PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA MENG GUNAKAN
PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA
MENGGUNAKAN METODE DERET TAYLOR
Makalah Fisika Komputasi
LOFRINA NATHANIA (32151157--)
NURFITRIANA H.A.
(3215116239)
Dosen Pembimbing : Handjoko Permana , S.pd,
M.Si
Pendidikan Fisika Non Regular 2011
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA
2013
Kata Pengantar
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan YME yang telah memberikan rahmat serta
karunia-Nya kepada kami sehingga kami berhasil menyelesaikan makalah ini yang berjudul
“Solusi Persamaan Deret Taylor”. Makalah ini berisikan tentang informasi seputar Persamaan
Deferensial Biasa (PDB) dan lebih dikhususkan lagi makalah ini membahas solusi Persamaan
Deret Taylor. Diharapkan makalah ini dapat memberikan informasi kepada kita semua tentang
Solusi Persamaan Deret Taylor. Kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna,
Oleh karena itu kritik dan saran dari semua pihak yang bersifat membangun selalu kami
harapkan demi kesempurnaan makalah ini. Akhir kata, kami sampaikan terima kasih kepada
semua pihak yang telah berperan serta dalam penyusunan makalah ini dari awal sampai akhir.
Semoga bermanfaat bagi pembaca.
Jakarta, 27 Mei 2013
Penyusun
BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG
Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak
diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari variabel bebas tunggal. Dalam bentuk paling
sederhana fungsi yang tidak diketahui ini adalah fungsi riil atau fungsi kompleks, namun secara
umum bisa juga berupa fungsi vektor maupun matriks. Lebih jauh lagi, persamaan diferensial
biasa digolongkan berdasarkan orde tertinggi dari turunan terhadap variabel terikat yang muncul
dalam persamaan tersebut.
Contoh sederhana adalah hukum gerak kedua Newton, yang menghasilkan persamaan
diferensial
a. dy/dx = x +5
b. d2y/dx2 + 3 dy/dx + 2 y = 0
c. x dy/dx + y = 3
d. d3y/dx3 + 2 (d2y/dx2)2 + dy/dx = cos x
e. (d2y/dx2)2 + (dy/dx)3+ 3 y = x2
Persamaan differensial linier umumnya dapat diselesaikan dengan menggunakan cara
analitik, tetapi pada bentuk yang kompleks persamaan differensial biasa ini menjadi sulit
diselesaikan. Metode numerik dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial
dengan menggunakan bantuan komputer sebagai alat hitung, ketika metode analitik sulit
digunakan. Pada beberapa bentuk persamaan differensial, khususnya pada differensial non-linier,
penyelesaian analitik sulit sekali dilakukan sehingga metode numerik dapat menjadi metode
penyelesaian yang disarankan. Sebagai contoh perhatikan bentuk persamaan differensial yang
sederhana berikut ini:
x(dy/dx)^2+dy/dx- y=1
Persamaan diffrensial di atas tampaknya sederhana, tetapi untuk menyelesaikan
persamaan diffrensial di atas bukanlah sesuatu yang mudah, bahkan dapat dikatakan dengan
menggunakan cara analitik, tidak dapat ditemukan penyelesaian. Sehingga pemakaian metodemetode pendekatan dengan metode numerik menjadi suatu alternative yang dapat digunakan.
Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial,
antara lain: metode Euler, metode pendekatan dengan deret Taylor, metode runge-kutta dan
metode-metode prediktor-korektor seperti metode Adam Moulton. Dan pada kelompok kami,
kami akan membahas dengan metode pendekatan dengan deret Taylor atau kami menyebutnya
dengan Solusi Persamaan Deret Taylor.
B. RUMUSAN MASALAH
Cara Menghitung Persamaan Diferensial Biasa dengan metode Deret Taylor
Mengubah Persamaan Deret Taylor dari perhitungan secara analitik ke perhitungan dengan
menggunakan bantuan komputer sebagai alat hitung.
C. TUJUAN
Mengetahui Sistem Persamaan Diferensial Biasa dengan menggunakan metode Solusi
Persamaan Deret Taylor
Mengetahui cara pengubahan perhitungan Solusi Persamaan Deret Taylor dari menggunakan
proses analitik ke perhitungan dengan menggunakan bantuan komputer sebagai alat hitung
BAB II
PEMBAHASAN
Deret Taylor, Fungsi Analitik
Misalkan f sebuah fungsi C ∞dari suatu variabel x padainterval bukaI ⊂ R1 dan misalkan x 0
sembarangtitik di I. Deret
f ( n) ( x 0 )
( 1.1 ) ∑
( x−x 0)n
n
!
n=0
∞
Disebut deret Taylor dari fungsi f di sekitar titik x 0.
f ( n ) menyatakan turunan ke-ndari f . Untuk sembarang fungsi f ∈ C∞ , Deret Taylor (1.1) mungkin
tidak konvergen atau jika ia konvergen, belum tentu konvergen terhadapf ( x). FungsiC ∞ khusus
yang memiliki deret Taylor yang konvergen terhadap f (x) untuk semua x di sekitar x 0, disebut
analitik pada x 0.
Definisi 1.1
∞
Misalkanf ∈ C ( I ) , dimana I adalah interval terbuka dari R1, dan misalkan x 0 sembarang titik
pada I . Jika deret Taylor (1.1) dari f di sekitar x 0 konvergen terhadap f (x) untuk setiap x pada
persekitaran x 0, maka f disebut analitik pada x 0. Jika f analitik di setiap titik pada I maka f
disebut fungsi analitik pada interval I .
Contoh
x
Deret Taylor darifungsif ( x ) =e di sekitar titik asal adalah
∞
∑
n=0
∞
f (n ) ( x 0 )
1 n
n
n! ( x−x 0 ) =∑
n
!x
n=0
Deret di atas konvergen terhadap e x untuk setiap x ∈ R1. Maka, fungsi e x analitik pada titik asal.
Selanjutnya, fungsi tersebut analitik di seluruh garis bilangan real R1sehingga
∞
1
e =∑ n! x n , x ∈ R1
n=0
x
Contoh lain
Fungsi sinxdan cosx analitik pada R1 dan
x3 x 5
sin x=x− 3 ! + 5 ! −… , x ∈ R1
x2 x4
cos x=1− 2 ! + 4 ! −… , x ∈ R1
Misalkan f sebuah fungsi C ∞ yang terdefinisi pada beberapa domain Ω ⊂ Rn dan misalkan x 0
sembarang titik pada Ω . Deret
D1α Dα2 … Dαn f ( x0 )
( x1 −x01 )α ( x 2−x 02)α …( x n−x 0n )α
α
!
α
!
…
α
!
1
2
n
, …, α )
1
( 1.2 )
2
n
∑
(α 1
1
2
n
n
Disebut deret Taylor dari f disekitarx 0.
D j=∂/∂ x j , dan α j bilangan bulat non-negatif, j=1, … ,n .
α1
α2
αn
D1 D 2 … Dn f =
∂α +α +…+α f
∂ x α1 ∂ x α2 … ∂ x αn
1
1
2
n
2
n
Deret (1.2) dapat dituliskan dalam bentuk yang lebih singkat dengan notasi
α =(α 1 , α 2 , … , α n)
x α =x α1 x α2 … x αn
1
2
n
D α =D 1α D α2 … D αn
1
2
n
α !=α 1 ! α 2 ! … α n !
|α|=α 1 + α 2 +… +α n
maka deret Taylor (1.2) dari f disekitarx 0 dapat dituliskan dalam bentuk
( 1.3 )
∑
|α|≧ 0
Dα f ( x 0 )
0 α
α ! (x−x )
Definisi 1.2
∞
Misalkanf ∈ C ( Ω ) dimana Ω adalah sebuah domain padaRn dan misalkan x 0 sembarang titik
pada Ω. Jika deret Taylor (1.3) dari f di sekitarx 0 konvergen terhadap f ( x) untuk semua x
dipersekitaran x 0, maka f disebut analitik pada x 0. Jika f analitik pada setiap titik di Ω maka f
suatu fungsi analitik di Ω.
Teorema Cauchy Kovalensky
Misalkan fungsi ϕ analitik pada persekitaran titik asal dari Rn dan misalkan fungsi F analitik
pada persekitaran titik ( 0,0, … , 0 , ϕ ( 0,, … ,0 ) , ϕ x ( 0,, … , 0 ) ,… , ϕ x ( 0,,… , 0 ) ) dari R2 n+ 2 Maka
1
n
masalah Cauchy (2.7)-(2.8) memiliki solusi u ( t , x 1 , … , x n ) yang terdefinisi dan analitik pada
persekitaran di titik asal diRn +1 dan solusinya unik dalam kelas fungsi analitik.
Misalkan diketahui
du
=F (t , u)
dt
( 2.2 ) u ( 0 ) =u0
( 2.1 )
adalah masalahnilaiawaluntukpersamaan diferensial biasa berordesatudenganvariabel yang
tidakdiketahuiu dan variabel bebas t .
Akan dicari solusi u ( t ) darimasalah (2.1)-(2.2) yang terdefinisi di beberapa interval padasumbu- t
yang memuattitikt=0 .
2
Asumsikan bahwa fungsi F analitik pada persekitaran titik ( t , u ) =( 0 , u ) ∈ R , sehingga F
memiliki deret Taylor yang konvergen terhadap F (t , u) untuk setiap titik (t ,u) pada persekitaran
titik ( 0, u0 ) . Maka teorema Cauchy-Kovalevsky menunjukkan masalah nilai awal (2.1)-(2.2)
memiliki solusi u(t ) yang terdefinisi dan analitik pada interval yang memuat titik t=0 .
Bagaimana mencari deret Taylor u(t ) di sekitar titik t=0 ?
Selanjutnya, misalkan diketahui
( 2.4 )
∂u
∂u
∂t =F t , x , u , ∂ x
(
)
( 2.5 ) u ( 0 , x )=ϕ ( x ) .
Adalah masalah nilai awal atau masalah Cauchy untuk persamaan diferensial parsial berorde satu
dengan variabel tidak diketahui u dan dua variabel bebas t dan x . Diberikan fungsi ϕ yang
terdefinisi pada beberapa interval C dari sumbu- x yang memuat titik asal. Akan dicari suatu
solusi u(t , x ) dari masalah Cauchy (2.4)-(2.5) yang terdefinisi untuk ( t , x ) di beberapa domain Ω
pada bidang-(t , x ) yang memuat kurva awal C .
Asumsikan bahwa fungsiϕ ( x) yang diberikan, analitik pada persekitaran titik asal di sumbu- x .
Maka,dari kondisi awal (2.5) dapat dihitung seluruh turunan
parsial dar iu terhadap x pada titik asal,
∂n u
( n)
n ( 0,0 ) =ϕ ( 0 ) , n=0,1,2, …
∂x
Asumsikan juga bahwa fungsi F analitik di persekitarantitik
(0,0 , ϕ ( 0 ) , ϕ ( 1) ( 0 ) ) di R4 . Maka teorema Cauchy-Kovalevsky
menyatakan bahwa masalah (2.4)-(2.5) memiliki solusiu ( t , x )
yang terdefinisi dan analitik pada persekitaran titik asal dari bidang – ( t , x ) .
Untuk mencari deret Taylor dari u ( t , x ) di sekitar titik asal, harus dihitung nilai dari
semua turunan parsial u pada titik asal.
Turunan dari ∂n u/∂ x n dapat dihitung dari kondisi awal (2.5). Dengan mensubstitusikan
∂u
pada (2.4) nilai t=0 , x=0 dan nilai u yang telah diperoleh sebelumnya. dan ∂ x pada (0,0),
∂u
diperoleh nilai turunan ∂ t pada titik asal.
∂u
0,0 =F ( 0,0 ,ϕ ( 0 ) , ϕ ( 1) ( 0 ) )
∂t ( )
untuk memperoleh nilai ∂2 u/∂ x ∂ t, turunkan (2.4) terhadap x sehingga diperoleh
∂2 u
∂ x ∂ t =F 2 (t , x , u ,u x ) + F 3 ( t , x , u ,u x ) u x + F 4 ( t , x , u ,u x ) u xx
kemudian substitusikan t=0, x=0 dan nilai u , ux . uxx pada (0,0) yang telah diperoleh sebelumnya.
Selanjutnya, untuk mencari ∂2 u/∂ t 2 , turunkan (2.4) terhadap t ,
∂2 u
=F 1 (t , x , u ,u x ) + F3 ( t , x , u , ux ) ut + F 4 ( t , x , u , ux ) u xt
∂ t2
dan substitusikant=x=0 dan nilai u , ux , ut dan u xt pada titik asal yang telah diperoleh
sebelumnya.
Dengan menurunkan (2.4) terhadap t dan x dan mensubstitusikan nilai u dan turunannya,
diperoleh semua nilai turunan parsial dari u pada titik asal.
Deret Taylor untuk u(t , x ) di sekitar titik asal adalah
Dαt Dαx u ( 0,0 ) α α
αt ! α x ! t x
t
(
∑
α ,α
t
x)
x
t
x
Teorema Cauchy-Kovalevsky menunjukkan bahwa deret ini konvergen untuk semua (t , x ) di
beberapa persekitaran U dari domain asli dan mendefinisikan solusi
Dαt Dαx u(0,0) α α
t x
αt ! α x !
t
( 2.6 ) u ( t , x ) =
∑
(α t , α x )
x
t
x
fungsi yang didefinisikan oleh (2.6) memenuhi p.d.p. (2.4) untuk setiap(t , x )∈U dan kondisi
awal (2.5) untuk setiap titik (0 , x) dari C yang termuat di U .
Misalkan diketahui
∂u
=F (t , x 1 , … , x n , u , u x1 , … ,u xn )
( 2.7 )
∂t
( 2.8 ) u ( 0, x1 , … , xn ) =ϕ( x1 , … , x n )
adalah masalah nilai awal (masalah Cauchy) yang melibatkan sebuah persamaan diferensial
parsial orde satu dalam satu variabel yang tidak diketahui u dan n+1 variabel bebas t , x 1 ,… , x n.
Fungsi F ( t , x 1 ,… , x n ,u , x 1 , … , x n ) adalah sebuah fungsi dari 2 n+2 variabel.
Teorema (Cauchy-Kovalevsky)
Misalkan fungsi ϕ analitik pada persekitaran titik asal dari Rn dan misalkan fungsi F
analitik pada persekitaran titik ( 0,0, … , 0 , ϕ ( 0,, … ,0 ) , ϕ x ( 0,, … , 0 ) ,… , ϕ x ( 0,,… , 0 ) )dariR2 n+ 2.
1
n
Maka masalah Cauchy (2.7)-(2.8) memiliki solusi u ( t , x 1 , … , x n ) yang terdefinisi dan
analitik pada persekitaran di titik asal di Rn +1dan solusinya unik dalam kelas fungsi analitik.
Teorema ini menyatakan 2 hal yaitu :
1. Terdapat solusi analitik di beberapa persekitaran titik asal
2. Solusi unik pada kelas fungsi analitik
Maksud dari keberadaan adalah terdapat sebuah fungsi u ( t , x 1 , … , x n ) yang terdefinisi dan
analitik di persekitaran U dari titik asal di Rn +1 sehingga pada setiap titik ( t , x 1 , … , x n ) dari U ,
memenuhi u ( t , x 1 , … , x n ) memenuhi (2.7) dan pada setiap titik ( 0, x1 , … , x n ) pada bagian S yang
termuat di U memenuhi (2.8) kondisi awal.
bukti keberadaan menunjukan bahwa koefisien deret taylor adalah
Dαt D α1 … Dαn u (0 , … , 0)
α t ! α1 ! … α n !
t
( 2.9 )
∑
(αt , α 1 ,… ,α n)
1
n
Contoh 2.1
Temukan semua suku yang berorde ≤ 3 dalam deret Taylor di sekitar titik asal dari solusi
masalah nilai awal
(2.10)
ut =u u x
(2.11)
u ( 0 , x ) =1+ x 2
2
Pada masalah iniϕ ( x ) =1+ x dan fungsi adalah fungsiϕ analitik pada persekitaran titik asal dari
' (x )
sumbu-x (pada kenyataannya analitik di seluruh sumbu-x). u x ( 0,0 ) =ϕ =0.
Selain itu, F ( t , x ,u , p ) =updan fungsi ini analitik di persekitaran dari (0,0,1,0) diR4 (pada
kenyataannya fungsi tersebut analitik di seluruh R4 ). Oleh karena itu, dengan menggunakan
teorema Cauchy-Kovalevsky, masalah Cauchy (2.10)-(2.11) memiliki solusi analitik di
persekitaran titik asal pada bidang(t , x ). Kita harus menghitung semua turunan dariuberorde ≤ 3
di titik asal.
Dari (2.11) kita memiliki
u ( 0 , x ) =1+ x 2 ,u x ( 0 , x ) =2 x , uxx ( 0 , x ) =2, u xxx ( 0 , x ) =0
Oleh karena itu,
u ( 0,0 ) =1, ux ( 0,0 ) =0, uxx ( 0,0 ) =2, uxxx ( 0,0 ) =0
dari (2.10) kita mempunyai
ut =uu x , utx =uu xx + u2 x ,u txx =3 ux uxx +uu xxx
dan dengan menggunakan nilai yang telah diperoleh sebelumnya kita diperoleh
ut ( 0,0 )=0,utx ( 0,0 )=2,utxx ( 0,0 ) =0
dari (2.10) didapat
utt =ut u x +u utx ,u ttx =ut u xx +2u x u tx +uutxx
dan dengan menggunakan nilai yang telah dperoleh sebelumnya diperoleh
utt ( 0,0 ) =2, uttx ( 0,0 ) =0.
akhirnya dari (2.10) didapat
uttt =u tt u x + 2u t utx +uuttx
oleh karena itu
uttt ( 0,0 ) =0.
Deret Taylor untuk u(t , x ) di sekitar titik asal adalah
Dαt Dαx u (0,0) α α
t x
αt !αx!
t
u ( t , x )=
∑
(α t ,α x )
x
t
x
¿ 1+t 2+2 tx+ x 2 +…
Contoh Soal:
Diketahui PDB
1
1
dy /dx= x− y
2
2
dengan y ( 0 ) =1. Tentukan y (0.50) dengan metode deret Taylor (h=0.25)
Penyelesaian:
x 0=0 → y 0=1
x 1=0.25 → y 1 =?
y (x 1)= y (x 0)+ y '( x 0 )h+ y } ( {x} rsub {0} )} over {2!} {h} ^ {2} + {{y} ^ {3} ( {x} rsub {0} )} over {3!} {h} ^ {3} +...+ {{y} ^ {n} ( {x} rsub {0} )} over {n!} {h} ^ {n
Misal kita hanya menghitung y (x 1) sampai orde ke-4 saja.
1
1
y ' ( x ) = x− y
2
2
y left (x right ) = {dy} over {dx} ( { 1} over {2} x- {1} over {2} )
¿ 1/2+f . ( −1/2 )
1
1
¿ 1/2− 2 x− 2 y . 1/2
(
)
1
1
¿ 1/2− 4 x− 4 y
(
)
y ' left (x right ) = {dy} over {dx} left ({1} / {2} - left ({1} over {4} x- {1} over {4} y right ) right
¿−1/ 4+ f . ( 1 /4 )
1
1
¿−1/4+ 2 x− 2 y .1/4
(
)
1
1
¿−1/4+ 8 x− 8 y
(
)
dy
1
1
y (4) ( x ) = dx −1/4+ 8 x− 8 y
(
(
¿ 1/8+ f . ( −1/8 )
1
1
¿ 1/8+ 2 x− 2 y .−1/8
(
)
1
1
¿ 1/8− 16 x− 16 y
(
Diperoleh:
y ( x 0 ) = y ( 0 ) =1
y ' ( x 0)= y ' ( 0) =1/2× 0−1/2×1=−1/ 2
y } left ({x} rsub {0} right ) = {3} / {4 ¿
y (3 ) ( x 0 )=−3 /8
y (4) ( x 0 ) =3/16
Sehingga
y ( x 1 ) =0.8974915
y ( x 2 )=0.8364037
Jadi,
y ( 0.50 ) =0.8364037
)
))
BAB III
ALGORITMA dan FLOW CHART
Algoritma:
1. Cetak Judul
2. Definisikan f(x,y) = ½ x – ½ y
def f(x,y):
o=0.5*x-0.5*y
return o
3. Definisikan turunan f(x,y)
def deriv(x,y):
h=0.000001
z=round(((f(x+h,y)-f(x,y))/h)+(f(x,y)*(((f(x,y+h)-f(x,y))/h))),4)
return z
4. Definisikan faktorial
def fakt(p):
faktor=1
for i in range (p):
i=i+1
faktor=faktor*i
return faktor
5. Inisiasi y=1
6. Inisiasi x=0
7. Input x yang ingin dicari
8. Input nilai h
9. while h
MENGGUNAKAN METODE DERET TAYLOR
Makalah Fisika Komputasi
LOFRINA NATHANIA (32151157--)
NURFITRIANA H.A.
(3215116239)
Dosen Pembimbing : Handjoko Permana , S.pd,
M.Si
Pendidikan Fisika Non Regular 2011
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA
2013
Kata Pengantar
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan YME yang telah memberikan rahmat serta
karunia-Nya kepada kami sehingga kami berhasil menyelesaikan makalah ini yang berjudul
“Solusi Persamaan Deret Taylor”. Makalah ini berisikan tentang informasi seputar Persamaan
Deferensial Biasa (PDB) dan lebih dikhususkan lagi makalah ini membahas solusi Persamaan
Deret Taylor. Diharapkan makalah ini dapat memberikan informasi kepada kita semua tentang
Solusi Persamaan Deret Taylor. Kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna,
Oleh karena itu kritik dan saran dari semua pihak yang bersifat membangun selalu kami
harapkan demi kesempurnaan makalah ini. Akhir kata, kami sampaikan terima kasih kepada
semua pihak yang telah berperan serta dalam penyusunan makalah ini dari awal sampai akhir.
Semoga bermanfaat bagi pembaca.
Jakarta, 27 Mei 2013
Penyusun
BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG
Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak
diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari variabel bebas tunggal. Dalam bentuk paling
sederhana fungsi yang tidak diketahui ini adalah fungsi riil atau fungsi kompleks, namun secara
umum bisa juga berupa fungsi vektor maupun matriks. Lebih jauh lagi, persamaan diferensial
biasa digolongkan berdasarkan orde tertinggi dari turunan terhadap variabel terikat yang muncul
dalam persamaan tersebut.
Contoh sederhana adalah hukum gerak kedua Newton, yang menghasilkan persamaan
diferensial
a. dy/dx = x +5
b. d2y/dx2 + 3 dy/dx + 2 y = 0
c. x dy/dx + y = 3
d. d3y/dx3 + 2 (d2y/dx2)2 + dy/dx = cos x
e. (d2y/dx2)2 + (dy/dx)3+ 3 y = x2
Persamaan differensial linier umumnya dapat diselesaikan dengan menggunakan cara
analitik, tetapi pada bentuk yang kompleks persamaan differensial biasa ini menjadi sulit
diselesaikan. Metode numerik dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial
dengan menggunakan bantuan komputer sebagai alat hitung, ketika metode analitik sulit
digunakan. Pada beberapa bentuk persamaan differensial, khususnya pada differensial non-linier,
penyelesaian analitik sulit sekali dilakukan sehingga metode numerik dapat menjadi metode
penyelesaian yang disarankan. Sebagai contoh perhatikan bentuk persamaan differensial yang
sederhana berikut ini:
x(dy/dx)^2+dy/dx- y=1
Persamaan diffrensial di atas tampaknya sederhana, tetapi untuk menyelesaikan
persamaan diffrensial di atas bukanlah sesuatu yang mudah, bahkan dapat dikatakan dengan
menggunakan cara analitik, tidak dapat ditemukan penyelesaian. Sehingga pemakaian metodemetode pendekatan dengan metode numerik menjadi suatu alternative yang dapat digunakan.
Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial,
antara lain: metode Euler, metode pendekatan dengan deret Taylor, metode runge-kutta dan
metode-metode prediktor-korektor seperti metode Adam Moulton. Dan pada kelompok kami,
kami akan membahas dengan metode pendekatan dengan deret Taylor atau kami menyebutnya
dengan Solusi Persamaan Deret Taylor.
B. RUMUSAN MASALAH
Cara Menghitung Persamaan Diferensial Biasa dengan metode Deret Taylor
Mengubah Persamaan Deret Taylor dari perhitungan secara analitik ke perhitungan dengan
menggunakan bantuan komputer sebagai alat hitung.
C. TUJUAN
Mengetahui Sistem Persamaan Diferensial Biasa dengan menggunakan metode Solusi
Persamaan Deret Taylor
Mengetahui cara pengubahan perhitungan Solusi Persamaan Deret Taylor dari menggunakan
proses analitik ke perhitungan dengan menggunakan bantuan komputer sebagai alat hitung
BAB II
PEMBAHASAN
Deret Taylor, Fungsi Analitik
Misalkan f sebuah fungsi C ∞dari suatu variabel x padainterval bukaI ⊂ R1 dan misalkan x 0
sembarangtitik di I. Deret
f ( n) ( x 0 )
( 1.1 ) ∑
( x−x 0)n
n
!
n=0
∞
Disebut deret Taylor dari fungsi f di sekitar titik x 0.
f ( n ) menyatakan turunan ke-ndari f . Untuk sembarang fungsi f ∈ C∞ , Deret Taylor (1.1) mungkin
tidak konvergen atau jika ia konvergen, belum tentu konvergen terhadapf ( x). FungsiC ∞ khusus
yang memiliki deret Taylor yang konvergen terhadap f (x) untuk semua x di sekitar x 0, disebut
analitik pada x 0.
Definisi 1.1
∞
Misalkanf ∈ C ( I ) , dimana I adalah interval terbuka dari R1, dan misalkan x 0 sembarang titik
pada I . Jika deret Taylor (1.1) dari f di sekitar x 0 konvergen terhadap f (x) untuk setiap x pada
persekitaran x 0, maka f disebut analitik pada x 0. Jika f analitik di setiap titik pada I maka f
disebut fungsi analitik pada interval I .
Contoh
x
Deret Taylor darifungsif ( x ) =e di sekitar titik asal adalah
∞
∑
n=0
∞
f (n ) ( x 0 )
1 n
n
n! ( x−x 0 ) =∑
n
!x
n=0
Deret di atas konvergen terhadap e x untuk setiap x ∈ R1. Maka, fungsi e x analitik pada titik asal.
Selanjutnya, fungsi tersebut analitik di seluruh garis bilangan real R1sehingga
∞
1
e =∑ n! x n , x ∈ R1
n=0
x
Contoh lain
Fungsi sinxdan cosx analitik pada R1 dan
x3 x 5
sin x=x− 3 ! + 5 ! −… , x ∈ R1
x2 x4
cos x=1− 2 ! + 4 ! −… , x ∈ R1
Misalkan f sebuah fungsi C ∞ yang terdefinisi pada beberapa domain Ω ⊂ Rn dan misalkan x 0
sembarang titik pada Ω . Deret
D1α Dα2 … Dαn f ( x0 )
( x1 −x01 )α ( x 2−x 02)α …( x n−x 0n )α
α
!
α
!
…
α
!
1
2
n
, …, α )
1
( 1.2 )
2
n
∑
(α 1
1
2
n
n
Disebut deret Taylor dari f disekitarx 0.
D j=∂/∂ x j , dan α j bilangan bulat non-negatif, j=1, … ,n .
α1
α2
αn
D1 D 2 … Dn f =
∂α +α +…+α f
∂ x α1 ∂ x α2 … ∂ x αn
1
1
2
n
2
n
Deret (1.2) dapat dituliskan dalam bentuk yang lebih singkat dengan notasi
α =(α 1 , α 2 , … , α n)
x α =x α1 x α2 … x αn
1
2
n
D α =D 1α D α2 … D αn
1
2
n
α !=α 1 ! α 2 ! … α n !
|α|=α 1 + α 2 +… +α n
maka deret Taylor (1.2) dari f disekitarx 0 dapat dituliskan dalam bentuk
( 1.3 )
∑
|α|≧ 0
Dα f ( x 0 )
0 α
α ! (x−x )
Definisi 1.2
∞
Misalkanf ∈ C ( Ω ) dimana Ω adalah sebuah domain padaRn dan misalkan x 0 sembarang titik
pada Ω. Jika deret Taylor (1.3) dari f di sekitarx 0 konvergen terhadap f ( x) untuk semua x
dipersekitaran x 0, maka f disebut analitik pada x 0. Jika f analitik pada setiap titik di Ω maka f
suatu fungsi analitik di Ω.
Teorema Cauchy Kovalensky
Misalkan fungsi ϕ analitik pada persekitaran titik asal dari Rn dan misalkan fungsi F analitik
pada persekitaran titik ( 0,0, … , 0 , ϕ ( 0,, … ,0 ) , ϕ x ( 0,, … , 0 ) ,… , ϕ x ( 0,,… , 0 ) ) dari R2 n+ 2 Maka
1
n
masalah Cauchy (2.7)-(2.8) memiliki solusi u ( t , x 1 , … , x n ) yang terdefinisi dan analitik pada
persekitaran di titik asal diRn +1 dan solusinya unik dalam kelas fungsi analitik.
Misalkan diketahui
du
=F (t , u)
dt
( 2.2 ) u ( 0 ) =u0
( 2.1 )
adalah masalahnilaiawaluntukpersamaan diferensial biasa berordesatudenganvariabel yang
tidakdiketahuiu dan variabel bebas t .
Akan dicari solusi u ( t ) darimasalah (2.1)-(2.2) yang terdefinisi di beberapa interval padasumbu- t
yang memuattitikt=0 .
2
Asumsikan bahwa fungsi F analitik pada persekitaran titik ( t , u ) =( 0 , u ) ∈ R , sehingga F
memiliki deret Taylor yang konvergen terhadap F (t , u) untuk setiap titik (t ,u) pada persekitaran
titik ( 0, u0 ) . Maka teorema Cauchy-Kovalevsky menunjukkan masalah nilai awal (2.1)-(2.2)
memiliki solusi u(t ) yang terdefinisi dan analitik pada interval yang memuat titik t=0 .
Bagaimana mencari deret Taylor u(t ) di sekitar titik t=0 ?
Selanjutnya, misalkan diketahui
( 2.4 )
∂u
∂u
∂t =F t , x , u , ∂ x
(
)
( 2.5 ) u ( 0 , x )=ϕ ( x ) .
Adalah masalah nilai awal atau masalah Cauchy untuk persamaan diferensial parsial berorde satu
dengan variabel tidak diketahui u dan dua variabel bebas t dan x . Diberikan fungsi ϕ yang
terdefinisi pada beberapa interval C dari sumbu- x yang memuat titik asal. Akan dicari suatu
solusi u(t , x ) dari masalah Cauchy (2.4)-(2.5) yang terdefinisi untuk ( t , x ) di beberapa domain Ω
pada bidang-(t , x ) yang memuat kurva awal C .
Asumsikan bahwa fungsiϕ ( x) yang diberikan, analitik pada persekitaran titik asal di sumbu- x .
Maka,dari kondisi awal (2.5) dapat dihitung seluruh turunan
parsial dar iu terhadap x pada titik asal,
∂n u
( n)
n ( 0,0 ) =ϕ ( 0 ) , n=0,1,2, …
∂x
Asumsikan juga bahwa fungsi F analitik di persekitarantitik
(0,0 , ϕ ( 0 ) , ϕ ( 1) ( 0 ) ) di R4 . Maka teorema Cauchy-Kovalevsky
menyatakan bahwa masalah (2.4)-(2.5) memiliki solusiu ( t , x )
yang terdefinisi dan analitik pada persekitaran titik asal dari bidang – ( t , x ) .
Untuk mencari deret Taylor dari u ( t , x ) di sekitar titik asal, harus dihitung nilai dari
semua turunan parsial u pada titik asal.
Turunan dari ∂n u/∂ x n dapat dihitung dari kondisi awal (2.5). Dengan mensubstitusikan
∂u
pada (2.4) nilai t=0 , x=0 dan nilai u yang telah diperoleh sebelumnya. dan ∂ x pada (0,0),
∂u
diperoleh nilai turunan ∂ t pada titik asal.
∂u
0,0 =F ( 0,0 ,ϕ ( 0 ) , ϕ ( 1) ( 0 ) )
∂t ( )
untuk memperoleh nilai ∂2 u/∂ x ∂ t, turunkan (2.4) terhadap x sehingga diperoleh
∂2 u
∂ x ∂ t =F 2 (t , x , u ,u x ) + F 3 ( t , x , u ,u x ) u x + F 4 ( t , x , u ,u x ) u xx
kemudian substitusikan t=0, x=0 dan nilai u , ux . uxx pada (0,0) yang telah diperoleh sebelumnya.
Selanjutnya, untuk mencari ∂2 u/∂ t 2 , turunkan (2.4) terhadap t ,
∂2 u
=F 1 (t , x , u ,u x ) + F3 ( t , x , u , ux ) ut + F 4 ( t , x , u , ux ) u xt
∂ t2
dan substitusikant=x=0 dan nilai u , ux , ut dan u xt pada titik asal yang telah diperoleh
sebelumnya.
Dengan menurunkan (2.4) terhadap t dan x dan mensubstitusikan nilai u dan turunannya,
diperoleh semua nilai turunan parsial dari u pada titik asal.
Deret Taylor untuk u(t , x ) di sekitar titik asal adalah
Dαt Dαx u ( 0,0 ) α α
αt ! α x ! t x
t
(
∑
α ,α
t
x)
x
t
x
Teorema Cauchy-Kovalevsky menunjukkan bahwa deret ini konvergen untuk semua (t , x ) di
beberapa persekitaran U dari domain asli dan mendefinisikan solusi
Dαt Dαx u(0,0) α α
t x
αt ! α x !
t
( 2.6 ) u ( t , x ) =
∑
(α t , α x )
x
t
x
fungsi yang didefinisikan oleh (2.6) memenuhi p.d.p. (2.4) untuk setiap(t , x )∈U dan kondisi
awal (2.5) untuk setiap titik (0 , x) dari C yang termuat di U .
Misalkan diketahui
∂u
=F (t , x 1 , … , x n , u , u x1 , … ,u xn )
( 2.7 )
∂t
( 2.8 ) u ( 0, x1 , … , xn ) =ϕ( x1 , … , x n )
adalah masalah nilai awal (masalah Cauchy) yang melibatkan sebuah persamaan diferensial
parsial orde satu dalam satu variabel yang tidak diketahui u dan n+1 variabel bebas t , x 1 ,… , x n.
Fungsi F ( t , x 1 ,… , x n ,u , x 1 , … , x n ) adalah sebuah fungsi dari 2 n+2 variabel.
Teorema (Cauchy-Kovalevsky)
Misalkan fungsi ϕ analitik pada persekitaran titik asal dari Rn dan misalkan fungsi F
analitik pada persekitaran titik ( 0,0, … , 0 , ϕ ( 0,, … ,0 ) , ϕ x ( 0,, … , 0 ) ,… , ϕ x ( 0,,… , 0 ) )dariR2 n+ 2.
1
n
Maka masalah Cauchy (2.7)-(2.8) memiliki solusi u ( t , x 1 , … , x n ) yang terdefinisi dan
analitik pada persekitaran di titik asal di Rn +1dan solusinya unik dalam kelas fungsi analitik.
Teorema ini menyatakan 2 hal yaitu :
1. Terdapat solusi analitik di beberapa persekitaran titik asal
2. Solusi unik pada kelas fungsi analitik
Maksud dari keberadaan adalah terdapat sebuah fungsi u ( t , x 1 , … , x n ) yang terdefinisi dan
analitik di persekitaran U dari titik asal di Rn +1 sehingga pada setiap titik ( t , x 1 , … , x n ) dari U ,
memenuhi u ( t , x 1 , … , x n ) memenuhi (2.7) dan pada setiap titik ( 0, x1 , … , x n ) pada bagian S yang
termuat di U memenuhi (2.8) kondisi awal.
bukti keberadaan menunjukan bahwa koefisien deret taylor adalah
Dαt D α1 … Dαn u (0 , … , 0)
α t ! α1 ! … α n !
t
( 2.9 )
∑
(αt , α 1 ,… ,α n)
1
n
Contoh 2.1
Temukan semua suku yang berorde ≤ 3 dalam deret Taylor di sekitar titik asal dari solusi
masalah nilai awal
(2.10)
ut =u u x
(2.11)
u ( 0 , x ) =1+ x 2
2
Pada masalah iniϕ ( x ) =1+ x dan fungsi adalah fungsiϕ analitik pada persekitaran titik asal dari
' (x )
sumbu-x (pada kenyataannya analitik di seluruh sumbu-x). u x ( 0,0 ) =ϕ =0.
Selain itu, F ( t , x ,u , p ) =updan fungsi ini analitik di persekitaran dari (0,0,1,0) diR4 (pada
kenyataannya fungsi tersebut analitik di seluruh R4 ). Oleh karena itu, dengan menggunakan
teorema Cauchy-Kovalevsky, masalah Cauchy (2.10)-(2.11) memiliki solusi analitik di
persekitaran titik asal pada bidang(t , x ). Kita harus menghitung semua turunan dariuberorde ≤ 3
di titik asal.
Dari (2.11) kita memiliki
u ( 0 , x ) =1+ x 2 ,u x ( 0 , x ) =2 x , uxx ( 0 , x ) =2, u xxx ( 0 , x ) =0
Oleh karena itu,
u ( 0,0 ) =1, ux ( 0,0 ) =0, uxx ( 0,0 ) =2, uxxx ( 0,0 ) =0
dari (2.10) kita mempunyai
ut =uu x , utx =uu xx + u2 x ,u txx =3 ux uxx +uu xxx
dan dengan menggunakan nilai yang telah diperoleh sebelumnya kita diperoleh
ut ( 0,0 )=0,utx ( 0,0 )=2,utxx ( 0,0 ) =0
dari (2.10) didapat
utt =ut u x +u utx ,u ttx =ut u xx +2u x u tx +uutxx
dan dengan menggunakan nilai yang telah dperoleh sebelumnya diperoleh
utt ( 0,0 ) =2, uttx ( 0,0 ) =0.
akhirnya dari (2.10) didapat
uttt =u tt u x + 2u t utx +uuttx
oleh karena itu
uttt ( 0,0 ) =0.
Deret Taylor untuk u(t , x ) di sekitar titik asal adalah
Dαt Dαx u (0,0) α α
t x
αt !αx!
t
u ( t , x )=
∑
(α t ,α x )
x
t
x
¿ 1+t 2+2 tx+ x 2 +…
Contoh Soal:
Diketahui PDB
1
1
dy /dx= x− y
2
2
dengan y ( 0 ) =1. Tentukan y (0.50) dengan metode deret Taylor (h=0.25)
Penyelesaian:
x 0=0 → y 0=1
x 1=0.25 → y 1 =?
y (x 1)= y (x 0)+ y '( x 0 )h+ y } ( {x} rsub {0} )} over {2!} {h} ^ {2} + {{y} ^ {3} ( {x} rsub {0} )} over {3!} {h} ^ {3} +...+ {{y} ^ {n} ( {x} rsub {0} )} over {n!} {h} ^ {n
Misal kita hanya menghitung y (x 1) sampai orde ke-4 saja.
1
1
y ' ( x ) = x− y
2
2
y left (x right ) = {dy} over {dx} ( { 1} over {2} x- {1} over {2} )
¿ 1/2+f . ( −1/2 )
1
1
¿ 1/2− 2 x− 2 y . 1/2
(
)
1
1
¿ 1/2− 4 x− 4 y
(
)
y ' left (x right ) = {dy} over {dx} left ({1} / {2} - left ({1} over {4} x- {1} over {4} y right ) right
¿−1/ 4+ f . ( 1 /4 )
1
1
¿−1/4+ 2 x− 2 y .1/4
(
)
1
1
¿−1/4+ 8 x− 8 y
(
)
dy
1
1
y (4) ( x ) = dx −1/4+ 8 x− 8 y
(
(
¿ 1/8+ f . ( −1/8 )
1
1
¿ 1/8+ 2 x− 2 y .−1/8
(
)
1
1
¿ 1/8− 16 x− 16 y
(
Diperoleh:
y ( x 0 ) = y ( 0 ) =1
y ' ( x 0)= y ' ( 0) =1/2× 0−1/2×1=−1/ 2
y } left ({x} rsub {0} right ) = {3} / {4 ¿
y (3 ) ( x 0 )=−3 /8
y (4) ( x 0 ) =3/16
Sehingga
y ( x 1 ) =0.8974915
y ( x 2 )=0.8364037
Jadi,
y ( 0.50 ) =0.8364037
)
))
BAB III
ALGORITMA dan FLOW CHART
Algoritma:
1. Cetak Judul
2. Definisikan f(x,y) = ½ x – ½ y
def f(x,y):
o=0.5*x-0.5*y
return o
3. Definisikan turunan f(x,y)
def deriv(x,y):
h=0.000001
z=round(((f(x+h,y)-f(x,y))/h)+(f(x,y)*(((f(x,y+h)-f(x,y))/h))),4)
return z
4. Definisikan faktorial
def fakt(p):
faktor=1
for i in range (p):
i=i+1
faktor=faktor*i
return faktor
5. Inisiasi y=1
6. Inisiasi x=0
7. Input x yang ingin dicari
8. Input nilai h
9. while h