝛼
tan 120° = − tan 180° − 120°
tan 120° = − tan 60°
tan 120° = − 3
120°
tan (
⋅ 𝜋) = − 3
180°
2
tan 𝜋 = − 3
3
Contoh: Jika 𝛼 = 135°, maka tentukanlah sin 𝛼 , cos 𝛼 , tan 𝛼, serta konversikan ke 𝜋 ?
Jawab:
sin 𝛼 = sin 180° − 𝛼
sin 135° = sin 180° − 135°
8
sin 135° = sin 45°
1
sin 135° = 2 2
sin (
135°
180°
⋅ 𝜋) =
3
sin 𝜋 =
4
1
2
2
1
2
2
cos 𝛼 = − cos 180° − 𝛼
cos 135° = − cos 180° − 135°
cos 135° = − cos 45°
1
cos 135° = − 2
2
135°
cos (
180°
⋅ 𝜋) = −
3
cos 𝜋 = −
4
1
2
1
2
2
2
tan 𝛼 = − tan 180° − 𝛼
tan 135° = − tan 180° − 135°
tan 135° = − tan 45°
tan 135° = −1
135°
tan (
⋅ 𝜋) = −1
180°
3
tan 𝜋 = −1
4
Contoh: Jika 𝛼 = 150°, maka tentukanlah sin 𝛼 , cos 𝛼 , tan 𝛼, serta konversikan ke 𝜋 ?
Jawab:
sin 𝛼 = sin 180° − 𝛼
sin 150° = sin 180° − 150°
sin 150° = sin 30°
1
sin 150° =
sin (
150°
180°
⋅ 𝜋) =
5
2
1
2
1
sin 𝜋 = 2
6
cos 𝛼 = − cos 180° − 𝛼
cos 150° = − cos 180° − 150°
cos 150° = − cos 30°
1
cos 150° = − 3
150°
cos (
⋅ 𝜋) = −
180°
5
2
1
2
1
3
cos 𝜋 = − 2 3
6
tan 𝛼 = − tan 180° − 𝛼
tan 150° = − tan 180° − 150°
tan 150° = − tan 30°
1
tan 150° = − 3
3
tan (
150°
⋅ 𝜋) = −
180°
5
1
3
1
3
tan 𝜋 = − 3 3
6
9
Contoh: Jika 𝛼 = 180°, maka tentukanlah sin 𝛼 , cos 𝛼 , tan 𝛼, serta konversikan ke 𝜋 ?
Jawab:
sin 𝛼 = sin 180° − 𝛼
sin 180° = sin 180° − 180°
sin 180° = sin 0°
sin 180° = 0
180°
sin (
⋅ 𝜋) = 0
180°
sin 𝜋 = 0
cos 𝛼 = − cos 180° − 𝛼
cos 180° = − cos 180° − 180°
cos 180° = − cos 0°
cos 180° = −1
180°
cos (
⋅ 𝜋) = −1
180°
cos 𝜋 = −1
tan 𝛼 = − tan 180° − 𝛼
tan 180° = − tan 180° − 180°
tan 180° = − tan 0°
tan 180° = 0
180°
⋅ 𝜋) = 0
tan (
180°
tan 𝜋 = 0
3) Sudut 𝜶 Kuadran III
−𝑦
𝛽
−𝑥
𝛼
𝑟
180° + 𝛽 = 𝛼
𝛼 = 180° + 𝛽 atau 𝛽 = 𝛼 − 180°
sin 𝛼 = sin 180° + 𝛽
−𝑦
𝑦
sin 𝛼 =
=−
𝑟
𝑟
10
sin 𝛼 = − sin 𝛽
sin 𝛼 = − sin 𝛼 − 180° atau sin 𝛼 = sin 𝛼 − 𝜋
cos 𝛼
cos 𝛼
cos 𝛼
cos 𝛼
= cos 180° + 𝛽
−𝑥
𝑥
=
=−
𝑟
𝑟
= − cos 𝛽
= − cos 𝛼 − 180° atau cos 𝛼 = − cos 𝛼 − 𝜋
tan 𝛼 = tan 180° − 𝛽
𝑦
−𝑦 𝑦
tan 𝛼 =
=
=
−𝑥 −𝑥 𝑥
tan 𝛼 = tan 𝛽
tan 𝛼 = tan 𝛼 − 180° atau tan 𝛼 = tan 𝛼 − 𝜋
Contoh: Jika 𝛼 = 210°, maka tentukanlah sin 𝛼 , cos 𝛼 , tan 𝛼, serta konversikan ke 𝜋 ?
Jawab:
sin 𝛼 = − sin 𝛼 − 180°
sin 210° = − sin 210° − 180°
sin 210° = − sin 30°
1
sin 210° = −
sin (
210°
⋅ 𝜋) = −
180°
7
sin 𝜋 = −
6
2
1
2
1
2
cos 𝛼 = − cos 𝛼 − 180°
cos 210° = − cos 210° − 180°
cos 210° = − cos 30°
1
cos 210° = − 3
210°
cos (
180°
⋅ 𝜋) = −
7
cos 𝜋 = −
6
2
1
2
1
2
3
3
tan 𝛼 = tan 𝛼 − 180°
tan 210° = tan 210° − 180°
tan 210° = tan 30°
1
3
tan 210° =
tan (
210°
180°
⋅ 𝜋) =
7
tan 𝜋 =
6
3
1
3
1
3
3
3
Contoh: Jika 𝛼 = 225°, maka tentukanlah sin 𝛼 , cos 𝛼 , tan 𝛼, serta konversikan ke 𝜋 ?
Jawab:
sin 𝛼 = − sin 𝛼 − 180°
sin 225° = − sin 225° − 180°
sin 225° = − sin 45°
1
sin 225° = − 2
sin (
225°
180°
⋅ 𝜋) = −
5
sin 𝜋 = −
4
2
1
2
1
2
2
2
11
cos 𝛼 = − cos 𝛼 − 180°
cos 225° = − cos 210° − 125°
cos 225° = − cos 45°
1
cos 225° = − 2
225°
cos (
2
1
⋅ 𝜋) = −
180°
2
1
5
2
cos 𝜋 = − 2 2
4
tan 𝛼 = tan 𝛼 − 180°
tan 225° = tan 225° − 180°
tan 225° = tan 45°
tan 225° = 1
225°
tan (
⋅ 𝜋) = 1
180°
5
tan 𝜋 = 1
4
Contoh: Jika 𝛼 = 240°, maka tentukanlah sin 𝛼 , cos 𝛼 , tan 𝛼, serta konversikan ke 𝜋 ?
Jawab:
sin 𝛼 = − sin 𝛼 − 180°
sin 240° = − sin 240° − 180°
sin 240° = − sin 60°
1
sin 240° = − 3
240°
sin (180° ⋅ 𝜋) = −
8
2
1
2
1
3
sin 𝜋 = − 2 3
3
cos 𝛼 = − cos 𝛼 − 180°
cos 240° = − cos 240° − 180°
cos 240° = − cos 60°
1
cos 240° = −
240°
cos (
⋅ 𝜋) = −
180°
8
cos 𝜋 = −
3
2
1
2
1
2
tan 𝛼 = tan 𝛼 − 180°
tan 240° = tan 240° − 180°
tan 240° = tan 60°
tan 240° = 3
240°
tan (
⋅ 𝜋) = 3
180°
8
tan 𝜋 = 3
3
Contoh: Jika 𝛼 = 270°, maka tentukanlah sin 𝛼 , cos 𝛼 , tan 𝛼, serta konversikan ke 𝜋 ?
Jawab:
sin 𝛼 = − sin 𝛼 − 180°
sin 270° = − sin 270° − 180°
sin 270° = − sin 90°
sin 270° = −1
12
sin (
270°
180°
⋅ 𝜋) = −1
3
sin 𝜋 = −1
2
cos 𝛼 = − cos 𝛼 − 180°
cos 270° = − cos 270° − 180°
cos 270° = − cos 90°
cos 270° = 0
270°
cos (
⋅ 𝜋) = 0
180°
3
cos 𝜋 = 0
2
tan 𝛼 = tan 𝛼 − 180°
tan 270° = tan 270° − 180°
tan 270° = tan 90°
tan 270° = ∞
270°
tan (
⋅ 𝜋) = ∞
180°
3
tan 𝜋 = ∞
2
4) Sudut 𝜶 Kuadran IV
𝛼
𝛽
𝑥
−𝑦
𝑟
𝛼 + 𝛽 = 360°
𝛼 = 360° − 𝛽 atau 𝛽 = 360° − 𝛼
sin 𝛼
sin 𝛼
sin 𝛼
sin 𝛼
= sin 360° − 𝛽
𝑦
−𝑦
=−
=
𝑟
𝑟
= − sin 𝛽
= − sin 360° − 𝛼 atau sin 𝛼 = − sin 2𝜋 − 𝛼
cos 𝛼 = cos 360° − 𝛽
𝑥
cos 𝛼 =
𝑟
cos 𝛼 = cos 𝛽
13
cos 𝛼 = cos 360° − 𝛼 atau cos 𝛼 = cos 2𝜋 − 𝛼
tan 𝛼 = tan 360° − 𝛽
−𝑦
𝑦
tan 𝛼 =
=−
𝑥
𝑥
tan 𝛼 = − tan 𝛽
tan 𝛼 = − tan 360° − 𝛼 atau tan 𝛼 = − tan 2𝜋 − 𝛼
Contoh: Jika 𝛼 = 300°, maka tentukanlah sin 𝛼 , cos 𝛼 , tan 𝛼, serta konversikan ke 𝜋 ?
Jawab:
sin 𝛼 = − sin 360° − 𝛼
sin 300° = − sin 360° − 300°
sin 300° = − sin 60°
1
sin 300° = − 3
2
sin (
300°
⋅ 𝜋) = −
180°
5
1
2
1
3
sin 𝜋 = − 2 3
3
cos 𝛼 = cos 360° − 𝛼
cos 300° = cos 360° − 300°
cos 300° = cos 60°
1
cos 300° =
300°
cos (
180°
⋅ 𝜋) =
5
cos 3 𝜋 =
2
1
2
1
2
tan 𝛼 = − tan 360° − 𝛼
tan 300° = − tan 360° − 300°
tan 300° = − tan 60°
tan 300° = − 3
300°
tan (
⋅ 𝜋) = − 3
180°
5
tan 𝜋 = − 3
3
Contoh: Jika 𝛼 = 315°, maka tentukanlah sin 𝛼 , cos 𝛼 , tan 𝛼, serta konversikan ke 𝜋 ?
Jawab:
sin 𝛼 = sin 360° − 𝛼
sin 315° = sin 360° − 315°
sin 315° = sin 45°
1
sin 315° = − 2
sin (
315°
180°
⋅ 𝜋) = −
7
sin 𝜋 = −
4
2
1
2
1
2
2
2
cos 𝛼 = cos 180° − 𝛼
cos 315° = cos 180° − 135°
cos 315° = cos 45°
1
cos 315° =
2
2
14
315°
cos (
180°
⋅ 𝜋) =
7
1
2
2
1
cos 𝜋 = 2 2
4
tan 𝛼 = − tan 360° − 𝛼
tan 315° = − tan 360° − 315°
tan 315° = − tan 45°
tan 315° = −1
315°
tan (
⋅ 𝜋) = −1
180°
7
tan 𝜋 = −1
4
Contoh: Jika 𝛼 = 330°, maka tentukanlah sin 𝛼 , cos 𝛼 , tan 𝛼, serta konversikan ke 𝜋 ?
Jawab:
sin 𝛼 = − sin 360° − 𝛼
sin 330° = − sin 360° − 330°
sin 330° = − sin 30°
1
sin 330° = −
sin (
330°
180°
⋅ 𝜋) = −
11
sin
2
1
2
1
𝜋=−
6
2
cos 𝛼 = cos 360° − 𝛼
cos 330° = cos 360° − 330°
cos 330° = cos 30°
1
cos 330° =
3
2
330°
cos (
180°
⋅ 𝜋) =
cos
11
6
1
2
𝜋=
1
2
3
3
tan 𝛼 = − tan 360° − 𝛼
tan 330° = − tan 360° − 330°
tan 330° = − tan 30°
1
tan 330° = − 3
tan (
330°
180°
⋅ 𝜋) = −
tan
11
6
3
1
3
1
𝜋=−
3
3
3
Contoh: Jika 𝛼 = 360°, maka tentukanlah sin 𝛼 , cos 𝛼 , tan 𝛼, serta konversikan ke 𝜋 ?
Jawab:
sin 𝛼 = − sin 360° − 𝛼
sin 360° = − sin 360° − 360°
sin 360° = − sin 0°
sin 360° = 0
360°
⋅ 𝜋) = 0
sin (
180°
sin 2𝜋 = 0
cos 𝛼 = cos 360° − 𝛼
cos 360° = cos 360° − 360°
15
cos 360° = cos 0°
cos 360° = 1
360°
cos (
⋅ 𝜋) = 1
180°
cos 2𝜋 = 1
tan 𝛼 = − tan 360° − 𝛼
tan 360° = − tan 360° − 360°
tan 360° = − tan 0°
tan 360° = 0
360°
tan (
⋅ 𝜋) = 0
180°
tan 2𝜋 = 0
Sudut −𝜶 Kuadran IV
−𝛼
𝑥
𝑟
−𝑦
−𝛼 = 360° − 𝛼
sin −𝛼 = sin 360° − 𝛼 ⋯ 1
sin 𝛼 = − sin 360° − 𝛼
− sin 360° − 𝛼 = sin 𝛼
sin 360° − 𝛼 = − sin 𝛼 ⋯ 2
Dari 1 dan 2
sin −𝛼 = sin 360° − 𝛼 dan sin 360° − 𝛼 = − sin 𝛼, maka
sin −𝛼 = − sin 𝛼
cos −𝛼 = cos 360° − 𝛼 ⋯ 3
cos 𝛼 = cos 360° − 𝛼
cos 360° − 𝛼 = cos 𝛼 ⋯ 4
Dari 3 dan 4
cos −𝛼 = cos 360° − 𝛼 dan cos 360° − 𝛼 = cos 𝛼, maka
cos −𝛼 = cos 𝛼
tan −𝛼 = tan 360° − 𝛼 ⋯ 5
tan 𝛼 = − tan 360° − 𝛼
16
− tan 360° − 𝛼 = tan 𝛼
tan 360° − 𝛼 = − tan 𝛼 ⋯ 6
Dari 5 dan 6
tan −𝛼 = tan 360° − 𝛼 dan tan 360° − 𝛼 = − tan 𝛼, maka
tan −𝛼 = − tan 𝛼
Contoh: Jika 𝛼 = 30°, maka tentukanlah sin −𝛼 , cos −𝛼 , tan −𝛼 ?
Jawab:
sin 30° = − sin 30°
1
sin 30° = −
2
cos 30° = cos 30°
1
3
cos 30° =
2
tan 30° = − tan 30°
1
tan 30° = − 3
3
E. Fungsi Trigonometri
1) Fungsi Sinus
Definisi
Bentuk fungsi dapat dinyatakan dengan persamaan
𝑓 𝑥 = sin 𝑥 atau 𝑦 = sin 𝑥, dimana 0 < 𝑥 < 2𝜋
17
2) Fungsi Cosinus
Definisi
Bentuk fungsi dapat dinyatakan dengan persamaan
𝑓 𝑥 = cos 𝑥 atau 𝑦 = cos 𝑥, dimana 0 < 𝑥 < 2𝜋
3) Fungsi Tangen
Definisi
Bentuk fungsi dapat dinyatakan dengan persamaan
𝑓 𝑥 = tan 𝑥 atau 𝑦 = tan 𝑥, dimana 0 < 𝑥 < 𝜋
18
F. Identitas Tigonometri
𝑟
𝛼
𝑦
𝑥
𝑦
1) sin 𝛼 =
𝑟
1
1
=𝑦
sin 𝛼
𝑟
𝑟
1
=
sin 𝛼 𝑦
1
= csc 𝛼 jika dan hanya jika csc 𝛼 =
sin 𝛼
𝑥
2) cos 𝛼 =
𝑟
1
1
=𝑥
cos 𝛼
𝑟
1
𝑟
=
cos 𝛼 𝑥
1
= sec 𝛼 jika dan hanya jika sec 𝛼 =
cos 𝛼
𝑦
3) tan 𝛼 =
𝑥
1
1
=𝑦
tan 𝛼
𝑥
1
𝑥
=
tan 𝛼 𝑦
1
= cot 𝛼 jika dan hanya jika cot 𝛼 =
tan 𝛼
𝑦
4) tan 𝛼 = 𝑥
𝑦
tan 𝛼 = ⋅ 1
𝑥
𝑦
𝑟
tan 𝛼 = ⋅ 𝑟
𝑥
19
1
sin 𝛼
1
cos 𝛼
1
tan 𝛼
𝑦
tan 𝛼 = ⋅
𝑟
𝑦
tan 𝛼 = ⋅
𝑟
𝑟
𝑥
1
𝑥
𝑟
tan 𝛼 = sin 𝛼 ⋅
tan 𝛼 =
sin 𝛼
cos 𝛼
1
cos 𝛼
𝑦
5) sin 𝛼 = jika dan hanya jika 𝑦 = 𝑟 sin 𝛼
𝑟
𝑥
cos 𝛼 = jika dan hanya jika 𝑥 = 𝑟 cos 𝛼
𝑟
Dari Teorema Pythagoras diketahui bahwa
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2
𝑟 cos 𝛼 2 + 𝑟 sin 𝛼 2 = 𝑟 2
𝑟 2 cos 2 𝛼 + 𝑟 2 sin2 𝛼 = 𝑟 2
𝑟 2 cos 2 𝛼 + sin2 𝛼 = 𝑟 2
𝑟2
cos 2 𝛼 + sin2 𝛼 = 𝑟 2
cos 2 𝛼 + sin2 𝛼 = 1
6) cos 2 𝛼 + sin2 𝛼 = 1
cos 𝛼 2 + sin 𝛼 2 = 12
cos 𝛼 2
2
+
cos 𝛼
cos 𝛼 2
(
cos 𝛼
sin 𝛼 2
=
12
cos 𝛼
cos 𝛼 2
2
sin 𝛼
1
) +(
2
cos 𝛼
) =(
cos 𝛼
)
2
1 2 + tan 𝛼 2 = sec 𝛼 2
1 + tan2 𝛼 = sec 2 𝛼 jika dan hanya jika tan2 𝛼 = sec 2 𝛼 − 1
7) cos 2 𝛼 + sin2 𝛼 = 1
cos 𝛼 2 + sin 𝛼 2 = 12
cos 𝛼 2
+
sin 𝛼 2
cos 𝛼 2
(
sin 𝛼 2
=
12
sin 𝛼 2
sin 𝛼 2
sin 𝛼 2
1
) +(
sin 𝛼
sin 𝛼
) =(
sin 𝛼
)
2
cot 𝛼 2 + 1 2 = csc 𝛼 2
cot 2 𝛼 + 1 = csc 2 𝛼 jika dan hanya jika cot 2 𝛼 = csc 2 𝛼 − 1
20
A. Sudut
Definisi
Sudut adalah pertemuan dua sinar garis pada satu titik. Sudut dinotasikan dengan 𝑎0
(𝑎 derajat).
Kaki Sudut
Sudut
1) Alat Ukur Sudut
a) Busur
b) Jangka
4) Macam-macam Sudut
a) Sudut Lancip
Sudut lancip adalah sudut yang besarnya < 90°.
b) Sudut Siku-siku
Sudut siku-siku adalah sudut yang besarnya = 90°.
c) Sudut Tumpul
Sudut tumpul adalah sudut yang besarnya > 90° dan besarnya < 180°.
1
d) Sudut Lurus
Sudut lurus adalah sudut yang besarnya = 180°.
e) Sudut Penuh
Sudut penuh adalah sudut yang besarnya = 360°.
2) Ukuran Sudut (Derajad dan Radian)
1 putaran = 360°
1 putaran = 2𝜋
2𝜋 = 1 putaran
1
𝜋 = putaran
2
360° = 2𝜋
180° = 𝜋
1
𝜋
1° =
180°
⋯°
⋯° =
Contoh:
180°
𝜋
45° =
1
Jadi, 45° 𝜋
4
45°
180°
1
= 𝜋
4
𝜋
B. Koordinat Kartesius
Definisi
Koordinat Kartesius terbentuk oleh sebuah sumbu mendatar (horizontal) dan
sebuah sumbu tegak (vertikal). Arah sumbu horizontal disebut absis (Sumbu 𝑋). Arah
sumbu vertikal disebut ordinat (Sumbu 𝑌).
𝑦
𝑌
𝑥
𝐴 𝑥, 𝑦
𝑋
2
Contoh: Tentukan 𝐴 −4,5 , 𝐵 −6, −3 , 𝐶 4,2 , 𝐷 5, −3 !
Kuadran II
Kuadran I
Kuadran III
Kuadran IV
Sumbu 𝑋 dan Sumbu 𝑌, membagi bidang koordinat menjadi 4 kuadran, yaitu:
Kuadran I, koordinat 𝑥 positif dan 𝑦 positif
Kuadran II, koordinat 𝑥 negatif dan 𝑦 positif
Kuadran III, koordinat 𝑥 negatif dan 𝑦 negatif
Kuadran IV, koordinat 𝑥 positif dan 𝑦 negatif
3
C. Perbandingan Trigonometri
1) Sudut 𝜶 Kuadran I
𝑟
𝛼
𝑦
𝑥
𝑦
𝑟
𝑥
cos 𝛼 =
𝑟
𝑦
tan 𝛼 =
𝑥
sin 𝛼 =
Contoh: Jika 𝑥 = 3, 𝑦 = 4, dan 𝑟 = 5, maka tentukanlah sin 𝛼 , cos 𝛼 , tan 𝛼 ?
Jawab:
5
𝛼
4
3
4
𝑦 4
= = 0,8
𝑟 5
𝑥 3
cos 𝛼 = = = 0,6
𝑟 5
𝑦 4
tan 𝛼 = = = 1,33
𝑥 3
sin 𝛼 =
Sudut Khusus
a) Sudut 𝟎°
0°
𝑦 = 0, 𝑥 = 𝑟 = 1
0
𝑦
sin 00 = = 1 = 0 jika dan hanya jika sin 00 = 0 atau sin 0 = 0
𝑟
𝑥
1
cos 0 = = 1 = 1 jika dan hanya jika cos 00 = 1 atau cos 0 = 1
0
tan 00 =
𝑟
𝑦
𝑥
b) Sudut 𝟑𝟎°
0
= = 0 jika dan hanya jika tan 00 = 1 atau tan 0 = 1
1
2
30°
1
3
5
𝑥 = 3, 𝑦 = 1, 𝑟 = 2
𝑦
1
1
1
1
sin 300 = 𝑟 = jika dan hanya jika sin 300 = atau sin 𝜋 =
2
2
6
2
𝑥
cos 300 = =
c)
tan 300 =
𝑦
𝑥
𝑟
=
1
3
Sudut 𝟒𝟓°
3
2
=
=
1
3
⋅
1
2
3
3
3 jika dan hanya jika cos 300 =
3
=
3
=
1
3
45°
sin 450 =
cos 450 =
tan 450 =
𝑦
𝑟
𝑥
𝑟
𝑦
𝑥
=
=
1
2
1
1
2
=
=
1
2
1
2
⋅
⋅
2
2
2
2
=
=
2
2
2
2
=
=
1
2
1
2
2
3 jika dan hanya jika tan 300 =
d) Sudut 𝟔𝟎°
2
2 jika dan hanya jika sin 45 =
2 jika dan hanya jika cos 45 =
1
4
3
60°
1
6
1
3
6
1
3 atau tan 𝜋 =
6
1
3
2
1
3
3
1
1
2
1
2
= = 1 jika dan hanya jika tan 450 = 1 atau tan 𝜋 = 1
1
1
3 atau cos 𝜋 =
1
2
𝑥 = 1, 𝑦 = 1, 𝑟 = 2
1
1
2 atau sin 𝜋 =
4
1
1
2
1
2 atau cos 𝜋 =
4
2
2
2
𝑥 = 1, 𝑦 = 3, 𝑟 = 2
sin 600 =
𝑦
𝑟
𝑥
=
3
2
1
=
1
2
3 jika dan hanya jika sin 600 =
1
1
2
1
1
cos 600 = = 2 jika dan hanya jika cos 600 = 2 atau cos 3 𝜋 = 2
0
e)
tan 60 =
𝑟
𝑦
Sudut 𝟗𝟎°
𝑥
=
3
1
1
3 atau sin 𝜋 =
3
1
3
𝑥 = 0, 𝑦 = 𝑟 = 1
1
1
𝑦
sin 900 = = 1 = 1 jika dan hanya jika sin 900 = 1 atau tan 2 𝜋 = 1
𝑟
𝑥
0
1
cos 90 = = = 0 jika dan hanya jika cos 900 = 0 atau cos 𝜋 = 0
𝑟
0
tan 90 =
𝑦
𝑥
1
1
0
𝑟
−𝑥
𝛽
2
1
= = ∞ jika dan hanya jika tan 90 = ∞ atau tan 𝜋 = ∞
0
2) Sudut 𝜶 Kuadran II
𝑦
2
= 3 jika dan hanya jika tan 600 = 3 atau tan 𝜋 = 3
90°
0
1
𝛼
7
2
3
𝛼 + 𝛽 = 180°
𝛼 = 180° − 𝛽 atau 𝛽 = 180° − 𝛼
sin 𝛼
sin 𝛼
sin 𝛼
sin 𝛼
cos 𝛼
cos 𝛼
cos 𝛼
cos 𝛼
= sin 180° − 𝛽
𝑦
=
𝑟
= sin 𝛽
= sin 180° − 𝛼 atau sin 𝛼 = sin 𝜋 − 𝛼
= cos 180° − 𝛽
−𝑥
𝑥
=
=−
𝑟
𝑟
= − cos 𝛽
= − cos 180° − 𝛼 atau cos 𝛼 = − cos 𝜋 − 𝛼
tan 𝛼 = tan 180° − 𝛽
𝑦
𝑦
=−
tan 𝛼 =
𝑥
−𝑥
tan 𝛼 = − tan 𝛽
tan 𝛼 = − tan 180° − 𝛼 atau tan 𝛼 = − tan 𝜋 − 𝛼
Contoh: Jika 𝛼 = 120°, maka tentukanlah sin 𝛼 , cos 𝛼 , tan 𝛼, serta konversikan ke 𝜋 ?
Jawab:
sin 𝛼 = sin 180° − 𝛼
sin 120° = sin 180° − 120°
sin 120° = sin 60°
1
3
sin 120° =
sin (
120°
180°
⋅ 𝜋) =
2
2
1
2
1
3
sin 𝜋 = 2 3
3
cos 𝛼 = − cos 180° − 𝛼
cos 120° = − cos 180° − 120°
cos 120° = − cos 60°
1
cos 120° = −
120°
cos (
180°
⋅ 𝜋) = −
2
cos 𝜋 = −
3
2
1
2
1
2
tan 𝛼 = − tan 180° − 𝛼
tan 120° = − tan 180° − 120°
tan 120° = − tan 60°
tan 120° = − 3
120°
tan (
⋅ 𝜋) = − 3
180°
2
tan 𝜋 = − 3
3
Contoh: Jika 𝛼 = 135°, maka tentukanlah sin 𝛼 , cos 𝛼 , tan 𝛼, serta konversikan ke 𝜋 ?
Jawab:
sin 𝛼 = sin 180° − 𝛼
sin 135° = sin 180° − 135°
8
sin 135° = sin 45°
1
sin 135° = 2 2
sin (
135°
180°
⋅ 𝜋) =
3
sin 𝜋 =
4
1
2
2
1
2
2
cos 𝛼 = − cos 180° − 𝛼
cos 135° = − cos 180° − 135°
cos 135° = − cos 45°
1
cos 135° = − 2
2
135°
cos (
180°
⋅ 𝜋) = −
3
cos 𝜋 = −
4
1
2
1
2
2
2
tan 𝛼 = − tan 180° − 𝛼
tan 135° = − tan 180° − 135°
tan 135° = − tan 45°
tan 135° = −1
135°
tan (
⋅ 𝜋) = −1
180°
3
tan 𝜋 = −1
4
Contoh: Jika 𝛼 = 150°, maka tentukanlah sin 𝛼 , cos 𝛼 , tan 𝛼, serta konversikan ke 𝜋 ?
Jawab:
sin 𝛼 = sin 180° − 𝛼
sin 150° = sin 180° − 150°
sin 150° = sin 30°
1
sin 150° =
sin (
150°
180°
⋅ 𝜋) =
5
2
1
2
1
sin 𝜋 = 2
6
cos 𝛼 = − cos 180° − 𝛼
cos 150° = − cos 180° − 150°
cos 150° = − cos 30°
1
cos 150° = − 3
150°
cos (
⋅ 𝜋) = −
180°
5
2
1
2
1
3
cos 𝜋 = − 2 3
6
tan 𝛼 = − tan 180° − 𝛼
tan 150° = − tan 180° − 150°
tan 150° = − tan 30°
1
tan 150° = − 3
3
tan (
150°
⋅ 𝜋) = −
180°
5
1
3
1
3
tan 𝜋 = − 3 3
6
9
Contoh: Jika 𝛼 = 180°, maka tentukanlah sin 𝛼 , cos 𝛼 , tan 𝛼, serta konversikan ke 𝜋 ?
Jawab:
sin 𝛼 = sin 180° − 𝛼
sin 180° = sin 180° − 180°
sin 180° = sin 0°
sin 180° = 0
180°
sin (
⋅ 𝜋) = 0
180°
sin 𝜋 = 0
cos 𝛼 = − cos 180° − 𝛼
cos 180° = − cos 180° − 180°
cos 180° = − cos 0°
cos 180° = −1
180°
cos (
⋅ 𝜋) = −1
180°
cos 𝜋 = −1
tan 𝛼 = − tan 180° − 𝛼
tan 180° = − tan 180° − 180°
tan 180° = − tan 0°
tan 180° = 0
180°
⋅ 𝜋) = 0
tan (
180°
tan 𝜋 = 0
3) Sudut 𝜶 Kuadran III
−𝑦
𝛽
−𝑥
𝛼
𝑟
180° + 𝛽 = 𝛼
𝛼 = 180° + 𝛽 atau 𝛽 = 𝛼 − 180°
sin 𝛼 = sin 180° + 𝛽
−𝑦
𝑦
sin 𝛼 =
=−
𝑟
𝑟
10
sin 𝛼 = − sin 𝛽
sin 𝛼 = − sin 𝛼 − 180° atau sin 𝛼 = sin 𝛼 − 𝜋
cos 𝛼
cos 𝛼
cos 𝛼
cos 𝛼
= cos 180° + 𝛽
−𝑥
𝑥
=
=−
𝑟
𝑟
= − cos 𝛽
= − cos 𝛼 − 180° atau cos 𝛼 = − cos 𝛼 − 𝜋
tan 𝛼 = tan 180° − 𝛽
𝑦
−𝑦 𝑦
tan 𝛼 =
=
=
−𝑥 −𝑥 𝑥
tan 𝛼 = tan 𝛽
tan 𝛼 = tan 𝛼 − 180° atau tan 𝛼 = tan 𝛼 − 𝜋
Contoh: Jika 𝛼 = 210°, maka tentukanlah sin 𝛼 , cos 𝛼 , tan 𝛼, serta konversikan ke 𝜋 ?
Jawab:
sin 𝛼 = − sin 𝛼 − 180°
sin 210° = − sin 210° − 180°
sin 210° = − sin 30°
1
sin 210° = −
sin (
210°
⋅ 𝜋) = −
180°
7
sin 𝜋 = −
6
2
1
2
1
2
cos 𝛼 = − cos 𝛼 − 180°
cos 210° = − cos 210° − 180°
cos 210° = − cos 30°
1
cos 210° = − 3
210°
cos (
180°
⋅ 𝜋) = −
7
cos 𝜋 = −
6
2
1
2
1
2
3
3
tan 𝛼 = tan 𝛼 − 180°
tan 210° = tan 210° − 180°
tan 210° = tan 30°
1
3
tan 210° =
tan (
210°
180°
⋅ 𝜋) =
7
tan 𝜋 =
6
3
1
3
1
3
3
3
Contoh: Jika 𝛼 = 225°, maka tentukanlah sin 𝛼 , cos 𝛼 , tan 𝛼, serta konversikan ke 𝜋 ?
Jawab:
sin 𝛼 = − sin 𝛼 − 180°
sin 225° = − sin 225° − 180°
sin 225° = − sin 45°
1
sin 225° = − 2
sin (
225°
180°
⋅ 𝜋) = −
5
sin 𝜋 = −
4
2
1
2
1
2
2
2
11
cos 𝛼 = − cos 𝛼 − 180°
cos 225° = − cos 210° − 125°
cos 225° = − cos 45°
1
cos 225° = − 2
225°
cos (
2
1
⋅ 𝜋) = −
180°
2
1
5
2
cos 𝜋 = − 2 2
4
tan 𝛼 = tan 𝛼 − 180°
tan 225° = tan 225° − 180°
tan 225° = tan 45°
tan 225° = 1
225°
tan (
⋅ 𝜋) = 1
180°
5
tan 𝜋 = 1
4
Contoh: Jika 𝛼 = 240°, maka tentukanlah sin 𝛼 , cos 𝛼 , tan 𝛼, serta konversikan ke 𝜋 ?
Jawab:
sin 𝛼 = − sin 𝛼 − 180°
sin 240° = − sin 240° − 180°
sin 240° = − sin 60°
1
sin 240° = − 3
240°
sin (180° ⋅ 𝜋) = −
8
2
1
2
1
3
sin 𝜋 = − 2 3
3
cos 𝛼 = − cos 𝛼 − 180°
cos 240° = − cos 240° − 180°
cos 240° = − cos 60°
1
cos 240° = −
240°
cos (
⋅ 𝜋) = −
180°
8
cos 𝜋 = −
3
2
1
2
1
2
tan 𝛼 = tan 𝛼 − 180°
tan 240° = tan 240° − 180°
tan 240° = tan 60°
tan 240° = 3
240°
tan (
⋅ 𝜋) = 3
180°
8
tan 𝜋 = 3
3
Contoh: Jika 𝛼 = 270°, maka tentukanlah sin 𝛼 , cos 𝛼 , tan 𝛼, serta konversikan ke 𝜋 ?
Jawab:
sin 𝛼 = − sin 𝛼 − 180°
sin 270° = − sin 270° − 180°
sin 270° = − sin 90°
sin 270° = −1
12
sin (
270°
180°
⋅ 𝜋) = −1
3
sin 𝜋 = −1
2
cos 𝛼 = − cos 𝛼 − 180°
cos 270° = − cos 270° − 180°
cos 270° = − cos 90°
cos 270° = 0
270°
cos (
⋅ 𝜋) = 0
180°
3
cos 𝜋 = 0
2
tan 𝛼 = tan 𝛼 − 180°
tan 270° = tan 270° − 180°
tan 270° = tan 90°
tan 270° = ∞
270°
tan (
⋅ 𝜋) = ∞
180°
3
tan 𝜋 = ∞
2
4) Sudut 𝜶 Kuadran IV
𝛼
𝛽
𝑥
−𝑦
𝑟
𝛼 + 𝛽 = 360°
𝛼 = 360° − 𝛽 atau 𝛽 = 360° − 𝛼
sin 𝛼
sin 𝛼
sin 𝛼
sin 𝛼
= sin 360° − 𝛽
𝑦
−𝑦
=−
=
𝑟
𝑟
= − sin 𝛽
= − sin 360° − 𝛼 atau sin 𝛼 = − sin 2𝜋 − 𝛼
cos 𝛼 = cos 360° − 𝛽
𝑥
cos 𝛼 =
𝑟
cos 𝛼 = cos 𝛽
13
cos 𝛼 = cos 360° − 𝛼 atau cos 𝛼 = cos 2𝜋 − 𝛼
tan 𝛼 = tan 360° − 𝛽
−𝑦
𝑦
tan 𝛼 =
=−
𝑥
𝑥
tan 𝛼 = − tan 𝛽
tan 𝛼 = − tan 360° − 𝛼 atau tan 𝛼 = − tan 2𝜋 − 𝛼
Contoh: Jika 𝛼 = 300°, maka tentukanlah sin 𝛼 , cos 𝛼 , tan 𝛼, serta konversikan ke 𝜋 ?
Jawab:
sin 𝛼 = − sin 360° − 𝛼
sin 300° = − sin 360° − 300°
sin 300° = − sin 60°
1
sin 300° = − 3
2
sin (
300°
⋅ 𝜋) = −
180°
5
1
2
1
3
sin 𝜋 = − 2 3
3
cos 𝛼 = cos 360° − 𝛼
cos 300° = cos 360° − 300°
cos 300° = cos 60°
1
cos 300° =
300°
cos (
180°
⋅ 𝜋) =
5
cos 3 𝜋 =
2
1
2
1
2
tan 𝛼 = − tan 360° − 𝛼
tan 300° = − tan 360° − 300°
tan 300° = − tan 60°
tan 300° = − 3
300°
tan (
⋅ 𝜋) = − 3
180°
5
tan 𝜋 = − 3
3
Contoh: Jika 𝛼 = 315°, maka tentukanlah sin 𝛼 , cos 𝛼 , tan 𝛼, serta konversikan ke 𝜋 ?
Jawab:
sin 𝛼 = sin 360° − 𝛼
sin 315° = sin 360° − 315°
sin 315° = sin 45°
1
sin 315° = − 2
sin (
315°
180°
⋅ 𝜋) = −
7
sin 𝜋 = −
4
2
1
2
1
2
2
2
cos 𝛼 = cos 180° − 𝛼
cos 315° = cos 180° − 135°
cos 315° = cos 45°
1
cos 315° =
2
2
14
315°
cos (
180°
⋅ 𝜋) =
7
1
2
2
1
cos 𝜋 = 2 2
4
tan 𝛼 = − tan 360° − 𝛼
tan 315° = − tan 360° − 315°
tan 315° = − tan 45°
tan 315° = −1
315°
tan (
⋅ 𝜋) = −1
180°
7
tan 𝜋 = −1
4
Contoh: Jika 𝛼 = 330°, maka tentukanlah sin 𝛼 , cos 𝛼 , tan 𝛼, serta konversikan ke 𝜋 ?
Jawab:
sin 𝛼 = − sin 360° − 𝛼
sin 330° = − sin 360° − 330°
sin 330° = − sin 30°
1
sin 330° = −
sin (
330°
180°
⋅ 𝜋) = −
11
sin
2
1
2
1
𝜋=−
6
2
cos 𝛼 = cos 360° − 𝛼
cos 330° = cos 360° − 330°
cos 330° = cos 30°
1
cos 330° =
3
2
330°
cos (
180°
⋅ 𝜋) =
cos
11
6
1
2
𝜋=
1
2
3
3
tan 𝛼 = − tan 360° − 𝛼
tan 330° = − tan 360° − 330°
tan 330° = − tan 30°
1
tan 330° = − 3
tan (
330°
180°
⋅ 𝜋) = −
tan
11
6
3
1
3
1
𝜋=−
3
3
3
Contoh: Jika 𝛼 = 360°, maka tentukanlah sin 𝛼 , cos 𝛼 , tan 𝛼, serta konversikan ke 𝜋 ?
Jawab:
sin 𝛼 = − sin 360° − 𝛼
sin 360° = − sin 360° − 360°
sin 360° = − sin 0°
sin 360° = 0
360°
⋅ 𝜋) = 0
sin (
180°
sin 2𝜋 = 0
cos 𝛼 = cos 360° − 𝛼
cos 360° = cos 360° − 360°
15
cos 360° = cos 0°
cos 360° = 1
360°
cos (
⋅ 𝜋) = 1
180°
cos 2𝜋 = 1
tan 𝛼 = − tan 360° − 𝛼
tan 360° = − tan 360° − 360°
tan 360° = − tan 0°
tan 360° = 0
360°
tan (
⋅ 𝜋) = 0
180°
tan 2𝜋 = 0
Sudut −𝜶 Kuadran IV
−𝛼
𝑥
𝑟
−𝑦
−𝛼 = 360° − 𝛼
sin −𝛼 = sin 360° − 𝛼 ⋯ 1
sin 𝛼 = − sin 360° − 𝛼
− sin 360° − 𝛼 = sin 𝛼
sin 360° − 𝛼 = − sin 𝛼 ⋯ 2
Dari 1 dan 2
sin −𝛼 = sin 360° − 𝛼 dan sin 360° − 𝛼 = − sin 𝛼, maka
sin −𝛼 = − sin 𝛼
cos −𝛼 = cos 360° − 𝛼 ⋯ 3
cos 𝛼 = cos 360° − 𝛼
cos 360° − 𝛼 = cos 𝛼 ⋯ 4
Dari 3 dan 4
cos −𝛼 = cos 360° − 𝛼 dan cos 360° − 𝛼 = cos 𝛼, maka
cos −𝛼 = cos 𝛼
tan −𝛼 = tan 360° − 𝛼 ⋯ 5
tan 𝛼 = − tan 360° − 𝛼
16
− tan 360° − 𝛼 = tan 𝛼
tan 360° − 𝛼 = − tan 𝛼 ⋯ 6
Dari 5 dan 6
tan −𝛼 = tan 360° − 𝛼 dan tan 360° − 𝛼 = − tan 𝛼, maka
tan −𝛼 = − tan 𝛼
Contoh: Jika 𝛼 = 30°, maka tentukanlah sin −𝛼 , cos −𝛼 , tan −𝛼 ?
Jawab:
sin 30° = − sin 30°
1
sin 30° = −
2
cos 30° = cos 30°
1
3
cos 30° =
2
tan 30° = − tan 30°
1
tan 30° = − 3
3
E. Fungsi Trigonometri
1) Fungsi Sinus
Definisi
Bentuk fungsi dapat dinyatakan dengan persamaan
𝑓 𝑥 = sin 𝑥 atau 𝑦 = sin 𝑥, dimana 0 < 𝑥 < 2𝜋
17
2) Fungsi Cosinus
Definisi
Bentuk fungsi dapat dinyatakan dengan persamaan
𝑓 𝑥 = cos 𝑥 atau 𝑦 = cos 𝑥, dimana 0 < 𝑥 < 2𝜋
3) Fungsi Tangen
Definisi
Bentuk fungsi dapat dinyatakan dengan persamaan
𝑓 𝑥 = tan 𝑥 atau 𝑦 = tan 𝑥, dimana 0 < 𝑥 < 𝜋
18
F. Identitas Tigonometri
𝑟
𝛼
𝑦
𝑥
𝑦
1) sin 𝛼 =
𝑟
1
1
=𝑦
sin 𝛼
𝑟
𝑟
1
=
sin 𝛼 𝑦
1
= csc 𝛼 jika dan hanya jika csc 𝛼 =
sin 𝛼
𝑥
2) cos 𝛼 =
𝑟
1
1
=𝑥
cos 𝛼
𝑟
1
𝑟
=
cos 𝛼 𝑥
1
= sec 𝛼 jika dan hanya jika sec 𝛼 =
cos 𝛼
𝑦
3) tan 𝛼 =
𝑥
1
1
=𝑦
tan 𝛼
𝑥
1
𝑥
=
tan 𝛼 𝑦
1
= cot 𝛼 jika dan hanya jika cot 𝛼 =
tan 𝛼
𝑦
4) tan 𝛼 = 𝑥
𝑦
tan 𝛼 = ⋅ 1
𝑥
𝑦
𝑟
tan 𝛼 = ⋅ 𝑟
𝑥
19
1
sin 𝛼
1
cos 𝛼
1
tan 𝛼
𝑦
tan 𝛼 = ⋅
𝑟
𝑦
tan 𝛼 = ⋅
𝑟
𝑟
𝑥
1
𝑥
𝑟
tan 𝛼 = sin 𝛼 ⋅
tan 𝛼 =
sin 𝛼
cos 𝛼
1
cos 𝛼
𝑦
5) sin 𝛼 = jika dan hanya jika 𝑦 = 𝑟 sin 𝛼
𝑟
𝑥
cos 𝛼 = jika dan hanya jika 𝑥 = 𝑟 cos 𝛼
𝑟
Dari Teorema Pythagoras diketahui bahwa
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2
𝑟 cos 𝛼 2 + 𝑟 sin 𝛼 2 = 𝑟 2
𝑟 2 cos 2 𝛼 + 𝑟 2 sin2 𝛼 = 𝑟 2
𝑟 2 cos 2 𝛼 + sin2 𝛼 = 𝑟 2
𝑟2
cos 2 𝛼 + sin2 𝛼 = 𝑟 2
cos 2 𝛼 + sin2 𝛼 = 1
6) cos 2 𝛼 + sin2 𝛼 = 1
cos 𝛼 2 + sin 𝛼 2 = 12
cos 𝛼 2
2
+
cos 𝛼
cos 𝛼 2
(
cos 𝛼
sin 𝛼 2
=
12
cos 𝛼
cos 𝛼 2
2
sin 𝛼
1
) +(
2
cos 𝛼
) =(
cos 𝛼
)
2
1 2 + tan 𝛼 2 = sec 𝛼 2
1 + tan2 𝛼 = sec 2 𝛼 jika dan hanya jika tan2 𝛼 = sec 2 𝛼 − 1
7) cos 2 𝛼 + sin2 𝛼 = 1
cos 𝛼 2 + sin 𝛼 2 = 12
cos 𝛼 2
+
sin 𝛼 2
cos 𝛼 2
(
sin 𝛼 2
=
12
sin 𝛼 2
sin 𝛼 2
sin 𝛼 2
1
) +(
sin 𝛼
sin 𝛼
) =(
sin 𝛼
)
2
cot 𝛼 2 + 1 2 = csc 𝛼 2
cot 2 𝛼 + 1 = csc 2 𝛼 jika dan hanya jika cot 2 𝛼 = csc 2 𝛼 − 1
20