Di dalam kalkulus, terdapat dua hal penting yaitu integral dan turunan(derivative)

INTEGRASI NUMERIK

   Di dalam kalkulus, terdapat dua hal penting yaitu integral dan turunan(derivative)

   Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang

digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban

hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik.

INTEGRASI NUMERIK

   Fungsi yang dapat dihitung integralnya : _{n  1 n} ax ax dx C

     n

   _ax

  1 _ax e e dx C

     a

  1 ax b dx a b C

       sin( ) cos( )  a

   Fungsi yang rumit misal :

  1 ax b dx a b C

      cos( ) sin( )  a

  3

  

1

  2

  2 dx x C

    ln | |   x 2 cos(

  1 ) . 5 x 

x

e dx

    x 1 . 5 sin x dx x x x C

     ln | | ln | |

INTEGRASI NUMERIK

   Perhitungan integral adalah perhitungan dasar yang

digunakan dalam kalkulus, dalam banyak keperluan.

   digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x.

   Penerapan integral : menghitung luas dan volume- volume benda putar

  ) ( ... ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 n n i n i i b a x f c x f c x f c x f c dx x f

  Dasar Pengintegralan Numerik

• Penjumlahan berbobot dari nilai fungsi

        

   f(x)

  2 ^{4 6 8 10 12} Dasar Pengintegralan Numerik 

  Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti saat awal belajar integral – penjumlahan bagian-bagian.

   Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan lebih mendekati jawaban eksak.

  Dasar Pengintegralan Numerik Formula Newton-Cotes

• Berdasarkan pada

  

b b

I f x dx f x dx

   ( )  ( ) n a a

   

• Nilai hampiran f(x) dengan polinomial

  n  1 n f ( x ) a a x a x a x

        n 1 n  1 n

• f

  n (x) bisa fungsi linear

• f

  n (x) bisa fungsi kuadrat

• f

  n (x) bisa juga fungsi kubik atau polinomial yang lebih tinggi

• Polinomial dapat didasarkan pada data

INTEGRASI NUMERIK

   Luas daerah yang diarsir L dapat dihitung dengan :

   L =

     b a dx x f Metode Integral Reimann _0.45

  0.5 _{x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35 x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35 0.35}

  0.4 _0.25

  0.3

  0.2 _{0.5 1 1.5 2 2.5 3} Metode Integral Reimann 

  Luasan yang dibatasi y = f(x) dan sumbu x 

  Luasan dibagi menjadi N bagian pada range x = [a,b] 

  Kemudian dihitung Li : luas setiap persegi panjang dimana Li=f(xi). Metode Integral Reimann 

  Luas keseluruhan adalah jumlah Li dan dituliskan : L  L  L  L   L .. n

  1

  2 f x x f x x f x x f x x

           ...

          n

  1

  1

  2

  2

  3 n

   f x  x   i i

   i

  0 

  Dimana 

  Didapat x x x x h

        ...   

  1 2 n b n f x dx h f x

       i

    

  1 ₂

x dx

  L = Contoh

  

  2

   Hitung luas yang dibatasi y = x dan sumbu x untuk range x = [0,1] _{1 x**2}

  0.8

  0.6

  0.4

  0.2 Contoh 

  Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel :

10 L  h f x

  . ( ) _i

   _{i }

             . 1  . 01 . 04 . 09 . 16 . 25 . 36 . 49 . 64 .

  81 1 . 00       .

  1 3 , 85 , 385

  1

  1

  2

  3

  1 

  Secara kalkulus : L  x dx  x |  , 3333 .....

  

  3

   Terdapat kesalahan e = 0,385-0,333 = 0,052

  

Algoritma Metode Integral Reimann:



  Definisikan fungsi f(x) 

  Tentukan batas bawah dan batas ata integrasi 

  Tentukan jumlah pembagi area N 

  Hitung h=(b-a)/N 

  Hitung 

   

  N i i

  L x f h ) ( . Metode Integrasi Trapezoida 

  Aproksimasi garis lurus (linier)

  1 b ( ) ( ) ( ) ( ) f x dx  c f x  c f x  c f x i i

  1

  1   a i

   h

  

( ) ( )

 f x  f x

  

 

  1

  2 f(x)

  L(x)

  

Aturan Komposisi Trapesium

      

   ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

  ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( n ^{1 n i 1 n 1 n 2 1 1 x x}

^x

^{x x x b a}

  2f 2 x x f x f x f 2 x f

  2 h x f x f

  2 h x f x f

  2 h x f x f

  2 h dx x f dx x f dx x f dx x f ⁿ _{1 n}

²

₁

¹

               

  

   

 

      _   

    f(x) n a b h

   

  Metode Integrasi Trapezoida

  1 L f x f x x    _{i i i  i}       .

  1

  2 atau

   

  1

  1 

  L L i

   L f f x

  1 i 

    .  _{i i i  i}  

  2 n 

  1 h

1 L  h f  f  f  f  f   f  f

    

  2 2 ... 2  i i  n  n

  1

  1

  2

  1 

  2

  2 i  n

  

  1

  h   L  f  f  f

  2 i n

    

  2 i

  

  1

  

Algoritma Metode Integrasi Trapezoida



  Definisikan y=f(x) 

  Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b) 

  Tentukan jumlah pembagi n 

  Hitung h=(b-a)/n 

  Hitung    

   

  

     n n i i f f f h

  L

  1

  1

  2

  2 Aturan Simpson 1/3 

  Aproksimasi dengan fungsi parabola _{b 2} f ( x ) dx  c f ( x )  c f ( x )  c f ( x )  c f ( x ) _{i i 1 1 2 2}

    a _{i } h

   f ( x ) 

  4 f ( x )  f ( x )  _{1 2} 

3 L(x)

  f(x) Aturan Simpson 1/3 ( x  x )( x  x ) ( x  x )( x  x ) _{1 2 2} L ( x )  f ( x )  f ( x ) ₁

  ( x  x )( x  x ) ( x  x )( x  x ) _{1 2 1 1 2} ( x x )( x x )

    ₁

  

f x

   ( ) ₂

  ( x  x )( x  x ) _{2 2 1} a  b let x  a , x  b , x  _{2 1}

  2 x x b  a  dx ₁ h , , d

      

  2 h h x  x   

  1 

   

  x x

      ₁  

  x x

  1

     ₂  

  (  1 ) (  1 )

    ₂   L ( )  f ( x )  ( 1  ) f ( x )  f ( x )

  



_{1 2}

1 L

  ) 1 (

     Aturan Simpson 1/3

  1 b x f x f

4 x f

h dx x f

  2

   ) ( ) ( ) ( ) (

  ξ L h dx x f ^b _a  

  ξ ξ ( h x f d ξ ξ ξ h

x f d

  ξ ξ h x f ξ ξ h x f d ξ ξ ξ h x f d

       ξ ξ h x f

        

       

       

  2 ) ( ) ( ) (

  ( 1 ) ) 1 (

  2 ) ( )

  ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( _{2 1} ² x f

  2

  1 ^{2 3 2 1 1 3 1 1 1 2 3 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1}

  1 x f 1 x f

  2

     

   

       

  1

  )

  3 (

  2

  3 (

  2 ) (

  )

  3 ( ) ( )

  2

  2 ) ( Aturan Komposisi Simpson b a

   h  n

f(x)

…...

  2

  2

  2

  3

  2

  3

  2

  3 ...

  2

  3

  Metode Integrasi Simpson 

  1

  1

  2

  2

  3

  3

  4

  2

  1

  1

    

  L             

              n n n n f f h f f h f f h f f h f f h f f h

  3    

  Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut:

  3

• – n L = L1 + L3 + L5 + . . . + Ln

   atau dapat dituliskan dengan:

     

        ⁿ _{genap i} ⁱ _{ganjil i} ⁱ f f f f h

  L

  2

  4

3 N = 0

  Cara II (Buku Rinaldi Munir)

   Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2 yang melalui ketiga titik tsb

  2 ₂ ² _{2 2}

  !

  2 ) (

  ) ( !

  2 ) (

  ) ( ) (

  f h h x x f h x f x f h h x x x f h x x f x p

   

      

      Cara II (Buku Rinaldi Munir)

   Integrasikan p2(x) pd selang [0,2h]

    

  L x f dx f h h x x f h x

  L f L xdx p dx x f h x _x ^{h h h}

     

    

       

    

       

  f h h L f h x hf f h h h h f h

h

    

    

         

    

   

       

  L x hf f h x h x f h x

  ) (

  2 ^{2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2}

  6

  3

  4

  2

  2

  4

  4

  8

  2 ) (

  2

  4

  2 |

  4

  6

  2 !

       Cara II (Buku Rinaldi Munir) 

  Mengingat 

  L f f h x hf   

  1

  1

  2

  1

f

h f h f h

  L f h f h f h

  L hf hf x hf f f f h

             

  1

  1

  2

  1

  

1

  2

  1

  2 ( 2 ) ) ( f f f f f f f f f f

  2

  1

  Maka selanjutnya

  3

  1 f f f

  

  

  3

  3

  4

  3

  3

  2

  2

  3

  2

  2

  2 ) 2 (

  3 ) (

  2

  2

              Aturan Simpson 3/8 _{b 3}

• Aproksimasi dengan fungsi kubik

  f ( x ) dx  c f ( x )  c f ( x )  c f ( x )  c f ( x )  c f ( x ) _{i i 1 1 2 2 3 3}   a _{i } 3 h

   f ( x ) 

  

3 f ( x ) 

3 f ( x )  f ( x )  _{1 2 3} 

8 L(x) f(x)

  Aturan Simpson 3/8 ( x  x )( x  x )( x  x ) ( x  x )( x  x )( x  x ) _{1 2 3 2 3} L x f x f x

  ( )  ( ) 

  ( ) ₁ ( x  x )( x  x )( x  x ) ( x  x )( x  x )( x  x ) _{1 2 3 1 1 2 1 3} ( x x )( x x )( x x ) ( x x )( x x )( x x )

        _{1 3 1 2} 

  f ( x )  ₂ f ( x ) ₃

  ( x x )( x x )( x x ) ( x x )( x x )( x x ) ₂       _{2 1 2 3 3 3 1 3 2} b b b a

   f(x)dx L(x)dx ; h

  

 

a a

   

  3 3 h f ( x ) 3 f ( x ) 3 f ( x ) f ( x )

      

  

  1

  2

  3

  8

• Error Pemenggalan
₅ 3 ( b a ) b a _{5 ( 4 ) (}   _{4 )} E h f ( ) f ( ) ; h _t       

  80 6480

  3 Metode Integrasi Gauss 

  Metode Newton Code (Trapezoida, Simpson) 

berdasarkan titik2 data diskrit. Dengan batasan :



  H sama 

  Luas dihitung dari a sampai b  Mengakibatkan error yang dihasilkan cukup besar. Metode Integrasi Gauss 

  Misal menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan selang [-1,1] ₁ h I f x dx f f f f

         ( )  ( 1 ) ( 1 )  ( 1 ) ( 1 )

  

  2  ¹ h

  

  2 

  Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss)

1 I f x dx c f x c f x

     ( ) ( ) ( )

  

1

  1

  2

  2 

  

  1 

  Misal x =-1, x =1 dan c =c =1  menjadi m. trapezoida

  1

  2

  1

  2 

  Karena x , x ,c dan c sembarang maka kita harus memilih nilai tersebut sehingga 1 2,

  1

  2 error integrasinya min Metode Integrasi Gauss 

  Bagaimana mencari x ₁ , x _2, ,c ₁ dan c _{2 Persamaan dibawah ini dianggap memenuhi} secara tepat bila empat polinom berikut dijadikan fungsi integral pada interval integrasi [-1, 1]

  1 _{3 3 2 2 3 1 1} ^{1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1}      

     

  1 _{2 1 2 1} 

  1

  3

  1

  3

  Didapat

   dx x x c x c dx x x c x c dx x x c x c dx c c

     

         

  1 Metode Integrasi Gauss 

   f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x

  2

  2

  3

   

    

  I

  x f c x f c dx x f

  ) ( ) ( ) ( _{2 2 1 1} ¹ ₁

  3

  2 ; f(x) = x

  x x c c

  Persamaan dibawah ini dinamakan metode Gauss Legendre 2 titik )

  3

  1 ( )

  3

  1 ( ) (

  1

  1   

    f f dx x f Transformasi

  1

  b L  g u

  ( du ) i

  L  f x dx ( )

   i

  

  

  1

  a 

  Range [a,b]  [-1,1] 

  X  u f(x)  g(u) dx du Transformasi x  a u 

  1  b  a

  2     2 x 2 a ( u 1 )( b a )

  a x b

      2 x ( u 1 )( b a ) 2 a    a b bu au

   x

  2

• 1 u

  1

  a  b  b  a u ( ) ( ) x 

  2 b a

     dx  du

   

  2 Transformasi du u a b b a f a b du u g

     

  1

  1 ) ( du

  1

   

       

  1 a b u a b f a b u g

  2

  2

     

  1 ) (

  2

  ) ( ) ( ) (

  1 ) (  

  2

  2 ) ( ) ( ) (

         ¹ ₁ ¹ ₁

  L u g i Analisa 

  

Dibandingkan dengan metode Newton-Cotes (Trapezoida,

Simpson 1/3, 3/8) metode Gauss-Legendre 2 titik lebih sederhana dan efisien dalam operasi aritmatika, karena hanya membutuhkan dua buah evaluasi fungsi.

  

Lebih teliti dibandingkan dengan metode Newton-Cotes.



  

Namun kaidah ini harus mentransformasi terlebih dahulu

menjadi

  1 g u

  ( du ) 

  

  1 Tugas 

  Carilah perintah dalam bahasa matlab untuk Integrasi Gauss- Legendre (Gauss – Quadratic)