Matriks dan transformasi linier kelas

Matriks dan Transformasi
Linier
Dra. Dwi Achadiani, M.Kom

Vektor
• Definisi:
Vektor adalah besaran yang mempunyai arah
dan besar, contoh: kecepatan, gaya, percepatan.
Titik awal

●

●

besar

• Lambang :
a : vektor a

Titik ujung

arah

Operasi vektor dalam bidang
 Operasi penjumlahan dua vektor
• Definisi:
Jika a dan b dua vektor dengan titik awal yang sama,
maka jumlah a dan b ( a + b ) adalah vektor yang
merupakan diagonal jajaran genjang .
a

a+b

b

Sifat penjumlahan vektor
1.aR2,bR2, (a b)R2
2.(a b) c a (b c).(Hukum assosiatif )
3.a 0 a
4. a  a b 0,maka b adalah invers dari a
5.a b b a.(hukum komutatif)

 Operasi perkalian vektor dengan bil riel
Sifat perkalian vektor dengan bil riel

1αR,a R 2, αa R 2
2. α(βa)  αβ a
3.1.a a
4. α(a  b) αa βb
5. (α β)a αa βb
6. 0a 0;α0 0
7. ( 1)a  a
8. αa 0, maka α 0
9. a  ( 1)b a  b


Kombinasi Linier

Definisi:
Jika a ,a ,a ,........ a n adalah vektor-vektor
1 2 3

di R²(atau di R3 ), maka: α a α a .............αn a n
11 2 2
dinamakan kombinasi linier dari a ,a ,a ,........, a n
1 2 3


Panjang Vektor (Norm)

Definisi:
Panjang vektor di R n didefinisikan :
x  x 2  x 2 ......... xn2
1
2

 Sudut antara dua vektor
Sudut θ antara dua vektor x dan y di R², jika
memenuhi persamaan berikut:
x y
, dengan
cosθ 

x y

n
x  y  x y
i1 i i

 Perkalian Silang
Definisi:
Jika a dan b 2 vektor di R3 , maka:

axb absinθ
axb  a i  a j  a k  x b i  b j  b k 
 1 2
3   1 2
3 
maka :
axb  a b  a b i   a b  a b  j   a b  a b k
 2 3 3 2   3 1 1 3   1 2 2 1
i panjangnya 1 unit dan searah sumbu x

j

panjangnya 1 unit dan searah sumbu y

k panjangnya 1 unit dan searah sumbu z
z

j

k
i

x

y

Maka vektor dapat ditulis menjadi a a i  a j  a k
x

y

z

• Jarak dua titik yang berada pada dua ujung
z
vektor
d

B( b , b , b )
1

2

A (a , a , a )
1

2

3

3

x
y

Maka jarak antara titik A ke titik B adalah d, dengan:
2

2

d   b  a    b  a    b  a 
 1 1  2 2   3 3 

2

 Bergantung Linier dan Bebas Linier
Vektor- vektor :

, apabila

a ,a ,a ,..................,an
3 semua berharga nol, maka
dengan 1 2tidak

n
α
α
a

0

i linier, sedangkan apabila
vektori disebut
bergantung
i
i1
semua
linier.

berharga nol maka vektor disebut bebas

α
i

 Vektor pembentuk ruang vektor
Definisi:
suatu himpunan vektor-vektor {u , u ,..., u }
disebut sistem pembentuk ruang vektor V, ditulis
vV
L{u , u bila
,..., usetiap
}
V=
dapat ditulis sbg kombinasi linier dari {u , u ,..., u }
1

1

2

2

m

m

1

2

m

• Dimensi dan Basis
 Dimensi
Definisi:
suatu vektor V dikatakan berdimensi n bila dapat
diketemukan suatu himpunan n vektor-vektor
V yang bebas linier
Atau : maksimum banyaknya vektor-vektor V

yang bebas linier .

 Basis
Definisi:
Setiap sistem pembentuk yang bebas linier
disebut basis ruang vektor tersebut.

MATRIKS
Definisi:
Matriks adalah sekumpulan bilangan yang
disusun dalam sebuah empat persegi panjang,
secara teratur, di dalam baris-baris dan kolomkolom.
a

a ...... a


 11

12
1n


a
......
a
a

 21

22
2n


.......... .......... ....... 

a ...... a mn 
 a
 m1 m2

Matriks di atas disebut matriks ukuran m x n

 Operasi Matriks
1. Operasi Kesamaan
Dua matriks A dan B disebut sama, jika:
a) A dan B sejenis
b) Setiap unsur yang seletak sama.






1 2

1 2
1
2
, B 

,C 


A










3  1
 3  1
 3 1







A = B, A ≠ C, B ≠ C

2. Penjumlahan dua matriks
Definisi:
Jumlah dua matriks A dan B yang sejenis adalah
sebuah matriks C yang sejenis pula dengan
unsur-unsur cij , dimana terdapat hubungan:
c a  b . A a ,B  b ,C c
ij
ij
ij







ij















ij















ij














  2 4
  2 5
0
1
, B 

,C 


A




 1 5

2 4
1 9










0
A  B 
2
0
A  C 
2

1    2


4   1
1    2


4  1

4   - 2 5 


5   1 9 
5   - 2 6 


9   3 13

Sifat-sifat penjumlahan:
Komutatif : A + B = B + A
Assosiatif : A + (B + C) = (A + B) + C
3. Perkalian dengan skalar (  )
Perkalian sebuah matriks dengan skalar ()
maka setiap unsur matriks tersebut terkalikan
dengan skalar (  ).







A a

ij








, maka A =



 a 

ij 


.

Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar
1. (A + B) = A + B
2. ( + β ) A =  A + β A
3.  (β A) =β A

4. Perkalian dua matriks
Definisi:
Dua matriks A (m x n), dan B (p x q) didefinisikan
hasil kalinya, jika n = p , maka hasilkali adalah
matriks C (m x q) dengan unsur-unsur:

c a b  a b  a b  .......  a b
ij
i1 1 j
i2 2 j
i3 3 j
in nj
n
c  a b
ij k1 ik kj

Catatan:
• Perkalian 2 matriks AB dapat didefinisikan, jika
banyaknya kolom matriks A = banyaknya baris
matriks B.
• Hasil kali dua matriks AB adalah suatu matriks
dengan banyaknya baris = banyaknya baris matriks
A
dan banyaknya kolom = banyaknya kolom matriks B.
• Pada umumnya AB ≠ BA
Contoh:
 2
 
A 1 2 3, B  3 , C A x B 20
 
 4
 
1x3

3x1

1x1

2

 3 
, B  0

 10 
4


3
2
A 
0
5
5
2
 2  3 
 0
C A x B 

5

10


4
2x2

5 
1

9 
3 5 
0 1  tdk terdefinis i

5 9 

3x3

 Macam-macam matriks
1. Matriks bujursangkar
Definisi: matriks bujursangkar adalah matriks
dimana banyaknya baris = banyaknya kolom
2
A 
5

2

 3 
, B  0
 10 
4


3
0
5

5

1
9 

2. Matrik satuan/ matriks identitas
• Matriks bujur sangkar
• Setiap unsurnya nol, kecuali didiagonal utama = 1

Contoh :
1
I 
2
0

1

0
, I  0
1 3
0


0
1
0

0

0
1


A.I = I.A
I.I = I
3. Matriks segitiga
• Matriks bujursangkar
• Unsur di atas/di bawah diagonal utama adalah nol

Contoh :
1 2 3 


1 0 
A  0 4 7 , B 

 7 8
0 0 9



4. Matriks Tranpose
• Tidak perlu bujursangkar
• Setiap baris ditukar tempat dengan kolom

Contoh :

1 
  ~
A  2 , A 1
3
 
4

B  5
0


2

3

2
 ~
4
7 , B 
2

1

5
7

0

1

Sifat-sifat matriks transfose

1.(A  B)  A  B
2.(A )  A
T

T

T

T

3.λ(A )  λA
4.(AB) B A
T

T

T

T

T

T

Contoh

1 
 
1 2
, B  2 
0 1
0
 

2
A 
3

 4
AB    (AB)  4
3
3
2


A  1 0 , B 1 2
2 1


T

T

B A
T

T

T

 1

2

 (AB) B A
T

T

2

0  1
2

T

3

0

3

0   4
1


3

5. Matriks simetris
~
Matriks A disebut simetris apabila A A
• Matriks Bujur sangkar
Contoh

1

2

2
,
3

1

2
0


2
3
7

0

7
8 

6. Matriks skew simetris
~
Matriks A disebut matriks skew simetri jika A  A

• Bujur sangkar
Contoh

0

2

 0
 2 
,   2
0 
 0

2
0
7

0

 7
0 

~
Matriks Skew simetris A  A , maka a

ij

Untuk I = j maka a

 a
ii
ii

 a

ji

2a 0
ii

Jadi diagonal utama matriks skew simetris = 0

7. Matriks Diagonal
• Matriks bujursangkar
• Semua unsur nol, kecuali didiagonal utama

1

0
0


0
3
0

0 

0
5


9. Matriks Nol
• Tidak perlu matriks bujur sangkar
• Semua unsurnya nol

 0

 0
A.0

0
0

0

0

=0

A+0=A
A.B = 0, apakah A = 0 ?atau B = 0? atau keduaduanya nol

2
A 
0

4
0

2
AxB 
0

0

- 3
,B  0
0
0


2

2
4 

0
- 3 
 0
0 
0

2
 0
2  
0

4

4
0

0

0

Dalil:
Sembarang matriks bujur sangkar dapat ditulis
sebagai jumlahan dua matriks yang satu simetris
yang lain skew simetris

Bukti:

~ ~
A A A A
A   
2 2 2 2
~
~
A A
A A
P   ,Q  
2 2
2 2
~
A A 1
~ ~ 1 ~ ~ 1 ~
P     A  A , P  A  A   A  A 
2 2 2
2
2
~
P P, P simetris
1
~ ~ 1 ~ ~ 1 ~
Q   A  A , Q  A  A   A  A 
2
2
2
~
Q  Q  Q skew simetris









1

A  0
1


2
3
3


P

A
A

2
2

1

 1
1 / 2

1 / 2

Q  0
1 / 2

 0

  1
1 / 2


0
1 0 1 



1   A  2 3 3 
0 1 0 
0



0
1 / 2 1
 1 / 2 0

 
 0
3 / 2 1 / 2   1
3/ 2
1 / 2 3 / 2 0   0
1/ 2

 
1
1 / 2

3
2 
Matriks Simetris
2
0 



1

 1 / 2
 
1 / 2   1
0
0 
 
 1 / 2

 1


0


0

3/ 2
3/ 2
1
0
1

0
3/ 2
1/ 2

1/ 2 

3 / 2

0


1/ 2 

3 / 2

0


Matriks Skew Simetris

Cek

1

P  Q 1
1 / 2

1

 0
1


1
3
2
2
0
3

1 / 2  0
 
2   1
0  1 / 2
0

1  A
0 

1
0
1

 1 / 2

1 
0 

Transformasi (operasi) Elementer pada Baris
dan Kolom Matriks
Transformasi Elamenter pada matriks adalah:
 Penukaran tempat baris ke i dan ke j (baris ke i dijadikan
baris ke j dan baris ke j dijadikan baris ke i), ditulis Hij (A)
 Penukaran tempat kolom ke i dan kolom ke j (kolom ke i
dijadikan kolom ke j atau sebaliknya), ditulis K ij (A)
 Memperkalikan baris ke i dengan skalar  ≠ 0, ditulis
( )
H i (A)
( )
 Memperkalikan kolom ke i dengan ≠ 0, ditulis K i (A)
 Menambah baris ke i dengan  kali baris ke j, ditulis
( )
H ij (A)

 Menambah

kolom ke i dengan  kali kolom ke j,ditulis

( )
K ij (A)
Kadang untuk operasi (1) dan (3) dapat dilakukan dalam
satu langkah : Menambah  1 kali baris ke i dengan  2

( ) ( )

kali baris ke j, ditulis H i

1

j

2

(A)

Demikian pula untuk untuk operasi (2) dan (4)
Bila menggunakan operasi baris maka disebut operasi
baris elementer (OBE)

Contoh:

3 1 2 1 


A  4 1 0 2  , carilah matrik B yang dihasilkan
1 3 0 1 


(-1)
(2)
,H
,H ,
31
2
12

sederetan transforma si elementer H
K

(1)
(2)
,K
. Carilah B tersebut.
41
3

 3 1 2 1  H (  1) 3

 31

 4 1 0 2  ( 2 )  8
 1 3 0 1  H2
- 2



K (1) 8
41 
  3
K (2) 
3 - 2

2
1

0 12 

4 4
2 - 4 - 2 

1
2

2 1 H  8
 12
0 4   3
2 - 2 0   - 2

2
1

0 4

2 1
2 - 2 0 

Invers Suatu Transformasi Linier
Jika suatu transformasi elementer adalah:
• A = H -1(B) = H ij (B)
ij
• A = K ij -1(B) = K ij (B)

()-1

1/
• A= H
(B) = H i (B)
i
() -1
1/
• A= K i
(B) = K i
(B)

( )-1

• A = H ij

( )

(B) = H ij

(B)

( )-1

A = K ij

( )

(B) = K ij

(B)

Contoh
2 2 1 2


B  6 0 4 2 , diperoleh dari A dengan sederetan
 1 2 3 1


transforma si elementer berturut - turut : H ,H ,K ,K .Carilah A.
(1)

12

31

(2)

13

2

 2 2 1 2  K (1/2) 2 1 1 2  K  1 1 2 2 

 2

 13 

 6 0 4 2   6 0 4 2    4 0 6 2 
 1 2 3 1
 1 1 3 1
 3 1 1 1






1
2 2 H  4 0
6 2
H (  1) 1
31

 12

 4 0
6
2   1 1
2
2  A
 2 0  1  1
 2 0  1  1





Penggunaan OBE
• Mencari Rank Matriks
Adalah jumlah maksimum baris/kolom yang
bebas linier ( tidak semua unsur dalam suatu
baris/kolom nol)
• Mecari invers matriks
OBE

( A:I )

-1

( I:A )

Contoh
(  1)
2 3 1 

 H21
1.Cari rank matriks dari A  2 1 2 
(  2)
 4 4 3  H31


3 1  ( 1) ( 2)
 2 3 1  ( 2 ) (1)  2

 H3 2

H 2
 0 - 2 2
0 - 2 2  3
0 1 3 


0
0
4





3
2

0 - 2
0
0


1

2  Maka rank matriks A = 2
0 

2. Carilah invers dari matriks

0 2
1


 2 -1 3 
 4 1 8


-1
bentuk(A : I)  (I : A )
0 2 : 1 0 0
1


 2 - 1 3: 0 1 0 
 4 1 8: 0 0 1 



H21(  2)
H32(  4)

1 0 2: 1 0 0 (  2) 1 0 2: 1 0 0

 H21 

 2 - 1 3: 0 1 0  H (  4)  0 - 1  1: - 2 1 0
 4 1 8: 0 0 1  32  0 1 0 : - 4 0 1




1 0 2: 1 0 0 (  1) 1 0 0 :  11 2 2
 H23 

(1) 
H32  0 - 1  1: - 2 1 0 (2)  0 - 1 0 : 4 0 - 1 
H13
 0 0 - 1: - 6 1 1 
 0 0 - 1: - 6 1 1 




1 0 0:  11 2 2
  11 2 2
(  1)



H3 
1
0 1 0 : 4 0 1, A  4 0 1 
(-1) 
H2
 0 0 1: 6  1  1 
 6  1  1



