FISIKA DASAR I 2013 2014

FISIKA DASAR I
(2013/2014)
Vera Firmansyah, M.Si

Materi Pokok
•
•
•
•
•
•

Vektor
Kinematika
Dinamika
Energi
Momentum
Dinamika Rotasi

UTS = 40%

•
•
•
•
•
•

Osilasi
Gelombang
Gelombang Bunyi
Interferensi
Difraksi
Efek Doppler

UAS = 40%

Jika nilai akhir D atau E,
maka komposisi
UTS = 35%
UAS = 35%

QUIZ + PR + TUGAS = 30%

QUIZ + PR + TUGAS = 20%

FISIKA DASAR I
(vektor)
Vera Firmansyah, M.Si

Sub Pokok Bahasan
•
•
•
•
•
•

Definisi Vektor
Penjumlahan vektor
Vektor Satuan
Penjumlahan vektor secara analitis

Perkalian Skalar
Perkalian Vektor

Sasaran Pembelajaran
• Mahasiswa mampu mencari besar
vektor, menentukan vektor satuan
• Mahasiswa mampu menyelesaikan
operasi-operasi vektor

Definisi Vektor
• Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel,
yaitu besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor
adalah perpindahan.
• Sebuah besaran vektor dapat dinyatakan oleh huruf di cetak
tebal (misal A) atau diberi tanda panah di atas huruf (misal Ā)
Dalam handout ini sebuah besaran vektor dinyatakan oleh
huruf yang dicetak tebal.
Perpindahan dari a ke b dinyatakan oleh vektor R

b

R

a

Penjumlahan Vektor
• Penjumlahan vektor R yang menyatakan perpindahan a ke b dan vektor S
yang menyatakan perpindahan b ke c menghasilkan vektor T yang
menyatakan perpindahan a ke c.
• Cara menjumlahkan dua buah vektor dengan mempertemukan ujung
vektor pertama, vektor R, dengan pangkal vektor kedua, vektor S. Maka
resultan vektornya, vektor T, adalah menghubungkan pangkal vektor
pertama dan ujung vektor kedua.
b
S

R
T=R+S
T
a

c

Besar Vektor Resultan
Jika besar vektor R dinyatakan oleh R dan besar vektor S dinyatakan
oleh S, maka besar vektor T sama dengan :
θ
S
R

T=R+S
T

T = R 2 + S2 - 2 R S cosq
Sudut θ menyatakan sudut yang dibentuk antara vektor R dan vektor S

Pengurangan Vektor
Untuk pengurangan vektor, misal A – B dapat dinyatakan sebagai
penjumlahan dari A + (-B). Vektor -B atau negatif dari vektor B adalah
sebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor B tetapi arahnya
berlawanan.

D

D=A–B
B
A

-B

Contoh
Sebuah mobil bergerak ke Utara sejauh 20 km
kemudian bergerak ke Barat sejauh 40 km
Selanjutnya bergerak ke Selatan sejauh 10 km.

N

Tentukan besar perpindahan mobil tersebut !

E
B

40 km

U

20 km

10 km
S

Contoh
40 km

B

Jawab :
10 km
A

C

20 km
10 km

40 km

Jika perpindahan pertama dinyatakan vektor A, perpindahan kedua
dinyatakan vektor B, dan perpindahan ketiga dinyatakan vektor C, maka
perpindahan total dinyatakan vektor D.
Dari gambar di atas dapat diketahui panjang vektor D adalah :

402  102  10 17 m

Vektor Satuan
• Vektor satuan didefenisikan sebagai :

r

R
R

• Vektor satuan r tidak mempunyai dimensi dan besarnya adalah satu
satuan. Dari persamaan di atas, sebuah besaran vektor dapat dinyatakan
sebagai besar vektor tersebut dikali vektor satuan. Vektor satuan r
menyatakan arah dari vektor R.
• Terdapat vektor satuan standar dalam koordinat Kartesian di mana araharah dari masing-masing sumbu dinyatakan dalam vektor satuan.
– Vektor satuan i menyatakan arah sumbu X positif
– Vektor satuan j menyatakan arah sumbu Y positif
– Vektor satuan k menyatakan arah sumbu Z positif

Penulisan Vektor Secara Analitis
Rz

R
Ry
Rx

Vektor R dinyatakan oleh : R = Rxi + Ryj + Rzk
Besar vektor R adalah :
2

2

R  Rx  R y  Rz

Vektor dalam 2 Dimensi
2

Vektor satuan standar tersebut setiap vektor dapat dinyatakan dalam
bentuk penjumlahan dari vektor komponen masing-masing sumbu
koordinat.

Contoh
Sebuah vektor perpindahan dari titik (2,2) ke titik (-2,5). Tentukan :
a. Vektor perpindahan dinyatakan secara analitis
b. Sudut yang dibentuk vektor tersebut dengan sumbu X
c. Panjang vektor
Jawab :

a. Vektor perpindahan :
R = (xujung – xpangkal)i + (yujung – ypangkal)j

R = (-2 – 2)i + (5 – 2)j = -4i + 3j

Contoh

b.

Sudut yang dibentuk :

  tan
c.

1

Besar vektor R =

Ry
Rx

3
 tan 1   37o
4

R x  R y  3 2  4 2  5 satuan
2

2

Penjumlahan Vektor Cara Analitis
Jika diketahui sebuah vektor A = xAi + yAj dan vektor B = xBi +
yBj, maka penjumlahan vektor A + B = (xA + xB)i + (yA + yB)j.
Atau secara umum jika menjumlahkan n buah vektor berlaku
:
R = (x0 + …+xi + …+xn)i + (y0 + …+yi + …+yn)j

Contoh
Diketahui dua buah vektor.
A = 3i + 2j
B = 2i - 4j
Tentukan :
a. A + B dan |A + B|
b. A - B dan |A – B|
Jawab :
a. A + B = 3i + 2j + 2i - 4j
= 5i - 2j
|A + B| = 5 2  ( 2)2  29
b. A - B = 3i + 2j - (2i - 4j) = i + 6j
|A – B| =

12  6 2  37

-B
A-B

A
B

Soal
1. Nyatakan sebuah vektor yang mempunyai besar 4 satuan dan arahnya
60o dari sumbu X positif secara analitis dan tentukan vektor satuannya!
2. Sebuah benda bergerak dari titik (1,2)m ke titik (5,0)m. Tentukan :
a. Vektor perpindahan benda tersebut
b. Jarak perpindahan
c. Arah dari vektor perpindahan benda tersebut dinyatakan oleh
vektor satuannya
3. Diketahui A = 3i + 4j. Tentukan konstanta skalar c sehingga berlaku cA =
10 satuan !

4. Diketahui A = 2i + 4j, B = -7i, dan C = 8j. Tentukan :
a. A + B - C
b. |A + B + C|

Solusi
1. R = Rxi + Ryj

Diketahui :
Rx = R cos θ = 4 cos 60o = 2 3 satuan
Ry = R sin θ = 4 sin 60o = 2 satuan
Dengan demikian R = 2i + 2 3 j satuan
Vektor satuan :
r = cos 60o + sin 60o = ½ i + ½ 3 j
Y

R
θ

60o
X

Solusi
Y

2.
2

R

1

5

X

a.

R = (x2 – x1) i + (y2 – y1) j. Titik awal (x1,y1) = (1,2) dan titik
akhir (x2,y2) = (5,0).
Dengan demikian vektor R = 4 i – 2 j.

b.

R=

c.

R x 2  R y 2  4 2  22  2 5 m
2 5
5
R
r

i
j
R
5
5

Solusi
2
2
3. Besar vektor A = 3  4 = 5 satuan
Dengan demikian nilai c = 2 satuan

4. a. A + B – C = 2i + 4j - 7i - 8j = -5i - 4j
b. |A + B + C| = |2i + 4j - 7i + 8j| = |-5i + 12j|

|-5i + 12j| =

52  122 = 13 satuan

Perkalian Skalar
Perkalian skalar atau juga sering disebut perkalian titik dari dua buah
vektor menghasilkan besaran skalar di mana berlaku :
A . B = AB cos θ
Jika diketahui A = ax i + ay j + az k dan B = bx i + by j + bz k, maka :
A . B = axbx + ayby + azbz
Sebagai hasil perkalian skalar adalah usaha, tenaga potensial, fluks
magnet, dan lain-lain.
A
θ

B

Perkalian Skalar
Perlu diperhatikan dan diingat dalam
perkalian titik adalah :

i.i=j.j=k.k=1
i.j=j.k=k.i=0

Contoh
Diketahui dua buah vektor, A = 3i + 4j dan B = 4i - 2j. Tentukan sudut antara
vektor A dan B !
Jawab :
Untuk menentukan sudut antara vektor
A dan B dapat menggunakan persamaan
cos � =

∙

A

A . B = (3i + 4j) . (4i - 2j) = 3.4 + 4.(-2) = 4
Besar vektor
Besar vektor

cos � =

∙

=

=

=

2

2

+

2

+ −

20

=

θ
AB
B

2=

= , 8

Dengan demikian θ = 79,7o

Perkalian Vektor
Perkalian vektor atau perkalian silang dari dua buah vektor
menghasilkan besaran vektor lain di mana berlaku :
AXB=C
Besar vektor C adalah :
C = AB sin θ
Arah vektor C selalu tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh
vektor A dan vektor B. Untuk menentukan arah vektor C dapat
diperhatikan gambar di bawah ini. Diketahui bahwa hasil A X B tidak
sama dengan B X A. Walaupun besar vektor hasil perkalian silang itu
sama, tetapi arahnya saling berlawanan.
B

C=AXB
θ
B

C = -C’

A

θ
A

C’ = B X A

Perkalian Vektor
Perlu diperhatikan dan diingat dalam
perkalian titik adalah :
iXi=jXj=kXk=0
i X j = k ; j X k = i; k X i = j
j X i = -k ; k X j = -i; i X k = -j
-

×

-

-

+

+

=
+

Contoh
Diketahui dua buah vektor.
A = 3i + 4j
B = 4i - 2j + k
Tentukan : a. A X B
b. Buktikan A X B = -B X A
Jawab :
a. A X B = (3i + 4j) X (4i X 2j + k) = 3.4(iXi) + 3.(-2)(iXj) + 3.1(iXk) + 4.4(jXi)
+ 4.(-2)(jXj) + 4.1(jXk) = 12.0 – 6k + 3(-j) + 16(-k) – 8.0 + 4i = 4i – 3j –
22k
b. B X A = (4i X 2j + k) X (3i + 4j) = 4.3(iXi) + 4.4(iXj) +(-2).3(jXi) + (2).4(jXj) + 1.3(kXi) + 1.3(kXj) = 12.0 + 16k – 6(-k) – 8.0 + 3j + 4(-i) =
-4i + 3j + 22k = - A X B
terbukti

Soal (PR)
1. Tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor A = i + 2 j – k dan vektor B = 3
i–4k!
2. Tentukan panjang proyeksi dari vektor A = 4 i + 2 j – k terhadap arah
vektor B = i + 3 j – 4 k !
3. Diberikan tiga buah vektor :
A=1i+2j–k
B=4i+2j+3k
C=2j–3k
Tentukan :
a. A . (B X C)
b. A . (B + C)
c. A X (B + C)
4. Buktikan vektor R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k adalah tegak lurus !

Solusi
1.

Menurut persamaan A . B = 1.3 + 2.0 + (-1).(-4) = 7. Besar vektor A :

A  12  22  (1)2  6

Besar vektor B : B  32  (4)2  5

Nilai sudut antara A dan B ditentukan oleh : cos  
Dengan demikian θ = 55,1o
2.

7
A .B

AB 5 6

A

θ
AB

B

Panjang AB menyatakan panjang proyeksi A terhadap B yang
besarnya :
14
A.B 4.1  2.3  ( 1).( 4)
A B  A cos  


2
2
2
B
26
1  3  ( 4)

Solusi
3.

4.

a.

B X C = (4i + 2j + 3k) X (2j – 3k) = 8(i X j) – 12(i X k) – 6(j X k) +
6(k X j) = 8k + 12j X 12i
A . (B X C) = (i + 2j – k).(-12i + 12j + 8k) = -12 + 24 – 8 = 4

b.
c.

B + C = 4i + 4j. Nilai A . (B + C) = (i + 2j – k).(4i + 4j) = 12
A X (B + C) = (i + 2j – k) X (4i + 4j) = i – 4j – 4k

Dua buah vektor tegak lurus jika membentuk sudut 90o. Menurut
persamaan dan diperoleh :
R . S = RS cos 90o = RS . 0 = 0
R . S = RxSx + RySy + RzSz

Jika diketahui R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k, maka :
R . S = 3.2 + 2.1 + (-4).2 = 0

Next

KINEMATIKA