Regresi Linear dan Metode Grafik
Regresi Linear dan Metode Grafik
Eko Sulistya
Laboratorium Fisika Dasar - Departemen Fisika FMIPA
UGM Yogyakarta
sulistya@ugm.ac.id
27 Oktober 2017
Artikel ini membahas tentang metode regresi linear dan cara penarikan garis
lurus pada grafik yang diperlukan oleh mahasiswa yang mengambil praktikum fisika dasar.
1 Pendahuluan
Pada praktikum Fisika Dasar diperlukan penggambaran grafik data pengamatan yang berupa
kurva linier. Grafik linier (gari lurus) adalah grafik yang memberikan informasi yang diperlukan, yaitu kemiringan garis dan titik potong, yang merupakan parameter yang diperlukan untuk
menentukan variabel yang akan ditentukan dalam eksperimen.
Persamaan garis lurus yang mewakili relasi (hubungan) antara variabel x dan y dituliskan
dalam bentuk persamaan (1):
y = A + Bx,
(1)
dengan A dan B adalah parameter yang akan ditentukan. A adalah titik potong grafik dengan
sumbu y, dan B adalah kemiringan grafik. Variabel bebas x adalah variabel yang divariasi, dan
1
variabel y adalah besaran yang diukur.
A dan B bisa ditentukan dengan cara manual, yaitu dengan menggambarkan grafik (memplot) data-data pengamatan antara x versus y. Kemudian dengan cara manual juga menarik garis lurus yang diusahakan melewati sebanyak mungkin data. Cara kedua adalah dengan metode
regresi linear yang berdasarkan pada metode kuadrat terkecil. Penjabaran bagaimana memperoleh nilai A dan B dengan metode kuadrat terkecil tidak dibahas dalam tulisan ini, hanya akan
disajikan hasil akhirnya. Untuk penjabaran silahkan baca di buku teks (1) dan (2).
2 Regresi Linear
Hubungan linier antara x dan y diharapkan berbentuk seperti persamaan (1), yang dinamakan
persamaan hasil fit linier, sehingga untuk setiap nilai xi bisa dihitung nilai yf it = A + Bxi .
Sementara itu hasil pengukuran untuk nilai xi adalah yi . Jika hasil pengukurannya akurat, tidak
ada ralat, maka yi = yf it , namun dalam prakteknya, selalu ada ralat dalam hasil pengukuran
yi . Data-data hasil pengukuran tersebar mengikuti distribusi normal, dengan nilai tengah adalah
yi dan deviasi standar σi . Deviasi standar ini merupakan ukuran ralat dari hasil pengukuran y.
Jika ada sejumah N nilai y, maka ada sejumlah N distribusi Gauss, dan ada sejumlah N deviasi
standar.
Tinjau salah satu pengukuran ke-i. Kebolehjadian (probability) memperoleh hasil ukur yi ,
dengan deviasi standar σi adalah (distribusi Gauss):
(
2 )
1 yi − yf it
1
Pi = √ exp −
2
σi
σi 2π
(2)
Kebolehjadian menemukan satu set hasil sejumah N pengukuran adalah hasil kali dari masingmasing kebolehjadian-i,
Y
Pi =
Y
σi
1
√
2 )
1 X yi − yf it
exp −
2
σi
2π
(
2
(3)
Dengan mengingat persamaan (1), persamaan (3) dapat ditulis menjadi
(
2 )
Y
Y 1
1 X yi − A − Bxi
√ exp −
Pi =
2
σi
σi 2π
(4)
Nilai terbolehjadi, atau nilai maksimum kebolehjadian persamaan (4) diperoleh jika nilai pada
eksponensial minimum. Dengan menuliskan
X yi − A − Bxi 2
2
χ =
σi
(5)
maka kebolehjadian pada persamaan (4) maksimum jika χ2 minimum.
2.1 Menentukan parameter A dan B
Untuk mendapatkan parameter A dan B yang bisa membuat persamaan (5) minimum, maka χ2
diturunkan satu kali terhadap A dan B kemudian menyamakannya dengan nol. Persamaan (5)
diubah menjadi:
X 1
σi 2
X 1
=
σi 2
X yi 2
=
σi 2
χ2 =
yi 2 − 2yi (A + Bxi ) + (A + Bxi )2
yi 2 − 2Ayi − 2Bxi yi + A2 + 2ABxi + B 2 xi 2
− 2A
X 1
X xi 2
X yi
X xi yi
X xi
2
2
−
2B
+
A
+
2AB
+
B
σi 2
σi 2
σi 2
σi 2
σi 2
Selanjutnya,
X 1
X xi
X yi
∂ 2
+
2A
+
2B
χ = −2
∂A
σi 2
σi 2
σi 2
X yi
X 1
X xi
=−
+A
+B
=0
σi 2
σi 2
σi 2
(6)
dan
X xi
X xi 2
X xi yi
∂ 2
+
2A
+
2B
χ = −2
∂B
σi 2
σi 2
σi 2
X xi yi
X xi
X xi 2
=−
+
A
+
B
=0
σi 2
σi 2
σi 2
3
(7)
Persamaan (6) dapat dituliskan menjadi
A
X xi
X yi
X 1
+
B
=
σi 2
σi 2
σi 2
(8)
dan persamaan (7) dapat dituliskan menjadi
A
X xi
X xi 2 X xi yi
+
B
=
σi 2
σi 2
σi 2
(9)
Persamaan (8) dan persamaan (9) adalah persamaan simultan dengan 2 nilai yang akan
dicari, yaitu A dan B. Dua persamaan tersebut ditulis dalam bentuk matriks:
P 1 P xi !
P yi
A
2
2
2
σ
σ
i
i
P xi P x i 2
= P xσiiyi
B
σi 2
σ2
σ2
i
(10)
i
Penyelesain persamaan (10) dengan metode determinan:
P
P xi
yi
2
P σ i P σi 2
xi y i
xi 2
σi 2
σi 2
A = P 1 P x
i
P σ i 2 P σi 2
xi
xi 2
σi 2
σi 2
P y i P x i 2 P xi P x i yi
2
2 −
2
2
= P σi1 P σxi 2 P σxi P σxi
i
i
i
−
σ2
σi 2
σi 2
σi 2
Pi 1 P
yi
P σxi 2 P xσiy2
i i
i
σi 2
σi 2
B = P 1 P x
i
P σ i 2 P σi 2
xi
xi 2
σi 2
σi 2
P 1 P xi yi P yi P xi
2
2 −
2
2
= P σi1 P σxi 2 P σxi P σxi
i
i
i
−
σi 2
σi 2
σi 2
σi 2
Dengan menuliskan wi = 1/σi 2 , maka persamaan (11) dan (12) dapat ditulis menjadi:
P
P
P
P
w i yi w i xi 2 − w i xi w i xi yi
A=
P P
P
w i w i xi 2 − ( w i xi ) 2
(11)
(12)
(13)
dan
B=
P
wi
P
P
P
w i xi yi − w i yi w i xi
P
P
w i w i xi 2 − ( w i xi ) 2
P
4
(14)
Jika deviasi standar pada yi semua sama, yaitu σi = σ, maka
X 1
1
1
1
1
1
= Nw
= 2 + 2 + 2 + ··· + 2 = N
wi =
2
σi
σ
σ
σ}
σ2
{z
|σ
N
X
X
w i xi = w
xi
X
X
w i yi = w
yi
X
X
w i xi 2 = w
xi 2
X
X
w i xi yi = w
xi yi
X
dan persamaan (11) dan (12) menjadi:
P
P
P P
w 2 xi 2 yi − w 2 x i xi yi
A=
P
P
N w 2 xi 2 − w 2 ( xi ) 2
P P 2 P P
yi xi − xi xi yi
=
P
P
N xi 2 − ( xi ) 2
P
P P
N w 2 xi yi − w 2 xi yi
B=
P
P
N w 2 xi 2 − w 2 ( xi ) 2
P
P P
N xi yi − xi yi
=
P
P
N xi 2 − ( xi ) 2
(15)
(16)
2.2 Ralat dalam A dan B
Ralat dalam A dan B berasal dari sumbangan ralat dalam yi yaitu σi (dianggap tidak sama untuk
seluruh y), dihitung dengan rumus perambatan ralat.
#
"
X ∂A 2
2
2
σi , dan
σA =
∂yi
"
#
X ∂B 2
2
2
σB =
σi
∂yi
(17)
(18)
Penyebut pada persamaan (11) dan (12) tidak bergantung kepada nilai yi sehingga tidak terpengaruh oleh derivasi ke-yi sehingga bisa dikeluarkan dari derivatif dan dituliskan sebagai:
∆=
X
wi
X
w i xi 2 −
5
X
w i xi
2
(19)
Selanjutnya,
∂A
∂yj
∂B
∂yj
=
=
1
∆
1
∆
P
P
(wj wi xi 2 − wj xj wi xi )
P
P
(wj xj wi − wj wi xi )
(20)
Kemudian dari persamaan (17) dan (18),
2
σA ≃
=
=
=
=
=
X
2
X
2
X
X
1
2 2
2
2
2
2
w i xi
w i xi + w j xj
w i xi
− 2wj xj
w i xi
wj
∆2 wj
j=1
2
X
2
X
X
X
X
1 X X
2
2
2
w i xi
w i xi +
w j xj
w i xi
w i xi
wj
−2
w j xj
∆2
2
X
X X
X
X
1 X
2
2
w i xi
w i xi +
w i xi − 2
w j xj
wj
w i xi
∆2
2
2 X
X
X X
1 X
2
2
w i xi
w i xi +
w i xi − 2
wj
w i xi
∆2
2
X
X X
1 X
2
2
w i xi
w i xi −
wj
w i xi
∆2
1 X
(21)
w i xi 2
∆
N
X
dan,
2
σB ≃
=
=
=
=
2
X
X 2
X X
1
2
2 2
2
w i xi
w i xi + w j
wi − 2wj xj
wi
w j xj
2w
∆
j
j=1
2
X 2
X X
X X
X
1 X
2
w i xi
w i xi +
wj
wi
w j xj
wi − 2
w j xj
∆2
2 X
2
X
1 X X X
2
w i xi +
w j xj − 2
w i xi
wi
wi
∆2
2
X
1 X X X
2
w j xj −
w i xi
wi
wi
∆2
1 X
(22)
wi
∆
N
X
6
2.3 Ralat dalam A dan B jika σi = σ
Jika dalam pengukuran y terdapat ralat (absolut) yang sama, maka A dan B diberikan oleh
persamaan 15 dan 16, dan ralatnya (buktikan!)
rP
x2
,
r ∆
N
σB = σy
,
∆
σA = σy
dengan
v
u
u
σy = t
(23)
(24)
N
1 X
(yi − A − Bxi )2
N − 2 i=1
(25)
3 Contoh Penerapan Regresi Linier
Pengukuran suhu nol-mutlak dengan termometer gas volume konstan.
Jika volume dari suatu gas ideal dibuat tetap, maka suhunya merupakan fungsi linier dari tekanannya. Bisa ditulis
T = A + BP
(26)
A adalah suhu pada saat tekanan mencapai nol, yang disebut dengan suhu nol-mutlak, dengan
nilai yang diterima secara teoritis
A = −273, 15o C
Konstanta B bergatung kepada sifat alami gas, yaitu massa dan volumenya1 . Dengan melakukan beberapa pengukuran akan diperoleh pasangan data T dan P yang dapat digunakan untuk
mengestimasi nilai-nilai A dan B. Data-data yang diperoleh disajikan pada kolom 2 dan 3 tabel
berikut.
1
The difference T − A is called the absolute temperature.
7
Pengukuran Tekanan Suhu
A + BPi
kePi
Ti
1
65
-20
-22,2
2
75
17
14,9
3
85
42
52,0
4
95
94
89,1
5
105
127
126,2
Perhitungan untuk mencari A dan B dengan persamaan (15) dan (16) telah dilakukan di
buku (1) halaman 191. Dalam tulisan ini, pencarian nilai parameter A dan B dilakukan dengan
pemrograman python. Listing program python untuk regresi linear adalah sebagai berikut.
#program r e g r e s i l i n i e r dengan bobot
import matplotlib . pyplot as plt
from math import sqrt
import numpy as np
def inisialisasi ():
namafile = raw_input ( ’ F i l e yang akan dibaca ? ’ )
sumbux = raw_input ( ’Nama sumbu X ? ’ )
sumbuy = raw_input ( ’Nama sumbu Y ? ’ )
judul = raw_input ( ’ Judul g r a f i k ? ’ )
r e t u r n namafile , sumbux , sumbuy , judul
def bacafiledata ( datafile ):
filedata = open (datafile , ’ r ’ )
datax = []; datay = []; datae = []; i = 0
f o r baris i n filedata :
i +=1
datanya = baris.split ()
x = f l o a t ( datanya [0])
datax. append (x)
y = f l o a t ( datanya [1])
datay. append (y)
e = f l o a t ( datanya [2])
datae. append (e)
p r i n t ( "x = %5.2 f y = %5.2 f e = %5.2 f " ) % (x, y, e)
filedata .close ()
jumlahdata = i
p r i n t ( " Jumlah d a t a = " ), jumlahdata
r e t u r n jumlahdata , datax , datay , datae
def gambar (x, y, e):
plt.grid(True)
8
plt.title(judul)
plt. xlabel ( sumbux )
plt. ylabel ( sumbuy )
plt. legend (loc= ’ upper l e f t ’ )
plt.plot(x, y, ’ ko ’ )
plt. errorbar (x, y, xerr=None , yerr=e, fmt = ’ ’ )
plt.show ()
def regresilinear (x, y, e):
sum1 =0.0; sum2 =0.0; sum3 =0.0; sum4 =0.0; sum5 =0.0
f o r i i n range (0, jumlahdata ):
sum1=sum1 +(x[i] ∗∗ 2/e[i] ∗∗ 2)
#wx^2
sum2=sum2 +(y[i]/e[i] ∗∗ 2)
#wy
sum3=sum3 +(x[i]/e[i] ∗∗ 2)
#wx
sum4=sum4 +(x[i] ∗ y[i])/e[i] ∗∗ 2
#wxy
sum5=sum5 +1/e[i] ∗∗ 2
#w
# h i t u n g determinan
det = (sum5 ∗ sum1)−sum3 ∗∗ 2
# parameter a dan b
a = (( sum1 ∗ sum2)−(sum3 ∗ sum4 ))/ det
b = (( sum5 ∗ sum4)−(sum3 ) ∗ ( sum2 ))/ det
sigmaa2 = sum1/det
sigmab2 = sum5/det
sigmaa = sqrt( sigmaa2 )
sigmab = sqrt( sigmab2 )
r e t u r n a, b, sigmaa , sigmab
# (w) ( wx^2) − ( wx)^2
# ( ( wy ) ( wx^2) − ( wx ) ( wxy ) ) / d e t
# ( (w) ( wxy ) − ( wx ) ^ 2 ) / d e t
# s q r t ( ( wx ^ 2 ) / d e t )
# s q r t (w/ d e t )
# plot grafik
def plotregresi (x, a, b):
f o r i i n range (0, l e n (x)):
y = a + b∗x
plt.plot(x,y, ’g ’ , label= ’ H a s i l f i t ’ )
def fitploterror (x,a,b):
f o r i i n range (0, l e n (x)):
y = a + b∗x
plt.plot(x,y, ’g ’ ,linestyle = ’−−’ )
def korelasi (x, y):
sum1 = 0; sum2 = 0; sum3 = 0; sum4 = 0; sum5 = 0
f o r i i n range (0, l e n (x)):
sum1 += x[i] ∗ y[i]
sum2 += x[i]
sum3 += y[i]
sum4 += x[i] ∗∗ 2
9
sum5 += y[i] ∗∗ 2
r1 = l e n (x) ∗ sum1 − sum2 ∗ sum3
r2 = sqrt (( l e n (x) ∗ sum4 − sum2 ∗∗ 2) ∗ ( l e n (x) ∗ sum5 − sum3 ∗∗ 2))
r = r1/r2
return r
namafile , sumbux , sumbuy , judul = inisialisasi ()
jumlahdata , datax , datay , datae = bacafiledata ( namafile )
r = korelasi (datax , datay)
p r i n t ( " K o e f i s i e n k o r e l a s i = %.2 f " ) % (r)
a, b, sigmaa , sigmab = regresilinear (datax , datay , datae)
p r i n t ( " a= %8.6 f , sigmaa= %8.6 f " ) % (a, sigmaa )
p r i n t ( "b= %8.6 f , sigmab= %8.6 f " ) % (b, sigmab )
xfit = np. arange (0, max(datax), 1)
plotregresi (xfit , a, b)
fitploterror (xfit ,a−sigmaa ,b+ sigmab )
fitploterror (xfit ,a+sigmaa ,b−sigmab )
gambar (datax , datay , datae)
Untuk menjalankan program regresi-linier python di atas, data-data dituliskan dalam file txt
3 kolom dengan dibatasi spasi antar kolom. Kolom pertama adalah nilai x, kolom ke-2 adalah
nilai y dan kolom ke-3 adalah nilai σi .
Sebagai contoh, data-data pada tabel di atas dituliskan dalam file txt dengan σi = 7, dan
disimpan dengan nama file : contoh.txt.
65
75
85
95
105
−20
17
42
94
127
7
7
7
7
7
Jalannya program adalah sebagai berikut:
C:\ Kuliah Metode Pengukuran Fisika > python regresi_linear_2 .py
File yang akan dibaca ? contoh .txt
Nama sumbu X ? P
10
Nama sumbu Y ? T
Judul grafik ? Menentukan suhu nol mutlak
x = 65.00 y = −20.00 e = 7.00
x = 75.00 y = 17.00 e = 7.00
x = 85.00 y = 42.00 e = 7.00
x = 95.00 y = 94.00 e = 7.00
x = 105.00 y = 127.00 e = 7.00
Jumlah data = 5
Koefisien korelasi = 1.00
a= − 263.350000
sigmaa = 19.074197
b= 3.710000
sigmab = 0.221359
Grafik hasil program:
Gambar 1: Hasil program regresi linier python untuk file: contoh.txt
Dari hasil program di atas dapat dituliskan:
A = (−263 ± 19)◦ C, dan
B = (3, 7 ± 0, 2)◦ C/mmHg
11
4 Metode Grafik
Pada dasarnya penentuan A dan B tidak menjadi masalah jika dihitung dengan menggunakan
metode regresi linier. Yang menjadi permasalahan adalah jika mahasiswa harus menggambarkan grafik dan menemukan A dan B secara manual, beserta dengan ketidakpastiannya. Masalah
tersebut muncul karena tidak ada kejelasan mengenai bagaimana menerapkan metode mencari
garis terbaik dengan bantuan dua garis maksimum dan minimum. Satu hal yang jelas adalah
bahwa garis terbaik harus melewati titik centroid2 , yaitu nilai rata-rata dari variabel x dan variabel y, titik (¯
x, y¯).
4.1 Garis bantu ditarik dari ujung-ujung ralat
Cara ini yang biasanya digunakan oleh mahasiswa. Cara yang praktis, namun mengandung
resiko bahwa garis terbaik tidak melewati titik centroid. Ingat, bahwa meskipun dinamakan
garis bantu, namun garis tersebut adalah juga garis "terbaik" yang masih mungkin. Sebagai
contoh ditunjukkan pada Gambar 2. Menentukan titik centroid:
P
65 + 75 + 85 + 95 + 105
xi
=
= 85
5
PN
yi
(−20) + 17 + 42 + 94 + 127
y¯ =
=
= 52
N
5
x¯ =
Titik merah adalah titik centroid, dua garis bantu digambarkan dengan menerapkan metode
tarik garis dari ujung-ujung batang ralat. Dapat dilihat bahwa garis terbaik, yang merupakan
rata-rata dari dua garis bantu tersebut tidak melewati titik centroid. Grafik pada Gambar 2 adalah plot dari data-data pada contoh yang dibahas di depan, sehingga bisa dibandingkan hasilnya
jika kita mencari persamaan garis lurus dengan metode grafik manual ini.
Kemiringan, atau gradien (slope) garis ditentukan secara manual dengan mencari dua titik
2
In mathematics and physics, the centroid or geometric center of a plane figure is the arithmetic mean ("average") position of all the points in the shape
12
Gambar 2: Dua garis bantu ditarik dari ujung-ujung batang ralat
pada garis yang memotong garis grid. Semakin jauh jarak antara dua titik tersebut, hasil gradien
semakin baik.
Lihat Gambar 3. Untuk garis-1 dari grafik diperoleh gradien:
B1 =
∆y
(128) − (−24)
152
=
=
=4
∆x
104 − 66
38
Dengan cara yang sama, gradien untuk garis-2 adalah (Lihat Gambar 4)
B2 =
(124) − (−16)
140
∆y
=
=
= 3, 33
∆x
106 − 64
42
Dengan demikian diperoleh gradien garis terbaiknya adalah:
¯ = B1 + B2 = 4, 00 + 3, 33 = 3, 665
B
2
2
13
Gambar 3: Cara manual menentukan gradien garis
dan ralatnya:
|4, 00 − 3, 33|
|B1 − B2 |
=
= 0, 335
2
2
¯ = |4, 00 − 3, 665| = 0, 335. Bisa dikatakan bahwa
Bisa juga dihitung dengan : σB¯ = B1 − B
σB¯ =
hasil penentuan gradien dengan cara grafik manual ini sama dengan hasil dari metode regresi
linear, hanya ralatnya yang lebih besar.
Selanjutnya adalah menentukan A dari grafik, yaitu titik potong garis dengan sumbu tegak l.
Ditunjukkan pada Gambar 5. Gambar di-zoom untuk menunjukkan perpotongan garis dengan
sumbu y. (Lihat Gambar (6)).
Titik potong garis-1: A1 = −285 dan titik potong garis-2: A2 = −230, sehingga titik
14
Gambar 4: Cara manual menentukan gradien garis
potong terbaiknya :
A1 + A2
(−285) + (−230)
A¯ =
=
= −257, 5
2
2
dan ralatnya:
σA¯ = A1 − A¯ = |−285 − (257, 5)| = 27, 5
Hasilnya dapat dituliskan:
A¯ ± σA = (−258 ± 30)◦ C
Walaupun hasil penentuan gradien boleh dikatakan sama, namun terlihat bahwa hasil penentuan
titik potong cukup berbeda, yang berarti garis terbaik dari hasil metode grafik tergeser. Jika
variabel yang dicari dari eksperimen ditentukan dari titik potong grafik (seperti pada contoh
di atas), maka pergeseran garis terbaik akan menyebabkan variabel yang diperoleh menjadi
15
Gambar 5: Mencari titik potong garis dengan sumbu y
tidak akurat. Hal ini sudah terlihat bahwa garis-garis bantu tidak melewati titik centroid yang
menyebabkan garis terbaik juga tidak melewati titik centroid, yang merupakan kekeliruan.
Pada contoh di atas, titik potong diperoleh dengan cara ekstrapolasi, yang memberikan efek
pada membesarnya ralat pada titik potong. Semakin jauh ekstrapolasi, kedua garis bantu akan semakin menyebar. Dengan membuat garis bantu yang melewati ujung-ujung batang ralat
(maksimum dan minium) maka pemisahan dua garis bantu juga akan besar, dan jika dilakukan
ekstrapolasi, ralatnya akan semakin membesar. Sebagai contoh, ralat pada titik potong dengan
menggunakan regresi linier sebesar
20 ∼
= 7, 7%
261
sedangkan dari hasil metode grafik
30 ∼
= 11, 7%
258
16
Gambar 6: Gambar titik-titik potong diperbesar
4.2 Garis bantu ditarik melewati titik centroid
Karena garis-garis bantu adalah juga garis yang mungkin bisa mewakili titik-titik data, maka
garis-garis tersebut juga harus melalui titik centroid. Seperti ditunjukkan pada Gambar 7.
Dari Gambar 8 diperoleh gradien garis-1:
190
140 − (−50)
=
= 3, 958
108 − 60
48
dan dari Gambar 9 diperoleh gradien garis-2:
180
130 − (−50)
=
= 3, 462
108 − 56
52
Nilai terbaik gradien:
7, 42
3, 958 + 3, 462
=
= 3, 71
2
2
dengan ralat
3, 958 − 3, 462
0, 496
=
= 0, 248
2
2
Dari gambar tersebut diperoleh nilai terbaik untuk A adalah
−245 + (−285)
= −265
2
dengan ralat σA = 20.
17
Gambar 7: Garis bantu melewati titik centroid
Hasil penentuan A dan B dengan ketiga metode dirangkum dalam tabel berikut:
Metode Regresi
A = (−263 ± 19)◦ C
B = (3, 7 ± 0, 2)◦ C/mmHg
Garis bantu
Garis bantu
dari ujung-ujung batang ralat
melewati titik centroid
A = (−258 ± 30)◦ C
A = (−265 ± 20)◦ C
B = (3, 7 ± 0, 3)◦ C/mmHg B = (3, 7 ± 0, 2)◦ C/mmHg
Dapat dilihat bahwa metode dengan garis bantu yang dibuat dari ujung-ujung batang ralat
tidak melewati titik centroid dan garis terbaik tergeser ke atas, menyebabkan nilai titik potong
terbaik menjadi lebih kecil, dan ralatnya sangar besar. Metode dengan garis bantu yang melewati titik centroid memberikan hasil yang lebih mendekati hasil dari metode rumus regresi
linier.
18
Gambar 8: Menentukan gradien garis-1
Gambar 9: Menentukan gradien garis-2
19
5 Penutup
Dari uraian dan contoh-contoh yang telah diberikan, maka sebaiknya cara menarik garis bantu
yang dilakukan dari ujung-ujung batang ralat sebaiknya dihindari. Selain cara itu bisa menyalahi aturan penggambaran garis terbaik jika garis yang ditarik tidak melewati titik centroid, hasil
perhitungannya juga menyimpang dari metode standar untuk menentukan parameter persamaan
linear.
Pustaka
1. Taylor, J. R., 1992, An Introduction to Error Analysis, University Science Book.California.
2. Bevington, P. R., 1999, Data Reduction and Error Analysis for the Physical Science, Mc
Graw-Hill Book Co.
20
Eko Sulistya
Laboratorium Fisika Dasar - Departemen Fisika FMIPA
UGM Yogyakarta
sulistya@ugm.ac.id
27 Oktober 2017
Artikel ini membahas tentang metode regresi linear dan cara penarikan garis
lurus pada grafik yang diperlukan oleh mahasiswa yang mengambil praktikum fisika dasar.
1 Pendahuluan
Pada praktikum Fisika Dasar diperlukan penggambaran grafik data pengamatan yang berupa
kurva linier. Grafik linier (gari lurus) adalah grafik yang memberikan informasi yang diperlukan, yaitu kemiringan garis dan titik potong, yang merupakan parameter yang diperlukan untuk
menentukan variabel yang akan ditentukan dalam eksperimen.
Persamaan garis lurus yang mewakili relasi (hubungan) antara variabel x dan y dituliskan
dalam bentuk persamaan (1):
y = A + Bx,
(1)
dengan A dan B adalah parameter yang akan ditentukan. A adalah titik potong grafik dengan
sumbu y, dan B adalah kemiringan grafik. Variabel bebas x adalah variabel yang divariasi, dan
1
variabel y adalah besaran yang diukur.
A dan B bisa ditentukan dengan cara manual, yaitu dengan menggambarkan grafik (memplot) data-data pengamatan antara x versus y. Kemudian dengan cara manual juga menarik garis lurus yang diusahakan melewati sebanyak mungkin data. Cara kedua adalah dengan metode
regresi linear yang berdasarkan pada metode kuadrat terkecil. Penjabaran bagaimana memperoleh nilai A dan B dengan metode kuadrat terkecil tidak dibahas dalam tulisan ini, hanya akan
disajikan hasil akhirnya. Untuk penjabaran silahkan baca di buku teks (1) dan (2).
2 Regresi Linear
Hubungan linier antara x dan y diharapkan berbentuk seperti persamaan (1), yang dinamakan
persamaan hasil fit linier, sehingga untuk setiap nilai xi bisa dihitung nilai yf it = A + Bxi .
Sementara itu hasil pengukuran untuk nilai xi adalah yi . Jika hasil pengukurannya akurat, tidak
ada ralat, maka yi = yf it , namun dalam prakteknya, selalu ada ralat dalam hasil pengukuran
yi . Data-data hasil pengukuran tersebar mengikuti distribusi normal, dengan nilai tengah adalah
yi dan deviasi standar σi . Deviasi standar ini merupakan ukuran ralat dari hasil pengukuran y.
Jika ada sejumah N nilai y, maka ada sejumlah N distribusi Gauss, dan ada sejumlah N deviasi
standar.
Tinjau salah satu pengukuran ke-i. Kebolehjadian (probability) memperoleh hasil ukur yi ,
dengan deviasi standar σi adalah (distribusi Gauss):
(
2 )
1 yi − yf it
1
Pi = √ exp −
2
σi
σi 2π
(2)
Kebolehjadian menemukan satu set hasil sejumah N pengukuran adalah hasil kali dari masingmasing kebolehjadian-i,
Y
Pi =
Y
σi
1
√
2 )
1 X yi − yf it
exp −
2
σi
2π
(
2
(3)
Dengan mengingat persamaan (1), persamaan (3) dapat ditulis menjadi
(
2 )
Y
Y 1
1 X yi − A − Bxi
√ exp −
Pi =
2
σi
σi 2π
(4)
Nilai terbolehjadi, atau nilai maksimum kebolehjadian persamaan (4) diperoleh jika nilai pada
eksponensial minimum. Dengan menuliskan
X yi − A − Bxi 2
2
χ =
σi
(5)
maka kebolehjadian pada persamaan (4) maksimum jika χ2 minimum.
2.1 Menentukan parameter A dan B
Untuk mendapatkan parameter A dan B yang bisa membuat persamaan (5) minimum, maka χ2
diturunkan satu kali terhadap A dan B kemudian menyamakannya dengan nol. Persamaan (5)
diubah menjadi:
X 1
σi 2
X 1
=
σi 2
X yi 2
=
σi 2
χ2 =
yi 2 − 2yi (A + Bxi ) + (A + Bxi )2
yi 2 − 2Ayi − 2Bxi yi + A2 + 2ABxi + B 2 xi 2
− 2A
X 1
X xi 2
X yi
X xi yi
X xi
2
2
−
2B
+
A
+
2AB
+
B
σi 2
σi 2
σi 2
σi 2
σi 2
Selanjutnya,
X 1
X xi
X yi
∂ 2
+
2A
+
2B
χ = −2
∂A
σi 2
σi 2
σi 2
X yi
X 1
X xi
=−
+A
+B
=0
σi 2
σi 2
σi 2
(6)
dan
X xi
X xi 2
X xi yi
∂ 2
+
2A
+
2B
χ = −2
∂B
σi 2
σi 2
σi 2
X xi yi
X xi
X xi 2
=−
+
A
+
B
=0
σi 2
σi 2
σi 2
3
(7)
Persamaan (6) dapat dituliskan menjadi
A
X xi
X yi
X 1
+
B
=
σi 2
σi 2
σi 2
(8)
dan persamaan (7) dapat dituliskan menjadi
A
X xi
X xi 2 X xi yi
+
B
=
σi 2
σi 2
σi 2
(9)
Persamaan (8) dan persamaan (9) adalah persamaan simultan dengan 2 nilai yang akan
dicari, yaitu A dan B. Dua persamaan tersebut ditulis dalam bentuk matriks:
P 1 P xi !
P yi
A
2
2
2
σ
σ
i
i
P xi P x i 2
= P xσiiyi
B
σi 2
σ2
σ2
i
(10)
i
Penyelesain persamaan (10) dengan metode determinan:
P
P xi
yi
2
P σ i P σi 2
xi y i
xi 2
σi 2
σi 2
A = P 1 P x
i
P σ i 2 P σi 2
xi
xi 2
σi 2
σi 2
P y i P x i 2 P xi P x i yi
2
2 −
2
2
= P σi1 P σxi 2 P σxi P σxi
i
i
i
−
σ2
σi 2
σi 2
σi 2
Pi 1 P
yi
P σxi 2 P xσiy2
i i
i
σi 2
σi 2
B = P 1 P x
i
P σ i 2 P σi 2
xi
xi 2
σi 2
σi 2
P 1 P xi yi P yi P xi
2
2 −
2
2
= P σi1 P σxi 2 P σxi P σxi
i
i
i
−
σi 2
σi 2
σi 2
σi 2
Dengan menuliskan wi = 1/σi 2 , maka persamaan (11) dan (12) dapat ditulis menjadi:
P
P
P
P
w i yi w i xi 2 − w i xi w i xi yi
A=
P P
P
w i w i xi 2 − ( w i xi ) 2
(11)
(12)
(13)
dan
B=
P
wi
P
P
P
w i xi yi − w i yi w i xi
P
P
w i w i xi 2 − ( w i xi ) 2
P
4
(14)
Jika deviasi standar pada yi semua sama, yaitu σi = σ, maka
X 1
1
1
1
1
1
= Nw
= 2 + 2 + 2 + ··· + 2 = N
wi =
2
σi
σ
σ
σ}
σ2
{z
|σ
N
X
X
w i xi = w
xi
X
X
w i yi = w
yi
X
X
w i xi 2 = w
xi 2
X
X
w i xi yi = w
xi yi
X
dan persamaan (11) dan (12) menjadi:
P
P
P P
w 2 xi 2 yi − w 2 x i xi yi
A=
P
P
N w 2 xi 2 − w 2 ( xi ) 2
P P 2 P P
yi xi − xi xi yi
=
P
P
N xi 2 − ( xi ) 2
P
P P
N w 2 xi yi − w 2 xi yi
B=
P
P
N w 2 xi 2 − w 2 ( xi ) 2
P
P P
N xi yi − xi yi
=
P
P
N xi 2 − ( xi ) 2
(15)
(16)
2.2 Ralat dalam A dan B
Ralat dalam A dan B berasal dari sumbangan ralat dalam yi yaitu σi (dianggap tidak sama untuk
seluruh y), dihitung dengan rumus perambatan ralat.
#
"
X ∂A 2
2
2
σi , dan
σA =
∂yi
"
#
X ∂B 2
2
2
σB =
σi
∂yi
(17)
(18)
Penyebut pada persamaan (11) dan (12) tidak bergantung kepada nilai yi sehingga tidak terpengaruh oleh derivasi ke-yi sehingga bisa dikeluarkan dari derivatif dan dituliskan sebagai:
∆=
X
wi
X
w i xi 2 −
5
X
w i xi
2
(19)
Selanjutnya,
∂A
∂yj
∂B
∂yj
=
=
1
∆
1
∆
P
P
(wj wi xi 2 − wj xj wi xi )
P
P
(wj xj wi − wj wi xi )
(20)
Kemudian dari persamaan (17) dan (18),
2
σA ≃
=
=
=
=
=
X
2
X
2
X
X
1
2 2
2
2
2
2
w i xi
w i xi + w j xj
w i xi
− 2wj xj
w i xi
wj
∆2 wj
j=1
2
X
2
X
X
X
X
1 X X
2
2
2
w i xi
w i xi +
w j xj
w i xi
w i xi
wj
−2
w j xj
∆2
2
X
X X
X
X
1 X
2
2
w i xi
w i xi +
w i xi − 2
w j xj
wj
w i xi
∆2
2
2 X
X
X X
1 X
2
2
w i xi
w i xi +
w i xi − 2
wj
w i xi
∆2
2
X
X X
1 X
2
2
w i xi
w i xi −
wj
w i xi
∆2
1 X
(21)
w i xi 2
∆
N
X
dan,
2
σB ≃
=
=
=
=
2
X
X 2
X X
1
2
2 2
2
w i xi
w i xi + w j
wi − 2wj xj
wi
w j xj
2w
∆
j
j=1
2
X 2
X X
X X
X
1 X
2
w i xi
w i xi +
wj
wi
w j xj
wi − 2
w j xj
∆2
2 X
2
X
1 X X X
2
w i xi +
w j xj − 2
w i xi
wi
wi
∆2
2
X
1 X X X
2
w j xj −
w i xi
wi
wi
∆2
1 X
(22)
wi
∆
N
X
6
2.3 Ralat dalam A dan B jika σi = σ
Jika dalam pengukuran y terdapat ralat (absolut) yang sama, maka A dan B diberikan oleh
persamaan 15 dan 16, dan ralatnya (buktikan!)
rP
x2
,
r ∆
N
σB = σy
,
∆
σA = σy
dengan
v
u
u
σy = t
(23)
(24)
N
1 X
(yi − A − Bxi )2
N − 2 i=1
(25)
3 Contoh Penerapan Regresi Linier
Pengukuran suhu nol-mutlak dengan termometer gas volume konstan.
Jika volume dari suatu gas ideal dibuat tetap, maka suhunya merupakan fungsi linier dari tekanannya. Bisa ditulis
T = A + BP
(26)
A adalah suhu pada saat tekanan mencapai nol, yang disebut dengan suhu nol-mutlak, dengan
nilai yang diterima secara teoritis
A = −273, 15o C
Konstanta B bergatung kepada sifat alami gas, yaitu massa dan volumenya1 . Dengan melakukan beberapa pengukuran akan diperoleh pasangan data T dan P yang dapat digunakan untuk
mengestimasi nilai-nilai A dan B. Data-data yang diperoleh disajikan pada kolom 2 dan 3 tabel
berikut.
1
The difference T − A is called the absolute temperature.
7
Pengukuran Tekanan Suhu
A + BPi
kePi
Ti
1
65
-20
-22,2
2
75
17
14,9
3
85
42
52,0
4
95
94
89,1
5
105
127
126,2
Perhitungan untuk mencari A dan B dengan persamaan (15) dan (16) telah dilakukan di
buku (1) halaman 191. Dalam tulisan ini, pencarian nilai parameter A dan B dilakukan dengan
pemrograman python. Listing program python untuk regresi linear adalah sebagai berikut.
#program r e g r e s i l i n i e r dengan bobot
import matplotlib . pyplot as plt
from math import sqrt
import numpy as np
def inisialisasi ():
namafile = raw_input ( ’ F i l e yang akan dibaca ? ’ )
sumbux = raw_input ( ’Nama sumbu X ? ’ )
sumbuy = raw_input ( ’Nama sumbu Y ? ’ )
judul = raw_input ( ’ Judul g r a f i k ? ’ )
r e t u r n namafile , sumbux , sumbuy , judul
def bacafiledata ( datafile ):
filedata = open (datafile , ’ r ’ )
datax = []; datay = []; datae = []; i = 0
f o r baris i n filedata :
i +=1
datanya = baris.split ()
x = f l o a t ( datanya [0])
datax. append (x)
y = f l o a t ( datanya [1])
datay. append (y)
e = f l o a t ( datanya [2])
datae. append (e)
p r i n t ( "x = %5.2 f y = %5.2 f e = %5.2 f " ) % (x, y, e)
filedata .close ()
jumlahdata = i
p r i n t ( " Jumlah d a t a = " ), jumlahdata
r e t u r n jumlahdata , datax , datay , datae
def gambar (x, y, e):
plt.grid(True)
8
plt.title(judul)
plt. xlabel ( sumbux )
plt. ylabel ( sumbuy )
plt. legend (loc= ’ upper l e f t ’ )
plt.plot(x, y, ’ ko ’ )
plt. errorbar (x, y, xerr=None , yerr=e, fmt = ’ ’ )
plt.show ()
def regresilinear (x, y, e):
sum1 =0.0; sum2 =0.0; sum3 =0.0; sum4 =0.0; sum5 =0.0
f o r i i n range (0, jumlahdata ):
sum1=sum1 +(x[i] ∗∗ 2/e[i] ∗∗ 2)
#wx^2
sum2=sum2 +(y[i]/e[i] ∗∗ 2)
#wy
sum3=sum3 +(x[i]/e[i] ∗∗ 2)
#wx
sum4=sum4 +(x[i] ∗ y[i])/e[i] ∗∗ 2
#wxy
sum5=sum5 +1/e[i] ∗∗ 2
#w
# h i t u n g determinan
det = (sum5 ∗ sum1)−sum3 ∗∗ 2
# parameter a dan b
a = (( sum1 ∗ sum2)−(sum3 ∗ sum4 ))/ det
b = (( sum5 ∗ sum4)−(sum3 ) ∗ ( sum2 ))/ det
sigmaa2 = sum1/det
sigmab2 = sum5/det
sigmaa = sqrt( sigmaa2 )
sigmab = sqrt( sigmab2 )
r e t u r n a, b, sigmaa , sigmab
# (w) ( wx^2) − ( wx)^2
# ( ( wy ) ( wx^2) − ( wx ) ( wxy ) ) / d e t
# ( (w) ( wxy ) − ( wx ) ^ 2 ) / d e t
# s q r t ( ( wx ^ 2 ) / d e t )
# s q r t (w/ d e t )
# plot grafik
def plotregresi (x, a, b):
f o r i i n range (0, l e n (x)):
y = a + b∗x
plt.plot(x,y, ’g ’ , label= ’ H a s i l f i t ’ )
def fitploterror (x,a,b):
f o r i i n range (0, l e n (x)):
y = a + b∗x
plt.plot(x,y, ’g ’ ,linestyle = ’−−’ )
def korelasi (x, y):
sum1 = 0; sum2 = 0; sum3 = 0; sum4 = 0; sum5 = 0
f o r i i n range (0, l e n (x)):
sum1 += x[i] ∗ y[i]
sum2 += x[i]
sum3 += y[i]
sum4 += x[i] ∗∗ 2
9
sum5 += y[i] ∗∗ 2
r1 = l e n (x) ∗ sum1 − sum2 ∗ sum3
r2 = sqrt (( l e n (x) ∗ sum4 − sum2 ∗∗ 2) ∗ ( l e n (x) ∗ sum5 − sum3 ∗∗ 2))
r = r1/r2
return r
namafile , sumbux , sumbuy , judul = inisialisasi ()
jumlahdata , datax , datay , datae = bacafiledata ( namafile )
r = korelasi (datax , datay)
p r i n t ( " K o e f i s i e n k o r e l a s i = %.2 f " ) % (r)
a, b, sigmaa , sigmab = regresilinear (datax , datay , datae)
p r i n t ( " a= %8.6 f , sigmaa= %8.6 f " ) % (a, sigmaa )
p r i n t ( "b= %8.6 f , sigmab= %8.6 f " ) % (b, sigmab )
xfit = np. arange (0, max(datax), 1)
plotregresi (xfit , a, b)
fitploterror (xfit ,a−sigmaa ,b+ sigmab )
fitploterror (xfit ,a+sigmaa ,b−sigmab )
gambar (datax , datay , datae)
Untuk menjalankan program regresi-linier python di atas, data-data dituliskan dalam file txt
3 kolom dengan dibatasi spasi antar kolom. Kolom pertama adalah nilai x, kolom ke-2 adalah
nilai y dan kolom ke-3 adalah nilai σi .
Sebagai contoh, data-data pada tabel di atas dituliskan dalam file txt dengan σi = 7, dan
disimpan dengan nama file : contoh.txt.
65
75
85
95
105
−20
17
42
94
127
7
7
7
7
7
Jalannya program adalah sebagai berikut:
C:\ Kuliah Metode Pengukuran Fisika > python regresi_linear_2 .py
File yang akan dibaca ? contoh .txt
Nama sumbu X ? P
10
Nama sumbu Y ? T
Judul grafik ? Menentukan suhu nol mutlak
x = 65.00 y = −20.00 e = 7.00
x = 75.00 y = 17.00 e = 7.00
x = 85.00 y = 42.00 e = 7.00
x = 95.00 y = 94.00 e = 7.00
x = 105.00 y = 127.00 e = 7.00
Jumlah data = 5
Koefisien korelasi = 1.00
a= − 263.350000
sigmaa = 19.074197
b= 3.710000
sigmab = 0.221359
Grafik hasil program:
Gambar 1: Hasil program regresi linier python untuk file: contoh.txt
Dari hasil program di atas dapat dituliskan:
A = (−263 ± 19)◦ C, dan
B = (3, 7 ± 0, 2)◦ C/mmHg
11
4 Metode Grafik
Pada dasarnya penentuan A dan B tidak menjadi masalah jika dihitung dengan menggunakan
metode regresi linier. Yang menjadi permasalahan adalah jika mahasiswa harus menggambarkan grafik dan menemukan A dan B secara manual, beserta dengan ketidakpastiannya. Masalah
tersebut muncul karena tidak ada kejelasan mengenai bagaimana menerapkan metode mencari
garis terbaik dengan bantuan dua garis maksimum dan minimum. Satu hal yang jelas adalah
bahwa garis terbaik harus melewati titik centroid2 , yaitu nilai rata-rata dari variabel x dan variabel y, titik (¯
x, y¯).
4.1 Garis bantu ditarik dari ujung-ujung ralat
Cara ini yang biasanya digunakan oleh mahasiswa. Cara yang praktis, namun mengandung
resiko bahwa garis terbaik tidak melewati titik centroid. Ingat, bahwa meskipun dinamakan
garis bantu, namun garis tersebut adalah juga garis "terbaik" yang masih mungkin. Sebagai
contoh ditunjukkan pada Gambar 2. Menentukan titik centroid:
P
65 + 75 + 85 + 95 + 105
xi
=
= 85
5
PN
yi
(−20) + 17 + 42 + 94 + 127
y¯ =
=
= 52
N
5
x¯ =
Titik merah adalah titik centroid, dua garis bantu digambarkan dengan menerapkan metode
tarik garis dari ujung-ujung batang ralat. Dapat dilihat bahwa garis terbaik, yang merupakan
rata-rata dari dua garis bantu tersebut tidak melewati titik centroid. Grafik pada Gambar 2 adalah plot dari data-data pada contoh yang dibahas di depan, sehingga bisa dibandingkan hasilnya
jika kita mencari persamaan garis lurus dengan metode grafik manual ini.
Kemiringan, atau gradien (slope) garis ditentukan secara manual dengan mencari dua titik
2
In mathematics and physics, the centroid or geometric center of a plane figure is the arithmetic mean ("average") position of all the points in the shape
12
Gambar 2: Dua garis bantu ditarik dari ujung-ujung batang ralat
pada garis yang memotong garis grid. Semakin jauh jarak antara dua titik tersebut, hasil gradien
semakin baik.
Lihat Gambar 3. Untuk garis-1 dari grafik diperoleh gradien:
B1 =
∆y
(128) − (−24)
152
=
=
=4
∆x
104 − 66
38
Dengan cara yang sama, gradien untuk garis-2 adalah (Lihat Gambar 4)
B2 =
(124) − (−16)
140
∆y
=
=
= 3, 33
∆x
106 − 64
42
Dengan demikian diperoleh gradien garis terbaiknya adalah:
¯ = B1 + B2 = 4, 00 + 3, 33 = 3, 665
B
2
2
13
Gambar 3: Cara manual menentukan gradien garis
dan ralatnya:
|4, 00 − 3, 33|
|B1 − B2 |
=
= 0, 335
2
2
¯ = |4, 00 − 3, 665| = 0, 335. Bisa dikatakan bahwa
Bisa juga dihitung dengan : σB¯ = B1 − B
σB¯ =
hasil penentuan gradien dengan cara grafik manual ini sama dengan hasil dari metode regresi
linear, hanya ralatnya yang lebih besar.
Selanjutnya adalah menentukan A dari grafik, yaitu titik potong garis dengan sumbu tegak l.
Ditunjukkan pada Gambar 5. Gambar di-zoom untuk menunjukkan perpotongan garis dengan
sumbu y. (Lihat Gambar (6)).
Titik potong garis-1: A1 = −285 dan titik potong garis-2: A2 = −230, sehingga titik
14
Gambar 4: Cara manual menentukan gradien garis
potong terbaiknya :
A1 + A2
(−285) + (−230)
A¯ =
=
= −257, 5
2
2
dan ralatnya:
σA¯ = A1 − A¯ = |−285 − (257, 5)| = 27, 5
Hasilnya dapat dituliskan:
A¯ ± σA = (−258 ± 30)◦ C
Walaupun hasil penentuan gradien boleh dikatakan sama, namun terlihat bahwa hasil penentuan
titik potong cukup berbeda, yang berarti garis terbaik dari hasil metode grafik tergeser. Jika
variabel yang dicari dari eksperimen ditentukan dari titik potong grafik (seperti pada contoh
di atas), maka pergeseran garis terbaik akan menyebabkan variabel yang diperoleh menjadi
15
Gambar 5: Mencari titik potong garis dengan sumbu y
tidak akurat. Hal ini sudah terlihat bahwa garis-garis bantu tidak melewati titik centroid yang
menyebabkan garis terbaik juga tidak melewati titik centroid, yang merupakan kekeliruan.
Pada contoh di atas, titik potong diperoleh dengan cara ekstrapolasi, yang memberikan efek
pada membesarnya ralat pada titik potong. Semakin jauh ekstrapolasi, kedua garis bantu akan semakin menyebar. Dengan membuat garis bantu yang melewati ujung-ujung batang ralat
(maksimum dan minium) maka pemisahan dua garis bantu juga akan besar, dan jika dilakukan
ekstrapolasi, ralatnya akan semakin membesar. Sebagai contoh, ralat pada titik potong dengan
menggunakan regresi linier sebesar
20 ∼
= 7, 7%
261
sedangkan dari hasil metode grafik
30 ∼
= 11, 7%
258
16
Gambar 6: Gambar titik-titik potong diperbesar
4.2 Garis bantu ditarik melewati titik centroid
Karena garis-garis bantu adalah juga garis yang mungkin bisa mewakili titik-titik data, maka
garis-garis tersebut juga harus melalui titik centroid. Seperti ditunjukkan pada Gambar 7.
Dari Gambar 8 diperoleh gradien garis-1:
190
140 − (−50)
=
= 3, 958
108 − 60
48
dan dari Gambar 9 diperoleh gradien garis-2:
180
130 − (−50)
=
= 3, 462
108 − 56
52
Nilai terbaik gradien:
7, 42
3, 958 + 3, 462
=
= 3, 71
2
2
dengan ralat
3, 958 − 3, 462
0, 496
=
= 0, 248
2
2
Dari gambar tersebut diperoleh nilai terbaik untuk A adalah
−245 + (−285)
= −265
2
dengan ralat σA = 20.
17
Gambar 7: Garis bantu melewati titik centroid
Hasil penentuan A dan B dengan ketiga metode dirangkum dalam tabel berikut:
Metode Regresi
A = (−263 ± 19)◦ C
B = (3, 7 ± 0, 2)◦ C/mmHg
Garis bantu
Garis bantu
dari ujung-ujung batang ralat
melewati titik centroid
A = (−258 ± 30)◦ C
A = (−265 ± 20)◦ C
B = (3, 7 ± 0, 3)◦ C/mmHg B = (3, 7 ± 0, 2)◦ C/mmHg
Dapat dilihat bahwa metode dengan garis bantu yang dibuat dari ujung-ujung batang ralat
tidak melewati titik centroid dan garis terbaik tergeser ke atas, menyebabkan nilai titik potong
terbaik menjadi lebih kecil, dan ralatnya sangar besar. Metode dengan garis bantu yang melewati titik centroid memberikan hasil yang lebih mendekati hasil dari metode rumus regresi
linier.
18
Gambar 8: Menentukan gradien garis-1
Gambar 9: Menentukan gradien garis-2
19
5 Penutup
Dari uraian dan contoh-contoh yang telah diberikan, maka sebaiknya cara menarik garis bantu
yang dilakukan dari ujung-ujung batang ralat sebaiknya dihindari. Selain cara itu bisa menyalahi aturan penggambaran garis terbaik jika garis yang ditarik tidak melewati titik centroid, hasil
perhitungannya juga menyimpang dari metode standar untuk menentukan parameter persamaan
linear.
Pustaka
1. Taylor, J. R., 1992, An Introduction to Error Analysis, University Science Book.California.
2. Bevington, P. R., 1999, Data Reduction and Error Analysis for the Physical Science, Mc
Graw-Hill Book Co.
20